Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc khái quát hóa bài toán tích phân

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Họ và tên: Trương Hoàng Trung
Đơn vị: Trường THPT Dương Đông
Năm học : 2014-2015
--------------------------------------------1.Tên đề tài:
“Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc khái quát hóa bài toán Tích phân”
2.Thực trạng
Năng lực sáng tạo là một phẩm chất vô cùng quan trọng của con người trong thời đại
mới. Do đó văn kiện đại hội Đảng XI (2011) đã đề ra nhiệm vụ: “Đổi mới căn bản và toàn diện
giáo dục, đào tạo” và nhấn mạnh “Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học,
phương pháp thi, kiểm tra theo hướng hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt
coi trọng giáo dục lý tưởng; truyền thống lịch sử cách mạng, đạo đức, lối sống, năng lực sáng
tạo”.
Theo chủ trương đó của Đảng, những năm gần đây, song song với việc đổi mới chương
trình thì ngành giáo dục đã có sự thay đổi mạnh về phương pháp dạy học và đã đạt được nhiều
thành tựu nhất định. Tuy nhiên, bên cạnh những kết quả tích cực, thì thực tiễn ở nhiều trường
phổ thông vì nhiều lý do khác nhau như: trình độ học sinh trong một lớp không đồng đều, không
đủ thời gian… mà việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh chưa được quan tâm
một cách đúng mức.
3.Cơ sở lý luận
Khái quát hóa là một công cụ đắc lực để giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. Trong giải
toán, khả năng khái quát hóa có vai trò quan trọng trong việc hình thành các kiến thức hay tiến
trình giải toán. Khái quát hoá là từ một bài toán ban đầu ta xây dựng bài toán mới nhờ bỏ bớt đi
một số yếu tố của bài toán cũ, hoặc bỏ bớt đi một số điều kiện ràng buộc, hoặc bỏ đi một số đòi
hỏi của kết luận hoặc thay hằng bởi biến, khi đó ta có bài toán mở rộng hoặc tăng độ khó của bài
toán cũ. Cụ thể hơn TS Nguyễn Phú Lộc đã đưa ra qui trình khái quát hóa như sau:

Trang 1


Quan sát

“cái riêng”

Kiểm chứng và
ứng dụng vào
tình huống mới

Phân tích các
mối liên hệ

Khái quát hóa:
Tìm ra "Cái
chung"

Qui trình khái quát hóa một bài toán trong đề tài này được dựa vào qui trình trên.
4. Nội dung chính
1

Bài toán 1:

Tính tích phân

x 3 cos xdx

I
1

Giải:
Đặt t

x

dx

dt . Với x

1

t

1 và x

1

t

1

1

t 3 cos t

Khi đó I

I

2I

I

0

0

1

 Phân tích bài toán và cách giải :
Ta thấy : + f (x )

x 3 cos x là một hàm số lẻ trên  1;1

+ Giá trị hai cận lấy tích phân đối nhau.
+ Việc đặt t

x không làm thay đổi cận tích phân.

Dự đoán: nếu ta thay x 3 sin x bởi một hàm số lẻ tùy ý và hai cận bởi hai số đối nhau bất kỳ
thì kết quả của tích phân mới vẫn bằng 0.
 Bài toán 1A ( khái quát lần 1):
Cho f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên

;

. Chứng minh rằng

Chứng minh

Trang 2

f (x )dx

0


0

f (x )dx

f (x )dx

f (x )dx
0

Đặt t

x

dt

dx .Với x

0

;x

f ( t )dt

f (t )dt

0

f (x )dx

0

f (x )dx

Suy ra

t

0

0

f (x )dx

Khi đó

t

f (x )dx

0

f (x )dx

0

0

0

 Áp dụng vào tình huống mới
4

Tính tích phân I

x5

10x 3
cos2x

2

dx

4

4

I

x5

10x 3
cos2 x

2

Giải:

4

dx

4

x 5 10x 3
dx
cos2 x

4

4

2
dx
cos2 x

4
J

Ta thấy

x 5 10x 3
làm hàm số lẻ trên một trên R nên J = 0
cos2 x
4

K

K

2

dx
cos2 x

2 tan x

4 . Vậy I = 0+4= 4

4
4

4

Nhận xét
- Bài toán 1A là một kết quả khá quen thuộc, tuy nhiên giả sử giá trị hai cận lấy tích phân không
đối nhau thì liệu kết quả trên có còn đúng hay không? Liệu có mối liên hệ nào giữa tính chất của
một số lẻ và hai cận của tích phân không ?
- Ta có f(x) là một hàm số lẻ nghĩa là f(x) = -f(x), x
Mà f (x )

f (x )

f (

)

x

Từ đó nếu ta thay hai cận của tích phân là
thỏa f(a+b-x)= -f(x), x

f (x ), x

;

;

.
;

tương ứng bởi a,b, đồng thời f(x) là hàm số

a;b thì ta kết luận được kết quả của tích phân mới này có bằng 0 ?

Từ đó ta dự đoán bài toán khái quát như sau (khái quát lần 2):

Trang 3


 Bài toán 1B (khái quát lần 2)
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b và f (a

b

f (x ) , x

x)

a ;b

b

f (x )dx

Chứng minh rằng

0

a

Chứng minh
b

Xét I 1

f (x )dx

dx

0. Đặt: x = a + b – t

dt

a

Đổi cận: với x

a

t

b và x

b

Khi đó I 1

b

t

a

a

f (x )dx

b

f (a

a

b

t )dt

2I 1

f (t )dt .

b

I1

0

0 (đpcm)

a

5

 Áp dụng vào tình huống mới:

(x 3

Tính tích phân I =

3x 2

2)2015 dx .

3

Nhận xét:
Ta thấy f (2

f (x ) và f (x ) liên tục trên  3;5 nên theo bài toán trên ta có I = 0

x)

Giải:
Đặt x

t

2

dx

dt . Với x

3

I

3

t)

(2

t)

3(2

2

t

3

2015

(x 3

5

t

3

5

dt

5

( t

5

5

5 và x
3

3t

2

2015

2)

(t 3

dt

3

3x 2

2)2015dx

I

2I

3

I

0

0

3

2

Xét bài toán 2:

Tính I
0

sin x
dx
sin x cos x

Giải
Đặt x

t

2
2

Khi đó I
0

dx

dt . Với x

sin x

dx
sin x cos x

2

0

0

t

2

cos t
dt
sin t cos t

Trang 4

và x
2

0

2

t

0

cos x
dx
sin x cos x

3t 2

2)2015dt


2

2I
0

I

2

1
2

0

sin x
dx
sin x cos x

2

sin x

sin x

1
2

0

cosx
dx
cos x

cos x
dx
sin x cos x
2

x 2
20

dx
0

I

4

Nhận xét: -Trọng tâm của kĩ thuật đổi biến trên là ta làm xuất hiện cung phụ
nhận thấy x

x

t

2

2

2

t , đồng thời

t

0

-Với kĩ thuật trên, tích phân I chỉ tính được khi các hàm số sinx, cosx có cùng bậc.
Từ nhận xét trên, ta thử áp dụng kĩ thuật tính đó để tính tích phân sau :
2

I1
0

Đặt x

t

2

2

Khi đó I 1
0

2

0

I1

dx

dt .Với x

2

0

sinn x
sinn x

cosn x
dx
cosn x

0
2

cosn t
dt
sinn t cosn t

sinn x
dx
sinn x cosn x

2I 1

1
2

sinn x
dx
sinn x cosn x

0

1
2

2

và x

2

t

0

cosn x

dx
sinn x cosn x

0

2

t

cosn x
dx
sinn x cosn x
2

dx
0

1 2
x
2 0

4

Vậy bài toán 2A là khái quát của bài toán 1A như sau:
Bài toán 2A (khái quát lần 1)
2

Chứng minh rằng: I 1
0

sinn x
dx
sinn x cosn x

4

(n

N)

Ta có thể khái quát bài toán 2A thành một bài toán tổng quát hơn hay không ?
Nhận xét
Trong phần chứng minh bài toán 2A, sở dĩ chúng ta dễ dàng tính được J là vì

Trang 5


2

sinn x
sinn x

sau khi đổi biến ta làm xuất hiện tích phân dạng
0

2

cosn x
dx
cosn x

dx ,
0

2

dx không phụ thuộc việc ta chọn các hàm đối với sinx và các hàm đối với cosx . Vì vậy

mà
0

nếu ta thay sinn x, cosn x bởi các hàm f(sinx), f(cosx) liên tục trên 0;

2

và thì kết quả bài toán

sẽ không đổi, từ đó ta dự đoán bài toán khái quát như sau
 Bài toán 2B (khái quát lần 2)
2

Chứng minh rằng I 2
0

f (sin x )
f (sin x ) f (cos x )

4

Chứng minh

Đặt t

x

2

2

Khi đó I 2
0

2

2I 2
0

dt

dx .Với x

0

f (cos t )
dt
f (cos t ) f (sin t )

2

f (sin t )
f (cos t )

0

f (cos t )
dt
f (sin t )

I2

t

2

và x

t

2

0

f (cos x )
dx
f (cos x ) f (sin x )

1
2

2

0

f (sin t )
f (cos t )

f (cos t )
dt
f (sin t )

1 2
x
2 0

4

 Áp dụng vào tình huống mới
2

Tính
0

sin2 x sin x
dx
1 sin x cos x

Giải
2

0

sin2 x sin x
dx
1 sin x cos x

Xét f (u)

u2

2

0

(sin2 x

sin2 x sin x
sin x ) (cos2 x

cos x )

dx

u , thì ta có các hàm f(sinx) và f(cosx) đều không âm và liên tục 0;
2

theo kết quả bài toán 2B ta có
0

sin2 sin x
dx
1 sin x cos x

Trang 6

4

2

. Khi đó


5. Kết quả thực hiện và phạm vi của đề tài
a. Đánh giá định tính hiệu quả của đề tài
Việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc khái hóa một số bài
toán Tích phân xác định đã được tôi áp dụng tại lớp 12C6 năm học 2013-2014. Vì trình độ học
sinh của lớp không đồng đều, số tiết dạy theo phương pháp trên chưa nhiều nên tôi chưa thể đưa
ra đánh giá định lượng để khẳng định tính hiệu quả của đề tài.Tuy nhiên, qua quan sát các tiết
dạy trên lớp, tôi nhận thấy đề tài đã bước đầu đã thu được kết quả tốt như: học sinh rất hào hứng
thích thú với các tiết dạy hơn, các em đã chủ động, tích cực suy nghĩ, phân tích, tìm tòi lời giải
cho bài toán theo gợi ý của giáo viên.
b. Phạm vi nhân rộng
Sáng kiến này có thể nhân rộng và áp dụng được ở tất cả các chuyên đề của chương trình Toán
THPT
7. Kết luận
Việc rèn luyện cho học sinh có kỹ năng khái quát hóa một bài toán là rất cần thiết trong quá
trình dạy và học Toán, nó giúp cho học sinh ngày một linh hoạt và sáng tạo hơn trong học tập và
lao động. Tuy nhiên công việc này cũng lắm công phu, đòi hỏi giáo viên phải thường xuyên bồi
dưỡng chuyên môn, tích cực đầu tư vào bài dạy và thực hiện một cách thường xuyên hơn trong
các tiết dạy của mình.

Trang 7