tài liệu khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phần 1

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - P1
Thầy Đặng Việt Hùng
I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Sự biến thiên của hàm không có tham số
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm.
+ Lập bảng biến thiên (hoặc chỉ cần bảng xét dấu y ' ) và kết luận trên cơ sở các điểm tới hạn.
Chú ý: Quy tắc xét dấu của hàm đa thức và phân thức.
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của các hàm số sau đây:
a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1.

b) y = x3 − 3x 2 + 3x + 1.
1
1
x2
d) y = x5 − x 4 − x3 +
+ 2 x − 1.
5
4
2
Lời giải:

c) y = x 4 − 2 x 2 − 1.
a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1.
Tập xác định: D = R.

x = 0
Đạo hàm: y′ = −6 x 2 + 6 x = −6 x ( x − 1) 
→ y ′ = 0 ⇔ −6 x ( x − 1) = 0 ⇔ 
x =1
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
−∞
0
1

−

y'

0

+

+∞

−

0

Vậy hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (−∞; 0) và (1; +∞).
b) y = x3 − 3x 2 + 3x + 1.
Tập xác định: D = R.
2
Đạo hàm: y′ = 3 x 2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1) ≥ 0 

→ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D.

Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên tập xác định.
c) y = x 4 − 2 x 2 − 1
Tập xác định: D = R.
x = 0
Đạo hàm: y′ = 4 x3 − 4 x = 4 x x 2 − 1 
→ y′ = 0 ⇔ 4 x x 2 − 1 = 0 ⇔ 
 x = ±1
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
−∞
−1
0
1

(

y'

)

(

−

0

+

)

0

−

0

+∞
+

Hàm số đồng biến trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1).
1
1
x2
d) y = x5 − x 4 − x3 + + 2 x − 1.
5
4
2
Tập xác định: D = R.
 x = −1
2
4
3
2
Đạo hàm: y′ = x − x − 3 x + x + 2 = ( x + 1) ( x − 1)( x − 2 ) 
→ y ′ = 0 ⇔  x = 1
 x = 2
Do ( x + 1) ≥ 0, ∀x nên dấu của y ' chỉ phụ thuộc vào biểu thức (x − 1)(x − 2).
Bảng xét dấu của đạo hàm:

2

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
−∞

x

−1

y'

+

Facebook: LyHung95

1

0

+

2
−

0

0

+∞
+

Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (1; 2).

Ví dụ 2: Xét sự biến thiên của các hàm số cho dưới đây:
x +1
x 2 + 3x + 3
a) y =
b) y =
.
.
2x − 2
x +1
2
c) y = 1 − x +
d) y = x 2 − 2 x + 2.
.
x +1
2x + 1
e) y = 2 x − x 2 .
f) y =
.
3x − 2
Lời giải:
x +1
a) y =
.
2x − 2

Tập xác định: D = R \ {1} .
Đạo hàm: y′ =

−4

( 2 x − 2 )2

> 0, ∀x ∈ D 
→ hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.

x 2 + 3x + 3
.
x +1
Tập xác định: D = R \ {−1} .

b) y =

Đạo hàm:

2 x + 3)( x + 1) − x 2 − 3x − 3 x 2 + 2 x
(
x = 0
y′ =
=

→ y′ = 0 ⇔ x 2 + 2 x = 0 ⇔ 
2
2
 x = −2
( x + 1)

( x + 1)

Bảng xét dấu của đạo hàm:
x

−∞

−2

y'

+

−1
−

0

0
−

||

+∞

0

+

Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm số nghịch biến trên (−2; −1) và (−1; 0).

2
c) y = 1 − x +
.
x +1
Tập xác định: D = R \ {−1} .

Đạo hàm: y′ = −1 −

2

< 0, ∀x ∈ D 
→ hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định của nó.

( x + 1)2

d) y = x 2 − 2 x + 2.
Hàm số xác định khi x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) + 1 > 0, ∀x 
→ D = R.
2

Đạo hàm: y′ =

(x

2

− 2x + 2

)′ =

2 x − 2x + 2
Bảng xét dấu của đạo hàm:
2

x −1
x − 2x + 2
2

x
y'


→ y ′ = 0 ⇔ x = 1.

−∞

1
−

0

+∞
+

Hàm số đồng biến trên (1; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 1).

e) y = 2 x − x 2 .
Hàm số xác định khi 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ x ( x − 2 ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 
→ D = [ 0; 2].
′

2x − x )
(
y′ =
=
2

Đạo hàm:

2 2 x − x2
Bảng xét dấu của đạo hàm:

1− x
2x − x2


→ y′ = 0 ⇔ x = 1.

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x

0

y'

Facebook: LyHung95

1

+

2
−

0

Hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2).
2x + 1
f) y =
.
3x − 2
1

2 x + 1 ≥ 0  x ≥ −


 1
 2
2
Hàm số xác định khi 
⇔

→ D = − ; + ∞ \  .
2
 2
 3
 x ≠ 3
x ≠ 2


3
2
( 3x − 2 ) − 3 2 x + 1 3x − 2 − 3 ( 2 x + 1)
−3 x − 5
5
1
x
2
2
+
1
Đạo hàm: y′ =
=
=

→ y′ = 0 ⇔ x = − < −
2
2
2
3
2
( 3x − 2 )
( 3x − 2 ) . 2 x + 1 ( 3x − 2 ) . 2 x + 1
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
1
2
−
+∞
2

3

−

y’

||

−

 1 2
2

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên  − ;  và  ; +∞  .
2
3
3





BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
1) y = −2 x + 5.

2) y = x 3 − 3 x + 2.

3) y = −2 x3 + 3x 2 + 2.

4) y = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 12.

5) y = x 4 − 2 x 2 + 5.

6) y = − x 4 + 4 x 2 − 1.

7) y = x 3 + x 2 + 2 x − 2.
x +1
9) y =
.
x−2
1− x
11) y =
.
3x − 2
1
13) y = x + .
x

8) y = 2 x + 3 x 2 + 1.
2x −1
10) y =
.
x +1
x2 + 3x + 3
12) y =
.
x +1
1
14) y = 2 x − 3 −

.
x +1

Dạng 2. Sự biến thiên của hàm có tham số
Phương pháp: Sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để giải
Xét tam thức bậc hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c, gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0, với x1 < x2
+ Nếu a > 0:

 x > x2
f ( x) > 0 ⇔ 
 x < x1
f ( x ) < 0 ⇔ x1 < x < x2

a > 0
+ f ( x ) > 0, ∀x ∈ R ⇔ 
∆ < 0
 x < x2 < α < β
a > 0 
→ 1
+ f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( α; β ) :
 α < β < x1 < x2
a < 0 
→ x1 < α < β < x2

f ( x ) > 0 ⇔ x1 < x < x2

+ Nếu a < 0:

 x > x2
f ( x) < 0 ⇔ 

 x < x1

a < 0
+ f ( x ) < 0, ∀x ∈ R ⇔ 
∆ < 0
+ f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( α; β ) :

a > 0 
→ x1 < α < β < x2
 x1 < x2 < α < β
a < 0 
→
 α < β < x1 < x2

Các ví dụ điển hình:

Ví dụ: Tìm m để hàm số
x3
a) y =
− x 2 + ( m − 1) x + m đồng biến trên R.
3
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1
b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 nghịch biến trên R.

3
3
m − 1) x
(
c) y =
+ mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 2 đồng biến trên R.
3
Lời giải:
3
x
a) y =
− x 2 + ( m − 1) x + m 
→ y′ = x2 − 2 x + m − 1
3
Hàm số đồng biến trên R khi y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ 1 − ( m − 1) ≤ 0 ⇔ m ≥ 2.
Vậy hàm số đồng biến trên R khi m ≥ 2.
1
b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 
→ y ′ = − x 2 + 2mx + 3m − 2.
3
Hàm số nghịch biến trên R khi y′ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ m 2 + ( 3m − 2 ) ≤ 0 ⇔
Vậy hàm số đồng biến trên R khi

( m − 1) x 3 + mx 2 +

−3 − 17
−3 + 17
.
≤m≤
2

2

−3 − 17
−3 + 17
≤m≤
.
2
2

→ y ′ = ( m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2
( 3m − 2 ) x + 2 
3
Để hàm số luôn đồng biến trên R thì y′ ≥ 0, ∀x ∈ R.
c) y =

Khi m − 1 = 0 ⇔ m = 1 
→ y′ = 2 x + 1.

 1

Ta thấy hàm số chỉ đồng biên trên  − ; +∞  nên không thỏa mãn yêu cầu.
2


m − 1 > 0 m > 1
m > 1
Khi m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 
→ y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
⇔ 2
⇔

2
m − ( m − 1)( 3m − 2 ) ≤ 0 −2m + 5m − 2 ≤ 0
 ∆′ ≤ 0

m > 1

m ≥ 2
⇔ 

→ m ≥ 2.
m ≤ 1
 
2
Vậy với m ≥ 2 thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
x3
− x 2 + ( m − 1) x + m đồng biến trên R.
3
2) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3 ( 2m − 1) x + 1 đồng biến trên R.

1) Tìm m để hàm số y =

1
3) Tìm m để hàm số y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 nghịch biến trên R.
3
3
x
5
4) Tìm m để hàm số y =

+ ( m − 1) x 2 + ( 2m − 3) x + đồng biến trên R.
3
3
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC I
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm.
+ Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận về điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Chú ý: Với một số dạng hàm đặc biệt (thường là hàm vô tỉ) thì ta phải tính giới hạn tại các điểm biên để cho bảng
biến thiên được chặt chẽ hơn.
Các ví dụ điển hình:

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10.
b) y = x 4 + 2 x 2 − 3.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
d) y =

c) y = 2 x 2 − x 4 .

Facebook: LyHung95

1 4
x − x3 + 3.
4

Lời giải:
a) y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10.
Tập xác định: D = R.
 x = −3
Đạo hàm: y ' = 6 x 2 + 6 x − 36 = 6 x 2 + x − 6 
→ y ' = 0 ⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔ 
x = 2
Bảng biến thiên:
x
−∞
−3
2

(

)

y'

+

−

0

0

+∞

+
+∞

71
y

−∞

−54

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 3) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (−3; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x = −3; y = 71 và đạt cực tiểu tại x = 2; y = −54.
b) y = x 4 + 2 x 2 − 3.
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: y′ = 4 x3 + 4 x = 4 x x 2 + 1 
→ y ′ = 0 ⇔ x = 0.

(

)

Bảng biến thiên:
−∞

x

0
−

y'

+∞

0

+

+∞

+∞

y
−3
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = −3.
c) y = 2 x 2 − x 4 .
Tập xác định: D = R.
x = 0
Đạo hàm: y′ = 4 x − 4 x3 = 4 x 1 − x 2 
→ y′ = 0 ⇔ x 1 − x 2 = 0 ⇔ 
 x = ±1
Bảng biến thiên:

(

x

)

−∞

y'

(

−1
+

0

)

0
−

0

1
y

−∞

1
+

0

+∞
−

1
0

−∞

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1); hàm số nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞).
Hàm số đạt cực đại tại x = −1; y = 1 và x = 1; y = 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = 0.
1
d) y = x 4 − x3 + 3.
4
Tập xác định: D = R.
x = 0
Đạo hàm: y′ = x 3 − 3 x 2 = x 2 ( x − 3) 
→ y ′ = 0 ⇔ x 2 ( x − 3) = 0 ⇔ 
x = 3
Dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của biểu thức (x − 3) nên ta có bảng biến thiên như hình vẽ

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
−∞

x

Facebook: LyHung95

0
−

y'

0

3
−

0

+∞
+

+∞

+∞

y

−

15
4

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (3; +∞) và hàm số nghịch biến trên (−∞; 3).
15
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3; y = − .
4
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
x +1

a) y = x 1 − x 2 .
b) y = 2 x + 3 x 2 + 1.
c) y =
.
x+3
Lời giải:

a) y = x 1 − x 2 .
Hàm số xác định khi 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 
→ D = [ −1;1].

x2

Đạo hàm: y′ = 1 − x 2 −

1− x

2

=

1 − 2x2
1− x


→ y′ = 0 ⇔ 1 − 2 x 2 = 0 ⇔ x = ±

2

1

2

Bảng biến thiên:
x

−1

−
−

y'

1
2
0

1
2
+

0

+1
−

1
2

0

y
−

1
2

0

1 
 1 1 

 1 
Hàm số đồng biến trên  −
;
;1 .
 ; hàm số nghịch biến trên  −1; −
 và 
2 2
2


 2 
1
1
1
1
Hàm số đạt cực đại tại x =
;y=
và đạt cực tiểu tại x = −
;y =−

.
2
2
2
2

b) y = 2 x + 3 x 2 + 1.
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: y′ = 2 +

3x
x +1

=

2 x 2 + 1 + 3x


→ y ′ = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 + 3 x = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 = −3 x

x +1
x < 0
2
 x < 0
 x < 0

⇔ 2
⇔ 2
⇔
→x = −

2 
2
5
4 x + 4 = 9 x
5 x = 4  x = ±
5

Giới hạn:


1 
1 
lim 2 x + 3 x 2 + 1 = lim  2 x + 3 x 1 + 2  = lim x  2 − 3 1 + 2  = +∞
x 
→ −∞
x 
→−∞
x  x → −∞ 
x 



1 
1 
lim 2 x + 3 x 2 + 1 = lim  2 x + 3 x 1 + 2  = lim x  2 + 3 1 + 2  = +∞
x 
→ +∞
x 
→+∞
x  x → +∞ 

x 

Bảng biến thiên:
2

(

)

(

)

2

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x

−∞

−
−

y'

Facebook: LyHung95

2
5

0

+∞

+∞

+

0
+∞

y

5
2 

 2

; +∞  .
Hàm số đồng biến trên  −∞; −
 ; hàm số nghịch biến trên 
5

 5

2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = −

; y = 5.
5
x +1
c) y =
.
x+3
Hàm số xác định khi x + 3 > 0 ⇔ x > −3 
→ D = [ −3; + ∞ ].

Đạo hàm: y′ =

x +1
( x + 3) + 2 
x+5
2 x + 3 = 2 ( x + 3) − x − 1 =
=
→ y ′ > 0, ∀x ∈ D.
x+3
2 ( x + 3) x + 3 2 ( x + 3) x + 3 2 ( x + 3) x + 3

x+3 −

Bảng biến thiên:
x

−3

+∞

y'

+
+∞

y
−∞
Hàm số đã cho luôn đồng biến trên miền xác định và không có cực trị.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc I:

1) y = 3x 2 − 2 x3
4) y =

x4
− x 2 + 3.
2

2) y = x3 − 2 x2 + 2 x − 1.
5) y = x 4 − 4 x 2 + 5.

1
3) y = − x 3 + 4 x 2 − 15 x.
3
x4
3
6) y = − + x 2 + .
2
2

DẠNG 2. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC II
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm.
+ Tính y '' tại các giá trị nghiệm tìm được ở trên rồi kết luận.
Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường được áp dụng cho các hàm số khó lập bảng biến thiên như hàm lượng giác,
hàm siêu việt, hàm vô tỉ...
Các ví dụ điển hình:

Ví dụ mẫu: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
1
a) y = sin 2 x − x.
b) y = cos x + cos 2 x.
c) y = x + 2 x − x 2 .
2
Lời giải:
a) y = sin 2 x − x.
Tập xác định: D = R.
1
π
π
Đạo hàm: y′ = 2cos 2 x − 1 
→ y ′ = 0 ⇔ cos 2 x = ⇔ 2 x = ± + k 2 π 
→ x = ± + kπ
2
3
6

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

π

π

y ′′  + kπ  = −4sin  + k 2π  = −2 3 < 0
6

3

→
Đạo hàm bậc hai: y′′ = −4sin 2 x 
 π

 π

y ′′  − + kπ  = −4sin  − + k 2π  = 2 3 > 0
6
3




Vậy hàm số đạt cực đại tại x =
Hàm số đạt cực tiểu tại x = −

π
3 π
π
 π
+ kπ; y = sin  + k 2π  − − kπ =
− − kπ.
6
2 6
3
 6

π
3 π
 π
 π
+ kπ; y = sin  − + k 2π  + − kπ = −
+ − kπ.
6
2 6
 3
 6

1
b) y = cos x + cos 2 x.
2
Tập xác định: D = R.

1
2π



cos x = −
x=±
+ k 2π


Đạo hàm: y′ = − sin x − sin 2 x = − sin x (1 + 2cos x ) 
→ y′ = 0 ⇔
2⇔
3


sin x = 0
 x = kπ
Đạo hàm bậc hai: y′′ = − cos x − 2cos 2 x
 2π

 2π

 4π
 3
+ 4nπ  = − cos  ±
+ 4nπ  − 2cos  ±
+ 8nπ  = > 0
y ′′  ±
+ Nếu k = 2n 
→
 3

 3


 3
 2
y ′′ ( 2nπ ) = − cos ( 2nπ ) − 2cos ( 4nπ ) = −3 < 0
 2π

 2π

 4π
 3
+ 4nπ + 2π  = − cos  ±
+ 4nπ + 2π  − 2cos  ±
+ 8nπ + 4π  = > 0
y ′′  ±
+ Nếu k = 2n + 1 
→
 3

 3

 3
 2
y ′′ ( π + 2nπ ) = − cos ( π + 2nπ ) − 2cos ( 2π + 4nπ ) = −1 < 0
3
 2 ; k = 2n
1
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = kπ; y = cos ( kπ ) + cos ( k 2π ) = 
2
 − 1 ; k = 2n + 1
 2

 3
− ; k = 2n
2π
 2π
 1
 4π
  4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±
+ kπ; y = cos  ±
+ kπ  + cos  ±
+ k 2π  = 
3
 3
 2
 3
  1 ; k = 2n + 1
 4

c) y = x + 2 x − x 2 .
Hàm số xác định khi 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 
→ D = [ 0; 2].
Đạo hàm:

y′ = 1 +

2 − 2x
2 2 x − x2

=

2 x − x2 + 1 − x

 x ≥ 1

→ y′ = 0 ⇔ 2 x − x2 + 1 − x ⇔ 2 x − x2 = x − 1 ⇔ 
2
2
 2 x − x = x − 2 x + 1

2x − x2
x ≥ 1

2+ 2

x
≥
1
=1+

 x =
⇔ 2
⇔ 
2
 2 x − 4 x + 1 = 0  
 x = 2 − 2 = 1 −
2
 

1
→x =

2 
1
2

Vậy hàm số đạt cực đại tại x =

(1 − x )2

− 2x − x −
2
2
′
1
2 x − x2 = x − 2 x − x + 2 x − 1 = −
<0
 =
2
2
2
2
2x − x
2x − x
2x − x
2x − x
2x − x2

2

 1− x
Đạo hàm bậc hai: y′′ = 


2
 2x − x

2+ 2
.
2

(

)

(

)

2+ 2
; y = 1 + 2.
2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc II:
1) y = x x 2 − 4.

2) y = x 2 − 2 x + 5.

4) y = cos 2 3 x.

5) y = sin

x
x
− cos .
2
2

3) y = x − 4sin 2 x.
6) y =

x2 − 4
.
3x − 2

DẠNG 3. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Phương pháp:
+ Hàm số có cực trị khi y ' = 0 có nghiệm và đổi dấu qua các nghiệm.
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1; x2 thì khi đó x1; x2 là hai nghiệm của y ' = 0.
 y′ ( x0 ) = 0
+ Hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x0 khi 
 y′′ ( x0 ) < 0
 y′ ( x0 ) = 0
+ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x0 khi 
 y′′ ( x0 ) > 0

Các ví dụ điển hình:

Ví dụ mẫu: Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 2 x − 3m + 1 . Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3.
c) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 2.
d) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = –1.
Lời giải:
2
′
a) Ta có y = 3x − 6mx + 2
Hàm số đã cho có cực trị khi y ' = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm.

6
m>

2
3
⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9m 2 − 6 > 0 ⇔ m 2 > ⇔ 
3

6
m < −
3

6
6
Vậy với m >
; m<−
thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.

3
3
b) Gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1; x2 là nghiệm của phương trình y ' = 0 .
 x1 + x2 = 2m

Theo định lí Vi-ét ta có 
2
 x1 x2 = 3


 x1 + 2 x2 = 3
 x1 = 4m − 3


Theo giải thiết ta có x1 + 2x2 = 3 
→  x1 + x2 = 2m ⇔  x2 = 3 − 2m


2
2
 x1 x2 =
( 4m − 3)( 3 − 2m ) =
3
3


29

→ 8m 2 − 18m +
= 0 ⇔ 24m 2 − 54m + 29 = 0 

→ phương trình vô nghiệm.
3
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài.
c) Ta có y′′ = 6 x − 6m
7

 y′ ( 2 ) = 0
3.4 − 12m + 2 = 0 m =
7
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi 
⇔
⇔
→m = .
6 
6
 y′′ ( 2 ) > 0 12 − 6m > 0
m < 2

Giá trị m =

7
thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm.
6

5

3 + 6m + 2 = 0 m = −
5
 y′ ( −1) = 0
d) Hàm số đạt cực đại tại x = –1 khi 

⇔
⇔
→m = − .
6 
6
 y′′ ( −1) < 0 −6 − 6m < 0
m > −1

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Giá trị m = −

Facebook: LyHung95

5
thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm.
6

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1
Bài 1. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + ( 2m + 3) x + 2. Tìm giá trị của m để
3
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = –2.
c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = –2.
1
Bài 2. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + ( m + 6 ) x − 1 . Tìm giá trị của m để

3
a) hàm số có cực trị.
1 1 x1 + x1
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn
+ =
.
x1 x2
3
c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị ?
a) y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4.
b) y = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 1.
Bài 4. Tìm a, b để hàm số
a) y = ax4 + bx2 đạt cực trị bằng –9 tại điểm x = 3.
ax 2 + bx + ab
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
bx + a
ax 2 + 2 x + b
c) y =
đạt cực đại bằng 5 tại điểm x = 1.
x2 + 1

b) y =

Bài 5. Tìm m để hàm số

(

)

(

)

a) y = x3 + 2 ( m − 1) x 2 + m2 − 4m + 1 x − 2 m2 + 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho

1 1 1
+ = ( x1 + x2 ) .
x1 x2 2

1
b) y = x3 − mx 2 + mx − 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 − x2 ≥ 8.
3
1 3
1
c) y = mx − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 + 2x2 = 1.
3
3

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!