Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn - Phần 1

Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
168
Chương V
TỔNG HP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU
DÀI HỮU HẠN
5.1 Mở Đầu
Bộ lọc số là một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các
thành phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho. Một bộ lọc số là một hệ thống
tuyến tính bất biến trong miền thời gian n, sơ đồ khối được cho bởi hình 5.1
h(n) là đáp ứng xung của hệ thống.
Gọi H(e
jω
) là biến đổi Fourier của h(n)
H(e
jω
) chính là đáp ứng tần số của hệ thống.
Trong miền tần số, biến đổi Fourier của x(n) và y(n) là: X(e
jω
) và Y(e
jω
), ta có:
Y(e
jω
) = H(e
jω
).X(e
jω
)
Quan hệ trên cho thấy rằng việc phân bố tần số của biên độ và pha của tín hiệu ra y(n)
tuỳ thuộc vào H(e

jω
). Chính dạng của H(e
jω
) đã xác đònh việc suy hao hay khuếch đại
các thành phần tần số khác nhau. Hệ thống này gọi là mạch lọc số. Để cho một hệ
thống thực hiện được, về mặt vật lý thì nó phải là nhân quả và ổn đònh. Lúc này h(n)
chỉ tồn tại khi n ≥ 0 và
∑
∞
=0n
)n(h
< ∞.
Tùy theo chiều dài của đáp ứng xung h(n) mạch lọc có thể phân ra thành 2 loại :
– Loại 1 : Hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn (FIR:
finite impulse response) tức là h(n) chỉ tồn tại trong 1 khoảng chiều dài N (từ 0 dến
N – 1).
– Loại 2 : Hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung có chiều dài vô hạn (IIR:
infinite impulse response) tức là h(n) chỉ tồn tại trong 1 khoảng chiều dài vô hạn (từ
0 dến ∞).
Trong phạm vi chương này ta tập trung khảo sát mạch lọc số FIR.
5.2 Các Tính Chất Tổng Quát Của Bộ Lọc Số FIR
– Tính chất 1 : luôn luôn ổn đònh vì
∑
∞
−∞=n
)n(h
=
∑
−
=

1N
0n
)n(h
< ∞. Với N là chiều dài của
đáp ứng xung.
– Tính chất 2 : do chiều dài của h(n) là hữu hạn nên nếu h(n) là không nhân quả ta có
thể đưa nó về nhân quả bằng cách chuyển về gốc tọa độ (trong miền n) giá trò đầu
tiên khác không của h(n) mà vẫn bảo đảm
)e(H
jω
không đổi. Thật vậy, nếu h(n)
có biến đổi Fourier là H(e
jω
) thì :
h(n)
x(n)
y(n)
Hình 5.1
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
169
h(n – n
o
) = H(e
jω
).
ω−
o
jn
e

với n
o
là số mẫu phải dòch để h(n) trở thành nhân quả.
– Tính chất 3 : do sự liên quan chặt chẽ đến các thuật toán FFT bộ lọc FIR được thực
hiện có hiệu quả với tích chập nhanh. Trong trường hợp lọc FIR bậc cao, tính ưu việt
của kỹ thuật tính toán dùng FFT đã giảm đáng kể sự phức hợp của mạch đồng thời
thực hiện thực tế lọc FIR đơn giản hơn rất nhiều so với lọc IIR cùng chỉ tiêu.
– Tính chất 4 : có thể thực hiện lọc FIR bằng tích chập trực tiếp, không có nhánh
phản hồi nào giữa đầu ra và đầu vào. Thật vậy, ta đònh nghóa độ dài của đặc tính
xung hữu hạn như sau :



=
≤≤≠
lại còn
N khi
1
n0
Nn0
)n(h
2
với N
1
, N
2
bất kỳ
⇒ H(e
jω
) =

∑
=
2
1
N
Nk
)k(h
e
-jkω
Trong miền tần số ta có :
Y(e
jω
) = H(e
jω
).X(e
jω
) =
∑
=
2
1
N
Nk
)k(h
e
-jkω
X(e
jω
)
Thực hiện biến đổi ngược Fourier trở về miền thời gian :

y(n) =
∑
=
2
1
N
Nk
)k(h
x(n – k)
Với cấu trúc mạch lọc có phương trình sai phân như thế này thì không có nhánh phản
hồi giữa đầu ra và đầu vào.
– Tính chất 5 : các lỗi sinh ra do thực hiện mạch không lý tưởng trong lọc FIR có thể
được điều khiển dễ dàng hơn nhiều, thật vậy bởi vì nó không có nhánh phản hồi nên
dễ dàng điều chỉnh hơn.
– Tính chất 6 : thiết kế bộ lọc FIR có nhiều thông số tự do hơn thiết kế bộ lọc IIR.
Chúng ta có thể xấp xỉ dễ dàng hơn nhiều bằng bộ lọc FIR so với lọc IIR một đặc
tuyến biên độ phức tạp, tổng quát, tối ưu nào đó.
– Tính chất 7 : có thể dễ dàng thiết kế bộ lọc FIR có đặc tuyến pha tuyến tính (sẽ
phân tích trong phần kế tiếp) trong khi thực hiện đặc tuyến biên độ theo chỉ tiêu cho
trước. Vì vậy, trong trường hợp hệ thống đòi hỏi nhất thiết phải có pha tuyến tính
(như truyền số liệu, xử lý tiếng nói) thì bắt buộc phải dùng FIR.
– Tính chất 8 : thiết kế lọc FIR là vấn đề mới so với các phương pháp đã biết bởi vì
các kết quả thiết kế bộ lọc analog không được dùng hay chỉ được dùng một ít, nó
đòi hỏi kỹ thuật tính toán khá lớn và tăng tuyến tính theo bậc của bộ lọc, xấp xỉ lọc
FIR có độ chọn lọc cao khá khó, lúc ấy cần phải chọn bậc khá cao.
h(n)
x(n)
y(n)
Hình 5.2
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn

Xử Lý Tín Hiệu Số
170
5.3
Đặc Trưng Tổng Quát Của Bộ Lọc FIR Có Pha Tuyến Tính
Đáp ứng tần số H(e
jω
) của hệ thống : H(e
jω
) =
)e(H
j
ω
)e(Hargj
j
e
ω
Thời gian lan truyền của tín hiệu T
c
được cho bởi: T
c
=
[ ]
ω
ω
d
)e(Hargd
j
−
= α
Để cho T

c
không phụ thuộc tần số, ta phải có argH(e
jω
) = -αω+β từ điều kiện
pha tuyến tính ở trên, ta sẽ có các điều kiện cho các hệ số h(n).
Chúng ta sẽ nghiên cứu 2 trường hợp : β=0 và β≠0 với -π ≤ ω

≤ π
→ Trường hợp 1 : β = 0 , argH(e
jω
) = -αω (-π ≤ ω

≤ π)
ta biết rằng theo công thức biến đổi Fourier
H(e
jω
) =
∑
−
=
1N
0n
)n(h
e
- jnω
=
∑
−
=
1N

0n
)n(h
cosnω –j
∑
−
=
1N
0n
)n(h
sinnω
Vậy argH(e
jω
) = – αω = – argtg
∑
∑
−
=
−
=
1N
0n
1N
0n
ncos)n(h
nsin)n(h
ω
ω
tg(αω) =
∑
∑

−
=
−
=
1N
0n
1N
0n
ncos)n(h
nsin)n(h
ω
ω
=
αω
αω
cos
sin
⇒
∑
−
=
1N
0n
)n(h
sinnω cosαω –
∑
−
=
1N
0n

)n(h
cosnω sinαω = 0
∑
−
=
1N
0n
)n(h
sin(α – n)ω = 0 để giải phương trình này, ta xét hai trường hợp sau :
• N chẳn :
Trong trường hợp này số số hạng là số chẳn. Để 2 vế đồng nhất thì ta phải có điều
kiện từng cặp một.
h(n)sin (α – n)ω và h(N – 1 – n)sin[α – (N – 1 – n)]ω trái dấu nhau. Suy ra 2 điều
kiện sau được thỏa :
h(n) = h(N – 1 – n) ; (0 ≤ n ≤ N – 1)
và (α – n)ω = - {α – (N – 1 – n)}ω
α – n = – α + N – 1 – n
2α = N – 1 ⇒ α =
2
1N
−
Vậy trường hợp N chẳn muốn phương trình
∑
−
=
1N
0n
)n(h
sin(α – n)ω = 0 được thỏa ta phải có
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn

Xử Lý Tín Hiệu Số
171
α =
2
1N −
h(n) = h(N – 1 – n)
• N lẻ : Trong trường hợp này, số số hạng là số lẻ, nếu ta cho từng cặp triệt nhau
như trường hợp trên thì còn số hạng chính giữa là ứng với n =
2
1N −
, để phương trình
trên được nghiệm đúng ta phải kiểm nghiệm lại số hạng này phải triệt tiêu. Thật vậy :
h(n)sin(α – n)ω = h(n)sin






−
−
2
1N
α
ω
Với α =
2
1N
−
số hạng này trở thành :

h(n)sin






−
−
−
2
1N
2
1N
ω = 0
Tóm lại ta có lời giải chung : α =
2
1N
−
h(n) = h(N – 1 – n)
Vậy với mỗi giá trò N cho trước ta chỉ có một giá trò α để bộ lọc có pha tuyến tính.
→ Trường hợp 2 : β ≠ 0 arg(H(e
jω
)) = – αω + β
Chứng minh tương tự như trường hợp trên, ta có :
∑
−
=
1N
0n

)n(h
sin[β + (n – α)ω] = 0
Để giải phương trình này, ta sẽ xét 2 trường hợp :
• N chẳn : số số hạng là số chẳn. Để 2 vế của phương trình trên đồng nhất ta xét
từng cặp đối xứng :
h(n)sin[β + (n – α)ω] và h(N – 1 –n)sin[β + (N – 1 – n – α)ω]
Các cặp này phải tự triệt tiêu nhau bất chấp ω. Dùng công thức sin(± π – α) = sinα
ta phải có điều kiện :
h(n) = – h(N – 1 – n)
β + (n – α)ω = ± π – β – (N – 1 – n – α)ω
hay 2β = ± π – ω(n – α + N – 1 –n – α)
2β = ± π – ω(– 2α + N – 1)
Để phương trình thỏa mãn bất chấp ω ta phải có
2β = ± π β =
2
π
±
– 2α + N – 1 = 0 α =
2
1N
−
⇒
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
172
tóm lại ta phải có điều kiện :
h(n) = – h(N – 1 – n)
β =
2
π

±
; α =
2
1N
−
• N lẻ : số số hạng là số lẻ, cũng vậy ta xét số hạng chính giữa tại n =
2
1N
−
h(n)sin[β + (n – α)ω] = h(n)sin












−
−
−
+±
ω
π
2
1N

2
1N
2
= h






±






−
2
sin
2
1N
π
để số hạng này triệt tiêu ta phải có h







−
2
1N
= 0
Nhận xét :
các mẫu tín hiệu của h(n)sẽ phản đối xứng.
Một Số Ví Dụ
Ví dụ 5.1 :
Ví dụ 5.2 :
Lọc FIR có pha tuyến tính đáp ứng xung phản đối xứng
n
0
1
2
3
5
7
9
11
4
810
Trục đối xứng
6
12
Hình 5.4
N = 13
α = 6
n
0
1

2
3
5
7
9
11
46 810
Trục đối xứng
Hình 5.3
N = 12
α = 5,5