Đề thi thử đại học khối A , A1 , B , D môn toán năm 2012 đề số 201

Trần Sĩ Tùng

Ôn thi Đại học

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN IV NĂM 2012
Môn thi: TOÁN - Khối D
Ngày thi: 06/05/2012

I. PHẦN CHUNG: (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = - x 3 + 3mx 2 - 3(m 2 - 1) x + m3 (1), m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho
khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng AB bằng

5
.
5

Câu II (2 điểm):
3tan x - 3 = 3sin x tan x - cos x

1) Giải phương trình:

2x2 + x - 1 + x2 - 1 £ 2x + 2

2) Giải bất phương trình:

Câu III (1 điểm): Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = x + 2 . Tính diện

tích hình (H).
Câu IV (1 điểm): Cho hình lăng tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, có độ dài cạnh đáy bằng a và độ dài
a 2
. Chứng minh rằng AB¢ ^ BC¢ và tính khoảng cách từ điểm B¢ đến mặt
2
phẳng (ABC¢) theo a.
Câu V (1 điểm): Cho ba số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
cạnh bên bằng

P=

a2

+

b2

+

c2

(a + b)2 (b + c)2 (c + a)2
II. PHẦN RIÊNG: (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B.
A.Theo chương trình chuẩn
Câu VIa: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm M(0; 2) và N(3; 1). Viết phương trình
đường tròn (S) đi qua M, N, đồng thời tiếp tuyến với (S) tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x – 2 y – 2 z + 9 = 0 và điểm
M(0;1;5) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, vuông góc với (Q) sao cho khoảng cách từ
gốc tọa độ O đến (P) bằng khoảng cách từ M đến (Q)

Câu VIIa: (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: ( z –1)2 = 3 – 4i .
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (S):
x 2 + y 2 – x –3y = 0 . Viết phương trình cạnh AB của hình vuông, biết trung điểm M của cạnh
CD nằm trên đường thẳng d: 2 x – y –1 = 0 .
x -1 y z +1
=
=
và điểm
2
-1
1
M(5;4;1) . Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua d, biết khoảng cách từ M đến (Q) lớn nhất

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:

Câu VIIb: (1 điểm) Giải bất phương trình éë log4 ( x + 2)2 - 1ùû 2 x 2 - x - 1 ³ 0 .
-------------------- Hết-------------------Trang 1


ễn thi i hc

Trn S Tựng
Hng dn

Cõu I. 2) y = -3x 2 + 6mx - 3(m 2 - 1) .
Hm s cú 2 cc tr y = 0 cú hai nghim phõn bit x1 , x2
DÂ = 9m 2 - 9(m2 - 1) = 9 > 0 tha món vi mi m ẻ R .
ổ1

1 ử
Ta cú: y = ỗ x - m ữ y + 2 x + m
3 ứ
ố3
ị PT ng thng (D) i qua hai im cc tr l: y = 2 x + m .
Khi ú: h = d (O, D)

m

=

5

5
m = 1 .
5

Cõu II.
1) iu kin: cos x ạ 0 (*)
PT 3sin x - 3 cos x = 3sin2 x - cos2 x
ộ 3 sin x - cos x = 0
(1)
( 3 sin x - cos x )( 3 - 3 sin x - cos x ) = 0 ờ
ở 3 - 3 sin x - cos x = 0 (2)
p
+ (1) x = + kp .
6
ổ
3
1

3
pử
p
p
+ (2)
sin x + cos x =
cos ỗ x - ữ = cos x = + k 2p (do (*))
3ứ
6
6
2
2
2
ố
p
Kt lun: x = + kp .
6
ùỡ2 x 2 + x - 1 0
2) iu kin: ớ 2
(*)
x ẻ (-Ơ; -1] ẩ [1; +Ơ)
ùợ x - 1 0
+ Vi x < -1 : ta cú VT > 0, VP < 0 ị x < -1 khụng l nghim ca BPT.
+ Vi x = -1 : ta cú VT = 0 = VP ị x = -1 l nghim ca BPT.
2 x - 1 + x - 1 Ê 2 x + 1 2 (2 x - 1)( x - 1) Ê x + 6

+ Vi x 1 : ta cú BPT

4(2 x - 1)( x - 1) Ê x 2 + 12 x + 36 7 x 2 - 24 x - 32 Ê 0 1 Ê x Ê
ộ 12 + 4 23 ự

Kt lun: Tp nghim ca BPT l S = ờ1;
ỳ ẩ {-1} .
7
ở
ỷ
ộ x = -1
Cõu III. PT honh giao im: x + 2 = x ờ
.
ởx = 2
Din tớch hỡnh phng (H) l S =
+ A=

2

ũ

x + 2dx =

-1
2

0

2
( x + 2)3
3
2

2

ũ

- dx=

-1
2
-1

ũ(

x + 2 - x )dx = A - B

-1

=

14
3

x2
+ B = ũ x dx = ũ (- x )dx + ũ xdx = 2
-1
-1
0
Vy S =

2

0

x2
+
2
-1

2
0

14 5 13
- =
(vdt).
3 2 6
Trang 2

=

5
2

12 + 4 23
7


Trn S Tựng

ễn thi i hc

Cõu IV.
Cỏch 1: Gi I, J ln lt l trung im ca AÂBÂ v AB.
ỡ ABÂ ^ C ÂI

+ Ta chng minh c: ớ
ị ABÂ ^ BC Â .
ợ ABÂ ^ BI
+ Ta tớnh c: VABC . AÂBÂC Â

AÂ
a 2
2

a3 6
= SD ABC . AAÂ =
;
8

Ta cú: VBÂ. ABC Â

I

BÂ

A

a 6
a 5
; C ÂJ =
2
2
a2 5
1
= AB.CÂJ =

.
2
4

BCÂ = ACÂ =
ị SD ABC Â

CÂ

a

J
B

1
1 a3 6
1
Â
Â
= VABC . AÂBÂC Â ị d ( B ,( ABC )).SD ABC Â = .
3
3
3 8

ị d ( BÂ,( ABCÂ)) =

a3 6 a2 5 a 30
:
=
.

8
4
10

Cỏch 2: Gi O = ABÂ ầ AÂB , OÂ l trung im ca AÂCÂ. Tớnh c: ABÂ = BCÂ =
+ Tam giỏc OBÂOÂ cú:
3a2
OBÂ + OOÂ = 2OBÂ =
= BÂOÂ2
4
ị DOBÂOÂ vuụng ti O
ị ABÂ ^ OOÂ ị ABÂ ^ BCÂ (vỡ BCÂ // OOÂ).
+ Gi C Âx = ( AÂBÂCÂ) ầ ( ABCÂ) ị C Âx P AÂBÂ .
2

C

2

C

B

2

A

a 2
2

O

H
P

Dng BÂP ^ CÂx ( P ẻ C Âx ); BÂH ^ BP ( H ẻ BP )
ị BH ^ ( ABCÂ) .
Tớnh c: BÂP =

a 6
.
2

BÂ

a 3
BBÂ.BÂP a 30
ị BÂH =
=
.
2
BP
10

CÂ

a

x

OÂ

AÂ
a 30
.
Vy: d ( BÂ,( ABCÂ)) =
10
Cỏch 3: Chn h trc to Oxyz, vi O (0; 0; 0) l trung im AB sao cho:
ổ a
ử ổa
ử ổ a 3 ử
;0 ữ ,
A ỗ - ;0; 0 ữ , B ỗ ;0; 0 ữ , C ỗ 0;
z
ố 2
ứ ố2
ứ ố
2
ứ

ổ a a 2ử ổa a 2ử
ổ a 3 a 2ử
AÂ ỗ - ; 0;
;
ữ , BÂ ỗ ;0;
ữ , C Â ỗ 0;
ữ
ố 2
2 ứ ố2
2 ứ

ố
2
2 ứ
uuur ổ
a 2 ử uuur ổ a a 3 a 2 ử
ị AB ' = ỗ a;0;
;
ữ , BC ' = ỗ - ;
ữ
ố
2 ứ
ố 2 2
2 ứ
2
uuur uuur
uuur uuur
a2
a
+ AB '.BC ' = - + 0 +
= 0 ị AB ' ^ BC ' ị ABÂ ^ BC Â .
2
2
uuur
uuur
a
+ AB = (a;0; 0) = a(1; 0; 0) , BC ' = - (1; - 3; - 2)
2
uuu
r
uuur

r 2 ộ
ị n=
ở AB, BC 'ựỷ = (0; 2; - 3)
2
a

Trang 3

y

O

x


ễn thi i hc

Trn S Tựng

2 y - 3z = 0 ị d ( B ',( ABC ')) =

ị Phng trỡnh (ABCÂ) l:
Cõu V. Ta s chng minh: P =

a2
2

( a + b)

+

b2
2

(b + c)

+

c2
2

(c + a )



b
c
a
+ t x = , y = , z = . Ta cú: x , y, z > 0 v xyz = 1 .
a
b
c
1
1
1
+
+
.
Khi ú: P =
2

2
(1 + x )
(1 + y )
(1 + z)2
1
1
1
+ Trc ht ta chng minh:
+

2
2
xy + 1
(1 + x )
(1 + y )

- 3.

a 2
2 = a 30 .
10
5

3
.
4

(1)

Cỏch 1: Thc hin qui ng, rỳt gn ta c: (1) x 3 y + xy 3 + 1 x 2 y 2 + 2 xy

xy( x - y )2 + ( xy - 1)2 0 (ỳng)
Cỏch 2: p dng BT Bunhiacpxki cho cỏc cp s:

xy,1 v

x
,1 ta c:
y

2

ổ
ử
ổ x ử ( xy + 1).( x + y )
x
( x + 1) = ỗỗ xy .
+ 1.1ữữ Ê ( xy + 1). ỗ + 1ữ =
y
y
ốy ứ
ố
ứ
1
y
1
x
ị

. Tng t:

.
2
2
( xy + 1)( x + y)
( xy + 1)( x + y )
( x + 1)
( y + 1)
2

Do ú:

1
2

(1 + x )

+

1
2

(1 + y)



y
x
1
+
=

( xy + 1)( x + y ) ( xy + 1)( x + y ) xy + 1

+ Tip theo, ta chng minh:

1
1
3
+

2
xy + 1 (1 + z)
4

(2)

( z - 1)2
z
1
3
z
1
3
+

+
- 0
0 (ỳng)
z + 1 (1 + z)2 4
z + 1 (1 + z)2 4
4(z + 1)2

1
1
1
3
+ Nh vy, P =
+
+
. Du "=" xy ra x = y = z = 1 .
2
2
2
4
(1 + x )
(1 + y )
(1 + z)
Tht vy, (2)

ị min P =

3
khi a = b = c .
4

Cõu VIa.
uuur
uur
1) Gi I (a; b) l tõm ca ng trũn (S). MI = (a; b - 2), NI = (a - 3; b - 1) . Gi P l giao im
ca 2 tip tuyn ti M v N. Vỡ 2 tip tuyn vuụng gúc nờn MINP l hỡnh vuụng. Do ú ta cú
ỡb = 3a - 3
ùỡ MI 2 = NI 2 (= R2 )

ỡa = 1
ỡa = 2
h phng trỡnh sau: ớ uuur uur
ớ 2
ớ
ớ
ợb = 0
ợb = 3
ợa - 3a + 2 = 0
ợù MI .NI = 0
Vy cú hai ng trũn l: ( x - 1)2 + y 2 = 5 & ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 5 .
2) Ta cú: d ( M ,(Q)) =

-2 - 10 + 9
1+ 4 + 4

= 1 . Phng trỡnh mt phng (P) i qua M(0;1; 5) cú dng:

ax + b( y - 1) + c(z - 5) = 0 ax + by + cz - b - 5c = 0 (a2 + b2 + c2 ạ 0) .

Trang 4


Trn S Tựng

ễn thi i hc

ỡa - 2b - 2c = 0
ỡ a = 2 b + 2c
ù -b - 5c

ù
ỡ(P ) ^ (Q)
Ta cú: ớ
ớ

ớ ộ b = -2c .
=
1
d
(
O
,(
P
))
=
d
(
M
,(
Q
))
ợ
ờ
ù 2
2
2
ợù ở 2b = 5c
ợ a +b +c
+ Vi b = -2c . Chn c = 1 ị b = 2, a = 2 ị (P): 2 x + 2 y - z + 3 = 0 .
+ Vi 2b = 5c . Chn c = 2 ị b = 5, a = 14 ị (P): 14 x + 5y + 2 z - 15 = 0 .

Cõu VIIa. Ta cú: 3 - 4i = 4 - 4i + i 2 = (2 - i)2 nờn ( z - 1)2 = 3 - 4i (z - 1)2 = (2 - i)2
ộz -1 = 2 - i
ộz = 3 - i
.
ờ
ờ
ở z - 1 = -2 + i
ở z = -1 + i
Cõu VIb.
ổ1 3ử
10
1) (S) cú tõm I ỗ ; ữ , bỏn kớnh R =
. Gi s M (m; 2m - 1) ẻ d . Gi N l im i xng
ố2 2ứ
2
uur
ca M qua I ị ng thng AB qua N v nhn NI lm VTPT.
Vỡ hỡnh vuụng ABCD ni tip ng trũn (S) nờn hỡnh vuụng cú cnh a = R 2 = 5 .
ộ
3
2
2
m
=
ờ
ổ
5
1ử ổ
3ử
5

2 .
Do ú: IM =
ỗ m - ữ + ỗ 2m - 1 - ữ = 20m 2 - 44m + 21 = 0 ờ
ố
2ứ ố
2ứ
4
2
ờm = 7
10
ở
uur
ổ3 ử
ổ 1 ử
ổ 1ử
3
+ Vi m = ị M ỗ ; 2 ữ ị N ỗ - ;1ữ ị NI = ỗ1; ữ ị AB : 2 x + y = 0 .
ố2 ứ
ố 2 ứ
ố 2ứ
2
uur
ổ 7 2ử
ổ 3 13 ử
ổ 1 11 ử
7
+ Vi m =
ị M ỗ ; ữ ị N ỗ ; ữ ị NI = ỗ ; - ữ ị AB : 2 x - 11y + 28 = 0 .
10
ố 10 5 ứ

ố 10 5 ứ
ố 5 10 ứ
2) Gi H l hỡnh chiu ca M trờn d, K l hỡnh chiu ca M trờn (Q).
Ta cú d ( M ,(Q)) = MK Ê MH . Do ú d ( M ,(Q)) t ln nht MK = MH K H .
uuuur
Khi ú (Q) l mt phng i qua H v nhn HM lm VTPT.
ỡ x = 1 + 2t
ù
r
d cú PTTS: ớ y = -t
v VTCP u = (2; -1;1) . Gi s H (1 + 2t; -t; -1 + t ) ẻ d .
ùợ z = -1 + t
uuuur r
uuuur
Ta cú: MH .u = 0 2(2t - 4) - (-t - 4) + (t - 2) = 0 t = 1 ị H(3; -1; 0) ị HM = (2; 5;1) .
ị Phng trỡnh mt phng (Q): 2( x - 3) + 5( y + 1) + z = 0 2 x + 5 y + z - 1 = 0 .
Cõu VIIb. Gii bt phng trỡnh: ộở log4 ( x + 2)2 - 1ựỷ 2 x 2 - x - 1 0
(1)
Cú 2 trng hp xy ra:
ỡộ x = 1
ộx =1
2
ùù ờ
ỡ
1
+ TH1: Nu 2 x 2 - x - 1 = 0 thỡ (1) ớ2 x - x - 1 = 0 ớờ x = - ờ
1
ờx = 2
ợ x ạ -2
ùở

ở
2
ùợ x ạ -2
ỡộ
1
x<2
ù
ờ
ỡ
ù2 x - x - 1 > 0
ù
ộ x Ê -4
2
+ TH2: Nu 2 x 2 - x - 1 > 0 thỡ (1) ớ
ớờ
ờ
2
x
>
1
ởx > 1
ùợlog 4 ( x + 2) - 1 0
ùở
2
ùợ( x + 2) 4
ỡ 1ỹ
Vy tp nghim ca (1) l: S = ( -Ơ; -4 ] ẩ [1; +Ơ ) ẩ ớ- ý .
ợ 2ỵ
----------Ht ----------

Trang 5