ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC

VÕ TÌNH

ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC HUẾ
Khi xuất bản sẽ thay bằng Tên Nhà xuất bản
Huế, tháng....., năm......
Khi xuất bản sẽ bỏ mục này


Giáo trình được viết bởi Võ Tình, giảng viên Khoa
Vật lý, Trường ĐHSP - Đại học Huế và được dùng
để giảng dạy, học tập học phần Điện động lực học
mã số: VLY3384.


LỜI NÓI ĐẦU
Bài giảng điện động lực này được viết cho sinh viên khoa vật lý, Đại học
Sư phạm, Đại học Huế. Để có thể dễ dàng hiểu được môn học này người học
cần phải hoàn tất chương trình học vật lý đại cương, chương trình toán cao
cấp dành cho sinh viên khoa vật lý trong đó có giải tích vec-tơ, phương trình
vật lý toán. Nội dung của chương trình được trình bày xuất phát từ chương 1
xây dựng hệ phương trình Maxwell dành cho các điện tích chuyển động chậm
so với vận tốc ánh sáng trong chân không làm hệ tiên đề của lý thuyết trường
điện từ cổ điển. Từ đó, các phương trình mô tả định luật bảo toàn năng lượng,
xung lượng và các biểu thức tổng quát mô tả các đại lượng động lực như lực,
xung lượng, vec-tơ mật độ dòng xung lượng,... của trường điện từ được thiết
lập thông qua các vec-tơ trường. Các đại lượng thế vô hướng, thế vec-tơ và
các phương trình thế của trường điện từ cũng được định nghĩa, thiết lập như
là một cách mô tả khác các tính chất động lực học của trường điện từ. Các
phương trình thế này tương đương với hệ phương trình Maxwell được biểu diễn

theo các vec-tơ trường. Ngoài ra, các điều kiện biên cho các vec-tơ trường cũng
được thiết lập trong chương này. Từ chương 2 đến chương 5 khảo sát cụ thể
những tính chất, quy luật động lực học của trường điện từ trong trường hợp
cổ điển ứng với thể hiện của trường điện từ đối với quan sát viên trong các hệ
quy chiếu khác nhau. Chương 6 trình bày ngắn gọn thuyết tương đối hẹp của
Albert Einstein, đủ để mô tả nội dung chương 7: Điện động lực học tương đối
tính. Trong chương 7, các vec-tơ trường điện từ 4 chiều tương đối tính được
thiết lập cùng với những phương trình tương đối tính của trường điện từ trong
không gian 4 chiều Minkowski có phép quay Lorentz tương đương với phép
biến đổi tọa độ giữa hai hệ quy chiếu quán tính. Các phương trình này được
dùng để mô tả phương trình chuyển động của các hạt mang điện chuyển động
trong trường điện từ với vận tốc rất lớn gần bằng vận tốc ánh sáng trong chân
không. Theo đó một số hệ quả mới so với thuyết điện từ cổ điển được rút ra.
Với điện động lực học tương đối tính, tính chất tương đối của điện trường và
từ trường đã được thể hiện rất rõ, chúng chỉ là các mặt thể hiện của một thực
thể thống nhất không thể nào phân chia được là trường điện từ. Chương 8 ôn

ii


tập các phép tính cơ bản của giải tích vec-tơ đủ sử dụng để trình bày được nội
dung môn học.
Đây là tài liệu biên soạn phục vụ cho việc giảng dạy của tác giả theo tinh
thần đổi mới, chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót. Rất mong sự góp ý của quý
đồng nghiệp, các bạn sinh viên để bài giảng này ngày càng hoàn thiện hơn,
đáp ứng được nhu cầu học tập của sinh viên khoa vật lý, Đại học Sư phạm,
Đại học Huế.
Huế, ngày 25 tháng 7 năm 2012
Võ Tình

iii


iv


MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

ii

1

1

Các phương trình cơ bản của trường điện từ
1.1 Các đại lượng cơ bản của trường điện từ . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Bốn vec-tơ trường điện từ . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2

Điện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Dòng điện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Các phương trình Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Phương trình Maxwell 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Phương trình Maxwell 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Phương trình Maxwell 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4

Phương trình Maxwell 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.5

Các phương trình liên hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.6

Hệ đủ các phương trình Maxwell . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Dạng vi phân của định luật Ohm và định luật Joule-Lenz . . . . 17
1.3.1

Định luật Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2

Định luật Joule-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1

Thành phần pháp tuyến của vec-tơ B, H

1.4.2

Thành phần pháp tuyến của vec-tơ D, E . . . . . . . . . 22

1.4.3

Thành phần tiếp tuyến của vec-tơ E, D . . . . . . . . . . 23

1.4.4

Thành phần tiếp tuyến của vec-tơ H, B . . . . . . . . . 24

1.4.5

Điều kiện biên của vec-tơ mật độ dòng điện j . . . . . . 25
v

. . . . . . . . 20


1.5 Mật độ năng lượng và vec-tơ mật độ dòng năng
luật bảo toàn năng lượng của trường điện từ . . .
1.6 Lực tác dụng trong điện từ trường . . . . . . . .
1.7 Xung lượng và áp suất của trường điện từ . . . .
1.7.1 Xung lượng trường điện từ. . . . . . . . .
1.7.2 Mômen xung lượng của trường điện từ . .
1.7.3 Áp suất trường điện từ . . . . . . . . . . .
1.8 Thế vec-tơ và thế vô hướng của trường điện từ . .
1.8.1 Thế vec-tơ của trường điện từ . . . . . . .
1.8.2 Thế vô hướng của trường điện từ . . . . .
1.8.3 Các phương trình thế của trường điện từ .
1.9 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

lượng. Định
. . . . . . .

. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

26
28
31
31
32
33
33

34
35
36
40

2 TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
2.1 Các phương trình Maxwell của trường tĩnh điện trong chân không
2.2 Thế vô hướng và các phương trình thế . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định nghĩa điện thế và tính chất: . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Các phương trình thế của trường tĩnh điện: . . . . . . .
2.3 Vật dẫn trong trường tĩnh điện . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Điện dung của vật dẫn cô lập. Hệ số điện dung và hệ số cảm
ứng của hệ vật dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Điện dung của vật dẫn cô lập . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Điện dung của hệ hai vật dẫn . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Hệ n vật dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Điện môi trong trường tĩnh điện . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Sự phân cực của các điện môi. . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Thế vô hướng của điện trường trong điện môi. . . . . . .
2.6 Năng lượng của trường tĩnh điện . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Mật độ năng lượng của trường tĩnh điện: . . . . . . . . .
2.6.2 Năng lượng của trường tĩnh điện tạo bởi hệ phân bố liên
tục: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Phân bố điện tích điểm: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Hệ vật dẫn tích điện: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45
46
47
47

48
53

vi

54
54
55
58
58
59
59
63
63
64
65
65


2.6.5 Năng lượng hệ điện tích đặt trong tĩnh điện trường: . . 66
2.7 Lực tác dụng trong tĩnh điện trường . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.8 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG
3.1 Hệ phương trình Maxwell trong trường điện từ dừng . . . . .
3.2 Thế điện động ngoại lai - Các định luật cơ bản của dòng điện
không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Nguồn điện một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Các định luật cơ bản của dòng điện không đổi: . . . . .
3.3 Thế vô hướng và thế vec-tơ của trường điện từ dừng . . . . .
3.3.1 Thế vô hướng: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2 Thế vec-tơ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Từ trường dừng trong môi trường đồng nhất . . . . . . . . . .
3.4.1 Từ trường của các dòng điện không đổi: . . . . . . . .
3.4.2 Từ trường dòng nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Vật dẫn trong từ trường dừng. Hiệu ứng Hall . . . . . . . . .
3.6 Từ môi trong từ trường dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Sự từ hoá các từ môi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Thế vec-tơ của từ trường khi có từ môi . . . . . . . . .
3.6.3 Mối liên hệ giữa độ cảm ứng từ môi và độ từ thẩm: . .
3.7 Năng lượng từ trường dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Năng lượng của hệ dòng dừng: . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Năng lượng momen từ nguyên tố trong từ trường ngoài
3.7.3 Lực tác dụng trong từ trường: . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

4 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ CHUẨN DỪNG
4.1 Các phương trình của trường điện từ chuẩn dừng . .
4.1.1 Các phương trình trường điện từ chuẩn dừng .
4.1.2 Các thế của trường điện từ chuẩn dừng . . . .
4.2 Các mạch điện chuẩn dừng . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Các phương trình mạch điện . . . . . . . . . .

113
. 114
. 116
. 116
. 118
. 118

vii

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

75
. 76
77
77
80
84
84
84
85

85
87
89
91
91
92
93
94
95
97
98
102


4.2.2 Mạch điện R, L, C . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Mạch điện liên kết hỗ cảm: . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Các mạch điện rẽ: . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Dòng điện chuẩn dừng trong vật dẫn. Hiệu ứng lớp da
4.4 Trường điện từ trong các vật dẫn chuyển động . . . . .
4.5 Bài tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

120
123
124
125

129
133

5 SÓNG ĐIỆN TỪ - LÝ THUYẾT BỨC XẠ
141
5.1 Trường điện từ tự do - Sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2 Sóng điện từ phẳng đơn sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.3 Sóng điện từ trong chất dẫn điện . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.4 Sóng điện từ trong chất dị hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.5 Sự phân cực của sóng phẳng đơn sắc . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.5.1 Định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.5.2 Các trạng thái phân cực khác nhau của sóng điện từ
phẳng đơn sắc: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.5.3 Biểu diễn Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.6 Phản xạ và khúc xạ của sóng điện từ ở mặt giới hạn hai điện môi159
5.7 Sự bức xạ ra sóng điện từ. Thế trễ . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.7.1 Thế vô hướng và thế vec-tơ: . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.7.2 Các phương trình thế vec-tơ và thế vô hướng: . . . . . . 167
5.7.3 Nghiệm của các phương trình thế. Thế trễ: . . . . . . . . 168
5.8 Bức xạ của lưỡng cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.8.1 Thế vô hướng của lưỡng cực bức xạ: . . . . . . . . . . . 170
5.8.2 Thế vec-tơ của lưỡng cực bức xạ . . . . . . . . . . . . . . 171
5.8.3 Điện từ trường của dao động tử tuyến tính: . . . . . . . 172
5.8.4 Tính chất của điện từ trường tạo bởi dao động tử tuyến
tính: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.8.5 Lưỡng cực bức xạ tuần hoàn: . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.9 Ống dẫn sóng và hộp cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.9.1 Ống dẫn sóng chữ nhật: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.9.2 Hộp cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.10 Bài tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

viii


6 THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP CỦA EINSTEIN

193

6.1 Những tiên đề của thuyết tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.1.1

Nguyên lý tương đối Galileo. Phép biến đổi tọa độ . . . . 195

6.1.2

Lượng bất biến và phương trình bất biến. Tính bất biến
của các định luật cơ học cổ điển . . . . . . . . . . . . . . 196

6.1.3

Những tiên đề của thuyết tương đối hẹp của Einstein . . 197

6.2 Động học tương đối tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.2.1

Phép biến đổi Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.2.2

Thành lập các công thức biến đổi . . . . . . . . . . . . . 198

6.2.3

Sự rút ngắn chiều dài trong hệ chuyển động . . . . . . . 200

6.2.4

Sự chậm của thời gian trong hệ chuyển động

6.2.5

Định luật cộng vận tốc Einstein . . . . . . . . . . . . . . 201

6.2.6

Các lượng bất biến trong thuyết tương đối. Khoảng . . . 202

6.2.7

Hình học bốn chiều Minkowski. Cách biểu diễn bốn chiều
của thuyết tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.2.8

Vận tốc bốn chiều và gia tốc bốn chiều tương đối tính . . 208

. . . . . . 201

6.3 Động lực học tương đối tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.4

6.3.1

Khối lượng và xung lượng tương đối tính của chất điểm . 210

6.3.2

Phương trình động lực học chất điểm . . . . . . . . . . . 211

6.3.3

Xung lượng, năng lượng và khối lượng trong thuyết tương
đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6.3.4

Thuyết lượng tử ánh sáng . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Bài tập chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7 ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH

219

7.1 Tính bất biến của điện tích. Mật độ dòng bốn chiều . . . . . . . 220
7.2 Cách biểu diễn tương đối tính các phương trình cơ bản của
trường điện từ. Thế 4 chiều tương đối tính . . . . . . . . . . . . 221
7.3 Công thức biến đổi các vec-tơ điện trường và từ trường . . . . . 223
7.4 Các bất biến tương đối tính cơ bản của điện từ trường . . . . . 224
7.5 Hiệu ứng Doppler đối với điện từ trường . . . . . . . . . . . . . 225

7.6

Bài tập chương 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
ix


8 ÔN TẬP GIẢI TÍCH VEC-TƠ
231
8.1 Đại số vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.1.1 Các phép tính vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.2 Đại lượng vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.2.1 Vectơ tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.2.2 Vectơ hàm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.3 Tích vô hướng của hai vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.3.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.3.3 Thông lượng của vec-tơ hàm qua một mặt S: . . . . . . . 234
8.4 Tích hữu hướng của hai vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.4.2 Tích hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.5 Tích kép của ba vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.6 Các phép tính đạo hàm riêng phần của vec-tơ hàm theo tọa độ . 235
8.6.1 Toán tử nabla ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.6.2 Định nghĩa và tính chất của gradient . . . . . . . . . . . 236
8.6.3 Định nghĩa và tính chất của divergence (ký hiệu là div) . 236
8.6.4 Định nghĩa và tính chất của rotationel (curl) (ký hiệu là
rot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.6.5 Áp dụng toán tử nabla trong các phép tính vec-tơ cơ bản 238
8.6.6 Toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.6.7 Tóm tắt các phép tính đạo hàm riêng phần của vec-tơ

hàm theo tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.7 Grad, rot, div và ∇2 trong tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.8 Grad, rot, div và ∇2 trong tọa độ trụ . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.9 Định lý Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

x


Danh sách hình vẽ
1.1 (a): Vectơ mật độ dòng điện khối; (b) Vectơ mật độ dòng điện
mặt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Mật độ dòng điện mặt của dòng điện ống dây dài vô hạn . . . . 8
1.3 Định luật Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Điều kiện biên cho thành phần pháp tuyến của B và H. . . . . . 21
1.5 Điều kiện biên cho thành phần tiếp tuyến của vec-tơ E, D. . . . 23
1.6 Thế vec-tơ và thế vô hướng trường điện từ của một hệ phân bố
hữu hạn điện tích và dòng điện trong thể tích V . . . . . . . . . 37
2.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5
2.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3
3.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5
3.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.9 Một chuỗi điện trở. Điện trở tương đương là Rn , trong đó n là

số điện trở R nối từ đoạn mạch trên xuống đoạn mạch dưới.
Trên hình vẽ số n = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
xi


3.10 Hiệu ứng Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Tiết diện của một dây cáp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Một quả cầu rỗng với mật độ điện mặt σ quay quanh trục z với
vận tốc góc ω. Điểm tính từ trường P có tọa độ R; bề mặt dS
mang điện tích σdS có tọa độ r . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Magnetron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.14 Cuộn dây trong từ trường không đổi . . . . . . . . . . . . . . .

. 105
. 108

. 109
. 110
. 111

4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Chuyển động thanh dẫn trong từ trường. . . . . . . . . . . . .
4.5 Betatron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Mặt cắt ngang của hai bản phẳng song song dài với bề rộng w
và cách nhau d, mang hai dòng điện toàn phần +I và −I. . .
4.7 Cầu xoay chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.
.
.
.

5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phân cực ellip . . . . . . . . . . . . . . .
Phân cực thẳng (Polarization rectiligne)
Sóng điện từ phân cực thẳng . . . . . . .
Sóng điện từ phân cực tròn . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xii

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

118
123
126
133
135

. 137
. 139

144
150
153
155
155
155
159
161
161
162
169
170
175
179


Danh sách bảng

xiii


Chương 1
Các phương trình cơ bản của
trường điện từ
Mở đầu
Đây là chương cơ bản nhất của giáo trình Điện động lực học, một trong những
giáo trình Vật lý lý thuyết cơ sở. Nó bao gồm các tiên đề của lý thuyết điện
từ cổ điển do James Clerk Maxwell đề xướng vào những năm của thập niên
1850-1860 và được Hertz kiểm chứng bằng thí nghiệm bức xạ điện từ vào năm
1888. Các tiên đề đó chính là hệ phương trình Maxwell viết dưới dạng phương

trình vi phân theo không gian và thời gian được rút ra từ các định luật thực
nghiệm trước đó cho các trường điện từ cụ thể và được Maxwell bằng thiên tài
của mình đã khái quát lên cho trường điện từ nói chung. Những phương trình
Maxwell có tính chất rất tổng quát và ý nghĩa của chúng vượt xa các sự kiện
thực nghiệm mà ta dùng để rút ra chúng. Từ hệ tiên đề này, Maxwell đã rút ra
được các định luật bảo toàn năng lượng, xung lượng trường điện từ cũng như
các biểu thức mô tả các đại lượng động lực của trường như lực, xung lượng
của trường thông qua các vec-tơ trường và các phân bố điện tích, dòng điện.
Đây là sự nhận thức đúng đắn của con người về sự thống nhất của trường điện
từ, theo đó điện trường, từ trường, sóng điện từ (bao gồm cả ánh sáng) chỉ là
các mặt thể hiện của một trường điện từ thống nhất tạo bởi hệ phân bố điện
tích và dòng điện đối với quan sát viên trong một hệ quy chiếu cụ thể nào đó
mà thôi.
1


2

Chương 1. Các phương trình cơ bản của trường điện từ

Mục tiêu học tập của chương
Học xong chương này, người học sẽ nắm được các tiên đề của thuyết điện từ
cổ điển của Maxwell, từ đó suy ra các phương trình vi phân, tích phân mô tả
định luật bảo toàn năng lượng, bảo toàn xung lượng trường điện từ, các biểu
thức mô tả các đại lượng động lực học như lực, năng lượng, xung lượng, ... của
trường điện từ theo các vec-tơ trường và các đại lượng mô tả phân bố điện
tích, dòng điện (là các nguồn tạo nên trường). Từ hệ phương trình Maxwell,
người học cũng sẽ nắm được điều kiện biên của các vec-tơ trường, định nghĩa
về thế vô hướng, thế vec-tơ của trường điện từ; phép biến đổi định cỡ thể hiện
tính chất không đơn trị của các đại lượng mới này và phương trình thế dùng để

mô tả những định luật cơ bản của trường điện từ thay cho các vec-tơ trường.

1.1
1.1.1

Các đại lượng cơ bản của trường điện từ
Bốn vec-tơ trường điện từ

Trường điện từ tại mỗi điểm trong không gian được đặc trưng bởi bốn vec-tơ
trường điện từ: vec-tơ cường độ điện trường E, vec-tơ cảm ứng điện D, vec-tơ
cường độ từ trường H và vec-tơ cảm ứng từ B. Chúng là hàm của không-thời
gian, xác định mọi quá trình động lực học của trường điện từ. Trong môi
trường đẳng hướng, ta có hai phương trình liên hệ:

D = E;

(1.1)

B = µH.

Hai đại lượng , µ theo thứ tự được gọi là hệ số điện thẩm, hệ số từ thẩm của
môi trường.
Trong hệ đơn vị đo lường quốc tế S. I., các đại lượng trên có đơn vị và thứ
nguyên như sau:
✎ Võ

Tình -Trường ĐHSP Huê


§ 1.1. Các đại lượng cơ bản của trường điện từ

Đại lượng
|E|
|D|
|H|
|B|
µ

Đơn vị
Vôn trên mét (V/m)
Coulomb trên mét vuông (C/m2 )
Ampère trên mét (A/m)
Tesla (T ) hay W b/m2
Fara trên mét (F/m)
Henry trên mét (H/m)

3
Thứ nguyên
[m.kg.s−3.A−1]
[m−2 .s.A]
[m−1 .A]
[kg.s−2 .A−1]
[m−3 .kg −1 .s4.A2]
[m.kg.s−2.A−2].

Trong chân không = 0 = (36π)−1 .10−9 (F/m) và µ = µ0 = 4π.10−7 (H/m).
Thực nghiệm chứng tỏ rằng

0 µ0

1.1.2

=

1
;
c2

c = 3.108 m/s : vận tốc ánh sáng trong chân không.

Điện tích

Thuộc tính cơ bản của trường điện từ là điện tích. Điện tích là nguồn sinh ra
trường điện từ. Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng chỉ có hai loại điện tích, ta quy
ước là hai loại điện tích trái dấu nhau được gọi là điện tích âm mang dấu trừ
và điện tích dương mang dấu cộng. Chẳng hạn như trong các nguyên tử trung
hòa điện, hạt nhân mang điện tích dương còn các điện tử quay chung quanh
hạt nhân mang điện tích âm. Đối với các vật thể tự do, điện tích nhỏ nhất mà
vật có thể có được là điện tích nguyên tố e = 1, 6.10−19 C. Điện tích bất kỳ q
là một số nguyên lần điện tích nguyên tố: q = Ne, N là số nguyên dương hoặc
âm.
+ Nếu q có kích thước bé so với khoảng cách quan sát, ta có điện tích điểm
q(C). Một hệ n điện tích điểm qi (i = 1, 2, ..., n) nằm rải rác và cách xa nhau
với những khoảng cách rất lớn so với kích thước của chúng được gọi là hệ phân
bố điện tích điểm rời rạc.
+ Nếu vật mang điện tích có kích thước lớn và bao gồm rất nhiều điện tích
điểm với mật độ phân bố dày đặc trong thể tích V của vật, ta có thể xem như
điện tích phân bố liên tục theo tọa độ trong khối thể tích V . Người ta định
✎ Võ

Tình -Trường ĐHSP Huê


Chương 1. Các phương trình cơ bản của trường điện từ

4

nghĩa đại lượng vi phân mật độ điện tích khối tại điểm P có tọa độ r :
ρ≡

dq
dV

=

∆q
(C/m3 )
∆V

lim
∆V →0

=⇒ dq = ρdV.

(1.2)

+ Nếu vật mang điện tích có kích thước lớn và bao gồm rất nhiều điện tích
điểm với mật độ phân bố dày đặc trên bề mặt có diện tích S của vật, ta có thể
xem như điện tích phân bố liên tục theo tọa độ trên bề mặt S. Trong trường
hợp này, đại lượng vi phân mật độ điện tích mặt tại điểm P có tọa độ r được

định nghĩa như sau:
σ≡

dq
dS

=

∆q
(C/m2 )
∆S

lim
∆S→0

=⇒ dq = σdS.

(1.3)

+ Còn khi vật mang điện tích có kích thước lớn theo chiều dài và bao gồm
rất nhiều điện tích điểm với mật độ phân bố dày đặc trên đường cong L của
vật, ta có thể xem như điện tích phân bố liên tục theo tọa độ trên chiều dài
L. Tương ứng, đại lượng vi phân mật độ điện tích dài tại điểm P có tọa độ r
được định nghĩa:
λ≡

dq
=
d

lim
∆ →0

∆q
(C/m)
∆

=⇒ dq = λd .

(1.4)

Các điện tích vi cấp dq có kích thước rất bé nên được xem là các điện tích
điểm trong các phân bố điện tích liên tục.
Như vậy tổng đại số các điện tích trong thể tích V của phân bố điện tích
rời rạc là
n

q=

(1.5)

qi .
i=1

Còn đối với các phân bố điện tích liên tục, ta thay qi bằng dq, để tính tổng
n

đại số điện tích của các phân bố, ta thay dấu tổng

bằng dấu tích phân

i=1

V

,

S

,

L

tuần tự cho các phân bố khối, mặt và đường
qV =

ρdV,
V

qS =

σdS,
S

qL =

λd .

(1.6)

L

✎ Võ

Tình -Trường ĐHSP Huê


§ 1.1. Các đại lượng cơ bản của trường điện từ

5

Ví dụ 1.1: Tính điện tích q của một phân bố khối cầu tâm O, bán kính R
có mật độ điện tích khối ρ(r)(C/m3 ) = q0[1 − exp(−r/R)]/R3 , q0(C) là một
điện tích không đổi.
Lời giải: Theo (1.6), q = V ρdV ; vì phân bố khối cầu nên trong hệ tọa độ
cầu (r, θ, φ) với gốc tọa độ O, ta có
q=

ρ(r)r2 sin θdφdθdr

ρdV =
V

V
R

π
2

q=

ρ(r)r dr

2π

sin θdθ

0

0

0

q0
dφ = 3 4π
R

R
0

r2 1 − er/R dr.

Ta tính tích phân bằng phương pháp lấy tích phân từng phần, kết quả cho
R
0

r2 1 − er/R dr =

2−

5

R3 ,
e

theo đó
q=

q0 4π
R3

2−

5
5
R3 = 4π 2 −
q0 = 2, 018q0 (C).
e
e

Ví dụ 1.2: Chứng minh rằng hệ điện tích điểm qi phân bố rời rạc tại các
tọa độ ri tương ứng có thể được mô tả bằng hàm mật độ điện tích khối
ρ(r) = qiδ(r − ri ),
trong đó hàm delta Dirac được định nghĩa như sau:

∞, nếu r = r
i
δ(r − ri ) ≡
0,
nếu r = ri .
Hàm delta δ(r − ri ) có tính chất:
∆Vi

δ(r − ri )dV = 1

và ∆Vi là một thể tích bất kỳ bao quanh điểm có tọa độ ri .
Lời giải:
✎ Võ

Tình -Trường ĐHSP Huê


Chương 1. Các phương trình cơ bản của trường điện từ

6

Ta tính điện tích ∆q của phân bố điện tích bao quanh điểm có tọa độ r
bất kỳ, theo công thức tính điện tích của một phân bố khối thì lượng điện tích
trong thể tích bé ∆V bao quanh điểm có tọa độ r
∆q(r) =
∆V

ρ(r − r)dV (r ) = qi

∆V

δ(r − r)dV (r ) = 0

khi r = ri ,

∆V không chứa qi,
∆q(r) =

∆V

ρ(r −r)dV (r ) = qi

∆V

δ(r −r)dV (r ) = qi

khi r = ri , ∆V chứa qi .

Nghĩa là với một thể tích ∆V đủ bé bao quanh điện tích điểm qi để xem như
là điện tích điểm thì điện tích tương ứng ∆q = qi . Còn ngoài điểm ri (có điện
tích qi), ta luôn có ρ(r) = 0. Đây là điều ta phải chứng minh.

1.1.3

Dòng điện

Dòng điện là dòng của các điện tích chuyển động có hướng. Người ta quy ước
chiều của dòng điện là chiều của các điện tích dương chuyển động và do đó là
chiều ngược với chiều của các điện tích âm chuyển động. Cường độ dòng điện
khối I đi qua một tiết diện S là số lượng điện tích đi qua S trong một đơn vị
thời gian, nghĩa là nếu gọi dq(t) là số lượng điện tích đi qua tiết diện S trong
khoảng thời gian từ thời điểm t đến thời điểm t + dt thì
I =−

dq
(A = C.s−1).
dt

(1.7)

- Phân bố dòng điện khối: Để biểu diễn dạng vi phân của dòng điện khối
tại một điểm bất kỳ P , người ta định nghĩa vec-tơ mật độ dòng điện khối j
với
−
→
dI
|j| =
(A/m2) hay dI = j dS = jdS cos α
(1.8)
dSn
trong đó dI là cường độ dòng điện khối đi qua tiết diện vi cấp dSn = dS cos α,
−
→
−
→
dS = dSn, n là vec-tơ đơn vị thẳng góc với bề mặt vi cấp dS, góc α = j, dS.
Theo đó
I=
dI =
jdS.
S

S

✎ Võ

Tình -Trường ĐHSP Huê

§ 1.1. Các đại lượng cơ bản của trường điện từ

7

- Phân bố dòng điện mặt: Tương tự, ta có dòng điện vi cấp dI chảy ngang
qua đoạn thẳng d trên bề mặt bất kỳ S. Vectơ mật độ dòng điện mặt i được
định nghĩa là vec-tơ có cường độ
|i| =

dI
(A/m) hay dI = id = id cos α =⇒ I =
d

id . (1.9)

dI =
C

C

Như vậy mật độ dòng điện khối tại một điểm P là cường độ dòng điện đi
qua một đơn vị tiết diện tại điểm đó, chiều của mật độ dòng điện là chiều của
dòng điện. Tương tự, mật độ dòng điện mặt tại một điểm Q bất kỳ trên bề
mặt S là cường độ dòng điện đi ngang qua một đơn vị chiều dài tại điểm đó
theo phương thẳng góc với chiều dòng điện (xem hình 1.1).

Hình 1.1: (a): Vectơ mật độ dòng điện khối; (b) Vectơ mật độ dòng điện mặt.
Ví dụ 1.3: Bề mặt của một ống dây hình trụ dài vô hạn bán kính tiết
diện R được quấn một lớp gồm các vòng tròn dây đồng thẳng góc với trục ống,

dây đồng có bọc cách điện với bán kính tiết diện a
R, với mật độ vòng dây
là n = vòng/m. Cho dòng điện I(A) chạy trong dây của ống. Xác định vec-tơ
mật độ dòng điện trên mặt ống dây.
Lời giải: Các dòng điện I chạy trong các vòng dây đồng luôn thẳng góc
với các đường sinh của ống dây, do đó vec-tơ mật độ dòng điện mặt trên ống
dây có chiều của các dòng điện I, phương tiếp tuyến của các vòng tròn dây
điện, và có độ lớn i = nI(A/m) (hình 1.2).
✎ Võ

Tình -Trường ĐHSP Huê


Chương 1. Các phương trình cơ bản của trường điện từ

8

Hình 1.2: Mật độ dòng điện mặt của dòng điện ống dây dài vô hạn

1.2
1.2.1

Các phương trình Maxwell
Phương trình Maxwell 1:

Từ định luật Coulomb trong trường tĩnh điện, kết hợp với nguyên lý chồng
chất điện trường, người ta rút ra được định lý Ostrogradski-Gauss (O-G) cho
trường tĩnh điện, theo đó, thông lượng của vec-tơ cảm ứng điện D đi qua một
bề mặt kín S bằng tổng đại số các điện tích q = V ρdV chứa trong thể tích
V được giới hạn bởi bề mặt kín S:

DdS =

ρdV.

S

V

Đồng thời, theo giải tích vec-tơ
DdS =
S

div DdV,
V

nên suy ra
div DdV =
V

ρdV.
V

Phương trình trên luôn đúng với mọi thể tích V , do đó:
(1.10)

div D = ρ.
✎ Võ

Tình -Trường ĐHSP Huê

§ 1.2. Các phương trình Maxwell

9

Đây là một trong các phương trình Maxwell, nó cho thấy điện tích là nguồn
tạo ra điện trường. Cần nhấn mạnh rằng tuy phương trình được rút ra từ định
lý O-G trong trường tĩnh điện nhưng Maxwell đã khái quát hóa cho rằng nó
vẫn hoàn toàn đúng cho trường điện từ nói chung.
Ví dụ 1.4: Vectơ cảm ứng điện trường của trường điện từ có dạng
(a) Di (r) =

α
r;
3

(b) Do (r) =

Q r
,
4 r3

r = 0,

α, Q là các hằng số.

Tìm mật độ điện tích khối trong trường điện từ ứng với các trường hợp
trên.
Lời giải: Áp dụng phương trình Maxwell (1.10), ta có
Trường hợp (a): Mật độ điện tích khối

ρi (r) = div Di = div

αr
3

=

α
divr = α(C/m3 ).
3

Trường hợp (b): Mật độ điện tích khối
ρo (r) = div Do = div

Qr
4 r3

=

Q
div
4

r
r3

,

với
div

r
r3

=

1
divr + rgrad
r3

1
r3

=

3
r
+ r −3r−4
3
r
r

=

3
3
− 3 = 0.
3
r
r

Do đó:
ρo (r) = 0.

1.2.2

Phương trình Maxwell 2:

Định luật về tính liên tục của đường sức cảm ứng từ trường: Thực nghiệm cho
thấy rằng các đường sức của vec-tơ cảm ứng từ trường B luôn khép kín hoặc
xuất phát ở vô cùng và kết thúc ở vô cùng. Do đó thông lượng của vec-tơ cảm
ứng từ trường đi qua một mặt kín luôn bằng không:
−
→
B dS = 0.
S

✎ Võ

Tình -Trường ĐHSP Huê


Chương 1. Các phương trình cơ bản của trường điện từ

10

Kết hợp với định lý O-G trong giải tích vec-tơ
−
→
B dS =

S

div BdV,
V

suy ra
div BdV = 0.
V

Vì thể tích V bất kỳ nên phải có
(1.11)

div B = ρ.

Phương trình này cho thấy rằng không có khái niệm từ tích là nguồn sinh ra
tiếp các đường sức từ tại điểm quan sát. Điều này trái với việc thừa nhận từ
tích để khảo sát từ trường của các nam châm vĩnh cửu. Việc bác bỏ khái niệm
từ tích là hoàn toàn đúng đắn và đã được khẳng định bởi thực nghiệm và lý
thuyết hiện đại sau này.
Ví dụ 1.5: Vectơ cảm ứng từ trường của từ trường dừng tạo bởi dòng điện
không đổi I hình trụ bán kính tiết diện R dài vô hạn trong chân không có
dạng
µ0 Ir
µ0 I
Bi =
eφ khi 0 ≤ r ≤ R; Bo =
eφ khi r > R
2
2πR
2πr

Vì Bi và Bo chỉ có thành phần trên trục φ nên
div Bi =

1 ∂Biφ
∂
=
r ∂φ
∂φ

µ0 Ir
2πR2

= 0;

div Bo =

1 ∂Boφ
∂
=
r ∂φ
∂φ

µ0 I
2πr

= 0.

Rõ ràng chúng thỏa mãn phương trình Maxwell 2 (1.11).

1.2.3

Phương trình Maxwell 3:

Theo định luật cảm ứng điện từ Faraday, khi từ thông Φ qua một mặt S được
giới hạn bởi vòng dây dẫn kín L biến thiên theo thời gian thì trong vòng dây
sẽ xuất hiện một thế điện động cảm ứng
Ec =

L

E dl = −

∂Φ
∂t
✎ Võ

Tình -Trường ĐHSP Huê


§ 1.2. Các phương trình Maxwell

11

trong đó E là vec-tơ cường độ điện trường cảm ứng. Theo định lý Stokes trong
giải tích vec-tơ
−
→
E dl =
rotE dS
L

S

và
∂Φ
∂
=
∂t
∂t

−
→
B dS =
S

S

∂B
∂t

−
→
dS.

∂B
∂t

−
→
dS.

Kết hợp cả hai biểu thức trên, ta có hệ thức
∀S,

−
→
rotE dS =
S

S

−

Theo đó rút ra được
∂B
.
(1.12)
∂t
Định luật cảm ứng điện từ chỉ được phát hiện bởi M. Faraday đối với dây
dẫn kín kín đặt trong từ trường biến thiên. Còn đối với phương trình vi phân
Maxwell 3 (1.12) thì khẳng định rằng tại một điểm bất kỳ trong bất cứ môi
trường nào, nếu có từ trường biến thiên theo thời gian thì ở điểm đó có xuất
hiện điện trường xoáy (rotE = 0), không cần phải có dây dẫn kín. Điều này
được khẳng định hoàn toàn trong trường sóng điện từ tự do.
Ví dụ 1.6: Vectơ cường độ điện trường và vec-tơ cảm ứng từ trường của
sóng điện từ tự do có dạng
rotE = −

E(r, t) = iE0 cos(ωt − ko r + α);

B(r, t) = k

E0
cos(ωt − ko r + α),
c

√
trong đó c = 1/ 0µ0 , ko = (ω/c)j; ω, α = const.
Chúng ta kiểm chứng xem chúng có thỏa mãn phương trình Maxwell 3
(1.12) hay không?
Lời giải: Trước tiên tính
rotE =

1.2.4

Phương trình Maxwell 4

Trong mục này chúng ta sẽ dựa vào phương trình liên tục mô tả định luật bảo
toàn điện tích để đưa ra khái niệm dòng điện dịch và kết hợp với định luật
✎ Võ

Tình -Trường ĐHSP Huê