SKKN rèn luyện kĩ năng giải toán về hàm số cho học sinh lớp 12 THPT (123 trang)

SKKN Rèn luyện kĩ năng giải toán về hàm số cho học sinh lớp 12 THPT

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
- Trong nội dung chương trình môn Toán lớp 12 THPT, đạo hàm và
ứng dụng của đạo hàm có vai trò rất quan trọng nó chiếm một khối lượng
lớn kiến thức và thời gian học của chương trình, nó có mặt ở hầu hết các đề
thi tốt nghiệp và đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng. Vì vậy việc sử
dụng đạo hàm để giải các bài toán về hàm số là điều cần thiết và bổ ích đối
với HS lớp 12 trung học phổ thông.
Thực tế dạy và học toán ở trường phổ thông cho thấy HS còn rất
lúng túng và khó khăn khi sử dụng phương pháp đạo hàm để giải các bài
toán về cực trị, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số, chứng minh
bất đẳng thức và đặc biệt là các bài toán hàm số chứa tham số.
- Nhiệm vụ hàng đầu của môn toán ở trường trung học phổ thông là
truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng cho HS vì thế việc rèn luyện cho
HS kĩ năng sử dụng đạo hàm để giải các bài toán hàm số cũng góp phần
thực hiện nhiệm vụ môn toán .
Từ những lý do trên, để giúp HS có kĩ năng ứng dụng đạo hàm để
giải các bài toán hàm số, chúng tôi chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải
toán về hàm số cho học sinh lớp 12 THPT ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng được hệ thống bài tập và đề xuất các biện pháp nhằm rèn
luyện cho HS những kĩ năng sử dụng đạo hàm để giải các bài toán về hàm
số
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Khách thể nghiên cứu của đề tài là kĩ năng giải toán của học sinh nói
chung và kĩ năng giải toán về hàm số của học sinh lớp 12 THPT nói riêng.

1

3.2. Đối tương nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là một số hệ thống câu hỏi và bài
tập về hàm số và ứng dụng của hàm số nhằm rèn luyện kĩ năng sử dụng đạo
hàm để giải các bài toán về hàm số
4. Giả thuyết khoa học
Nếu triển khai một cách hợp lí các biện pháp rèn luyện kĩ năng cho
HS thông qua việc giải một hệ thống bài tập đa dạng thì sẽ giúp HS thành
thạo việc ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về hàm số và góp phần
nâng cao hiệu quả dạy học.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu về lí luận dạy học môn toán, về kĩ năng giải
toán.
5.2. Nghiên cứu thực tiễn
- Phương pháp điều tra, quan sát: Điều tra thực trạng dạy học chương
đạo hàm và ứng dụng của nó để giải các bài toán về hàm số.
- Phương pháp thử nghiệm sư phạm: tiến hành thử nghiệm sư phạm
ở một số lớp 12 THPT để kiểm tra giả thuyết khoa học và tính hiệu quả của
đề tài..
6. Phạm vi, thời gian nghiên cứu
6.1. Cơ sở của vấn đề nghiên cứu
Theo điều 28 Luật Giáo dục 2005: "Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù
hợp với đặc điểm tâm lý của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương
pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
6.2. Phạm vi nghiên cứu
Thực trạng rèn luyện kĩ năng giải toán nói chung và kĩ năng giải toán

về hàm số nói riêng hiện nay ở Việt Nam.
2


6.3. Thời gian nghiên cứu
Đề tài được thực hiện trong thời gian từ tháng 8 năm 2012 đến tháng
3 năm 2013, cụ thể:
Chương 1: 15/8/2012 – 10/11/2012
Chương 2: 10/11/2012 – 16/01/2013
Chương 3: 16/01/2013 – 15/3/2013

3


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán
1.1.1. Kĩ năng
Theo từ điển Hán Việt của Phan Văn Các, “kĩ năng là khả năng vận
dụng tri thức khoa học vào thực tiễn’’ trong đó khả năng được hiểu là sức
đã có ( về mặt nào đó ) để có thể làm tốt công việc.
Như vậy kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào
đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu ta tách riêng tri
thức và kĩ năng để xem xét thì tri thức thuộc về phạm vi nhận thức, thuộc
về khả năng “biết”còn kĩ năng thuộc về phạm vi hành động, thuộc khả năng
“biết làm”.
Kĩ năng có các tính chất sau:
+) Kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết- đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách đi đến kết

quả -hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó. Kiến thức là cơ
sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất
của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với
tư cách là công cụ của hành động. Như vậy kĩ năng giải toán cũng phải dựa
trên cơ sở tri thức toán học ( bao gồm kiến thức, kĩ năng, phương pháp). Do
vậy nói đến kĩ năng giải toán không thể tách rời với phương pháp toán học
nhằm hình thành và rèn luyện những kĩ năng đó.
+) Vai trò quan trọng của kĩ năng là góp phần củng cố kiến thức, cụ
thể hóa, chính xác hóa lại kiến thức. Điều này vừa là tính chất, đồng thời
vừa là một mục tiêu quan trọng trong dạy học: Chú ý đến rèn luyện và phát
triển kĩ năng cho HS, từ đó làm cơ sở cho việc kiểm tra, củng cố lại kiến

4


thức, dần từng bước tiếp thu kiến thức và kĩ năng mới phù hợp với sự phát
triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc sống.
+) Kĩ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động và bằng hoạt động.
Kĩ năng và tri thức thống nhất trong hoạt động. Tri thức là cần thiết để tiến
hành các thao tác, độ thành thạo của các thao tác được hiểu như là kĩ năng,
các thao tác này được thực hiện dưới sự kiểm tra của tri thức. Con đường đi
từ chỗ có tri thức đến chỗ có kĩ năng tương ứng là con đường luyện tập. Nội
dung của sự luyện tập này rất phong phú. Nói như vậy là để khẳng định vai
trò quan trọng của việc tổ chức các hoạt động học tập trong quá trình hình
thành và phát triển kĩ năng cho HS. Nhưng cũng đồng thời phải chú ý rằng
các hoạt động phải được người học thực hiện nhiều lần, mang tính liên tục
và đến một mức độ nhất định nào đó, kĩ năng mới được hình thành.
+) Nói đến kĩ năng ta cũng cần phân biệt với kĩ xảo. Kĩ năng và kĩ
xảo có điểm tương đồng, đều là khả năng của con người được hình thành
trên cơ sở của tri thức và của chủ thể trong quá trình tiến hành hoạt động và

quá trình tập luyện, đều là cách thức của hành động. Tuy nhiên kĩ năng và
kĩ xảo có những điểm khác biệt như sau: kĩ năng yêu cầu độ linh hoạt, sáng
tạo của chủ thể cao trong khi kĩ xảo thiên về khuôn mẫu, máy móc. Kĩ xảo
có trước và là tiền đề để có kĩ năng.
Kĩ năng có tính ổn định nhưng không bền vững như kĩ xảo. Trong
quá trình hoạt động, qua thời gian, kĩ năng có thể được bổ sung hoặc rút
ngắn đi, hoặc thay đổi. Kĩ năng thực hiện một hoạt động nào đó có thể mất
đi sau một thời gian đồng thời cũng có thể được tái hình thành ( thường thì
sau một thời gian ngắn hơn thời gian hình thành kĩ năng đó).
+) Theo như đã trình bày, kiến thức là cơ sở của kĩ năng, do đó tùy
theo nội dung kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có những yêu cầu rèn
luyện kĩ năng tương ứng. Con đường đi từ kiến thức đến kĩ năng là rất
phong phú và nó phụ thuộc vào nhiều tham số như kiến thức xác định kĩ
năng, yêu cầu rèn luyện kĩ năng, mức độ chủ động, tích cực của HS,…Con
đường tốt nhất và đảm bảo tính sư phạm là sự tham gia hoạt động và bằng
hoạt động chủ động, tích cực, độc lập của chủ thể.
5


1.1.2. Kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức toán học để
giải các bài tập toán học ( tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh…)
Kĩ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến
thức, kĩ năng, phương pháp. HS sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá
trình tập luyện, củng cố đào sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành, phát
triển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức toán học.
Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực
hiện các hoạt động Toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán. Kĩ
năng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Do sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần

rèn luyện cho HS những kĩ năng trên những bình diện khác nhau:
+) Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán;
+) Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau;
+) Kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống.
Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu
tri thức Toán học. Không thể hình dung một người hiểu những tri thức
Toán học mà lại không biết vận dụng chúng để làm toán.
Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ của Toán học
đối với những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn
giữa các môn học trong nhà trường và đòi hỏi người GV dạy Toán cần có
quan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn.
Kĩ năng trên bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn
Toán . Nó cũng cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
Một số kĩ năng cần thiết khi giải toán
Hệ thống kĩ năng giải toán của HS có thể chia làm 3 cấp độ: biết làm,
thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể.
a) Trong giải toán HS cần có nhóm kĩ năng chung sau đây:
6


+ Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán: Phân tích bài toán, làm rõ các
dữ kiện đặt ra, nếu bài toán có tính chất là một vấn đề thì cần tìm khâu nào
còn chưa biết một quy tắc tổng quát hoặc một phương pháp có yếu tố thuật
toán để giải bài toán, xác định đó là trọng tâm suy nghĩ tìm hướng giải. Đây
là kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là một trong những kĩ năng quan
trọng nhất khi giải các bài toán có tính chất là một vấn đề. Cần làm rõ các
thành phần, mối liên hệ ( tường minh hay không tường minh) qua các yếu
tố (có hoặc không có ) trong bài toán.
+ Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán: Huy
động tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan để giải bài toán, bao

gồm hai dạng:
- Dạng 1 là những nội dung mà HS sản sinh ra một cách tích cực
bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí óc và thực hành.
- Dạng 2 là những ý tưởng chợt lóe sáng tự phát, được hiểu theo
nghĩa bừng sáng của quá trình tư duy sáng tạo. Chuyển dịch về những vấn
đề quen thuộc đã có thuật giải: quy nạp, tìm kiếm, dự báo, bổ sung vào
thuật giải đã có hoặc tìm kiếm thuật giải mới.
+Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả bài toán, tránh
sai lầm khi giải toán: Trong học tập giải toán, việc phát hiện và sửa chữa
sai lầm là một thành công của người học toán.
+ Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của
người giải toán.
b) Ngoài ra cần rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:
Nhóm kĩ năng thực hành:
+ Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: Kĩ năng này
được rèn luyện trong quá trình tìm tòi lời giải của bài toán. Cần chú ý kĩ
năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch để nắm vững và vận dụng
kiến thức (một thành phần của tư duy toán học), kĩ năng biến đổi xuôi
chiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên
tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận.

7


+ Kĩ năng tính toán: đây là điều cần thiết trong thực tiễn cuộc sống.
Ở đâu cũng đòi hỏi kĩ năng tính toán như: tính đúng, tính nhanh, tính hợp
lí. Các đức tính để có được các kĩ năng đó là: cẩn thận, chu đáo, nhanh trí,
kiên trì, luôn có ý thức tìm tòi các phương pháp tính toán khác nhau.
Kĩ năng tính toán được rèn luyện qua các bài luyện tập, thông qua
tính nhẩm, sử dụng bảng số, máy tính, thực hiện các phép tính gần đúng.

+ Kĩ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị,
đọc và vẽ đồ thị chính xác, rõ ràng.
+ Kĩ năng ước lượng, đo đạc có ý nghĩa giáo dục và ý nghĩa thực
tiễn. Để có kĩ năng đó cần rèn luyện cho HS thói quen ước lượng khi sử
dụng dụng cụ đo trong thực tiễn. Đặc biệt với kĩ năng vẽ hình HS phải
được hình thành và rèn luyện kĩ năng vẽ hình chính xác, phù hợp với lý
thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, vẽ đẹp.
+ kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn. HS được rèn luyện
kĩ năng này thông qua các bài toán có tính thực tiễn hoặc các bài toán có
nội dung không phải dưới dạng thuần túy toán học mà dưới dạng một vấn
đề thực tế cần giải quyết.
Nhóm kĩ năng về tư duy:
+ kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải toán: sắp xếp kiến
thức theo trình tự giải, nhớ lại và huy động kiến thức, kinh nghiệm hữu ích
để giải toán; phân loại bài toán để lựa chọn kế hoạch và phương pháp giải,
tập hợp các dữ kiện, xác định ẩn, biểu thị qua các mối liên hệ, xác định rõ
giả thiết, kết luận, phản ánh rõ các kí hiệu trong bài toán; biết sử dụng các
phương pháp suy luận và các thao tác tư duy khái quát hóa, đặc biệt hóa,
tương tự trong tiến trình giải toán, biết giải quyết từng cái riêng, bộ phận
trong bài toán từ đó đi đến giải quyết cái chung, tổng thể của bài toán (và
ngược lại).
+ Kĩ năng tổng hợp: liên kết các dữ kiện trong bài toán, khái quát các
dấu hiệu, tóm tắt nội dung bài toán, xác định rõ giả thiết, kết luận, kết cấu
lại đề toán, định hướng tiến trình giải toán.

8


+ Kĩ năng phân tích: biết phân tích các quan hệ và cấu trúc của bài
toán, nhận dạng ý trọng tâm, dự đoán, phân tích và khắc phục các sai lầm

trong quá trình giải toán, phân loại các khả năng có lời giải hoặc cách đi
đến lời giải, xác định trọng tâm cần giải quyết trong bài toán.
+ Kĩ năng mô hình hóa: Hành động mô hình hóa bài toán là hành
động chuyển bài toán thành mô hình và phân tích quan hệ toán học cũng
như các phương pháp toán học sử dụng trên mô hình đó. Đây là một kĩ
năng cần thiết để giải bài toán có ứng dụng thực tiễn và các bài toán liên
môn khác .
+ Kĩ năng sử dụng thông tin: nhận biết, thu thập và ghi nhận thông
tin từ nội dung bài toán. Phân loại, sắp xếp và thể hiện qua các kênh thông
tin trong hoạt đông giải toán để tạo cơ sở huy động kiến thức, vốn kinh
nghiệm có liên quan hữu ích đến việc giải bài toán.
1.1.3. Đề xuất các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS
1.1.3.1 Cơ sở lý luận để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện
kĩ năng giải toán cho học sịnh THPT
a. Cơ sở tâm lý giáo dục
Quá trình học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy
của thầy và các hoạt động của học trò, do đó các biện pháp sư phạm phải
thông qua hoạt dộng dạy tác động vào hoạt động học của HS, làm cho HS
có động cơ hoàn thiện tri thức và kĩ năng. Nhân cách của HS trong đó có
kết quả học tập, chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường đào tạo cho
xã hội. Vì vậy cần chú ý đến hoạt động học, các biện pháp tập trung vào
rèn luyện và phát triển các dạng hoạt động của HS, rèn luyện kĩ năng học
tập của HS: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt
động, kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá. Theo tác giả Lê Văn Hồng, tâm lý sư
phạm. NXB ĐHQG Hà Nội 2007: “ Cơ sở tâm lý của kĩ năng là sự thông
hiểu mối quan hệ qua lại giữa mục đích hoạt dộng, các điều kiện và cách
thức hoạt động ấy ”.
b. Cơ sở phương pháp dạy học bộ môn Toán
Phương pháp dạy học Toán ở trường THPT phải luôn gắn liền với
việc truyền thụ tri thức, kĩ năng với việc phát triển các năng lực của HS.

9


Căn cứ vào nhiệm vụ của việc dạy học bộ môn, bên cạnh việc truyền
thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng thực hành Toán học, HS cần được rèn luyện
kĩ năng vận dụng Toán học vào việc học tập bộ môn khác, vào thực tiễn
cuộc sống. Do đó cần thiết và có thể xây dựng các biện pháp nhằm rèn
luyện các kĩ năng giải toán cho HS, góp phần thực hiện các nhiệm vụ bộ
môn đồng thời đảm bảo tính liên môn trong dạy học.
1.1.3.2. Con đường hình thành và rèn luyện kĩ năng giải toán
cho HS
Việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS phải nhằm vào việc biến các
kiến thức và kĩ năng cơ bản trong từng chương, từng mục thành kiến thức
và kĩ năng tổng hợp, hoàn chỉnh chuẩn bị cho mọi hoạt động học tập lao
động và nghề nghiệp cho HS.Trước hết, người GV cần xác định rõ con
đường hình thành kĩ năng cho HS và vai trò của mình trong qui trình đó
nhờ sơ đồ sau đây:
Quy trình hình thành và phát triển kĩ năng giải toán cho HS.
Kiến thức chẩn
SGK

Hoạt động của GV
và của HS

Hệ thống các bài
toán cơ bản

GV gợi động cơ,
hướng HS vào các
hoạt động

Quy trình giải
(Thuật toán, quy
tắc)

GV
hướng dẫn quy trình
( phương pháp )

Các bài tập áp dụng
và nâng cao

HS thực hành, luyện tập
(áp dụng phương pháp)

Hoàn thiện quy
trình giải dạng toán

Kĩ năng

Khái quát hoá hoạt động
chọn phương pháp tối ưu
(hoàn thiện quy trình giải)

10


1.1.3.3. Giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS.
Để rèn luyện được kĩ năng giải toán cho HS ta cần phải có một giải
pháp đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:

a, Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích
cực, độc lập của HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ
năng
Mục tiêu quan trọng đầu tiên của việc tổ chức các hoạt động học tập
là đảm bảo cho HS nắm một cách vững chắc và có hệ thống các kiến thức
quy định trong chương trình. Căn cứ vào chương trình, người GV cần phải
xác định và chọn lọc các kiến thức, kĩ năng cơ bản cần được trang bị, hình
thành, phát triển cho HS.
Trên quan điểm hoạt động, định hướng đổi mới phương pháp dạy
học, trong quá trình dạy học, người GV cần tổ chức các hoạt động học tập
để HS tham gia, cụ thể là:
- Tạo những tình huống gợi ra những hoạt động tương thích với nội
dung và mục tiêu dạy học.
- HS hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo, có sự giao lưu
giữa HS với HS, giữa GV với HS.
- GV có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn: Giúp đỡ
HS vượt qua những khó khăn bằng cách phân tách một hoạt động thành
những phần đơn giản hơn, hoặc cung cấp cho HS một số tri thức phương
pháp và nói chung là điều chỉnh mức độ khó khăn của nhiệm vụ dựa vào sự
phân bậc hoạt động.
- GV giúp HS xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trình
hoạt động, đưa ra những bình luận cần thiết để HS hiểu tri thức đó một
cách sâu sắc, đầy đủ hơn.
b. Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho HS.

11


Trước hết GV cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy định
4 bước của polya rồi từ đó hình thành kĩ năng giải toán theo quy trình này.

Khi đã có một quy trình giải toán chung nhất như trên, cộng với
những tri thức phương pháp về những nội dung toán học cụ thể HS có thể
tìm tòi, khám phá để tìm đến lời giải bài toán.
- Đối với những bài toán đã có thuật giải: GV cần căn cứ vào yêu cầu
chung của chương trình cũng như tình hình thực tế để, hoặc thông báo
tường minh thuật giải hoặc có thể cho HS thực hiện các hoạt động học tập
ăn khớp với tri thức phương pháp đó.
- Đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: GV cần
hướng HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Qua đó trang bị cho HS một số tri thức
về phương pháp giải toán. Thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể
mà dần dần cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật giải một lớp
các bài toán có dạng quen thuộc. Từ đó hình thành kĩ năng giải quyết loại
bài toán đó.
c. Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố, luyện tập
Cấu tạo của SGK ở phổ thông theo nguyên tắc: Mỗi nội dung Toán
học mới đều dựa vào những nội dung đã được học trước kia. Vì vậy việc
củng cố tri thức kĩ năng một cách có định hướng và có hệ thống có ý nghĩa
to lớn trong việc dạy học toán. Củng cố cần được thực hiện không chỉ đối
với tri thức mà còn đối với cả kĩ năng, kĩ xảo, thói quen và thái độ.
Trong môn toán củng cố diễn ra dưới các hình thức: luyện tập, đào
sâu, ứng dụng, hệ thống hoá và ôn.
Luyện tập: trước hết nhằm mục tiêu rèn luyện kĩ năng kĩ xảo. Luyện
tập không phải chỉ đối với tính toán mà còn cả đối với việc dựng hình, vẽ
đồ thị của hàm số, giải phương trình, bất phương trình, sử dụng thước, máy
tính...
Đào sâu: Đào sâu trước hết nhằm vào việc phát hiện và giải quyết
những vấn đề liên quan đến những phương diện khác nhau, những khía
cạnh khác nhau của tri thức, bổ sung, mở rộng và hoàn chỉnh tri thức.

12

Những cách đặt vấn đề điển hình để đào sâu tri thức là: nghiên cứu
sự tồn tại và duy nhất, xem xét những trường hợp mở rộng, những trường
hợp đặc biệt hoặc suy biến, nghiên cứu những mối liên hệ và phụ thuộc, lật
ngược vấn đề, thay đổi hình thức phát biểu.
Ứng dụng: được hiểu là vận dụng những tri thức và kĩ năng được lĩnh
hội vào việc giải quyết những vấn đề mới trong nội bộ môn toán cũng như
trong thực tiễn. Trong khâu ứng dụng cần rèn luyện cho HS năng lực phát
hiện và giải quyết vấn đề, lựa chọn bộ phận tri thức và kĩ năng thích hợp,
tìm kiếm con đường giải quyết, lí giải và trình bày lời giải, kiểm tra đánh
giá kết quả và sắp xếp kiến thức đạt được vào hệ thống tri thức đã có.
Ngoài dạng bài tập chứng minh, tìm tòi, mặt quan trọng nữa là những
ứng dụng thực tế của toán học. Trong trường hợp này, cần làm nổi bật và
dần dần khắc sâu cách tiếp cận và giải quyết vấn đề như sau:
Bước 1: Toán học hoá tình huống thực tế.
Bước2: Dùng công cụ toán học để giải quyết bài toán trong mô hình này.
Bước 3: Chuyển kết quả trong mô hình toán học sang lời giải của bài
toán thực tế.
Việc này làm cho HS thấy rõ mối quan hệ giữa toán học và thực tế
góp phần giáo dục thế giới quan, thẩm mỹ cho HS.
Hệ thống hoá: nhằm vào việc so sánh, đối chiếu những tri thức đã đạt
được, nghiên cứu những điểm giống nhau và khac nhau, làm rõ những mối
quan hệ giữa chúng. Nhờ đó người học đạt được không chỉ những tri thức
riêng lẻ mà còn cả hệ thống tri thức.
Ôn: tức là nhắc lại tri thức, luyện lại kĩ năng đã có. Ôn giữ một vị trí
đặc biệt so với bốn hình thức khác nhau của củng cố, bởi vì nó thường
được kết hợp với các hình thức đó, thậm trí đan kết, hoà nhập vào các hình
thức đó. Ôn lại không phải chỉ là những gì lĩnh hội được trong bài lý thuyết
mà khi cần thiết có thể nhắc lại cả tri thức đã đạt được trong các khâu của

củng cố.
1.2. Bài tập toán và phương pháp dạy học giải bài tập toán
1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

13


Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán, là giá mang
hoạt động của HS. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt
động nhất định, bao gồm cả nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc,
phương pháp, những hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động phổ
biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ.
Vai trò của bài tập thể hiện trên 3 bình diện:
+) Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập toán học ở trường phổ
thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể
hiện mức độ đạt mục đích. Bài tập toán học góp phần :
-Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn .
-Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những thao tác tư duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
-Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
+) Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá
mang những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài
tập đó trở thành một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng những tri
thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ xung cho những tri thức nào đó đã
được trình bày trong phần lý thuyết.
+) Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá
mang những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định
và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác. Khai thác tốt

những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt
động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo được thực hiện độc
lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác
nhau về phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm
việc với nội dụng mới, củng cố kiến thức ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến

14


thức của HS, giúp GV nắm bắt được thông tin hai chiều trong quá trình dạy
và học.

1.2.2. Những yêu cầu của một lời giải bài toán
- Kết quả đúng kể cả các bước trung gian.
- Lập luận chặt chẽ.
- Lời giải đầy đủ.
- Ngôn ngữ chính xác.
- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lý.
1.2.3 Phương pháp chung để giải bài toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy
học, có thể nêu phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Phát biểu đề bài dưới những hình thức khác nhau để hiểu rõ nội
dung, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm
đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên

hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán
cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán
tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương
pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán
học, toán dựng hình, toán quỹ tích…
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên
quan…

15


Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được kết quả
hợp lí nhất.
Trả lời cho các câu hỏi hướng dẫn như: đã gặp bài toán này lần nào
chưa? Xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng
cái chưa biết hay có cái cho biết tương tự? Có thể áp dụng một định lí nào
đó? Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Nếu không giải
được hãy thử giải một bài toán liên quan dễ hơn hay không? Hãy chọn một
lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất…
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã phát hiện được, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các
bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.3. Dạy học chương “ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của
hàm số ” và việc rèn luyện kĩ năng giải Toán cho HS
1.3.1. Nội dung của chương

Theo chương trình THPT môn toán, có 78 tiết dành cho Giải tích 12
cơ bản, có 90 tiết dành cho Giải tích 12 nâng cao, trong đó chương “ Ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” có những nội dung sau:
• Tính đơn điệu của hàm số.
• Cực trị của hàm số.
• Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
• Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ.
• Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức.
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức
hữu tỉ.
• Một số bài toán thường gặp về đồ thị.
16


• Ôn tập chương.
1.3.2. Mục đích, yêu cầu dạy học của chương
Trên cơ sở mục đích của việc dạy học toán ở trường phổ thông, căn
cứ vào nội dung chương ứng dụng đạo hàm trong chương trình giải tích lớp
12, ta có thể xác định mục đích yêu cầu dạy học chương ứng dụng đạo hàm
như sau:
Về kiến thức: HS phải nắm vững các nội dung sau:
- Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số.
- Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số.
- Khái niệm và cách tìm GTLN, GTNN của hàm số.
- Định nghĩa và cách tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Về kĩ năng: Giúp HS có kĩ năng thành thạo trong việc xét chiều biến
thiên của hàm số; Tìm cực trị của hàm số; Tìm GTNN, GTLN của hàm số
trên một miền cho trước; Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số; Khảo

sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức, hàm phân thức hữu
tỉ; Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số.
Ngoài những yêu cầu trên, GV có thể cho HS thấy được những ứng
dụng độc đáo khác của đạo hàm trong việc chứng minh bất đẳng thức,
trong các bài toán về hàm số chứa tham số…
1.3.3. Các dạng bài tập của chương
+) Ứng dụng đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số.
+) Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số.
+) Ứng dụng đạo hàm để tìm GTNN, GTLN của hàm số.
+) Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức.
+) Ứng dụng đạo hàm vào PT, BPT, HPT.
1.3.4. Tình hình dạy học ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về
hàm số ở trường THPT
Để biết được tình hình thực tế của việc rèn luyện kĩ năng sử dụng
đạo hàm để giải các bài toán hàm số cho HS lớp 12 THPT chúng tôi đã
17


phát phiếu thăm dò đến các thầy cô trong tổ Toán trường THPT DTNT
Tỉnh Hòa Bình với nội dung phiếu thăm dò như sau:
Câu hỏi 1: Việc rèn luyện kĩ năng sử dụng đạo hàm để giải các bài toán
hàm số cho HS lớp 12 có thật sự quan trọng không? Tại sao?
Câu hỏi 2: Thầy cô có thường xuyên rèn luyện kĩ năng sử dụng đạo
hàm để giải các bài toán hàm số cho HS lớp 12 hay không?
Câu hỏi 3: Thầy cô thường gặp khó khăn gì khi rèn luyện kĩ năng sử
dụng đạo hàm để giải các bài toán hàm số cho HS lớp 12?
Sau đó chúng tôi đã thu được kết quả như sau:
- Trong câu hỏi 1: Đa số các thầy cô trả lời là đặc biệt quan trọng vì:
Thứ nhất giúp HS củng cố và khắc sâu kiến thức dễ dàng. Thứ hai giúp HS
có kĩ năng giải các bài toán trong đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao

đẳng.
- Trong câu hỏi 2: Câu trả lời của các thầy cô là không đồng đều, có
những thầy cô thường xuyên tổ chức rèn luyện kĩ năng này cho HS, nhưng
cũng có một số thầy cô không thường xuyên làm được việc này vì một số lí do.
- Trong câu hỏi 3: Đa số thầy cô nêu ra khó khăn do điều kiện thời
gian, thiếu hệ thống bài toán tốt để thực hiện việc rèn luyện kĩ năng nói trên
cho HS.
Trước tình hình thực tế như vậy, chúng tôi nghĩ rằng chúng ta nên
xây dựng một hệ thống bài tập đa dạng, hợp lí theo từng chủ đề kiến thức
để rèn luyện kĩ năng sử dụng đạo hàm giải các bài toán về hàm số cho HS
lớp 12 THPT nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học.
1.3.5. Các sai lầm HS thường gặp khi giải các bài toán về hàm số
+) Tìm sai điều kiện của ẩn phụ.
2
Ví dụ: Tìm m để phương trình: x + x + 1 =

nghiệm.
Một số HS giải bài toán này như sau:
(1) ⇔ x 2 + x + 1 =

m
2x2 + 2x + 1

Đặt t = x 2 + x
18

(2)

m
x 2 + ( x + 1)2

(1) có


(2) ⇔ t + 1 =

m
⇔ 2t 2 + 3t + 1 = m ⇔ 2t 2 + 3t + 1 − m = 0 (3)
2t + 1

(1) có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm ⇔ 9 − 8(1 − m) ≥ 0 ⇔ m ≥ −

1
8

Sai lầm của lời giải trên ở chỗ: HS không thấy được mối liên hệ giữa
nghiệm của phương trình (1) và nghiệm của phương trình (3). Chú ý rằng
1
(1) có nghiệm x ⇔ (3) có nghiệm t ≥ − .
4
+) Sai lầm khi tính sai giới hạn của hàm số
Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + 3 = m x 2 +1 (1)
Có HS giải bài toán này như sau:
TXĐ: D = R.
Ta có (1) ⇔
f'(x) =

x+ 3
x2 + 1

1- 3x

( x + 1)
2

= m . Xét hàm f(x) =

x+ 3
x2 + 1

trên R

; f'(x) = 0 ⇔ x = 1 / 3

3/2

Bảng biến thiên:
x

1
3

-∞

+

∞
f’(x)

+

0

-

10
f(x)

-∞

-∞

(

Dựa vào bảng biến thiên ta có m ∈ −∞; 10  .
Sai lầm của HS là không tính đúng giá trị -1; 1 ở góc trái và góc
phải của bảng biến thiên.
+) Sai lầm khi kết luận sai giá trị cần tìm của tham số.
Ví dụ: Tìm m để bất phương trình
m.9 x + (m + 1).3x + 2m − 3 ≥ 0 (1) ∀x > 0
19


Có HS giải như sau:
Đặt t = 3x , do x > 0 ⇒ t > 1
(1) ⇔ mt 2 + (m + 1)t + 2m − 3 ≥ 0
3−t

⇔ m(t 2 + t + 2) ≥ 3 − t ⇔ m ≥

t2 + t + 2

= f (t )

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để bất phương trình f (t ) ≤ m ∀t > 1
f '(t ) =

t 2 − 6t − 1
(t 2 + t + 2)2

; f '(t ) = 0 ⇔ t = 3 ± 10

t

3 + 10

1
+∞

f’(t)
f(t)

1
2

-

0

0

−

1
7 + 2 10

Căn cứ vào bảng biến thiên suy ra m >
Giá trị đúng là m ≥

+

1
2

1
2

1
1
Sai lầm của HS cho rằng điểm (1; ) không thuộc đồ thị hàm số nên m >
2
2
+) Sai lầm khi diễn đạt sai yêu cầu của bài toán mới.
Chẳng hạn với bài toán trên, sau khi đặt t = 3x (t>1). Có HS phát biểu:
Yêu cầu của bài toán trở thành tìm m để bất phương trình:
m≥

3−t
2

t +t+2

= f (t ) có nghiệm t>1.

Sai lầm của HS do không phân biệt được khái niệm “có nghiệm” và
khái niệm “ đúng với mọi”.

20


KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Chương 1 của Đề tài đã tìm hiểu khái niệm về kĩ năng, các tính chất
của kĩ năng, kĩ năng giải Toán trên cơ sở đó đưa ra các biện pháp rèn luyện
kĩ năng giải Toán cho HS.
Tiến hành phân loại các bài toán về hám số ở lớp 12 THPT.
Tìm hiểu thực trạng dạy các bài toán về hàm số cho HS lớp 12 THPT
cũng như những sai lầm HS thường mắc phải khi giải các bài toán dạng
này.
Trên cơ sở đó ở chương 2, chúng ta sẽ đề ra các biện pháp rèn luyện
kĩ năng sử dụng đạo hàm để giải các bài toán về hàm số cho HS thông qua
việc giải một hệ thống bài tập đa dạng, có chọn lọc.

21


CHƯƠNG 2
XÂY DỰNG VÀ KHAI THÁC HỆ THỐNG BÀI TẬP NHẰM RÈN
LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ HÀM SỐ
CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT
Chương này trình bày việc rèn luyện cho HS kĩ năng sử dụng đạo
hàm để tìm GTNN, GTLN của hàm số, tìm cực trị của hàm số, xét sự biến

thiên của hàm số, chứng minh bất đẳng thức. Tìm tham số để phương trình,
bất phương trình, hệ phương trình thỏa mãn một điều kiện nào đó.
Các hàm số được xét ở chương này chủ yếu là các hàm đa thức bậc
3, bậc 4 trùng phương, hàm phân thức

b1 b2
,
, các hàm lượng giác, vì đây
b1 b1

là các hàm số phổ biến và thường gặp nhất trong chương trình lớp 12
THPT và trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng.
Ngoài ra Đề tài còn trình bày việc rèn luyện cho HS kĩ năng sử dụng
đạo hàm vào các bài toán tham số có liên quan đến hàm số mũ, logarit, hàm
số chứa căn thức nhằm giúp HS hiểu sâu sắc hơn việc ứng dụng đạo hàm
để giải các bài toán đa dạng về hàm số
2.1. Rèn luyện kĩ năng ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của
hàm số
2.1.1. Kiến thức cơ bản
2.1.1.1. Định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng D
Hàm số y=f(x) gọi là đồng biến trên D nếu ∀ x1, x2 ∈D ; x1 < x2 ⇒
f ( x1 ) < f ( x2 )
Hàm số y=f(x) gọi là nghịch biến trên khoảng D nếu ∀ x1, x2 ∈D ; x1 < x2 ⇒
f ( x1 ) > f ( x2 ) .
2.1.1.2. Điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến trên (a; b)
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a; b)
22

*) Nếu f '( x ) ≥ 0 ∀x ∈(a; b) và f’(x)=0 chỉ tại hữu hạn điểm trên (a; b)
thì f(x) đồng biến trên (a; b).
*) Nếu f '( x ) ≤ 0 ∀x ∈(a; b) và f’(x)=0 chỉ tại hữu hạn điểm trên (a; b)
thì f(x) nghịch biến trên (a; b).
2.1.1.3. Các kĩ năng cơ bản
- Tính đạo hàm của các hàm số theo công thức.
- Xét dấu y’.
- Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng
+) Tính f’(x).
+) Giải phương trình f’(x)=0 trên miền D và tìm các giá trị x ∈ D tại
đó f’(x) không xác định.
+) Lập bảng biến thiên của hàm số trên D, từ đó suy ra các khoảng
tăng giảm của đồ thị trên D.
2.1.2. Bài tập vận dụng
Bài 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 2
Lời giải
x = 0

y ' = 4 x3 − 4 x ; y ' = 0 ⇔  x = 1
 x = −1

Bảng biến thiên:
x
y’
y

-∞
+
∞
+

-1
0
1
0 - 0 + 0
-2
-3

+∞
+∞

-3

Vậy: Hàm số đồng biến trên (-1; 0) và (1; +∞ )
Hàm số nghịch biến trên ( −∞ ; -1) và (0; 1)

1
Bài 2. Tìm m để hàm số y = x 3 + (m + 2) x 2 + (3m + 4) x + 12 đồng biến trên R
3
23


Lời giải
TXĐ: D=R
y ' = x 2 + 2(m + 2) x + 3m + 4
Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ R
⇔ x 2 + 2(m + 2) x + 3m + 4 ≥ 0 ∀x ∈ R
⇔ ∆ ' ≤ 0 ⇔ (m + 2)2 − (3m + 4) ≤ 0
⇔ m 2 + m ≤ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 0
Vậy với m ∈ [-1;0] thì hàm số đồng biến trên R.

Bài 3. Tìm m để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m nghịch biến trên một đoạn có
độ dài lớn hơn hoặc bằng 1.
Lời giải
y ' = 3x 2 + 6 x + m
∆ ' = 9 − 3m
TH1 : m ≥ 3
Khi đó ∆ ' ≤ 0 ⇒ y ' ≥ 0 ∀x ⇒ hàm số luôn đồng biến.
TH2 : m < 3
Khi đó ∆ ' > 0 ⇒ y’ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ,( x1 < x2 ) .
Hàm số nghịch biến trong khoảng ( x1, x2 ) , đồng biến trong hai khoảng
(−∞; x1 ) và ( x2 ; +∞) . Do đó yêu cầu bài toán tương đương với điều kiện
khoảng ( x1; x2 ) chứa một đoạn có độ dài bằng 1
⇔ x2 − x1 ≥ 1
⇔

−3 + ∆ ' −3 − ∆ '
−
≥1
3
3

⇔ 2 ∆ ' ≥ 3 ⇔ 4(9 − 3m) ≥ 9 ⇔ m ≤
Kết hợp với điều kiện m<3 ta có m ≤

9
4

24

9

4


Một số lưu ý khi giải các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Trong dạng toán này nhiều sách tham khảo vẫn sử dụng định lý đảo
về dấu của tam thức bậc hai, nhưng SGK chương trình mới đã bỏ nội dung
này, vì vậy GV cần lưu ý để HS tránh mắc sai lầm khi làm bài tập. Ngoài ra
ta cần chú ý những điều sau:
1. Nói chung khi tìm điều kiện để hàm số đơn điệu ta chấp nhận cả
dấu “=” trong y’. Tuy nhiên, riêng với hàm phân thức bậc nhất: Vì tử số
của đạo hàm không còn chứa x nên khi tìm điều kiện đơn điệu cho hàm này
y’ không chấp nhận dấu bằng.
2. Điều kiện cho hàm đơn điệu rơi vào một trong hai dạng:
Dạng 1. Nếu tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên R thì dùng định lí
thuận về dấu của tam thức bậc hai.
Dạng 2. Nếu tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng nào
đó thì dùng kĩ thuật khảo sát hàm số bằng cách cô lập tham số hoặc kĩ thuật
Parabol sau đây:
x 2 + mx + 3m − 1
Bài 4. Tìm m để hàm số y =
đồng biến trên (2; + ∞)
x −1
Lời giải
y' =

x 2 − 2 x − 4m + 1
( x − 1)2

; Hàm số đồng biến trên (2; + ∞)

⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈(2; + ∞) ⇔ x 2 − 2 x − 4m + 1 ≥ 0 (*) ∀x ∈(2; + ∞)
Cách 1: (Dùng kĩ thuật khảo sát hàm số)
(*) ⇔ x 2 − 2 x + 1≥ 4m
Xét hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x + 1 với x∈(2; + ∞)
f '( x ) = 2 x − 2 > 0 ∀x ∈(2; +∞)

Bảng biến thiên:
x

-∞

2
25

+∞