Vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học phương trình vô tỷ ở trường trung học phổ thông

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong đường lối xây dựng và phát triển đất nước, Đảng và Nhà nước ta
rất coi trọng sự nghiệp giáo dục, coi sự nghiệp giáo dục là quốc sách hàng
đầu. Nghị quyết của Hội nghị lần thứ 2 BCH TƯ Đảng khoá VIII đã chỉ rõ
con đường đổi mới giáo dục và đào tạo là “Đổi mới mạnh mẽ các phương
pháp giáo dục đào tạo, khắc phục phương pháp giáo dục một chiều, rèn luyện
thành nếp tư duy sáng tạo của người học, phát triển phong trào tự học, tự đào
tạo thường xuyên, rộng khắp trong toàn dân, nhất là trong thanh niên”.
Tuy đạt nhiều thành quả trong giáo dục và đào tạo trong thời kỳ đổi
mới vừa qua, nhưng việc đổi mới phương pháp giáo dục vẫn còn nhiều hạn
chế, tình trạng học kiểu “thầy đọc, trò chép”, thầy truyền đạt trò tiếp nhận, ghi
nhớ một cách thụ động máy móc…. Trước tình hình đó trong định hướng phát
triển giáo dục và đào tạo, nghị quyết Đại hội Đảng lần thứ IX đã nhấn mạnh
“Tiếp tục quán triệt quan điểm giáo dục là quốc sách hàng đầu và tạo sự
chuyển biến căn bản, toàn diện trong giáo dục đào tạo - Triển khai hiệu quả
Luật Giáo dục - định hình quy mô giáo dục và đào tạo; điều chỉnh cơ cấu đào
tạo, nhất là cơ cấu cấp học, ngành nghề và cơ cấu lãnh thổ, phù hợp với nhu
cầu nguồn nhân lực phục vụ việc phát triển kinh tế xã hội. Nâng cao trình độ
đội ngũ GV các cấp”; “tiếp tục đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp
giảng dạy và phương pháp đào tạo đội ngũ lao động có chất lượng cao, đặc
biệt trong ngành kinh tế, kỹ thuật mũi nhọn và công nghệ cao”.
Những năm gần đây, trong ngành giáo dục có sự vận động đổi mới
phương pháp giáo dục, với quan điểm “ Phương pháp giáo dục cần hướng vào
tổ chức cho người học học tập trong hoạt động, bằng hoạt động tự giác, tích

1


cực, chủ động và sáng tạo”. Trong phương pháp tích cực, HS được cuốn vào
các hoạt động học tập do GV tổ chức. Thông qua các hoạt động trao đổi, thảo

luận, những tri thức mới, vấn đề mới được nảy sinh, được phát hiện, HS có
thể đề xuất phương pháp giải quyết vấn đề theo cách riêng của mình. Qua đó
vừa có được những nhận thức mới, kỹ năng mới, vừa nắm được phương pháp
tìm ra kiến thức, kỹ năng đó. Thông qua hoạt động HS tự mình khám phá ra
những điều mình chưa biết.
Vì những lí do trên chúng tôi chọn đề tài “Vận dụng quan điểm hoạt
động trong dạy học phương trình vô tỷ ở trường trung học phổ thông”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng một phương án dạy học một số chủ đề thuộc nội dung
phương trình vô tỷ theo quan điểm hoạt động, góp phần nâng cao chất lượng
dạy học toán ở trường THPT.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy
học môn Toán và tình hình dạy học nội dung phương trình vô tỷ.
- Áp dụng 4 thành tố cơ sở của phương pháp dạy học theo quan điểm
hoạt động vào nội dung phương trình vô tỷ.
- Đưa ra một phương án dạy học nội dung phương trình vô tỷ theo quan
điểm hoạt động.
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra giả thuyết đề ra.
3. Giả thuyết khoa học
Có thể vận dụng quan điểm hoạt động để xác định và tổ chức các hoạt
động của HS trong dạy học phương trình vô tỷ nhằm tích cực hoá hoạt động

2


học tập của HS, góp phần nâng cao chất lượng dạy học phương trình vô tỷ ở
trường THPT.
4. Phương pháp nghiên cứu

4.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
4.2. Phương pháp quan sát điều tra.
4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
4.4. Phương pháp thống kê toán học.
5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục luận văn
gồm 3 chương
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Tổ chức các hoạt động của học sinh trong dạy học phương
trình vô tỷ
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3


Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Quan điểm hoạt động trong dạy học môn Toán
1.1.1 .Thành tố cơ sở của phương pháp dạy học
Con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt
động.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động xác định trước
hết là các hoạt động hình thành và ứng dụng tri thức bao hàm trong nội dung
đó. Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung là vạch ra được một
con đường để con người chiếm lĩnh nội dung đó và đạt mục tiêu dạy học
khác, đồng thời cũng chỉ rõ mục tiêu dạy học nội dung đó và cách thức kiểm
tra xem mục tiêu dạy học đề ra đạt đến mức độ nào?
Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động và giao lưu của thầy gây
nên những hoạt động và giao lưu cần thiết của trò nhằm đạt mục đích dạy
học.

Trong phương pháp dạy học, điều quan trọng là phát hiện những hoạt
động tiềm ẩn trong mỗi nội dung và đề ra hướng khai thác các hoạt động đó.
-

Phương pháp dạy học phải đảm bảo hai nguyên tắc:

Thứ nhất là tính liên tục: Những hoạt động nào dẫn tới khái niệm giàu
có hơn, rộng lớn hơn và có mối liên hệ liên tục tới những sự kiện trước đó
và sắp tới mới đem lại sự học tập và sự phát triển.
Thứ hai là nguyên tắc tác động qua lại : Cần quan tâm đến những yếu tố
bao gồm sự tích hợp do người học thực hiện hoạt động với sự giúp đỡ của
thầy về bài học, về nhu cầu, tình cảm và các biến số của môi trường xung

4


quanh. Nguyên tắc thứ hai này bảo đảm tính nhân văn “Quá trình dạy học là
quá trình điều khiển con người chứ không phải là điều khiển máy móc”.
Do đó, quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học được thể hiện
ở các tư tưởng chủ đạo sau đây :
Thứ nhất: Cho HS thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động
thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học.
Thứ hai: Gợi động cơ cho các hoạt động học tập.
Thứ ba: Dẫn dắt HS kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như
phương tiện và kết quả hoạt động.
Thứ tư : Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học.
Như vậy thành tố của phương pháp dạy học bao gồm:
-

Hoạt động và hoạt động thành phần.

-

Gợi động cơ hoạt động.

-

Tri thức và tri thức phương pháp.

-

Phân bậc hoạt động.

Ví dụ 1 : Khi dạy HS giải phương trình
2 ( x 2 − 3x ) + 3 x ( 3 − x ) = 1

.

Các thành tố cơ sở được vận dụng như sau:
+) Những hoạt động tương thích với nội dung
- Nhận dạng phương trình (Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ).
- Thể hiện quy tắc biến đổi (Đặt ẩn phụ, chuyển phương trình về
phương trình bậc 2, giải phương trình).
+) Gợi động cơ .
Phương trình trên có chứa ẩn bậc 2 ở ngoài căn thức, nếu mũ hoá thì ta
sẽ được phương trình bậc 4 rất phức tạp. Do đó, ta cần tìm mối liên hệ
giữa các biểu thức trong và ngoài đấu căn để đặt ẩn phụ thích hợp.

5

+) Phân bậc hoạt động
? Nhận xét về biểu thức trong căn và biểu thức chứa biến ở ngoài căn
thức?
? Như vậy ta có thể đặt ẩn phụ như thế nào?
+) Tri thức phương pháp
Đối với các phương trình có chứa f ( x ) và

f ( x)

có thể đặt

t=

f ( x)

để chuyển phương trình về dạng hữu tỷ.
1.1.2. Những hoạt động của HS liên hệ mật thiết với nội dung môn Toán
Nội dung dạy học có mối liên hệ mật thiết với hoạt động của con
người, đó là một biểu hiện của mối liên hệ giữa mục tiêu, nội dung và phương
pháp dạy học.
Nội dung môn Toán ở nhà trường phổ thông liên hệ mật thiết trước hết
là các hoạt động sau: nhận dạng và thể hiện, những hoạt động toán học phức
hợp, những hoạt động phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung
và hoạt động ngôn ngữ.
1.1.2.1. Nhận dạng và thể hiện
Nhận dạng và thể hiện là hai hoạt động theo chiều trái ngược nhau liên
hệ với một định nghĩa, một định lý, một phương pháp.
a). Nhận dạng và thể hiện một khái niệm
- Nhận dạng một khái niệm (nhờ một định nghĩa tường minh hoặc ẩn

tàng) là phát hiện xem đối tương đó có thoả mãn định nghĩa đó hay không?.
Ví dụ 2 : Cho các phương trình
a) 2 x − 1 = x + 1
b) 2 x − 1 + x − 2 = 3 x + 1
Yêu cầu HS giải các phương trình trên thì HS phải tiến hành nhận dạng
phương trình đã cho (nhận dạng khái niệm).

6


- Thể hiện một khái niệm (nhờ một định nghĩa tường minh hoặc ẩn
tàng) là tạo ra một đối tượng thoả mãn định nghĩa đó.
b) Nhận dạng và thể hiện một định lý
- Nhận dạng một định lý là xét xem tình huống cho trước có ăn khớp
với định lý hay không.
- Thể hiện một định lý là xây dựng một tình huống ăn khớp với định lý
cho trước.
c) Nhận dạng và thể hiện một phương pháp
- Nhận dạng một phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có
phù hợp với các bước thực hiện phương pháp đó hay không?
Ví dụ 3 : Tìm sai lầm trong lời giải sau
x − 2 − 2 x + 3 = x + 4(1)

Giải phương trình :

Giải: Điều kiện:
Khi đó (1)

x − 2 ≥ 0


2 x + 3 ≥ 0
x + 4 ≥ 0


⇔ x − 2 + 2x + 3 − 2
⇔ 2x −1 = 2

⇔ x≥2

( x − 2 ) ( 2 x + 3)

= x+4

( x − 2 ) ( 2 x + 3)

⇔ 4 x 2 − 4 x + 1 = 8 x 2 − 4 x − 24

⇔ 4 x 2 = 25

5

x = 2
⇔
x = − 5 < 2

2

Vậy nghiệm của phương trình là

x=

5
2.

Để tìm sai lầm trong lời giải trên là HS đã tiến hành hoạt động nhận
dạng quy tắc.

7


- Thể hiện một phương pháp là tạo ra một dãy tình huống phù hợp với
các bước của phương pháp đó.
1.1.2.2. Những hoạt động Toán học phức hợp
Những hoạt động Toán học phức hợp như chứng minh, định nghĩa, giải
toán bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích…
thường xuất hiện lặp đi lặp lại nhiều lần trong chương trình toán phổ thông.
Cho HS tập luyện những hoạt động này sẽ làm cho họ nắm vững những nội
dung toán học và phát triển kỹ năng, năng lực tương ứng.
1.1.2.3. Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học
Những hoạt động như: lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân chia
trường hợp rất quan trọng trong môn Toán nhưng cũng diễn ra ở cả những
môn học khác.
Ví dụ 4 : Cho phương trình
x−2 + 5− x = m

a) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn [3;4] .
Để làm được ý a) HS sử dụng điều kiện cần để tìm được

đề đặt ra là với

m=2

m=2

3
2 , vấn

3
2 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất hay không?

Từ đó, HS phải xét điều kiện cần ( Lật ngược vấn đề).
Để làm ý b) HS phải phân chia thành các trường hợp có một nghiệm,
có hai nghiệm thuộc đoạn [3;4] .
1.1.2.3. Những hoạt động trí tuệ chung
Các hoạt động như phân tích, khái quát, tổng hợp, so sánh, xét tương
tự, cũng được tiến hành thường xuyên khi học tập môn toán. Chúng được gọi

8


là các hoạt động trí tuệ chung bởi vì chúng cũng được thực hiện ở các môn
học khác bình đẳng như môn Toán.
Ví dụ 5 : Sau khi HS giải xong phương trình
2x −1 = x + 2

GV yêu cầu HS giải các phương trình
2
+) x + 1 = 2 x − 1

+) 4 x − 3 − x = 2
Sau đó đưa ra phương pháp chung để giải phương trình dạng
f ( x) = g ( x)

để thực hiện yêu cầu của GV, HS phải tiến hành hoạt động

tương tự hoá để giải 2 phương trình cụ thể, thực hiện các hoạt động phân tích,
so sánh từ đó đưa ra phương pháp giải tổng quát.
1.1.2.4. Những hoạt động ngôn ngữ
Được HS thực hiện khi yêu cầu họ phát biểu hoặc giải thích một định
nghĩa, một mệnh đề nào đó theo cách hiểu của mình hoặc biến đổi chúng từ
dạng này sang dạng khác tương đương, cũng có thể trong tình huống phân
tích nhận xét lời giải và sửa chữa sai lầm.
Ví dụ 6: Tìm sai lầm trong lời giải sau và trình bày lại lời giải đúng
Giải phương trình

x +1 ≥ 0

2 x − 2 ≥ 0
x + 3 ≥ 0


Giải: Điều kiện:
Khi đó (1)

x + 3 − 2 x − 2 = x + 1 (1)

⇔ x + 3 − 2x + 2 − 2
⇔ −2
⇔

⇔ x ≥1

( 2 x − 2 ) ( x + 3)

( 2 x − 2 ) ( x + 3)

( 2 x − 2 ) ( x + 3)

= 2x − 4

= 2− x

9

= x +1


2 − x ≥ 0
⇔ 2
2
2 x + 4 x − 6 = x − 4 x + 4
x ≤ 2
⇔ 2
 x + 8 x − 10 = 0
x ≤ 2

⇔   x = −4 − 26

  x = −4 + 26

Vậy nghiệm của phương trình là x = −4 + 26 .
Để thực hiện yêu cầu của bài toán, ngoài việc phải tiến hành hoạt động
nhận dạng quy tắc biến đổi để tìm sai lầm HS phải tiến hành hoạt động ngôn
ngữ khi trình bày lại lời giải đúng.
1.2. Dạy học giải bài tập Toán học.
1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Tham khảo các tài liệu [9] và [15] có thể thấy
- Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm
một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ
ràng nhưng không thể đạt được ngay. Giải toán tức là tìm ra phương tiện đó.
- Tuy nhiên cũng cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài toán. Để giải
bài tập, chỉ yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đã
học. Nhưng đối với bài toán, để giải được phải tìm tòi, giữa các kiến thức có
thể sử dụng và việc áp dụng để xử lý tình huống còn có khoảng cách, vì các
kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lý thích hợp. Muốn sử
dụng được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho
chúng thích hợp với tình huống.

1


- Hiện nay trong SGK toán, sau mỗi bài học đều có ba loại bài thực
hành, bài tập và bài toán, trình bày tách biệt với nhau, trong đó những bài toán
thực tiễn chiếm một tỉ lệ cao.
- Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn
toán ở nhà trường phổ thông. Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt
động toán học. Thông qua việc giải bài tập, HS phải thực hiện nhiều hoạt
động như: Nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắcphương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung,
những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học.

- Vị trí bài tập toán: Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học, giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo
và ứng dụng toán học vào thực tiễn.
- Chức năng của bài tập toán là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra.
- Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích, nội dung
và phương pháp của quá trình dạy học. Cụ thể:
+ Về mặt mục đích dạy học, bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau
hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán như:
. Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán
học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
. Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình
thành các phẩm chất trí tuệ.
. Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
+ Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt nội
dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã
học ở phần lý thuyết.

1


+ Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt động để
học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các
mục đích dạy học khác. Khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt
cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ
động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra.... Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài
tập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức,

khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của học sinh, cũng
như hiệu quả giảng dạy của GV.
1.2.2. Các yêu cầu đối với lời giải
- Kết quả đúng kể cả các bước trung gian.
- Lập luận chặt chẽ.
- Lời giải đầy đủ.
- Ngôn ngữ chính xác.
- Trình bày rõ ràng , đảm bảo mỹ thuật.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lý.
1.2.3. Phương pháp chung để giải toán
Theo [15] để giải một bài toán có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài toán, phân biệt rõ giả thiết và kết luận, có thể dùng công thức, hình vẽ để
minh hoạ.
Bước 2: Tìm cách giải

1


-Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những có tính chất tìm đoán như: tổng
hợp và phân tích, quy lạ về quen hoặc biến đổi vấn đề.
- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn ra cách giải hợp
lý.
Bước 3: Trình bày lời giải
Sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình, gồm các bước theo
một trình tự thích hợp và thực hiện các bươc đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
- Nghiên cứu giải bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

1.3. Tình hình dạy học nội dung phương trình vô tỷ và việc khai thác
hoạt động trong dạy Toán ở trường phổ thông.
1.3.1. Mạch kiến thức về phương trình vô tỷ trong môn Toán ở
trường phổ thông
Trong chương trình Toán phổ thông, phương trình là một trong bốn nội
dung lớn, xuyên suốt từ cấp tiểu học đến hết bậc phổ thông. Tuy nhiên, ở các
lớp tiểu học HS chỉ được làm quen với phương trình một cách ẩn tàng.
- Ở lớp 8 HS đã được học các khái niệm phương trình, ẩn số, nghiệm của
phương trình, tập xác định, hai phương trình tương đương nhưng chưa được
học phương trình hệ quả
- Lên lớp 9 HS được học về phương trình bậc nhất 2 ẩn, hệ phương trình
bậc nhất 2 ẩn, phương trình bậc 2 và các phương trình quy về bậc 2.
- Lớp 10 những kiến thức về phương trình mà HS đã học ở THCS được
tổng kết nâng cao, định nghĩa phương trình và các khái niệm liên quan, hệ
phương trình bậc nhất nhiều ẩn, một số phương trình đưa về hệ phương trình.
- Lớp 11 HS học về phương trình lượng giác.

1


- Lớp 12 HS học về các phương trình siêu việt như phương trình mũ,
phương trình logarit.
- Nội dung phương trình vô tỷ ở trường THPT được dạy trong chương
trình Đại số 10 được dạy trong 1 tiết và chỉ đưa ra những dạng phương trình
cơ bản.
1.3.2 Mục đích, yêu cầu dạy học phương trình vô tỷ ở trường phổ thông
1.3.2.1. Mục đích
- HS nắm vững khái niệm phương trình và các khái niệm có liên quan:
nghiệm của phương trình, giải phương trình, quan hệ tương đương, quan hệ
hệ quả. Thông qua đó đào sâu và củng cố một số kiến thức về tập hợp và lôgic

toán.

.
- HS hình thành kỹ năng giải phương trình, thành thạo giải phương

trình theo thuật giải, theo công thức hoặc quy tắc biến đổi xác định.
- HS được phát triển tư duy thuật giải thông qua việc giải phương
trình, được rèn luyện tính linh hoạt và khả năng sáng tạo, đặc biệt là trong
việc dạy học phương trình vô tỷ không mẫu mực.
- HS được rèn luyện về tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỷ luật trong
việc giải phương trình theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống
quy tắc biến đổi xác định .
1.3.2.2. Một số yêu cầu khi dạy học giải phương trình vô tỷ
- Thông thường trong khi giải phương trình, HS thường liên tiếp biến
đổi từ phương trình này sang phương trình kia mà không ý thức được mối liên
hệ giữa các tập nghiệm. Người dạy cần yêu cầu HS lập luận về căn cứ của
từng phép biến đổi trên cơ sở đó xác định đúng tập nghiệm của phương trình
ban đầu dựa vào tập nghiệm của phương trình cuối cùng.

1


- GV cần cho HS thấy được thực chất của giải phương trình vô tỷ là
dùng các phép biến đổi đưa về phương trình hữu tỷ.
1.3.3. Một số hoạt động có thể khai thác trong dạy học giải phương trình vô
tỷ.
Để tiện lợi cho việc tổ chức khai thác và chỉ ra các hoạt động trong dạy
học phương trình vô tỷ, chúng tôi tập trung vào một số hoạt động sau đây.
HĐ 1 : Nhận dạng và thể hiện khái niệm.
HĐ 2 : Nhận dạng và thể hiện quy tắc biến đổi.

HĐ 3 : Khái quát hoá.
HĐ 4 : Tư duy hàm.
HĐ 5 : Tương tự hoá.
HĐ 6 : Phân chia trường hợp.
HĐ 7 : Hoạt động ngôn ngữ.
HĐ 8 : Hoạt động nhận dạng bài toán.
HĐ 9 : Nhận dạng và thể hiện thuật giải
1.3.4 Một số nhận xét về tình hình chất lượng dạy học nội dung phương
trình vô tỷ.
Thông qua khảo sát thực tiễn tình hình học tập của HS và sự trao đổi
trực tiếp với các thầy cô giàu kinh nghiệm giảng dạy môn Toán THPT, đặc
biệt là Đại số 10, chúng tôi nhận thấy trong việc dạy nội dung phương trình
vô tỷ có một số vấn đề sau đây:
* Về phía GV
+) GV đã có nhiều cố gắng trong việc tìm hiểu để nắm vững nội dung
kiến thức về phương trình vô tỷ. Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy, do phải
đảm bảo sự cân đối về thời gian giảng dạy cho từng mục nên nhiều vấn đề
GV chưa thể khắc sâu cho HS ngay trên lớp.

1


+) Vì một số lí do sư phạm mà một số dạng phương trình không được
đề cập tường minh trong SGK. Vì vậy, trong khi giảng dạy nội dung này
nhiều GV còn chủ quan chưa chú ý để cung cấp đầy đủ những kiến thức về
phương trình vô tỷ, chưa hướng dẫn và đưa ra những bài tập phong phú cho
HS củng cố cũng như nhận dạng và thể hiện các khái niệm, các quy tắc…
* Về phía HS
+) Một số HS khi bước vào học THPT còn chưa ý thức được rằng, mặc
dù thời lượng học mỗi tiết vẫn như cấp học THCS nhưng dung lượng mỗi bài

học đã lớn hơn rất nhiều. Tuy nhiên, nhiều HS chưa biết cách thu xếp thời
gian biểu hợp lý để tự học và chưa quen với việc tự nghiên cứu sách vở. Dẫn
đến HS chưa nắm vững một số nội dung lý thuyết, chưa thành thạo trong việc
sử dụng các quy tắc biến đổi nên thường mắc sai lầm trong lời giải các bài
toán về phương trình vô tỷ.
+) Một số khó khăn và sai lầm của HS khi giải phương trình vô tỷ
*Khó khăn
Thứ nhất : Đối với những phương trình có dạng phức tạp, HS sẽ rất khó
để tìm tập xác định của phương trình một cách chính xác.
Thứ hai : Trong quá trình biến đổi để giải phương trình rất ít HS có thể
phân biệt đâu là phép biến đổi tương đương, đâu là phép biến đổi hệ quả.
Thứ ba : Nói chung đối với các phương trình vô tỷ thường không có
phương pháp giải chung, điều này đòi hỏi HS phải có óc tư duy linh hoạt sáng
tạo và phải có nhiều kinh nghiệm.
* Sai lầm
Qui ước : ! Lời giải có sai lầm
Phân tích để chỉ ra sai lầm
Thứ nhất : Biến đổi không tương đương

1


Ví dụ 7 : Giải phương trình
x2 + x2 − x = x2 − 2x

! Điều kiện

2
x ≤ 0
 x − x ≥ 0

⇔
 2
x ≥ 2
 x − 2 x ≥ 0

Khi đó, phương trình đã cho trở thành
x.x + x ( x − 1) = x ( x − 2 )
⇔ x

(

)

x + x −1 = x x − 2

x = 0
⇔
 x + x − 1 = x − 2 (1)

Giải (1) . Bình phương hai vế của (1) ta được
x + x − 1 + 2 x ( x − 1) = x − 2
⇔ 2 x ( x − 1) = − x − 1
− x − 1 ≥ 0
⇔
2
4 x ( x − 1) = ( x + 1)

 x ≤ −1
⇔ 2
3 x − 6 x − 1 = 0

 x ≤ −1

  x = 3 + 2 3
⇔ 
3


 x = 3 − 2 3
 
3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0
A.B = A. B điều này chỉ đúng khi

Sai lầm là HS đã sử dụng công thức
A ≥ 0

B ≥ 0

Lời giải đúng

1


Ta thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình.
.Nếu x ≥ 2 phương trình đã cho tương đương với phương trình
x + x −1 = x − 2

Do

 x > x − 2

 x − 1 ≥ 0 nên

x + x −1 > x − 2

Vậy phương trình không có nghiệm x ≥ 2
. Nếu x ≤ 0 phương trình đã cho tương đương với
−x + 1− x = 2 − x
⇔ − x + 1 − x + 2 x ( x − 1) = 2 − x
⇔ 2 x ( x − 1) = x + 1
 x + 1 ≥ 0
⇔
2
 4 x ( x − 1) = ( x + 1)
⇔x=

 x ≥ −1
⇔ 2
3 x − 6 x − 1 = 0

3− 2 3
3

x = 0


3− 2 3
x =

3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 

Thứ hai : Điều kiện bình phương hai vế không tương đương
Ví dụ 8 : Giải phương trình
x − 2 − 2 x + 3 = x + 4(1)

! Điều kiện:

x − 2 ≥ 0

2 x + 3 ≥ 0
x + 4 ≥ 0


Khi đó (1)

⇔ x≥2

⇔ x − 2 + 2x + 3 − 2

( x − 2 ) ( 2 x + 3)

1

= x+4


⇔ 2x −1 = 2

( x − 2 ) ( 2 x + 3)

⇔ 4 x 2 − 4 x + 1 = 8 x 2 − 4 x − 24

⇔ 4 x 2 = 25

5

x = 2
⇔
x = − 5 < 2

2

Vậy nghiệm của phương trình là
Nhưng với

x=

x=

5
2.

5
2 vế trái của phương trình âm, vế phải dương (Vô lý)

Điều kiện x ≥ 2 . Khi đó (1) tương đương với phương trình
x − 2 = x + 4 + 2x + 3
⇔ x − 2 = x + 4 + 2x + 3 + 2

⇔ −2 x − 9 = 2

( x + 4 ) ( 2 x + 3)

( x + 4 ) ( 2 x + 3)

Với x ≥ 2 thì VT < 0, VP > 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm
Thứ ba : Đặt ẩn phụ mà không tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai
điều kiện của ẩn phụ
Ví dụ 9 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x+2 + 4− x +2
2 + x ≥ 0

! Điều kiện: 4 − x ≥ 0

( x + 2) ( 4 − x )

⇔ −2 ≤ x ≤ 4

Đặt t = 2 + x + 4 − x , t ≥ 0
⇒ t 2 = 6 + 2 − x2 + 2x + 8
⇒ 2 − x2 + 2 x + 8 = t 2 − 6

1

=m

(1)

2
Khi đó (1) trở thành t + t = m + 6 (2), để (1) có nghiệm thì (2) phải có

nghiệm t ≥ 0 .
2
min f ( t ) = f (0) = 0
Xét hàm số f ( t ) = t + t trên [0;+∞), ta có [0;+∞ )

Vậy phương trình có nghiệm t ≥ 0 khi và chỉ khi m + 6 ≥ 0 ⇔ m ≥ −6
Nhưng với m = −3 thì VT > 0; VP < 0 nên (1) vô nghiệm.
2
Đặt t = 2 + x + 4 − x ⇒ t ≤ ( 1 + 1) ( 2 + x + 4 − x ) = 12

⇒t ≤2 3
2
2
Mặt khác từ t = 6 + 2 − x + 2 x + 8 ≥ 6 ⇒ t ≥ 6 vậy 6 ≤ t ≤ 2 3
2
2
Xét hàm số f ( t ) = t + t trên [ 6;2 3] , do f ( t ) = t + t đồng biến trên

[ 6;2 3] nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi f

( 6 ) ≤ m + 6 ≤ f ( 2 3)

⇔ 6 + 6 ≤ m + 6 ≤ 12 + 2 3
⇔ 6 ≤ m ≤ 6+2 3

Phương trình có nghiệm ⇔ 6 ≤ m ≤ 6 + 2 3
1.3.5. Tình hình khai thác hoạt động trong dạy Toán ở trường phổ thông

Dạy học theo hướng tổ chức các hoạt động cho HS đã được đông đảo
các nhà nghiên cứu, các nhà lí luận, các thầy cô giáo quan tâm và bàn đến
nhiều khía cạnh. Về mặt nghiên cứu lí luận có các công trình nghiên cứu của
tác giả như Nguyễn Bá Kim, về mặt vận dụng quan điểm hoạt động vào các
nội dung dạy học cụ thể có luận văn thạc sỹ của tác giả Đoàn Thị Lan Anh
(Tổ chức hoạt động cho HS khi dạy học lượng giác ở trường THPT 2005),
Nguyễn Thị Thanh (Tổ chức hoạt động nhận thức cho HS trong dạy học chủ
đề xác suất thống kê ở SGK thí điểm THPT 2005) và một số tác giả khác. Ở
đây, trong khuôn khổ luận văn thạc sỹ chúng tôi tiếp cận vấn đề này theo

2


hướng : Khai thác, vận dụng những lí luận và thực tiễn đã có để tổ chức dạy
học nội dung phương trình vô tỷ theo quan điểm hoạt động.
Để phục vụ cho chương 2, ngoài việc nghiên cứu lí luận và các tài liệu,
chúng tôi tiến hành điều tra thực tiễn tình hình khai thác các hoạt động trong
dạy học ở trường THPT.
Sau khi tiến hành thăm dò ý kiến của GV, HS về tình hình tổ chức hoạt
động ( thông qua phiếu điều tra), chúng tôi có bảng thống kê như sau:

2


Bảng thống kê
(Dựa vào phiếu điều tra GV)
Tiêu chí

Hiểu
biết

Hoạt
động

Tri
thức

Gợi
động
cơ

Phân
bậc

Tổ chức
hoạt động

Thường xuyên

11,6%

9,3%

46,5%

81,4%

69,8%

88,4%

Thỉnh thoảng

23,3%

34,9%

34,9%

11,6%

18,6%

7%

Không bao giờ

65,1%

55,8%

18,6%

8%

11,6%

4,6%

Mức độ

Biểu đồ cột

2


Dựa vào phiếu điều tra HS.
Bảng thống kê
(Dựa vào phiếu điều tra HS)
Tiêu chí

Tri
thức

Gợi
động
cơ

Phân
bậc

Tổ chức
hoạt động

Thường xuyên

47,8%

79,8%

68,2%

60,2%

Thỉnh thoảng

38,1%

8,6%

14,5%

24,1%

Không bao giờ

14,1%

12,2%

17,3%

15,6%

Mức độ

Biểu đồ cột

2

Dựa vào các bảng thống kê ta có thể nhận xét như sau:
Hầu hết các GV đều cho rằng tổ chức các hoạt động cho HS trong giờ
dạy là điều cần thiết. Đây là việc trọng tâm để kích thích sự chủ động, tích
cực, sáng tạo của HS và giúp HS hiểu bài tốt hơn.
Tuy nhiên, đa số các GV vẫn còn lúng túng trong việc vận dụng quan
điểm hoạt động vào dạy học Toán do việc cập nhật những kiến thức về tổ
chức hoạt động chưa được tiến hành thường xuyên liên tục và do tâm lí của
GV ngại khó, ngại đổi mới. Đặc biệt là việc xác định những hoạt động gắn
trong các nội dung giảng dạy nên việc khai thác các hoạt động chưa được tiến
hành một cách thường xuyên liên tục. Ở đây, GV chủ yếu mới tiến hành việc
gợi động cơ và phân bậc hoạt động trong giờ dạy việc truyền thụ tri thức
phương pháp cho HS vẫn chưa được chú trọng đúng mức.
Qua nghiên cứu lí luận và tình hình thực tiễn chúng tôi thấy cần thiết và
và có thể nghiên cứu vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học nội dung
phương trình vô tỷ.
1.4. Kết luận chương 1

2


Trong chương 1, chúng tôi đã trình bày về các thành tố cơ sở của
phương pháp dạy học, về mục đích, yêu cầu dạy học nội dung phương trình
vô tỷ, những khó khăn sai lầm mà HS gặp phải khi giải phương trình vô tỷ
cũng như tình hình khai thác các hoạt động trong dạy học môn Toán. Đây là
những tiền đề để chúng tôi trình bày việc vận dụng quan điểm hoạt động
trong dạy học giải phương trình vô tỷ ở chương 2.

2