hinh giai tich trong khong gian

Hình không gian GV: Phạm Văn Sơn
Phơng pháp toạ độ trong không gian
I. Tọa độ của vectơ và của điểm
A. Ví dụ:
VD1: Viết tọa độ của các vectơ say đây:
2a i j

= +
;
7 8b i k

=
;
9c k

=
;
3 4 5d i j k

= +

VD2: Cho ba vectơ

a
= ( 2;1 ; 0 ),

b
= ( 1; -1; 2) ,

c
= (2 ; 2; -1 ).

a) Tìm tọa độ của vectơ :

u
= 4

a
- 2

b
+ 3

c
b) Chứng minh rằng 3 vectơ

a
,

b
,

c
không đồng phẳng .
c) Hãy biểu diển vectơ

w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ

a
,

b
,

c
.
VD3: Cho 3 vectơ

a
= (1; m; 2),

b
= (m+1; 2;1 ) ,

c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .Định m để 3 vectơ đó đồng phẳng .
VD4: Cho:
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0; 2; 1 , 1;7; 2a b c

= = =
. Tìm tọa độ của vectơ: a)
1
4 3
2
d a b c

= +
b)
4 2e a b c

=
VD5: Tìm tọa độ của vectơ
x

, biết rằng:
a)
0a x

+ =
và
( )
1; 2;1a

=
b)
4a x a

+ =
và
( )
0; 2;1a

=

c)
2a x b

+ =
và
( )

5;4; 1a

=
,
( )
2; 5;3 .b

=
VD6: Cho ba điểm không thẳng hàng:
(1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).A B C

Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC.
VD7: Cho bốn diểm không đồng phẳng :
(2;5; 3), (1;0;0), (3; 0; 2), ( 3; 1;2).A B C D

Hãy tìm tọa độ trọng tâm
G của tứ diện ABCD.
VD8: Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz.
VD9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:
a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy.
VD10: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các đỉnh
còn lại.
VD11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M.
B. Bài tập
Bài 1. Viết dới dạng
x i y j z k

+ +
mỗi vectơ sau đây:
1
0; ; 2 ,
2
a


=
ữ

( )
4; 5; 0 ,b

=
4 1
;0;
3
3
c


=
ữ

,
1 1
; ; ,
3
5

d



=
ữ

( )
0; 3;0 .u

=
Bài 2. Cho hai bộ ba điểm: A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1) và A' = (1; 1; 1), B' = (-4; 3; 1),
C' = (-9; 5; 1). Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng.
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(x
1
; y
1
; z
1
), C(x
3
; y
3
; z
3
), B'(x'
2
;y'
2
;z'

2
), D'(x'
4
; y'
4
;z'
4
). Tìm tọa độ của các
đỉnh còn lại.
II. Biểu thức tọa độ của tích vô hớng, tích có hớng của hai vectơ
A. Ví Dụ:
Bài 1 . Cho ba vectơ
( ) ( )
1; 1;1 , 4;0; 1 ,a b

= =

( )
3; 2; 1 .c

=
Tìm:

2 2 2 2
) . ; ) . ; ) ;a a b c b a b c c a b b c c a


+ +
ữ ữ

2 2 2
) 3 2 . ; ) 4 . 5d a a b b c b e a c b c


+ +
ữ

.
Bài 2. Tính góc giữa hai vectơ
a

và
b

:
( ) ( )
) 4;3;1 , 1;2;3a a b

= =

( ) ( )
) 2;5; 4 , 6;0; 3 .b a b

= =
Bài 3. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
Bài 4. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
, ,a b c

trong mỗi trờng hợp sau đây:

( ) ( ) ( )
) 1; 1;1 , 0;1; 2 , 4;2;3a a b c

= = =

( ) ( ) ( )
) 4;3;4 , 2; 1;2 , 1; 2;1b a b c

= = =

( ) ( ) ( )
) 4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1c a b c

= = =

( ) ( ) ( )
) 3;1; 2 , 1;1;1 , 2; 2;1 .d a b c

= = =
- 1 -
Hình không gian GV: Phạm Văn Sơn
Bài 5. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính chu vi và diện tích ABC.
c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành. d) Tính độ dài đờng cao của ABC hạ từ đỉnh A.
e) Tính các góc của ABC.
Bài 6. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
Bài 7. Cho ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của góc B.
Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D tạo thành tứ diện. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
b) Tính độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C của tứ diện đó.
c) Tính độ dài đờng cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B.
d) Tính góc ABC và góc giữa hai đờng thẳng AB, CD.
Bài 9. Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đờng chéo.
c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đờng cao tam giác ABC vẽ từ A.
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC .
Bài 10. Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .
c) Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D.
d) Tìm tọa độ chân đờng cao của tứ diện vẽ từ D .
Bài 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC. b) Tính cosin các góc A,B,C .
c) Tính diện tích tam giác ABC
Bài tập:
Bài 1. Cho tam giác ABC, A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2).
a) Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC b) Tìm toạ độ trung điểm I của cạnh BC
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC d) Tính diện tích tam giác ABC.
e) Tính đờng cao của tam giác hạ từ A. f) Tính các góc của tam giác ABC
g) Tìm điểm M thuộc Ox sao cho MA = MB h) Tìm giao (ABC) và Ox
Bài 2. Cho
( )
2 2
2 2 2

3 1
; ; , 1; ;1 , 4;4;
2 2
m m
a m m b c m



= = =
ữ ữ

a) Chứng minh với mọi m thì
, ,a b c

không đồng phẳng. b) Phân tích
3
1; 1; .
2
d


=
ữ

theo
, ,a b c

Bài 3. Cho ba véc tơ:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

; ; , ; ; , ; ;
2 2 2
a b c b a c c a b
p a a q b b r c c



= = =
ữ ữ ữ

Với a, b, c không đồng thời bằng không thì
, ,p q r

có đồng phẳng không
Bài 4 . Cho ABC biết A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của góc B.
Bài 5. Cho ABC biết A(-11; 8; 4), B(-1; -7; -1), C(9; -2; 4).
a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Tính diện tích tam giác ABC
Bài 6. Cho sáu điểm A(3; 5; -4), B(-1; 1; 2), C(-5; -5; -2), A(5; 1; 5), B(4; 3; 2), C(-3; -2; 1).
a) Chứng minh tam giác ABC cân, tam giác ABC vuông
b) Gọi G, G, G là trọng tâm tam giác ABC, ABCvà của tứ diện AABC. Tính
ã
tan G'GG''
Bài 7. Chứng minh 4 điểm A(3; 3; 3), B(1; 2; -1), C(4; 1; 1), D(6; 2; 5) là các đỉnh của hình bình hành
Bài 8. Chứng minh 4 điểm A(5; 2; -3), B(6; 1; 4), C(-3; -2; -1), D(-1; -4; 13) là các đỉnh của hình thang. Tính
diện tích
Bài 9. Cho hai điểm A(-2; 0; 4), B(5; -2; -14).
Tìm điểm E trong mặt phẳng Oyx sao cho:
1OE
=
,

, ,OA OB OC
uuur uuur uuur
đồng phẳng
Bài10. Cho hai véc tơ
( ) ( )
1; 1;3 , 2; 2;1p q

= =
. Tìm véc tơ
v
r
thoả mãn điều kiện
; ; , ,v p v q v p q
r ur r r r uruur

đồng phẳng.
- 2 -
Hình không gian GV: Phạm Văn Sơn
Bài 11. Cho A(-3; 2; 4), B(2; 5; -2), C(1; -2; 2), D(4; 2; 3)
a) Tính cos(
,AB CD
uuur uuur
) b) Tính diện tích tam giác BCD
c) Tính độ dài đờng cao hạ từ A của tứ diện ABCD d) Tính cosin góc gữa AD và mặt phẳng (BCD)
e) Tính cosin góc gữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) f) Tìm toạ độ điểm I cách đều A, B, C, D
Iii. Mặt Phẳng
Bài toán 1 . Phơng trình mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt
n
r

biết
a,
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2=
r
b,
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1 =
r
c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 , n 0;1;3 =
r
d,
( ) ( )
M 2;1; 2 , n 1;0;0 =
r
e,
( ) ( )
M 3;4;5 , n 1; 3; 7=
r
f,
( ) ( )
M 10;1;9 , n 7;10;1=
r
Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng trung trực của AB biết:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)
c,
1 1
A ; 1;0 , B 1; ;5

2 2


ữ ữ

c,
2 1 1
A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3


ữ ữ

Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng
( )

đi qua điểm M và song song với mặt phẳng
( )

biết:
a,
( ) ( ) ( )
M 2;1;5 , Oxy =
b,
( ) ( )
M 1;1;0 , :x 2y z 10 0 + =
c,
( ) ( )
M 1; 2;1 , : 2x y 3 0 + =
d,

( ) ( )
M 3;6; 5 , : x z 1 0 + =
Bài 4 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và cặp VTCP là
(2;1; 2); (3; 2; 1)a b
r r

Bài 5 : Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và
a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z.
c) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 6 : Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
a) Cùng phơng với trục 0x. b) Cùng phơng với trục 0y.
c) Cùng phơng với trục 0z.
Bài 7 : Xác định toạ độ của véc tơ
n
vuông góc với hai véc tơ
(6; 1;3); (3; 2;1)a b
r r
.
Bài 8 : Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là
)4,2,3( );2,7,2( ba
Bài 9 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.
b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài 10 : Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ.
B ài 11 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).
Bài 12 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là

( )
3; 2;1a
r
và
( )
3;0;1b
r
b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phơng với trục với 0x.
Bài 13: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD.
Bài 14: Viết phơng trình tổng quát của (P)
a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) ,
d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)
Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB.
b) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z
c) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt phẳng (P).
Bài toán 2. Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng
Bài 1: Xét vị trí tơng đối ciủa các cặp mặt phẳng sau:
a) (P
1
): y z + 4 = 0, và
( )
2
: 3 0P x y z + =
b) (P
1

): 2x+4y-8z+9=0
( )
2
: 2 4 1 0P x y z+ + =
c) (P
1
): x+y-z-4=0và
( )
2
: 2 2 2 8 0P x y z+ =
- 3 -
Hình không gian GV: Phạm Văn Sơn
Bài toán 3: Chùm mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng qua M(2;1;3) và đi qua đờng thẳng (d):
a)
( )



=+
=+
012
0532
:
zyx
zyx
d
b)
( )

+=
+=
=
tz
ty
tx
d
21
22:
Bài 2:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;1;-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
) có
phơng trình : (P
1
): x - y + z - 4 = 0 và (P
2
) 3x y + z 1 = 0
Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng
( )



=
=+

02
0323
:
zx
zyx
d
và song song với mặt phẳng (Q) có ph-
ơng trình: 11x - 2y - 15z 6 = 0.
Bài 4: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P
1
): y + 2z 4 = 0 và (P
2
) : x + y z 3 = 0 và song
song với mặt phẳng (Q):
- 2 0x y z+ + =
.
Bài 5: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng
( )



=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và vuông góc với (Q) có phơng trình:

a) (ĐHNNI-95): (Q):
- 2 5 0x y z+ + =
. b)
( )
: 3 1 0Q x y z+ + =
Bài 6: Lập phơng trình của mặt phẳng qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P
1
):
3 - - 2 0 x y z+ =
và (P
2
):
4 -5 0 x y+ =
và vuông góc với mặt phẳng :
2 - 7 0x z
+ =
.
Bài 7: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng :
( )



=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d

và song song với đờng thẳng (d) có ph-
ơng trình :
a)
( )



=++
=+
0323
0723
:
zyx
zyx
d
b)
( )
5
5
4
3
2
2
:
+
=

=

zyx
d
Bài 8:Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng :
( )



=+
=
0323
02
:
zyx
yx
d
và vuông góc đờng thẳng (d) có phơng
trình :
a)
( )



=++
=+
0323
0723
:
zyx
zyx
d

b)
( )
5
5
4
3
2
2
:
+
=

=


zyx
d
Bài 9: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng và với mặt phẳng (Q) một góc 60 độ biết:

( )



=
=+
02
0323
:
zx
zyx

d
và (Q):3x+4y-6=0
- 4 -
Hình không gian GV: Phạm Văn Sơn
Bài 10: Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng
( )



=+
=
015
023
:
zy
zx
d
và có khoảng cách từ điểm A(1;-1; 0) tới
(P) bằng 1.
Bài 11: Cho đờng thẳng (d) và hai mặt phẳng
( )



=+
=
01
02
:
zy

zx
d
và (P
1
): 5x+5y-3z-2=0 và (P
2
):2x-y+z-6=0. Lập ph-
ơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) sao cho:
( ) ( )
1
PP

và
( ) ( )
2
PP

là hai đờng vuông góc.
Bài 12: (ĐHKT-93): cho hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình :

( )
,
014
0238
:
1

=+
=+
zy
zx
d

( )



=++
=
022
032
:
2
zy
zx
d
.
a) Viết phơng trình các mặt phẳng
( )
1
P
,
( )
2

P
song song với nhau và lần lợt chứa
( )
1
d

( )
2
d

b) Tính khoảng cách giữa
( )
1
d
,
( )
2
d

c) Lập phơng trình đờng thẳng (D) song song với trục Oz và cắt cả 2 đờng thẳng
( )
1
d
,
( )
2
d

B ài toán 4. Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng
Bài 1:Tính khoảng cách từ điểm M(2;2;1) đến mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:

a)
( ) : 2 - 3 3 0P x y z+ + =
b)
( )
: 2 3 1 0P x y z + =
Bài 2:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)
a) Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (ABC)
b) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện
Bài 3:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(1;1;1) B(-2;0;2) C(0;1;-3) D(4;-1;0)
a) (ĐH Luật 1996) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện
b) Viết phơng trình mặt phẳng phân giác của 2 mặt (ABC) và (BCD) cắt đoạn AD
IV. Đờng thẳng trong không gian
Bài toán 1 . Phơng trình đờng thẳng
Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trong các trờng hợp sau :
a) (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận
(3; 2;3)a
r
làm VTCP
b) (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng
( ) : - 3 2 - 6 0 P x y z+ =
và các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đờng thẳng (d) có ph-
ơng trình:
3 2 7 0
3 2 3 0
x y z
x y z
+ =

+ + =

Bài 4: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phơng trình là :
( )



=+++
=++
0732
0143
:
zyx
zyx
d
và (P): x+y+z+1=0
Tìm phơng trình chính tắc của đờng thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đ-
ờng thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phơng trình tham số của đờng thẳng
(d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
B ài toán 2. Chuyển dạng phơng trình đờng thẳng
Bài 1:Tìm véc tơ chỉ phơng của các đờng thẳng sau
- 5 -
Hình không gian GV: Phạm Văn Sơn
a)
3
1
4
2

3
1
:)(
+
=
+
=

zyx
d
b)
( )



=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
Bài 2: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )



=+
=++

0642
0104
:
zyx
zyx
d
. Hãy viết phơng trình tham số của đờng thẳng
đó
Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )



=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
. Hãy viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng
đó
Bài4: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R t,
21
22:

+=
+=
=
tz
ty
tx
d
. Hãy viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng đó
Bài 5: Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc
với mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a)
( ) : 2 3 - 4 0P x y z+ + =
b)
( )
: 2 3 1 0P x y z+ + =
.

Bài 6: Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song
với đờng thẳng (

) cho bởi :
a)
( )
2 2
: 3 t
3

x t
y t R
z t
= +


=


= +

. b)
( )
1 0
:
4 1 0
x y
x z
+ =



+ + =

Bài 7:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc
với 2 đờng thẳng :
( )

=+
=+
032
022
:
1
zx
yx
d
,
( )



=+
=++
0642
0104
:
2
zyx
zyx
d
Bài 8:Trong không gian Oxyz, lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm
A(3;2;1), song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng (). Biết mặt phẳng
( ) : - 2 0P x y z+ + =
và

=++
=+

014
01
:)(
zy
yx
B ài toán 3. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt phẳng
Bài1: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a)
( )
R t,
2
3
1
:






+=
=
+=
tz
ty
tx
d

(P): x-y+z+3=0 b)
( )
R t,
1
9
412
:






+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
- 6 -
Hình không gian GV: Phạm Văn Sơn
c)
( )

05
010632
:

=+++
=++
zyx
zyx
d
(P): y+4z+17=0 d)
( )

01
03
:



=
=++
y
zyx
d
(P): x+y-2=0
Bài 2: Hãy tính sin của góc tạo bởi đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) cho bởi :
a)
( )
)(t
1
39
412
: R

tz
ty
tx
d






+=
+=
+=
và
( )
: 2 3 1 0P x y z + =
.b)
( )

05
010632
:



=+++
=++
zyx
zyx
d

và
( )
: 2 3 1 0P x z y + =
c)
( )
R t,
22
2
21
:






+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
và
( ) : - 2 2 3 0.P x y z+ + =
Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và
( )
3
2
12

1
:

+
==

zyx
d
.
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 4: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian 0xyz ,cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d
m
) có phơng trình :
( ) : 2 - 2 0 P x y + =
,
( )

024)12(
01)1()12(
:



=++++
=+++
mzmmx
mymxm

d
m
xác định m để (d
m
)//(P)
B ài toán 4. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Bài 1: sử dụng tích hỗn tạp xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình cho bởi:
a)
( )
R
tz
ty
tx
d






+=
+=
+=
t
46
32

23
:
1
,
( )



=+
=+
015
0194
:
2
zx
yx
d
b)
( )
R
tz
ty
tx
d

+=
+=
+=
t
33
2
21
:
1
,
( )

13
23
2
:
2





+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
c)

( )

01
012
:
1



=++
=++
zyx
yx
d
,
( )

012
033
:
2



=+
=++
yx
zyx
d
Bài 2: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d

1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )

5
1
25
:
1





=
=
+=
tz
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d

=
=
+=
1
1
1
1
2
tt,
1
3
23
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau .
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song ,cách đều (d
1
),(d
2
) và thuộc mặt phẳng chứa (d
1

),(d
2
) .
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi:
- 7 -
Hình không gian GV: Phạm Văn Sơn
( )
4
9
1
5
3
7
:
1


=


=
+
zyx
d
,
( )

4
18
1
4
3
:
2
+
=

+
=
zyx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau .
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song ,cách đều (d
1
),(d
2
) và thuộc mặt phẳng chứa (d
1
),(d
2
).
Bài 4: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1

),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
R t
46
2
23
:
1






+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
,
( )

015
0194
:
2

=+
=+
zx
yx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) cắt nhau .
b) Viết phơng trình đờng phân giác của (d
1
),(d
2
)
Bài5: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
4
1
2
2
1

:
1

=
+
=


zyx
d

( ) ( )
t
32
1
:
2
R
tz
ty
tx
d






+=
=

+=
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) cắt nhau.
b) Viết phơng trình đờng phân giác của (d
1
),(d
2
)
Bài 6: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )

1
1
:
1





=
=
=

z
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d






=
+=
=
1
1
1
1
2
tt, 1
2
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1

),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song ,cách đều (d
1
),(d
2
) .
Bài 7: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )



=+
=++
0104z-y
0238zx
: d
1
,
( )

022
032
:
2

=++
=
zy
zx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1
),(d
2
) .
Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
3
2
2
1
1

:
1

=

=

zyx
d
( )

0532
02
:
2



=+
=+
zyx
zyx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình mặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1

),(d
2
) .
B ài toán 5. Hai đờng thẳng đồng phẳng và bài tập liên quan
Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
) ,biết:

( )
2
3
2
1
3
1
:
1


=

=
+
zyx
d

( )
2

3
1
1
1
:
2

=

=
zyx
d
Bài 2: (ĐHSPII-2000): Cho điểm A(1;-1;1) và hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
- 8 -
Hình không gian GV: Phạm Văn Sơn

( )



=+
=+
01y-2x
03z-y-3x
: d
1

( ) ( )
t
3
21:
2
R
tz
ty
tx
d






=
=
=
CMR (d
1
),(d
2
) và điểm A cùng thuộc mặt phẳng.
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :

( )



=+
=++
01y-x
01y2x
: d
1
z
( )

012
033
:
2



=
=++
yx
zyx
d
a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
), (d
2

).
c) Viết phơng trình đờng phân giác của(d
1
), (d
2
)
Bài 4: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
1
1
2
1
1
2
:
1

=

=

zyx
d

( ) ( )
t

31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d






+=
+=
+=

a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
c) Viết phơng trình đờng phân giác của(d
1
),(d
2

)
Bài5: cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
2
4
1
1
3
:
1

=
+
=

zyx
d
,
( )

03
024
:
2

=
=
zx
yx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) trong (P) song song cách đều (d
1
),(d
2
) .
B ài toán 6. Hai đờng thẳng chéo nhau và bài tập liên quan
Bài 1: (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )

34
24
37
:
1





+=
=
+=
tz
ty
tx
d

( ) ( )
R
tz
ty
tx
d

=
+=
+=
1
1
1
1
2
tt,
12
29
1
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 2: (ĐHTCKT-96): Trong không gian 0xyz , cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
1
( ) : - 1 -1d x y z

= + =
,
2
( ) : - 1 -1d x y z+ = =
. Tìm toạ độ điểm A
1
thuộc (d
1
) và toạ độ điểm A
2
thuộc (d
2
) để
đờng thẳng A
1
A
2
vuông góc với (d
1
) và vuông góc với (d
2
) .
Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
- 9 -