KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH TRONG DẠY - HỌC TOÁN Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Đức Thuận

KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH
TRONG DẠY - HỌC TOÁN
Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Đức Thuận

KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH
TRONG DẠY - HỌC TOÁN
Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008


LỜI CẢM ƠN
Một trong những món quà tuyệt vời mà cuộc sống dành tặng cho mỗi chúng ta
là khó khăn, thử thách, là cơ hội để vươn lên, trưởng thành hơn. Tôi đã trải qua một
giai đoạn khó khăn, rất khó khăn. Didactic Toán là một ngành học khó, đòi hỏi rất cao
ở người học, người nghiên cứu... Chập chững bước đầu đến với didactic, có lẽ tôi chưa
đưa ra được những kết quả thật xuất sắc, ấn tượng, nhưng tôi đã học hỏi được nhiều
kiến thức quý giá và cần thiết.
Tôi muốn dành lời cảm ơn đầu tiên đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu. Dẫu bộn
bề công việc, Cô vẫn dành nhiều thời gian để hướng dẫn, góp ý cho các học viên về
mặt khoa học.
Tôi muốn cảm ơn PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải,
TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung về sự nhiệt tình chỉ bảo,
động viên, chia sẻ.
Tôi muốn cảm ơn PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot,
TS. Alain Birebent đã nhiệt tình góp ý về luận văn và giải đáp thắc mắc của lớp chúng
tôi về didactic toán.
Tôi muốn cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã dành thời gian dịch tài liệu,
luận văn cho chúng tôi.
Tôi muốn cảm ơn những người bạn cùng lớp cao học về sự hợp tác, động viên,
giúp đỡ trong toàn khóa học.
Tôi muốn cảm ơn những người bạn, những đồng nghiệp đã nhiệt tình giới thiệu,
giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi triển khai thực nghiệm.
Sau cùng, tôi muốn đặc biệt cảm ơn các thành viên trong gia đình, Trường Đại
học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Nhờ có sự chia sẻ của Ban Giám hiệu Trường,
Phòng Khoa học Công nghệ - Sau đại học, Khoa Giáo dục Tiểu học, tôi đã có những
điều kiện thuận lợi trong việc học, hoàn thành luận văn.

Trần Đức Thuận


MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1
Chương 1. DIỆN TÍCH: TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐẾN DIDACTIC ................... 4
1. Một điều tra khoa học luận về khái niệm diện tích......................................... 5
1.1. Những bài toán gắn với diện tích và sự tiến triển của chúng trong
lịch sử .................................................................................................... 5
1.2. Khái niệm diện tích ................................................................................ 8
2. Từ khoa học luận đến didactic ......................................................................10
2.1. Một sự chuyển đổi didactic khái niệm “diện tích”..................................10
2.2. Các quan niệm về khái niệm diện tích ...................................................10
2.3. Bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích.........................................11
2.4. Vai trò của các công thức tính diện tích .................................................13
Chương 2. NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG
DIỆN TÍCH .........................................................................................15
1. Diện tích trong chương trình toán bậc phổ thông ..........................................15
1.2. Diện tích trong chương trình tiểu học ....................................................16
1.2. Diện tích trong chương trình trung học cơ sở.........................................16
1.3. Diện tích trong chương trình trung học phổ thông .................................18
2. Diện tích trong các sách giáo khoa toán tiểu học...........................................18
2.1. Về biểu tượng và tính chất của diện tích ................................................18
2.2. Về đơn vị đo diện tích ...........................................................................19
2.3. Về các công thức tính diện tích..............................................................19
3. Diện tích trong sách giáo khoa Toán 8..........................................................21
3.1. Về định nghĩa, tính chất của diện tích ....................................................21
3.2. Về các công thức tính diện tích..............................................................23

3.3. Về các tổ chức toán học.........................................................................25
4. Kết luận........................................................................................................32


Chương 3. THỰC NGHIỆM ..................................................................................34
1. Thực nghiệm đối với giáo viên .....................................................................34
1.1. Giới thiệu bộ câu hỏi .............................................................................35
1.2. Phân tích a-posteriori.............................................................................39
1.3. Kết luận.................................................................................................40
2. Thực nghiệm đối với học sinh ......................................................................41
2.1. Thực nghiệm thứ nhất............................................................................41
2.2. Thực nghiệm thứ hai..............................................................................45
3. Kết luận phần thực nghiệm ...........................................................................51
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO ......................................52
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


1

MỞ ĐẦU
Ø
Ø
Ø
Ø

Lý do chọn đề tài. Câu hỏi ban đầu
Khung lý thuyết tham chiếu
Mục đích nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ NHỮNG CÂU HỎI BAN ĐẦU
Tính diện tích, so sánh diện tích là những vấn đề thường gặp trong cuộc sống
hàng ngày và trong nhiều ngành khoa học như toán học, vật lý, địa lý...
Ở Việt Nam, diện tích được đưa vào giảng dạy khá sớm, ngay từ bậc tiểu học,
và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông. Việc dạy học diện tích được chia
thành nhiều giai đoạn. Theo Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán của Bộ Giáo
dục và Đào tạo năm 2006, những kiến thức về “diện tích” đưa vào bậc tiểu học là
những “yếu tố, kiến thức chuẩn bị” [1, tr. 8]. Chỉ từ lớp 8, học sinh mới được nghiên
cứu đối tượng “diện tích”. Vì thế, chúng tôi quyết định chọn nghiên cứu việc dạy - học
khái niệm diện tích ở trung học cơ sở tại Việt Nam. Điều này không có nghĩa chúng tôi
sẽ hoàn toàn không quan tâm đến việc đưa vào diện tích ở bậc tiểu học.
Những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là:
– Khái niệm diện tích được hình thành như thế nào?
– Khái niệm diện tích có những đặc trưng nào?
– Có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích?
– Sách giáo khoa Việt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế nào
(theo quan điểm nào)?
– Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm
diện tích của học sinh?
2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời những câu hỏi trên, chúng tôi đặt
nghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết didactic, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học.
Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm “quan hệ
thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”.
Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà
thể chế I có với tri thức O. Nghiên cứu về mối quan hệ thể chế sẽ cho chúng tôi biết
đối tượng tri thức “diện tích” xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì

2
trong thể chế. Nói cách khác, tùy theo thể chế được lựa chọn là thể chế toán học hay
thể chế dạy - học toán ở Việt Nam, chúng tôi có thể trả lời được các câu hỏi: “khái
niệm diện tích được hình thành như thế nào?”, “khái niệm diện tích có những đặc
trưng nào?”, “có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích?”, “sách giáo khoa
Việt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế nào?”.
Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại
mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể
thao tác với O ra sao. Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá
trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O) và bị ảnh hưởng, chi phối bởi quan
hệ thể chế. Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng “diện tích” cho
phép chúng tôi biết cách hiểu của học sinh về khái niệm diện tích sau khi học, đọc
sách giáo khoa... Từ đó, chúng tôi có thể tìm được câu trả lời cho câu hỏi “cách trình
bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm diện tích của học
sinh?”.
Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua
nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie. Praxéologie là một khái niệm do
Yves Chevallard (1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối
quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một
bộ phận gồm bốn thành phần [T, t, q, Q], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, t là kỹ
thuật cho phép giải quyết T, q là công nghệ giải thích cho kỹ thuật t, Q là lý thuyết
giải thích cho công nghệ q.
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình
bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng
chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:
Q1. Khái niệm diện tích có những đặc trưng khoa học luận nào? Những kiểu bài
toán, kiểu tình huống nào cho phép khái niệm diện tích xuất hiện và tác động? Những
đối tượng, khái niệm toán học nào có liên quan, góp phần làm nảy sinh và tiến triển
khái niệm này?

Q2. Mối quan hệ của thể chế với đối tượng diện tích? Khái niệm diện tích (một
hình phẳng) được trình bày như thế nào trong sách giáo khoa lớp 8 hiện hành? Nó
mang những đặc trưng nào? Đặc trưng nào chiếm ưu thế? Các kiểu nhiệm vụ nào được
ưu tiên? Các kỹ thuật liên quan nào được giảng dạy, các kỹ thuật nào được ưu tiên?
Các phát biểu công nghệ lý giải những kỹ thuật đó?


3
Q3. Những ràng buộc của thể chế dạy học ở Việt Nam có ảnh hưởng như thế
nào đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh?
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tôi lựa chọn khung lý thuyết tham chiếu phù
hợp và đặt ra những câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3.
Để trả lời câu hỏi Q1, chúng tôi tiến hành nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán
học về khái niệm diện tích. Tuy nhiên, chúng tôi không tiến hành một nghiên cứu gốc
mà chỉ tổng kết phần phân tích khoa học luận của khái niệm diện tích trong luận án
tiến sĩ của Baltar (1996). Để rõ hơn về cách tiếp cận hình học, chúng tôi có tham khảo
tác phẩm “Cơ bản”(Euclide), “Cơ sở hình học” (Hilbert). Chúng tôi điểm lại một số
kiểu bài toán, kiểu tình huống mà trong đó khái niệm này xuất hiện và tác động một
cách tường minh hay ngầm ẩn, những đối tượng, khái niệm khác có mối liên hệ với
khái niệm này, những chướng ngại có thể gặp khi tiếp cận khái niệm... Kết quả thu
được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong
Chương 1: “Diện tích: Từ khoa học luận đến didactic”.
Để trả lời câu hỏi Q2, Q3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối
tượng diện tích. Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, và
đặc biệt là sách giáo khoa, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ các kiểu nhiệm vụ, các kỹ
thuật, công nghệ gắn với đối tượng diện tích, trả lời được câu hỏi Q2. Chúng tôi so
sánh với tổ chức toán học tham chiếu để đánh giá tổ chức toán học cần xây dựng trong
sách giáo khoa. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế cũng cho phép chúng tôi trả lời câu
hỏi Q3, đưa ra các giả thuyết nghiên cứu. Kết quả này sẽ được trình bày trong

Chương 2: “Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích”.
Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng. Để làm được điều này, chúng
tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với giáo viên qua các phiếu
thăm dò và thực nghiệm đối với học sinh qua các phiếu bài tập. Đây cũng là nội dung
của Chương 3: “Thực nghiệm”.


4

Chương 1

DIỆN TÍCH: TỪ KHOA HỌC LUẬN
ĐẾN DIDACTIC
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø

Những bài toán gắn với diện tích trong lịch sử
Khái niệm diện tích
Sự chuyển đổi didactic khái niệm diện tích
Các quan niệm về khái niệm diện tích
Những tổ chức toán học tham chiếu
Vai trò của công thức tính

Để trả lời cho câu hỏi Q1, chúng tôi cần phải tìm hiểu trước hết những đặc trưng
khoa học luận của khái niệm diện tích. Thiếu sự am hiểu các đặc trưng của tri thức,
người ta khó có thể đặt ra những câu hỏi thỏa đáng liên quan đến việc dạy học tri thức

đó.
Do điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không thể tiến hành một nghiên
cứu gốc trên phương diện khoa học luận của khái niệm diện tích - đối tượng tri thức
được lựa chọn để nghiên cứu trong luận văn này. May thay, chúng tôi đã tìm thấy
những kiến thức cơ sở về khái niệm đó trong các công trình của một số nhà didactic
toán. Đặc biệt, ba tác giả sau đã có những nghiên cứu khá hệ thống về khái niệm này:
– Perrin (1992) nghiên cứu về “vấn đề chuyển đổi didactic của khái niệm diện
tích trong mặt phẳng”;
– Baltar (1996), trong luận án mang tên “Dạy và học khái niệm diện tích trong
mặt phẳng: một nghiên cứu về sự lĩnh hội mối quan hệ giữa độ dài và diện tích ở
trường phổ thông”, đã làm rõ tiến triển của khái niệm diện tích trong lịch sử, các đặc
trưng, các tình huống nảy sinh khái niệm diện tích. Chính trên cơ sở nghiên cứu này
mà tác giả đã thiết kế một đồ án dạy học với sự hỗ trợ của Cabri;
– Valentina (2005) nghiên cứu vai trò của “các công thức tính diện tích hình
phẳng: cầu nối giữa hình học và đại số”.
Tham khảo những công trình trên, cùng với việc nghiên cứu bộ “Cơ bản” của
Euclide, “Cơ sở hình học” của D. Hilbert, chúng tôi đã tìm được câu trả lời cho câu
hỏi Q1.
Chính trên cơ sở hiểu rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm diện tích,
chúng tôi sẽ xác định được những tổ chức toán học liên quan đến nó. Các tổ chức toán


5
học ấy sẽ là cơ sở tham chiếu cho phần phân tích quan hệ thể chế được thực hiện ở
chương sau.
Hơn thế, ba tài liệu tham khảo trên còn mang lại cho chúng tôi một tiếp cận ban
đầu về khái niệm diện tích với tư cách là đối tượng dạy - học. Cụ thể, đó là sự chuyển
đổi didactic khái niệm diện tích, những quan điểm có thể gắn với nó và vai trò của các
công thức tính. Sự tiếp cận từ góc độ didactic ấy cũng sẽ là cơ sở cho nghiên cứu được
thực hiện tiếp theo trong khuôn khổ của luận văn.

1. MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH
1.1. Những bài toán gắn với diện tích và sự tiến triển của chúng trong lịch sử
Những gì được trình bày ở đây chủ yếu được rút ra từ nghiên cứu của
Baltar (1996).
Diện tích xuất hiện từ rất lâu, nhưng chỉ được định nghĩa một cách chính xác từ
thế kỷ XIX.
1.1.1. Bài toán đo đạc, so sánh, cầu phương ở thời cổ đại
Khái niệm diện tích gắn liền với ba bài toán: tính diện tích (đo đạc ruộng đất),
so sánh diện tích và cầu phương một hình.
– Bài toán tính diện tích được hình thành từ nhu cầu đo đạc ruộng đất để tính
thuế sau mỗi vụ mùa.
Các nền văn minh Ai Cập, Babylon, Trung Hoa cổ đại đều tìm được những
công thức riêng để tính chính xác hoặc xấp xỉ diện tích của một số hình thường gặp:
tam giác, các loại tứ giác, hình tròn... Những công thức này giúp họ giải quyết được
bài toán đo đạc diện tích, nghĩa là tìm được số đo tương ứng với hình. Phân tích thành
tựu toán học thời kỳ này, Baltar khẳng định: “ở Ai Cập, Babylon, Trung Hoa, đã có
một bước chuyển từ hình sang số đối với khái niệm diện tích” (Baltar, tr. 16).
Cần phải lưu ý rằng diện tích còn được người xưa sử dụng như một công cụ để
giải nhiều phương trình bậc hai. Trong xu hướng sử dụng này, một số dương được gắn
với một độ dài, một bình phương được gắn với một diện tích. Nói cách khác, ở đây,
diện tích cũng được xem xét theo quan điểm số.
– Bài toán so sánh diện tích cũng đã xuất hiện từ thời cổ đại. Đặc biệt, như
Baltar đã chỉ ra, trong toán học của người Hy Lạp, “bài toán diện tích được đặt trong
phạm vi hình và không có bước chuyển sang số”, hay nói cách khác là họ đã có một
cách “tiếp cận hình học đối với khái niệm diện tích” (Baltar, tr. 16).
Để làm rõ thêm điều này, chúng tôi đã nghiên cứu bộ “Cơ bản” của Euclide và
tìm thấy trong quyển I những tiên đề, mệnh đề được ông đưa ra làm cơ sở cho việc so
sánh diện tích của hai hình:

6
·

Tiên đề 1: Hai cái cùng bằng một cái thứ ba thì bằng nhau.

·

Tiên đề 2: Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những
cái bằng nhau.

·

Tiên đề 3: Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái
bằng nhau.

·

Tiên đề 4: Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau.

·

Tiên đề 5. Toàn thể lớn hơn một phần.

·

Các mệnh đề từ 34 đến 41 trong tập I nói về các trường hợp đẳng diện của hình
bình hành và hình tam giác (hai hình không bằng nhau nhưng có cùng diện tích).
Chẳng hạn : “hai tam giác có đáy bằng nhau và có các đỉnh thuộc cùng cặp
đường thẳng song song thì có cùng diện tích” (mệnh đề 38).

– Bài toán thứ ba là bài toán cầu phương (dựng hình vuông có cùng diện tích
với một hình cho trước). Với hệ thống các mệnh đề trình bày theo trình tự phù hợp,
Euclide đã chỉ ra cách dựng một hình vuông đẳng diện (có cùng diện tích) với một đa
giác bất kỳ cho trước (mệnh đề 14, tập II). Như vậy, Euclide đã giải quyết trọn vẹn bài
toán cầu phương một đa giác cho trước với thước thẳng và com-pa. Bài toán cầu
phương một hình bất kỳ, đặc biệt là hình tròn, với công cụ là com-pa, chưa được giải
quyết triệt để.
Lưu ý rằng cho đến tận thế kỷ thứ III trước công nguyên, khái niệm “diện tích”
vẫn chưa được định nghĩa dù ba bài toán trên đã xuất hiện từ thuở sơ khai của loài
người, và dù tác phẩm “Cơ bản” của Euclide được viết với ý đồ xây dựng hình học
thành một khoa học suy diễn theo tư tưởng của phương pháp tiên đề. Điều cần nói ở
đây là Euclide đã đưa ra một số tiên đề cho phép giải quyết nhiều bài toán về diện tích
theo quan điểm hình học và “diện tích chưa được biểu thị bằng con số” [14, tr. 6]. Tuy
nhiên, như một số nhà toán học của giai đoạn trước, Euclide cũng dùng hình học, đặc
biệt là diện tích và các tính chất của diện tích, để tìm một số kết quả thuộc phạm vi số
học và đại số dưới dạng hình học (các hằng đẳng thức đại số, các tỷ lệ thức...).
1.1.2. Bài toán cầu phương ở thế kỷ XVII
Cho đến tận thế kỷ XVI, khái niệm diện tích vẫn chưa được định nghĩa.
Thời kỳ này, với sự phát triển của cơ học, thiên văn học, người ta đặc biệt quan
tâm đến diện tích của các parabol, elip... Nổi bật trong giai đoạn này là việc Cavalieri
đưa ra phương pháp Indivisible (không thể phân chia) để giải quyết bài toán so sánh
hay tìm tỉ số diện tích, thể tích hai hình. Bằng cách tìm tỉ số diện tích của hình với một
hình đã biết diện tích, phương pháp Indivisible cho phép tính diện tích hình. Cavalieri
xem một hình phẳng được tạo thành từ nhiều đoạn thẳng (các indivisible) và tỉ số diện
tích hai hình tìm được thông qua tỉ số độ dài các indivisible. Tuy nhiên, phương pháp


7
này gặp phải những chướng ngại về bản chất vô hạn, phần tử indivisible, tính liên tục
và gây ra nhiều cuộc tranh luận. Thời kỳ này đặt nền tảng cho sự ra đời và phát triển

của phép tính vi - tích phân.
1.1.3. Bài toán xác định hàm độ đo từ cuối thế kỷ XIX
Cuối thế kỷ XIX, toán học đã đạt được nhiều thành tựu to lớn. Phép tính tích
phân trở thành một công cụ hữu hiệu để giải bài toán tính diện tích. Cũng trong thời kỳ
này, bài toán cầu phương hình tròn, bài toán khó có từ thời Hy Lạp cổ đại, được giải
quyết. Năm 1882, Lindemann chứng minh được p là số siêu việt, nghĩa là không thể
cầu phương hình tròn bằng thước và com-pa.
Một sự kiện lớn xảy ra trong thời kỳ này là một định nghĩa toán học cho khái
niệm diện tích đã được xây dựng. Hilbert quan tâm đến việc tiên đề hóa hình học, xây
dựng nó thành một khoa học mà trong đó mọi khái niệm, không loại trừ diện tích, đều
được định nghĩa từ một số khái niệm ban đầu (gọi là khái niệm cơ bản) và những khái
niệm đã được định nghĩa ở trước. Nhiều nhà toán học khác, trong đó có Lesbegue, lại
quan tâm đến bài toán “xác định một hàm độ đo m từ tập hợp các hình phẳng vào ¡ +
(có thể bổ sung giá trị vô hạn ¥ tùy theo các hình có bị giới hạn bởi các biên hay
không), thỏa mãn tính chất cộng tính và bất biến qua phép dời hình” (Perrin, tr. 19).
Diện tích sẽ được định nghĩa sau khi giải quyết được bài toán trên, hay cụ thể hơn là
bài toán xác định một hàm độ đo m thỏa các tính chất:
· Nếu S1 và S2 rời nhau, thì m ( S1 È S 2 ) = m ( S1 ) + m ( S 2 ) ;
·

m ( S ) ³ 0 với mọi S ;

· Với mọi phép đẳng cự g, và với mọi mặt S, ta có: m ( g ( S )) = m ( S ) .
Tóm lại, nghiên cứu về lịch sử cho thấy khái niệm diện tích đã trải qua nhiều
thế kỷ tiến triển và gắn liền với các bài toán: tính diện tích, so sánh diện tích, cầu
phương một hình... Việc giải quyết bài toán cầu phương ở thời cổ đại được thực hiện
bằng công cụ hình học. Trong khi đó, đối với các bài toán tính diện tích, so sánh diện
tích, người ta lại thường chuyển sang phạm vi số. Thế nhưng, thực ra thì ngay cả đối
với nhiều bài toán thuộc dạng so sánh, tìm tỉ số diện tích, nhiều khi không nhất thiết
phải chuyển sang phạm vi số, nghĩa là vẫn có thể giải quyết chúng trong phạm vi hình

học. Những tiên đề, mệnh đề tìm thấy trong bộ Cơ bản của Euclide cho phép thực hiện
điều này. Ở những tiên đề đó diện tích được tiếp cận từ quan điểm hình học.
Lý thuyết độ đo mang lại một định nghĩa chính xác cho khái niệm diện tích. Rồi
công cụ tích phân cho phép giải quyết các bài toán về diện tích một cách hiệu quả, đặc


8
bit i vi nhng hỡnh khụng phi l a giỏc. n lỳc ny, dng nh quan im s
ln ỏt quan im hỡnh trong vic gii cỏc bi toỏn v din tớch.
1.2. Khỏi nim din tớch
Trong phn ny, trc ht chỳng tụi s trỡnh by nh ngha din tớch ca mt
mt o c tựy ý, sau ú nờu nhng cỏch xõy dng khỏi nim din tớch hỡnh a giỏc,
loi hỡnh c bit m chng sau s c xem xột vi t cỏch l i tng dy hc.
Cỏc nh ngha di õy c chỳng tụi trớch t cụng trỡnh ca Perrin (1992) v
Baltar (1996).
1.2.1. nh ngha din tớch mt mt o c S tựy ý
xõy dng khỏi nim din tớch theo lý thuyt o, ngi ta cn phi xỏc
nh s tn ti ca hm o tha cỏc tớnh cht nờu trờn, núi cỏch khỏc l cn ch ra
cỏch tỡm giỏ tr s tng ng vi mi mt S. Cỏch tip cn gii tớch di õy cho phộp
nh ngha din tớch ca mt hỡnh phng bt k, nhng ũi hi phi s dng n gii
hn.
ã

Chn mt hỡnh vuụng n v C ( m (C ) = 1 ).

ã

Chia nh li cỏc ụ vuụng C bng nhng ng thng song song vi cỏc cnh,
chng hn, chia mi cnh hỡnh vuụng C theo ly tha ca 10: gi Ci l hỡnh vuụng
thu c khi chia mi cnh hỡnh vuụng C thnh 10i phn bng nhau.

ã

Gi ni l s hỡnh vuụng Ci nm hon ton trong S, Ni l s hỡnh vuụng Ci cú ớt nht
mt im chung vi S.

ã

Chng minh c

N i - ni
đ 0 khi i đ Ơ
100i

Ni
n
v i i gi l din tớch ca S.
i
100
100
Ngi ta cng ó chng minh c: nu thay hỡnh vuụng C bi C cú cnh gp
k ln cnh ca C thỡ din tớch tớnh theo C bng din tớch tớnh theo C chia cho k2; nu
thc hin mt phộp v t t s k cho mt thỡ din tớch ca mt qua phộp v t gp k2 ln
din tớch mt ban u.
ã

Gii hn chung ca

1.2.2. nh ngha din tớch a giỏc
i vi trng hp a giỏc, vic nh ngha din tớch khụng cn thit phi s

dng gii hn.
ỉ nh ngha ca Lebesgue
Theo Lebesgue, din tớch ca a giỏc A1A2...An l giỏ tr
1
( A1 A2 dist(O, A1 A2 ) ... An A1 dist(O, An A1 )
2


9
trong đó O là một điểm bất kỳ được chọn trước và trước AiAi+1 là dấu + nếu O và đa
giác nằm cùng nửa nằm mặt bờ là đường thẳng AiAi+1 và mang dấu – trong trường hợp
ngược lại.
A1

O

A2
A5
A3

A4

1
[ A1 A2 .d (O, A1 A2 ) + A2 A3 .d (O, A2 A3 )
2
+ A3 A4 .d (O, A3 A4 ) + A4 A5 .d (O, A4 A5 )
- A5 A1.d (O, A5 A1 )]

Điểm mấu chốt ở đây là chứng minh giá trị trên không phụ thuộc vào việc chọn
điểm O. Diện tích định nghĩa trong hợp này thỏa mãn các tính chất của hàm độ đo.

Tính bất biến của diện tích qua phép dời hình được suy ra từ tính bất biến của độ dài
đoạn thẳng qua phép dời hình.
Ø Định nghĩa của Hadamard
Trong “Les leçons de géométrie”, Hadamard (1902) có cách xây dựng tương tự
trên, nhưng xuất phát từ trường hợp tam giác: diện tích tam giác ABC không phụ thuộc
vào cách chọn cạnh đáy và cũng không phụ thuộc vào việc chọn điểm O, nó bằng:
± diện tích ABO ± diện tích ACO ± diện tích BCO (mang dấu + nếu O nằm cùng phía
với tam giác so với cạnh đáy được xét và dấu – trong trường hợp ngược lại). Từ trường
hợp tam giác, Hadamard mở rộng cho trường hợp đa giác.
Ø Định nghĩa của Hilbert
Lý thuyết về diện tích của Hilbert “cho phép xây dựng khái niệm diện tích cho
các đa giác đơn giản, không cần chuyển qua số” (Baltar, tr. 29).
Trước hết, Hilbert đưa ra định nghĩa về hai đa giác đẳng hợp, đẳng diện.
· Hai đa giác được gọi là đẳng hợp nếu chúng có thể phân hoạch thành hữu hạn các
tam giác bằng nhau từng đôi.
· Hai đa giác được gọi là đẳng diện nếu có thể thêm vào các đa giác khác đẳng hợp
sao cho hai đa giác thu được là đẳng hợp.

Sau đó, ông chứng minh các mệnh đề về sự đẳng hợp, đẳng diện của các hình
bình hành, tam giác. Đây là những mệnh đề làm cơ sở cho việc so sánh diện tích hai
hình trong phạm vi hình học.
Sử dụng những kết quả quan trọng thu được trước đấy, Hilbert định nghĩa:
“Một nửa tích của đáy nhân với chiều cao của tam giác D là độ đo diện tích của tam
giác D, ký hiệu bởi F(D)”.

Độ đo diện tích F(P) của một đa giác được định nghĩa bằng tổng các độ đo diện
tích của các tam giác thu được từ phép phân hoạch đa giác đã cho thành hữu hạn tam
giác.

10
Lưu ý là trước đấy Hilbert đã xây dựng đại số các đoạn thẳng, cho phép xác
định đoạn thẳng bằng tích của hai đoạn thẳng khác. Như vậy, với cách xây dựng của
Hilbert, diện tích một đa giác có thể hiểu như một bất biến hình học đặc trưng cho đa
giác ấy.
2. TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐẾN DIDACTIC
2.1. Một sự chuyển đổi didactic khái niệm “diện tích”
Trong các công trình của Perrin (1992), Baltar (1996), chúng tôi tìm thấy cách
tiếp cận khái niệm diện tích theo lớp tương đương và diện tích mang nghĩa đại lượng,
đặc trưng cho một lớp các hình và không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo diện tích.
“Nếu chọn một mặt đơn vị A và xác định được ánh xạ mA tương ứng, ta có thể xây
dựng một quan hệ tương đương rA như sau:
SrAS’ nếu mA(S) = mA(S’)
Các lớp tương đương này không phụ thuộc vào việc chọn A. Chúng ta gọi diện tích a
của A là lớp tương đương của A theo quan hệ tương đương rA và định nghĩa độ đo của
diện tích a là độ đo của các mặt của a. Khi đó, chúng ta có biểu đồ giao hoán:
mA
S ¾¾
® ¡+
X]
Zm A với mọi B thuộc S thì: X ( B ) = b , mA ( b ) = m A ( B ) ”
a

Cách tiếp cận theo lớp tương đương vừa nêu có nhiều khả năng xuất hiện trong
dạy - học khái niệm diện tích, đặc biệt là khi thiết lập mối quan hệ giữa hình và số.
Mối quan hệ hình - số này có thể được thiết lập trực tiếp hoặc qua một hình trung gian
có cùng diện tích.
2.2. Các quan niệm về khái niệm diện tích
Theo Baltar, trong biểu đồ giao hoán của Perrin (đề cập ở mục 2.1), cần phân
biệt diện tích ở 3 cực sau đây:

– Cực hình học với các mặt;
– Cực “đại lượng”;
– Cực số với các độ đo.
Tuy nhiên, khi “chọn một đơn vị và đồng nhất diện tích với độ đo”, chúng ta sẽ
còn hai cực: “hình học và số”. Dựa theo hai cực hình - số này, chúng ta có các quan
niệm về diện tích như sau:
– Quan niệm hình học: quan niệm này gắn diện tích với kích cỡ của mặt, tiếp
cận theo nghĩa “phần mặt chiếm đóng” hoặc dựa vào tri giác.
– Quan niệm số (của Douady và Perrin-Glorian): diện tích là số, phương diện
hàm vắng mặt. (Tham khảo Baltar, tr. 49, 52)


11
2.3. Bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích
Điều tra khoa học luận đã chỉ ra cho chúng tôi thấy có ba kiểu bài toán gắn liền
với lịch sử tiến triển của khái niệm diện tích: tính diện tích, so sánh diện tích và cầu
phương một hình. Nếu như kiểu bài toán thứ ba được người xưa giải quyết trong phạm
vi hình học thì với bài toán thứ hai, người ta lại có thể tiếp cận từ một trong hai quan
điểm hình hay số, hoặc kết hợp cả hai quan điểm đó. Ở đây thuật ngữ quan điểm số
được hiểu theo nghĩa nó đặt tương ứng diện tích với một số, còn quan điểm hình thì
dựa trên những khái niệm như đẳng hợp, đẳng diện để xem xét diện diện tích một
hình.
Những bài toán này chắc chắn sẽ là một phần không thể thiếu trong dạy - học
“diện tích”. Việc xác định tổ chức toán học tham chiếu gắn với những bài toán trên sẽ
cho chúng tôi một cơ sở để phân tích, đối chiếu, đánh giá các tổ chức toán học cần xây
dựng khi phân tích chương trình, sách giáo khoa.
Trong nhiều bài toán so sánh diện tích người ta có đề cập đến vấn đề tìm tỉ số
diện tích của hai hình. Nếu để trả lời câu hỏi so sánh ta chỉ cần cho biết diện tích hình
này lớn hơn hay bé hơn diện tích hình kia, thì bài toán tìm tỉ số diện tích đòi hỏi phải
cho một kết quả cụ thể hơn. Cũng vì thế mà kỹ thuật tìm câu trả lời cho bài toán thứ

hai này sẽ mang những đặc trưng khác so với lời giải bài toán so sánh.
Vì lẽ đó, chúng tôi sẽ tách riêng bài toán tìm tỉ số diện tích ra khỏi bài toán so
sánh. Như vậy, chúng tôi sẽ nói đến bốn bài toán: tính, so sánh, tìm tỉ số diện tích và
cầu phương một hình. Trong cách tiếp cận của lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi gọi
đó là bốn kiểu nhiệm vụ. Từ việc nghiên cứu lịch sử, ta có thể chỉ ra những tổ chức
toán học (OM) liên quan đến bốn kiểu nhiệm vụ này.
Ø Tổ chức toán học OM1 gắn với kiểu nhiệm vụ tính diện tích một hình (Ttính). Kỹ
thuật giải có thể là:
– Sử dụng công thức đại số (tĐS). Kỹ thuật này áp dụng hiệu quả trong trường
hợp có thể phân tích hình thành các hình có công thức tính diện tích như đa giác, hình
tròn, hình vành khăn... Ngày nay, công cụ tích phân cho phép chứng minh các công
thức tính đại số ấy.
– Sử dụng công cụ tích phân (ttp) để tính diện tích của các hình khả tích.
Kỹ thuật

Yếu tố công nghệ

Yếu tố lý thuyết

tĐS

Các công thức đại số

Công thức tính diện tích hình chữ nhật, các
công thức, tính chất của tích phân, ...

ttp

Các công thức tích phân

Giới hạn, định nghĩa và tính chất tích phân, ...

Bảng 1.1. Tổ chức toán học OM1 gắn với kiểu nhiệm vụ Ttính


12
Ø Tổ chức toán học OM2 gắn với kiểu nhiệm vụ so sánh diện tích (Tss). Kỹ thuật
giải có thể là:
– Kỹ thuật đại số tĐS: tính diện tích mỗi hình, đưa về so sánh số hoặc biểu thức
kết quả. Để tính diện tích hình, người ta có thể sử dụng các công thức đại số hoặc tích
phân.
– Kỹ thuật hình học tHH: tách - ghép, chồng hình để so sánh trong phạm vi hình
học. Các mệnh đề như “Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau”, “Toàn thể lớn
hơn một phần”, ... được sử dụng trong quá trình giải toán.
Kỹ thuật

Yếu tố công nghệ

Yếu tố lý thuyết

tĐS

Các công thức đại số
Các công thức tích phân

tHH

Các tiên đề, mệnh đề về diện tích Các tiên đề, mệnh đề về diện tích
của Euclide, Hilbert...
của Euclide, Hilbert...

Định nghĩa, tính chất, công thức tính
tích phân

Bảng 1.2. Tổ chức toán học OM2 gắn với kiểu nhiệm vụ Tss

Ø Tổ chức toán học OM3 gắn với kiểu nhiệm vụ tìm tỉ số diện tích (Tts). Kỹ thuật
giải có thể là:
– Kỹ thuật đại số tĐS: tính diện tích mỗi hình và lập tỉ số hai số đo diện tích. Để
tính diện tích hình, người ta có thể sử dụng các công thức đại số hoặc tích phân.
– Kỹ thuật hình học tHH: chia mỗi hình thành những phần bằng nhau và tìm
được tỉ số diện tích thông qua tỉ số các phần tương ứng.
Kỹ thuật

Yếu tố công nghệ

Yếu tố lý thuyết

tĐS

Các công thức đại số
Các công thức tích phân

Định nghĩa, tính chất, công thức tính
tích phân

tHH

Các mệnh đề về sự đẳng diện

Các mệnh đề về diện tích (hình)
Các công thức tính diện tích (số)

Bảng 1.3. Tổ chức toán học OM3 gắn với kiểu nhiệm vụ Tts

Ø Tổ chức toán học OM4 gắn với kiểu nhiệm vụ cầu phương đa giác (Tcp). Kỹ
thuật giải có thể là:
– tĐS: tính diện tích hình, từ đó tìm các độ dài cần thiết để dựng hình.
– tHH: dựng hình theo các mệnh đề của Euclide.
Kỹ thuật

Yếu tố công nghệ

Yếu tố lý thuyết

tĐS

Các công thức đại số

Tính chất diện tích, công thức tính
diện tích hình chữ nhật

tHH

Mệnh đề 14, tập II, bộ Cơ bản

Các mệnh đề của Euclide

Bảng 1.4. Tổ chức toán học OM4 gắn với kiểu nhiệm vụ Tcp

13
2.4. Vai trò của các công thức tính diện tích
Các công thức tính được xem như phương tiện cho phép chuyển từ phạm vi
hình học sang phạm vi số. Nhờ chúng, người ta tính ra số đo diện tích và cũng thể hiện
mối quan hệ hàm số giữa các yếu tố của hình (như cạnh, góc) với diện tích của nó.
Về vấn đề này, Valentina (2005) đã đặc biệt quan tâm đến ba kiểu nhiệm vụ sau
khi nghiên cứu các sách giáo khoa của Pháp và Ý.
·

Kiểu nhiệm vụ T1v: Tính diện tích một hình đa giác.

·

Kiểu nhiệm vụ T2v: So sánh diện tích một đa giác với một trong các bộ
phận của nó.

·

Kiểu nhiệm vụ T3v: Chứng minh tỉ số diện tích của một đa giác với một bộ
phận của nó bằng một số cho trước.
Đây là các kiểu nhiệm vụ Ttính, Tss, Tts, với hình được xét là đa giác. Valentina

chỉ rõ các yếu tố còn lại (ti, qi, Qi) của những tổ chức toán học liên quan đến T1v, T2v,
T3v được đưa vào như thế nào trong sách giáo khoa toán ở Pháp và Ý, theo nhiều
chương trình khác nhau, áp dụng từ đầu thế kỷ XX đến đầu thế kỷ XXI. Điểm chung
của các chương trình, sách giáo khoa là:
· Kỹ thuật giải t1 cho kiểu nhiệm vụ T1v là sử dụng công thức tính diện tích
đa giác (phạm vi số);
· Kỹ thuật giải t2 cho kiểu nhiệm vụ T2v là sử dụng công thức tính diện tích

đa giác (phạm vi số).
· Kỹ thuật giải t3 cho kiểu nhiệm vụ T3v là chia đa giác thành các tam giác có
cùng diện tích (và/hoặc bằng nhau) (phạm vi hình học).
Cả hai kỹ thuật giải t1, t2 ở trên đều phải dựa vào các công thức tính diện tích,
hay nói cách khác, chúng có chung yếu tố công nghệ q là các công thức tính diện tích.
Trên cơ sở đó, Valentina xác định một tổ chức toán học địa phương (gồm hai tổ chức
toán học bộ phận [T1v, t1, q, Q], [T2v, t2, q, Q]) gắn liền với các công thức tính diện
tích đa giác. Ở đây, các công thức tính diện tích giúp thực hiện bước chuyển từ hình
sang số.
Khi nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa Việt Nam, với việc sử dụng các tổ
chức toán học tham chiếu theo cách phân chia của Valentina, chúng tôi sẽ có thể:
– Tìm thấy những yếu tố công nghệ cho phép chuyển đổi phạm vi;
– Đánh giá tổ chức toán học cần xây dựng là đầy đủ hay không đầy đủ;
– Đối chiếu, so sánh với các tổ chức toán học được xây dựng ở Pháp, Ý để làm
rõ những đặc trưng của quan hệ thể chế mà chúng tôi nghiên cứu (dạy-học toán ở
lớp 8).


14

Chúng tôi đã trình bày các cách tiếp cận khái niệm diện tích mà chúng tôi tổng
hợp được từ các tài liệu tham khảo. Sách giáo khoa Việt Nam chọn cách tiếp cận nào?
Sự lựa chọn của sách giáo khoa dẫn đến hệ quả gì? Chúng tôi nỗ lực tìm câu trả lời và
trình bày kết quả nghiên cứu trong phần tiếp theo của luận văn.


15

Chương 2

NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ
VỚI ĐỐI TƯỢNG DIỆN TÍCH
Ø Diện tích trong chương trình toán phổ thông
Ø Diện tích trong các sách giáo khoa tiểu học
Ø Diện tích trong sách giáo khoa lớp 8

Nghiên cứu ở chương 1 đã chỉ ra rằng vấn đề gắn liền với việc định nghĩa diện
tích trong lý thuyết độ đo là xác định một ánh xạ từ tập hình vào tập số. Chúng ta cũng
đã chỉ ra bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích các hình phẳng.
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng
diện tích. Thể chế mà chúng tôi đặc biệt quan tâm là việc dạy học toán ở lớp 8 theo
chương trình và sách giáo khoa hiện hành. Chúng tôi sẽ phân tích chương trình, sách
giáo viên, sách bài tập và đặc biệt là sách giáo khoa để tìm câu trả lời cho các câu hỏi
Q2, Q3:
· Khái niệm diện tích các đa giác được trình bày như thế nào trong sách
giáo khoa lớp 8 hiện hành?
· Những tổ chức toán học nào liên quan đến diện tích được đưa vào sách
giáo khoa?
· Có những quy tắc nào của hợp đồng didactique?
1. DIỆN TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN BẬC PHỔ THÔNG
Diện tích được đưa vào giảng dạy ở các lớp 3, 4, 5 như những kiến thức chuẩn
bị cho việc học chính thức từ lớp 8. Khái niệm giới hạn, tích phân được giảng dạy ở
bậc trung học phổ thông tạo điều kiện thuận lợi để học sinh bổ sung kiến thức về diện
tích. Luận văn đặt trọng tâm nghiên cứu về dạy học diện tích ở bậc trung học cơ sở,
đặc biệt là lớp 8. Tuy nhiên, theo quan điểm sinh thái, cần thiết phải xem xét chương
trình trước và sau bậc học mà chúng tôi quan tâm.
Để thuận tiện, chúng tôi sẽ dùng ký hiệu sau đây:
– CT để chỉ Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2006;
– G3 để chỉ sách giáo viên toán 3, G8 để chỉ sách giáo viên toán 8 - tập một;

16
– M3 để chỉ sách giáo khoa toán 3, M4 để chỉ sách giáo khoa toán 4, M8 để chỉ
sách giáo khoa toán 8 - tập một;
– E8 để chỉ sách bài tập toán 8 - tập một.
1.2. Diện tích trong chương trình tiểu học
Mục tiêu của bài đầu tiên, “Diện tích của một hình” là giúp học sinh:
“– Làm quen với khái niệm diện tích. Có biểu tượng về khái niệm diện tích qua hoạt
động so sánh diện tích các hình.
– Biết được: Hình này nằm trọn trong hình kia thì diện tích hình này bé hơn diện tích
hình kia. Hình P được tách thành hai hình M và N thì diện tích hình P bằng tổng diện
tích hai hình M và N.” (G3, tr. 234)

Nói cách khác, học sinh biết “so sánh diện tích hai hình trong một số trường
hợp đơn giản (bằng cách đếm số ô vuông trong mỗi hình rồi so sánh các số ô vuông
đó hoặc bằng cách chồng hình lên nhau)” (CT, tr. 51). Học sinh có thể giải quyết bài
toán so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hình học mà không cần sử dụng công
thức để chuyển sang phạm vi số. Những trích dẫn trên cho thấy khái niệm diện tích
được tiếp cận từ quan điểm hình học.
Sau đấy, chương trình lớp 3 đưa vào các đơn vị đo diện tích, các quy tắc tính
diện tích của hình chữ nhật, hình vuông. Lưu ý rằng, ở lớp 3, học sinh chưa được học
về biểu thức chứa chữ nên thay vì “công thức tính”, người ta nói đến “quy tắc tính”.
Để tính diện tích, học sinh áp dụng các quy tắc (phát biểu ở dạng lời). Tên gọi công
thức chỉ xuất hiện sau khi học sinh học về biểu thức chứa chữ ở lớp 4, và quy tắc tính
diện tích hình chữ nhật được trình bày lại dưới dạng một công thức ở trang 74, M4.
Lớp 4 đưa vào công thức tính diện tích hình bình hành, hình thoi. Lớp 5 trình bày thêm
công thức tính diện tích hình tam giác, hình thang, hình tròn.
Chương trình tiểu học yêu cầu học sinh biết các đơn vị đo diện tích, biết tính
diện tích theo quy tắc (công thức). Nói cách khác, đã có bước chuyển từ phạm vi hình
sang phạm vi số đối với diện tích.

Chúng tôi còn thấy ở chương trình tiểu học của Việt Nam có mối tương quan
ràng buộc giữa tập số, hình, đơn vị đo, công thức tính. Quy tắc, công thức tính diện
tích hình chữ nhật có độ dài các cạnh là số tự nhiên được hợp thức bởi phép toán trên
tập số tự nhiên. Ngược lại, khi mở rộng tập hợp số, bài toán tính diện tích một hình
(với việc chuyển đổi đơn vị đo) được sử dụng để xây dựng phép tính trên tập số mới...
1.2. Diện tích trong chương trình trung học cơ sở
Nếu ở bậc tiểu học, diện tích chỉ giữ vai trò kiến thức chuẩn bị, nằm rải rác, đan
xen trong các lớp 3, 4, 5 thì ở bậc trung học cơ sở, diện tích đa giác là một chương
riêng trong chương trình toán 8. Ở lớp 9, sách giáo khoa thừa nhận công thức tính diện


17
tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn mà không đưa vào định nghĩa, tính chất diện
tích trong phần lý thuyết. Do đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu về diện tích đa giác ở
lớp 8.
Đối với diện tích, chương trình toán trung học cơ sở đặt ra các mục tiêu
* Về kiến thức:
“Hiểu cách xây dựng công thức tính diện tích của hình tam giác, hình thang, các hình
tứ giác đặc biệt khi thừa nhận (không chứng minh) công thức tính diện tích hình chữ
nhật”

* Về kỹ năng:
– Vận dụng được công thức tính diện tích các hình đã học.
– Biết cách tính diện tích của các hình đa giác lồi bằng cách phân chia đa giác đó
thành các tam giác. (CT, 118)

G8 có đề cập đến việc vận dụng các tính chất của diện tích, phân chia một hình
thành các đa giác đơn giản thay vì chỉ chia thành các tam giác. Theo mục tiêu trên,
việc thiết lập các công thức, sử dụng công thức là trọng tâm của chương trình.
Nghiên cứu G8, chúng tôi tìm thấy đoạn tài liệu tham khảo sau ở trang 167:

Diện tích đa giác
Trong toán học, người ta đã chứng minh được mệnh đề: Mỗi đa giác P bao giờ cũng
tương ứng một và chỉ một số thực dương SP thỏa mãn các tính chất sau:
1. Hai đa giác bằng nhau thì hai số tương ứng bằng nhau, nghĩa là:
Nếu P = Q thì SP = SQ.
2. Nếu có một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì
số tương ứng với đa giác bằng tổng các số tương ứng với các đa giác thành phần, có nghĩa là:
Nếu P = P1 È P2 È ... È Pn và các Pi (i = 1, n) không có điểm trong chung thì

S P = S P1 + S P2 + ... + S Pn .
3. Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì tương ứng với số 1.
Số dương duy nhất thỏa mãn cả ba tính chất trên được gọi là diện tích của đa giác P.
Nói cách khác, ta có ánh xạ S từ tập hợp M các đa giác P vào tập hợp ¡ + các số thực
dương:

S : M® ¡ +
P a SP

thỏa mãn hai điều kiện 2) và 3) nêu trên.
Nhờ ánh xạ trên, ta có thể đặt tương ứng mỗi đa giác P với một số dương duy nhất SP
mà ta gọi là diện tích của đa giác P.


18
Đưa ra mệnh đề trên, Việt Nam đã lựa chọn xây dựng khái niệm diện tích thông
qua giải quyết bài toán trong lý thuyết độ đo. Sự tồn tại và duy nhất của hàm độ đo
được thừa nhận. Vấn đề còn lại là xác định quy tắc tìm ảnh của hàm độ đo ấy, hay nói
cách khác là cách xác định số thực dương SP gắn với đa giác P. Chính vì thế mà các
công thức tính diện tích được quan tâm xây dựng. Chúng ta sẽ làm rõ hơn về việc hình
thành các công thức tính diện tích trong phần phân tích sách giáo khoa.

Cũng cần lưu ý rằng, ở Việt Nam, học sinh bậc trung học cơ sở được học hình
học một cách hệ thống với các định nghĩa, định lý, lập luận chặt chẽ. Những tri thức
hình học cần thiết cho dạy học diện tích đa giác ở lớp 8 cũng được đưa vào trước đấy,
chẳng hạn: hai tam giác bằng nhau, các trường hợp bằng nhau của tam giác được đưa
vào giảng dạy từ lớp 7...
1.3. Diện tích trong chương trình trung học phổ thông
1
aha , học sinh được học thêm một số công thức
2
tính diện tích tam giác trong chương hệ thức lượng trong tam giác như:
Ở lớp 10, ngoài công thức S =

1
abc
ab sin C , S =
, S = pr . Đến lớp 12, học sinh
2
4R
làm quen với khái niệm diện tích hình thang cong. Tích phân được sử dụng như một
công cụ hữu hiệu để hợp thức các công thức tính diện tích, thể tích đã học và để tính
diện tích một số hình phẳng...
Như vậy, bậc Trung học phổ thông (lớp 10, lớp 12) cung cấp thêm các công cụ
để tính diện tích một hình, mà trong đó tích phân là một công cụ khá mạnh. Chúng ta
cũng cần lưu ý rằng ở bậc trung học phổ thông, chương trình không đưa vào các tính
chất của diện tích cho trường hợp hình phẳng tổng quát. Các tính chất của diện tích
được ngầm thừa nhận, mở rộng cho trường hợp hình không là đa giác.
S=

p ( p - a )( p - b)( p - c ) , S =

2. DIỆN TÍCH TRONG CÁC SÁCH GIÁO KHOA TOÁN TIỂU HỌC
Do sự kế thừa của chương trình tiểu học, nhiều công thức và tính chất liên quan
đến diện tích nghiên cứu ở lớp 8 được mở rộng hoặc thậm chí giữ nguyên những gì đã
dạy ở dưới. Vì thế, cần thiết phải nhìn lại sơ bộ các sách giáo khoa tiểu học.
2.1. Về biểu tượng và tính chất của diện tích
Trong bài “Diện tích của một hình”, M3, trang 150 có đoạn:


19

Qua hoạt động (1), học sinh được làm quen với khái niệm diện tích, có biểu
tượng về khái niệm diện tích. Hoạt động được thực hiện trong phạm vi hình học, chưa
có bước chuyển sang phạm vi số. Diện tích của hình (không nhất thiết phải là đa giác)
có thể được hiểu như phần mặt phẳng hình chiếm đóng, đặc trưng hình học của các
miền trong mặt phẳng.
Một kiểu nhiệm vụ đã được đưa vào: so sánh diện tích hai hình (Tss). Kỹ thuật
giải là chồng hình lên nhau. Yếu tố công nghệ là tính chất “hình nằm hoàn toàn bên
trong có diện tích bé hơn”. Đây là một tính chất quan trọng, được mặc nhiên thừa
nhận, cho phép so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hình học và được sử dụng khi
xây dựng khái niệm tích phân ở lớp 12.
Kỹ thuật chồng hình tỏ ra kém hiệu quả trong hoạt động (2). Bắt đầu có bước
chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ so
sánh, học sinh “có ý niệm “đo” diện tích qua các ô vuông đơn vị” (G3, tr. 235). Diện
tích mang nghĩa số các ô vuông đơn vị (hình vuông mà cạnh có độ dài bằng đơn vị)
không có điểm trong chung, lấp đầy miền đó.
Hoạt động (3) đề cập đến tính chất cộng tính của diện tích. Đây là một trong
những tính chất rất quan trọng của diện tích.
2.2. Về đơn vị đo diện tích
Đơn vị đo diện tích đầu tiên được đưa vào là cm2, “diện tích của hình vuông có
cạnh dài 1cm” (M3, tr. 151). Với việc chọn trước một đơn vị đo, diện tích của một

hình có thể được quy ra các số đo và diện tích có bước chuyển từ phạm vi hình học
sang phạm vi số. Ngoài đơn vị đo cm2, học sinh còn học về các đơn vị đo diện tích
khác: dm2, m2, km2 (lớp 4), dam2, hm2, mm2, ha (lớp 5).
2.3. Về các công thức tính diện tích
Sau khi đưa vào cm2 là diện tích hình vuông đơn vị, M3 đưa vào quy tắc tìm
diện tích hình chữ nhật, diện tích hình vuông. Để có được quy tắc này, diện tích hình


20
chữ nhật được quy về số ô vuông đơn vị cần phủ kín hình chữ nhật ấy. Diện tích được
tính bởi một con số đi kèm với đơn vị đo. Giá trị số được tìm nhanh nhờ thực hiện
phép nhân thay vì phép đếm. Các quy tắc tính phát biểu bằng câu văn được trình bày
lại dưới dạng công thức ở trang 74, M4. Các công thức cho phép thực hiện bước
chuyển từ phạm vi hình học sang số, bài toán so sánh diện tích hai hình đưa về bài
toán so sánh hai số, thậm chí không cần đến hình vẽ mà chỉ cần kích thước các cạnh
cần thiết.
Ở bậc tiểu học, công thức tính diện tích đa giác được đưa vào theo trình tự:
1. Diện tích hình vuông đơn vị (lớp 3);
2. Quy tắc tính diện tích hình chữ nhật;
3. Quy tắc tính diện tích hình vuông (lớp 3);
4. Công thức tính diện tích hình bình hành;
5. Công thức tính diện tích hình thoi (lớp 4);
6. Công thức tính diện tích hình tam giác;
7. Công thức tính diện tích hình thang (lớp 5).
Điểm chung khi thiết lập các công thức mới ở bậc tiểu học là cắt - ghép hình để
đưa về hình chữ nhật có cùng diện tích (phạm vi hình học), hay nói cách khác là phải
giải quyết một phần kiểu nhiệm vụ cầu phương Tcp. Ví dụ: M4 đưa vào công thức tính
diện tích hình bình hành ở trang 103 như sau:

Riêng đối với hình thang thì người ta cắt - ghép thành hình tam giác. Kỹ thuật

cắt - ghép mảnh bìa được sử dụng vì ở tiểu học, học sinh chưa học về các hình (tam
giác) bằng nhau, và do đó chưa thể sử dụng lập luận toán học về sự bằng nhau của hai
hình. Với cách thiết lập này, công thức không chỉ là công cụ, phương tiện cho phép
chuyển từ phạm vi hình sang phạm vi số, mà còn có thể được hiểu theo một nghĩa