Đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

GIẢ SƠN

ĐA THỨC DUY NHẤT
CHO HỌ CÁC HÀM PHÂN HÌNH PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

GIẢ SƠN

ĐA THỨC DUY NHẤT
CHO HỌ CÁC HÀM PHÂN HÌNH PHỨC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP

Nghệ An - 2015

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Một số ký hiệu

2

Mở đầu

3

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Đa tạp đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

5
5
9

Đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức12
2.1. Các điểm kỳ dị của đường cong phẳng . . . . . . . . . . 12
2.2. Đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức . . . 17

2

Kết luận

21

Tài liệu tham khảo

22


2

MỘT SỐ KÝ HIỆU

C : Trường các số phức

k : Trường
An (k) : Không gian afin n chiều trên trường k
Pn (k) : Không gian xạ ảnh n chiều trên trường k

k[x1 , ..., xn ] : Vành đa thức n biến trên trường k
V (S) : Tập nghiệm của hệ đa thức S
∅ : Tập rỗng
A ⊂ B : A là tập con của B
A ⊂ B : A không là tập con của B
A ∪ B : A hợp B
I(X) : Iđêan của X
M(C) : Tập các hàm phân hình trên C

3

MỞ ĐẦU

Thời gian gần đây, vấn đề nghiên cứu các đa thức duy nhất đã thu hút
được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Việc nghiên cứu các đa thức duy
nhất có liên quan chặt chẽ với việc nghiên cứu các tập xác định duy nhất.
Rất nhiều tác giả đã đưa ra điều kiện để một đa thức là đa thức duy nhất
cho họ các đa thức phức, họ các hàm nguyên, họ các hàm hữu tỷ. Chúng ta
có thể kể đến các công trình của các tác giả Boutabaa, Escassut, Haddad,
Cherry, Yang, Voloch, Fujimoto . . .
Theo hướng nghiên cứu này, trong [2], các tác giả T.T.H.An và J.T.Y.Wang
đã đưa ra điều kiện cần và đủ để đa thức một biến trên trường số phức C là
đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức.
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung tìm hiểu và trình bày một cách
chi tiết các kết quả trong bài báo [2] của T.T.H.An và J.T.Y.Wang.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của luận
văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày những kiến thức cơ bản nhằm mục đích làm cơ sở
cho việc trình bày nội dung của chương 2.
Chương 2. Đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức.
Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng
tôi trình bày về các điểm kỳ dị của đường cong phẳng xác định bởi phương
trình

F (X, Y ) =

P (X) − P (Y )
=0
X −Y


4

trong đó P là đa thức một biến trên trường số phức C thỏa mãn Giả thiết I
của Fujimoto. Đồng thời, chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để đa thức
một biến trên trường số phức C là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân
hình phức.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới
sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Ngọc Diệp. Nhân dịp này tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Nguyễn Thị Ngọc Diệp, người đã tận tình
giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn
chân thành nhất tới tất cả các thầy, cô giáo, những người đã trực tiếp giảng
dạy trong thời gian tác giả học tại trường Đại Học Vinh. Tác giả xin gửi lời
cảm ơn tới gia đình, bạn bè, những người đã động viên, giúp đỡ tác giả trong
học tập cũng như trong cuộc sống.
Cuối cùng tác giả mong nhận được những góp ý chân tình của các thầy
giáo, cô giáo và các bạn.

Tác giả


5

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản nhằm
mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung của chương 2. Ngoài ra chúng
tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ở
phần sau. Các khái niệm và tính chất này chủ yếu được tham khảo trong các
tài liệu [1], [7].

1.1

Đa tạp đại số

1.1.1 Định nghĩa. Cho k là trường tùy ý và F (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ k[x1 , x2 , ..., xn ].
Một điểm P = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ An (k) được gọi là không điểm của F nếu

F (P ) = F (a1 , a2 , . . . , an ) = 0.
Nếu F không là hằng, thì tập các không điểm của F được gọi là siêu mặt
xác định bởi F , và được ký hiệu là V (F ). Một siêu mặt trong A2 (k) được gọi
là một đường cong phẳng.
1.1.2 Định nghĩa. Nếu S là tập hợp các đa thức bất kỳ trong k[x1 , x2 , . . . , xn ],
thì

V (S) = {P ∈ An (k) | F (P ) = 0 với mọi F ∈ S}
gọi là tập đại số trong An (k).
1.1.3 Ví dụ. (1) Tập rỗng ∅ là một tập đại số vì nó là tập nghiệm của
phương trình f = 0 với mọi f ∈ k , f = 0.


6

(2) Một điểm a = (a1 , a2 , . . . , an ) trong không gian An (k) là một tập đại số

vì nó là tập nghiệm của hệ phương trình


 x 1 − a1 = 0
x 2 − a2 = 0
...

 x −a =0
n
n
hay

(a1 , a2 , . . . , an ) = V (x1 − a1 , x2 − a2 , . . . , xn − an ).
(3) Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính được gọi là đa tạp tuyến tính.
(4) An (k) là tập đại số trong An (k) vì nó là tập nghiệm của phương trình
0 = 0.
1.1.4 Nhận xét. (1) Cho S1 , S2 là các hệ đa thức trong k[x1 , x2 , . . . , xn ].
Nếu S2 ⊆ S1 thì V (S1 ) ⊆ V (S2 ).

(2) Hợp của hai tập đại số là một tập đại số. Nghĩa là: Cho S1 , S2 là các hệ
đa thức trong k[x1 , x2 , . . . , xn ].
Khi đó

V (S1 ) ∪ V (S2 ) = V (S)
với S = {f g | f ∈ S1 , g ∈ S2 } .

(3) Giao của một họ tùy ý các tập đại số là một tập đại số. Nghĩa là: Cho
{Si } là một họ các hệ đa thức trong k[x1 , x2 , . . . , xn ]. Khi đó
∩V (Si ) = V (∪Si ).
Do hợp của hai tập đại số là một tập đại số, giao của họ tùy ý các tập

đại số là một tập đại số, tập rỗng và toàn bộ không gian An (k) là các tập đại
số nên ta có thể trang bị một tôpô gọi là tôpô Zariski trên An (k) bằng cách
coi các tập đại số là các tập đóng.


7

1.1.5 Định nghĩa. (1) Một tập đại số V ⊂ An (k) được gọi là khả quy nếu

V = V1 ∪ V2 , trong đó V1 , V2 là các tập đại số trong An (k) và Vi = V, i =
1, 2. Ngược lại, V được gọi là bất khả quy.
(2) Một tập đại số bất khả quy trong An (k) gọi là một đa tạp affin.
(3) Một tập con mở của một đa tạp affin gọi là đa tạp tựa affin.
1.1.6 Định lý. Giả sử V là tập đại số trong An (k). Khi đó, tồn tại duy nhất
các tập đại số bất khả quy V1 , V2 , . . . , Vm sao cho

V = V1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ Vm
và Vi ⊂ Vj với mọi i = j .
Các Vi được gọi là các thành phần bất khả quy của V ; V = V1 ∪V2 ∪. . .∪Vm
là sự phân tích V thành các thành phần bất khả quy.
1.1.7 Nhận xét. Với bất kỳ tập con X của An (k),

I(X) = {F ∈ k[x1 , . . . , xn ] | F (a1 , . . . , an ) = 0 với mọi (a1 , . . . , an ) ∈ X}
là một iđêan của k[x1 , . . . , xn ].
1.1.8 Định nghĩa. I(X) được gọi là iđêan của X .
1.1.9 Định lý. Với một tập đại số bất kỳ X ⊂ An (k), ta có V (I(X)) = X .
1.1.10 Mệnh đề. Một tập đại số X ⊂ An (k) là một đa tạp affin khi và chỉ
khi iđêan I(X) ⊂ k[x1 , . . . , xn ] là iđêan nguyên tố.
1.1.11 Định nghĩa. Một đa thức f được gọi là đa thức thuần nhất nếu tất
cả các đơn thức của nó đều có cùng bậc.

1.1.12 Định nghĩa. (1) Với mỗi tập S không rỗng gồm các đa thức thuần
nhất trong k[x1 , x2 , . . . , xn+1 ] thì

V (S) = {P ∈ Pn (k) | F (P ) = 0 với mọi F ∈ S}
được gọi là tập đại số xạ ảnh trong Pn (k).


8

(2) Một tập đại số V ⊂ Pn (k) được gọi là bất khả quy nếu nó không là hợp
của hai tập đại số bé hơn thực sự.

(3) Một tập đại số bất khả quy trong Pn (k) được gọi là một đa tạp xạ ảnh.
(4) Một tập con mở của một đa tạp xạ ảnh gọi là đa tạp tựa xạ ảnh.


9

1.2

Đường cong phẳng
Đường cong phẳng C trong A2 (k) xác định bởi đa thức F (x, y) là

C = {(x, y) ∈ A2 (k) | F (x, y) = 0}.
Đường cong C là bất khả quy nếu F (x, y) bất khả quy. Bậc của đường cong
là bậc của đa thức xác định đường cong.
Giả sử

F =

Fiei

trong đó Fi là các nhân tử bất khả quy của F và ei ≥ 1. Ta nói rằng các Fi
là các thành phần của F và ei là bội của thành phần Fi . Ta nói Fi là thành
phần đơn nếu ei = 1, và thành phần bội nếu ei > 1.
Vì vành đa thức k[x, y] là vành Gauss nên mọi đa thức F (x, y) ∈ k[x, y]
đều có phân tích duy nhất thành nhân tử bất khả quy

F = F1 m1 F2 m2 . . . Fr mr
với F1 , F2 , . . . , Fr là các đa thức bất khả quy phân biệt và m1 , m2 , . . . , mr là
các số tự nhiên. Ký hiệu

Ci = {(x, y) ∈ A2 (k) | Fi (x, y) = 0} , i = 1, 2, . . . , r,
khi đó Ci , i = 1, 2, . . . , r, là các thành phần bất khả quy của C và C có sự
phân tích thành các thành phần bất khả quy

C = C1 ∪ C2 ∪ . . . ∪ Cr .
Giả sử F (x, y) là đa thức bậc n của vành đa thức k[x, y]. Đặt
x y
Fˆ (x, y, z) := z n F ( , ).
z z
Khi đó, Fˆ (x, y, z) là đa thức thuần nhất bậc n thuộc k[x, y, z] và được gọi là
sự thuần nhất hóa của đa thức F (x, y). Ta gọi đường cong

Cˆ := {(x : y : z) ∈ P2 (k) | Fˆ (x, y, z) = 0}


10

là đường cong xạ ảnh tương ứng của đường cong C . Ta nhận thấy rằng

(x, y) ∈ C khi và chỉ khi (x, y, 1) ∈ Cˆ , C bất khả quy khi và chỉ khi Cˆ
bất khả quy. Nếu C có sự phân tích thành các thành phần bất khả quy

C = C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ Cr
thì Cˆ cũng có sự phân tích thành các thành phần bất khả quy tương ứng

Cˆ = Cˆ1 ∪ Cˆ2 ∪ ... ∪ Cˆr .
1.2.1 Định nghĩa. Cho đường cong phẳng C trong A2 (k) xác định bởi
phương trình F (x, y) = 0, P (a, b) ∈ C . P được gọi là điểm đơn của C nếu
∂F
∂F
(P ) = 0 hoặc
(P ) = 0. Trong trường hợp này đường
∂x
∂y

∂F
∂x

(x − a) +
P

∂F
∂y

(y − b) = 0
P

được gọi là đường tiếp tuyến với C tại P . Một điểm không phải là điểm đơn
thì được gọi là điểm kỳ dị. Đường cong được gọi là trơn nếu mọi điểm của

đường cong là điểm đơn.
1.2.2 Định nghĩa. Cho đường cong phẳng C trong A2 (k) xác định bởi đa
thức F (x, y), P = (0, 0). Ta viết

F = Fm + Fm+1 + . . . + Fn
trong đó Fi là đa thức thuần nhất bậc i trong k[x, y], Fm = 0. Ta gọi m là
số bội của C tại P = (0, 0) và viết m = mP (F ) = mP (C).
Vì Fm là đa thức thuần nhất hai biến trên trường đóng đại số nên ta có
thể viết Fm =

Lri i trong đó Li là các nhân tử tuyến tính. Các Li được gọi

là các đường tiếp tuyến của C tại P = (0, 0), ri gọi là số bội của tiếp tuyến.

Li gọi là tiếp tuyến đơn (tương ứng kép,. . . ) nếu ri = 1 (tương ứng 2,. . . ).
Nếu C có m tiếp tuyến đơn phân biệt tại P thì ta nói rằng P là điểm
kỳ dị chính tắc của C .


11

Giả sử F =
đó mP (F ) =

Fiei là phân tích F thành thành phần bất khả quy. Khi

ei mP (Fi ); và nếu L là đường tiếp tuyến của Fi với số bội ri

thì L là tiếp tuyến của F với số bội

e i ri .

1.2.3 Chú ý. Để mở rộng các định nghĩa này cho điểm P = (a, b) = (0, 0),
ta thực hiện phép tịnh tiến T (x, y) = (x + a, y + b) biến (0, 0) thành P . Khi
đó F T = F (x + a, y + b). Ta định nghĩa mP (F ) chính là m(0,0) (F T ).
1.2.4 Định lý. ( Định lý Bezout ) Cho H và G là các đường cong phẳng xạ
ảnh có bậc tương ứng là m và n. Giả sử H và G không có thành phần chung.
Khi đó,

I(P, H ∩ G) = m.n.
P


12

CHƯƠNG 2

ĐA THỨC DUY NHẤT
CHO HỌ CÁC HÀM PHÂN HÌNH PHỨC

Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu về các điểm kỳ dị của đường cong
phẳng xác định bởi phương trình

F (X, Y ) =

P (X) − P (Y )
=0
X −Y

trong đó P là đa thức một biến trên trường số phức C thỏa mãn Giả thiết I

của Fujimoto. Đồng thời chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để đa thức
một biến trên trường số phức C là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân
hình phức.

2.1

Các điểm kỳ dị của đường cong phẳng
Trong suốt toàn bộ chương này, ta luôn luôn giả sử rằng P (X) là đa

thức một biến trên trường số phức C có bậc là n. Ta ký hiệu các hệ số của

P như sau:
P (X) = a0 + a1 X + . . . + an X n ,
trong đó ai ∈ C, an = 0.
Ký hiệu α1 , α2 , . . . , αl là các nghiệm phân biệt của P (X) và m1 , m2 , . . . , ml
là các bội của các nghiệm của P (X). Khi đó, với λ nào đó trong C, ta có

P (X) = λ(X − α1 )m1 (X − α2 )m2 . . . (X − αl )ml .


13

Ta đặt

P (X) − P (Y )
.
X −Y
Trong mục này, chúng tôi trình bày về các điểm kỳ dị của đường cong
F (X, Y ) =

xác định bởi phương trình F (x, y) = 0, thiết lập một kết quả cần cho việc
chứng minh ở mục sau.
2.1.1 Định nghĩa. Đa thức P (X) được gọi là thỏa mãn Giả thiết I nếu

P (αi ) = P (αj ) với i = j, i, j = 1, 2, . . . , l,
hay nói cách khác, P đơn ánh trên tập các không điểm của đạo hàm bậc nhất
của P .
2.1.2 Mệnh đề. Giả sử P (X) thỏa mãn Giả thiết I . Khi đó tập hợp các
điểm kỳ dị của đường cong phẳng xác định bởi phương trình F (X, Y ) = 0 là

{(x, x) | x là nghiệm bội của phương trình P (X) = 0}. Hơn nữa, các điểm
kỳ dị (x, x) của đường cong phẳng xác định bởi phương trình F (X, Y ) = 0 là
điểm kỳ dị chính tắc với số bội bằng số bội của x trong P (X).
Chứng minh. Ta có

(X − Y )P (X) − (P (X) − P (Y ))
∂F
=
,
∂X
(X − Y )2
∂F
−(X − Y )P (Y ) + (P (X) − P (Y ))
=
.
∂Y
(X − Y )2
Điểm (x, y) với x = y thuộc đường cong phẳng xác định bởi phương
trình F (X, Y ) = 0 khi và chỉ khi P (x) = P (y), và (x, y) là điểm kỳ dị khi và
chỉ khi P (x) = P (y) = 0. Do đó, với P (X) thỏa mãn Giả thiết I thì điểm

(x, y) với x = y không là điểm kỳ dị.
Điểm (x, x) thuộc đường cong phẳng xác định bởi phương trình F (X, Y ) =

0 khi và chỉ khi P (x) = 0. Nếu (x, x) thuộc đường cong phẳng xác định bởi


14

phương trình F (X, Y ) = 0, ta có thể giả thiết rằng x = 0 và P (0) = 0 sau
khi thay đổi biến. Khi đó

F (X, Y ) = am+1 (X m + X m−1 Y + . . . + XY m−1 + Y m )+
am+2 (X m+1 + X m Y + . . . + XY m + Y m+1 ) + . . . ,
trong đó am+1 = 0 và X m + X m−1 Y + . . . + XY m−1 + Y m phân tích được
thành m nhân tử tuyến tính. Điều này chứng tỏ (0, 0) là một điểm kì dị chính
tắc.
2.1.3 Mệnh đề. Cho các số nguyên d > 0, ei ≥ 2 và
h

(d − 1)(d − 2) =

ei (ei − 1) + 2g,
i=1

trong đó g ≤ 2. Nếu h ≥ 2 thì
h

ei ≥ d + h − 1
i=1

trừ khi d = 4, e1 = e2 = 2, và d = 5, e1 = 3, e2 = 2. Hơn nữa, nếu h = 0 thì

d = 1, 2 hoặc 3. Nếu h = 1 thì g = 1; và g = 0 khi và chỉ khi e1 = d−1; g = 2
khi và chỉ khi d = 4, e1 = 2.
Chứng minh. Ta có
h

2

h

ei (ei − 1) =
i=1

ei
i=1

h

−

ei − 2
i=1

ei ej .
1≤i
Mặt khác

ei ej ≥
1≤i
Do đó

h−1
min{ei }
ei ≥ (h − 1)
ei .
i
2
1≤i≤h
1≤i≤h


15

h

2

h

ei (ei − 1) ≤

h

−

ei

i=1

i=1

ei − 2(h − 1)
i=1

1≤i≤h

2

h

=

ei

h

− (2h − 1)

ei
i=1

ei .

(2.1)

i=1

Theo giả thiết
h

(d − 1)(d − 2) =

ei (ei − 1) + 2g,
i=1

ta có
h

ei (ei − 1) = d2 − 3d + 2 − 2g.

(2.2)

i=1

Kết hợp (2.1) và (2.2) ta được
2

h

ei

h

ei ≥ d2 − 3d + 2 − 2g.

− (2h − 1)

i=1

i=1

Vì vậy
h

i=1

2

3
≥ d−
2

1
ei − h +
2

2

1
+ h−
2

2

1
− 2g − .

4

Điều này tương đương với
h

h

ei − h + d − 1
i=1

ei − h − d + 2
i=1

1
≥ h−
2

Nếu g = 0 và h ≥ 2, hoặc g = 1 hoặc 2 và h ≥ 3, thì
h

ei − h − d + 2 > 0.
i=1

Do đó

h

ei ≥ h + d − 1.
i=1

2

1
− 2g − . (2.3)
4


16

Nếu h = 0, thì d = 1, 2, 3.
Nếu h = 1, thì g = 1; g = 0 khi và chỉ khi e1 = d − 1; và g = 2 khi và
chỉ khi d = 4, e1 = 2.
Nếu h = 2, từ (2.3) ta có

(e1 + e2 + d − 3)(e1 + e2 − d) ≥ 2 − 2g.
Từ e1 + e2 + d − 3 ≥ 4, ta có e1 + e2 ≥ d. Nếu e1 + e2 ≥ d + 1, thì nó thỏa
mãn bất đẳng thức trong khẳng định. Do đó, ta chỉ còn xem xét trường hợp

e1 + e2 = d. Khi đó
(d − 1)(d − 2) = e1 (e1 − 1) + e2 (e2 − 1) + 2g
= d2 − 2e1 e2 − d + 2g.
Điều này dẫn đến

e1 e2 = d + g − 1.
Vì e1 ≥ e2 ≥ 2, ta có

e1 ≤

d+g−1
.

2

Nếu g = 1, thì

e1 = e2 = 2 và d = 4.
Nếu g = 2, thì

e1 =
Vì

d+1
2

d−1
2

d+1
d−1
và e2 =
.
2
2

= d + 1, nên d = 5, e1 = 3, e2 = 2.


17

Đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức

2.2

Trong mục này, chúng tôi tìm hiểu điều kiện cần và đủ để đa thức một
biến trên trường số phức C là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình
phức.
Ký hiệu M(C) là tập các hàm phân hình trên C và F là tập con không
rỗng của M(C).
2.2.1 Định nghĩa. Đa thức một biến P trên trường số phức C được gọi là
đa thức duy nhất cho họ các hàm F nếu với mọi hàm khác hằng f, g ∈ F
thỏa mãn P (f ) = P (g) thì f = g .
2.2.2 Định nghĩa. Cho Q(X, Y ) là đa thức hai biến trên trường số phức C
và Q(X, Y, Z) là đa thức thuần nhất của Q(X, Y ). Ký hiệu δQ là số khuyết
của đường cong phẳng xác định bởi phương trình Q(X, Y, Z) = 0, nghĩa là

1
1
δQ = (degQ − 1)(degQ − 2) −
2
2

mp (mp − 1)
p

trong đó tổng được lấy trên tất cả các điểm thuộc đường cong phẳng xác
định bởi phương trình Q(X, Y, Z) = 0 và mp là số bội của đường cong phẳng
xác định bởi phương trình Q(X, Y, Z) = 0 tại p.
Định lý sau đây đưa ra điều kiện cần và đủ để một đa thức một biến
trên trường số phức C là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức.
2.2.3 Định lý. Cho P (X) là đa thức một biến bậc n trên trường số phức C
và

P (X) = λ(X − α1 )m1 (X − α2 )m2 ...(X − αl )ml ,
trong đó λ là hằng số khác 0. Giả sử P (X) thỏa mãn Giả thiết I. Khi đó

P (X) là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức khi và chỉ khi
l ≥ 3, trừ khi P (X) thỏa mãn điều kiện (A); hoặc l = 2 và min{m1 , m2 } ≥ 2


18

trừ khi P (X) thỏa mãn điều kiện (B), trong đó điều kiện (A) và (B) như
sau:
(A)

n = 4,

m1 = m2 = m3 = 1,

(B)

n = 5,

m1 = m2 = 2.

Để chứng minh Định lý 2.2.3, chúng ta cần các bổ đề sau đây.
2.2.4 Bổ đề. Nếu F (X, Y ) có nhân tử bất khả quy H(X, Y ), thì H(X, Y )
là nhân tử tuyến tính, l = 1, và δF < 0.
Chứng minh. Giả sử H(X, Y ) ∈ C[X, Y ] là một nhân tử bất khả quy của

F (X, Y ). Khi đó

F (X, Y ) = H(X, Y )G(X, Y ),
với G(X, Y ) ∈ C[X, Y ]. G(X, Y ) không chia hết cho H(X, Y ) vì đường cong
xác định bởi phương trình F (X, Y ) = 0 chỉ có hữu hạn điểm kỳ dị. Mặt
khác, (αi , αi ), 1 ≤ i ≤ l, chỉ có thể là các điểm kỳ dị của đường cong xác
định bởi phương trình H(X, Y ) = 0 và đường cong xác định bởi phương trình

G(X, Y ) = 0; đồng thời chúng cũng chỉ có thể là các điểm thuộc phần giao của
H
hai đường cong này. Giả sử mG
i và mi lần lượt là số bội tương ứng của điểm

(αi , αi ) thuộc nhánh đường cong xác định bởi phương trình G(X, Y ) = 0 và
nhánh đường cong xác định bởi phương trình H(X, Y ) = 0. Vì đường cong
xác định bởi phương trình F (X, Y ) = 0 chỉ có các điểm kỳ dị chính tắc, nên
giống của đường cong xác định bởi phương trình H(X, Y ) = 0 bằng số khuyết

δH . Giả sử d là bậc của H(X, Y ). Vì P (X) = F (X, X) = G(X, X)H(X, X),
nên ta có
l

l

mH
i

mG
i = n − d − 1.

= d, và

i=1

(2.4)

i=1

Theo Định lý Bezout, ta có
l
H
mG
i mi , và δF = δG + δH − 1.

d(n − d − 1) =
i=1

(2.5)


19

Nếu d = 1 thì H(X, Y ) là nhân tử tuyến tính. Hơn nữa, kết hợp (2.4) và
(2.5) ta có mG
1 = n − 2 = degG, do đó δG < 0 và l = 1. Bây giờ giả sử rằng

d ≥ 2. Do số bội của điểm thuộc phần giao của hai đường cong xác định
bởi phương trình H(X, Y ) = 0 và G(X, Y ) = 0 không lớn hơn bậc của mỗi
đường cong, nên ta có mH
i ≤ d − 1. Do đó
l

mG
i = (d − 1)(n − d − 1),

d(n − d − 1) ≤ (d − 1)
i=1

điều này mâu thuẫn với 1 ≤ d < n.
2.2.5 Bổ đề. F (X, Y ) có thành phần bất khả quy xác định đường cong phẳng
có giống 0 hoặc 1 khi và chỉ khi

(n − 2)(n − 3)
δF =
−
2

l

i=1

mi (mi − 1)
≤ 1.
2

Chứng minh. Khi F (X, Y ) là đa thức bất khả quy, thì giống của đường cong
xác định bởi phương trình F (X, Y ) = 0 bằng δF . Nếu F (X, Y ) khả quy, thì

δF < 0 và có nhân tử tuyến tính theo Bổ đề 2.2.4.
Chứng minh Định lý 2.2.3.
Theo Định lý Picard, không có ánh xạ chỉnh hình khác hằng f từ C vào
đường cong C trong P2 (C) nếu mọi thành phần bất khả quy của đường cong

C đều có giống ít nhất bằng 2. Do đó, phương trình
F (X, Y ) =

P (X) − P (Y )
=0
X −Y

có nghiệm hàm phân hình khác hằng khi và chỉ khi đường cong xác định bởi
phương trình F (X, Y ) = 0 có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1.
Vì vậy, đa thức P (X) không là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình
phức khi và chỉ khi đường cong xác định bởi phương trình

F (X, Y ) =

P (X) − P (Y )
=0
X −Y


20

có thành phần bất khả quy xác định đường cong có giống 0 hoặc 1. Theo Bổ
đề 2.2.5 ta có điều này tương đương với

(n − 2)(n − 3)
−
δF =
2

l

i=1

mi (mi − 1)
≤ 1.
2

Nếu F (X, Y ) khả quy, thì theo Bổ đề 2.2.4 ta có l = 1 và δF < 0. Ngược lại,
l

mi = n − 1,

giả sử F (X, Y ) bất khả quy, theo Mệnh đề 2.1.3 và điều kiện
i=1

ta có δF ≤ 1 khi và chỉ khi một trong những điều kiện sau thõa mãn:
(i) n = 2, m1 = 1, và mi = 0 với i ≥ 2,
(ii) m1 = n − 2, m2 = 1, và mi = 0 với i ≥ 3,
(iii) n = 4, m1 = m2 = m3 = 1, và mi = 0 với i ≥ 4
(iv) n = 5, m1 = m2 = 2, và mi = 0 với i ≥ 3.

✷


21

KẾT LUẬN

Trên cơ sở tài liệu tham khảo chính của luận văn là [2], chúng tôi đã tập

trung tìm hiểu và trình bày một cách chi tiết các kết quả chính sau:

(1) Các điểm kỳ dị của đường cong phẳng xác định bởi phương trình
F (X, Y ) =

P (X) − P (Y )
=0
X −Y

trong đó P là đa thức một biến trên trường số phức C thỏa mãn Giả
thiết I.

(2) Điều kiện cần và đủ để đa thức một biến trên trường số phức C là đa
thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức.


22

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt
[1] Ngô Việt Trung (2012), Nhập môn Đại số giao hoán và Hình học đại
số, NXB Khoa học tự nhiên và công nghệ.

Tiếng Anh
[2] T.T. H. An and J.T.-Y. Wang (2002), Uniqueness polynomials for complex meromorphic functions, Int. J. Math., 13(10), 1095-1115.
[3] A. Boutabaa, A. Escassut and L. Hadadd (1997), On uniqueness of
p-adic entire functions, Indag. Math., 8, 145-155.
[4] W. Cherry and J. T.-Y. Wang (2002), Uniqueness polynomials for entire
functions, Int. J. Math., 13, 323-332.

[5] W. Cherry and C.-C. Yang (1999), Uniqueness of non-archimedean entire functions sharing sets of values counting multiplicity, Proc. Amer.
Math. Soc., 127, 967-971.
[6] H. Fujimoto (2000), On uniqueness of meromorphic functions sharing
finite sets, Amer. J. Math., 122, 1175-1203.
[7] W. Fulton (1969), Algebraic Curves, WA Benjamin, New York.
[8] H. H. Khoai and T.T.H. An (2001), On uniqueness polynomials and biurs for p-adic meromorphic functions, J. Number Theory, 87, 211-221.


23

[9] L.-W. Liao and C.-C. Yang (2000), On the cardinality of the unique
range sets for meromorphic and entire functions, Indian J. Pure Appl.
Math., 31, 431-440.
[10] B. Shiffman (2001), Uniqueness of entire and meromorphic functions
sharing finite sets, Complex Variables Theory Appl., 43, 433-449.
[11] J. T.-Y. Wang (2002), Uniqueness polynomials and bi-unique range
sets for rational functions and non-archimedean meromorphic functions,
Acta Arith., 104, 183-200.