Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (IIR) - Phần 2

Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR)
Xử Lý Tín Hiệu Số
230
Ưu điểm của phương pháp này là ta có thể tạo ra lọc thông thấp rời rạc với bất kỳ
phép chiếu nào, còn các bước tiếp theo không phụ thuộc vào phép chiếu. Trong phần
này ta tập trung khảo sát vào phương pháp 2. Tuy nhiên cũng cần nhắc lại các đặc
điểm chính trong phương pháp 1 mà ta có thể tham khảo trong giáo trình mạch lọc
tương tự. Bảng biến đổi tần số trong miền tương tự được cho :
Loại chuyển đổi Phép chuyển đổi Tần số ngắt mới
Từ thông thấp → thông thấp
s →
ac
ac
'ω
ω
s
ω’
ac
Từ thông thấp → thông cao
s →
s
'
acac
ωω
ω’
ac
Từ thông thấp → thông dải
s →
()
1ac2ac
2ac1ac

2
''s
''s
ω−ω
ωω+
.ω
ac
ω’
ac1
, ω’
ac2
Từ thông thấp → chắn dải
s →
2ac1ac
2
1ac2acac
''s
)''(s
ωω+
ω−ωω
ω’
ac1
, ω’
ac2
ω
ac
là tần số ngắt của mạch lọc thông thấp.
6.4.1 Tổng Hợp Các Bộ Lọc Tương Tự
• Bộ lọc tương tự Butterworth. Đây là mạch thông thấp có đáp ứng biên độ
)(H

a
ω
thỏa mãn :
)(H
aa
ω
=
n2
a
1
1
ω
+
n gọi là bậc của bộ lọc
ω
a
tần số chuẩn hoá theo tần số cắt ω
ac
0
ω
a
n = 2
n = 8
n = 5
2
1
1
Hình 6.14
1
( )

aa
H ω
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR)
Xử Lý Tín Hiệu Số
231
Đồ thò của bộ lọc cho bởi :
Nhận xét :
– Bậc của bộ lọc n càng tăng thì càng gần với bộ lọc lý tưởng.
– Đáp ứng biên độ luôn bằng
2
1
ở tần số cắt với mọi giá trò của n.
• Vò trí các điểm cực :
Ta biết rằng s = jω
a
⇒
2
a
ω
= -s
2
Vì H
a
(s) = H
a
(-s) tính tại s = jω
a
cho
2
aa

)(H
ω
nên :
H
a
(s).H
a
(-s) =
n2
)s(1
1
−+
Điểm cực được xác đònh bởi :
1 + (–
)s
2
pk
n
= 0 ⇒ 1+ (-1)
n
n2
pk
s
= 0
– Nếu n chẵn
n2
pk
s
= – 1 = e
j(2k – 1)π

s
pk
=
n2
)1k2(
j
e
π
−
k= 1, 2, 3, . . .2n
– Nếu n lẻ
n2
pk
s
= 1 = e
j2(k – 1)π
s
pk
=
n2
)1k(2
j
e
π
−
=
n
)1k(
j
e

π
−
Vậy các điểm cực của H
a
(s).H
a
(-s) sẽ nằm trên một vòng tròn trong mặt phẳng S.
Vòng tròn này được gọi là vòng tròn Butterworth. Hai kết quả trên cũng có thể góp
chung thành 1 kết quả duy nhất là :
s
pk
=






−
+
n2
1k2
2
1
j
e
π
k= 1, 2, 3. . . 2n
Để bảo đảm hệ thống là ổn đònh thì các điểm cực của H
a

(s) phải nằm bên trái trục
ảo. Vậy trong các điểm cực của H
a
(s).H
a
(-s) ta sẽ chọn ra các điểm cực nằm bên trái
trục ảo để làm cực của H
a
(s) đối với bộ lọc ổn đònh.
Ta có thể viết : H
a
(s) =
∏
=
−
n
1k
pk
0
)ss(
H
Ở đây :
- theo tần số chuẩn hóa
ac
a
ω
ω
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR)
Xử Lý Tín Hiệu Số
232

H
0
= 1
s
pk
=






−
+
n2
1k2
2
1
j
e
π
k= 1, 2, 3. . . n
- theo tần số không chuẩn hoá
H
0
=
n
ac
ω
s

pk
= ω
ac






−
+π
n2
1k2
2
1
j
e
k= 1, 2, 3. . . n
• Gọi
δ
là độ suy giảm của
đặc tuyến mạch lọc tại tần số ω
as
:

n2
as
1
1
ω

+
=
δ
2
2
2
1
δ
δ
−
=
n2
as
ω
⇒ 2n log
10
ω
as
= log
10






−1
1
2
δ

n =
as10
2
10
log2
1
1
log
ω
δ






−
Ví dụ 6.3 :
Xác đònh bậc và điểm cực của mạch lọc thông thấp Butterworth tại tần số cắt 500
Hz và độ suy hao 40 dB tại 1000 Hz.
Giải :
• Gọi tần số cắt là ω
ac
tại ω
a
=
500
1000
= 2 thì
δ

= - 40 dB = 0,01
Vậy bậc của bộ lọc n =
()
2log2
110log
10
4
10
−
= 6,64
0
Cực
của
H(–s)
Cực
của
H(s)






+
n2
1
2
1
π
Hình 6.15

Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR)
Xử Lý Tín Hiệu Số
233
Chọn n = 7
Vò trí điểm cực là s
pk
= ω
ac






−
+π
n2
1k2
2
1
j
e
Với ω
ac
= 2πf
ac
= 2π 500 = 1000π
⇒ s
pk
= 1000π







−
+
14
1k2
2
1
j
e
π
k = 1, 2, . . . 7
6.4.2 Bộ lọc Chebyshev
Đối với bộ lọc này ta có 2 loại :
– Loại 1 : đáp ứng biên độ gợn sóng ở dải thông, giảm đơn điệu ở dải chắn.
– Loại 2 : đáp ứng biên độ giảm đơn điệu ở dải thông, gợn sóng ở dải chắn.
Trước hết ta xét đa thức Chebyshev
Theo đònh nghóa :
Ta có các hệ thức:
T
n+1
(x) + T
n-1
(x) = 2xT
n
(x)

Vậy n = 0 → T
0
(x) = cos0 =1
n = 1 → T
1
(x) = cosθ =x
n = 2 → T
2
(x) = 2xT
1
(x) – T
0
(x) = 2x
2
– 1
n = 3 → T
3
(x) = 2xT
2
(x) – T
1
(x) = 4x
3
– 3x
– Bộ lọc Chebyshev loại 1: là loại có đáp ứng biên độ thỏa:
2
aa
)(H
ω
=

)(T1
1
a
2
n
2
ωε
+
n : bậc của đa thức Chebysher chính là bậc của bộ lọc
ε : là 1 tham số xác đònh biên độ gợn sóng ở dải thông
Về mặt toán học hàm T
n
(ω
a
) được đònh nghóa :
Với đònh nghóa này, T
2
n
(ω
a
) dao động giữa 0 và 1 đối với
a
ω
≤ 1 và tăng một cách đơn
T
n
(x) = cosnθ
x = cosθ
T
n

(ω
a
) =
cos(n.arcosω
a
) với
a
ω
≤ 1
cosh(n.arcoshω
a
) với
a
ω
> 1
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR)
Xử Lý Tín Hiệu Số
234
điệu với
a
ω
> 1. Như vậy
2
aa
)(H
ω
sẽ gợn sóng giữa 1 và
2
1
1

ε
+
đối với
a
ω
≤ 1 và
giảm một cách đơn điệu đối với
a
ω
> 1.
Ta phân biệt trường hợp n lẻ và n chẳn để vẽ đáp ứng tần số H
a
(ω
a
):
– Trường hợp n lẻ : T
n
(0) = 0
2
a
)0(H
= 1
– Trường hợp n chẳn :
)0(T
n
= 1
2
a
)0(H
=

2
1
1
ε
+
Tại tần số ω
a
= 1 , T
n
(1) = 1 từ đó ta có hình vẽ trình bày đáp ứng tần số H
a
(ω
a
)
theo ω
a
như sau :
Nếu gọi δ
1
là độ gợn sóng dải thông, ta có :
δ
1
= 1
2
1
1
ε
+
−
⇒

2
1
1
ε
+
= 1 - δ
1
⇒
2
ε
=
()
2
1
1
1
δ
−
- 1
– Bộ lọc tương tự Chebysher loại 1 ở tần số không chuẩn hóa :
2
aa
)(H
ω
=









+
ac
a
2
n
2
T1
1
ω
ω
ε
Với
T
n








ac
a
ω
ω
=

cos(n.arccos
ac
a
ω
ω
) với
ac
a
ω
ω
≤ 1
cosh[n.arccosh
ac
a
ω
ω
) với
ac
a
ω
ω
> 1
Hình 6.16
2
1
1
ε+
0
Trường hợp n lẻ
1

ac
as
ω
ω
2
2
δ
1
2
1
δ
()
2
aa
H
ω
0
2
1
1
ε+
2
2
δ
1
2
1
δ
( )
2

aa
H
ω
1
ac
as
ω
ω
ω
a
Trường hợp n chẳn
ω
a
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR)
Xử Lý Tín Hiệu Số
235
• Tính toán bậc n của bộ lọc:
→ Ở dải chắn ta có ω
a
= ω
as
(chưa chuẩn hoá)
)(H
asa
ω
= δ
2
⇒









+
ac
as
2
n
2
T1
1
ω
ω
ε
= δ
2
⇒ T
n








ac

as
ω
ω

=
ε
δ
1
1
2
2
−
= cosh[n.arccos








ac
as
ω
ω
]
n.arccosh
ac
as
ω

ω
= arccosh
ε
δ
1
1
2
2
−
n =
ac
as
2
2
coshar
1
1
coshar
ω
ω
ε
δ
−
– Bộ lọc Chebyshev loại 2 : đây là loại bộ lọc trái ngược loại 1, tức là có đáp ứng
biên độ gợn sóng ở dải chắn và giảm đơn điệu ở dải thông. Về mặt toán học, đáp ứng
biên độ cho bởi :
2
aa
)(H
ω

=
2
a
as
asn
2
Tn
)(T
1
1























+
ω
ω
ω
ε
trong đó :
ω
as
là tần số chuẩn hóa ở đó đáp ứng biên độ là δ
2
(trong miền dải chắn)
Nhận xét :
• ε và ω
a
là hằng số vậy T
n








a
as
ω
ω

sẽ dao động giữa 0 và 1 với
a
as
ω
ω
≤ 1 nghóa là
a
ω
≥
as
ω
. Vậy T
n








a
as
ω
ω
dao động trong dải chắn.
T
n
(x) =
cos(n.arcosx) với

x
≤ 1
cosh[n.arcoshx) với
x
> 1
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR)
Xử Lý Tín Hiệu Số
236
•
2
aa
)(H
ω
sẽ dao động giữa hai giá trò 0 và
)(T1
1
as
2
n
2
ωε
+
• Khi ω
a
= ω
as
⇒
2
aa
)(H

ω
=
)(T1
1
as
2
n
2
ωε
+
= δ
2
2
(T
n
(1) = 1)
Vậy δ
2
còn gọi là biên độ tối đa của gợn sóng ở dải chắn.
• Trong dải thông
a
ω
<
as
ω
hay
a
as
ω
ω

> 1 thì T
n








a
as
ω
ω

tăng

đơn điệu khi ω
a
giảm
dần về không tại ω
a
= 0 →T
n









a
as
ω
ω
→ ∞ ,
2
aa
)(H
ω
→ 1
• Tại ω
a
= 1,
2
aa
)(H
ω
=
2
1
1
ε
+
⇒
)(H
aa
ω
=

2
1
1
ε
+
Về bậc n của bộ lọc từ hệ thức:
2
aa
)(H
ω
=
)(T1
1
as
2
n
2
ωε
+
=
2
2
δ
Ta cũng suy ra kết quả như trường hợp loại 1 :
n =
as
2
2
coshar
1

1
coshar
ω
ε
δ
−
Ở đây ω
as
là tần số đã được chuẩn hoá so với ω
ac
là tần số cắt của bộ lọc.
• Bây giờ ta xét phương pháp 2 : Trước hết ta xét nguyên tắc biến đổi tần số số.
1
δ
2
1 –
δ
1
1
ω
as
2
ω
as
ω
a
0
Hình 6.17
()
aa

H
ω
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR)
Xử Lý Tín Hiệu Số
237
Cũng giống như trong miền tương tự, trong miền số chúng ta cũng có thể thực hiện
phép biến đổi tần số để biến đổi bộ lọc số thông thấp cơ bản ban đầu thành bộ lọc số
thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải.
Chúng ta ký hiệu hàm truyền lọc thông thấp rời rạc là H
lp
(z) còn hàm truyền rời
rạc được tìm sau biến đổi là H(Z). Giữa 2 biến Z và z này có quan hệ : z
–1
= G(Z
–1
) lúc
đó :
H(Z) =
)Z(Gz
lp
11
)z(H
−−
=
Hãy giả thiết H
lp
(z) là hàm hữu tỷ theo z, tương ứng với lọc thông thấp rời rạc ổn
đònh, nhân quả. Tất nhiên ta chỉ dùng các biến đổi G(Z
-1
) sẽ cho các hàm H(Z) là các

hàm hữu tỷ theo Z và có thể thực hiện chúng bằng các mạch ổn đònh, nhân quả. Từ đó
ta đòi hỏi biến đổi G(Z
–1
) cần phải :
* Chiếu trên vòng tròn đơn vò trong mặt phẳng z thành trên vòng tròn đơn vò mặt
phẳng Z.
* Chiếu bên trong vòng tròn đơn vò mặt phẳng z thành bên trong vòng tròn đơn vò
mặt phẳng Z.
* G(Z
–1
) là hàm hữu tỷ theo Z
–1
.
Gọi θ và ω

là tần số góc trong mặt phẳng z và Z trên vòng tròn đơn vò, ta cóù z =
e
jθ
, Z = e
jω
. Vậy để các điều kiện ổn đònh ở trên được thoả mãn, ta phải có :
e
–jθ
=
)e(G
j
ω
−
e
jα

(với α là đối số của G(e
-jω
)
Vậy
)e(G
j
ω
−
= 1 và –θ = α
Dạng tổng quát của hàm số G(Z
–1
) để thoả những yêu cầu này là :
z
–1
= G(Z
–1
) =
∏
=
−
−
−
−
±
N
1k
1
k
k
1

Z1
Z
α
α
Ta thấy ngay :
)e(G
j
ω
−
= 1
Để thoả điều kiện ổn đònh
k
α
< 1 :
Bằng cách chọn giá trò thích hợp N và α
k
, nhiều ánh xạ có thể thực hiện.
Đơn giản nhất là phép biến đổi từ một bộ lọc thông thấp chuẩn tới 1 bộ lọc thông
thấp khác.
Dạng ánh xạ đơn giản được chọn là :
z
–1
=
1
1
Z1
Z
−
−
−

−
α
α
với z = e
jθ
, Z = e
jω