Lọc số

Chương 8

BK
TP.HCM

Faculty of Computer Science and Engineering
HCMC University of Technology
268, av. Ly Thuong Kiet,
District 10, HoChiMinh city
Telephone :
(08) 864-7256 (ext. 5843)
Fax :
(08) 864-5137
Email :
/>
THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ

T.S. Đinh Đức Anh Vũ


Nội dung
B l c lý t ng
Bộ lọc th c tế
Bộ lọc với ñáp ứng xung hữu hạn (FIR)
• Bộ lọc tuyến tính pha
Phương pháp cửa sổ
Phương pháp mẫu tần số

• Bộ lọc tuyến tính pha tối ưu
• Bộ biến ñổi Hilbert
• So sánh các phương pháp thiết kế

Bộ lọc với ñáp ứng xung vô hạn (IIR)
• Phương pháp xấp xỉ ñạo hàm
• Phương pháp bất biến xung
DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE


Giới thiệu
Phương pháp thiết kế bộ lọc tần số
Đặc tính bộ lọc ñược mô tả bởi ñáp ứng biên ñộ và pha
Tùy theo ñáp ứng mong muốn, bộ lọc nhân quả FIR
hoặc IIR sẽ ñược chọn
• FIR
Được dùng khi có yêu cầu ñáp ứng pha tuyến tính trong passband
Nhiều thông số hơn IIR → Độ phức tạp tính toán cao

• IIR
Có các thuỳ biên ở dải stopband thấp hơn bộ lọc FIR có cùng số
tham số → ñược dùng nhiều hơn so với FIR (khi ñộ méo pha trong
passband có thể chấp nhận ñược)
Độ phức tạp tính toán không cao và tiêu tốn ít bộ nhớ

Xác ñịnh các hệ số bộ lọc
DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE


Tính nhân quả
Xét bộ lọc lý tưởng

H( ) = 



≤
c

<

H(ω)
1

≤π

n=
cn)
cn

n≠
ω = π/4

ω
ωc

c

 πc
h(n) = 
c
 π

ωc

Bộ lọc không nhân quả
→ không hiện thực ñược

DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE


Đ

ñể
ñ bộ lọc nhân quả
Định lý Paley Wiener

h(n) có năng lượng hữu hạn
h(n)
∀n

π

∫ ln H (

) d <∞

π

π

Vôùi Θ( ), H ( ) = H ( ) e

jΘ ( )

h(n) : nhaân quaû

∫ ln H (

) d <∞

π

π

∫ H(

2

) d <∞

π

H(ω) chỉ ñược phép
ại một tập hữu hạn các tần số
|H(ω)| không ñược là hằng số cho một khoảng tần
• Việc chuyển từ passband sang stopband không ñược thẳng góc

HR(ω) và HI(ω) phụ thuộc nhau → Phổ biên ñộ và phổ pha không
thể chọn ñộc lập ñược
DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE


Đ

ñể bộ lọc nhân quả

[h(n) + h(
ho (n) = 12 [h(n) h(
he (n) =

h(n) = he (n) + ho (n)

1
2

n) ]
n) ]

h(n) nhân qu

ho (n) = he (n) n ≥ 1

h(n) = 2he (n)u (n) he (0)δ (n)

n≥0

h(n) = 2ho (n)u (n) + h(0)δ (n)

n ≥1

h(n) = he (n) + ho (n)
h(n thực

F

F

H ( ) = H R ( ) + jH I ( )
BĐ Hilbert rời rạc

h(n) ñược mô tả bởi he(n)

H(ω) ñược mô tả bởi HR(ω)
H(ω) ñược mô tả bởi HI(ω) và h(
π

HI ( ) =

1
2π

∫H
π

DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

R

( ) cot(

2

)d

Bộ lọc tần
t n số
s trong thực tế
t
M

LTI

y ( n) =

N

∑a
k =1

M

k

y (n k ) + ∑ bk x(n k )

H( ) =

k =0

Đặc trưng

Transition Band

|H(ω)|

∑ bk e

j k

k =0
N

1 + ∑ ak e

j k

k =1

δ1: Passband ripple
δ2: Stopband ripple
ωp: Passband edge ripple
ωs: Stopand edge ripple

1+δ1
1-δ1

StopBand

assband ripple

δ2
ω

0

ωp

DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

ωs

π


Thiết kế bộ lọc FI
Tính ñối xứng & phản ñối xứng
Bộ lọc FIR

Bộ lọc FIR tuyến tính pha
M 1

y (n) = ∑ bk x(n k )
k =0

H(ω) có pha Ө(ω) là hàm tuyến tính
Đ k: h(n) = ± h(M–1–n)
n = , 1, …, M-1
M 1

h

H ( z ) = ∑ h( k ) z

bk

k

k =0

y (n) =

M ✲1

∑ h(k ) x(n

• Thay z bởi z-1
• Nhân 2 vế với z-(M-1)
• h(n) = ± h(M–1–n)

k)

k =0

1/z1*

z

( M 1)

H ( z 1 ) = ± H ( z)

z1
1/z2

z2

z 1*
1/z1

DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

• Nếu z✶ là nghiệm (ho c zero của H(z)
thì 1/z1 c ng là nghiệm
• Để h(n) thực thì z1* c ng là nghiệm
và 1/ z1* c ng là nghiệm


Thiết
Thi t kế b lọc FIR –
Tính ñối xứng
x ng & phản
ph n ñối xứng
Hàm h

H ( z)

= h(0) + h(1) z  1 + ... + h( M 1) z   ( M  1)

[

M ✁3
2
   ( M ✁1) 

( M ✁1✁ 2 n )
  ( M ✁12✁2 n )
M  1
2
2
±z
z
h ( 2 ) + ∑ h ( n ) z

n =0

=
M
( M ✁1✁ 2 n )
   ( M2✁1) 2  1
  ( M ✁12✁2 n )
2
±z
h ( n) z
∑
z
n=0


[

]

]





M leû
M chaün

Đáp ứng xung ñơn vị ñối xứng h(n) = h(M – 1 – n)

H ( ) = H r ( )e
Biên ñộ thực

Đặc tính pha

j

( M ✂1 )
2

M ✁3

2
 M  1
h( 2 ) + 2∑ h(n) cos ( M  12  2 n )

n=0
Hr ( ) =  M
 1
 2
M  1  2 n

2
(
)
cos
(
)
h
n
∑
2

 n=0
Hr ( ) > 0
 ( M2 1 )
Θ( ) = 
M  1
Hr ( ) < 0
(
2 ) +π


DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

M leû
M chaün
Tuyến tính


Thiết kế bộ lọc FIR –
Tính ñối xứng & phản ñối xứng

Đáp ứng xung ñơn vị phản ñối xứng h(n) = –h(M–1–n)
Khi M lẻ

h[(M–1) ] =

H ( ) = H r ( )e

✝ j[

Biên ñộ thực

Đặc tính pha

( M ✞1 ) π
✝2]
2

☎

 2
 2 ∑ h ( n ) sin
 n=0
Hr ( ) =  M
✄1
 2
 2 ∑ h ( n ) sin
 n=0
M 3

 π2

Θ( ) =  3π
2

( M ✄12✄ 2 n ) M leû
( M ✄12✄ 2 n ) M chaün

( M2✆1 ) H r ( ) > 0
( M2✆1 ) H r ( ) < 0

Tuyến tính

Đối xứng hay phản ñối xứng ?
Tùy
h(n) = –h(M–1–n)
M lẻ

Hr
=
Hr(π) =

DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

Không thích h p
cho các bộ lọc thông th p
và thông cao
10


Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –
ương pháp c a sổ

Giả s
Hd(ω): hàm ñáp ứng tần số mong muốn

Hd( ) =
1
2π

• hd(n) có chiều dài vô hạn
• Để chiều dài hd(n) hữu hạn, cắt hd(n) tại ñiểm n = M-1

Đáp ứng xung mẫu của bộ lọc

h(n)

= hd ( n ) w( n )

hd ( n ) n = 0,1,.., M 1
=
otherwise
0

n

j n
H
(
)
e
d
∫ d

✠π

n = 0,1,..., M
otherwise

1
w(n ) = 
0

1

π

H( ) =

1
2π

∫✡ H
π

Với Hd(ω) cho trước, thì W(ω) có tác dụng làm trơn Hd(ω)
Một W(ω) tốt khi
• Có thuỳ chính phải rộng, cao hơn nhiều so với thuỳ phụ
• w(n) không nên giảm xuống 0 tại hai bên cạnh
DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

∑

hd ( n ) e ✟ j

n=0
π

hd(n): hàm ñáp ứng xung ñơn vị mong muốn hd ( n ) =
Nhân hd(n) với hàm cửa sổ w(n)
Cửa sổ hình chữ nhật

∞

d

(v )W (

v ) dv


Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –
ương pháp c a sổ
M ☛1

☛j M

1 e
☛j n
W( ) = ∑e
=
1 e☛ j
n =0

☛ j ( M ☛1) / 2 sin( M / 2)
=e
sin( / 2)

W( ) =

sin(

M
2

)

sin( 2 )

 ( M2☛1 )
Θ( ) = 
M ☛1
π
(
2 )


π≤

≤π

sin(

M

2

)≥0

sin(

M
2

)<0

Độ rộng của thùy chính: 4π M
[ñược ño bởi ñiểm zero ñầu tiên của W(ω)]
Nhận xét:
Thuỳ chính hẹp hơn khi M tăng
Các thuỳ phụ tương ñối lớn so với
thuỳ chính và không thay ñổi khi M tăng
Chiều cao thuỳ phụ tăng khi M tăng

DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

12


Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –
l y mẫu
m u tần
t n số
Hd(ω) ñược ñịnh nghĩa tại M ñiểm tần số cách ñều
k

=

2π
M

(k +

k = 0 ,1, Κ , M2☞1

)

k = 0 ,1, Κ , M2

Hd ( ) =

M ✌1

= 0|

✌j
(
)
h
n
e
∑ d
n=0

M chaün

1

1
2

n

H d ( k + ) ≡ H d [ 2Mπ ( k + )]
M ✍1

α= , 2 công th c
này chính là công thức
DFT và IDFT

M leû

H d ( k + ) = ∑ hd ( n)e ✍ j 2π ( k +

k = 0,1, Κ , M 1

)n / M

n=0

hd ( n) =

M ✍1
1
M

j 2π ( k +
H
(
k
+
)
e
∑ d

n = 0,1, Κ , M 1

)n / M

k =0

H d (k + ) = H d* ( M

Chuỗi h(n) thực

k

)

Chỉ cần ñịnh nghĩa Hd(ω) t i (M+1)/2 ñiểm khi M l
hoặc t i M/2 ñiểm khi M ch n
DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

13

Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –
l y mẫu tần số
M ut ns

H d (k + ) = H r ( 2Mπ (k + ) e j [
Với

/ 2 2π ( k + )( M 1) / 2 M ]

 = 0 {h(n)} đối xứng

 = 1 {h(n)} phản đối xứng

Định nghĩa các mẫu tần số thực G(k m)

G (k + ) = ( 1) k H r ( 2Mπ (k + )

H d (k + ) = G (k + )e jkπ e j [
Tùy theo giá trị α ( ½) và β (

/ 2 2π ( k + )( M 1) / 2 M ]

), H(k) và h(n) sẽ có cơng thức đơn giản

Ví dụ khi α = 0 và β = 0

H ( k ) = G (k )e jπk / M
G (k ) = ( 1) k H r ( 2Mπk
G (k ) = G ( M k )

k = 0,1, Κ , M 1
U
1 

h(n) = G (0) + 2∑ G ( k ) cos 2Mπk (n + 12 ) 
M
k =1

khi M lẻ
 M2✎1
với
U = M
 2 1 khi M chẵn

DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

14


Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –
ương pháp tối ưu
Bài toán xấp xỉ Chebyshev
Tối ưu: sai số xấp xỉ giữa ñáp ứng t s mong
muốn và thực tế phân bố ñều trên passband và
stopband ⇒ tối thiểu hóa các sai số cực ñại
Bộ lọc có gợn sóng trong cả passband và
stopband

DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

15


Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –
ương pháp tối ưu
Trường hợp 1: ñáp ứng xung ñơn vị ñối xứng và M lẻ
( M 3) / 2

H r ( ) = h( M2 1 ) + 2

∑ h(n) cos

( M2 1 n)

n =0

k

-1)/2 – n

( M 1) / 2

Hr ( ) =

∑ a(k ) cos

k

k =0

h( M2 1 )
(k ) = 
M 1
h
k)
2
(
2

DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

k =0
k = 1,2, Κ , M2 1
16


Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –
ương pháp tối ưu
Trường hợp 2: ñáp ứng xung ñơn vị ñối xứng và M chẵn
Hr ( ) = 2

M / 2 ✏1

∑ h(n) cos

( M2✏1 n)

n =0

k

/2 – n

M/2

H r ( ) = ∑ b(k ) cos (k
k =1
M
2

b( k ) = 2 h(

k)

1
2

)

k = 1,2,Κ , M2
H r ( ) = cos 2

b ( 0 ) = 12 b (1)
b ( k ) + b ( k 1) = 2 b ( k )
b ( M2

M /2 1

∑ b (k ) cos

k

k =0

k = 1, 2, Κ , M2

2

1) = 2 b ( M2 )

DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

17


Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –
ương pháp tối ưu
Trường hợp 3: ñáp ứng xung ñơn vị phản ñối xứng và M lẻ
Hr ( ) = 2

( M ✑ 3) / 2

M ✑1
(
)
sin
(
h
n

n)
∑
2
n =0

k

Hr ( ) =

-1)/2 – n
( M ✑1) / 2

∑ c(k ) sin

k

k =1

c(k ) = 2h( M2✑1 k )

k = 1,2, Κ , M2✑1
c ( M2✒3 ) = c ( M2✒1 )

H r ( ) = sin

( M ✑ 3) / 2

∑ c (k ) cos

k

k =0

c ( M2✒5 ) = 2c ( M2✒3 )
Μ

Μ

Μ

c ( k 1) c ( k + 1) = 2c ( k )

2≤k≤

M ✒5
2

c (0) + 12 c ( 2) = c (1)
DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

18


Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –
ương pháp tối ưu
Trường hợp 4: ñáp ứng xung ñơn vị phản ñối xứng và M
chẵn
M /2 1
H r ( ) = 2 ∑ h(n) sin ( M2 1 n)
n =0

k

/2 – n

M /2

H r ( ) = ∑ d (k ) sin (k

1
2

)

k =1

d (k ) = 2h( M2

k)

k = 1,2,Κ , M2

H r ( ) = sin

d ( M2 1) = 2d ( M2 )
d (k 1) d (k ) = 2d (k )
d (0)

1
2

M /2 1
2

∑ d (k ) cos

k

k =0

2≤k ≤

M
2

1

d (1) = d (1)

DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

19


Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –
ương pháp tối ưu
T ng quát
1
cos


2
Q( ) = 
sin
sin 2

H r ( ) = Q( ) P ( )
tröôøng hôïp 1
tröôøng hôïp 2
tröôøng hôïp 3
tröôøng hôïp 4

L

P ( ) = ∑ (k ) cos k
k =0

DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

( M 1) / 2
M / 2 1

L=
( M 3) / 2
 M / 2 1

tröôøng hôïp1
tröôøng hôïp 2
tröôøng hôïp 3
tröôøng hôïp 4

20