VỀ CÁC RADICAL TRONG PI. ĐẠI SỐ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành Nam

VỀ CÁC RADICAL TRONG PI. ĐẠI SỐ

Chuyên ngành
Mã số

: Đại số và lý thuyết số
: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ

Thàn phố Hồ Chí Minh 2008


LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thành kính đến Thầy PGS. TS. BÙI
TƯỜNG TRÍ đã tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin vô cùng biết ơn các Thầy: PGS. TS. BÙI XUÂN HẢI,
PGS.TS. MỴ VINH QUANG, TS. TRẦN HUYÊN, TS. NGUYỄN VIẾT
ĐÔNG và các Thầy cô trong khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ
Chí Minh đã trực tiếp hướng dẫn tôi học tập, những người đã đưa tôi đến
ngưỡng cửa của khoa học và giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Cho phép tôi được kính chúc PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ, PGS. TS BÙI

XUÂN HẢI, PGS.TS. MỴ VINH QUANG, TS. TRẦN HUYÊN, TS.
NGUYỄN VIẾT ĐÔNG và tất cả quý thầy cô trong Khoa Toán, Phòng
Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học Trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh lời
chúc sức khỏe, cùng với lòng tri ân sâu sắc nhất của tôi. Qua đây, tôi xin
được gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn học viên cao học khóa 16 đã tiếp
sức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng thành kính biết ơn đến toàn thể mọi người
trong gia đình tôi.
TP. Hồ Chí Minh, ngày tháng 9 năm 2008
Tác giả luận văn
NGUYỄN THÀNH NAM


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Trong thời gian theo học ở trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh,
chúng tôi được nghe giảng một số chuyên đề về lý thuyết vành của Thầy
PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ. Chủ đề được trình bày dựa trên nền tảng của
cuốn sách: Introducton to Commutative Algebra của M.F. ATIYAH và
I.G.MACDONALD, cuốn sách NONCOMMUTATIVE RINGS của
I.N.HERSTEIN,

cuốn sách STRUCTURE OF RINGS của NATHAN

JACOBSON, và cuốn sách LECTURE NOTES IN MATHEMATICS.441PI ALGEBERAS AN INTRODUCTION của NATHAN JACOBSON.
Qua tìm hiểu, tôi nhận ra được sự quan trọng của PI. Đại số trong
nhiều lónh vực của đại số nói chung và trong việc xây dựng câu trúc vành
nói riêng. Từ đây, tôi đã đi sâu tìm hiểu về một chủ đề nhỏ của lý thuyết
vành là: Về các Radical trong PI. Đại số. Luận văn tập trong nghiên cứu

cấu trúc của các Radical trên các trên các vành và mối liên hệ giữa chúng
trên các cấu trúc đại số khác nhau.
2. Mục đích
Hệ thống lại toàn bộ các khái niệm về Radical và từ những khái
niệm đó chúng tôi đi nghiên cứu về mối quan hệ giữa chúng trên các đại
số giao hoán và không giao hoán.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Cấu trúc của các đại số giao hoán và không giao hoán. Mối quan hệ
giữa các Radical trên các cấu trúc đại số khác nhau.


4. Ý nghóa khoa học thực tiễn
Hình thành hệ thống lôgíc các cấu trúc về Radical và vận dụng
chúng trong việc xây dựng các cấu trúc đại số .
5. Nội dung của luận văn
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
Trong chương này, tác giả luận văn đã đưa ra hệ thống những
kiến thức về: Vành, ideal trên vành, mô đun trên vành, đại số trên vành và
đồng nhất thức trên đại số. Tất cả những kiến thức trên được đưa ra vừa đủ
để làm kiến thức nền cho chương 2, 3.
Chương 2. Xây dựng các loại Radical
Trong chương này, tác giả luận văn đã tiến hành xây dựng
các loại radical theo các chủ đề chính sau:
- Xây dựng Radical trên vành giao hoán có đơn vò.
- Xây dựng Radical Jacobson trên vành không giao hoán.
- Nghiên cứu Radical Jacobson trên các vành đặc biệt khác.
- Nghiên cứu về Radical trên đại số A, Có 4 loại radical: Levitzki nil
radical, Upper nil radical, lower nil radical, Jacobson radical.
Chương 3. Các Radical Trong các PI- đại số
Trong chương này, tác giả luận văn đã tiến hành xây dựng

mối quan hệ bao hàm giữa các loại radical trên các cấu trúc như sau: Trên
đại số A, trên PI-đại số, PI- đại số phổ dụng. Từ đây, tác giả đã đưa ra một
số kết quả khá tổng quát về mối quan hệ bao hàm giữa các radical.
Luận văn được hoàn thành trong sự cố gắng của tác giả luận văn
cùng với sự giúp đỡ hết sức tận tình của thầy giáo hướng dẫn PGS.TS


BÙI TƯỜNG TRÍ. Vì thời gian nghiên cứu luận văn không được nhiều nên
luận văn còn có nhiều vấn đề chưa khai thác được một cách triệt để và
cũng không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất chân thành ghi
nhận những ý kiến đóng góp của quý thầy trong khoa toán của trường Đại
Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, các đồng nghiệp và tất cả mọi người.


Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. Vành, Mun Và Ideal
1.1.1. Đònh nghóa Vành
Vành R là tập hợp   được trang bò hai phép toán hai ngôi, phép
cộng và phép nhân sao cho:
i/ R cùng với phép toán cộng là nhóm Abel


Phần tử trung hòa ký hiệu là o



 x  A, tồn tại phần tử đối, ký hiệu –x.

ii/ phép nhân có tính kết hợp: x(yz) = ( xy)z,  x, y, z  R

iii/ phép nhân phân phối đối với phép cộng:
( x +y)z = xz +yz, x(y+z) = xy + xz,  x, y, z  R
* Nếu R thỏa mãn thêm hai tính chất:
iv/ phép nhân có tính giao hoán:
xy = yx,  x, y  R
v/ Tồn tại phần tử đơn vò, ký hiệu 1: x1=1x =x,  x  R
Thì R được gọi làvành giao hoán có đơn vò.
Trong luận văn này, nếu không nói gì thêm, các vành được xét thuộc lớp
vành đơn giản nhất: Vành không giao hoán và không nhất thiết phải chứa
đơn vò.
1.1.2. Đònh nghóa Môđun


Một R – môđun là một nhóm cộng Abel M cùng với tác động ngoài
từ R vào M, tức là một ánh xạ từ MxR vào M sao cho: cặp (m,r) biến thành
mr  R sao cho:
i/ m( a+b) = ma +mb
ii/ (m+n)a =ma + na
iii/ (ma)b = m(ab), với mọi m, n  M và mọi a, b  R.
Nếu R là vành có chứa đơn vò 1 và m1 = m thì M gọi là môđun Unitary.
1.1.3. Đònh nghóa môđun trung thành
Một R- môđun M được gọi là trung thành nếu: Mr = <0> kéo theo r = 0
1.1.4. Đònh nghóa cái linh hóa
Cái linh hóa của R-môđun M, ký hiệu là: annR(M) = r  R / Mr  0 
 Nếu M là R-môđun trung thành thì annR(M) =<0>.
1.1.5.Đònh nghóa Ideal
Một ideal phải(trái) của vành R là vành con của vành R sao cho:
R    (hay  R   ). Nghóa là: xy   , x  R , y





(hay

yx , x  R , y   ).
Một ideal vừa là ideal trái vừa là ideal phải thì gọi là ideal hai phía.
1.1.6. Đònh nghóa môđun bất khả quy
M được gọi là R môđun bất khả quy nếu: MR  0  và M không có
môđun con thực sự nào.
1.1.7. Bổ đề
M là R- môđun bất khả quy  M  R /  , với  là ideal phải, tối
đại, chính quy.


1.1.8. Đònh nghóa

 là ideal phải của R, ký hiệu: (  :R ) = x  R / Rx  
1.1.9. Bổ đề
a/ Nếu  là ideal phải chính quy thì (  :R ) là ideal hai phía lớn nhất
của R nằm trong 
b/ Nếu  là ideal phải, tối đại, chính quy thì annR(M)= (  :R ); M = R/ 
c/ Nếu  là ideal phải chính quy của R (   R) thì  nằm trong ideal phải,
tối đại, chính quy nào đó.
1.1.10. Đònh nghóa môđun hoàn toàn khả quy
A là R – môđun hòan toàn khả quy nếu nó thỏa mãn một trong các
mệnh đề sau:
a/ A =

A

iI

b/ A=

i

, với Ai là R-môđun con bất khả quy của A

 Ai , với Ai là R-môđun con bất khả quy của A

iI

c/ với Ai là R-môđun con của A là hạng tử trực tiếp của A.
1.1.11. Đònh nghóa đồng cấu môđun
Gọi M, N là các R- Môđun. Một đồng cấu môđun trên R (hay R-đồng
cấu) là ánh xạ f: M ->N thỏa mãn:

i/ f(x +y) = f(x) + f(y)

ii/ f(ax) = af(x)  x, y  M, a  R
khi đó: * nh của đồng cấu f là tập hợp Imf = f(M)
* Hạt nhân của đồng cấu f là tập hợp:
Kerf = f-1( 0 ) = x  M / f ( x )  0
1.1.12.Đònh nghóa Ideal nguyên tố


Một ideal P của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu: P  R và
 x, y  R, ta có: xy  P  x  P hoặc y  P

Đònh nghóa Ideal tối đại: một ideal m của vành R được gọi là ideal

tối đại nếu m  R và với mọi ideal  của R thỏa mãn   R, m   thì

 =m.
1.1.13. Đònh nghóa Ideal chính
Một ideal  của vành R được gọi là ideal chính nếu tồn tại a   ,
sao cho  = <a>.
1.1.14.Đònh nghóa
i/ một phần tử a  R được gọi là lũy linh nếu an = 0, với số n tự nhiên
nào đó.
ii/ một ideal phải ( trái, hai phía )  của R là nil ideal nếu mọi phần tử
của nó đều lũy linh.
iii/ Một ideal phải( trái, hai phía )  của R là lũy linh nếu tồn tại số tự
nhiên m: a1a2 …..am =0, với mọi a1, ….am   .
Hay: một ideal phải của R là lũy linh khi và chỉ khi  m = <0> với một số
tự nhiên m nào đó.

 Nhận xét
Trong khi mọi ideal lũy linh đều là nil ideal thì có những nil ideal
không nhất thiết lũy linh.
1.1.15. Đònh nghóa
1/ một phần tử a  R được gọi là tựa chính quy phải nếu: tồn tại phần
tử a’  R sao cho: a + a’ +aa’ = 0. Ta gọi a’ là tựa nghòch đảo phải của a.


2/ Ideal phải của R là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó
đều tựa chính quy phải
1.1.16. Đònh nghóa ideal chính quy
Một ideal phải  của R được gọi là chính quy nếu tồn tại a  R:
x –ax   ,  x  R.
* Phần tử chính quy của A là phần tử không có ước của không bên phải

hay bên trái.
1.1.17. Đònh nghóa (nil radical của vành R)
Một ideal m của vành R là nil radical nếu và chỉ nếu:
* m là một nil ideal
* R/m không chứa ideal lũy linh khác không nào.
1.1.18. Đònh nghóa(Vành nil radical )
Vành R là vành nil (hay lũy linh) chứa ideal B sao cho B và R/B là nil(
hay lũy linh) thì R là nil(hay lũy linh) và khi đó R cũng được gọi là nil radical.
1.1.19. Đònh nghóa tâm của R
Cho vành R, tập hợp:C = {c  R / cr = rc,  r  R được gọi là tâm
của vành R.
1.2. Đại Số Trên Vành
Để tiện cho việc trình bày được ngắn gọn, ta quy ước:
- Vành A được hiểu là vành không giao hoán, có đơn vò.
- Vành K là vành giao hoán, có đơn vò và được dùng làm vành cơ sở
- I deal không được ký hiệu là <0>
- Ideal được hiểu là ideal hai phía


1.2.1. Đònh nghóa đại số A
A được gọi là đại số trên vành K giao hoán có đơn vò nếu:
- A là K – mun
- A là vành
- với mọi k  K; với mọi a, b  A : k(ab) =(ka) =a(kb)
Từ đây nếu không nói gì thêm, đại số A được hiểu là đại số có đơn vò
trên vành K
1.2.2. Đònh nghóa đại số đối A0
Đại số đối của đại số A là đai số:
* A0 = A như là K- môđun
* Phép nhân trên A0, ký hiệu *, được xác đònh: với mọi a, b  A0, a*b

=b.a
1.2.3. Đònh nghóa
Nếu A, B là K- đại số thì A  B cũng là đại số
k

1.2.4. Đònh nghóa đại số con
Cho đại số A và B  A với 1A  B. B được gọi là đại số con của A nếu
B là K- đại số với phép toán cảmsinh trên A
1.2.5. Đònh nghóa đồng cấu đại số
Cho A, B là k- đại số. Ánh xạ f: A -> B gọi là đồng cấu đại số khi f
vừa là đồng cấu vành, vừa là đồng cấu môđun.
1.2.6. Đònh nghóa tích trực tiếp
( Ai ) i  I là họ k – đại số. Tích trực tếp của họ đại số (Ai ) i  I ký
hiệu:

A

i

iI

là tích của các tập Ai, trên đó được trang bò một cấu trúc đại số.


1.2.7. Tích trực tiếp con
1.2.7.1. Đònh nghóa
Đại số A gọi là tích trực tiếp con của họ đại số Ai nếu tồn tại một
đơn cấu  : A   A i sao cho:  i là toàn cấu trong đó:  i :  A i  A i
iI

iI

là toàn cấu chiếu.
1.2.7.2. Đònh lý
Cho đại số A là tích trực tiếp con của họ đại số (Ai) i  I
lúc đó:

  i  0 
iI

và Ai  A/ i . Trong đó:  i = Ker  i 

1.2.7.3. Đònh lý
Cho đại số A và ( i ) i  I

là họ các ideal trong A sao

cho:   i  0  .Lúc đó A đẳng cấu với tích trực tiếp con của( Ai ) i I, với
iI

Ai  A/ i .
I.2.8. Đại số nguyên tố
1.2.8.1. Đònh nghóa
Một đại số gọi là đại số nguyên tố khi < 0 > là ideal nguyên tố
1.2.8.2. Đònh lý
A là đại số. Lúc đó các mệnh đề sau là tng đương:
a/ A là đại số nguyên tố
b/ với mọi a, b  A ; aAb = <0>  a =0 hoặc b = 0.
c/ linh hóa phải của ideal phải là ideal < 0 >
d/ linh hóa trái của ideal trái là ideal < 0 >

e / với B,C là hai ideal của A và nếu B.C =< 0> thì B =< 0> hay C =<0>


1.2.8.3 Đònh lý
Tâm của đại số nguyên tố là miền nguyên
1.2.9. Đại số nửa nguyên tố
1.2.9.1 Đònh nghóa
Một đại số gọi là nửa nguyên tố khi nó không chứa ideal lũy linh
nào khác ideal < 0>
1.2.9.2 Đònh lý
Cho A là đại số. Các mệnh đề sau là tương đương:
a/ A là đại số nửa nguyên tố
b / < 0> là ideal lũy linh duy nhất của A
c / với B, C là hai ideal khác <0> của A và BC=<0> thì B  C = <0>
d / A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố
1. 2.9.3 Đònh lý
a/ Mọi đại số nguyên tố đều là đại số nửa nguyên tố
b/ Mọi đại số không chứa nil ideal khác <0> là đại số nửa nguyên tố
I.2.9.4. Đònh lý
A là đại số nửa nguyên tố,  là ideal tối tiểu phải khác <0>. Lúc đó:
2

  eA , với e   , e  0 , e = e.

1.2.10. Đại số nguyên thủy
1.2.10.1. Đònh nghóa
Một đại số gọi là đại số nguyên thủy khi nó có môdun bất khả quy
trung thành
1. 2.10.2. Đònh lý

Đại số nguyên thủy là đại số nguyên tố
1.2.11. Đại số nửa nguyên thủy
1.2.11.1.Đònh nghóa
Một đại số gọi là đại số nửa nguyên thủy khi nó có môđun hoàn toàn
khả quy và trung thành.
1.2.11.2. Đònh lý
Mọi đại số nửa nguyên thủy khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp của
các đại số nguyên thủy.
1.2.12 Đại số đơn
1.2.12.1 Đònh nghóa
Đại số A gọi là đại số đơn khi A không chứa ideal con nào khác <0> và A.
1.2.12.2. Đònh lý
Tâm của đại số đơn là một trường
1.2.13. Đại số Artin
Đại số A gọi là đại số Artin nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện:
a/ mỗi tập con không rỗng các ideal của A đều có phần tử tối tiểu
b/ mỗi dãy giảm các ideal của A đều dừng sau một số hữu hạn bước
1.2.14. Đại số đòa phương
Đại số dòa phương là đại số có một ideal tối đại duy nhất
1.2.15. Đònh nghóa
Cho đại số A. khi đó:
i/ A được gọi là đại số lũy linh nếu tồn tại m: Am = <0>
ii/ A được gọi là đại số lũy linh đòa phương nếu mọi tập con hữu hạn
của nó đều sinh ra một đại số con lũy linh.


iii/ Một ideal của A được gọi là lũy linh ( lũy linh đòa phương, nil ideal )
nếu xem là đại số thì nó là đại số lũy linh (lũy linh đòa phương, nil đại số).
1.3. Đồng Nhất Thức Trên Đại Số

Để đònh nghóa khái niệm đồng nhất thức đa thức của một đại số và
một PI – đại số trước tiên ta xét đại số tự do trong một tập sinh đếm được
trên vành giao hóan có đơn vò K. Giả sử X là vò nhóm tự do sinh bởi tập
đếm được các phần tử x1, x2, ……. Thì K X  là tập sinh bởi 1, xi1 xi2 ...xir của
các đơn thức phân biệt.
=

Hai đơn thức bằng nhau:

xi1 xi2 ...xir

r  s
i1  j1 ,.....

x j1 x j2 ...x js



Phép nhân được đònh nghóa sao cho 1 là phần tử đơn vò và
( xi1 xi2 ...xir )(

x j1 x j2 ...x js ) = xi1 xi2 ...xir x j1 x j2 ...x js

Xét K X  là đại số vò nhóm của X trên K. K X  vừa có cấu trúc môđun vừa
có cấu trúc vành suy ra K X  là đại số tự do với tập đếm được các phần tử
sinh xi. Tính chất cơ bản của K X  là nếu A là đại số bất kỳ trên K và  là
ánh xạ từ X đến A thì tồn tại duy nhất đồng cấu  : K X  -> A sao cho biểu
đồ sau giao hoán:

i

K X 

<{x1,x2,…}>




A

sao cho  = i


Và nếu f  K X  , f  K x 1 ,..., x m  đạisố con sinh bởi tập hữu hạn

x 1 ,.....x m  với m nào đó. Ta viết f = f( x1, …..xm ) ảnh của đa thức này dưới
đồng cấu  : K X  -> A biến xi thành ai ( 1  i   ) được ký hiệu: f(a1,
….,am), a i  A .
1.3.1. Đònh nghóa đồng nhất thức
f = f( x1, …..xm) là đồng nhất của A nếu f(a1, …, am) = 0, a i  A .
1.3.2 Đònh nghóa đồng nhất thức sự
Đa thức f được gọi là đồng nhất thức thực sự của A nếu f là đồng
nhất thức của A và tồn tại một hệ số của f không linh hóa A.
* Nhận xét
Nếu f là đồng nhất thức mà trong đó có hệ số là 1 hoặc -1 thì f là
đồng nhất thức thực sự.
1.3.3. Đònh nghóa đồng nhất thức chính quy mạnh:
Đồng nhất thức f của A đươcï gọi là đồng nhất thức chính quy mạnh
nếu f  0 và các hệ số khác 0 của nó đều là các phần tử khả nghòch của K.
1.3.4 Đònh nghóa PI-đại số

Một đại số A trên vành giao hoán có đơn vò K được gọi là PI –đại số
hay đại số với đồng nhất thức đa thức nếu tồn tại một đa thức f (a1, …, am )
 K X  là đồng nhất thức thực sự đối với mọi ảnh đồng cấu khác <0> của

A.
1.3.5. Đònh nghóa đồng nhất thức chuẩn
Trong K x1 ,..., x n  đồng nhất thức chuẩn n biến là: f( x1, ……,xn)= Sn( x1,
…, xn) =

 (1)Sg .x (1) .....x ( n )

Sym ( n )


* Chú ý: Tổng này có n! đơn thức. Sym(n) là nhóm đối xứng bậc n
( Sym(n ) = n!);  chạy khắp trong Sym(n); (-1)Sg  bằng 1 hoặc -1 tùy
thuộc vào  là phép thế chẵn hay lẻ.
1.3.6. Đònh nghóa toán tử sai phân
Cho f = f( x1, …..,xm )  K X  . Khi đó toán tử sai phân

 j f trong K X  xác đònh bởi  j f ( x1, …..,xm) = f(x1,..,xi-1, xi+xj, xi+1,..xm) –
i

i

f(x1,..,xi-1, xi,xi+1,..,xm) – f(x1,..,xi-1, xj, xi+1,..,xm) với 1  i  m
1.3.7. Đònh nghóa đa thức tâm
Một đa thức f( x1, …..,xm) được gọi là đa thức tâm của đại số A nếu f(
x1, …..,xm ) không là đồng nhất thức của A
Và [ f( x1, …..xm), xm+1] là đồng nhất thức của A.

1.3.8. Đònh lý Kaplansy –Amitsur
Nếu A là đại số nguyên thủy thỏa mãn đồng nhất thức thực sự bậc d
2

d 
thì tâm C của A là trường, A đơn và [ A:C]    .
2
1.3.9. Đònh lý Amitsur – Levitzky
Đa thức chuẩn S2n là đồng nhất thức của Mn(K).
1.3.10. Đònh lý Kaplansky- Amitsur – Levitzky
A là đại số nguyên thủy. Khi đó A thỏa mãn đồng nhất thức thực sự
khi và chỉ khi A là đại số đơn và hữu hạn chiều trên tâm C của nó. Nếu d
là bậc nhỏ nhất của đồng nhất thức thự sự của A thì d = 2n là số chẵn và
[A:C ]= n2 đồng thời A thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn Sd.


Chương 2. XÂY DỰNG CÁC LOẠI RADICAL

Trong chương này, chúng tôi sẽ đi vào trình bày về việc xây dựng
các loại Radical trên: Vành giao hoán có đơn vò, vành không giao hoán
(không nhất thiết có đơn vò) và đồng thời cũng là trên đại số A . Ở đây, khi
nói đến đại số A trên vành K giao hoán có đơn vò ta có thể gọi tắt là đại số
A để tiện cho việc trình bày. Mặt khác, khi nói đến Radical trên vành
không giao hoán hay một đại số nào đó thì ta cũng có thể hiểu là Radical
của đại số trên vành cơ sở của nó.
2.1. Radical Jacobson & Nil Radical (Trên vành Giao Hoán Có Đơn Vò)
2.1.1. Đònh nghóa nil radical
Nil radical của vành R (R là vành giao hoán có đơn vò) là tập hợp tất
cả các phần tử lũy linh trong R, ký hiệu: Nil(R)
2.1.2. Bổ đề

Nếu R là vành giao hoán và N là giao của tất cả các ideal nguyên tố
Thì N là Nil radical của R.
Chứng minh:
Đặt N =  p,  p là ideal nguyên tố của R. Gọi L là Nil radical của
R. Ta cần chứng minh L = N.
* Trước tiên ta chứng minh: L  N. Lấy f  L  f lũy linh   n  N*: fn =0
n-1

 p (p là ideal nguyên tố tùy ý của R)  f.f

+ TH 1: nếu f  p thì L  N

n-1

 p  f  p hay f

 p.


+ TH2: nếu fn-1  p thì f.fn-2  p,.., cứ tiếp tục như thế sau n-1 bước ta luôn
có:
f  p,  p là ideal nguyên tố tùy ý của R hay f  N. Vậy L  N

(1)

* Tiếp theo ta chứng minh: N  L. Lấy f  N, ta cần chứng minh f lũy linh.
Bằng phản chứng giả sử fn  0,  n  N*. Gọi
tính chất:  n > 0, fn   . Thế thì









là tập hợp các ideal  có

Vì <0>   , với quan hệ bao

hàm thỏa mãn Bổ đề Zorn vì 1   2  ...   Ta đặt



=

 i

thì 

iI

là ideal của R. Ta có fn   ,  n  N* ( do fn   j ,  j ). Vậy    và 
là cận trên của 1   2  ... . Khi đó, theo Bổ đề Zorn trong



có phần

tử lớn nhất q. Ta cần chứng minh q là ideal nguyên tố. Thật vậy, nếu x,y
 q thì các ideal q+ <x>, q+ <y> thực sự chứa q, do đó q+ <x>, q+ <y>
h

  suy ra:  h, k sao cho: f  q+ < x >,

fk  q+ < y >  fh+k  q+< xy >  q+< xy > 



 xy  q. Vậy tồn tại

ideal nguyên tố q mà f  q  f  N (!) mâu thuẫn  f  L  N  L (2).
Từ (1) và (2) suy ra L = N hay N là Nil radical của R.
2.1.3. Bổ đề
Giả sử R làvành giao hoán có đơn vòù. f = a0 +a1t + ……………+antn là đa
thức khả nghòch trong R[t] thì a0, khả nghòch trong R và a1, a2, …,an lũy linh
trong R.
Chứng minh


*Vì f khả nghòch trong R[t]   g = b0 + b1t + …..bmtm  R[t] sao cho f.g = 1

a 0 b 0  1
 a0b0 + c1t + ……+ckt = 1  c  0 , c 
a i b j  a0 khả nghòch trong R

k
k


i  j k
k

* Ta cần chứng minh: a1, a2, …, an lũy linh trong R. lấy p là ideal nguyên tố
bất kỳ của R, gọi p[t] là tập hợp các đa thức hệ số trong p khi đó p[t] là
ideal của vành R[t] và R[t]/ p[t]  R/ p[t] vì  : R[t]  R/ p[t]
Sao cho: f = a0 +a1t + ……………+antn  f  a 0  a 1 t  ....  a n t n
Khi đó:  là tòan cấu và ker  =p[t] nên theo đònh lý Nơ te ta có:
R[t]/ p[t]  R/ p[t]. Nhưng R/p là miền nguyên (vì p là nguyên tố ) nên các
phần tử khả nghòch duy nhất của vành đa thức là đa thức bậc 0 và khả
nghòch trong R/p. Do vậy, nếu f = a0 +a1t + ……………+antn khả nghòch trong
R[t]  ảnh của nó qua đồng cấu  là những phần tử khả nghòch.
 ai  0

; i  1, n

 ai  p,  p là ideal của vành R  ai   p (  p ideal của vành R) mà N =

 p (  p ideal của vành R) = Nil(R). Suy ra ai lũy linh.

2.1.4. Đònh nghóa Radical Jacobson(trên vành giao hoán có đơn vò)
Radical Jacobson của vành A (A là vành giao hóan có đơn vò) là giao
của tất cả các ideal tối đại của A. ký hiệu là J(A).

 Nhận xét: i/ Từ đònh nghóa về Radical Jacobson và Nil radical của
vành giao hoán có đơn vò A thì ta luôn có: Nil(A)  J(A).
ii/ Trên vành giao hoán có đơn vò A, trong khi mọi ideal lũy linh đều là nil
ideal thì có những nil ideal không nhất thiết lũy linh.Thật vậy:

Ví dụ1


- Lấy đại số giao hoán A =

  2i
i 1



- Lấy B = { x=(x1,…..,xj,…)  A/ xj là lũy thừa của 2 , j =1,2,…}
- Khi đó: dễ thấy B là nil radical của A.
- Giả sử B lũy linh, khi đó tồn tại m sao cho: Bm =<0> hay (x1.x2…..xm)m
=(0,….,0,..), với mọi x1,…, xm thuộc B. Khi đó:
tồn tại k > m sao cho: xi = ( xi1,…..,xik,0,…0,…) và ta lần lượt lấy:


x’i = ( xi1,…..,xik, 2 ,…0,…) thuộc B, với mọi i =1,2,…,m. Khi đó:
m

(x’1.x’2…..x’m)m =(0,….,0, 2 ,0,…)  (0,…,0,…) mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy: B không lũy linh.
2.1.5. Mệnh đề
x  J(A)  1 – xy khả nghòch trong A,  y  A.
Chứng minh
 / giả sử 1 – xy không khả nghòch trong A,  y  A.nhưng mỗi phần tử

không khả nghòch đều thuộc một số ideal tối đại m nào đó. mặt khác x 
J(A)  m do đó xy  m  1  m (!) mâu thuẫn vì m là ideal tối đại suy ra
1-xy khả nghòch trong A,  y  A (1).

 / Giả sử x  m, với một số ideal tối đại m nào đó. Khi đó m và x sinh ra

ideal (1), vì vậy ta có u + xy = 1, với một số nào đó u  m, và y  A  1-xy
 m. suy ra: 1 – xy không khả nghòch trong A( mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy x  m,  m là ideal tối đại của A hay x  J(A). (2)
Từ (1) và (2) suy ra: điều phải chứng minh.


2.1.6. Mệnh đề
Trong vành các đa thức một ẩn K[x], K là vành giao hoán có đơn vò,
ta có: J(K[x]) = Nil(K[x])
Để chứng minh mệnh đề này, ta cần nhắc đến một số kết quả trong vành
giao hoán.

 Bổ đề 2.1.6.1:
i/ Cho x là phần tử lũy linh của K. Khi đó 1 +x khả nghòch trong K
ii / Tổng của một phần tử khả nghich và một phần tử lũy linh là khả
nghòch.

 Bồ đề 2.1.6.2.
Cho f =a0 + a1x +….+ anxn  K[x] . Khi đó: f khả nghòch trong K[x]
 a0 khả nghòch trong K và a1, a2,….an là lũy linh trong K.

 Bổ đề 2.1.6.3.
Nil(K[x]) = {f = a0 +a1x +…+anxn  K[x] / a0, …, an lũy linh trong K}
Chứng minh: (Mệnh đề 2.1.6)
*Chứng minh: J(K[x])  Nil(K[x]). Thật vậy:
Ta có:+J(K[x]) là giao của các ideal tối đại của K[x]
+Nil(K[x]) là giao của tất cả các ideal nguyên tố của K[x]

+ Mà ideal tối đại là ideal nguyên tố
Vậy: J(K[x])  Nil(K[x]) (1)
* Chứng minh: J(K[x])  Nil(K[x])
Lấy f  J(K[x]), f = a0 +a1x +…+anxn  1-fk khả nghòch trong K[x],  k
 K[x] . Khi đó chọn k = x thì:

1-fk = 1 – (a0x +a1x2 + …+anxn+1) khả nghòch trong K[x]
 a0,…, an lũy linh trong K  f  Nil(K[x]).

Vậy: J(K[x])  Nil(K[x]) (2)
Từ (1) và (2). Ta suy ra: J(K[x]) = Nil(K[x])
2.1.7. Mệnh đề
Trên vành đa thức K[x1, x2] = (K[x1])[x2], với K là vành giao hoán
có đơn vò. Ta luôn có: J(K[x1,x2]) = Nil(K[x1,x2])
Để chứng minh mệnh đề này trước tiên ta cần chứng minh bổ đề sau:
* Bổ đề II.1.7.1
i/ f khả nghòch trong K[x1, x2]  hệ tử tự do khả nghòch trong K và
các hệ tử còn lại lũy linh trong K
ii/ f lũy linh trong K[x1, x2]  f0 khả nghòch trong K[x1] và f1,…,fn lũy linh
trong K[x1].Trong đó:f= f0 +f1x2+ …+ fnx2n, với fi  K[x1], i  0, n và fi =

mi

 b ij .
j 0


Chứng minh:

i/ f là khả nghòch trong K[x1, x2]  f0 khả nghòch trong K[x1] và f1,
…., fn lũy linh trong K[x1]  b00 khả nghòch trong K, b0j lũy linh trong K,

j  1, m 0 và bij lũy linh trong K, j  1, m i  hệ tử tự do khả nghòch
trong K và các hệ tử còn lại lũy linh trong K.
ii / f lũy linh trong K[x1, x2]  f0,…, fn lũy linh trong K[x1]  các hệ
tử của f lũy linh trong K.
Chứng minh: (Mệnh đề 2.1.8)

 Chứng minh: J(K[x1,x2])  Nil(K[x1,x2]). Thật vậy:
+ Nil(K[x1, x2]) giao của tất cả các ideal nguyên tố của K[x1, x2]
+ J(K[x1, x2]) là giao của tất cả các ideal tối đại của K[x1, x2]
+ Mà ideal tối đại là ideal nguyên tố.
Vậy: J(K[x1,x2])  Nil(K[x1,x2])

 Chứng minh: J(K[x1,x2])  Nil(K[x1,x2]).
Lấy f  J(K[x1,x2]), giả sử f = f0 +f1x2 +…+fnx2n, fi  K[x1],
 i = 0, n  1 – fk khả nghòch trong K[x1, x2],  k  K[x1, x2]. Khi đó

chọn k = x2, ta có: 1-fx2 = 1 – f0x2 +f1x22 + …+fnx2n+1 khả nghòch trong
K[x1, x2]  f0, f1, …, fn lũy linh trong K[x1]  các hệ tử của f lũy linh
trong K


 f  Nil(K[x1, x2])  J(K[x1,x2])  Nil(K[x1,x2]).

Vậy: J(K[x1,x2]) = Nil(K[x1,x2]).
Bằng phương pháp quy nạp ta suy ra được kết quả của mệnh đề sau:
2.1.8. Mệnh đề
Trong vành các đa thức K[x1,…,xn], K là vành giao hoán có đơn vò.

Ta luôn có: Nil(K[x1,…,xn]) = J(K[x1,…,xn])
2.1.9. Mệnh đề
Trong vành Artin A, với A là vành giao hoán có đơn vò.
Ta luôn có: Nil(A) = J(A).
Chứng minh
Xét   là ideal nguyên tố của A thì B = A/  là miền nguyên Artinian.
Gọi x  B, x  0 và do sự tồn tại phần tử tối tiểu trong tập hợp các ideal của
A nên ta có: < xn > = < xn+1>, với n là số nguyên dng nào đó. Do đó xn =
xn+1y, với y  B. Vì B là miền nguyên và x  0 nên ta có thể đơn giản xn để
có được:
xy = 1. Do vậy x có phần tử nghòch đảo trong B và lúc đó B là trường. Vì
vậy  là ideal tối đại của A.
Mà: + Nil(A) là giao của tất cả các ideal nguyên tố của A