Bài giảng lý thuyết độ đo và tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT
KHOA TOÁN - TIN HỌC
YZ

NGUYỄN VINH QUANG

LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
(Bài Giảng Tóm Tắt)

-- Lưu hành nội bộ -Y Đà Lạt 2008 Z


Môc lôc
1 §é ®o
1.1 TËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 C¸c kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Giíi h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 §¹i sè vµ σ - ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 §¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 σ - ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 σ - ®¹i sè tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Hµm tËp vµ ®é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Hµm tËp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 §é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 TËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng ®¸ng kÓ) - Kh«ng gian cã
1.3.4 §é ®o ngoµi - §é ®o trong . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 §é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ Hµm ph©n phèi . . . . . .
1.3.6 §é ®o cã dÊu (®é ®o suy réng) . . . . . . . . . . . . . .
2 TÝch
2.1

2.2
2.3

ph©n Lebesgue
Hµm ®o ®−îc . . . . . . . . . . .
TÝch ph©n Lebesgue . . . . . . .
§Þnh lý Radon - Nikodym . . . .
2.3.1 TÝnh tuyÖt ®èi liªn tôc cña
2.3.2 §Þnh lý Radon - Nikodym

. .
. .
. .
®é
. .

. .
. .
. .
®o
. .

1

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
®é ®o ®ñ
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

2
2
2
2
3
4
4
5
8
8
8
9
13
16
19
22

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

24
24
29
36
36
37

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


Chơng 1
Độ đo
1.1 Tập hợp

1.1.1 Các khái niệm

Giả sử không gian = .
Phần tử: Những điểm thuộc đợc gọi là các phần tử của .
Ký hiệu: , 1 , 2 , . . . , n .
Tập con: A đợc gọi là tập con của .
Ký hiệu: A A .
Tập bằng nhau: A = B A B, B A.
Lớp các tập: Tập mà các phần tử của nó là tập hợp gọi là lớp các tập.
Ký hiệu: A, B, C, . . .
Dãy các tập: Là lớp gồm một số đếm đợc các tập.
Ký hiệu: {An }nN , {Bn }nN , . . .

1.1.2 Các phép toán trên tập hợp
1.Hợp

2.Giao

C = A B := { : A hay B}.
C=



n=1

An := { : n0 N, An0 }.

A B := { : A và B}.

n=0

An := { : An , n}.

3.Hiệu hai tập hợp
A\B := { : A và
/ B}.
2


4.Hiệu đối xứng hai tập hợp
A B := (A\B) (B\A).
Chú ý: Khi A B = thì A B = A + B.
5.Phép lấy phần bù (trên )
Ký hiệu: B (hay B c ) := \B = { :
/ B}.
6.Phân hoạch
Lớp C gồm các tập rời nhau đợc gọi là một phân hoạch trên nếu =
Tính chất 1.1.1.
1.Giao hoán
AB =BA
AB =BA
A B = B A.
2.Kết hợp
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
3.Phân phối
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
(*)A (B C) = (A B) (A C)

(*)Công thức De Morgan


n=1

n=1

An =
An =



n=1

n=1

An
An

1.1.3 Giới hạn

1.Dãy tăng (giảm)
Cho d y {An } trên , ta nói {An } là d y tăng nếu A1 A2 . . .
Ký hiệu: An n .
{An } là d y giảm theo n nếu A1 A2 . . .
Ký hiệu: An n .
2.Giới hạn trên (lim n )
Cho {An }nN trên
lim n An = inf n

3.Giới hạn dới (lim n )

1 supk

n Ak =





n=1 k=n

3

Ak

C C

C.


lim n An = supn

1

inf k

n

Ak =

n=1 k=n

Ak

Ta nói d y {An } có giới hạn (khi n ) nếu ta có lim n An = lim n An và khi đó giới hạn của
d y {An } chính là lim và cũng là lim .
Ký hiệu: limn An = lim n An = lim n An .
Bài tập 1: Chứng minh mọi d y đơn điệu thì hội tụ, hơn nữa
An n , A =

An n , A =



n=1

n=1

An thì An A.
An thì An A.

Bài tập 2: (Lấy phần bù)
lim n An = lim n An .

1.2 Đại số và - đại số

1.2.1 Đại số

Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian = , F0 là lớp các tập con trên . F0 đợc gọi là đại số nếu
nó thỏa:
1. F0
2. A F0 thì A F0
3. A, B F0 thì A B F0 .
Ví dụ.

- (, ) là đại số trên và đợc gọi là đaị số tầm thờng.
- Lớp các tập con trên , ký hiệu 2 là đại số trên (đaị số lớn nhất).
- (A) = {, , A, A} là đại số bé nhất chứa A.
-C=

n

i=1

[ai , bi ) : < ai

= {1, 2, 3, 4}.
F0 = {, {1}, {2, 3, 4}, } là đại số trên .

bi < + là đại số trên R.

Tính chất 1.2.1.
1. F0
2. A, B F0 A B, A\B, A B F0
3. {Ai }i=1,n F0

Chứng minh.
1. Suy trực tiếp từ định nghĩa.
2. Ta có A B = (A B)

n

i=1

Ai F0 .

4


Vì A, B F0 nên A, B F0 . Suy ra(A B) F0 (theo tiên đề (3)).
Do vậy, với mọi A, B F0 thì (A B) F0 hay A B F0 .
A\B = A B F0 vì A, B F0 .
A B = (A\B) (B\A) F0 vì (A\B), (B\A) F0 .
3. Dùng quy nạp.
Với n = 2 ta có A1 A2 F0 theo tiên đề (3).
Giả sử đúng cho trờng hợp n = k, ta có
k+1

Vậy

i=1
n
i=1

1.2.2

k

Ai =

Ai F0 .

i=1

Ai Ak+1 F0 vì

k

i=1

Ai F0 (theo giả thiết quy nạp) và Ak+1 F0 .

- đại số

Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian , ta nói F là - đại số trên nếu thỏa m n các tiên đề sau:
1. F
2. A F thì A F

3. {An }nN F ta có
An F.
Tính chất 1.2.2.
1. F
2. - đại số là đại số.
3. {An }nN F

n=1

n=1

An F.

Chứng minh.
1. Hiển nhiên.
2. A, B F đặt A1 = A, A2 = B, An = n = 3, .
AB =



n=1

An F (do tiên đề 3).

3. {An }nN F {An }nN F (tiên đề 2).

Theo tiên đề 3



n=1

An F.

Sử dụng tiên đề 2 và công thức DeMorgan

n=1

An =



n=1

An F.

Không gian đo đợc
Cho không gian và F là - đại số trên . Khi đó:
- (, F) đợc gọi là không gian đo đợc.
- A F ta gọi A là đo đợc.
5


- đại số sinh
Định nghĩa 1.2.3. Cho C là lớp các tập trên . Ta nói - đại số sinh bởi C là - đại số bé nhất
chứa C. Ký hiệu: (C).
- đại số Borel trên R
- đại số Borel trên R là - đại số bé nhất chứa mọi khoảng đóng trên R.
Ký hiệu: B hay B(R) hay B1 .
Gọi C là lớp tập có dạng C = {[a, b] : < a b < +}. Khi đó (C) = B.
Bài tập:Cho a b, a, b R. Xét các tập sau:
1.(a, b)
2.[a, b)
3.(, a)
4.(, a]

5.(a, +)
6.[a, +)
Gọi C là lớp các tập có dạng nh trong 1, 2, . . . , 6. CMR (C) = B.
Lớp đơn điệu

Định nghĩa 1.2.4. Cho , M là lớp các tập trên . Ta nói M là lớp đơn điệu nếu nó chứa tất cả
các giới hạn của d y đơn điệu trong M
{An }nN M, An n A (hay An n A) A M.
Lớp đơn điệu sinh bởi C
Là lớp đơn điệu bé nhất chứa C. Ký hiệu: M(C).

Định lý 1.2.1. Cho F là lớp các tập trên . Khi đó ta có:
F là - đại số trên F là đại số, đơn điệu.
Chứng minh.
[] Giả sử F là - đại số F là đại số.
Chứng minh F đơn điệu.
Cho {An }nN F, An n A, ta chứng minh A F.
Ta có: An n A A =



n=1

An (tăng về sup).

Theo tiên đề (3) của - đại số ta có A =



n=1

An F.
6


An n A A =

Vậy F đơn điệu.


n=1

An F (theo tính chất (3) của - đại số).

[] {An }nN F ta cần chứng minh
Đặt Bn =

n

k=1


n=1

An F.

Ak F (vì có tính chất đại số).

Mặt khác Bn n

k=1

Vậy F là - đại số.

Ak F.

Định lý 1.2.2. Cho F0 là đại số trên khi đó ta có (F0 ) = M(F0 ) ( - đại số sinh bởi F0 cũng
là lớp đơn điệu sinh bởi F0 ).

Chứng minh.
[] (F0 ) M(F0 )
Ta có (F0 ) là lớp đơn điệu chứa F0 nên nó chứa lớp đơn điệu bé nhất chứa F0 . Nói khác đi
(F0 ) M(F0 ).
[] (F0 ) M(F0 )
A M(F0 ) đặt MA = {B M(F0 ) : A\B, B\A, A B M(F0 )}.
Với cách đặt MA nh trên ta đợc:
1. MA là lớp đơn điệu.
2. B MA A MB (do tính chất đối xứng đặt trên MA ).
Thực vậy, ta có A M(F0 ), MA = vì A MA .
Ta chứng minh (1). Xét {Bn } MA , Bn n B ta chỉ ra B MA .
Do M(F0 ) là lớp đơn điệu và {Bn } M(F0 ) (vì {Bn } MA ) nên suy ra B M(F0 ).
Ta có {A\Bn } M(F0 ) và (A\Bn ) n (A\B), suy ra A\B M(F0 ).
Hoàn toàn tơng tự ta suy ra B\A, A B M(F0 ).
Vậy B MA .
Việc chứng minh cho một d y Bn n B, {Bn } MA hoàn toàn tơng tự.
Vậy MA là lớp đơn điệu.
Xét A F0 bất kỳ. Với cách xây dựng MA nh trên thì MA M(F0 ). Mặt khác,
B F0 M(F0 ), A\B, B\A, A B F0 M(F0 ) (vì F0 là đại số).

Vậy B MA . Suy ra F0 MA .
Do MA là lớp đơn điệu chứa F0 nên nó sẽ chứa M(F0 ).
Kết quả trên cho ta MA = M(F0 ), A F0 .
Xét B M(F0 ) bất kỳ. Theo trên A F0 , MA = M(F0 ) nên B MA , A F0 .
Sử dụng tính chất (2) của MA ta có A F0 , A MB . Vậy nên F0 MB .
Vậy MB = M(F0 ), B M(F0 ).
Bây giờ ta chỉ ra M(F0 ) là đại số. Điều này là hiển nhiên:
- M(F0 ) (vì F0 M(F0 )).
- A M(F0 ), A = \A M(F0 ) (vì MA ).
7


- A, B M(F0 ), A B M(F0 ) (vì B MA ).
M(F0 ) là đại số và là lớp đơn điệu nên M(F0 ) là - đại số chứa F0 .
Từ đó ta đợc (F0 ) M(F0 ).

1.2.3

- đại số tích

Không gian tích
Cho hai không gian đo đợc (1 , F1 ), (2 , F2 ) với A1 1 , A2 2 . Ta định nghĩa tích Descartes:
A1 ì A2 = {(1 , 2 ) : 1 A1 , 2 A2 }.
Đặc biệt khi A1 = 1 , A2 = 2 thì 1 ì 2 gọi là tích của 2 không gian 1 , 2 .
Nếu A1 F1 , A2 F2 thì A1 ì A2 gọi là hình chữ nhật.
Nói chung: Lớp tất cả các hình chữ nhật không phải là - đại số. Khi đó - đại số bé nhất làm
cho tất cả các hình chữ nhật đó đo đợc (chứa tất cả các hình chữ nhật) đợc gọi là - đại số tích.
(1 ì 2 , F1 F2 ) gọi là không gian tích của 2 không gian (1 , F1 ), (2 , F2 ).

1.3 Hàm tập và độ đo

1.3.1 Hàm tập

Cho C là lớp các tập con trên . Hàm xác định trên C và nhận giá trị số
: C R
A C, ! x R : (A) = x
đợc gọi là hàm tập với giá trị số.
- Hàm tập đợc gọi là hữu hạn khi (A) < , A C.
- Hàm tập đợc gọi là không âm nếu (A) 0, A C.
- Hàm tập đợc gọi là cộng tính hữu hạn nếu:
{Ai }i=1,n C, Ai Aj = với i = j; i, j = 1, n và
(

n

i=1

Ai ) =

n

i=1

(Ai ).

n

i=1

Ai C, ta có

- Hàm tập đợc gọi là cộng tính đếm đợc ( - cộng tính) nếu:
{An }nN C : Ai Aj = với i = j; i, j = 1, và
(



i=1

Ai ) =



i=1

(Ai ).

- Hàm tập đợc gọi là - hữu hạn nếu ta có:
C C thì {Ck }kN C :



k=1



i=1

Ai C, ta có

Ck = C và (Ck ) hữu hạn k = 1, .

8


1.3.2 Độ đo

Định nghĩa 1.3.1. Cho không gian đo đợc (, F) và một hàm à xác định trên F và nhận giá
trị trong [0, ]. à đợc gọi là độ đo nếu à là - cộng tính ({An }nN F : Ai Aj = với

i = j; i, j = 1, thì à(



i=1

Ai ) =



i=1

à(Ai )).

- à đợc gọi là hữu hạn (ký hiệu à < ) nếu: à() < .
- à đợc gọi là cộng tính hữu hạn nếu:
{Ai }i=1,n F, Ai Aj = với i = j; i, j = 1, n, ta có:
à(

n

i=1

Ai ) =

-à là - hữu hạn nếu: {An }nN F :

n

i=1

n=1

à(Ai ).

An = và à(An ) < , n = 1, n.

Cho không gian đo đợc (, F) và à là một độ đo trên (, F). Khi đó (, F, à) đợc gọi là một
không gian có độ đo (hay không gian đo).
Đặc biệt: Khi à() = 1 thì (, F, à) đợc gọi là không gian xác suất.
Tính chất 1.3.1.
a) Nếu A F sao cho à(A) < (à(A) hữu hạn) thì à() = 0.
b) Tính cộng tính hữu hạn của độ đo.
c) Nếu A, B F và A B thì à(A) à(B).
d) Giả sử à < , A, B F và A B thì à(B\A) = à(B) à(A).
e) Nếu à < thì A, B F ta có: à(A B) = à(A) + à(B) à(A B).
f) {An }n F ta có à(



n=1

An )



n=1

à(An ) (Bất đẳng thức Boole).

Chứng minh.
a) Ta có A F : A = A + + + . . .
à(A) = à(A + + + . . .) = à(

Vì à là - cộng tính nên à(



n=1



n=1

An ) =

An ) trong đó A1 = A, Ai = i


n=1

Vì à(A) < suy ra 0 = à(A) à(A) =

b) Ta có
à(

n

i=1

n

i=1

Ai =

Ai ) = à(



i=1

i=1

à(An ) = à(A) +


n=2

à(An ) = à(

Ai , Ai = i = n + 1, .
Ai ) =

i=1

à(Ai ) =

n

i=1





n=2

n=2

à(An )

An ) = à().

à(Ai ) (do tính - cộng tính).
9

2.


c) Vì A B suy ra B = B\A + A.

Vì à cộng tính hữu hạn nên à(B) = à(B\A + A) = à(B\A) + à(A). Vì A, B F nên B\A F
suy ra à(B\A) 0. à(B) à(A).
d) Sử dụng kết quả ở câu c) và thêm tính chất à < ta có à(B\A) = à(B) à(A).
e) Ta có A B = A + B\A và B = B\A + B A.
Sử dụng tính cộng tính hữu hạn sẽ đợc à(AB) = à(A)+à(B\A) và à(B) = à(B\A)+à(B A).
Mặt khác do à < và A, B F nên ta có kết quả à(A B) = à(A) + à(B) à(A B).
f) Đặt B1 = A1
B2 = A2 \(A2 A1 )
B3 = A3 \(A3 (A1 A2 ))
..
.
Bk = Ak \(Ak (

Lúc này,


n=1

Ta có:
Và


n=1

An =

k1
i=1

i=1

Ai ))

Bi và Bi Bj = với i = j; i, j = 1, .

Bi Ai i = 1, .
à(
à(Bn )


n=1

An ) = à(


n=1


n=1

Bn ) =


n=1

à(Bn )(do tính - cộng tính).

à(An ) (vì Bn An , n).

Từ đó cho ra kết quả.

Định lý 1.3.1 (Sự liên tục của độ đo).
1. Nếu An n A thì à(An ) n à(A) (tính liên tục dới).
2. Nếu An n A và à(A1 ) < thì à(An ) n à(A) (tính liên tục trên).
Chứng minh. Cho không gian đo (, F, à) và {An }nN là d y các tập trong F đo đợc thỏa m n:
1. An n A A =



n=1

An .

Đặt B1 = A1 , Bn = An \An1 và do An n A nên có thể viết
A = A1 + (A2 \A1 ) + (A3 \A2 ) + . . . = B1 + B2 + . . .
Mặt khác à(A) = à(



n=1

An ) = à(



n=1

Do tính - cộng tính suy ra à(A) =

Bn )


n=1

à(Bn ) = limn [

n

i=1

à(Bi )] = limn à(An ).

Vậy à(An ) n à(A).
2. Ta có An n A (A1 \An ) n (A1 \A)
à(A1 \An ) n à(A1 \A) (do tính liên tục dới của độ đo)
[à(A1 )\à(An )] n [à(A1 )\à(A)] (vì à(A1 ) < )
10


à(An ) n à(A)
à(An ) n à(A).

Định lý 1.3.2. Cho F là - đại số, à là hàm tập, à : F [0, ]. à cộng tính hữu hạn. Khi đó:
a) Nếu à liên tục dới thì à là - cộng tính.
b) Nếu à liên tục tại thì à là - cộng tính.
(Ta nói à liên tục tại nếu An n thì à(An ) n 0).

Chứng minh.
a) Cho A =

Ta có

n

k=1



n=1

An , {An }nN F, Ai Aj = , i = j. Chứng minh à(A) =

Ak n A. Vì à liên tục dới nên à(

Mặt khác vì à là cộng tính hữu hạn nên à(
à(A) =



n=1

b) Giả sử A =

Đặt Bn = (A\

k=1
n

k=1

Ak ) n à(A).

Ak ) =

n

k=1

à(Ak ) n à(A).

à(An ) (do tính duy nhất của giới hạn).


n=1
n
k=1

An , {An }nN F, Ai Aj = , i = j.
Ak ) n , do vậy A = Bn +

à(A) = à(Bn ) +

n

k=1



n=1

n

k=1

Ak .

à(Ak ) (do à cộng tính hữu hạn).

Cho n thì à(Bn ) + à(
Vậy à(A) =

n

à(An ).

n

k=1

Ak ) 0 +



n=1

à(An ).

Định lý 1.3.3 (BĐT Fatou dới dạng độ đo).
Cho không gian đo (, F, à) và {An }nN đo đợc. Khi đó ta có:
1. à(lim n An ) lim n à(An ).

2. Nếu à(

Chứng minh.



n=1

1. Ta có lim n An =
n đặt Bn =
Bn = (



k=n



k=n

A k ) n

An ) < thì lim n à(An )




n=1 k=n

à(lim n An ).

Ak .

Ak ({Bn }nN là d y tăng theo n).


n=1

Bn = lim n An .

Từ tính liên tục dới của à ta có à(Bn ) n à(lim n An ).
11


n=1

à(Ai ).


Mặt khác Bn An , n à(Bn )
lim n à(Bn ) lim n à(An ).
Hay à(lim n An ) lim n à(An ).
2. Ta có lim n à(An ) =

Đặt Bn =



k=n

Ak n

Mặt khác B1 =



n=1





n=1 k=n


n=1

à(An ) n.

Ak

Bn = lim n An .

An à(B1 ) = à(



An ) < .

n=1

n

Từ định lý về sự liên tục ta có: à(Bn ) à(lim n A). (1)
Lại có An Bn n à(An ) à(Bn ), n.
lim n à(An ) lim n à(Bn ).
Kết hợp với (1) suy ra lim n à(An ) à(lim n An ).
Hệ quả. Cho không gian đo (, F, à), à < .
Nếu An A khi n thì ta có à(An ) à(A).

Chứng minh.
Vì An A khi n nên à(A) = à(limn An ) = à(lim n An ) = à(lim n An ).
Sử dụng BĐT Fatou ta có:
à(A) = à(lim n An ) lim n à(An ) lim n à(An ) à(lim n An ) = à(A) (do à < ).
Vậy limn à(An ) = à(A).
Định lý 1.3.4 (Định lý Borel - Cantelli).

Cho không gian (, F, à), {An }nN F. Nếu
Chứng minh.

Ta có lim n An =
Với Bn =



k=n

n=1 k=n



k=1

Ak à(B1 ) = à(

Sử dung BĐT Boole à(B1 ) = à(



k=1


k=1

à(Bn ) = à(

à(An ) < thì à(lim n An ) = 0.

Ak )

Ak ).


k=1

Từ định lý liên tục à(Bn ) n à(lim n An ).
Lại có 0

n=1

Ak

Ak n lim n An .

Mặt khác B1 =





k=n

Ak )

Cho n thì 0 à(lim n An )
hay à(lim n An ) = 0.



k=n

0

à(Ak ) < (theo giả thiết).

à(Ak ) (BĐT Boole), n.

12


1.3.3 Tập không đáng kể (à - không đáng kể) - Không gian có độ đo đủ

Cho không gian (, F, à) và tập A . Ta nói A là tập không đáng kể (à - không đáng kể, hay
à - không) nếu B F sao cho A B và à(B) = 0.
Gọi N là lớp các tập N là tập không đáng kể.
N = {N : N là à - không đáng kể}.
Nếu N F thì (, F, à) đợc gọi là không gian có độ đo đủ. Khi đó à đợc gọi là độ đo đủ.
Vậy trong không gian có độ đo đủ, các tập không đáng kể đều đo đợc.
Tính chất 1.3.2.
1. Nếu N1 N và N là tập không đáng kể thì N1 không đáng kể.
2. Tập N F và à(N ) = 0 thì N là không đáng kể.
3. Hợp đếm đợc các tập không đáng kể là không đáng kể.
Chứng minh.
1. Vì N là không đáng kể nên
B F sao cho N B, à(B) = 0.
Vì N1 N nên N1 B.
N1 là à - không đáng kể.
2. Hiển nhiên.
3. Xét {Ni }iN F, Ni là à - không i.
{Bi }iN F, Ni Bi và à(Bi ) = 0, i.




Ni

i=1

Vậy

i=1



i=1

Bi và à(



i=1

Ni là à - không.

Bi )



i=1

à(Bi ) = 0.

Định lý 1.3.5 (Làm đầy đủ không gian có độ đo).
Cho không gian (, F, à) và N là lớp các tập không đáng kể (à - không).
a) Nếu F = {A N : A F, N N} thì F = (F N).
b) à : F [0, ] đợc xác định nh sau:

(A N ) F, à(A N ) = à(A).
A F, à(A) = à(A).
Khi đó à là độ đo nới rộng duy nhất của à lên F (à|F = à).
c) (, F, à) là không gian có độ đo đủ.

Chú ý:
Cho không gian (, F, à) cha đủ. Làm đầy đủ không gian có độ đo (, F, à) nghĩa là đi xây
dựng (, F, à). Khi đó F đợc gọi là - đại số bổ sung cho - đại số F, à gọi là độ đo đủ.
13


Chứng minh.
Ta cần chứng minh các điều sau:
1. F = (F N).
2. Kiểm chứng à là ánh xạ.
3. à là độ đo.
4. à là duy nhất.
5. à là độ đo đủ.
1. F = (F N)
B F B = A N, A F, N N B (F N) F (F N).
Mặt khác: B (F N) ta có B = A N, A F, N N B F .
Do vậy (F N) F (F N).
Ta chứng minh F là - đại số.
- F = N (N N) F F.
- B F, B = A N, A F, N N.
Do N N nên N1 F, N N1 và à(N1 ) = 0.
Ta có B = A N = (A N1 ) ((A N ) N1 ).
F

N1 và à(N1 )=0

Vì thế ((A N ) N1 ) là tập à - không. Suy ra B F.

- Cho {Bn }nN F ta chứng minh



n=1

Bn F.

Vì {Bn }nN F Bn = An Nn . Trong đó:
An F, Nn N, n.




n=1

Bn =



n=1

(An Nn ) = (



n=1

An ) (

F



n=1

Nn ) F.

N

Vậy F là - đại số.
Sử dụng tính chất của - đại số cho ta (F N) F (F N).
2. à là ánh xạ
Giả sử A1 N1 = A2 N2 (Ai F, Ni N).
(A1 N1 )\A2 N2
(A2 N2 )\A1 N1
Mặt khác ta có: A1 \A2 A1 N1 \N2
A2 \A1 A2 N2 \N1
Từ đó suy ra A1 \A2 N2 và A2 \A1 N1
A1 A2 = (A1 \A2 ) (A2 \A1 ) (N1 N2 ).
Do N1 , N2 là tập à - không nên N1 N2 cũng là tập à - không, nghĩa là B F, N1 N2
B, à(B) = 0
14


à(A1 A2 ) à(B) = 0
à(A1 A2 ) = 0

à(A1 ) = à(A2 ).
Theo định nghĩa à: à(A1 ) = à(A1 N1 )
à(A2 ) = à(A2 N2 )
à(A1 N1 ) = à(A2 N2 )
Vậy à là ánh xạ.
3. à là độ đo
Chứng minh à là - cộng tính.
Xét {Bn }nN F, Bi Bj = và i = j.
Phải chứng minh à(



n=1

Bn ) =



à(Bn ).

n=1

Ta có:
{Bn }nN F Bn = An Nn , An F, Nn N, n





Bn =

n=1


à(

n=1



n=1

(An Nn ) = (

Bn ) = à[(



n=1

An ) (

Mặt khác Ai Aj = nên à(



n=1


n=1

n=1

An ) (



Nn )] = à(

An ) =

Cũng vậy, dựa vào định nghĩa của à thì

Nn )

n=1




n=1

n=1

n=1

An ) (theo định nghĩa).

à(An ).

à(An ) =

Vậy à là - cộng tính, hay à là độ đo trên F.


n=1

à(An Nn ) =

4. à là duy nhất
Giả sử à1 cũng là một nới rộng của à. Ta chứng minh à1 chính là à.
Thực vậy,
B F B = A N, A F, N N
à(B) = à(A) = à1 (B) (theo định nghĩa của độ đo nới rộng)
B F : à(B) = à1 (B), hay à = à1 .
Vậy à là duy nhất.
5. à là độ đo đủ
à là độ đo đủ (, F, à) là không gian đủ
F chứa tất cả các tập à - không.
Vì F = (F N) nên tất cả các tập à - không đều chứa trong F.
Sẽ chứng minh mọi tập à - không đều là tập à - không.
Thật vậy, với M là tập à - không bất kỳ M B F và à(B) = 0.
Vì B F B = A N, A F, N N.
15


n=1

à(Bn ).

Do N N nên N1 F, N N1 và à(N1 ) = 0.
Mặt khác à(B) = à(A) = 0, B = A N A N1 và à(A N1 )
Vậy (A N1 ) F, M B (A N1 ) và à(A N1 ) = 0.
Vì thế M là à - không.

à(A) + à(N1 ) = 0.

1.3.4 Độ đo ngoài - Độ đo trong

Độ đo ngoài
Cho không gian (, F, à). à : 2 [0, ] đợc gọi là độ đo ngoài nếu nó xác định với mọi
A 2 : à (A) = inf{à(B) : B F, B A}.
Độ đo trong
à : 2 [0, ] đợc gọi là độ đo trong nếu nó xác định với mọi A 2 : à (A) = sup{à(B) :
B F, B A}.
Bổ đề. Cho (, F, à), A . Khi đó A , A F:
A A A và: à (A) = à(A )
à (A) = à(A )

Chứng minh.
Ta có à (A) = inf{à(B) : B F, B A}
{Bn }nN F : à(Bn ) n à (A).
Đặt A =



n=1

Bn A A Bn , n (do A Bn )

à (A) à(A ) à(Bn ), n (BT: Giải thích sự tồn tại của à(A )).
Cho n à (A) à(A ) à (A) à (A) = à(A ).
à (A) = sup{à(B) : B F, B A}
{Bn }nN F : à(Bn ) n à (A).
Đặt A =



n=1

Bn Bn A A, n (do Bn A).

n, à(Bn ) à(A ) à (A).
Cho n : à (A) à(A )

à (A). Nói khác đi à (A) = à(A ).

Nhắc lại F = {A N : A F, N N} = (F N).
Định lý 1.3.6. Cho (, F, à), à < . Khi đó:
a) F = {A : à (A) = à (A)}.
b) à (A) = à (A) = à(A), A F.
16


Chứng minh.
a) []
Xét A F bất kỳ. Do vậy A = B N, B F, N N.
Ta chứng minh à (A) = à (A) = à(A).

Thật vậy,
Vì N N N1 F : N N1 và à(N1 ) = 0.
Xét A = B N1 F.
Rõ ràng A A và à(A ) = à(B) = à(A)
à (A) à(A).
Mặt khác, C F, C A C B à(C) à(B)
à (A) à(A).
Kết hợp với trên ta sẽ có à (A) = à(A).
Việc chứng minh cho à (A) là hoàn toàn tơng tự.
Vậy, F {A : à (A) = à (A)}.
[]
A vế phải A .
Theo bổ đề A , A F : A A A , à (A) = à(A ), à (A) = à(A ).
Vì A vế phải nên à (A) = à (A).
A , A F : A A A , à(A ) = à(A ).
à(A \A ) = 0 (do à < ).
Đặt N = A\A A \A F N N (do à(A \A ) = 0).
Vậy A = A N, A F, N N A F.
b) Theo kết quả ở câu a), à (A) = à (A) = à(A) .
Định lý 1.3.7 (Xấp xỉ).
Cho (, F, à), F0 là đại số trên , (F0 ) = F và à < . Khi đó,
> 0, A F, B F0 : à(A B ) < .

Chứng minh.
Đặt F = {A (F0 ) : ( > 0, B F0 : à(A B ) < )}.
Cần chứng minh F = (F0 ) = F.
Theo cách xây dựng F ta có F (F0 ).
Mặt khác ta có > 0, A F0 , B = A F0 : à(A B ) < A F .
Vậy F0 F (F0 ).
Vì thế ta chỉ cần chứng minh F là - đại số.

- Ta có F (vì F0 F ).
- A F > 0, B F0 : à(A B ) < .
Thêm vào đó à(A B ) = à(A B ).
> 0, B F0 : à(A B ) < A F .
- {An }nN F chứng minh



n=1

An F .

17


Đặt A =
Ta có

n

k=1


k=1

Ak .

Ak A à(

n

k=1

Ak ) à(A) < (do tính liên tục).

Suy ra N N khá lớn sao cho à(

N

k=1

Ak ) à(A).


Vì {An }nN F {Bn }nN F0 : à(An Bn ) < n+1 .
2
Với N khá lớn lại có
N
N
N
N
N

à(A
Bk ) à(A
Ak ) + à( Bk
Ak )
+
à(Bk Ak )
2 k=1
k=1

k=1
k=1
k=1
1 N
N
N
1

(
)

1

1

2
= .
= . .
<
.
k+1
k
1
2
2 k=1 2
2 2
2
k=1
1
2

Tóm lại: > 0, N > 0 sao cho B =

A F.
Vậy F là - đại số.

N

k=1


+ .
2 2

Bk F0 và à(A B ) < .

Định lý 1.3.8 (Nới rộng).
Cho (, F); à, là độ đo hữu hạn trên (, F) , F0 là đại số trên , (F0 ) = F.
Nếu à = trên F0 thì à = trên F.

Chứng minh.
Đặt = {A F : à(A) = (A)}. Cần chứng minh = F.
Theo cách xây dựng ta có F.
Theo giả thiết à = trên F0 A F0 ta đợc à(A) = (A)
A F0 .
Do vậy ta chỉ cần chứng minh là lớp đơn điệu.
{An }n , An n A à(A) n à(An ) = (An ) n (A).
à(A) = (A) A .
Tơng tự,
{An }n , An n A à(A) n à(An ) = (An ) n (A) (vì à, < ).
à(A) = (A) A .

Vì thế (F0 ) = M(F0 ) F = (F0 ).
Vậy = F.
Định lý 1.3.9 (Định lý Carathéodory).
Cho đại số F0 trên . à0 là hàm tập.
à0 : F0 [0, ] thoả:
1. à0 là - hữu hạn trên F0 .

18


2. à0 là - cộng tính trên F0 .
Khi đó ta có thể nới rộng à0 thành độ đo à duy nhất lên (F0 ).

1.3.5 Độ đo Lebesgue - Stieltjes và Hàm phân phối
Độ đo Lebesgue - Stieltjes

Định nghĩa 1.3.2.
Cho (R, B). Khi đó hàm tập à : B [0, ] đợc gọi là độ đo Lebesgue - Stieltjes nếu:
à(Ik ) < , Ik là khoảng giới nội trong R.
Hàm phân phối
F đợc gọi là hàm phân phối nếu F : R R thoả:
1. F là hàm không giảm trên R.
2. F là hàm liên tục trái x R.
Định lý 1.3.10 (Tơng ứng 1-1 giữa độ đo Lebesgue - Stieltjes và hàm phân phối).
a. Cho độ đo Lebesgue - Stieltjes à. Khi đó hàm F : R R đợc xác định bởi:
F (b) F (a) = à[a, b), a, b R, a b là hàm phân phối.
b. Ngợc lại, cho hàm phân phối F . Khi đó à đợc định nghĩa bởi (1), (2), (3) nh sau:
(1) à[a, b) = F (b) F (a)
(2) à(, a) = F (a) F ()
à[a, +) = F (+) F (a)

(3) Đặt F0 là lớp các tập có dạng tổng hữu hạn các khoảng nửa hở bên phải. A F0 , A =
n

k=1

Ik , trong đó Ik là một khoảng nửa hở bên phải.
à(A) =

n

k=1

à(Ik )

thì à là độ đo Lebesgue - Stieltjes trên (F0 ) = B.

Chứng minh.
a. Chứng minh F là hàm không giảm, liên tục trái.
- Giả sử a < b ta có F (b) F (a) = à[a, b) 0
F (a) F (b). Vậy F là hàm không giảm.
- Cho xn n x ta chứng minh F (xn ) n F (x).
Thực vậy,
xn n x [xn , x) n
à[xn , x) n à() = 0.
Lại có F (x) F (xn ) = à[xn , x) n 0
F (xn ) n F (x). Nói khác đi F (xn ) n F (x). Vì thế F liên tục trái.
19


Vậy F là hàm phân phối.

b. Chứng minh à là độ đo Lebesgue - Stieltjes.

Với F0 =
Vì à(

n

k=1

n

i=1

bi < + thì F0 là đại số trên R, (F0 ) = B.

[ai , bi ) : < ai

Ik ) =

n

k=1

à(Ik ) à cộng tính hữu hạn trên F0 .

Lại có à[n, n) = F (n) F (n) < và R =



[n, n) nên à là - hữu hạn trên đại số F0 .

n=1

Nếu thêm điều kiện à là - cộng tính trên F0 thì theo định lý Carathéodory ta có thể nới rộng à
thành độ đo duy nhất lên (F0 ).
Vậy để kết thúc chứng minh định lý ta chỉ ra à là - cộng tính. Có 2 trờng hợp:
1. F (+) F () <
2. F (+) F () =
1. F (+) F () <
Ta có à(R) = à(, +) = F (+) F () < nên à < .
Vì thế việc chứng minh à là - cộng tính tơng đơng với viêc chứng minh à liên tục tại .
Ta cần làm việc trên không gian compac R.
Định nghĩa F : R R nhờ biểu thức F () = lim F (x).
x

{An }n F0 (hay {An }n F = (F0 )) theo định lý xấp xỉ

{Bn }n F0 , Bn An , n thoả m n à(An Bn ) < n . Trong đó Bn là bao đóng của Bn trong
2
R.

Do An n ,
An = .
n=1

Vì Bn An , n = 1,

n=1

Bn = .

Mặt khác R là compact N khá lớn sao cho
Hơn nữa

An = An \

N
k=1

Bk +

à(An ) = à(An \
= à(

N
k=1

N
k=1
N

k=1

N
k=1

Bk

Bk ) + à(

An \Bk ) + à(

N

k=1
N

k=1

Vì An n A1 A2 . . . An
n > N ta có:

Bk )

Bk ).

20

Bk = .


µ(An )

µ(

n
k=1

⇒ µ(An )

µ(

Ak \Bk ) + µ(
n

k=1

n
k=1

B k ).

= 0
n

Ak \Bk )

k=1

ε
< ε.
k
k=1 2
n

µ(Ak \Bk )

VËy µ liªn tôc t¹i ∅, hay µ lµ σ - céng tÝnh.
2. F (+∞) − F (−∞) = ∞


nÕu |x| N
F (x)
§Æt FN = F (N )
nÕu x > N


F (−N ) nÕu x < −N
µN [a, b) = FN (b) − FN (a)
µN (−∞, a) = FN (a) − FN (−∞)
µN [a, +∞) = FN (+∞) − FN (a)
⇒ lim FN (x) = F (x)
N →∞

⇒ lim µN (A) = µ(A).
N →∞

Chøng minh µ lµ σ - céng tÝnh ⇔ A =
Ta cã µ(A)
⇒ µ(A)
• NÕu
• NÕu

∞

k=1
∞

k=1

µ(
lim

n

k=1
n

n→∞ k=1

Ak ) =

n

k=1

∞
n=1

µ(An ).

µ(Ak ).

µ(Ak ) = ∞ th× µ(A) =
µ(Ak ) < ∞ th× 0

n=1

An ⇒ µ(A) =

µ(Ak ), ∀n (do µ céng tÝnh h÷u h¹n).

k=1
∞

µ(Ak ) =

∞

∞

k=1

µ(Ak ) = ∞.

µ(A) −

∞

k=1

µ(Ak ).

H¬n n÷a µ(A) = lim µN (A), µN lµ σ - céng tÝnh (v× µN (R) = FN (+∞) − FN (−∞) =
N →∞

F (N ) − F (−N ) < ∞).

⇒ lim µN (A) = lim µN (
0

N →∞

µ(A) −

= lim

∞

∞

k=1

N→∞

∞
k=1

Ak ) = lim

µ(Ak ) = lim

∞

N→∞ k=1

Cho ε ↓ 0 ⇒ µ(A) =

∞
k=1

µ(Ak ).

k=1

µN (Ak )

N →∞ k=1
∞

µN (Ak ) −

N→∞ k=1
∞

[µN (Ak ) − µ(Ak )] <

∞

ε
= ε.
2k

k=1

µ(Ak )

VËy µ lµ σ - céng tÝnh trªn F0 .

21


Độ đo Lebesgue
Cho độ đo Lebesgue - Stieltjes trên (R, B) và F là hàm phân phối tơng ứng với độ đo Lebesgue
- Stieltjes. Nếu F (b) F (a) = b a, a b, a, b R.
Khi đó à[a, b) = b a và à trong trờng hợp đặc biệt này đợc gọi là độ đo Lebesgue trên R.

1.3.6 Độ đo có dấu (độ đo suy rộng)

Cho không gian đo đợc (, F). Ta nói là độ đo có dấu trên (, F) nếu:
: F [, +) (hoặc (, +]) thoả m n 2 tính chất:
- () = 0
- là - cộng tính.
Khái niệm
Tập âm và tập không âm. Cho độ đo có dấu : F [, +). Ta nói:
- A F là tập âm đối với nếu E A, E F, (E) < 0.
- A là tập không âm đối với nếu E A, (E) 0.
Phân hoạch Hahn.
Cho là độ đo có dấu trên F. Tồn tại (A, A) sao cho A là tập âm đối với và A là tập không âm
đối với . Khi đó (A, A) đợc gọi là một phân hoạch Hahn của đối với độ đo có dấu (phân
hoạch Hahn không là duy nhất).
Phân tích Jordan
Cho độ đo có dấu : F [, +), (A, A) một phân hoạch Hahn của đối với độ đo có dấu
. Ta định nghĩa + , , || là hàm tập đi từ F [0, +) xác định nh sau:
E F, + (E) = (E A)
(E) = (E A)
||(E) = + (E) + (E).
Từ định nghĩa ta có + , , || là những độ đo trên (, F). = + .

Khi viết = + nghĩa là ta đ phân tích Jordan đối với độ đo có dấu .
Bài tập chơng I

1) Chứng minh mọi d y {An }nN các tập đơn điệu thì hội tụ.
HD: Chứng minh lim n An = lim n An cho 2 trờng hợp An n , An n .
2) Tìm phản ví dụ chứng tỏ F1 , F2 là đại số nhng F1 F2 không là đại số.
3) Cho {Fn }n là d y - đại số. Chứng minh


n=1

Fn là - đại số.

4) F1 , F2 là hai - đại số. Lớp G đợc định nghĩa:
G = {A1 A2 : A1 F1 , A2 F2 }.
22


a. Chøng tá r»ng G ch−a ch¾c lµ ®¹i sè.
b. Chøng minh σ(G) = σ(F1 ∪ F2 ).
5) Cho ε1 = {[a, b] : −∞ < a b < +∞}
ε2 = {(a, b) : −∞ < a b < +∞}
ε3 = {[a, ∞) : a ∈ R}
Chøng minh:
a. ε1 , ε2 , ε3 ⊂ B. Víi B lµ σ - ®¹i sè Borel trªn R.
b. σ(εi ) = B, ∀i = 1, 2, 3.
6) Chøng minh d y {An }n héi tô ⇔ 1An héi tô. Trong ®ã
1 nÕu ω ∈ An
1An (ω) =
.

0 nÕu ω ∈
/ An

7) Chøng minh:
a. A1 ⊂ A2 ⇒ µ∗ (A1 ) µ∗ (A2 )
b. µ∗ (A ∪ B) µ∗ (A) + µ∗ (B) − µ∗ (A ∩ B).

23


Chơng 2
Tích phân Lebesgue
2.1 Hàm đo đợc
Định nghĩa 2.1.1. Cho (, F), ( , F ) là 2 không gian đo đợc. Ta nói hàm f : (, F) ( , F )
là đo đợc (còn gọi f là F đo đợc) nếu:
B F : f 1 (B) F
f 1 (F ) F.
Trong trờng hợp (, F) = ( , F ) = (R, B) và f : (R, B) (R, B) đo đợc thì f còn đợc gọi
là hàm Borel.
Mệnh đề 2.1.1.
f : R, (R, B) là không gian đo đợc. Khi đó ta có f 1 (B) = {f 1 (B) : B B} là - đại
số bé nhất để f đo đợc.

Chứng minh.
1. f 1 (B) là - đại số
- Ta có = f 1 (R). Mà R B f 1 (B).
- A f 1 (B), B B : f 1 (B) = A.
Lại có A = \A = f 1 (R)\f 1 (B) = f 1 (R\B). Vì R\B B
A f 1 (B).
-{An }n f 1 (B), chứng minh

n=1

An f 1 (B).

{An }n f 1 (B) {Bn }n B : An = f 1 (Bn ), n





n=1
1

An =



n=1

f 1 (Bn ) = f 1 (



n=1

Bn ) f 1 (B) (do

2.f (B) là - đại số bé nhất để f đo đợc
Xét F bất kỳ làm cho f đo đợc.
B B, f 1 (B) F.

24


n=1

Bn B).