Chuyên đề Đại số luyện thi Tốt nghiệp THPT và ĐH năm 2016 cho học sinh TB, yếu

Chương 1
KHẢO SÁT HÀM SỐ

1


CHƯƠNG 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ

Các dạng hàm số thường gặp.
1. y = ax3 + bx2 + cx + d
2. y = ax4 + bx2 + c
3. y =

ax + b
cx + d

Các bước khảo sát hàm số.
1. TXĐ ...
2. Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên: Tìm x để y = 0 (nếu có). Xét dấu y ⇒ các khoảng đồng biến, nghịch
biến.
• Cực trị: cực đại, cực tiểu
• Giới hạn. (tiệm cận ngang và đứng - nếu có)
3. Bảng biến thiên ...

2

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865

CHƯƠNG 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ

1.1

1.1. TẬP XÁC ĐỊNH.

Tập xác định.

Siêu dễ.
1. y = ax3 + bx2 + cx + d. TXĐ: D = R.
2. y = ax4 + bx2 + c. TXĐ: D = R.
3. y =

d
ax + b
. TXĐ: D = R \ {− }.
cx + d
c

Dễ.
Tìm tập xác định của các hàm số sau.
1. y = x3 − 3x2 + 3x.
2. y =

x4
− x2 − 4.
2

3. y =

2x − 1
.
x−1

4. y = 2x3 + 3x2 − 1.
5. y =

x−1
.
x+1

6. y = x3 − 2x2 + x + 1.
7. y = 1 +
8. y =

1
.
−x − 2

2x + 3
.
3 − 2x

9. y = −x4 − 2x2 .
10. y =

x−3
.

2x + 5

11. y =

1−x
.
x

1
12. y = − x3 + 9.
3
13. y = (x2 − 2)2 .

3

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



1.1. TẬP XÁC ĐỊNH.

CHƯƠNG 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bình thường.
Chú ý.
1
có nghĩa ⇔ A = 0.
A

√
• A có nghĩa ⇔ A ≥ 0.

•

1
• √ có nghĩa ⇔ A > 0.
A
Tìm tập xác định của các hàm số sau.
1. y = x5 − 5x4 + 5x3 + 1.
2. y = x −

√

4 − x2 .

√
1
3. y = x2 − x − 4x − x2 .
4
2x2 − 1
.
x2 − 3x + 2
√
x2 − 1
.
5. y =
2x − 5
4. y =

4
6. y = x + .
x
7. y = 2 sin x + 3x.

4

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



CHƯƠNG 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ

1.2

1.2. ĐẠO HÀM

ĐẠO HÀM

SIÊU DỄ.
1. y = ax3 + bx2 + cx + d. ⇒ y = 3ax2 + 2bx + c.
2. y = ax4 + bx2 + c. ⇒ y = 4ax3 + 2bx.
3. y =

ax + b
ad − bc
.⇒y =
.

cx + d
(cx + d)2

DỄ.
Tính đạo hàm các hàm số sau và tìm các giá trị của x để y = 0 (nếu có).
1. y = x3 − 3x + 1.
2. y = −x3 + 6x2 − 5.
3. y = x4 − 2x2 + 3.
4. y = x4 − 4x2 − 1.
5. y = 2x3 − 3x2 − 2.
1
1
4
6. y = x3 + x2 − 2x − .
3
2
3
7. y = −x3 + 6x2 − 9x + 3.
x+1
.
2x + 3
x
9. y =
.
x−1
8. y =

10. y =

x−1

.
2x − 1

11. y =

x+2
.
x

12. y =

3x + 1
.
1−x

13. y =

1 − 2x
.
2x − 4

5

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



1.2. ĐẠO HÀM

CHƯƠNG 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bình thường.
Tìm x để y > 0 và y < 0 trong các trường hợp sau:
1. y = x3 − 3x2 + 2.
3
1
2. y = x3 − x2 + 5.
4
2
2
2
3. y = x3 − x2 − 4x + .
3
3
4. y = 2x3 − 3x2 + 1.
5. y = x3 + 3x2 − 2.
6. y = 2x3 + 6x2 + 6x − 7.
7. y = x4 − 2x2 .
8. y = x4 − 2x2 + 3.
9. y =

3x + 1
.
x+1

10. y =

2x + 1

.
x−2

11. y =

x+2
.
x−1

6

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



CHƯƠNG 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ

1.3

1.3. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Siêu dễ.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu y > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến trên K.
b) Nếu y < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Dễ.
Các bước xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
1. Tính y .
2. Giải bất phương trình y > 0 và kết luận tính đồng biến.
3. Giải bất phương trình y < 0 và kết luận tính nghịch biến.
Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 − 3x + 1.
Giải:
Ta có y = 3x2 − 3.
• y > 0 ⇔ 3x2 − 3 > 0 ⇔ x < −1; 1 < x.
⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).
• y < 0 ⇔ 3x2 − 3 < 0 ⇔ −1 < x < 1.
⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng(−1; 1).
Ví dụ 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y =

x+3
.
2x − 1

Giải:
Ta có y =

−7
1
< 0 với mọi x = .
2
(2x − 1)
2

⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng

−∞;

1
2

và

1
; +∞ .
2

Bình thường.
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau.
1
1
1. y = x3 − x2 − 2x + 2.
3
2
2. y = −x3 + x2 − 5.
7

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



1.3. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

CHƯƠNG 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ

3. y = x3 − x2 − x + 3
4. y = x4 − 2x2 + 3.
5. y = −x4 + 3x2 − 2.
6. y =

2x + 1
.
x−3

7. y =

x−1
.
x+1

3x + 1
.
1−x
√
9. y = x.

8. y =

10. y =

1
.
x

Khó.
1. Tìm m để hàm số y = x3 + (m − 1)x2 + (m2 − 4)x + 9 luôn đồng biến trên R.
2. Tìm m để hàm số y = −mx3 + (3 − m)x2 − 2x + 2 luôn nghịch biến trên R.
3. Tìm m để hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (2; +∞).
4. Tìm m để hàm số y =

mx + 4
luôn nghịch biến trên (−∞; 1).
x+m

8

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



CHƯƠNG 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ

1.3. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau.
1. y = x3 + 3x2 − 4.
2. y = x3 − 3x.
3. y = −x3 + 3x + 2.
4. y = x3 − 3x − 1.
5. y = −2x3 + 3x2 − 2.
6. y = 2x3 − 6x.
7. y = x3 − 3x2 + 3.

3
1
8. y = x3 − x2 + 5
4
2
9. y = x4 − 2x2 .
10. y = −

x4
3
− x2 + .
2
2

11. y = −x4 + 8x2 − 1
1
3
12. y = x4 + x2 − .
2
2
13. y = −

x4
3
− x2 + .
2
2

14. y =

x+2
.
x−1

15. y =

x−2
.
2x + 1

16. y =

2x − 1
.
x+2

17. y =

2x + 1
.
x−2

18. y =

−2x + 3
.
x−1

19. y =

2x + 1
.
2x − 1

9

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



1.3. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

CHƯƠNG 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau.
1
2
1. y = x3 + x2 − .
3
3
2. y = x3 − 6x2 + 9x.
3. y = x3 − 3x + 1.
4. y = x3 − 4x2 − 4x.
5. y = −8x3 + 3x2 .
6. y = −2x3 + 3x2 + 2.
7. y = x4 + 8x2 + 5.
8. y = x4 − 5x2 + 4.
9. y =

x4
9
− 2x2 − .
4
4

x4
10. y = − − x2 + 1.
2
11. y =

3 − 2x
.
x+7

12. y =

2x − 1
.
x+2

13. y =

−x + 3
.
x+1

14. y =

2−x
.
2x − 1

10

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



Chương 2
CÂU HỎI PHỤ

11


2.1. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

2.1

CHƯƠNG 2. CÂU HỎI PHỤ

Phương trình tiếp tuyến

Nhớ.
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M (x0 ; y0 ) là y = y (x0 ).(x−x0 )+y0 .
• y (x0 ) được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến.
• Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = mx + n ⇒ y (x0 ) = m.

• Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y = mx + n ⇒ y (x0 ) =

−1
.
m

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 tại điểm M (−2; 8).
2. Cho hàm số y = x3 + 2x2 − 15x + 12 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại
điểm A(−2; 2).
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 tại điểm có hoành độ x = 1.
1
1
4. Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ
4
2
7
bằng .
4
2x + 1
5. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số
x−2
góc của tiếp tuyến bằng -5.
6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x4 − x2 + 6 biết tiếp tuyến vuông góc
1
với đường thẳng y = x − 1.
6
3x − 2
7. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp

x−1
tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 4x + 10.
8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) =

1 4
x − 2x2 tại điểm có hoành độ
4

x0 biết f (x0 ) = −1.
9. Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x3 − 3x − 2 sao cho tiếp tuyến của (C)
tại M có hệ số góc bằng 9.
10. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y =

−2x + 3
tại các giao điểm của (C)
x−1

với đường thẳng y = x − 3.
1 3 m 2 1
x − x + . Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số có hoành độ
3
2
3
bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M song song với đường thẳng 5x − y = 0.

11. Cho hàm số y =

12

Giải tích lớp 12

G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



CHƯƠNG 2. CÂU HỎI PHỤ

2.2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

12. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1 biết tiếp tuyến đi qua điểm
M (−1; −9).
13. Cho hàm số y =

2.2

3x − 2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua A(2; 0).
x−1

Tính đơn điệu của hàm số

• Hàm số y = f (x) đồng biến trên D ⇔ y ≥ 0, ∀x ∈ D.
• Hàm số y = f (x) nghịch biến trên D ⇔ y ≤ 0, ∀x ∈ D.
• Nếu y = ax2 + bx + c thì

a > 0
y ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔
∆ ≤ 0
y ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔


a < 0
∆ ≤ 0

1. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m luôn đồng biến trên R.
2. Tìm m để hàm số y = mx3 − (2m − 1)x2 + (m − 2)x − 2 luôn đồng biến.
3. Tìm m để hàm số y = −x3 + 3mx2 − (m + 2)x + m luôn nghịch biến trên R.
4. Tìm m để hàm số y =

x3 mx2
−
− 2x + 1 luôn đồng biến.
3
2

5. Tìm m để hàm số y =

mx + 4
luôn đồng biến.
x+m

6. * Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m − 1)x + 4m nghịch biến trên (−1; 1).
7. * Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = −x3 +3x2 +3mx−1 nghịch biến trong (0; +∞).
8. * Tìm m để hàm số y = x3 + (m − 1)x2 − (2m2 + 3m + 2)x đồng biến trên (2; +∞).
9. * Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

13

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà

01266.289.865



2.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

2.3

CHƯƠNG 2. CÂU HỎI PHỤ

Cực trị của hàm số

Định lí.
Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai (y ) trong khoảng (a − h; a + h), với h > 0. Khi đó:
a) Nếu f (a) = 0, f (a) > 0 thì a là điểm cực tiểu;
b) Nếu f (a) = 0, f (a) < 0 thì a là điểm cực đại.

Dạng 1.
Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau bằng 2 cách.
1. y = 2x3 + 3x2 − 36x − 10.
2. y = −2x3 + 3x2 .
3. y = x4 − 2x2 + 3.
4. y = −

x4
3
+ x2 + .
2
2

5. y =

x2 − 2x + 5
.
x−1

6. y =

x5 x3
−
+ 2.
5
3

Dạng 2.
• Hàm số y = f (x) nhận x = a làm cực tiểu ⇔


y (a) = 0

y (a) > 0

y (a) = 0
• Hàm số y = f (x) nhận x = a làm cực đại ⇔
y (a) < 0
1. Tìm m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 3x + 2 đạt cực đại tại x = 1.
2. Tìm y = x3 − 3mx2 + (m2 − 1)x + 2 đạt cực đại tại x = 2.
1
3. Tìm y = −mx4 + 2(m − 2)x2 + m − 5 có một cực đại x = .
2

4. Tìm a, b để hàm số y = ax3 + bx2 + x đạt cực đại tại x = 1 và cực tiểu tại x = 2.
5. Tìm a, b, c, d để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại
1
4
bằng
tại x = .
27
3
14

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



CHƯƠNG 2. CÂU HỎI PHỤ

2.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

6. Tìm a, b, c để hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị đi qua gốc tọa độ O và đạt cực đại bằng -9
√
tại x = 3.
7. Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số f (x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực trị bằng 0 tại điểm
x = −2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 0).
8. Tìm các hệ số a, b, c, d sao cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu tại x = 0, f (0) = 0
và đạt cực đại tại x = 1, f (1) = 1.

Dạng 3.

Cực trị của hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d.

Hàm số bậc ba có cực đại, cực tiểu ⇔ Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt.
1. Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − m3 .
(a) Chứng minh hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
(b) Tìm m để hàm số có cực trị trái dấu nhau.
2. Tìm m để hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx − 5 có cực đại, cực tiểu.
3. Tìm m để hàm số y = x3 + 3(m2 − 1)x + m2 − 3m đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 thỏa mãn
x21 + x22 = 10.
4. Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 9x − m. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2
sao cho |x1 − x2 | ≤ 2.
5. Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 3mx + 1. Gọi M (x1 ; y1 ), N (x2 ; y2 ) là hai điểm cực trị. Chứng minh
rằng y1 − y2 = 2(x1 − x2 ).(x1 x2 − 1).

15

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



2.4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

2.4

CHƯƠNG 2. CÂU HỎI PHỤ

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b].
Cách 1.
• B1: Tính f (x).
• B2: Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
• B3: Dựa vào bảng biến thiên và kết luận.
Cách 2.
• B1: Tính f (x).
• B2: Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x1 ; x2 ; . . . ; xn trên [a; b] (nếu có).
• B3: Tính f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn ).
• B4: So sánh các kết quả rồi kết luận.
1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f (x) = x3 − 3x + 5 trên đoạn [0; 2].
2. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f (x) =

x3
+ 2x2 + 3x − 4 trên [−4; 0].
3

3. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f (x) =

2x2 + 5x + 4
trên [0; 1].
x+2

4. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x4 − 3x3 − 2x2 + 9x trên [−2; 2].
5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f (x) =

√

6. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x +

x−2+

√
8 − x.

√
4 − x2 .

√
7. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = (x + 2) 4 − x2 .
π
8. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f (x) = x − sin 2x trên − ; π .
2
π π
9. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 5 cos x − cos 5x trên − , .
4 4
16

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



CHƯƠNG 2. CÂU HỎI PHỤ

2.5

2.5. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

Sự tương giao của các đồ thị

Lí thuyết.
Cho hai hàm số y = f (x) có đồ thị (C1 ) và y = g(x) có đồ thị (C2 ).
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: f (x) = g(x).
Bài tập.
1. Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 2 và y = 6x + 2.
2. Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + 3 và y = x4 − 4x2 + 5.
3. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y =

2x − 1
với các trục tọa độ.
x+2

4. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y =

−2x + 3
và đường thẳng y = x − 3.
x−1

5. Cho hàm số y =

2x + 1
có đồ thị (C). Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường
2x − 1

thẳng y = x + 2.

2.6

Biện luận phương trình bằng đồ thị

Lí thuyết.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thì (C). Dựa vào đồ thị (C) của hàm số, biện luận theo m số nghiệm
của phương trình f (x) = m.
Số nghiệm của phương trình f (x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường
thẳng y = m.
Bài tập.
1.Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 2,
a)Biện luận số nghiệm của phương trình x3 − 3x2 + 2 = m.
b)Tìm m để phương trình x3 − 3x2 + 3 = m có 3 nghiệm phân biệt.
2.Dựa vào đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + 1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x4 − 2x2 = m.
3
1
3.Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 − x2 +5, tìm các giá trị của m để phương trình x3 −6x2 +m = 0
4
2
có 3 nghiệm thực phân biệt.
4.Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 1.
Tìm m để phương trình x3 − 3x2 = m3 − 3m2 có 3 nghiệm phân biệt.
5.Cho hàm số y = −x3 + 3x + 1.
17

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865

2.6. BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

CHƯƠNG 2. CÂU HỎI PHỤ

a)Vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b)Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình x3 − 3x + m = 0.
6.a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 + 3x2 + 1.
b)Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: x3 + 3x2 + 1 =

18

m
.
2

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



CHƯƠNG 2. CÂU HỎI PHỤ

2.6. BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

19

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865

2.6. BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

20

CHƯƠNG 2. CÂU HỎI PHỤ

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



CHƯƠNG 2. CÂU HỎI PHỤ

2.6. BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

21

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



Chương 3
Lũy thừa - Mũ - Lôgarit
3.1

Các công thức biến đổi

3.1.1

Lũy thừa

Lí thuyết. (Giả sử các biểu thức có nghĩa)
1. a0 = 1 (a = 0).
1
(a = 0, α ∈ R).
aα
√
m
2. a n = n am (a > 0; m, n ∈ N∗ );
√
2n+1
a2n+1 = a (a ∈ R; n ∈ N∗ );
a−α =

√

2n

a2n = |a| =

a nếu a ≥ 0
−a nếu a ≤ 0

3. aα .aβ = aα+β .

aα
aα : aβ = β = aα−β .
a
√
√
4. (aα )β = aαβ ; m n a = mn a.
√
√ √
(a.b)α = aα .bα ; m a.b = m a. m b.
√
√
√
(a : b)α = aα : bα ; m a : b = m a : m b.
Chú ý.
• Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.
• Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
22


CHƯƠNG 3. LŨY THỪA - MŨ - LÔGARIT

3.1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

Bài tập.
1. Tính giá trị các biểu thức sau.
2

3

(a) A = 4 2 + 8 3 .

2

(0, 04)−1,5 − (0, 125)− 3 .

(b) B =

1
(c) C = (0, 5)−4 − 6250,25 − 2
4
√
√
√
√
5
81. 5 3. 5 9. 12
(d) D =
√ 3 √ √
√ .
5
5
3 . 18. 27. 6

−1

1
2

+ 19.(−3)−3 .

2. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

(a)

4

(b)

5

(c)

5

√
x2 . 3 x, (x ≥ 0).
b 3 a
.
, (a, b = 0).
a
b
2

3

√
2 2.

23 3
.
3 2
√

4 3
(e)
a8 .
√
5
b2 . b
(f) 3 √ .
b. b

(d)

2
.
3

3

3. Đơn giản các biểu thức sau.
(a) A =

√
a2 . 4 a.

3

 35
b 4
.
a



(c) C =

3

√
a. 3 a. a.
√

(d) D =

a 5
.
b

7

(b) B = 

a

5+3
√

a2
(e) E =

√

.a

2−1

1

9

1

5

a4 − a4
a4 − a4

√
5.( 5−1)
√
.
2 2+1
1

−

3

b− 2 − b 2
1

1

b 2 + b− 2

.

23

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



3.1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

3.1.2

CHƯƠNG 3. LŨY THỪA - MŨ - LÔGARIT

Lôgarit

Lí thuyết.
1. aα = b ⇔ α = loga b; loga b có nghĩa khi a > 0, a = 1; b > 0.
aloga b = b.
loga 1 = 0; loga a = 1.
2. loga M.N = loga |M | + loga |N | (M.N > 0);
loga (M : N ) = loga |M | − loga |N | (M : N > 0).
3. loga N β = β loga N (N > 0);
loga N 2n+1 = (2n + 1). loga N (N > 0);
loga N 2n = 2n. loga |N | (N = 0).

1
loga N
α
β
⇒ logaα N β = . loga N.
α

4. logaα N =

5. loga b =

1
loga c
; logb c =
⇒ loga b. logb c = loga c.
logb a
loga b

Chú ý.
• Lôgarit thập phân (lôgarit cơ số 10): log10 b = log b = lg b.
• Lôgarit tự nhiên (lôgarit Nêpe, lôgarit cơ số e ≈ 2, 71828): loge b = ln b.
Bài tập.
1. Thực hiện các phép tính sau.
1
(a) log3 .
9
(b) log√6 36.
(c) log2 4. log 1 2.
4

1
(d) log5 . log27 9.
25
√
(e) loga 3 a.
(f) 4log2 3 + 9log

√
3

2

.

(g) log2√2 8.
24

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



CHƯƠNG 3. LŨY THỪA - MŨ - LÔGARIT

3.1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

(h) 27log9 2 + 4log8 27 .
1

loga3 a. loga4 a 3
.
(i)
log 1 a7
a

(j) log3 6. log8 9. log6 2.
(k) 92 log3 2+4 log81 5 .
(l) 81log3 5 + 27log9 36 + 34 log9 7 .
(m) 25log5 6 + 49log7 8 .
(n) 53−2 log5 4 .
(o) 31+log9 4 + 42−log2 3 + 5log125 27 .
(p) log√6 3. log3 36.
2. Tính giá trị của biểu thức lôgarit theo các biểu thức đã cho.
(a) Cho log2 7 = a. Tính log49 32 theo a.
(b) Cho log3 15 = a. Tính log25 15 theo a.
(c) Cho log 3 = 0, 477. Tính lg 9000; lg81 100.
(d) Cho log7 2 = a. Tính log 1 28 theo a.
2

49
theo a, b.
8
(f) Cho log30 3 = a; log30 5 = b. Tính log30 1350 theo a, b.

3
(e) Cho log25 7 = a; log2 5 = b. Tính log √
5

(g) Cho log14 7 = a; log14 5 = b. Tính log35 28 theo a, b.

(h) Cho log2 3 = a; log3 5 = b; log7 2 = c. Tính log140 63 theo a, b, c.

25

Giải tích lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865