VỀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔđUN đỐI đỒNG đIỀU ĐỊA PHƯƠNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm ðăng Minh

VỀ IðÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ
TÍNH COFINITE CỦA MÔðUN ðỐI
ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành :
Mã số
:

ðại số và lý thuyết số
60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm ðăng Minh

VỀ IðÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ
TÍNH COFINITE CỦA MÔðUN ðỐI
ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành :
Mã số
:

ðại số và lý thuyết số
60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


Lời Cảm Ơn
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm
khắc của thầy giáo TS. Trần Tuấn Nam. Nhân dịp này tôi xin chân
thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo
và chuyên viên Phòng KHCN - SĐH của Trường đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS
Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, PGS.TS
Bùi Xuân Hải và các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao
học chuyên ngành Đại số và lý thuyết số khóa 19 của Trường ĐHSP
Tp Hồ Chí Minh.
Tôi cũng rất biết ơn lãnh đạo và đồng nghiệp ở Trường THPT
Hòa Hội, Tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu nơi tôi công tác và tất cả các bạn
cùng khóa đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá
trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình
đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và công tác tốt.

Phạm Đăng Minh
i


Mở Đầu
Cho R là vành Noether, I là iđêan của R, M là R−môđun.
Một vấn đề quan trọng trong đại số giao hoán là xác định khi nào
thì tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều
địa phương thứ i, HIi (M ) của M là hữu hạn. Nếu R là vành địa
phương chính quy chứa trong một trường thì HIi (R) là hữu hạn với
i ≥ 0. Điều này đã được chứng minh bởi các nhà toán học Huneke
và Sharp (với i > 0) sau đó Lyubeznik chứng minh với i = 0. Cho
đến ngày nay vấn đề này vẫn còn nhiều điều chưa được biết, chẳn
hạng như tập các iđêan nguyên tố liên kết của HIi (R) có là hữu hạn
sinh với bất kỳ vành Noether tùy ý và với bất kỳ iđêan của nó hay
không. Trong trường hợp R là vành Noether không địa phương thì
Singh đã chỉ ra một ví dụ với một iđêan I nào đó thì HI3 (R) không
là hữu hạn sinh. Khi đi nghiên cứu các vấn đề trên Hartshorne,
Huneke và Koh đã đưa ra định nghĩa tính cofinite của môđun đối
đồng điều địa phương. Một R−môđun N được gọi là I − cof inite
nếu Supp(M ) ⊆ V (I) và ExtiR (R/I, M ) là hữu hạn sinh với bất
kì i ≥ 0, ở đây V (I) được hiểu là tập các iđêan nguyên tố chứa
I. Từ đây cũng thu được một kết quả quan trọng: Nếu R là vành
chính quy địa phương đầy đủ M là R−môđun hữu hạn sinh thì
ii


iii

HIi (M ) là I − cof inite nếu như dim R/I ≤ 1, gần đây T. Marley,

K-I. Kawasiki, K-I. Yoshida, S. Yassemi, Trần Tuấn Nam,... tiếp tục
nghiên cứu và cho ra những kết quả đẹp.
Nội dung của luận văn gồm hai chương cụ thể như sau:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại các khái
niệm và một số kết quả về vành và môđun, iđêan nguyên tố liên
kết và giá, số chiều - độ sâu - chiều cao, môđun đối đồng điều địa
phương, đồng điều Koszul.
Chương 2: Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite
Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương.
Đầu tiên chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cofinite, tìm
hiểu các tính chất của môđun Cofinite và các điều kiện để một
môđun là môđun Cofinite. Môđun Cofinite được Harshorne định
nghĩa trong [31] như sau:
Định nghĩa 2.1.1 Cho R là vành, I là iđêan của R và M là
R−môđun, M được gọi là I−cofinite nếu Supp(M ) ⊂ V (I) và
ExtiR (R/I, M ) là hữu hạn sinh với mọi i.
D. Delfino đã thiết lập sự thay đổi vành chính cho tính cofinite
([5],Proposition 2)
Mệnh đề 2.1.7 Cho đồng cấu ϕ : A → B, I là iđêan của R. Một
B−môđun M là IB−cofinite (tương ứng với iđêan IB) khi và chỉ
khi M là A−môđun I−cofinite (tương ứng với iđêan I).
Sử dụng định lý trên, D. Delfino tổng quát hóa kết quả trước đó
của Harshorne ([5], Theorem 1). Cụ thể:
Vành R là Neother địa phương, I là iđêan nguyên tố của R sao cho


iv

dim R/I = 1 thì HIi (M ) là I-cofinite với mọi i và với mọi R-môđun
hữu hạn sinh M .

Trong mục này chúng tôi đưa ra các tiêu chuẩn để một môđun là
môđun cofinite, cũng như các điều kiện tương đương:
Mệnh đề 2.1.9 Cho I là iđêan của vành R, x ∈ I và Supp(M ) ⊂
V (I). Nếu 0 :M x và M/xM là I−cofinite thì M là I−cofinite.
Mệnh đề 2.1.15 Cho (R, m) là vành địa phương với iđêan tối đại
m và I là một iđêan của R với số chiều một hoặc là iđêan chính.
Cho A là một R−môđun Artin và M là một R−môđun hữu hạn
sinh. Thì ExtiR (A, HIj (M )) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0.
Mệnh đề 2.1.16 Nếu M là môđun I−cofinite thì M có chiều Goldie
hữu hạn.
Mệnh đề 2.1.12 cho chúng ta các điều kiện tương đương của môđun
cofinite.

Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm AF -môđun và F Amôđun.
Định nghĩa 2.2.1 R-môđun M được gọi là FA môđun nếu tồn tại
R-môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là Artin.
R-môđun M được gọi là AF môđun nếu tồn tại R-môđun con Artin
A của M sao cho M/A là hữu hạn sinh.
Từ định nghĩa trên cùng với bổ đề 2.2.2 chúng tôi chứng minh được
định lý 2.2.3, qua đó chúng ta đã đưa ra được tính hữu hạn của tập
ExtiR (K, HIj (M )) bởi định lý 2.2.5
Định lí 2.2.5


v

(i). Nếu M và K là FA môđun và SuppR (K) ⊆ V (I) thì ExtiR (K, HIj (M ))
là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0.
(ii). Nếu M và K là AF môđun và SuppR (K) ⊆ V (I) thì ExtiR (K, HIj (M ))
là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0.

Trong phần tiếp theo chúng tôi tìm hiểu về Tính cofinite
của môđun đối đồng điều địa phương.
Các mệnh đề 2.3.4, 2.3.7 cho chúng ta điều kiện để HIs (M ) là Icofinite. Về mối liên hệ giữa môđun F A và tính cofinite chúng tôi
phát biểu và chứng minh mệnh đề 2.3.10 như sau
Mệnh đề 2.3.10 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan
của R, s là số nguyên dương sao cho HIi (M ) là F A với mọi i < s.
Khi đó HIi (M ) là I-cofinite với mọi i < s và HomR (R/I, HIs (M ))
là hữu hạn sinh.
Tiếp đó ta có mối liện hệ giữa môđun cofinite và tính hữu hạn của
tập HomR (R/I, HIs (M )) được phát biểu trong định lý 2.3.11.
Định lí 2.3.11 Cho I là một iđêan của vành Noether R. Cho s là
số nguyên không âm. M là R-môđun sao cho ExtiR (R/I, M ) là Rmôđun hữu hạn với mọi i ≤ s, chẳn hạng M phải là R-môđun hữu
hạn. Nếu HIi (M ) là I-cofinite với mọi i < s thì HomR (R/I, HIs (M ))
là hữu hạn.
Tiếp đó chúng ta có mệnh đề 2.3.12 như sau:
Giả sử M là R-môđun sao cho Ext1R (R/I, M ) và Ext2R (R/I, ΓI (M ))
là các môđun hữu hạn. Khi đó HomR (R/I, HI1 (M )) là hữu hạn.
Từ đây chúng ta có hệ quả 2.3.14 nêu lên tính hữu hạn của AssR (HIs (M ))
Hệ quả 2.3.14 Giả sử M là R-môđun hữu hạn. Gọi s là số nguyên


vi

không âm sao cho HIi (M ) là hữu hạn với mọi i < s. Khi đó AssR (HIs (M ))
là tập hữu hạn.
Khi xem xét (R, m) là vành Noether địa phương từ định nghĩa 2.3.15,
định lý 2.3.16, các hệ quả 2.3.17, 2.3.18 chúng ta có định lý 2.3.19
như sau
Định lí 2.3.19 Cho M là R-môđun hữu hạn. Khi đó phát biểu dưới
đây đúng

q(I, M ) = sup{q(I, R/p)|p ∈ SuppM }

Cuối cùng và cũng là nội dung chính của luận văn chúng tôi
tiếp tục tìm hiểu các điều kiện để AssR (HIs (M )) là tập hữu hạn.
Trong phần này chúng tôi xuất phát từ bổ đề 2.4.1 chỉ ra được rằng
tập {x ∈ R|Mx là Rx − môđun hữu hạn sinh} là một iđêan của R,
tiếp đó chúng ta có bổ đề 2.4.6 được phát biểu như sau
Bổ đề 2.4.6 Cho R là vành địa phương và là ảnh đồng cấu của một
vành Cohen − M acaulay, I là iđêan của R và M là R-môđun hữu
hạn sinh. Đặt n = dim M và r = dim M/IM . Giả sử rằng
(i). M là đẳng chiều và
(ii). M thỏa điều kiện Serre s Sl với l ≤ n − r − 1.
Thì HIi (M ) là hữu hạn sinh với i < l + 1.
Từ các mệnh đề 2.4.9, 2.4.10, 2.4.11 và nhận xét 2.4.3 chúng ta có
định lý sau 2.4.12 được phát biểu như sau
Định lí 2.4.12 Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M
là R-môđun hữu hạn sinh có số chiều là n. Đặt D := D(I, M ) và


vii

giả sử rằng một trong các điều kiện dưới đây đúng:
(i). dim M ≤ 3;
(ii). dim R = 4 và R là miền nguyên chính;
(iii). R là vành thương của vành Cohen−M acaulay, dim M/IM ≤ 2
và hoặc là dim M ≤ 4 hoặc thỏa mãn điều kiện Serre s Sn−3 ;
(iv). R là vành địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ 3 và M thỏa
Sd−3 ở đây d = dim R = dim M .
thì dim R/D ≤ 1.
Từ định lý trên khi đi xem xét (R, m) là vành địa phương chúng ta

có định lý 2.4.15 được phát biểu như sau
Định lí 2.4.15 Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M
là R−môđun hữu hạn sinh n chiều. Giả sử rằng một trong các điều
kiện dưới đây được thỏa mãn:
(i). dim M ≤ 3;
(ii). dim R = 4 và m − adic đầy đủ của R là một U F D;
(iii). R là vành thương của vành Cohen − M acaulay, dim R/I ≤ 2
và hoặc dim M ≤ 4 hoặc M thỏa mãn điều kiện Sn−3 ;
(iv). R là vành chính quy địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ 3
và M thỏa điều kiện Sd−3 trong đó d = dim R = dim M .
Lúc đó với mọi R−môđun hữu hạn sinh N sao cho SuppR N ⊆
V (I). Tập AssR ExtiR (N, HIj (M )) là hữu hạn với mọi i, j. Đặc biệt
AssR HIi (M ) là tập hữu hạn với mọi i.


viii

Các kết quả tiếp theo chỉ cho chúng ta thấy tính không hữu hạn
sinh của tập HomR (R/I, HId−1 (R)).

Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại Học Sư
Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong
quá trình học tập. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Tiến
sĩ Trần Tuấn Nam, người đã trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn tôi
hoàn thành luận văn này.

Do thời gian và khả năng còn hạn chế, bản thân vừa giảng
dạy vừa nghiên cứu nên khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi xin ghi
nhận và chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của thầy cô,
bạn bè đồng nghiệp để luận văn này hoàn chỉnh hơn.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2011.

Phạm Đăng Minh


Mục lục

Mở Đầu

ii

1 Kiến Thức Chuẩn Bị

1

1.1

Các khái niệm về vành và môđun . . . . . . . . . . .

1

1.2

Iđêan nguyên tố liên kết và giá

. . . . . . . . . . . .

4

1.3

Số chiều - Chiều cao - Độ sâu . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . 12

1.5

Đồng điều Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của
Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương

19

2.1

Môđun Cofinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

FA and AF môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3

Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương . 40

2.4

Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của
Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương . . . . . . . . . . 51

ix


x

Kết Luận

68

Tài Liệu Tham Khảo

69


Chương 1

Kiến Thức Chuẩn Bị
1.1

Các khái niệm về vành và môđun

Định nghĩa 1.1.1. Phần tử a ∈ R được gọi là phần tử lũy linh nếu
tồn tại số nguyên m ≥ 1 sao cho am = 0 ∈ R.
Bổ đề 1.1.2. Giả sử S là tập con nhân của R và S không chứa 0.

Khi đó trong R tồn tại một iđêan tối đại trong tập các iđêan không
giao với S, và mọi iđêan như thế đều nguyên tố.
Mệnh đề 1.1.3. Phần tử a ∈ R là phần tử lũy linh nếu và chỉ nếu
a nằm trong mọi iđêan nguyên tố của vành R.
Định nghĩa 1.1.4. Cho R là vành giao hoán và I là một iđêan của
√
R. Radical của I, kí hiệu là I hoặc radR (I), tập các phần tử a ∈ R
sao cho am ∈ I với m là số nguyên dương nào đó.
Radical radR (I) của iđêan I là một iđêan, như vậy chúng ta có thể
viết

√

I = {a ∈ R|am ∈ I, m ∈ N∗ }
1


2

Hệ quả 1.1.5. Phần tử a ∈ R nằm trong radR (I) khi và chỉ khi nó
nằm trong mọi iđêan nguyên tố chứa I.
Định nghĩa 1.1.6. Cho R-môđun M và x ∈ M khi đó linh hóa tử
của x trong R được kí hiệu là annR (x) và được xác định
annR (x) = {a ∈ R|ax = 0}
Định nghĩa 1.1.7. Cho R-môđun M khi đó linh hóa tử của M
trong R được kí hiệu là annR (M ) và được xác định
annR (M ) = {a ∈ R|ax = 0, ∀x ∈ M }
Để ý rằng annR (x) và annR (M ) là các iđêan của R.
Mệnh đề 1.1.8. Cho R-môđun M và annR (x) là linh hóa tử của
phần tử x ∈ M . Khi đó ta có đẳng cấu

R/(annR (x)) ∼
= Rx
Bổ đề 1.1.9. Giả sử x ∈ M và annR (x) là linh hóa tử của nó. p là
một iđêan nguyên tố. Khi đó (Rx)p = 0 khi và chỉ khi annR (x) ⊆ p.
Giả sử a ∈ R và M là R-môđun nào đó, đồng cấu
x → ax,

x∈M

gọi là đồng cấu chính liên kết với a và còn được ký hiệu là aM .
Định nghĩa 1.1.10. Đồng cấu aM được gọi là lũy linh địa phương
nếu với mỗi x ∈ M tồn tại số nguyên n(x) ≥ 1 sao cho an(x) x = 0.
Mệnh đề 1.1.11. Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì đồng cấu
aM là lũy linh địa phương nếu và chỉ nếu aM là lũy linh.


3

Mệnh đề 1.1.12. Giả sử M là R-môđun và a ∈ R. Khi đó aM là
lũy linh địa phương nếu và chỉ nếu a nằm trong mọi iđêan nguyên
tố p mà Mp = 0.
Định nghĩa 1.1.13. Giả sử M là một R-môđun. Môđun con Q của
M được gọi là nguyên sơ nếu Q = M và a ∈ R bất kỳ đồng cấu aM/Q
hoặc là đơn cấu hoặc lũy linh.
Nhận xét: Cho R là vành và p là một iđêan của R. Khi đó p
là nguyên sơ nếu và chỉ nếu a, b ∈ R sao cho ab ∈ p mà a ∈ p thì
bn ∈ p với n ≥ 1, n ∈ Z nào đó.
Mệnh đề 1.1.14. Giả sử Q là môđun con nguyên sơ của M và p
là iđêan gồm tất cả các a ∈ R sao cho aM/Q lũy linh. Khi đó p là
iđêan nguyên tố.

Mệnh đề 1.1.15. Giả sử M là R-môđun và Q1 , Q2 , ..., Qr là các
môđun con p-nguyên sơ đối với cùng một iđêan nguyên tố p. Khi đó
môđun con Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qr cũng là p-nguyên sơ.
Định nghĩa 1.1.16. Sự phân tích N = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qr trong đó
Qi là các môđun con nguyên sơ của M được gọi là sự phân tích tối
giản nếu N không thể biểu diễn dưới dạng giao của một họ con thực
sự các môđun con nguyên sơ {Q1 , Q2 , ..., Qr } và Qi là pi -nguyên sơ
trong đó pi = pj với i = j.
Định lí 1.1.17. Giả sử N là môđun của M và có hai sự phân tích
nguyên sơ tối giản
N = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qr = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qs


4

Khi đó r = s. Tập các iđêan nguyên tố tương ứng với Q1 , Q2 , ..., Qr
và Q1 , Q2 , ..., Qr là như nhau.
Nếu {p1 , p2 , ..., pm } là tập các iđêan nguyên tố cô lập tương ứng với
các sự phân tích đó thì Qi = Qi với mọi i = 1, 2, ..., m; hay nói khác
đi, các môđun nguyên sơ thuộc vào các iđêan nguyên tố cô lập được
xác định duy nhất.
Định lí 1.1.18. Mọi môđun con N của R-môđun Noether M đều
có sự phân tích nguyên sơ.

1.2

Iđêan nguyên tố liên kết và giá

Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một R-môđun. Iđêan nguyên tố p của
R được gọi là iđêan liên kết với M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M

mà annR (x) = p. Để ý p = R nên x = 0.
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là Ass(M );
Giá của môđun M kí hiệu là Supp(M ) = {p ∈ Spec(R)|Mp = 0}.
Đặt V (I) = {p ∈ Spec(R)|I ⊂ p}
Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì
Supp(M ) = V (ann(M ))
Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì
Supp(R/I) = V (I)
Mệnh đề 1.2.2. Giả sử M là R-môđun khác 0 và p là phần tử tối
đại trong tập các iđêan linh hóa các phần tử 0 = x ∈ M . Khi đó p
là một iđêan nguyên tố.


5

Hệ quả 1.2.3. Nếu R là vành Noether và M là R-môđun khác 0,
thì tồn tại một iđêan nguyên tố liên kết với M .
Hệ quả 1.2.4. Nếu R là vành Noether và M là R-môđun Noether
khác 0. Khi đó tồn tại chuỗi các môđun con
0 = Mr ⊂ Mr−1 ⊂ ... ⊂ M2 ⊂ M1 = M
sao cho mỗi môđun thương Mi /Mi+1 đẳng cấu với R/pi , trong đó pi
là một iđêan nguyên tố nào đó của R.
Mệnh đề 1.2.5. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun khác
0
(i). Phần tử tối đại của F = {ann(x)|x ∈ M } là iđêan nguyên tố
liên kết của M . Hay Ass(M ) = ∅.
(ii). Tập các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên
tố liên kết của M .
Mệnh đề 1.2.6. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun hữu
hạn sinh, N là một R−môđun bất kì. Khi đó

Ass(HomR (M, N )) = Ass(N ) ∩ Supp(M )
Mệnh đề 1.2.7. Cho R là một vành Noether, M là một R−môđun
hữu hạn sinh, I là một iđêan của R. Khi đó Supp(M ) ⊂ V (I) khi
và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho I k M = 0.
Mệnh đề 1.2.8. Cho M, N là các R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó
Supp(M ⊗R N ) = Supp(M ) ∩ Supp(N )


6

Hệ quả 1.2.9. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan
bất kì của R, khi đó
Supp(M/IM ) = V (I) ∩ V (ann(M )) = V (I + ann(M ))
Mệnh đề 1.2.10. Cho M, N, P là các R−môđun. Nếu ta có dãy
khớp
0 −→ M −→ N −→ P −→ 0
thì ta có các kết quả sau:
(i). Ass(N ) ⊂ Ass(M ) ∪ Ass(P );
(ii). Supp(N ) = Supp(M ) ∪ Supp(P )
Mệnh đề 1.2.11. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun
hữu hạn sinh. Khi đó ta có:
(i). Ass(M ) là tập hữu hạn.
(ii). Ass(M ) ⊂ Supp(M ).
(iii). Phần tử tối tiểu của Ass(M ) và Supp(M ) giống nhau.
Định nghĩa 1.2.12. Cho R là vành giao hoán, S là một tập con
nhân của R và M là một R - môđun. Trên tập M × S ta định nghĩa
một quan hệ ∼ như sau:
Với mọi (m, s) , (m , s ) ∈ M × S:
(m, s) ∼ (m , s ) ⇐⇒ ∃t ∈ S : (ms − m s)t = 0
Dễ thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương trên M × S.

Kí hiệu tập thương M × S/∼ là S −1 M và lớp tương đương của (m, s)


7

là m/s.
Tập S −1 M có cấu trúc môđun trên vành S −1 R với phép toán sau:
m m
s m + sm
+
=
,
s
s
ss

rm
rm
=
ss
ss

thì S −1 M là S −1 R - môđun được gọi là môđun các thương của M
đối với S.
Đặc biệt, nếu p là một iđêan nguyên tố của R, S = R\p thì môđun
S −1 M thường được kí hiệu là Mp .
Mệnh đề 1.2.13. Cho R là vành giao hoán và M là một R - môđun
hữu hạn sinh. Khi đó:
(i). SuppR (M ) = {p ∈ spec(R) : (0 : M ) ⊆ p} = V (annR (M )).
(ii). Với S là tập con nhân của R thì

SuppS −1 R S −1 M = SuppR (M ) ∩ Spec(S −1 R)
(iii). Với I là iđêan của R, ta có:
SuppR (M ) ⊂ V (I) ⇐⇒ ∃ k ∈ N ∗ : I k M = 0
(iv). Nếu R là vành Noether và I là iđêan của R thì
SuppR (R/I) = V (I)
(v). Với I là iđêan của R thì
SuppR (M/IM ) = V (I) ∩ V (ann(M )) = V (I + ann(M ))
Mệnh đề 1.2.14. Giả sử rằng R là vành Noether và a ∈ R. M là
R-môđun. Khi đó đồng cấu aM là đơn cấu khi và chỉ khi a không
nằm trong một iđêan nguyên tố nào liên kết với M .


8

Mệnh đề 1.2.15. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun và
a ∈ R. Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương:
(i). aM lũy linh địa phương;
(ii). a nằm trong mỗi iđêan nguyên tố liên kết với M ;
(iii). a nằm trong mỗi iđêan nguyên tố p mà Mp = 0.
Hệ quả 1.2.16. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun. Khi
đó các điều kiện dưới đây là tương đương:
(i). Tồn tại chỉ một iđêan nguyên tố liên kết với M ;
(ii). M = 0 và với mọi a ∈ R, đồng cấu aM hoặc là đơn cấu hoặc là
lũy linh địa phương. Khi thỏa các điều kiện đó, tập các phần tử
a ∈ R sao cho aM lũy linh địa phương trùng với iđêan nguyên
tố liên kết với M .
Mệnh đề 1.2.17. Giả sử M là R-môđun và N là môđun con của
M . Khi đó
(i). Mọi iđêan nguyên tố liên kết với N cũng liên kết với M .
(ii). Một iđêan nguyên tố bất kỳ liên kết với M cũng liên kết hoặc

với N hoặc M/N .
Định lí 1.2.18. Giả sử R và M đều là Noether. Môđun con Q của
M là nguyên sơ khi và chỉ khi có đúng một iđêan nguyên tố p liên
kết với M/Q. Trong trường hợp đó p tương ứng với Q, tức là Q là
p-nguyên sơ.


9

Định lí 1.2.19. Giả sử R và M đều là Noether. Các iđêan nguyên
tố liên kết với môđun M đúng là các iđêan nguyên tố tương ứng với
các môđun nguyên sơ trong sự phân tích nguyên sơ tối giản của 0
trong M . Đặc biệt tập các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M là
hữu hạn.

1.3

Số chiều - Chiều cao - Độ sâu

Một dãy các môđun con của môđun M là dãy (Mi )0≤i≤n các môđun
con của M thỏa M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0. Chiều dài của dãy
là n. Một chuỗi hợp thành của M là dãy tối đại các môđun con của
M tức là không thể thêm vào một môđun con nào nữa. Điều này
tương đương với việc nói rằng các môđun thương Mi /Mi+1 là đơn.
Độ dài của chuỗi hợp thành của M là một đại lượng không thay đổi
và được kí hiệu là l(M ) và gọi là độ dài của môđun M .
Mệnh đề 1.3.1. Cho R là vành Noether, M là R−môđun hữu hạn
sinh. Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương
(i). l(M ) < ∞
(ii). Mọi iđêan nguyên tố p ∈ Ass(M ) đều là iđêan tối đại của R

(iii). Mọi iđêan nguyên tố p ∈ Supp(M ) đều là iđêan tối đại của R.
Hệ quả 1.3.2. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun hữu
hạn sinh, N là R−môđun bất kì. Nếu l(N ) < ∞ thì l(HomR (M, N )) <
∞. Do đó nếu N là R−môđun Artin thì HomR (M, N ) cũng là
R−môđun Artin.


10

Mệnh đề 1.3.3. Giả sử môđun M có chuỗi hợp thành độ dài n.
Khi đó mọi dãy con của M đều có thể mở rộng thành chuỗi hợp
thành.
Mệnh đề 1.3.4. M là chuỗi hợp thành khi và chỉ khi M vừa là dãy
điều kiện tăng vừa là dãy điều kiện giảm.
Mệnh đề 1.3.5. Cho dãy khớp ngắn 0 −→ M −→ M −→ M −→
0, khi đó ta có
l(M ) − l(M ) + l(M ) = 0
Định nghĩa 1.3.6. Số chiều của một vành R, kí hiệu dim R là
chiều dài lớn nhất n của dãy p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn các iđêan nguyên
tố của R. Nếu có một dãy các iđêan nguyên tố có độ dài vô hạn thì
ta kí hiệu dim R = ∞.
Định nghĩa 1.3.7. Cho R là một vành khác 0, p là một iđêan
nguyên tố của R. Chiều cao của iđêan nguyên tố p là độ dài lớn
nhất của dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn = p, kí hiệu là
htp.
Từ định nghĩa trên nếu htp = 0 thì p là iđêan nguyên tố tối tiểu
của vành R. Cho I là một iđêan của vành R, ta định nghĩa chiều
cao của I là chiều cao nhỏ nhất của các iđêan nguyên tố chứa I,
htI = inf{htp|p ∈ V (I)}
Số chiều của vành R cũng có thể được định nghĩa là sup của chiều

cao của tất cả các iđêan nguyên tố của R
dim R = sup{htp|p ∈ SpecR}


11

Số chiều này còn được gọi là số chiều Krull của R.
Số chiều của R−môđun M , kí hiệu là dim M = dim(R/annM ) nếu
M = 0 và ta kí hiệu dim M = −1 nếu M = 0.
Mệnh đề 1.3.8. Cho R là vành Noether và M = 0 là một R−môđun
hữu hạn sinh thì các điều kiện dưới đây là tương đương:
(i). M có độ dài hữu hạn.
(ii). Vành R/annM là Artin.
(iii). dim M = 0.
Mệnh đề 1.3.9. Cho R là vành Noether. Khi đó các điều kiện dưới
đây là tương đương:
(i). R là vành Artin.
(ii). Mọi iđêan p ∈ Spec(R) đều là iđêan tối đại của R.
(iii). Mọi iđêan p ∈ Ass(R) đều là iđêan tối đại của R.
Cho M là một R−môđun, phần tử r ∈ R được gọi là M −chính
qui nếu rx = 0, ∀x = 0, x ∈ M.
Định nghĩa 1.3.10. Một dãy các phần tử a1 , a2 , ..., an của R gọi là
M −dãy nếu nó thỏa hai điều kiện sau:
(i). a1 là M −chính qui, a2 là M/a1 M −chính qui,..., an là M/(a1 , ..., an−1 )M
-chính qui.
(ii). M/(a1 , ..., an )M = 0.


12

Định nghĩa 1.3.11. Cho M là một môđun hữu hạn sinh khác 0
trên vành Noether địa phương (R, m), chiều sâu của M trên R là độ
dài lớn nhất của M −dãy trong m, kí hiệu là depthR M hay depthM .

1.4

Môđun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.4.1. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và I là
iđêan khác không của R. Với mỗi R - môđun M , tập
ΓI (M ) =

n∈N

(0 :M I n ) = {x ∈ M : ∃n ∈ N, I n x = 0}

gọi là tập các phần tử của M được linh hóa bởi lũy thừa nào đó của
I.
Khi đó ΓI (M ) là một môđun con của M .
Cho f : M → N là đồng cấu R-môđun thì ta có f (ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ).
Do đó có ánh xạ cảm sinh ΓI (f ) : ΓI (M ) → ΓI (N ) là ánh xạ thu
hẹp của f trên ΓI (M ).
Hơn nữa, với g : M → N và h : N → L là hai đồng cấu R-môđun
và r ∈ R thì
ΓI (h ◦ f ) = ΓI (h) ◦ ΓI (f ), ΓI (f + g) = ΓI (f ) + ΓI (g)
ΓI (rf ) = rΓI (f ), ΓI (IdM ) = IdΓI (M )
Do đó hàm tử ΓI (−) là hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các
R-môđun vào chính nó. Hàm tử ΓI (−) được gọi là hàm tử I-xoắn.
f

g

Bổ đề 1.4.2. Nếu 0 → L −
→M −
→ N → 0 là một dãy khớp của
ΓI (f )

ΓI (g)

các R- môđun và các R-đồng cấu thì 0 → ΓI (L) −−−→ ΓI (M ) −−−→
ΓI (N ) → 0 cũng là một dãy khớp.


13

Định nghĩa 1.4.3. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là
iđêan khác không của R và M là R môđun.
+ M gọi là I−không xoắn khi ΓI (M ) = 0.
+ M gọi là I−xoắn khi ΓI (M ) = M .
Bổ đề 1.4.4. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan
khác không của R và M là R−môđun.
(i). Nếu M là R− môđun hữu hạn sinh thì M là I−không xoắn khi
và chỉ khi I chứa một phần tử M −chính quy.
(ii). M/ΓI (M ) là I−không xoắn.
Định nghĩa 1.4.5. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là
iđêan khác không của R và M là R−môđun. Nếu M là môđun nội
xạ thì dãy khớp chính tắc sau đây là chẻ:
0 → ΓI (M ) → M → M/ΓI (N ) → 0
Định nghĩa 1.4.6. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là
iđêan khác không của R và M là R−môđun.

Xét phép giải nội xạ của M :
d0

α

di

N :0−
→M −
→ N0 −
→ N1 −
→ ... −
→ Ni −
→ N i+1 −
→ ...
Phức thu gọn tương ứng của N là:
d−1

d0

di

→ N1 −
→ ... −
→ Ni −
→ N i+1 −
→ ...
N ∗ : 0 −−→ N 0 −
Đưa hàm tử ΓI (−) vào phức này ta được dãy nửa khớp sau:
∗

ΓI (d−1 )

0

ΓI (d0 )

i

ΓI (di )

ΓI (N ) : 0 −−−−→ ΓI (N ) −−−−→ ... −
→ ΓI (N ) −−−→ ΓI (N i+1 ) −
→ ...