tài liệu khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phần 2

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - P2
Thầy Đặng Việt Hùng
III. ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI LÕM
Quy tắc xét tính lồi lõm, tìm điểm uốn:
Tính đạo hàm y ' rồi tính tiếp y ''
Giải phương trình y '' = 0 , từ đó tìm được tọa độ điểm uốn.
Xét dấu của y '' để kết luận:
+ nếu y '' > 0 thì đồ thị hàm số lõm.
+ nếu y '' < 0 thì đồ thị hàm số lồi.
Ví dụ 1: Tìm tọa độ điểm uốn và các khoảng lồi, lõm của đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x3 – 6x2 + 2x.
1
5
c) y = x 4 − 3x 2 + .
2
2

b) y = x3 + 6x – 4.
x4 x2
d) y =
+
− 2.
4
2

Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số y = ax3 + bx2 + x + 2 nhận điểm U(1; –1) làm điểm uốn.
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y = x 3 +

3x 2
+ 1 nhận điểm U(–1; 3) làm điểm uốn.
m

BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài 1: Tìm m để tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số
a) y = x3 + 3x2 – mx + 2 song song với đường thẳng d: y = 3x – 5.
b) y = x3 + 3mx2 – 2mx + 3 vuông góc với đường thẳng ∆: y = x – 3.
Bài 2: Tìm m, n để đồ thị các hàm số
a) y = x 4 − 2 x3 − 6 x 2 + mx + 2m − 1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2).
b) y = −

x3
2
− x 2 + mx + có điểm uốn nằm trên đường thẳng d : y = x + 2.
3
3

Bài 3: Tìm m, n để đồ thị các hàm số
a) y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 có điểm uốn thuộc đường thẳng d: y = x + 1.
b) y = 3x3 – 9x2 + 6x + m – 2 có điểm uốn nằm trên trục hoành.
c) y = x3 – 3mx2 + (3 + 2m2)x + m2 + 3 có điểm uốn cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy.
IV. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1) Nhắc lại một số giới hạn quan trọng
 
b c
   +∞ khi a > 0
lim ( ax n + bx n −1 + cx n − 2 ...) = lim  x n  a + + 2 + ...   = 
x 

→∞
x x
   −∞ khi a < 0
 
1
1

lim = 0 
→ lim n = 0
 x 
→∞ x
x 
→∞ x

1


lim + = +∞

 x 
1
→0 x
 lim = ∞ 
→
 x → 0 x
 lim 1 = −∞

 x → 0− x

x 

→∞

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95


 0; khi m > n
a n x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 
lim
=  ∞; khi m < n
m
m −1
x 
→∞ b x + b
+ ... + b1 x + b0 
m
m −1 x
 an ; khi m = n
 bm

2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Định nghĩa: Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị y = f(x) khi lim f ( x) = ∞
x 
→a

+ nếu lim f ( x) = +∞ thì x = a là tiệm cận đứng bên phải.

x 
→a

+ nếu lim f ( x) = −∞ thì x = a là tiệm cận đứng bên trái.
x 
→a

Cách tìm tiệm cân đứng:
Đồ thị hàm phân thức thường có tiệm cận đứng, và giá trị x = a thường là nghiệm của mẫu số, hoặc tại x = a thì hàm
số đã cho không xác định.

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau
x+2
x
a) y =
b) y = 2
2
x + 4x − 5
x −9
Hướng dẫn giải :

x 
a) Ta có lim 
→ x = ±3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
 = ∞ 
x 
→±3  x 2 − 9 


x =1

b) Xét phương trình x 2 + 4 x − 5 = 0 ⇔ 
 x = −5

 x+2 
 2
=∞
 x lim
1

→

 x + 4x − 5 
Ta có 

→ x = 1; x = 5 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+
2
x


 lim
 2
=∞
 x →−5  x + 4 x − 5 
x−2
Ví dụ 2: Biện luận theo m số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2
.
x + 3x + m
Hướng dẫn giải :
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm khác 2 của phương trình x2 + 3x + m = 0.

9
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi x2 + 3x + m = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ⇔ 9 − 4m < 0 ⇔ m > .
4
Đồ thị hàm số có một tiệm cận khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có nghiệm kép khác 2, hoặc có hai nghiệm phân
biệt, trong đó một nghiệm x = 2.

9
 ∆ = 0 ⇔ 9 − 4m = 0 ⇔ m = 4
9


→m =
4
 x = − b ≠ 2 ⇔ − 3 ≠ 2

2a
2
Điều đó xảy ra khi 

9

 ∆ > 0 ⇔ 9 − 4m > 0 ⇔ m < 4 
→ m = −10
 2
 2 + 6 + m = 0 ⇔ m = −10

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2.
9
9



 ∆ > 0 ⇔ 9 − 4m > 0 ⇔ m <
m <
Khi đó ta có 
→
4 
4
 22 + 6 + m ≠ 0 ⇔ m ≠ −10
 m ≠ −10

3) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Định nghĩa: Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị y = f(x) khi lim f ( x) = b
x 
→∞

Cách tìm tiệm cân ngang:

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số không lớn hơn bậc của mẫu số. Thông thường, với
hàm phân thức ta thường chia cả tử và mẫu số cho lũy thừa mũ cao nhất của x để tìm tiệm cận ngang.
Chú ý: Với các giới hạn mà hàm số có chứa căn thì chúng ta thực hiện theo quy tắc sau:
B C


Ax 2 + Bx + C = x 2  A + + 2  = x
x x 


A+

B C
+
=
x x2

x A+

B C
+
khi x 
→ +∞
x x2

−x A +

B C
+
→ −∞
khi x 
x x2

Ví dụ mẫu: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau
a) y =
d) y =

x +1
.
2x − 3

b) y =

x2 + 2
.
x −3

e) y =

3 − 2x
.
x +1

c) y =

x +1
.
x − 2x + 1
2

x +1

.
2x2 + 3
Hướng dẫn giải :

x +1
3
= +∞ 
→ x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
3
2
x 
→ 2x − 3

a) Ta có lim

2

1
1+
x +1
1
x = 1 
Mặt khác, lim
= lim
→ y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
3 2
x 
→∞ 2 x − 3
x 
→∞
2
2−
x
3 − 2x

b) Ta có lim
= +∞ 
→ x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 
→−1 x + 1
3
−2
3 − 2x
Mặt khác, lim
= lim x
= −2 
→ y = −2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
1
x 
→∞ x + 1
x 
→∞
1+
x
x +1
c) Ta có lim 2
= +∞ 
→ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 
→1 x − 2 x + 1
1 1
+ 2
x +1
Mặt khác, lim 2
= lim x x = 0 

→ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2 1
x 
→∞ x − 2 x + 1
x 
→∞
1− + 2
x x

d) Ta có lim

x 
→3

x2 + 2
= +∞ 
→ x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x−3

2 

2
x 2 1 + 2 
x 1+ 2
x +2
 x 
x
Xét lim
= lim
= lim

x 
→∞ x − 3
x 
→∞
x 
→∞
x −3
x−3
2
2
1+ 2
x 1+ 2
x = lim
x = 1 
Khi x 
→ +∞ thì |x| = x nên ta được lim
→ y = 1 là tiệm cận ngang.
3
x 
→+∞
x 
→+∞
x −3
1−
x
2
2
−x 1+ 2
− 1+ 2
x = lim

x = −1 
Khi x 
→ −∞ thì |x| = −x nên ta được lim
→ y = −1 là tiệm cận ngang.
3
x 
→−∞
x 
→−∞
x −3
1−
x
x +1
x +1
x +1
e) Xét lim
= lim
= lim
x 
→∞ 2 x 2 + 3
x 
→∞
x

→∞
3
3 

x 2+ 2
x2  2 + 2 

x
x 

2

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Khi x 
→ +∞ thì |x| = x nên ta được

lim

x 
→+∞

x +1
3
x 2+ 2
x

= lim

x 
→+∞

Facebook: LyHung95
x +1
3

x 2+ 2
x

= lim

x 
→+∞

1
x = 1
3
2
2+ 2
x

1+

1
là tiệm cận ngang.
2

⇒y=

Khi x 
→ −∞ thì |x| = −x nên ta được

x +1

lim

x 
→−∞

x 2+

3
x2

x +1

= lim

x 
→−∞

−x 2 +

3
x2

= lim

−1
là tiệm cận ngang.
2
4) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Định nghĩa:
Đường thẳng y = ax +b được gọi là tiệm cận xiên (TCX) của đồ thị y = f(x) khi lim

1+

x 
→−∞

1
x

− 2+

3
x2

=

−1
2

⇒ y=

x 
→∞

[ f ( x) − (ax + b)] = 0

Cách tìm tiệm cân xiên:
Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận xiên khi bậc của tử số phải lớn hơn bậc của mẫu số một bậc.
Cách 1:
f ( x)
+ Tìm hệ số a = lim
x

x 
→∞
+ Tìm b = lim [ f ( x) − ax ] . Từ đó suy ra đường tiệm cận xiên là y = ax + b.
x 
→∞

Cách 2:
Thực hiện phép chia đa thức f ( x) =
Suy ra lim

x 
→∞

g ( x)
r ( x)
r ( x)
= ax + b +
⇒ f ( x) − (ax + b) =
h( x )
h( x )
h( x)

lim
[ f ( x) − (ax + b)] = x 
→∞

r ( x)
= 0 do r(x) có bậc nhỏ hơn h(x).
h( x )

Ví dụ 1: Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau
a) y =

x2 + x + 1
.
x−2

b) y =

−2 x 2 + x + 3
.
2x + 1
Hướng dẫn giải :

c) y =

3x 2 + x + 3
.
x+2

x2 + x + 1
.
x−2
+ Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2.
x2 + x + 1
7
7
+ Ta có y = f ( x) =
= x −3+
⇒ f ( x) − ( x − 3) =

x−2
x−2
x−2
7
Suy ra lim [ f ( x) − ( x − 3) ] = lim
= 0 ⇒ y = x − 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
x 
→∞
x 
→∞ x − 2
−2 x 2 + x + 3
b) y =
.
2x + 1
1
+ Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = − .
2
2
−2 x + x + 3
2
2
+ Ta có y = f ( x) =
= x +1+
⇒ f ( x) − ( x + 1) =
2x + 1
2x + 1
2x + 1
2
Suy ra lim [ f ( x) − ( x + 1)] = lim
= 0 ⇒ y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

x 
→∞
x 
→∞ 2 x + 1
3x 2 + x + 3
c) y =
.
x+2
+ Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = −2.

a) y =

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

3x 2 + x + 3
13
13
= 3x − 5 +
⇒ f ( x) − (3 x − 5) =
x+2
x+2
x+2
13
Suy ra lim [ f ( x) − (3 x − 5) ] = lim
= 0 ⇒ y = 3x − 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

x 
→∞
x 
→∞ x + 2

+ Ta có y = f ( x) =

Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y =

2 x 2 + mx − 2
có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích
x +1

bằng 4.

Hướng dẫn giải :
2 x + mx − 2
m
= 2x + m − 2 −
x +1
x +1
Đồ thị có tiệm cận xiên khi m ≠ 0.
Với m ≠ 0 thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = 2x + m – 2, (d).
2−m 
+ Giả sử A = d ∩ Ox, B = d ∩ Oy uy ra A 
;0  , B (0; m − 2)
 2

2−m
1

; OB = 2 − m . Tam giác OAB vuông tại O nên SOAB = OA.OB ⇒ OA.OB = 8
Ta dẽ dàng tính được OA =
2
2
m
=
6
2−m

⇔
. 2 − m = 8 ⇔ (2 − m) 2 = 16 ⇔ 
2
 m = −2
Vậy m = 6 và m = –2 là các giá trị cần tìm.

+ Ta có y =

2

m2 + 1
. Tìm m biết rằng
x +1
a) tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 3x – 5.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = 2mx + m + 2 −

b) tiệm cận xiên của đồ thị cách gốc tọa độ O một khoảng bằng

1
.

17

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các đồ thị hàm số sau :
1
2x + 3
a). y =
b) y =
1− x
x −1
d) y = 1 +

1
x2

e) y =

−3x
x2 + 3

Bài 2: Tìm các đường tiệm cận các đồ thị hàm số sau :
x2
x 2 + 3x + 4
1) y =
2) y =
x−2
1− x
3
x +2
2x

4) y = 2
5) y = 2
x −1
6 x + 11x − 10
1
−1
7) y =
8) y =
( 2 x − 3) 2
x2 + 5x + 6
x2

c) y =

1
4 − x2

f) y =

x2 + 2
x −1

x 2 + 3x + 4
x2 + 1
5 − 3x 2
6) y =
1 − x2

3) y =

9) y = x2 + x + 1

10) y = x − x 2 + 1

11) y =

13) y = x − x2 − 4 x + 1

14) y = 2 x + 1 + 4 x 2 − 2 x + 1

15) y =

17) y = 2 x − 4 x 2 − x + 2

18*) y =

16) y =

−2 x − 1
x2 + x + 2

19) y = 2 x − 3 + x 2 + x + 4

x +4
2

12) y =

x
x + x +1

2

2x2 + 1
2x −1
4x2 − 5x + 1
x −1

20) y = 3x 2 − 2 x + 4

Bài 3: Biện luận theo tham số m số tiệm cận của các đồ thị hàm số sau

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
b) y =

2 x 2 + mx − 4
x+m

c) y =

Bài 4: Tim m để đồ thị hàm số y =
Bài 5: Cho hàm số y =

mx + 1
x+m

Facebook: LyHung95
d) y =

mx3 − 1
x 2 − 3x + 2

x 2 + 2mx + m − 4
có tiệm cận xiên đi qua điểm M(1; 2).
x +1

2 x 2 + (m + 1) x − 3
x+m

a) Tìm m để đồ thị có tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1).
b) Tìm m để giao của hai tiệm cận thuộc (P): y = x 2 + 3 .
Bài 6: Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số
a) y =

x 2 + (m − 2) x + −2
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
x −1

b) y =

x 2 + mx − 1
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
x −1

c) y =

2 x 2 + 3mx − m + 2
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.

x −1

Bài 7: Cho hàm số y =

2x + m
. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận cùng với
mx − 1

hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.

Bài 8: Cho hàm số y =

mx 2 + (3m + 1) x − m + 2
.
x +1

Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ∆ biết ∆ tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R = 2 .

Bài 9: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị của các hàm số sau đến hai tiệm cận
luôn là một hằng số

a) y =

x2 − x + 1
x −1

b) y =

2 x2 + 5 x − 4
x+3

c) y =

x2 + x − 7
x −3

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!