Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn - Phần 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (263.39 KB, 30 trang )

Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
182
5.6.2. Các Phương Pháp
Có 3 phương pháp chính để tổng hợp bộ lọc số
– Phương pháp cửa sổ
– Phương pháp lấy mẫu tần số
– Phương pháp lặp
* Phương pháp cửa sổ :
Biến đổi Fourier là phương pháp cơ bản để thiết kế các bộ lọc số. Về nguyên tắc
nó có thể dùng để thiết kế lọc cho bất cứ yêu cầu đáp ứng tần số biên độ. Tuy nhiên từ
hàm đáp tuyến tần số H(e
jω
) =
∑
∞
−∞=n
)n(h
e
-jnω
với các hệ số được tính : h(n) =
∫
π
ω
π
2
0
j
)e(H
2
1

e
jnω
dω
để thiết kế bộ lọc FIR, nhân quả, pha tuyến tính, ta chỉ có thể chú ý đến một số số hạng
của chuỗi Fourier, nghóa là bỏ đi các đáp ứng xa gốc khi chúng trở nên khá nhỏ so với
các đáp ứng ở gần gốc. Hậu quả của sự cắt gọt này là đáp ứng tần số thực tế H
d
(e
jω
)
khác với đáp ứng tần số thiết kế được theo phương pháp Fourier H(e
jω
) trong lúc chính
H(e
jω
) chỉ là gần đúng của đáp ứng yêu cầu C(e
jω
)
→ Tác dụng của cửa sổ trong miền thời gian và tần số
Sự cắt gọt tương đương với nhân đáp ứng xung h(n) với một cửa sổ hay còn gọi
hàm cửa sổ w(n) rộng hữu hạn. Khi nhìn qua cửa sổ này ta thấy nguyên vẹn phần trung
tâm của đáp ứng xung còn phần xa hai bên bò khuất. Một cách toán học ta viết đáp ứng
xung thực tế như sau :
H
d
(n) = h(n)w(n)
Dó nhiên cửa sổ càng rộng thì h
t
(n) càng xấp xỉ với h(n), phương pháp cửa sổ được
thực hiện với bộ lọc số FIR loại 1, gồm các bước chính sau đây :

– Cho 4 chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số δ
1
, δ
2
, ω
p
, ω
s
– Chọn dạng cửa sổ và chiều dài N của cửa sổ, trong miền n, cửa sổ có tâm đối
xứng tại n =
2
1N −
. Vậy trong miền tần số cửa sổ có pha tuyến tính θ(ω) = -
2
1N
−
ω
– Chọn loại bộ lọc số lý tưởng có đáp ứng xung là h(n), h(n) có tâm đối xứng tại
2
1N −
trong miền n. Vậy trong miền tần số, h(n) sẽ có pha tuyến tính θ(ω) = -
2
1N
−
ω
– Nhân cửa sổ W(n) với h(n) lý tưởng để được h
d
(n) của bộ lọc thực tế h
d
(n) =

w(n)h(n)
– Khi đã có h
d
(n) thử lại trong miền tần số xem có thỏa mãn 4 chỉ tiêu kỹ thuật ở
trên hay không, nếu không thỏa mãn tăng N rồi lặp lại các bước trên cho đến khi nào
thỏa mãn thì ngừng.
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
183
h
d
(e
jω
) = W(e
jω
)
*
H(e
jω
) =
∫
−
π
π
θ
π
)e(H
2
1
j

W(e
j(ω-θ)
)dθ
Hàm cửa sổ W(e
jω
) cho bởi:
W(e
jω
) =
∑
∞
−∞=n
)n(W
e
-jnω
Hàm H
d
(e
jω
) được xác đònh lần lượt theo 3 bước :
– Tạo hàm W(e
j(ω-θ)
) bằng cách dời hàm W(e
jω
) về bên phải một khoảng ω trên trục
θ
– Nhân hai hàm H(e
jθ
) và W(e
j(ω-θ)

) với nhau thành hàm phụ thuộc biến số θ
– Lấy tích phân tích số trên theo biến số θ , kết quả sẽ là một số tỷ lệ với diện tích
chung của hai hàm
–H
d
(e
jω
) xấp xỉ càng đúng H(e
jω
) nếu dạng của hàm W(e
jω
) càng giống hàm delta
dirac. Như vậy nếu W(e
jω
) càng nhọn thì sự xấp xỉ càng tốt hơn
Nhận xét :
Độ gợn sóng trong dãi thông, độ suy giảm trong dãi chắn phụ thuộc vào dạng hàm cửa
sổ
→ Các hàm cửa sổ.
a. Cửa sổ chữ nhật được đònh nghóa như sau
1 0 ≤ n ≤ N -1
0 n còn lại
Đây là cửa sổ đối xứng, tâm đối xứng tại n =
2
1N
−
(N lẻ). Vậy trong miền tần số
W(e
jω
) sẽ có pha tuyến tính là : θ(ω) = -

2
1N
−
ω.
Khi H(e
jω
) và W(e
jω
) đều có cùng pha tuyến tính là θ(ω) = -
2
1N
−
ω (FIR loại 1) thì
h(n) và W
R
(n)
N
sẽ có cùng tâm đối xứng tại n =
2
1N
−
(N lẻ). Ta có :
W
R
(e
jω
) =









−








−
=
−
−
=
−−
−−
−
−
−
=
−
∑
2
j
2

j
2
j
2
N
j
2
N
j
2
N
j
j
Nj
1N
0n
jn
eee
eee
e1
e1
e
ωωω
ωωω
ω
ω
ω
=













−
−
2
sin
2
N
sin
e
2
)1N(
j
ω
ω
ω
W
R
(n) =
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
184

Đáp ứng biên độ của hàm cửa sổ chữ nhật là :
2
sin
2
N
sin
)e(W
j
R
ω
ω
=
ω
Và đáp ứng pha :
2
)1N(
−
−
ω
nếu
2
sin
2
N
sin
ω
ω
≥ 0
2
)1N(

−
−
ω
+ π nếu
2
sin
2
N
sin
ω
ω
< 0
Các điểm xuyên không thỏa : sin
2
N
ω
= 0 →
2
N
ω
= kπ ⇒ ω =
N
k2
π
( với k= 1, 2, 3, . . . )
Đáp ứng giữa hai điểm xuyên không đầu tiên ở hai bên gốc là múi chính.Các
vùng giữa hai điểm xuyên không kế tiếp khác là các múi bên. Độ rộng của múi chính
là:
N
4

π
Tỷ số giữa biên độ của đỉnh trung tâm và đỉnh thứ cấp đầu tiên :
η =
)e(W
)e(W
N
3
j
R
0j
R
π
=
N2
3
sinN
N2
3
sin
2
3
sin
N
π
π
π
=
θ
w
(ω)

)e(W
j
R
ω
N
0
ω
N
2
π
N
4
π
N
6
π
π2
N
4
π
Hình 5.10
N
8
π
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
185
Nhận xét:
Khi cửa sổ càng rộng, các điểm xuyên không càng gần lại gốc nên các múi càng
hẹp, đỉnh múi chính càng lớn, đỉnh của múi bên cũng lớn theo.

Cửa sổ lý tưởng là cửa sổ cho múi chính hẹp nhất và các múi bên có biên độ nhỏ
nhất. Nhưng đây là hai yếu tố đối chọi nhau cửa sổ có múi chính hẹp thì các múi bên
lớn và ngược lại. Lý do chính để cửa sổ vuông có các múi bên lớn không mong muốn là
sự cắt giảm đột ngột của cửa sổ trong miền thời gian dẫn đến sự trải rộng phổ trong
miền tần số, như vậy nếu chấm dứt cửa sổ nhẹ nhàng hơn thì các múi bên sẽ nhỏ hơn từ
đó ta đưa ra cửa sổ tam giác
b. Cửa sổ tam giác (cửa sổ Bartlett)
* Đònh nghóa :
Trước hết ta nhận xét : W(n) là tích chập của hai hàm cửa sổ chữ nhật. Thật vậy gọi
W
1
(n) là hàm cửa sổ chữ nhật chiều dài
2
1N
−
ta có :
W(n) =
1N
2
−
W
1
(n)
*
W
1
(n-1)
Theo trên ta có : W
1
(e

jω
) =


















−






−
−
−

2
sin
2
1N
2
sin
e
1
2
)1N(
2
j
ω
ω
ω
W
1
(n – 1) có biến đổi Fourier là : e
-jω
W
1
(e
jω
)
Vậy W(e
jω
) =
1N
2
−

e
-jω
()
2
1
2
)1N(
j
2
sin
1N
4
sin
e












−







−
−
−
ω
ω
ω
=
1N
2
−
2
sin
)1N(
4
sin
e
2
2
2
1N
j
ω
ω
ω
−
−
−

Nhận xét :
tại ω

= 0,
)e(W
j
ω
=
1N
2
−
2
1N
2
1N
2
−
=






−
W(n) =
1N
n2
−
(0 ≤ n ≤

2
1N −
)
2
1N
n2
−
−
(
2
1N −
≤ n ≤ N – 1)
0 (n còn lại )
1
2
3
4
5
67
8
n
W(n)
1
0
Hình 5.11
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
186
• Tại điểm không đầu tiên :
sin

4
ω
(N – 1) = 0 = sinπ
ω

=
1N
4
−
π
Độ rộng múi chính là
1N
8
−
π
khi N lớn độ rộng vùng này là gần bằng
N
8
π
• Bây giờ ta tính tỷ số biên độ của đỉnh trung tâm với đỉnh thứ cấp đầu tiên.
Điểm không thứ 2 : ω

=
1N
8
−
π
Điểm trung tâm đỉnh thứ cấp :
1N
6

−
π
2
1N
6
j
1N
3
sin
2
3
sin
1N
2
eW










−
−
=









−
π
π
π
Vậy tỷ số là :
η =
2
2
1N






−
2
2
3
sin
1N
3
sin











−
π
π
=
2
2
1N






−
2
1N
3
sin







−
π
•
So sánh cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật :
– Một cửa sổ tam giác có N số hạng sẽ là tích chập của 2 cửa sổ chữ nhật
2
1N
−
số
hạng. Nhân chập trong miền thời gian tương ứng với phép nhân trong miền tần số nên
tần phổ của cửa sổ tam giác N số hạng là bình phương tần phổ của cửa sổ chữ nhật
2
1N −
số hạng.
– Lý luận ở trên cho thấy đáp ứng tần số có độ dợn sóng thấp hơn so với khi dùng
cửa sổ chữ nhật nhưng điều bất lợi là với cùng độ rộng như cửa sổ chữ nhật , cửa sổ tam
giác có múi chính rộng gấp đôi. Điều này dẫn đến hậu quả làm lài hơn chuyển tiếp
giữa giải thông và giải chận của H(e
jω
).
– Tỷ số η giữa hai cửa sổ chữ nhật và tam giác là :
* Đối với cửa sổ chữ nhật : η = N
N2
3
sin
π
khi N rất lớn thì η ≈

2
3
π
= 4,712
Gọi : λ =
η
1
đổi sang đơn vò db λ = 20 log
72,4
1
≈ -13db
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
187
* Đối với cửa sổ tam giác :
η =
2
2
1N






−
2
2
3
sin

1N
3
sin










−
π
π
=
2
2
1N






−
2
1N
3

sin






−
π
khi N rất lớn η =
2
2
1N






−
2
1N
3






−

π
=
2
2
3






π
λdb =
η
1
= 20 log
2
3
2






π
= -26db ,cũng chưa đủ tốt mà múi chính lại
rộng ra so với cửa sổ chữ nhật nên chưa phải là cửa sổ như ý.
c. Cửa sổ Hanning và Hamning : dạng tổng quát
W(n) =







−
−−
1N
n2
cos)1(
π
αα
W
R
(n)
W
R
(n) là cửa sổ chữ nhật cùng chiều dài N. Cửa sổ gồm 1 chu kỳ của cosin được
lấy mẫu cộng với thành phần 1 chiều để làm cho tất cả các biên độ đều dương. Biên độ
của cửa sổ bằng 1 ở trung tâm n =
2
1N
−
và giảm dần khi xa trung tâm.
Khai triển W(n) ta có :
W(n) = αW
R
(n) – (1-α)cos
1N

n2
−
π
W
R
(n)
Nhưng cos
1N
n2
−
π
=
2
ee
1N
n2
j
1N
n2
j
−
−
−
+
ππ
Suy ra W(n) = αW
R
(n) –
1N
n2

j
e
2
1
−
−
π
α
W
R
(n) –
1N
n2
j
e
2
1
−
−
−
π
α
W
R
(n)
2
1N
−
1
n

W(n)
1N−
)1( α−−α
0
Hình 5.12
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
188
Nhưng W
R
(n) =












−
−
2
sin
2
N
sin

e
2
1N
j
ω
ω
ω
Suy ra
W(e
jω
) = α
2
1N
j
e
2
sin
2
N
sin
−
−
ω
ω
ω
–
2
1N
)
1N

2
(j
e
2
1
−
−
−−
−
π
ω
α
2
1
1N
2
sin
2
N
1N
2
sin






−
−







−
−
π
ω
π
ω
–
-
2
1N
)
1N
2
(j
e
2
1
−
−
−−
−
π
ω
α

2
1
1N
2
sin
2
N
1N
2
sin






−
+






−
+
π
ω
π
ω







−
−

































−
+






−
+






−
+



















−
−






−
−







−
+












=
2
1N
j
j
e
1N2
sin
1N
N
2
N
sin
1

1N2
sin
1N
N
2
N
sin
1
2
sin
2
N
sin
)e(W
ω
ω
πω
πω
α
α
πω
πω
α
α
ω
ω
α
• Đối với cửa sổ Hanning α = 0,5
• Đối với cửa sổ Hamming α = 0,54
Để đơn giản trong xác đònh độ rộng múi chính ta giả thiết N rất lớn so với 1 (phù

hợp với thực tế của bộ lọc): N – 1 ≈ N. Vậy :
)e(W
j
ω
≈






+






+
−
+






−







−
−
+












N2
sin
2
N
sin
.
2
1
N2
sin
2

N
sin
.
2
1
2
sin
2
N
sin
πω
πω
α
πω
πω
α
ω
ω
α
=






+







−
−






−






−
−













N2
sin
2
N
sin
.
2
1
N2
sin
2
N
sin
.
2
1
2
sin
2
N
sin
πω
ω
α
πω
ω
α
ω

ω
α
=




















+







−
−






−






−
−












N2

sin
1
.
2
1
N2
sin
1
.
2
1
2
sin
2
N
sin
πω
α
πω
α
ω
α
ω
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
189
)e(W
j
ω
= 0 khi sin

2
N
ω
= 0 = sinkπ ⇒
2
N
ω
= kπ
• Nếu k =1 thì
2
N
ω
= π ⇒ ω

=
N
2
π
Lúc này
)e(W
j
ω
= –
2
1
α
−







−






N2
sin
2
N
sin
πω
ω
Có dạng vô đònh
0
0
, để phá dạng vô đònh này ta dùng quy tắc Hospital
N
2
lim
π
ω
→
)e(W
j
ω

= –
2
1
α
−






−






N2
cos
2
1
2
N
cos
2
N
πω
ω
= –

2
1
α
−
2
1
)1(
2
N
−
= (1– α)
2
N
• Nếu k= -1 thì ω = -

N
2
π
Lúc này
)e(W
j
ω
= –
2
1
α
−







+






N2
sin
2
N
sin
πω
ω
Có dạng vô đònh
0
0
, phá dạng vô đònh
)e(W
j
ω
=
N
2
lim
π
ω

−→
–
2
1
α
−






+






N2
cos
2
1
2
N
cos
2
N
πω
ω

=
2
1
α
−
2
1
2
N
=
2
)1(
α
−
N
• Vậy độ rộng múi chính ứng với k = 2
2
N
ω
= 2π ⇒ ω

=
N
4
π
(điểm không đầu tiên). Vậy độ rộng là
N
8
π
• Để tính tỷ số giữa biên độ đỉnh trung tâm và đỉnh thứ cấp đầu tiên ta phải xác

đònh tại trung tâm ω = 0.
)e(W
j
ω
=
2
N
ω










2
ω
α
= Nα
Các điểm không cho bởi ω

=
N
k2
π
(k ±≠ 1),
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn

Xử Lý Tín Hiệu Số
190
k= 2 → ω

=
N
4
π
(điểm không đầu tiên).
k= 3 → ω

=
N
6
π
(điểm không thứ hai).
Vậy điểm đỉnh thứ cấp đầu tiên xảy ra tại ω

=
N
5
π
)e(W
j
ω
= sin
2
5
π

















−
−






−
−
N2
7
sin
1
2

1
N2
3
sin
1
2
1
N2
5
sin
π
α
π
α
π
α
khi N rất lớn
)e(W
j
ω
=

















−
−






−
−
N2
7
1
2
1
N2
3
1
2
1
N2
5
π

α
π
α
π
α
=
7
1
3
1
5
2N
ααα
π
−
−
−
−
=
105
5092N −
α
π
⇒ λ =
105
5092N −
α
π
πα
α

α
105
5092
N
1
−
=
• Đối với bộ lọc Hanning : α = 0,5 → λdb = -32db
• Đối với bộ lọc Hamming : α = 0,54 → λdb = -43db
So sánh với cửa sổ tam giác ta thấy rằng :
• ∆Ω
T
= ∆Ω
Hann
= ∆Ω
Hamm
. Vậy độ rộng múi chính của cửa sổ tam giác, Hanning
và Hamming là như nhau.
• λ
T
> λ
Hann
> λ
Hamm
. Vậy
biên độ của gợn sóng ở cả dải
thông và dải chắn sẽ nhỏ nhất đối
với cửa sổ Hamming.
Hình vẽ sau trình bày đáp ứng tần
số W(e

jω
) ứng với cửa sổ chữ nhật
và cửa sổ Hann khi N = 15.
d. Cửa sổ Blackman
Đònh nghóa : Trong miền n, cửa sổ Blackman được đònh nghóa như sau
Cửa sổ chữ nhật
Cửa sổ Hanning
W(e
jω
)
15
0
ω
Hình 5.13
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
191
Với điều kiện :
∑
−
=
2
1N
0m
m
a
= 1
Nhận xét :
Cửa sổ Hanning và Hamming chính là cửa sổ Blackman với 2 hệ số a
0

, và a
1
khác
không.
a
0
= α , a
1
= 1-α

, a
m
= 0 với 2 ≤ m ≤
2
1N −
Trong thực tế Blackman thường dùng 3 hệ số khác không a
0
, a
1
, a
2
. Việc xác đònh
các hệ số này với mục đích làm giảm gợn sóng của dải chắn. Bằng cách thử trên máy
tính để chọn giải pháp tối ưu, ta tìm được:
a
0
≈ 0,42 a
1
≈ 0,5 a
2

≈ 0,08
⇒ W(n) = 0,42 – 0,5cos
1N
2
−
π
n + 0,08cos
1N
4
−
π
n (0 ≤ n ≤ N-1)
Vậy : W(n) = 0,42W
R
(n) – 0,5 W
R
(n) cos
1N
2
−
π
n + 0,08W
R
(n)cos
1N
4
−
π
n
W

R
(n) : là cửa số chữ nhật chiều dài N
W(n) = 0,42W
R
(n) – 0,25 W
R
(n)
n
1N
2
j
e
−
π
– 0,25 W
R
(n)
n
1N
2
j
e
−
−
π
+
0,04W
R
(n)
1N

n4
j
e
−
π
+ 0,04W
R
(n)
1N
n4
j
e
−
−
π
Biến đổi Fourier ta có :
W(e
jω
) =

































−
+






−

+
+






−
−






−
−
+
+






−
+







−
+
+






−
−






−
−
+
−
−
2
1
1N
4

sin
2
N
1N
4
sin
04,0
2
1
1N
4
sin
2
N
1N
4
sin
04,0
2
1
1N
2
sin
2
N
1N
2
sin
25,0
2

1
1N
2
sin
2
N
1N
2
sin
25,0
2
sin
2
N
sin
42,0
e
2
1N
j
π
ω
π
ω
π
ω
π
ω
π
ω

π
ω
π
ω
π
ω
ω
ω
ω
khi N rất lớn ta có thể viết gần đúng
)e(W
jω
)e(W
jω
= 0,42
2
sin
2
N
sin
ω
ω
+ 0,25






−







−
N2
sin
2
N
sin
πω
π
ω
+ 0,25






+






+

N2
sin
2
N
sin
πω
π
ω
+
W(n) =
∑
−
=
−
2
1N
0m
m
)1(
a
m
cos






−
nm

1N
2
π
0≤ n ≤ N–1
0 n còn lại
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
192
0,04






−






−
N
2
2
sin
2
2
N

sin
πω
π
ω
+ 0,04






+






+
N
2
2
sin
2
2
N
sin
πω
π
ω

= 0,42
2
sin
2
N
sin
ω
ω
- 0,25






−
N2
sin
2
N
sin
πω
ω
- 0,25







+
N2
sin
2
N
sin
πω
ω
+ 0,04






−
N
2
2
sin
2
N
sin
πω
ω
+ 0,04







+
N
2
2
sin
2
N
sin
πω
ω
Điểm không xảy ra tại tần số ω

thỏa :
sin
2
N
ω
= 0 ⇒
2
N
ω
= kπ ⇒ ω

=
N
k2
π
với điều kiện ω

≠ ±
N
2
π
, ω

≠ ±
N
4
π
nghóa là điểm không đầu tiên ứng với :
k = ± 3 → ω = ±
N
6
π
. Vậy bề rộng múi chính của cửa sổ là : ∆Ω =
N
12
π
• Tại ω

=
N
7
π
(điểm đỉnh thứ cấp đầu tiên) :
)e(W
j
ω

= sin
2
7
π










++−−
N2
11
sin
04,0
N2
3
sin
04,0
N2
9
sin
25,0
N2
5
sin

25,0
N2
7
sin
42,0
πππππ
khi N rất lớn
)e(W
j
ω
≈
π
N2
π
N002,0
11
04,0
3
04,0
9
25,0
5
25,0
7
42,0
=







++−−
• Tại ω

= 0,
)e(W
j
ω
= 0,42N
tỷ số λ =
42,0
002,0
π
đổi sang đơn vò db là : -57db
* Phương pháp lặp
Thiết kế bộ lọc FIR tối ưu: thiết kế tối ưu có nghóa là năng lượng của sóng bên là
tối thiểu. Ở đây, ta xem việc thiết kế tối ưu lọc FIR như là một bài toán gần đúng theo
nghóa Chebyschev. Sự tối ưu ở đây có nghóa là sự xấp xỉ các chỉ tiêu của bộ lọc. Trở lại
4 loại bộ lọc số FIR pha tuyến tính. Ta đưa cách biểu diễn
∧
H
(e
jω
) của cả 4 loại về cùng
1 dạng tích của hai hàm như sau :
∧
H
(e
jω

) = Q(e
jω
).P(e
jω
)(5.1)
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
193
Ở đây Q(e
jω
) là 1 hàm lượng giá chỉ phụ thuộc vào biến số ω

và không chứa 1
hằng số nào. P(e
jω
) đa thức của các thừa số cosωn có hệ số :
a
~
(n),
b
~
(n),
c
~
(n),
d
~
(n) có thể được xác đònh từ các hệ số a(n), b(n), c(n), d(n) của hàm
H(e
jω

)
→ Bộ lọc số FIR loại 1: theo kết quả ở phần trước của bài học, ta có :
∧
H
(e
jω
) =
∑
−
=
2
1N
0n
ncos)n(
ωα
= 1
∑
−
=
2
1N
0n
ncos)n(a
~
ω
So với dạng (5.1) ta có :
Q(e
jω
) =1, P(e
jω

) =
∑
−
=
2
1N
0n
ncos)n(a
~
ω
; α(n) =
a
~
(n)
→ Bộ lọc số FIR loại 2
∧
H
(ejω) =
∑
=
−
2
N
1n
)
2
1
n(cos)n(b
ω
= cos

2
ω
∑
−
=
1
2
N
0n
ncos)n(b
~
ω
Bây giờ ta xác đònh mối quan hệ giữa b(n) và
b
~
(n). Trước hết ta xét số hạng :
cos
2
ω
∑
−
=
1
2
N
0n
ncos)n(b
~
ω
Ta có :