Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (IIR) - Phần 1

Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R)
Xử Lý Tín Hiệu Số
212
CHƯƠNG VI
TỔNG HP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU
DÀI VÔ HẠN ( I I R)
6.1 Mở Đầu
Bộ lọc số có độ dài đáp ứng xung vô hạn (IIR = Infinitive Impulse Response) có
phương trình sai phân được viết dưới dạng :
∑
=
N
0k
k
a
y(n – k) =
∑
=
M
0r
r
b
x(n – r) (6.1)
Đây là một phương trình đệ quy bởi vì ta có thể rút ra được :
y(n) =
o
a
1







−−−
∑∑
==
M
0r
N
1k
kr
)kn(ya)rn(xb
Tín hiệu đầu ra không những phụ thuộc các tín hiệu đầu vào x(n) mà còn phụ
thuộc các mẫu tín hiệu ra trước đó : y(n – 1), y(n -2). . . Vì vậy lọc IIR còn gọi là lọc đệ
quy và lọc FIR còn gọi là lọc không đệ quy. Thực hiện biến đổi Z phương trình (6.1), ta
có hàm tryền đạt H(z) :
H(z) =
)z(X
)z(Y
=
∑
∑
=
−
=
−
+
N
1k
k

k
M
0r
r
r
za1
zb
(ta chuẩn hoá a
o
= 1)
Trong chương này ta sẽ nghiên cứu các phương pháp tổng hợp bộ lọc số, tức là tìm
ra các hệ số của bộ lọc số IIR sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc.
6.2 Các Tính Chất Tổng Quát Của Bộ Lọc
Để thực hiện được về mặt vật lý, bộ lọc số phải có tính chất ổn đònh và nhân quả,
nghóa là ta có điều kiện sau đây :
h(n) = 0 với n < 0
và
∑
∞
=0n
)n(h
< ∞
Hàm truyền đạt H(z) có dạng tổng quát H(z) =
∑
∑
=
−
=
−
N

0k
k
k
M
0r
r
r
za
zb
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R)
Xử Lý Tín Hiệu Số
213
Đáp ứng tần số H(e
jω
) chính là H(z) khi z = e
jω
. Nếu a
k
và b
r
là các số thực thì
ta có thể viết :
2
j
)e(H
ω
= H(e
jω
).
[ ]

*
j
)e(H
ω
= H(e
jω
).H(e
-jω
)
mà H(e
jω
) =
∑
∑
=
−
=
−
N
0k
jk
k
M
0r
jr
r
ea
eb
ω
ω

=
∑
∑
=
−
=
−
N
0k
jk
k
M
0k
jk
k
ea
eb
ω
ω
ta thấy ngay :
•
2
j
)e(H
ω
=

























∑∑
∑∑
==
−
==
−
N
0k
jk
k

N
0k
jk
k
M
0k
jk
k
M
0k
jk
k
eaea
ebeb
ωω
ωω
=
∑
∑
=
=
N
0i
i
M
0i
i
icosA
icosB
ω

ω
Trong đó các hệ số B
i
, A
i
được xác đònh như sau :
B
0
=
∑
=
M
0k
2
k
b
,B
i
= 2
∑
−
=
+
iM
0k
kik
bb
(i ≠ 0)
A
0

=
∑
=
N
0k
2
k
a
,A
i
= 2
∑
−
=
+
iN
0k
kik
aa
(i ≠ 0)
Cần lưu ý là để thỏa mãn điều kiện ổn đònh, các điểm cực của H(z) phải nằm bên
trong vòng tròn đơn vò. Đối với bộ lọc IIR cần thiết kế và thực hiện riêng rẽ đặc tuyến
biên độ và đặc tuyến pha.
• Góc pha của H(e
jω
) là
ϕ
(ω), ta có :
H(e
jω

) =
)e(H
j
ω
)(j
e
ωϕ
H
*
(e
jω
) = H(e
-jω
) =
)e(H
j
ω
)(j
e
ωϕ
−
Suy ra
)(2j
e
ωϕ
=
)e(H
)e(H
j
j

ω
ω
−
2j
ϕ
(ω) = ln






−
)e(H
)e(H
j
j
ω
ω
ϕ
(ω)=
j2
1
ln







−
)e(H
)e(H
j
j
ω
ω
• Thời gian truyền nhóm T(ω) được đònh nghóa như sau :
T(ω) =
ω
ωϕ
d
)(d
−
= -
j2
1

ω
d
d
ln






−
)e(H

)e(H
j
j
ω
ω
= -
j2
1
je
jω

)e(d
d
j
ω
ln






−
)e(H
)e(H
j
j
ω
ω
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R)

Xử Lý Tín Hiệu Số
214
= -
2
1
e
jω
[ ] [ ]






−
−
)e(d
)e(Hlnd
)e(d
)e(Hlnd
j
j
j
j
ω
ω
ω
ω
= -
2

1
e
jω
()










+
−
−
)e(H
)e('H
e
1
)e(H
)e('H
j
j
2
j
j
j
ω

ω
ω
ω
ω
với H’(e
jω
) =
)e(d
)e(dH
j
j
ω
ω
H’(e
-jω
) =
)e(d
)e(dH
j
j
ω
ω
−
−
Vậy T(ω) = –
2
1







+
−
−
−
)e(H
)e('H
ee
)e(H
)e('H
j
j
jj
j
j
ω
ω
ωω
ω
ω
= –
2
1

















+
*
j
j
j
j
j
j
e
)e(H
)e('H
e
)e(H
)e('H
ω
ω
ω
ω
ω

ω
T(ω) = – Re






ω
ω
ω
j
j
j
e
)e(H
)e('H
= - Re
[ ]
ω
j
eZ
dz
)z(Hlnd
Z
=







Vì đặc tuyến pha của bộ lọc IIR không tuyến tính, nên thời gian truyền nhóm được
dùng để đặc trưng cho sự phụ thuộc vào tần số của hàm truyền tốt hơn là dùng pha.
6.3 Thiết Kế Bộ Lọc IIR Bằng Phương Pháp Biến Đổi Từ Bộ Lọc Tương
Tự
Thiết kế bộ lọc đơn giản nhất là xuất phát từ bộ lọc tương tự rồi từ đó dùng các
phép biến đổi xác đònh các hệ số lọc của bộ lọc IIR. Một mạch lọc tương tự có thể biểu
diễn bởi hàm truyền đạt :
• H
a
(s) =
)s(A
)s(B
=
∑
∑
=
=
N
0k
k
k
M
0k
k
k
s
s
α

β
với {α
k
} và {
β
k
} là các hệ số của mạch lọc.
• Hoặc có thể biểu diễn bởi đáp ứng xung được tính từ hàm truyền đạt bằng biến
đổi Laplace :
H
a
(s) =
∫
∞
∞−
)t(h
e
-st
dt (6.2)
• Cũng có thể biểu diễn bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng :

∑
=
N
0k
k
α
k
k
dt

)t(yd
=
∑
=
M
0k
k
β
k
k
dt
)t(xd
(6.3)
Với x(t) là tín hiệu tác động ngõ vào, và y(t) là ngõ ra của mạch lọc. Ba phương
trình trên cho ta 3 cách chuyển đổi 1 mạch lọc tương tự thành 1 mạch lọc số.
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R)
Xử Lý Tín Hiệu Số
215
• Công cụ toán học dùng để khảo sát tính chất mạch lọc tương tự là phép biến
đổi Laplace :
h
a
(t) → H
a
(s) =
∫
∞
∞−
)t(h
a

e
-st
dt (6.4)
với s = σ+ jω
a
• Công cụ toán học
dùng để khảo sát tính chất
mạch lọc số là phép biến đổi Z :
h(n) → H(z) =
∑
∞
−∞=n
)n(h
z
-n
• Mạch lọc tương tự với hàm truyền
đạt H(s) là ổn đònh nếu tất cả các điểm
cực của nó nằm bên trái mặt phẳng S. Vì
vậy ta cần lưu ý những đặc điểm sau :
→ Trục jω
a
trong mặt phẳng S có ánh xạ
là vòng tròn đơn vò trong mặt phẳng Z. Vì
vậy có thể thiết lập quan hệ trực tiếp giữa 2 biến tần số trên 2 miền.
→ Mặt phẳng trái của mặt phẳng S có ánh xạ là miền nằm trong vòng tròn đơn vò trên
mặt phẳng Z. Vì vậy mạch lọc tương tự ổn đònh sẽ được chuyển đổi thành mạch lọc số
ổn đònh.
6.3.1 Thiết Kế Bằng Phương Pháp Bất Biến Xung
Phương pháp này dựa trên quan hệ của đáp ứng xung h
A

(t) của lọc tương tự và dãy
h(n) rời rạc được xác đònh bởi lấy mẫu h
A
(t) :
h(n) = h
A
(nT)
Có nghóa là dãy đáp ứng xung của bộ lọc rời rạc được nhận từ việc lấy mẫu đáp
ứng xung của bộ lọc tương tự, T là chu kỳ lấy mẫu.
Theo trên ta có : h(n) = h
A
(nT) =
∑
∞
−∞=n
h
A
(t)
δ
(t – nT)
0
jω
a
σ
σ > 0
σ < 0
Mặt phẳng S trong biến
đổi Laplace
Hình 6.1
0

1
1
–1
–1
Vòng tròn
đơn vò
Re(Z)
Mặt phẳng Z trong
biến đổi Z
Hình 6.2
I
m
(Z)
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R)
Xử Lý Tín Hiệu Số
216
Với hàm h
A
(t) ta có ảnh Laplace là H
A
(s) ,
δ
(t – nT) là hàm xung Dirac.
Với hàm h(n) ta có ảnh Z là H(z) và biến đổi Fourrier là H(e
jω
)
h(n) =
∑
∞
−∞=n

h
A
(t)
δ
(t – nT) = h
A
(t)
∑
∞
−∞=n
δ
(t – nT)
Trong miền thời gian liên tục, gọi :
– Biến đổi Fourier của h
A
(t) là H
a
(ω
a
)
– Biến đổi Fourier của
∑
∞
−∞=n
δ
(t – nT) là
T
1
∑
∞

−∞=n
δ
(ω
a
-
T
2n
π
)
Như vậy gọi biến đổi Fourier của h(n) là
H(e
jω
), ta có :
H(e
jω
) = H
a
(ω
a
)
*






−
∑
∞

−∞=n
a
)
T
2n
(
T
1
π
ωδ
=
T
1
∑
∞
−∞=n
H
a
(ω
a
)
*
δ
(ω
a
-
T
2n
π
)

Mà H
a
(ω
a
)
*
δ
(ω
a
-
T
2n
π
)
=
T
n2
(
π
δ
−Ω
∫
∞
∞−
).H
a
(ω
a
- Ω)dΩ
= H

a
(ω
a
-
T
2n
π
)
Vậy H(e
jω
) =
T
1
∑
∞
−∞=
n
H
a
(ω
a
-
T
2n
π
)(6.5)
Về mối quan hệ giữa 2 tần số ω

và ω
a

ta nhận xét :
→ Đối với tín hiệu số : x(n) = Acosnω thì n được hiểu là số nguyên không đơn vò
nên ω

phải có đơn vò góc là radian, ω

gọi là tần số số
→ Đối với tín hiệu tương tự : x(t) = Acosω
a
t, trong đó ω
a
là tần số góc
( )
s
rad
, khi
lấy mẫu đều ở các thời điểm t = nT (với T là chu kỳ lấy mẫu) thì ta được tín hiệu
số:
x(n) = Acosnω
a
T. Vậy đối chiếu với tín hiệu số :
x(n) = Acosnω
Ta có quan hệ: ω = ω
a
T
Trở lại kết quả trên ta có các đồ thò sau :
h
A(t)
0t
0T2T

3T-T
()
∑
−δ nTt
t
h(n)
01 2
3-1
-2
n
Hình
6.3
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R)
Xử Lý Tín Hiệu Số
217
• Để tránh hiện tượng chồng phổ ta phải có điều kiện :
ω
a
max ≤
T
2
π
- ω
a
max
ω
a
max ≤
T
π

⇒ H
a
(ω
a
) = 0 khi ω
a
≥
T
π
• Lúc đó đối với đáp ứng tần số H(e
jω
) của bộ lọc rời rạc, ta có thể viết :
H(e
jω
) =
T
1
H
A
(
T
ω
) và là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2π.
• Thiết kế xung bất biến có thể tóm tắt theo các bước sau :
→ Cần đặt chỉ tiêu cho bộ lọc rời rạc bằng đặc tuyến tần số H(e
jω
), và cần thiết lập
chỉ tiêu tương tự tương ứng với việc lựa chọn tần số lấy mẫu đúng
(ω
a

≤
T
π
=
2
s
ω
hay là f
s
≥ 2f
a
) f
s
là tần số lấy mẫu, f
a
là tần số tín hiệu liên tục vào.
→ Cần tìm hàm truyền đạt tương tự H
A
(s) thỏa mãn các chỉ tiêu tương tự đã đặt ra.
Trong nhiều trường hợp H
A
(s) coi như được cho và chỉ cần thực hiện các bước sau :
→ Từ hàm H
A
(s) với biến đổi ngược Laplace cần xác đònh hàm đáp ứng xung tương
tự h
A
(t)
→ Từ h
A

(t) xác đònh dãy h(n) sau đó xác đònh ảnh H(z) có thể thực hiện được bởi
một mạch chuẩn nào đó
Để xét sự ánh xạ giữa mặt phẳng Z và mặt phẳng S trong quá trình lấy mẫu, ta xét bài
toán sau đây :
Xét hàm liên tục f(t), ta sẽ có hàm rời rạc f(nT) với chu kỳ lấy mẫu T.
H
a
(ω
a
)
ω
a
H(e
jω
)
ω
a
– ω
a
max ω
a
max0
– ω
a
max ω
a
max0

T
2

π
– ω
a
max

T
2
π

T
4
π
Hình 6.4
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R)
Xử Lý Tín Hiệu Số
218
f(nT) =
∑
∞
−∞=n
)t(f
δ
(t – nT)
với
δ
(t – nT) là hàm xung Dirac.
Biến đổi Laplace của hàm f(nT), ký hiệu là : F
*
(s)
F

*
(s) =
∫
∞
∞−
)nt(f
e
-st
dt =
∫
∑
∞
∞−
∞
−∞=






− )nTt(.)t(f
n
δ
e
-st
dt
=
∑
∫

∞
−∞=
∞
∞−
n
)t(f
δ
(t – nT) e
-st
dt
F
*
(s) =
∑
∞
−∞=n
)nT(f
e
-snT
Đặt z = e
sT
với s = σ + jω
Ta có biến đổi Z của hàm f(t) tại thời điểm t = nT (hàm rời rạc) :
F
*
(s) = F(z)
=
∑
∞
−∞=n

)nT(f
z
-n
Vậy phép ánh xạ thực hiện trên đặc điểm chung là biến đổi biến giữa 2 miền z =
e
sT
. Thay s = σ+ jω
a
và biểu diễn z theo dạng toạ độ cực z = r e
jω
. Ta có :
r e
jω
= e
σT

Tj
a
e
ω
⇒ r =
T
e
σ
, ω = ω
a
T
Vậy khi σ < 0 tương ứng với 0 < r < 1
σ > 0 tương ứng với r > 1
σ = 0 tương ứng với r = 1

Từ kết quả này ta rút ra kết luận :
0
Vòng tròn
đơn vò
R
e
Z
Mặt phẳng Z
Hình 6.5
ω σ
Mặt phẳng S
0
I
m
(Z)
jω
a
1