Khái niệm diện tích trong dạy học môn toán học ở trung học cơ sở

Bộ
JỘ^C ™
BộGIÁO
GIÁODỤC
DỤCVÀ
VÀĐÀO
ĐÀOTẠO
TẠO
TRƯỜNG
ĐẠI
HỌC
SỬ
PHẠM
TP.
CHÍ
aằSễ] TRƯỜNG ĐẠI HỌC sử PHẠM TP. HỒ CHÍHỒ
MINH
MINH

I

Trần Đức Thuân
Trần Đức Thuân

KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH
TRONG DẬY - HỘC TỐN
Ở TRUNG
SỞ
KHÁI
NIỆMHỌC
DIỆNCơ

TÍCH
TRONG DẠY - HỌC TỐN
Ở TRUNG HỌC Cơ SỞ
Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC sĩ GIÁO DỤC HỌC
LUẬN VĂN THẠC sĩ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ THỊ HỒI CHÂU

Thành
Thành phố
phố Hồ
Hồ Chí
Chí Minh
Minh -- 2008
2008


LỊT C Ả M . ƠN
Một trong những món q tuyệt vời mà cuộc sống dành tặng cho mỗi chúng
ta
là khó khăn, thử thách, là cơ hội để vươn lên, trưởng thành hơn. Tơi đã trải qua
một
giai đoạn khó khăn, rất khó khăn. Didactic Tốn là một ngành học khó, đòi hỏi rất
cao
ở người học, người nghiên cứu... Chập chững bước đầu đến với didactic, có lẽ tơi
chưa

đưa ra được những kết quả thật xuất sắc, ấn tượng, nhưng tôi đã học hỏi được
nhiều
kiến thức quý giá và cần thiết.
Tôi muốn dành lời cảm ơn đầu tiên đến PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu. Dầu
bộn
bề cơng việc, Cơ vẫn dành nhiều thịi gian để hướng dẫn, góp ý cho các học viên
về
mặt khoa học.
Tôi muốn cảm ơn PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đồn Hữu Hải,
TS. Trần Lương Cơng Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung về sự nhiệt tình chỉ
bảo,
động viên, chia sẻ.
Tôi muốn cảm ơn PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot,
TS. Alain Birebent đã nhiệt tình góp ý về luận văn và giải đáp thắc mắc của lóp
chúng
tơi về didactic tốn.
Tơi muốn cảm ơn TS. Nguyễn Xn Tú Hun đã dành thời gian dịch tài
liệu,
luận văn cho chúng tôi.
Trần Đức Thuận


MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU .............................................................................................................1
Chương 1. DIỆN TÍCH: TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐẾN DIDACTIC............4
1. Một điều tra khoa học luận về khái niệm diện tích................................5
1.1. Những bài tốn gắn với diện tích và sự tiến triển của chúng trong

lịch sử..................................................................................................5
1.2. Khái niệm diện tích..........................................................................8
2. Từ khoa học luận đến didactic...............................................................10
2.1.....................................................................................................................

Một sự chuyển đổi didactic khái niệm “diện tích”...................................10
2.2..................................................................................................................... C

ác quan niệm về khái niệm diện tích........................................................10
2.3. Bốn tổ chức tốn học liên quan đến diện tích.................................11
2.4. Vai trị của các cơng thức tính diện tích..........................................13

Chương 2. NGHIÊN cứu MỐI QUAN HỆ THẺ CHÉ VỚI ĐỐI TƯỢNG
DIỆN TÍCH.....................................................................................15
1. Diện tích trong chương trình tốn bậc phổ thơng...................................15
1.2. Diện tích trong chương trình tiểu học..............................................16
1.2. Diện tích trong chương trình trung học cơ sở..................................16
1.3. Diện tích trong chương trình trung học phổ thơng..........................18
2. Diện tích trong các sách giáo khoa tốn tiểu học...................................18
2.1. về biểu tượng và tính chất của diện tích..........................................18
2.2. về đơn vị đo diện tích......................................................................19
2.3. về các cơng thức tính diện tích........................................................19
3. Diện tích trong sách giáo khoa Tốn 8...................................................21
3.1. về định nghĩa, tính chất của diện tích..............................................21
3.2. về các cơng thức tính diện tích........................................................23
32
3.3. về các tổ chức toán học....................................................................25


Chương 3. THựC NGHIỆM..............................................................................34

1. Thực nghiệm đối với giáo viên..............................................................34
1.1. Giới thiệu bộ câu hỏi.......................................................................35
1.2. Phân tích a-posteriori......................................................................39
1.3. Kết luận...........................................................................................40
2. Thực nghiệm đối với học sinh................................................................41
2.1. Thực nghiệm thứ nhất.....................................................................41
2.2. Thực nghiệm thứ hai.......................................................................45
3. Kết luận phần thực nghiệm....................................................................51

KÉT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN cứu TIẾP THEO....................................52
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


1

MỬBẨ.ư

>

Lý do chọn đề tài. Câu hỏi ban đầu

>

Khung lý thuyết tham chiếu

>

Mục đích nghiên cứu

>

Phương pháp nghiên cứu

1. LÝ DO CHỌN ĐÈ TÀI VÀ NHỮNG CÂU HỎI BAN ĐẦU

Tính diện tích, so sánh diện tích là những vấn đề thường gặp trong cuộc
sống
hàng ngày và trong nhiều ngành khoa học như toán học, vật lý, địa lý...
Ở Việt Nam, diện tích được đưa vào giảng dạy khá sớm, ngay từ bậc tiểu
học,
và xun suốt trong chưong trình tốn phổ thơng. Việc dạy học diện tích được chia
thành nhiều giai đoạn. Theo Chương trình Giáo dục pho thơng mơn Tốn của Bộ
Giáo
dục và Đào tạo năm 2006, những kiến thức về “diện tích” đưa vào bậc tiểu học là
những 'yếu to, kiến thức chuẩn bị” [1, tr. 8]. Chỉ từ lớp 8, học sinh mới được
nghiên
cứu đối tượng “diện tích”. Vì thế, chúng tơi quyết định chọn nghiên cứu việc dạy học
khái niệm diện tích ở trung học co sở tại Việt Nam. Điều này khơng có nghĩa
chúng
tơi
sẽ hồn tồn khơng quan tâm đến việc đưa vào diện tích ở bậc tiểu học.
Những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là:
- Khái niệm diện tích được hình thành như thế nào?
- Khái niệm diện tích có những đặc trưng nào?
- Có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích?
- Sách giáo khoa Việt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế
nào

2
trong thể chế. Nói cách khác, tùy theo thể chế được lựa chọn là thể chế toán học hay
thể chế dạy - học tốn ở Việt Nam, chúng tơi có thể trả lời được các câu hỏi: “khái
niệm diện tích được hình thành như thế nào?”, “khái niệm diện tích có những đặc
trưng nào?”, “có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích?”, “sách giáo
khoa
Việt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế nào?”.
Quan hệ R(X,0) của cá nhân X với tri thức o là tập họp các tác động qua lại
mà cá nhân X có với tri thức o. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về o, có
thể
thao tác với o ra sao. Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức o chính là
q
trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,0) và bị ảnh hưởng, chi phối bởi
quan
hệ thể chế. Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng “diện tích”
cho
phép chúng tôi biết cách hiểu của học sinh về khái niệm diện tích sau khi học, đọc
sách giáo khoa... Từ đó, chúng tơi có thể tìm được câu trả lời cho câu hỏi “cách
trình
bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm diện tích của học
sinh?”.
Mối quan hệ thể chế R(I,0), quan hệ cá nhân R(X,0) được xác định thơng
qua
nghiên cứu các tổ chức tốn học, các praxéologie. Praxéologie là một khái niệm
do
Yves Chevallard (1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối
quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức o. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là
một
bộ phận gồm bốn thành phần [T, T, 0, ©], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, T là kỹ
thuật cho phép giải quyết T, 0 là cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật T, © là lý thuyết

giải thích cho cơng nghệ 0.
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN cứu

Trong khn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tơi
trình
bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời
chúng


3
Q3. Những ràng buộc của thể chế dạy học ở Việt Nam có ảnh hưởng như
thế
nào đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh?
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN cứu

Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tôi lựa chọn khung lý thuyết tham chiếu
phù
họp và đặt ra những câu hỏi nghiên cứu Qj, ọ2, Q3.
Đe trả lời câu hỏi Qj, chúng tôi tiến hành nghiên cứu khoa học luận lịch sử
tốn
học về khái niệm diện tích. Tuy nhiên, chúng tôi không tiến hành một nghiên cứu
gốc
mà chỉ tổng kết phần phân tích khoa học luận của khái niệm diện tích trong luận
án
tiến sĩ của Baltar (1996). Để rõ hơn về cách tiếp cận hình học, chúng tơi có tham
khảo
tác phẩm “Cơ bảrì\Euclide), “Cơ sở hình học” (Hilbert). Chúng tơi điểm lại một
số
kiểu bài tốn, kiểu tình huống mà trong đó khái niệm này xuất hiện và tác động
một

cách tường minh hay ngầm ẩn, những đối tượng, khái niệm khác có mối liên hệ
với
khái niệm này, những chướng ngại có thể gặp khi tiếp cận khái niệm... Ket quả thu
được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q, và được trình bày trong
Chương 1: “Diện tích: Từ khoa học luận đến didactic”.
Để trả lời câu hỏi ọ2, ọ3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối
tượng diện tích. Thơng qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo
viên,
và
đặc biệt là sách giáo khoa, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ các kiểu nhiệm vụ, các kỹ


4

Chương 1
DJ.JĨN rí.Qi: T Ừ JfJd.GÁ.Jd.ỌC JJJẨN
r '

r

r

>

Những bài tốn gắn với diện tích trong lịch sử

>

Khái niệm diện tích

>

Sự chuyển đổi didactic khái niệm diện tích

>

Các quan niệm về khái niệm diện tích

>

Những tổ chức tốn học tham chiếu

>

Vai trị của cơng thức tính

Để trả lời cho câu hỏi Qj, chúng tơi cần phải tìm hiểu trước hết những đặc
trưng
khoa học luận của khái niệm diện tích. Thiếu sự am hiểu các đặc trưng của tri thức,
người ta khó có thể đặt ra những câu hỏi thỏa đáng liên quan đến việc dạy học tri
thức
đó.
Do điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không thể tiến hành một
nghiên
cứu gốc trên phương diện khoa học luận của khái niệm diện tích - đối tượng tri
thức
được lựa chọn để nghiên cứu trong luận văn này. May thay, chúng tôi đã tìm thấy
những kiến thức cơ sở về khái niệm đó trong các cơng trình của một số nhà
didactic
tốn. Đặc biệt, ba tác giả sau đã có những nghiên cứu khá hệ thống về khái niệm

này:


5
học ấy sẽ là cơ sở tham chiếu cho phần phân tích quan hệ thể chế được thực hiện ở
chương sau.
Hơn thế, ba tài liệu tham khảo trên còn mang lại cho chúng tôi một tiếp cận
ban
đầu về khái niệm diện tích với tư cách là đối tượng dạy - học. Cụ thể, đó là sự
chuyển
đổi didactic khái niệm diện tích, những quan điểm có thể gắn với nó và vai trị của
các
cơng thức tính. Sự tiếp cận từ góc độ didactic ấy cũng sẽ là cơ sở cho nghiên cứu
được
thực hiện tiếp theo trong khuôn khổ của luận văn.
1. MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH
1.1. Những bài tốn gắn vói diện tích và sự tiến triển của chúng trong

lịch sử
Những gì được trình bày ở đây chủ yếu được rút ra từ nghiên cứu của
Baltar (1996).
Diện tích xuất hiện từ rất lâu, nhưng chỉ được định nghĩa một cách chính
xác
từ
thế kỷ XIX.
1.1.1.
Bài tốn đo đạc, so sánh, cầu phương ở thời cồ đại
Khái niệm diện tích gắn liền với ba bài tốn: tính diện tích (đo đạc ruộng
đất),
so sánh diện tích và cầu phương một hình.

- Bài tốn tỉnh diện tích được hình thành từ nhu cầu đo đạc ruộng đất để
tính
thuế sau mỗi vụ mùa.
Các nền văn minh Ai Cập, Babylon, Trung Hoa cổ đại đều tìm được những
cơng thức riêng để tính chính xác hoặc xấp xỉ diện tích của một số hình thường
gặp:
tam giác, các loại tứ giác, hình trịn... Những cơng thức này giúp họ giải quyết
được
bài tốn đo đạc diện tích, nghĩa là tìm được số đo tương ứng với hình. Phân tích
thành
tựu tốn học thời kỳ này, Baltar khẳng định: “ở Ai Cập, Babylon, Trung Hoa, đã
có
một bước chuyến từ hình sang so đối với khái niệm diện tích” (Baltar, tr. 16).


6

•

Tiên đề 1: Hai cái cùng bằng một cái thứ ba thì bằng nhau.

•

Tiên đề 2: Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhauthì được

những
cái bằng nhau.
•

Tiên đề 3: Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được

những
cái
bằng nhau.

•

Tiên đề 4: Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau.

•

Tiên đề 5. Tồn thể lớn hơn một phần.

•

Các mệnh đề từ 34 đến 41 trong tập 1 nói về các trường hợp đẳng diện

của hình
bình hành và hình tam giác (hai hình khơng bằng nhau nhưng có cùng
diện tích).
Chang hạn : “hai tam giác có đáy bằng nhau và có các đỉnh thuộc cùng
cặp
đường thắng song song thì có cùng diện tích” (mệnh đề 38).
- Bài toán thứ ba là bài toán cầu phưong (dựng hình vng có cùng diện
tích
với một hình cho trước). Với hệ thống các mệnh đề trình bày theo trình tự phù
họp,
Euclide đã chỉ ra cách dựng một hình vng đẳng diện (có cùng diện tích) với một
đa
giác bất kỳ cho trước (mệnh đề 14, tập II). Như vậy, Euclide đã giải quyết trọn vẹn
bài

toán cầu phương một đa giác cho trước với thước thẳng và com-pa. Bài toán cầu
phương một hình bất kỳ, đặc biệt là hình trịn, với cơng cụ là com-pa, chưa được


7
này gặp phải những chướng ngại về bản chất vô hạn, phần tử indivisible, tính liên tục
và gây ra nhiều cuộc tranh luận. Thời kỳ này đặt nền tảng cho sự ra đời và phát
triển
của phép tính vi - tích phân.
1.1.3.
Bài toán xác định hàm độ đo từ cuối thế kỷ XIX
Cuối thế kỷ XIX, toán học đã đạt được nhiều thành tựu to lớn. Phép tính
tích
phân trở thành một cơng cụ hữu hiệu để giải bài tốn tính diện tích. Cũng trong
thời
kỳ
này, bài tốn cầu phương hình trịn, bài tốn khó có từ thời Hy Lạp cổ đại, được
giải
quyết. Năm 1882, Lindemann chứng minh được n là số siêu việt, nghĩa là khơng
thể
cầu phương hình trịn bằng thước và com-pa.
Một sự kiện lớn xảy ra trong thời kỳ này là một định nghĩa tốn học cho
khái
niệm diện tích đã được xây dựng. Hilbert quan tâm đến việc tiên đề hóa hình học,
xây
dựng nó thành một khoa học mà trong đó mọi khái niệm, khơng loại trừ diện tích,
đều
được định nghĩa từ một số khái niệm ban đầu (gọi là khái niệm cơ bản) và những
khái
niệm đã được định nghĩa ở trước. Nhiều nhà tốn học khác, trong đó có Lesbegue,

lại
quan tâm đến bài toán “xúc định một hàm độ đo /i từ tập họp các hình phang vào
1R+
(có thê bô sung giá trị vô hạn 00 tùy theo các hình có bị giới hạn bởi các biên hay
khơng), thỏa mãn tính chất cộng tỉnh và bất biến qua phép dời hình” (Perrin, tr.
19).
Diện tích sẽ được định nghĩa sau khi giải quyết được bài toán trên, hay cụ thể hơn
là
bài toán xác định một hàm độ đo p thỏa các tính chất:
•

Nếu Sị và s2 rời nhau, thì p(Sị u S2) = p(Sị) + p(S2) ;

•

p(S) > 0 với mọi S;

•

Với mọi phép đẳng cự g, và với mọi mặt s, ta có: p(g(S)) = p(S).


8
biệt đối với những hình khơng phải là đa giác. Đen lúc này, dường như quan điểm số
lấn át quan điểm hình trong việc giải các bài tốn về diện tích.
1.2. Khái niệm diện tích

Trong phần này, trước hết chúng tơi sẽ trình bày định nghĩa diện tích của
một
mặt đo được tùy ý, sau đó nêu những cách xây dựng khái niệm diện tích hình đa

giác,
loại hình đặc biệt mà ở chương sau sẽ được xem xét với tư cách là đối tượng dạy
học.
Các định nghĩa dưới đây được chúng tơi trích từ cơng trình của Perrin (1992) và
Baltar (1996).
1.2.1.
Định nghĩa diện tích một mặt đo được s tùy ỷ
Để xây dựng khái niệm diện tích theo lý thuyết độ đo, người ta cần phải
xác
định sự tồn tại của hàm độ đo thỏa các tính chất nêu ở trên, nói cách khác là cần
chỉ
ra
cách tìm giá trị số tương ứng với mỗi mặt s. Cách tiếp cận giải tích dưới đây cho
phép
định nghĩa diện tích của một hình phẳng bất kỳ, nhưng địi hỏi phải sử dụng đến
giới
hạn.
•

Chọn một hình vng đơn vị c (/i(C) = 1).

•

Chia nhỏ lưới các ô vuông c bằng những đường thẳng song song với các
cạnh,
chẳng hạn, chia mỗi cạnh hình vng c theo lũy thừa của 10: gọi C/ là
hình
vng
thu được khi chia mỗi cạnh hình vng c thành 10' phần bằng nhau.

•

Gọi Hi là số hình vng Ci nằm hồn tồn trong s, Ni là số hình vng
Ci
có
ít
nhất
một điểm chung với s.
N.-n.


9
trong đó o là một điểm bất kỳ được chọn trước và trước AịAị+1 là dấu + nếu o và đa
giác nằm cùng nửa nằm mặt bờ là đường thẳng AịAị+1 và mang dấu - trong trường
họp
ngược lại.
A,
—[AJA2 .d (o, AịA2) + A2Ayd (o, A2A3)
t
+A3A4.d(0,A3A4) + A4A5.d(0,A4A5)
-A5Avd{0,A5Ax)]
Điểm mấu chốt ở đây là chứng minh giá trị trên không phụ thuộc vào việc
chọn
điểm o. Diện tích định nghĩa trong họp này thỏa mãn các tính chất của hàm độ đo.
Tính bất biến của diện tích qua phép dời hình được suy ra từ tính bất biến của độ
dài
đoạn thẳng qua phép dời hình.
> Định nghĩa của Hadamard
Trong “Les leẹons de géométrie”, Hadamard (1902) có cách xây dựng tương
tự

trên, nhưng xuất phát từ trường họp tam giác: diện tích tam giác ABC không phụ
thuộc
vào cách chọn cạnh đáy và cũng không phụ thuộc vào việc chọn điểm o, nó bằng:
± diện tích ABO ± diện tích ACO ± diện tích BCO (mang dấu + nếu o nằm cùng
phía
với tam giác so với cạnh đáy được xét và dấu - trong trường họp ngược lại). Từ
trường
họp tam giác, Hadamard mở rộng cho trường hợp đa giác.
> Định nghĩa của Hilbert
Lý thuyết về diện tích của Hilbert “cho phép xây dựng khái niệm diện tích
cho
các đa giác đon giản, khơng cần chuyến qua so” (Baltar, tr. 29).
Trước hết, Hilbert đưa ra định nghĩa về hai đa giác đẳng họp, đẳng diện.
•

Hai đa giác được gọi là đẳng hợp nếu chúng có thể phân hoạch thành hữu
hạn
các
tam giác bằng nhau từng đôi.


Kỹ
Yếu tố công nghệ
thuật
'CĐS
Các công thức đại số

Yếu tố lỷ thuyết

Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật, các

11
12
cơng thức, tính chất10
của tích phân,...
Các cơng thức tích phân Giới hạn, định nghĩa và tính chât tích phân,...

xtp
Lưu
chức
ýnghệ
là tốn
trướchọc
đấyOM2
Hilbert
gắnđãvới
xây
kiểu
dựng
nhiệm
đại
sốvụ
cácsođoạn
sánhthẳng,
diện tích
cho phép
(Tss).xác
Kỹ
Kỹ
Yếu>tốTổ
cơng

Yểu
tố lỷ
thuyết
thuật
2.3.
Bốn
tổ
chức
tốn
học
liên
quan
đến
diện
tích
thuật
định đoạn thẳng bằng tích của hai đoạn thẳng khác. Như vậy, với cách xây dựng
'CĐS Các
cơng
thức
đại
số
Định nghĩa, tính chất, cơng thức tính
Điều
giải
của có thể
là:tra khoa học luận đã chỉ ra cho chúng tơi thấy có ba kiểu bài tốn gắn
Các cơng thức tích phân
tích phân
liền

Hilbert,- diện
Kỹ thuật
tích một
đại số
đa Tđs:
giác có
tínhthể
diện
hiểutích
nhưmỗi
mộthình,
bất biến
đưa về
hình
sohọc
sánhđặc
số trưng
hoặc biểu
cho
Các tiên đề, mệnh đề về diện tíchCác tiên đề, mệnh đề về diện tích
THH
với
thức
đa lịch sử tiến triển của khái niệm diện tích: tính diện tích, so sánh diện tích và cầu
của Euclide, Hilbert...
của Euclide, Hilbert...
phương
một
hình.
Neu

như
kiểu
bài
thứ
ba
người
xưa
giải
quyết
kết
giác
quả.
ấy.
Đẻ
tính
diện
tích
hình,
người
cótố
thể
sửđược
dụng
các
cơng
thức
đạiphạm
số trong
hoặc
Kỹ

thuật
hình
học
XHHtáchtốn
-taghép,
hình
để so
sánh
trong
vi
Kỹ
Yếu tố cơng nghệ
Yếu
lỷchồng
thuyết
thuật
phạm
hình
'CĐS Các
cơng2. TỪ
thức
đạiHỌC số
Định nghĩa,
tính
chất, cơng thức tính
KHOA
LUẬN
ĐẾN
DIDACTIC
vihọc.

hình
học
thì với
bài tốn
người
lại nhau
có thểthìtiếp
cậnnhau”,
từ một“Tồn
trong thế
hai
Các
mệnh
đề như
"Cácthứ
hìnhhai,
chồng
khítta lên
bằng
Các cơng thức tích phân
tích phân
quan
THH Các mệnhlớn
đề về sự
2.1.đắng
Mộtdiện
sự chuyển đổi didactic
niệm “diện
tích”
mệnh

đềkhái
về
tích
điểm hình hay số, hoặc kết Các
họp cả
hai quan
điểmdiện
đó. Ở
đây(hình)
thuật ngữ quan điểm sổ
Trong các cơng trình của
Perrin
(1992),
Baltar
(1996),
chúng tơi tìm thấy
Các
cơng
thức
tính
diện
tích
(số)
được hiểu theo nghĩa nó đặt tương ứng diện tích với một số, cịn quan điểm hình thì
cách
Kỹ
Yếu tổ cơng nghệ
Yếu tổ lý thuyết
dựa trên những khái niệm như đẳng họp, đẳng diện để xem xét diện diện tích một
thuật

theo lớp tương đương và diện tích mang nghĩa đại
XĐS Các cơng tiếp
thứccận
đại khái
số niệm diện tích
Tính chất diện tích, cơng thức tính
hình.
lượng,
diệnchắn
tích sẽ
hình
Những bài tốn này chắc
là chữ
một nhật
phần khơng thể thiếu trong dạy đặc
trưng
cho
một
lóp
các
hình
và
khơng
phụ
thuộc
14, tập II, bộ CơBảng
bản 1.2. Tổ
Các
mệnh
đềhọc

củaOM2
Euclide
chức
tốn
gắnvào
vớicách
kiểu chọn
nhiệmđơn
vụ vị
Tssđo diện
tHH Mệnh đềhọc
tích.
> To chức toán học OM3 gắn với kiểu nhiệm vụ tìm tỉ số diện tích (Tts). Kỹ thuật
“diện
tích”. một
Việc xác định tổ chức toán học tham chiếu gắn với những bài tốn trên
“Neu
giải cóchọn
thể là: mặt đơn vị A và xác định được ánh xạ pA tương ứng, ta có thể xây
sẽ
dựng một
tương
đương
rAdiện
nhưtích
sau:mỗi hình và lập tỉ số hai số đo diện tích.
- Kỹquan
thuậthệđại
số xĐS:
tính

cho chúng tơi một cơ sở để phân tích,
đối
chiếu,
đánh
giá các tổ chức tốn học cần
SrAS’ nếu
ỊẤA(S)
= pA(S’)
Để
xây
tính diện
tíchthuật
hình, người
có thểchia
sử dụng
các cơng
đại số
hoặc
tíchnhau
phân.
- Kỹ
họctaXHH:
mỗi khoa.
hình
thànhthức
những
phần
bằng
và
dựng khi

phân tíchhình
chương
trình, sách
giáo
Các lópnhiều
tương
này
khơng
việc
Ả. Chúng
gọitỉ
tìm Trong
bàiđương
tốn so
sánh
diệnphụ
tíchthuộc
ngườivào
ta có
đềchọn
cập đến
vấn đềtatìm
a
được tỉdiện
số diện tích thơng qua tỉ số các phần tích
tương ứng.
sổ
A là
tương
theohỏi

quan
hệ tương
đương
rA và
định
nghĩa
diện tíchcủa
của
hailớp
hình.
Neuđương
để trảcủa
lờiAcâu
so sánh
ta chỉ
cần cho
biết
diện
tích
độ
đo
của
hình
diện tích a là độ đo của các mặt của a. Khi đó, chúng ta có biểu đồ giao
này lớn hơn hay bé hơn diện tích hình kia, thì bài tốn tìm tỉ so diện tích địi hỏi
hốn:
phải
s ^ >_M+
X, thể
/lnA

với
mọi
Btốn
thuộc
thì:
X{B)
(5 trả
, nhiệm
mA(Ị3)
= tốn thứ
cho một kết quả Bảng
cụ
hơn.
thế
mà skỹ
thuật
tìm
lời cho
1.3.
TổCũng
chứcvì
học
OM3
gắn
với=câu
kiểu
vụbài
Tts
pẨ(B)
”

aOM4
> Tổ
tốn học
vớikhác
kiểu so
nhiệm
vụ giải
cầu bài
phương
hai
nàychức
sẽ mang
những
đặcgắn
trưng
với lời
tốn đa
so giác
sánh.(TCp). Kỹ
Cách
tiếp
cận theo
lóptách
tương
đương
vừa tìm
nêu tỉcósonhiều
khả năng
xuất
thuật giải

có đó,
thể chúng
là:
Vì
lẽ
tơi sẽ
riêng
bài tốn
diện tích
ra khỏi
bàihiện
tốn
XĐS:
tính
diện
tích
hình,
từ
đó
tìm
các
độ
dài
cần
thiết
để
dựng
hình.
trong
so

- Sử dụng cơng cụ tích phân (xtp) để tính diện tích của các hình khả tích.
- xHm
của
Euclide.
dạy - học
kháidựng
niệm hình
diện theo
tích, các
đặcmệnh
biệt làđềkhi
thiết
lập mối quan hệ giữa hình và số.
Mối quan hệ hình - số này có thể được thiết lập trực tiếp hoặc qua một hình trung
gian
có cùng diện tích.
Tổ về
chức
tốn
họcdiện
OMitích
gắn với kiểu nhiệm vụ Ttính
2.2. CácBảng
quan1.1.
niệm
khái
niệm
Bảng 1.4. Tổ chức toán học OM4 gắn với kiểu nhiệm vụ Tcp

13

2.4. Vai trị của các cơng thức tính diện tích

Các cơng thức tính được xem như phương tiện cho phép chuyển từ phạm vi
hình học sang phạm vi số. Nhờ chúng, người ta tính ra số đo diện tích và cũng thể
hiện
mối quan hệ hàm số giữa các yếu tố của hình (như cạnh, góc) với diện tích của nó.
về vấn đề này, Valentina (2005) đã đặc biệt quan tâm đến ba kiểu nhiệm vụ
sau
khi nghiên cứu các sách giáo khoa của Pháp và Ý.
• Kiểu nhiệm vụ Tiv: Tính diện tích một hình đa giác.
• Kiểu nhiệm vụ T2v: So sánh diện tích một đa giác với một trong các bộ
phận của nó.
• Kiểu nhiệm vụ T3v: Chứng minh tỉ số diện tích của một đa giác với
một
bộ
phận của nó bằng một số cho trước.
Đây là các kiểu nhiệm vụ Ttính, Tss, Tts, với hình được xét là đa giác.
Valentina
chỉ rõ các yếu tố còn lại (li, 0i, 0i) của những tổ chức toán học liên quan đến Tiv,
T2v,
T3v được đưa vào như thế nào trong sách giáo khoa tốn ở Pháp và Ý, theo nhiều
chương trình khác nhau, áp dụng từ đầu thế kỷ XX đến đầu thế kỷ XXI. Điểm
chung
của các chương trình, sách giáo khoa là:
• Kỹ thuật giải Ti cho kiểu nhiệm vụ Tlv là sử dụng cơng thức tỉnh diện
tích
đa giác (phạm vi sổ);
• Kỹ thuật giải x2 cho kiểu nhiệm vụ T2v là sử dụng cơng thức tỉnh diện

tích
đa giác (phạm vi sổ).
• Kỹ thuật giải x3 cho kiểu nhiệm vụ T3v là chia đa giác thành các tam
giác
cỏ
cùng diện tích (và/hoặc bằng nhau) (phạm vi hình học).
Cả hai kỹ thuật giải Xi x2 ở trên đều phải dựa vào các công thức tính diện
tích,
hay nói cách khác, chúng có chung yếu tố cơng nghệ 0 là các cơng thức tính diện
tích.


14

Chúng tơi đã trình bày các cách tiếp cận khái niệm diện tích mà chúng tơi
tổng
hợp được từ các tài liệu tham khảo. Sách giáo khoa Việt Nam chọn cách tiếp cận
nào?
Sự lựa chọn của sách giáo khoa dẫn đến hệ quả gì? Chúng tơi nỗ lực tìm câu trả


15

Chương 2
PGmíii' cứu ]\TỚJ. QUẤN J1Ệ TJ1Ể CJÌÚ
VỚT B 0 ĩ rươi TQ D ĨẺI ĩ TÍCH

>

Diện tích trong chương trình tốn phổ thơng

>

Diện tích trong các sách giáo khoa tiểu học

>

Diện tích trong sách giáo khoa lớp 8

Nghiên cứu ở chương 1 đã chỉ ra rằng vấn đề gắn liền với việc định nghĩa
diện
tích trong lý thuyết độ đo là xác định một ánh xạ từ tập hình vào tập số. Chúng ta
cũng
đã chỉ ra bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích các hình phẳng.
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng
diện tích. Thể chế mà chúng tơi đặc biệt quan tâm là việc dạy học tốn ở lóp 8 theo
chương trình và sách giáo khoa hiện hành. Chúng tơi sẽ phân tích chương trình,
sách
giáo viên, sách bài tập và đặc biệt là sách giáo khoa để tìm câu trả lời cho các câu
hỏi
Ơ2, Q3:
•

Khái niệm diện tích các đa giác được trình bày như thế nào trong
sách
giáo khoa lóp 8 hiện hành?

•

Những tổ chức tốn học nào liên quan đến diện tích được đưa vào

sách
giáo khoa?

•

Có những quy tắc nào của họp đồng didactique?

1. DIỆN TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN BẬC PHỔ THƠNG


16
- M3 để chỉ sách giáo khoa toán 3, M4 để chỉ sách giáo khoa toán 4, M8 để

chỉ
sách giáo khoa toán 8 - tập một;
- E8 để chỉ sách bài tập tốn 8 - tập một.
1.2. Diện tích trong chương trình tiểu học

Mục tiêu của bài đầu tiên, “Diện tích của một hình’’ là giúp học sinh:
“— Làm quen với khái niệm diện tích. Có biếu tượng về khái niệm diện tích
qua
hoạt
động so sảnh diện tích các hình.
- Biết được: Hình này nằm trọn trong hình kia thì diện tích hình này bẻ
hơn
diện
tích
hình kia. Hình p được tách thành hai hình M v à N thì diện tích hình p bằng
tong
diện

tích hai hình M và N. ” (G3, tr. 234)
Nói cách khác, học sinh biết “sơ sánh diện tích hai hình trong một so
trường
hợp đon giản (bằng cách đếm so ơ vng trong moi hình rồi so sánh các sổ ơ
vng
đó hoặc bằng cách chồng hình lên nhau)" (CT, tr. 51). Học sinh có thế giải quyết
bài
tốn so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hình học mà không cần sử dụng công
thức để chuyển sang phạm vi số. Những trích dẫn trên cho thấy khái niệm diện
tích
được tiếp cận từ quan điểm hình học.
Sau đấy, chương trình lớp 3 đưa vào các đơn vị đo diện tích, các quy tắc
tính
diện tích của hình chữ nhật, hình vng. Lưu ý rằng, ở lớp 3, học sinh chưa được
học
về biểu thức chứa chữ nên thay vì “cơng thức tỉnh”, người ta nói đến “quy tắc
tỉnh".
Đẻ tính diện tích, học sinh áp dụng các quy tắc (phát biểu ở dạng lời). Tên gọi
công
thức chỉ xuất hiện sau khi học sinh học về biểu thức chứa chữ ở lớp 4, và quy tắc
tính
diện tích hình chữ nhật được trình bày lại dưới dạng một công thức ở trang 74,
M4.


17
tích hình trịn, diện tích hình quạt trịn mà khơng đưa vào định nghĩa, tính chất diện
tích trong phần lý thuyết. Do đó, chúng tơi tập trung nghiên cứu về diện tích đa
giác
ở

lóp 8.
Đối với diện tích, chương trình tốn trung học cơ sở đặt ra các mục tiêu
* về kiến thức:
“Hiếu cách xây dựng cơng thức tính diện tích của hình tam giác, hình
thang, các hình
tứ giác đặc biệt khi thừa nhận (không chứng minh) công thức tỉnh diện tích
hình chừ
nhật”
* về kỹ năng:
- Vận dụng được cơng thức tỉnh diện tích các hình đã học.
— Biết cách tính diện tích của các hình đa giác lồi bằng cách phân chia
đa giác đỏ
thành các tam giác. (CT, 118)
G8 CÓ đề cập đến việc vận dụng các tính chất của diện tích, phân chia một
hình
thành các đa giác đơn giản thay vì chỉ chia thành các tam giác. Theo mục tiêu trên,
việc thiết lập các công thức, sử dụng công thức là trọng tâm của chương trình.
Nghiên cứu G8, chúng tơi tìm thấy đoạn tài liệu tham khảo sau ở trang 167:
Diện tích đa giác
Trong tốn học, người ta đã chứng minh được mệnh đề: Mỗi đa giác p bao
giờ
cũng
tương ứng một và chỉ một số thực dương Sp thỏa mãn các tính chất sau:
1.

Hai đa giác bằng nhau thì hai số tương ứng bằng nhau, nghĩa là:
Nếu p = Q thì Sp = SQ.

Neu có một đa giác được chia thành những đa giác khơng có điểm trong
chung

thì
số tương ứng với đa giác bằng tổng các số tương ứng với các đa giác thành phần,
2.


18
Đưa ra mệnh đề trên, Việt Nam đã lựa chọn xây dựng khái niệm diện tích
thơng
qua giải quyết bài tốn trong lý thuyết độ đo. Sự tồn tại và duy nhất của hàm độ đo
được thừa nhận, vấn đề còn lại là xác định quy tắc tìm ảnh của hàm độ đo ấy, hay
nói
cách khác là cách xác định số thực dương Sp gắn với đa giác p. Chính vì thế mà
các
cơng thức tính diện tích được quan tâm xây dựng. Chúng ta sẽ làm rõ hơn về việc
hình
thành các cơng thức tính diện tích trong phần phân tích sách giáo khoa.
Cũng cần lưu ý rằng, ở Việt Nam, học sinh bậc trung học cơ sở được học
hình
học một cách hệ thống với các định nghĩa, định lý, lập luận chặt chẽ. Những tri
thức
hình học cần thiết cho dạy học diện tích đa giác ở lóp 8 cũng được đưa vào trước
đấy,
chẳng hạn: hai tam giác bằng nhau, các trường họp bằng nhau của tam giác được
đưa
vào giảng dạy từ lóp 7...
1.3. Diện tích trong chương trình trung học phổ thơng

Ở lóp 10, ngồi cơng thức s = — ah , học sinh được học thêm một số cơng
thức
tính diện tích tam giác trong chương hệ thức lượng trong tam giác như:

= J p { p - a ) ( p - b ) { p -c), s = — abúnC, s =

, s = pr. Đến lóp 12, hoc sinh

2
4R
làm quen với khái niệm diện tích hình thang cong. Tích phân được sử dụng như một
cơng cụ hữu hiệu để hợp thức các cơng thức tính diện tích, thể tích đã học và để
tính
diện tích một số hình phẳng...
Như vậy, bậc Trung học phổ thơng (lóp 10, lóp 12) cung cấp thêm các cơng
cụ
để tính diện tích một hình, mà trong đó tích phân là một cơng cụ khá mạnh. Chúng
ta


19
• Hình (A gồm 5 ỏ vng như

nhau.
Hình
â& cũng gồm 5 ơ vng như
thế.
Ta nói: Diện tích hình cA bằng
diện
tích
hình <ẵB.
• Hình ỄP gồm 10 ỏ vng như
nhau
được

tách thành hình cil/l gồm 6 ơ
vng
và
hình
Jf gồm 4 ị vng.
Ta nói: Diện tích hình cP bằng
tổng
diện
tích hình 0*1 và hình cAT.
Qua hoạt động (1), học sinh được làm quen với khái niệm diện tích, có biểu
tượng về khái niệm diện tích. Hoạt động được thực hiện trong phạm vi hình học,
chưa
có bước chuyển sang phạm vi số. Diện tích của hình (khơng nhất thiết phải là đa
giác)
có thể được hiểu như phần mặt phẳng hình chiếm đóng, đặc trưng hình học của
các
miền trong mặt phang.
Một kiểu nhiệm vụ đã được đưa vào: so sánh diện tích hai hình (Tss). Kỹ
thuật
giải là chồng hình lên nhau. Yeu tố cơng nghệ là tính chất “hình nằm hồn tồn
bên
trong có diện tích bẻ hơn”. Đây là một tính chất quan trọng, được mặc nhiên thừa
nhận, cho phép so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hình học và được sử dụng
khi
xây dựng khái niệm tích phân ở lóp 12.
Kỹ thuật chồng hình tỏ ra kém hiệu quả trong hoạt động (2). Bắt đầu có
bước
chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ
so
sánh, học sinh “có ỷ niệm “đo” diện tích qua các ơ vng đon vị” (G3, tr. 235).

20
chữ nhật được quy về sổ ô vuông đơn vị cần phủ kín hình chữ nhật ấy. Diện tích được
tính bởi một con số đi kèm với đon vị đo. Giá trị số được tìm nhanh nhờ thực hiện
phép nhân thay vì phép đếm. Các quy tắc tính phát biểu bằng câu văn được trình
bày
lại dưới dạng cơng thức ở trang 74, M4. Các công thức cho phép thực hiện bước
chuyển từ phạm vi hình học sang số, bài tốn so sánh diện tích hai hình đưa về bài
tốn so sánh hai số, thậm chí khơng cần đến hình vẽ mà chỉ cần kích thước các
cạnh
cần thiết.
Ở bậc tiểu học, cơng thức tính diện tích đa giác được đưa vào theo trình tự:
1. Diện tích hình vng đơn vị (lóp 3);
2. Quy tắc tính diện tích hình chữ nhật;
3. Quy tắc tính diện tích hình vng (lóp 3);
4. Cơng thức tính diện tích hình bình hành;
5. Cơng thức tính diện tích hình thoi (lóp 4);
6. Cơng thức tính diện tích hình tam giác;
7. Cơng thức tính diện tích hình thang (lóp 5).
Điểm chung khi thiết lập các cơng thức mới ở bậc tiểu học là cắt - ghép
hình
để
đưa về hình chữ nhật có cùng diện tích (phạm vi hình học), hay nói cách khác là
phải

Diện tích hình bình hành ABCD bằng diện tích hình chữ nhật ABIH.
Diện tích hình chữ nhật ABIH là a X h.
Vậy diện tích hình bình hành ABCD là a X h.
Diện tích hình bình hành bằng độ dài đáy nhân với chiêu cao (cùng

một
đon vị đo).
s = axh
(S là diện tích, a là độ dài đáy, h là chiều cao của hình bình hành).
Riêng đối với hình thang thì người ta cắt - ghép thành hình tam giác. Kỹ
thuật
cắt - ghép mảnh bìa được sử dụng vì ở tiểu học, học sinh chưa học về các hình
(tam
giác) bằng nhau, và do đó chưa thể sử dụng lập luận toán học về sự bằng nhau của
hai


21
khác: tìm được một hình chữ nhật (có chiều dài, chiều rộng là a, h) có cùng diện tích
với hình đã cho.
Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật được hợp thức trong trường họp các
cạnh là số tự nhiên và được ngầm mở rộng, thừa nhận cho trường họp phân số, số
thập
phân... chẳng hạn như trong bài phép nhân phân số:
4
,
2
“Tỉnh diện tích hình chữ nhật cỏ chiêu dài — m v à chiêu rộng — m.
5
3
Đe tính diện tích của hình chữ nhật trên ta phải thực hiện phép nhân:
|x|.”(M4,tr. 132)
3. DIỆN TÍCH TRONG SÁCH GIÁO KHOA TỐN 8

Chương “Đa giác. Diện tích đa giác” trong M8 gồm có sáu bài:

•

Đa giác. Đa giác đều

•

Diện tích hình chữ nhật

•

Diện tích tam giác

•

Diện tích hình thang

•

Diện tích hình thoi


22
“Xét các hình 'd, 08, % 3, ề vẽ trên lưới kẻ ơ vng, mỗi ỏ vng là một
đem
vị
diện
tích.
a) Kiếm tra xem có phải diện tích hình 'd là diện tích 9 ơ vng, diện tích
hình
M

cũng
là diện tích 9 ỏ vng hay khơng?
Ta nói: diện tích hình 'd. bằng diện tích hình ểB.
b) Vì sao ta nói: diện tích hình 3 gấp 4 lần diện tích hình (€?
c) So sánh diện tích hình 9? với diện tích hình (M8, tr. 116)
“Diện tích hình 'd là diện tích 9 ơ vng”. Như vậy, diện tích của một hình
mang nghĩa số ơ vng đơn vị cần phủ kín hình ấy.
Sau hoạt động vừa nêu, M8 đưa ra nhận xét (tr. 117):

dương.

•

Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích
đa
giác
đó.

•

Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa giác là một so

Chúng tôi nhận thấy, sách giáo khoa đã xây dựng khái niệm diện tích theo
tinh
thần của lý thuyết độ đo. Hai nhận xét ở trên thừa nhận sự tồn tại của một ánh xạ ỊẤ đi
từ tập hợp các đa giác vào tập họp các số thực dương R+, và số đo p (P) được gọi là
diện tích của đa giác p. vấn đề là ánh xạ p ấy có những tính chất gì, và tìm số đo
p (P) của đa giác p ra sao?
Các tính chất đặc trưng của diện tích đa giác được thừa nhận ở trang 117:
1.

Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.

2.

Neu một đa giác được chia thành những đa giác khơng có điểm trong
chung
thì
diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.


Tiểu học

Trung học cơ sở

Trình tự đưa vào cơng thức
1. Diện tích của hình chữ nhật

23
24

1. Diện tích hình chữ nhật

2. Diện tích hình
2.tam
Diện
tích
hình
vng/tam
cách vng

chia
đa giác
thành
giác
vàcần
dựathiết
vào
tính ánh
chấtgiác
hiện
Sự tồn
tại và
thỏacác
các
tính
chất
của
xạcộng
diệntính
tíchđể/ithực
đã được
3. Diện tích hình
tính bình hành

vng
thừa
4. Diện tích hình
3. Diện
tích hình
tam giác nét đặc trưng của các sách

tốn thoi
đại
số.vng
Để nhìn
nhận.
Hình
đơnrõvịsực tiến
đượctriển
chọncủa
làmchương
đơn vịtrình,
đo diện tích (p(C) = 1). vấn đề
5. Diện tích hình
4. Diện tích hình thang/hình bình
giáo tam giác
tìm
cơng
thức tính diện tích.
hành
6. Diện tích hình thang
5. Diện tích tứ giác có hai đường
3.2. về các cơng thức tính diện tích
chéo
Kỹ thuật chủ yếu được dùng- khi
đưađầu
vàotiên
cơngđược
thứcđưa
mớivào cơng thức tính diện tích ở bậc trung học cơ
Hình

sở
Cắt - ghép hình để có hình chữ nhậtPhân chia hình thành các tam giác và
cũng là hình chữ nhật. Cơng thức được thừa nhận, khơng chứng minh:
tương đương - cùng diện tích (phạm vi thực hiện tính tốn đại số trên các
Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước
hình học)
cơng
của nỏ:
thức (phạm vi đại số)
s
=
a.b
(M8,tr. 117)
Chúng tơi nhắc lại rằng, trong tình huống thiết lập quy tắc tính diện tích
hình
chữ nhật ở tiểu học, số đo các cạnh là số tự nhiên. Sau đó, ngầm mở rộng cho
trường
họp số đo các cạnh là phân số, số thập phân. Vì lỷ do sư phạm và chứng minh chặt
chẽ
đòi hỏi các kiến thức về giới hạn, sách giáo khoa lóp 8 thừa nhận, khơng chứng
minh
Cơng thức tính diện tích hình tam giác vng: s = — .a.b
Cơng thức tính diện tích tam giác

s = —.a.h được chứng minh bằng cách xét

các trường họp tam giác vng, tam giác nhọn, tam giác tù. Tuy có sự chia hình, làm
xuất hiện các tam giác vng, nhưng cơng thức tính diện tích tam giác được ưu
tiên
chứng minh dựa trên các tính tốn đại số thay vì đưa về hình chữ nhật tương

đương.
Ví
dụ về trường hợp tam giác nhọn được trình bày ở trang 121:
“Tam giác ABC được chia thành hai tam giác vuông BHA và CHA, mà:
SBHA = 2 BH.AH, SCHJ = ì

HC.AH

Vậy SJBC = - (BH + HC).AH = - BC.AH ”
- Với các tứ giác đơn giản khác (hình thang, hình bình hành, hình có hai