Ebook kiến thức cơ bản và nâng cao về tam giác đồng dạng

 

Processing math: 100%

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH


HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại .
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®

KIẾN THỨC CƠ BẢN
KHÁI NIỆM TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
1. Cho ΔABC có: AB = 3 cm; BC = 5 cm; CA = 7 cm. ΔA ′ B ′ C ′ đồng dạng với ΔABC
, có cạnh nhỏ nhất là 4,5 cm. Tính các cạnh còn lại của ΔA ′ B ′ C ′ .
 
Xem lời giải tại:
/>2. Cho ΔABC có: AB = 16,2 cm; BC = 24,3 cm; AC = 32,7 cm. Tính các cạnh của 
ΔA ′ B ′ C ′ , biết ΔA ′ B ′ C ′ đồng dạng với ΔABC và:
a.  A’B’ lớn hơn cạnh AB là 10, 8 cm.
b.  A’B’ bé hơn cạnh AB là 5,4 cm.
Xem lời giải tại:
/>′

′

′

3. Cho ΔA B C ∼ ΔABC theo tỉ số đồng dạng k =

3
5

 .

a.  Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.
b.  Cho hiệu chu vi của hai tam giác trên là 40 dm, tính chu vi của mỗi tam giác.
Xem lời giải tại:
/>4. Từ điểm M thuộc cạnh AB của ΔABC với AM =

1
2

MB, kẻ các tia song song với

AC và BC, chúng cắt BC và AC lần lượt tại L và N.
a.  Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng.
b.  Đối với mỗi cặp tam giác đồng dạng, hãy viết các cặp góc bằng nhau và tỉ số
đồng dạng tương ứng.
Xem lời giải tại:
/>

5. Cho ΔABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD =
của tia AC lấy điểm E sao cho AE =

1
3

1
3

AB. Trên tia đối

AC. Chứng minh rằng ΔADE ∼ ΔABC, tìm

tỉ số đồng dạng?
 
Xem lời giải tại:
/>6. Cho hình thang ABCD (AB / / CD) có CD = 2AB. Gọi E là trung điểm của CD. 
Chứng minh rằng: ΔADE; ΔEBA; ΔBEC đồng dạng từng đôi một.

 
Xem lời giải tại:
/>7. Chu vi của một tam giác bằng 

11

 chu vi của một tam giác khác đồng dạng với
13
nó. Hiệu hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng 1 cm. Tính các cạnh đó.
 
Xem lời giải tại:
/>8. Cho hình thang cân ABCD (AD / / BC), AD = a, BC = b (a > b). Gọi K là trung
điểm của AD, KB cắt AC tại M, KC cắt BD tại N. Tính độ dài MN?
 
Xem lời giải tại:
/>^
^
0
9. Cho ΔABC, BC = a, AC = b, ACB = 120 . Tính độ dài phân giác của ACB.
 
Xem lời giải tại:
/>10. Cho ΔABC. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho 

MB
MC

=

1
2

. Kẻ MD // AC (D ∈ AB),


ME // AB (E ∈ AC).
a.  Tìm các cặp tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng
b.  Tính chu vi ΔDBM; ΔEMC, biết chu vi ΔABC bằng 24 cm.
Xem lời giải tại:
/>11. Cho ΔABC ∼ ΔHIK theo tỉ số đồng dạng k =

2
5

a.  Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho
b.  Tính chu vi ΔHIK biết chu vi ΔABC bằng 60 cm
Xem lời giải tại:
/>12. Cho ΔABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho 
MK // AB (K ∈ AC)

MB
MC

=

2
3

. Kẻ MH // AC (H ∈ AC),

a.  Tính MB, MC biết BC = 25 cm

b.  Tính chu vi ΔABC, biết chu vi ΔKMC bằng 30 cm
c.  Chứng minh: HB. MC = BM. KM.
Xem lời giải tại:
/>
TRƯỜNG HỢP ĐỒNGG DẠNG CẠNH ‐ CẠNH ‐ CẠNH
13. Cho điểm O nằm trong ΔABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng OA, OB, OC.
a.  Chứng minh: ΔPQR ∼ ΔABC
b.  Tính chu vi ΔPQR, biết chu vi ΔABC bằng 540 cm.
Xem lời giải tại:
/>14. Cho tứ giác ABCD có AB = 3 cm, BC = 10 cm, CD = 12 cm, AD = 5 cm, đường
chéo BD = 6 cm. Chứng minh:
a.  ΔABD ∼ ΔBDC
b.  Tứ giác ABCD là hình thang.


Xem lời giải tại:
/>15. Cho ΔABC, Aˆ = 90 0, AB = 24 cm, BC = 26 cm và 
ΔIMN, ˆI = 90 0, IN = 25 cm, MN = 65 cm.
Chứng minh: ΔABC ∼ ΔIMN
 
Xem lời giải tại:
/>^
AB
BC
16. Cho ΔABC, Aˆ = 90 0 và ΔA ′ B ′ C ′ , A ′ = 90 0. Biết  ′ ′ = ′ ′ = 2. 
A B
B C
a.  Tính 

AC
A ′C ′

= ?

b.  Chứng minh: ΔABC ∼ ΔA ′ B ′ C ′
Xem lời giải tại:
/>17. Cho ΔA ′ B ′ C ′ ∼ ΔABC. Biết AB = 3 cm, AC = 5 cm, BC = 7 cm và nửa chu
vi của ΔA ′ B ′ C ′  là 30 cm. Tính độ dài các cạnh của ΔA ′ B ′ C ′ .
 
Xem lời giải tại:
/>3
18. Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là   và hiệu hai cạnh tương ứng
4
của chúng là 2 cm. Tính hai cạnh đó.
 
Xem lời giải tại:
/>19. Cho ΔABC có AB : BC : AC = 4 : 5 : 6. Biết ΔDEF ∼ ΔABC và cạnh nhỏ nhất
của ΔDEF là 8 cm. Tính các cạnh còn lại của ΔDEF.
 


Xem lời giải tại:
/>20. Cho ΔABC có BC = 9 cm, AC = 6 cm, AB = 4 cm.  Gọi h a, h b, h c là chiều
cao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh ΔABC đồng dạng với tam
giác có ba cạnh bằng h a, h b, h c.
 
Xem lời giải tại:
/>21. Cho ΔABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O. Gọi P, Q, R, D, H, K theo
thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC, AB, AC, BC.

a.  Chứng minh ΔKHD ∼ ΔPQR, tìm tỉ số đồng dạng.
b.  Tính chu vi ΔPQR, ΔABC, biết chu vi ΔKHD bằng 100 cm.
Xem lời giải tại:
/>22. Cho điểm H nằm trong ΔABC. Gọi K, M, N theo thứ tự là trung điểm của các
đoạn thẳng AH, BH, CH. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng
KM, KN, MN.
a.  Chứng minh ΔFED ∼ ΔABC, tìm tỉ số đồng dạng?
b.  Biết nửa chu vi của ΔABC là 12 cm. Tính chu vi ΔFED.
Xem lời giải tại:
/>23. Cho ΔABC có AB : BC : AC = 2 : 5 : 4. Biết ΔDEF ∼ ΔABC và chu vi của ΔDEF
là 55 cm. Tính các cạnh của ΔDEF.
 
Xem lời giải tại:
/>
TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CẠNH ‐ GÓC ‐ CẠNH
24. Cho ΔABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Trên cạnh AB lấy điểm M
sao cho AM = 10 cm, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 8 cm. Tính độ dài
MN.
 


Xem lời giải tại:
/>25. Cho hình thang ABCD (AB / / CD) có AB = 4 cm, CD = 16 cm, BD = 8 cm.
^
^
0
a.  Biết BAD = 130 , tính DBC = ?
b.  Tính tỉ số 

AD

BC

= ?.

Xem lời giải tại:
/>26. Cho ΔABCcó AB = 4 cm. Điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = 2 cm, DC = 6
cm. 
^
^
0
Biết ACB = 20 , tính ABD?
 
Xem lời giải tại:
/>ˆ = 90 0), AB = 4 cm, BD = 6 cm, CD = 9
27. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ = D
cm.
Tính độ dài BC.
 
Xem lời giải tại:
/>28. Cho hình bình hành ABCD, Aˆ > 90 0, các đường cao AH, AK (
H ∈ CD; K ∈ BC).
^
^
So sánh AKH và ACH.
 
Xem lời giải tại:
/>Bˆ

29. Cho ΔABC, AB = 4 cm, BC = 5 cm, AC = 6 cm. Tính tỉ số  .
ˆ

C
 


Xem lời giải tại:
/>30. Cho hình thoi ABCD có Aˆ = 60 0. Qua C kẻ đường thẳng d cắt các tia đối của
các tia BA, DA theo thứ tự ở E, F. Goi I là giao điểm của DE và BF.
EB
AD
a.  So sánh   và 
 .
BA
DF
b.  Chứng minh ΔEBD ∼ ΔBDF.
^
c.  Tính BID = ? .
Xem lời giải tại:
/>ˆ = 90 0), AB = 10 cm, CD = 30 cm, AD =
31. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ = D
35 cm. 
^
Điểm E nằm trên cạnh AD sao cho AE = 15 cm. Tính BEC?
 
Xem lời giải tại:
/>32. Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O, AC = 2AB. Vẽ trung tuyến BE của 
ΔABO (E ∈ AO). Gọi M là trung điểm của BC.
^
^
a.  So sánh ABE và ACB.
b.  Chứng minh EM⊥BD.

Xem lời giải tại:
/>33. Cho ΔABC. Đường thẳng d / / BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E sao cho 
DC 2 = BC. DE.
a.  So sánh ΔDEC và ΔCDB.
b.  Nêu cách dựng DE.
Xem lời giải tại:
/>

34. Cho ΔABC và G là điểm thuộc miền trong tam giác, tia AG cắt BC tại K và tia
CG cắt AB tại M. Biết rằng AG = 2GK; CG = 2GM. Chứng minh rằng G là trọng
tâm của ΔABC
 
Xem lời giải tại:
/>35. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Biết 
^
^
0
AB = 9cm; BD = 12cm; CD = 16cm; ADB = 45 . Tính BCD ?
 
Xem lời giải tại:
/>ˆ BA = 2, 5DE; BC = 2, 5EF; AC + DF = 49cm.
36. Cho ΔABC và ΔDEF có Bˆ = E;
Tính AC và DF.
 
Xem lời giải tại:
/>37. Cho góc xOy có tia phân giác Ot. Trên tia Ox lấy các điểm A và C’ sao cho 
OA = 4cm; OC ′ = 9cm. Trên tia Oy lấy các điểm A’ và C sao cho 
OA ′ = 12cm; OC = 3cm.  Trên tia Ot lấy các điểm B và B’ sao cho 
OB = 6cm; OB ′ = 18cm.
a.  Chứng minh rằng ΔOAB ∼ ΔOA ′ B ′

b.  Tính các tỉ số 

AB
A ′B

;
′

BC
B ′C

;
′

AC
A ′C ′

Xem lời giải tại:
/>38. Trên một cạnh của một góc có đỉnh là O, đặt các đoạn thẳng 
OA = 5cm; OB = 16cm. Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng 
OC = 8cm; OD = 10cm.
a.  Chứng minh rằng ΔOCB ∼ ΔOAD.
b.  Gọi giao điểm của các cạnh AD và BC là I. Chứng minh rằng AI. ID = IB. IC


Xem lời giải tại:
/>
TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG GÓC ‐ GÓC
39. Qua điểm O tùy ý ở trong tam giác ABC kẻ đường thẳng song song với AB,
cắt AC và BC ở D và E, đường thẳng song song với AC cắt AB và BC tại F và K,

đường thẳng song song với BC cắt AB và AC ở M và N.
AF BE CN
Chứng minh rằng: 
+
+
= 1.
AB BC CA
 
Xem lời giải tại:
/>40. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BI và CK, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi
D và E theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Gọi D' là hình chiếu của D
trên AC, E' là hình chiếu của E trên AB, H là giao điểm của DD' và EE'. Chứng
minh rằng ba điểm H, K ,I thẳng hàng.
 
Xem lời giải tại:
/>41. Cho tam giác ABC. Qua điểm O thuộc miền trong tam giác kẻ các đường
thẳng DE, FH, MK tương ứng song song với AB, BC, CA (H, K thuộc AB; M, E
thuộc BC; F, D thuộc AC). Gọi A' là giao điểm của AO với BC, B' là giao điểm của
BO với AC, C' là giao điểm của CO với AB. Chứng minh rằng:
FH MK DE
+
+
= 2.
BC AC
AB
 
Xem lời giải tại:
/>42. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Lấy điểm D thuộc cạnh
^
ˆ

AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho ADE = B. Gọi G, H theo thứ tự là hình chiếu
của E, D trên BC. Tính tổng DE + EG + DH.
 


Xem lời giải tại:
/>43. Các đáy của một hình thang là a và b (a > b). Hãy xác định độ dài đoạn thẳng
song song với cạnh đáy của hình thang và chia hình thang thành hai phần có
diện tích bằng nhau.
 
Xem lời giải tại:
/>44. Giả sử AC là đường chéo lớn nhất trong hình bình hành ABCD. Từ C kẻ CE
vuông góc với AB (E thuộc đường thẳng AB) và CF vuông góc với AD (F thuộc
đường thẳng AD). Chứng minh rằng:
AB. AE + AD. AF = AC 2
 
Xem lời giải tại:
/>45. Cho ΔABC có Aˆ = 90 0 và đường cao AH. Từ điểm H hạ đường HK⊥AC (hình
vẽ)
Hỏi trong hình đã cho có bao nhiêu tam giác đồng dạng với nhau.

 
Xem lời giải tại:
/>46. Hình thang ABCD (AB//CD) có 
^
^
AB = 2, 5cm; AD = 3, 5cm; BD = 5cm; DAB = DBC
a.  Chứng minh rằng ΔADB ∼ ΔBCD
b.  Tính độ dài các cạnh BC, CD

Xem lời giải tại:
/>47. Cho ΔABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D, trên tia đối của tia AC lấy điểm
E sao cho DE / / BC.
a.  Chứng minh rằng ΔADE ∼ ΔABC và viết tỷ số đồng dạng.
b.  Nếu BC = 3ED, AB = 6cm tính độ dài của BD.
Xem lời giải tại:
/>48. Cho ΔABC trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 
^
^
ADE = ACB. Chứng minh rằng:
a.  ΔADE ∼ ΔACB
b.  AD. AB = AE. AC
Xem lời giải tại:
/>49. Cho ΔABC có Aˆ = 90 0, dựng AH⊥BC (H ∈ BC). Đường phân giác BE cắt AH
tại F.
FH
EA
Chứng minh rằng 
=
.
FA
EC
 
Xem lời giải tại:
/>50. Tính độ dài x của đoạn thẳng BD trong hình vẽ biết rằng ABCD là hình thang,
^
^
AB // CD; AB = 12, 5 cm; CD = 28, 5 cm; DAB = DBC.

 


Xem lời giải tại:
/>
51. Cho hình thang ABCD, (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC
và BD.
a.  Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC
b.  Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. Chứng
OH
AB
minh rằng 
=
 
OK
CD
Xem lời giải tại:
/>ˆ
52. Cho ΔABC có cạnh AB = 24 cm; AC = 28 cm đường phân giác của góc A cắt
cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng
AD.
a.  Tính tỉ số 

BM
CN

b.  Chứng minh rằng 

AM
AN

=

DM
DN

Xem lời giải tại:
/>53. Cho ΔABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên
^
cạnh AC lấy điểm E sao cho DM là tia phân giác của BDE. Chứng minh rằng 
BC 2
BD. CE =
4
 
Xem lời giải tại:
/>^
^
54. Cho ΔABC và ΔA ′ B ′ C ′  biết Aˆ + A ′ = 180 0; Bˆ = B ′ . Chứng minh rằng 
AB. A ′ B ′ + AC. A ′ C ′ = BC. B ′ C ′
 


Xem lời giải tại:
/>ˆ  Chứng minh rằng 
55. Cho ΔABC có AB = c; BC = a; AC = b; Aˆ = 2B.
a 2 = b 2 + bc
 
Xem lời giải tại:
/>
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG

56. Cho ΔABC : Aˆ = 90 0; AC = 9 cm; BC = 24 cm. Đường trung trực của BC cắt
đường thẳng AC tại D, cắt BC tại M. Tính độ dài đoạn CD.
 
Xem lời giải tại:
/>57. Cho ΔABC; Aˆ = 90 0; AC = 4 cm; BC = 6 cm. Kẻ Cx⊥BC (tia Cx và điểm A
khác phía so với đường thẳng BC). Trên Cx lấy điểm D sao cho BD = 9 cm. Chứng
minh BD / / AC.
 
Xem lời giải tại:
/>58. Cho ΔABC có Aˆ = 90 0; AH⊥BC (H ∈ BC). Chứng minh AH 2 = BH. CH.
 
Xem lời giải tại:
/>59. Cho ΔABC có Aˆ = 90 0; AH⊥BC (H ∈ BC); MB = MC (M ∈ BC). Tính diện
tích ΔAHM biết BH = 4 cm, CH = 9 cm.
 
Xem lời giải tại:
/>ˆ = 90 0 có AB = 20 cm, BH = 12 cm. Trên tia đối của tia HB lấy
60. Cho ΔABH; H


điểm C sao cho 

AC
AH

=

5
3

.

a.  Chứng minh: ΔABH ∼ ΔCAH.
^
b.  Tính BAC?
Xem lời giải tại:
/>61. Cho ΔABC có  Aˆ = 90 0; AH⊥BC (H ∈ BC), AH = 8 cm, BC = 20 cm. Gọi D là
hình chiếu của H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB.
a.  Chứng minh: ΔADE ∼ ΔABC.
b.  Tính S ΔADE ?
Xem lời giải tại:
/>ˆ = 90 0; CH⊥AB (H ∈ AB). Trên CH lấy điểm E, qua B kẻ 
62. ΔABC có C
BD⊥AE (D ∈ AE). Chứng minh rằng:
a.  AD. AE + BA. BH = AB 2
b.  AD. AE − HA. HB = AH 2
Xem lời giải tại:
/>63. Cho hình bình hành ABCD có AC là đường chéo lớn. Gọi E và F theo thứ tự là
hình chiếu của C trên AB và AD. Gọi H là hình hình chiếu của D trên AC. Chứng
minh rằng:
a.  AD. AF = AC. AH
b.  AD. AF + AB. AE = AC 2
Xem lời giải tại:
/>64. Cho ΔABC. Qua D ∈ BC lần lượt kẻ DE / / AC (E ∈ AB); DF / / AB (F ∈ AC).
Biết S ΔBED = 16 cm 2; S ΔDFC = 25 cm 2. Tính S ΔABC ?
 


Xem lời giải tại:
/>

65. Cho ΔABC, ba trung tuyến AK, BN, CM cắt nhau tại O. Gọi A 1; A 2; A 3 là ba
điểm lần lượt trên AK, BN, CM sao cho 
1
1
1
AA 1 = A 1K; BB 1 = B 1N; CC 1 = C 1M.
3
3
3
Tính S ΔA B C  biết S ΔABC = 128 cm 2.
1 1 1

 
Xem lời giải tại:
/>66. Cho ΔABC vuông ở A và có đường cao AH, BH = 9cm, CH = 16cm. Tính độ dài
các cạnh của ΔABC.
 
Xem lời giải tại:
/>67. Cho ΔABC vuông tại A, BC = 20cm; AB = 12cm, AH là đường cao (H ∈ BC).
Tính độ dài đoạn CH.
 
Xem lời giải tại:
/>68. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, gọi P là trung điểm của BH, Q là trung
điểm của AH. Chứng minh rằng:
a.  ΔABP ∼ ΔCAQ
b.  AP⊥CQ
Xem lời giải tại:
/>ˆ = 30 0 và đường phân giác BD (D ∈ AC).
69. Cho ΔABC có Aˆ = 90 0; C
a.  Tính tỉ số 

AD
CD

b.  Cho biết độ dài AB = 12, 5cm, tính chu vi của ΔABC


c.  Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng ΔADB = ΔMDC
Xem lời giải tại:
/>70. Cho ΔABC, đường cao AH, kẻ HI⊥AB; HK⊥AC. Chứng minh rằng:
a.  AH 2 = AI. AB
b.  ΔAIK ∼ ΔACB
^
EB 2
BI
c.  Đường phân giác của AHB cắt AB tại E. Biết 
= .  Tính 
AB 5
AI
Xem lời giải tại:
/>71. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BH⊥CM, nối DH, vẽ 
HN⊥DH(N ∈ BC). Chứng minh rằng:
a.  ΔDHC ∼ ΔNHB
b.  ΔMHB ∼ ΔBHC
c.  NB = MB
Xem lời giải tại:
/>72. Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm; AB = 8cm và hai đường chéo cắt
nhau tại O. Qua D kẻ đường thẳng d⊥DB , d cắt BC tại E.
a.  Chứng minh rằng: ΔBDE ∼ ΔDCE
b.  Kẻ CH⊥DE tại H, chứng minh DC 2 = CH. DB

c.  Gọi K là giao điểm của OE và HC. Chứng minh K là trung điểm của HC.
d.  Tính tỷ số 

S EHC
S EDB

Xem lời giải tại:
/>73. Cho ΔABC vuông tại A có AH là đường cao, gọi D và E lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H lên AB, AC.
a.  Chứng minh rằng ΔAED ∼ ΔABC
b.  Giả sử S ABC = 2S ADHE . Chứng minh rằng ΔABC vuông cân tại A.


Xem lời giải tại:
/>

KIẾN THỨC NÂNG CAO
BÀI TẬP LIÊN QUAN
^
^
0
74. Cho ΔABC, BC = a, AC = b, ACB = 120 . Tính độ dài phân giác của ACB.
 
Xem lời giải tại:
/>75. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ = Bˆ = 90 0), AD = a, BC = b (a > b), AB = c.
Tính các khoảng cách từ giao điểm các đường chéo hình thang đến đáy AD và
cạnh bên AB.
 
Xem lời giải tại:
/>76. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB > CD), AC cắt BD tại F. Từ C vẽ CK // AD

AB
(K ∈ AB), CK cắt BD tại L biết DF = BL. Tính 
CD
 
Xem lời giải tại:
/>77. Cho tứ giác ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Đường
thẳng EF cắt các đường thẳng AB, CD lần lượt tại M, N. Chứng minh 
MA. NC = MB. ND.
 
Xem lời giải tại:
/>78. Cho ΔABC có BC = a, AC = b, AB = c và a 2 = bc. Gọi h a, h b, h c là chiều
cao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh ΔABC đồng dạng với tam
giác có ba cạnh bằng độ dài các đường cao của ΔABC.
 


Xem lời giải tại:
/>^
AB
BC
79. Cho ΔABC, Aˆ = 90 0 và ΔA ′ B ′ C ′ , A ′ = 90 0. Biết  ′ ′ = ′ ′ = k
A B
B C
a.  Tính 

AC
A ′C ′

b.  Chứng minh: ΔABC ∼ ΔA ′ B ′ C ′
c.  Tính tỉ số diện tích của ΔABC và ΔA ′ B ′ C ′ .

Xem lời giải tại:
/>ˆ = 90 0, AB = 20 cm, BH = 12 cm. Trên tia đối của tia HB lấy
80. Cho ΔABH, H
5
điểm C sao cho AC = AH.
3
a.  Chứng minh: ΔABH ∼ ΔCAH
^
b.  Tính BAC = ?
Xem lời giải tại:
/>81. Cho tứ giác ABCD có: 
^
^
0
BAD = 90 , CBD = 90 0, AB = 4 cm, BD = 6 cm, CD = 9 cm.
a.  Chứng minh ΔABD ∼ ΔBDC
b.  Tứ giác ABCD là hình thang vuông.
Xem lời giải tại:
/>82. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh BA, BC đặt BP = BQ vẽ BH⊥CP. Chứng
minh rằng DH⊥HQ
 
Xem lời giải tại:
/>

83. Cho ΔABC đều, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm P trên cạnh AB và điểm
^
Q trên cạnh AC sao cho PMQ = 60 0. Chứng minh:
a.  ΔPBM ∼ ΔMCQ
b.  ΔMBP ∼ ΔQMP
c. 

S MPQ
S ABC

=

PQ
2BC

Xem lời giải tại:
/>84. Cho ΔABC đều, O là trọng tâm của tam giác và điểm M ∈ BC, M không trùng
với trung điểm của BC. Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC, các đường
vuông góc này lần lượt cắt OB và OC taị I và K.
a.  Chứng minh rằng tứ giác MIOK là hình bình hành
b.  Gọi R là giao điểm của PQ và OM. Chứng minh R là trung điểm của PQ.
Xem lời giải tại:
/>85. Cho ΔABC cân tại đỉnh A và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là hình chiếu
vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng 
ΔBIC ∼ ΔAOH.
 
Xem lời giải tại:
/>86. Cho hình thang ABCD có (AB//CD), AB = m; CD = n(n > m), các điểm P, Q
lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho PQ / / AB / / CD; S ABQP = S PQCD. Chứng
minh rằng: PQ 2

=

m2 + n2
2

 
Xem lời giải tại:
/>87. Cho ΔABC, có trực tâm H, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC.
Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ΔABC.
a.  Chứng minh rằng ΔOMN ∼ ΔHAB


b.  Tính tỉ số 

OM
AH

c.  Gọi G là trọng tâm của ΔABC. Chứng minh rằng ΔHAG ∼ ΔOMG
d.  Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2GO
Xem lời giải tại:
/>88. Cho ΔABC cân tại A, vẽ các đường cao BH, CK (H ∈ AC; K ∈ AB)
a.  Chứng minh BK = CH
b.  Chứng minh KH // BC
c.  Biết BC = a; AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.
Xem lời giải tại:
/>89. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 15cm; AC = 20cm.
a.  Chứng minh rằng CA 2 = CH. CB
^
b.  Kẻ AD là tia phân giác của BAC(D ∈ BC). Tính HD.
c.  Trên tia đối của tia AC lấy điểm I. Kẻ AK⊥BI tại K. Chứng minh rằng 
ΔBHK ∼ ΔBIC
d.  Cho AI = 8cm. Tính diện tích ΔBHK.
Xem lời giải tại:
/>90. Cho ΔABC vuông tại A, (AB < AC) và trung tuyến AD, kẻ đường thẳng vuông
góc với AD tại D lần lượt cắt AC tại E và AB tại F.

a.  Chứng minh ΔDCE ∼ ΔDFB
b.  Chứng minh AE. AC = AB. AF
c.  Đường cao AH của ΔABC cắt EF tại I. Chứng minh rằng 

S ABC
S AEF

=

Xem lời giải tại:
/>91. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH (H ∈ BC).

( )
AD
AI

2


a.  Chứng minh ΔABH ∼ ΔCBA
b.  Trên tia HC, lấy D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH
cắt AC tại E. Chứng minh CE. CA = CD. CB
c.  Chứng minh AE = AB
d.  Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh AH. BM = AB. HM + AM. HB
Xem lời giải tại:
/>92. Cho ΔABC vuông tại A (AB > AC) kẻ đường cao AH.
a.  Chứng minh rằng: 

AB 2
BH

=

AC 2
CH

^
b.  Kẻ AD là tia phân giác của BAH(D ∈ BH). Chứng minh ΔACD cân và 
DH. DC = BD. HC

( )

( )

c.  Tính độ dài AH trong trường hợp S ABH = 15, 36 cm 2 ; S ACH = 8, 64 cm 2

d.  Gọi M là trung điểm của AB, E là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH.
Chứng minh rằng: CE / / AD.
Xem lời giải tại:
/>93. Cho tứ giác ABCD, điểm E ∈ AB, qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt
BC ở F. Qua F kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại G. Qua G kẻ đường
thẳng song song với AC cắt AD ở H.
a.  Tứ giác EFGH là hình gì?
b.  Để EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD phải có điều kiện gì?
c.  Nếu EFGH là hình chữ nhật thì tính diện tích các tứ giác ABCD, EFGH biết 
BE 1
AC = 45(cm); BD = 30(cm);
=
BA 2
Xem lời giải tại:

/>94. Hình thang ABCD có AB // CD, đường cao bằng 12cm, AC⊥BD, BD = 15(cm).
a.  Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Tính độ dài DE
b.  Tính diện tích hình thang ABCD.


Xem lời giải tại:
/>95. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), phân giác BD. Trên tia đối của tia AB lấy
^
^
điểm F sao cho ACF = ABD . Gọi E là giao điểm của CF và BD.
a.  Chứng minh: ΔBEF ∼ ΔCAF
b.  Chứng minh: ΔBCF cân
c.  Đường thẳng qua E, song song với AC cắt BF tại K. 
Chứng minh: AC 2 = 4KF. BK
Xem lời giải tại:
/>96. Cho ΔABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Gọi K là hình chiếu
của H lên BC. Chứng minh rằng:
a.  BH. BD = BK. BC
b.  CH. CE = CK. CB
c.  BH. BD + CH. CE = BC 2
d.  Chứng minh rằng ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
/>
(

)

97. Cho hình bình hành ABCD có  Aˆ < Bˆ . Gọi E là hình chiếu của C trên AB, K là
hình chiếu của C trên AD, H là hình chiếu của B trên AC. Chứng minh rằng:
a.  AB. AE = AC. AH

b.  BC. AK = AC. HC
c.  AB. AE + AD. AK = AC 2
Xem lời giải tại:
/>98. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, BC = 20(cm); AH = 8(cm). Gọi D là
hình chiếu của H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB.
a.  Tứ giác ADHE là hình gì?
b.  Chứng minh rằng ΔADE ∼ ΔABC