Đề thi thử đại học khối A , A1 , B , D môn toán năm 2012 đề số 199

Trần Sĩ Tùng

Ôn thi Đại học

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN IV NĂM 2012
Môn thi: TOÁN – KHỐI A;B;V
Ngày thi: 06/05/2012

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
2x + m
CâuI (2 điểm): Cho hàm số y =
(1), m là tham số thực.
x +1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 .
2) Xác định tất cả các tham số thực m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng d : x + y - 1 = 0 tại hai
điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1( O là gốc tọa độ ) .
Câu II (2 điểm):
æ
x
1 + cos3 x
pö
1) Giải phương trình:
cot = 2sin ç 3 x + ÷
2 sin 2 x - sin x
3ø
è
x( x + 2)

2) Giải bất phương trình:

( x + 1)3 - x
1
2

I=ò

³1

2x - x2

dx
4
(
x
1)
0
Câu IV (1 điểm): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có mặt đáy ABC vuông tại B và AB = a, BC = 2a,
AA¢ = 3a. Từ A kẻ AM ^ A¢C, AN ^ A¢B (M ÎCC¢, N Î BB¢). Chứng minh rằng A¢C vuông góc
với mặt phẳng (AMN). Tính diện tích tam giác AMN
Câu V (1 điểm): Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: ( x + y)( y + z)(z + x ) = 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Câu III (1 điểm): Tính tích phân:

biểu thức:

P=

1
3

+

1
1
1
+
+
.
x + 2 y y + 2z z + 2 x

xyz
II-PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B
A.Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(3; 1) nằm trên đường thẳng AB,
phương trình đường phân giác trong của góc A: x - y - 1 = 0 và đường cao qua C: 2 x + y + 4 = 0 . Xác
9
.
2
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-1;-1; 2) , B(-2;-2; 1) và mặt phẳng (Q):
x + 3y – z + 3 = 0 . Xác định tọa độ giao điểm C của AB với mặt phẳng (Q). Viết phương trình đường
thẳng d qua C nằm trong mp(Q) và vuông góc với đường thẳng OB.
z-i
Câu VIIa (1 điểm): Tìm số phức z thỏa mãn : z + 1 - i = z + 2 + 2i và
là số thuần ảo.
z +i
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC và điểm M(0;-2) nằm trên cạnh AC.

Phương trình đường phân giác trong của góc A: x - y - 1 = 0 và đỉnh C thuộc d: 2 x + y + 4 = 0 . Xác
định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng độ dài AB = 2.AM.
(Dị bản: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC và điểm M(0;-2) nằm trên cạnh AC.
Phương trình đường phân giác trong của góc A: x - y - 1 = 0 và đường cao qua C: 2 x + y + 4 = 0 .
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng độ dài AB = 2.AM).
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 6), B( –2; –2; 1) và mặt phẳng (Q):
x + 3y – z + 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với mp(Q), biết khoảng cách từ
B đến d ngắn nhất.
Câu VIIb (1 điểm): Giải bất phương trình:
4(1 - log2 x ) log4 x 2 + 4 log x 2 ³ 1 .
định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết diện tích DABC bằng

------------------- Hết--------------------

Trang 1


ễn thi i hc

Trn S Tựng

Hng dn gii
Cõu I. 2) PT honh giao im ca d v th ca hm s (1):
2
ỡ
2x + m
(2) .
= 1 - x ớ g( x ) = x + 2 x + m - 1 = 0
x +1
x

ạ
1
ợ
d ct (C) ti hai im phõn bit A, B (2) cú hai nghim phõn bit x1, x2 khỏc -1 m < 2
Theo nh lớ Viet ta cú: x1 + x2 = -2, x1.x2 = m - 1 .
Ta cỏc im A, B: A( x1;1 - x1), B( x2 ;1 - x2 ) ị AB = 2( x2 - x1)2 = 8(2 - m)
v d (O, d ) =

1
2
1
AB.d (O, d ) = 1 2 - m = 1 m = 1 (tha k).
2

T gi thit ta cú SDOAB = 1
Cõu II.

ỡ x ạ mp
ù
1) iu kin: ớ
,(m, n ẻ Z ) (*)
p
ùợ x ạ 3 + n2p
x
3x
cos - cos
ổ
x
1 + cos3 x
pử

2
2 = 2sin ổ 3 x + p ử
PT cot = 2sin ỗ 3 x + ữ
ỗ
ữ
x
2 sin 2 x - sin x
3ứ
3ứ
ố
ố
sin
2
ộ
p
ờ x = - 6 + kp
ổ
pử
sin ỗ 3x + ữ = sin x ờ
(k ẻ Z )
3ứ
ố
ờx = p + k p
6
2
ở
p
p
2p
+ k 2p .

i chiu iu kin (*), kt lun nghim ca PT l: x = + kp ; x = - + kp ; x =
6
6
3
2) iu kin: x 0 .
x( x + 2) ( x + 1)3 - x x ( x + 2) ( x + 1)3 + x - 2( x + 1) x ( x + 1)

BPT

(

)

x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1 - 2( x + 1) x 2 + x Ê 0 ( x + 1) x 2 + x - 2 x 2 + x + 1 Ê 0


(

)

x2 + x - 1

Vy: x =

Cõu III. Ta cú: I = ũ

0

ị I=

p
6

ũ

p
2

ộ
-1 + 5
(thoaỷ)
ờx =
2
2
ờ
Ê 0 (vỡ x + 1 > 0 ) x + x = 1
-1 - 5
ờ
(loaùi)
ờở x =
2

5 -1
.
2
1
2

-

2

2x - x
( x - 1)
2

1 - sin t
sin 4 t

2

4

1
2

1 - ( x - 1)2

dx = ũ

( x - 1)

0
-

cos tdt =

p
6

ũ

p
2

2

cos t
sin 4 t

4

ộ p pự
dx . t x - 1 = sin t , t ẻ ờ - ; ỳ .
ở 2 2ỷ
-

dt =

p
6

ũ
-

p
2

1

-

p

6
1
cot t.
dt = - cot 3 t p = 3
2
3
sin t
2

2

Cõu IV.
Cỏch 1: Ta cú: AM ^ AÂC , AN ^ AÂB (gt).
CB ^ ( ABBÂAÂ) ị CB ^ AN ị AN ^ ( AÂBC ) ị AN ^ AÂC ị AÂC ^ ( AMN ) .
Trang 2


Trn S Tựng

ễn thi i hc

ỡ AÂC ^ ( AMN )
Gi j =ã
(( AMN ),( ABC )) . Vỡ ớ
ị j =ã
AAÂC

Â
ợ A A ^ ( ABC )
AAÂ
3
1
=
; SDABC = AB.BC = a2
Tớnh c: cos j =
AÂC
2
14
Tam giỏc ABC l hỡnh chiu ca tam giỏc AMN.
S
a2 14
ị SD AMN = D ABC =
.
cos j
3
Cỏch 2: Chn h trc to Oxyz sao cho:
B(0;0;0) , A(a;0; 0) , C (0;2a; 0) , BÂ(0; 0;3a) .
ị AÂ(a;0;3a) , C Â(0;2a;3a) , M (0; 2a; m) , N (0; 0; n)
( m, n > 0 ).
uuur
uuur
uuur
uuur
ị AÂC = (- a; 2a; -3a) , AM = (-a; 2a; m) , AÂB = (- a; 0; -3a) , AN = (- a; 0; n) .
uuur ổ
uuur uuur
ổ

5a ử
5a ử
5a
Ta cú: AM ^ AÂC ị AM . AÂC = 0 ị m =
ị M ỗ 0; 2a; ữ ị AM = ỗ -a; 2a; ữ
3 ứ
3 ứ
3
ố
ố
uuu
r
uuur uuur
ổ
ổ
aử
aử
a
AN ^ AÂB ị AN .AÂB = 0 ị n = ị N ỗ 0; 0; ữ ị AN = ỗ - a; 0; ữ
3ứ
3ứ
3
ố
ố
uuur uuur
2
2
ị AÂC. AN = a - a = 0 ị AÂC ^ AN ị AÂC ^ ( AMN ) .
uuur uuur ổ 2a2 4a 2
ử

1 uuur uuur
a2 14
Ta cú: ộở AM , AN ựỷ = ỗ
;; 2a2 ữ ị SD AMN = ộở AM , AN ựỷ =
.
3
2
3
ố 3
ứ
Cõu V. T gi thit: ( x + y)( y + z)( z + x ) = 8 , ta suy ra c:
ã 8 = ( x + y )( y + z)( z + x ) 8 xyz ị xyz Ê 1
(1). Du "=" xy ra x = y = z = 1 .
ã 8 = ( x + y )( y + z)(z + x ) = ( xy + yz + zx )( x + y + z) - xyz
ị ( xy + yz + zx )( x + y + z) = 8 + xyz Ê 9
(2). Du "=" xy ra x = y = z = 1 .
ã Mt khỏc ta chng minh c: ( x + y + z)2 3( xy + yz + zx ) ị x + y + z 3( xy + yz + zx )
ị ( xy + yz + zx )( x + y + z) ( xy + yz + zx ) 3( xy + yz + zx ) = 3( xy + yz + zx )3
ị

3( xy + yz + zx )3 Ê 9 ị xy + yz + zx Ê 3

(3). Du "=" xy ra x = y = z = 1 .

ã p dng BT Bunhiacpxki i vi 2 b s: a1 =

z
;a =
zx + 2 yz 2

x
;a =
xy + 2zx 3

y
v
yz + xy

b1 = zx + 2 yz ; b2 = xy + 2 zx ; b3 = yz + 2 xy , ta cú:
1
1
1
z
x
y
+
+
=
+
+

x + 2 y y + 2 z z + 2 x zx + 2 yz xy + 2 zx yz + 2 xy

T ú ta cú: P

1

(

+ 3 xyz 2 . Du "=" xy ra x = y = z = 1 .

xyz
Vy min P = 2 khi x = y = z = 1 .
Cõu VIa.
1) Gi s: d1 : x - y - 1 = 0 , d2 : 2 x + y + 4 = 0 .
3

Gi MÂ l im i xng cua M qua d1 ị tỡm c M Â(2; 2) .
ng thng AB qua M(3;1) v vuụng gúc vi d2
ị Phng trỡnh AB: x - 2 y - 1 = 0

Trang 3

)

2

x+ y+ z
9 3 xyz 3

= xyz
3( xy + yz + zx )
9


ễn thi i hc

Trn S Tựng

ỡx - y -1 = 0

ị To im A l nghim ca h: ớ
ị A(1; 0) .
ợ x - 2y - 1 = 0
ng thng AC qua A v MÂ ị Phng trỡnh AC: 2 x - y - 2 = 0
ổ 1
ử
ỡ2 x + y + 4 = 0
ị To im C l nghim ca h: ớ
ị C ỗ - ; -3 ữ
ố 2
ứ
ợ2 x - y - 2 = 0
Gi s B(2t + 1; t ) ẻ ( AB) ị AB = 5t 2 . Tớnh c : d (C ,( AB)) =

9
2 5

9
1
9
ột = 2
AB.d (C ,( AB)) = t = 2 ờ
2
2
2
ởt = -2
+ Vi t = 2 ị B(5; 2) ị B, C nm cựng phớa vi d1 ị B(5; 2) khụng tho YCBT.
Ta cú: SD ABC =

+ Vi t = -2 ị B(-3; -2) ị B, C nm khỏc phớa vi d1 ị B(-3; -2) tho YCBT.

ổ 1
ử
Vy: A(1; 0) , B(-3; -2) , C ỗ - ; -3 ữ .
ố 2
ứ
ỡ x = -1 + t
uur
ù
2) Ta cú: BA = (1;1;1) ị Phng trỡnh (AB): ớ y = -1 + t . C = ( AB) ầ (Q) ị C(0; 0; 3) .
ùợ z = 2 + t
r r
uuur
ỡu ^ n
r
r
(Q) cú VTPT n = (1; 3; -1) ; OB = (-2; -2;1) . Gi u l VTCP ca d ị ớ r uuur ị Ta cú th
ợu ^ OB
ỡx = m
ù
r
r uuur
chn u = ộở n, OB ựỷ = (1;1; 4) ị Phng trỡnh ng thng d : ớ y = m
(m ẻ R ) .
ùợ z = 3 + 4m
Cõu VIIa. Gi s z = x + yi, ( x, y ẻ R) .
+ z + 1 - i = z + 2 + 2i x + 1 + ( y - 1)i = x + 2 + (2 - y )i

+ u=

( x + 1)2 + ( y - 1)2 = ( x + 2)2 + (2 - y)2 y = x + 3

z - i x + ( y - 1)i x 2 - ( y - 1)2
2( xy - x )
=
=
+
i.
z + i x - ( y - 1)i x 2 + ( y - 1)2 x 2 + ( y - 1)2

u l s thun o x 2 - ( y - 1)2 = 0 x 2 - ( x + 2)2 = 0 x = -1 ị y = 2 .
Vy: z = -1 + 2i .
Cõu VIb.
1) Ta cú th chng minh c bi toỏn cú vụ s
nghim. Minh ho nh sau:
Xỏc nh im N i xng vi M qua d1 .
Khi ú vi bt kỡ A ẻ d1 sao cho A, M nm cựng
phớa vi d (vỡ M nm trờn cnh AC). Ta xỏc nh
im B sao cho N l trung im ca AB, xỏc nh
im C l giao im ca ng thng AM vi d .

* D bn: Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC v im M(0; -2) nm trờn cnh
AC. Phng trỡnh ng phõn giỏc trong ca gúc A: x - y - 1 = 0 v ng cao qua C:
2 x + y + 4 = 0 . Xỏc nh ta cỏc nh ca tam giỏc ABC, bit rng di AB = 2.AM.

r
r
Gi d1 : x - y - 1 = 0 ị d1 cú VTCP u1 = (1;1) ; d2 : 2 x + y + 4 = 0 ị d2 cú VTCP u2 = (1; -2) .
Gi N l im i xng ca M qua d1 ị tỡm c N(-1; -1) .
ng thng AB qua N v vuụng gúc vi d2 ị Phng trỡnh AB: x - 2 y - 1 = 0 .
Trang 4

Trn S Tựng

ễn thi i hc

A l giao im ca (AB) v d1 ị A(1; 0) .
ng thng AC qua A v M ị Phng trỡnh AC: 2 x - y - 2 = 0 .
ổ 1
ử
C l giao im ca (AC) v d2 ị C ỗ - ; -3 ữ .
ố 2
ứ
Gi s B(2b + 1; b) ẻ ( AB) ị AB = 5b 2 ; AM = 5 .
Theo gi thit: AB = 2 AM 5b2 = 20 b = 2 .
+ Vi b = 2 ị B(5; 2) ị B, C nm cựng phớa i vi d1 ị B(5; 2) khụng tho YCBT.
+ Vi b = -2 ị B(-3; -2) ị B, C nm khỏc phớa i vi d1 ị B(-3; -2) tho YCBT.
ổ 1
ử
Vy: A(1; 0) , B(-3; -2) , C ỗ - ; -3 ữ .
ố 2
ứ
2) Gi (P) l mt phng qua A(1;1; 6) v song song vi (Q) ị d è (P ) .
Phng trỡnh (P): x + 3y - z + 2 = 0 . Gi H l hỡnh chiu ca B trờn d, K l hỡnh chiu ca B
trờn (P) ị BH BK . Do ú d ( B, d ) = BH ngn nht BH = BK H K . Khi ú d i
qua A v K.
ỡ x = 1 + 17t
uuur
ổ 6
ù
4 5ử

r
Ta xỏc nh c K ỗ - ; - ; ữ ị u = -11. AK = (17;15; 61) ị d : ớ y = 1 + 15t (t ẻ R) .
ố 11 11 11 ứ
ùợ z = 6 + 61t
Cõu VIIb. Gii bt phng trỡnh: 4(1 - log2 x ) log4 x 2 + 4 log x 2 1 (1)
iu kin: x > 0, x ạ 1 .
4(1 - log2 x )
4(1 - log 2 x )
4
4
+
1
+
-1 0 .
Ta cú: (1)
log2 4 x
log2 x
2 + log2 x
log2 x
ộ1
1
ộ
4
-5t 2 + 6t + 8
2
<
t
Ê
ờ

ờ
5
t t = log 2 x . Khi ú (1) tr thnh:
ị 4
0
16 .
ờ
ờ0 < t Ê 2 5
(t + 2)t
ờở1 < x Ê 4
ở
ổ1 1 ự
Vy tp nghim ca BPT: S = ỗ ;
ỳ ẩ (1; 4] .
5
ố 4 16 ỷ
----------Ht ----------

Trang 5