KIẾN THỨC cơ bản và NÂNG CAO về TAM GIÁC BẰNG NHAU

 

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH


HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại .
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®

KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO VỀ

KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO VỀ
TAM GIÁC BẰNG NHAU
HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
1. Cho ΔABC = ΔDEF. Tính chu vi mỗi tam giác biết AB = 4 cm; BC = 6 cm; 
DF = 5 cm.
 
Xem lời giải tại:
/>ˆ = 70 0. Tính các góc còn lại của mỗi tam
2. Cho ΔABC = ΔDEF. Biết Bˆ = 50 0; D
giác.
 
Xem lời giải tại:
/>3. Cho ΔABC = ΔA ′ B ′ C ′ . Biết BC = 10 cm; AB : AC = 4 : 3 và AB + AC = 14 cm.
Tính các cạnh của ΔA ′ B ′ C ′ .
 
Xem lời giải tại:
/>ˆ = 3 : 4 : 5. Tính các góc của ΔA ′ B ′ C ′ .
4. Cho ΔABC = ΔA ′ B ′ C ′ . Biết Aˆ : Bˆ : C
 
Xem lời giải tại:
/>5. Cho ΔABC = ΔA ′ B ′ C ′ . Biết A ′ B ′ : A ′ C ′ : B ′ C ′ = 2 : 3 : 4 và chu vi ΔA ′ B ′ C ′
bằng 36 cm. Tính các cạnh của ΔABC.
 
Xem lời giải tại:
/>6. Cho △ABC = △DEF, △DEF = △GHI. 


Chứng minh rằng : AB = GH, AC = GI, BC = HI.
 

Xem lời giải tại:
/>7. Cho hai tam giác bằng nhau ABC và DEG. Biết Aˆ = 20 0, Eˆ = 60 0, tính các góc
còn lại của mỗi tam giác.
 
Xem lời giải tại:
/>ˆ = 100 0. Tính các góc còn lại của
8. Cho hai tam giác: ΔABC = ΔDHK, Bˆ = 35 0, K
hai tam giác.
 
Xem lời giải tại:
/>9. Cho △ABC = △DEI. Tính chu vi mỗi tam giác trên biết rằng AB = 5cm, 
AC = 6cm, EI = 8cm.
 
Xem lời giải tại:
/>10. Cho △ABC = △DEF, △DEF = △MNP. Tính chu vi của tam giác ABC biết 
AB = 4cm, DF = 5cm, NP = 6cm.
 
Xem lời giải tại:
/>11. Cho △ABC = △MNP. Biết rằng Aˆ =

1
3

ˆ Bˆ =
N, 

ABC.
 
Xem lời giải tại:
/>

1
2

ˆ
P. Tính các góc của tam giác 


TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC:
CẠNH ‐ CẠNH ‐ CẠNH
12. Cho các hình vẽ. Hãy kể tên các tam giác bằng nhau. 

 
Xem lời giải tại:
/>13. Cho ΔABC có AB = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC lấy điểm
^
^
D (D khác phía với điểm A) sao cho DB = DC. Chứng minh BDA = CDA
 
Xem lời giải tại:
/>^
14. Cho góc nhọn xOy. Vẽ cung tròn tâm O cắt Ox; Oy tại A và B. Vẽ các cung tròn
^
tâm A và tâm B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau ở C nằm trong xOy. Nối
^
O với C. Chứng minh OC là tia phân giác của xOy.
 
Xem lời giải tại:
/>15. Cho ΔABC có AB = AC, M là trung điểm của BC. Chứng minh AM vuông góc
với BC.
 

Xem lời giải tại:
/>

16. Cho đoạn thẳng AB = 4 cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2 cm và đường
tròn tâm B bán kính 3 cm, chúng cắt nhau ở C và D. Chứng minh rằng AB là tia
^
phân giác của CAD.
 
Xem lời giải tại:
/>17. Cho ΔABC. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC lấy điểm D (D khác
phía với điểm B) sao cho AD = BC và AB = CD. Chứng minh AD//BC.
 
Xem lời giải tại:
/>18. Cho đoạn thẳng BC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên đường trung trực của
đoạn thẳng BC lấy điểm A (A khác M). Chứng minh ΔAMB = ΔAMC
 
Xem lời giải tại:
/>19. Cho ΔABC (AC > AB), trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AB = AD. Gọi M là
trung điểm của BD.
^
a.  Chứng minh AM là tia phân giác của BAC.
b.  Đường thẳng AM cắt BC tại N. So sánh hai đoạn thẳng NB và ND.
Xem lời giải tại:
/>20. Cho hai đường tròn tâm H và tâm K có cùng bán kính, chúng cắt nhau tại A
và B. Lấy C nằm trên đường tròn tâm H sao cho AC = AB.
^
^
^
Chứng minh CHA = AHB = AKB.
 

Xem lời giải tại:
/>
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI CỦA TAM GIÁC:
CẠNH ‐ GÓC ‐ CẠNH


21. Cho các hình vẽ. Hãy kể tên các tam giác bằng nhau.

 
Xem lời giải tại:
/>22. Chỉ ra các tam giác bằng nhau trong các hình sau.

 
Xem lời giải tại:
/>23. Cho ΔABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao
cho ME = MA. Chứng minh rằng AB//CE.
 
Xem lời giải tại:
/>^
24. Cho xAy. Trên tia Ax lấy điểm B; trên tia Ay lấy điểm D sao cho AB = AD.
Trên tia Bx lấy điểm E; trên tia Dy lấy điểm C sao cho BE = DC. Chứng minh rằng 
ΔABC = ΔADE.
 
Xem lời giải tại:
/>25. Cho ΔABC có Aˆ = 90 0. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA.


^
Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB. Tính số đo CDE.
 

Xem lời giải tại:
/>26. Cho ΔABC có Aˆ = 90 0. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Tia phân
ˆ
giác của B cắt AC ở D. Chứng minh rằng:
a.  DA = DE.
b.  AE⊥BD
Xem lời giải tại:
/>ˆ
27. Cho ΔAOB có OA = OB. Tia phân giác của O cắt AB tại D. Chứng minh rằng:
a.  DA = DB.
b.  OD⊥AB.
Xem lời giải tại:
/>28. Cho ΔABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD sao cho AD⊥AB và AD = AB ( D
khác phía C đối với AB). Vẽ đoạn thẳng AE sao cho AE⊥AC và AE = AC ( E khác
phía B đối với AC). Chứng minh rằng:
a.  DC = BE.
b.  DC⊥BE.
Xem lời giải tại:
/>29. Cho ΔABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Trên tia đối của
tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho
EN = EB. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN.
 
Xem lời giải tại:
/>30. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D.
Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho BH = BA.


a.  Chứng minh DH  ⊥  BC
^
^

0
b.  Biết ADH = 110 , tính ABD.
Xem lời giải tại:
/>31. Cho tam giác ABC có Aˆ = 90 0, AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho 
AD = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.
a.  Chứng minh rằng DE ⊥ BC.
^
ˆ
b.  Cho biết 4Bˆ = 5C, tính 
AED.
Xem lời giải tại:
/>32. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Chứng
1
minh DE // BC và DE =  BC.
2
 
Xem lời giải tại:
/>
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ BA CỦA TAM GIÁC:
GÓC ‐ CẠNH ‐ GÓC
^
^
33. Cho hình vẽ, biết OA = OB; OAC = OBD. Chứng minh AC = BD.

 
Xem lời giải tại:
/>34. Cho hình vẽ. Chứng minh ΔABC = ΔFDE


 

Xem lời giải tại:
/>35. Chỉ ra các tam giác bằng nhau trong hình vẽ. Vì sao?

 
Xem lời giải tại:
/>36. Cho ΔABC (AB ≠ AC), tia Ax đi qua trung điểm M của cạnh BC. Kẻ BE; CF
vuông góc với Ax (E ∈ Ax; F ∈ Ax). Chứng minh BE = CF.
 
Xem lời giải tại:
/>ˆ
ˆ
37. Cho ΔABC. Các tia phân giác của B và 
C cắt nhau tại I. Vẽ ID⊥AB (D
∈ AB), 
IE⊥BC (E ∈ BC), IF⊥AC (F ∈ AC). Chứng minh rằng: ID = IE = IF.
 
Xem lời giải tại:
/>38. Cho hình vẽ, biết AB / / CD; AC / / BD . Chứng minh AB = CD; AC = BD .

 


Xem lời giải tại:
/>ˆ
ˆ
39. Cho ΔABC có Bˆ = C. Tia phân giác của 
A cắt BC ở D. Chứng minh rằng:
a.  AB = AC.
b.  AD⊥BC
Xem lời giải tại:

/>^
40. Cho xOy khác góc bẹt, Ot là tia phân giác của góc đó. Qua điểm H thuộc tia Ot,
kẻ đường thẳng vuông góc với Ot, nó cắt Ox và Oy theo thứ tự tại A và B.
a.  Chứng minh OA = OB.
^
^
b.  Lấy điểm C thuộc tia Ot. Chứng minh CA = CB và OAC = OBC.
Xem lời giải tại:
/>41. Cho ΔABC có AB = AC. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao
cho AD = AE.
a.  Chứng minh rằng: CD = BE.
b.  Gọi O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: ΔBOD = ΔCOE .
Xem lời giải tại:
/>ˆ
ˆ
42. Cho ΔABC có Aˆ = 60 0. Các tia phân giác của B và 
C cắt nhau ở I và cắt AC, AB
theo thứ tự tại D, E. Chứng minh rằng ID = IE.
 
Xem lời giải tại:
/>43. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên
tia đối của AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Một đường thẳng đi qua A cắt các
đoạn thẳng DE và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng AM = AN.
 


Xem lời giải tại:
/>44. Cho tam giác ABC có Aˆ = 60 0, các tia phân giác BM và CN cắt nhau ở I. Biết
rằng BC = 4 cm. Tính tổng BN + CM.
 

Xem lời giải tại:
/>45. Cho tam giác ABC vuông tại A, và AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên
cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Các đường vuông góc với CD vẽ từ A và E
lần lượt cắt BC ở G và H. Chứng minh rằng BG = GH.
 
Xem lời giải tại:
/>46. Cho tam giác ABC, Aˆ = 120 0. Hai đường phân giác BD và CE của tam giác cắt
^
^
nhau tại O. Trên cạnh BC lấy hai điểm I và K sao cho IOB = KOC = 30 0. Chứng
minh rằng:
a.  OI ⊥ OK
b.  BE + CD < BC
Xem lời giải tại:
/>^
^
47. Cho xOy khác góc bẹt. Vẽ tia Ot, Oz trong xOy (tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot).
^
^
Biết rằng zOt và xOy có cùng tia phân giác Om. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia
Oy lấy điểm A' sao cho OA = OA'. Trên tia Oz lấy điểm B, trên tia Ot lấy điểm B'
sao cho OB = OB'.
a.  Chứng minh AB = A'B'; AB' = A'B
b.  Chứng minh rằng AB', A'B và Om đồng quy
Xem lời giải tại:
/>
CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG


48. Cho ΔABC cân tại A. Kẻ AH ⊥ BC (H  ∈  BC). Chứng minh rằng:

a.  HB = HC.
^
^
b.  BAH = CAH.
Xem lời giải tại:
/>49. Cho ΔABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ
đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại D. Chứng minh rằng AD là tia
phân giác của góc A.
 
Xem lời giải tại:
/>50. Cho ΔABC có M là trung điểm của BC, AM là tia phân giác của góc A.
Kẻ MH⊥AB (H ∈ AB), MK⊥AC (K ∈ AC). Chứng minh rằng:
a.  MH = MK
ˆ
b.  Bˆ = C.
Xem lời giải tại:
/>51. Hai đoạn thẳng AB và CD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Chứng minh rằng AC / / BD và AC = BD.
 
Xem lời giải tại:
/>52. Cho ΔABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB
lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH ⊥ AD (H  ∈  AD), kẻ CK ⊥ AE (K  ∈  AE).
Chứng minh rằng: BH = CK.
 
Xem lời giải tại:
/>53. Cho ΔABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC
tại I. Kẻ IH ⊥ AB (H  ∈  AB), kẻ IK ⊥ AC (K  ∈  AC). Chứng minh rằng BH = CK.
 

Xem lời giải tại:
/>54. Cho ΔABC vuông ở A. Từ A kẻ AH ⊥ BC (H  ∈  BC). Trên cạnh BC lấy điểm E
sao cho BE = BA. Kẻ EK ⊥ AC (K  ∈  AC). Chứng minh AK = AH.
 
Xem lời giải tại:
/>55. Cho ΔABC cân tại A. Kẻ BD ⊥ AC (D  ∈  AC), kẻ CE ⊥ AB (E  ∈  AB). Gọi K là
giao điểm của BD và CE. Chứng minh AK là tia phân giác của góc A.
 
Xem lời giải tại:
/>ˆ
ˆ
56. Cho ΔABC. Các tia phân giác của B và 
C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI là
tia phân giác của góc A.
 
Xem lời giải tại:
/>57. Cho ΔABC, AB = AC. Điểm D thuộc cạnh BC, trên tia đối của tia CB lấy điểm E
sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC tại
M, N. Đường thẳng BC cắt MN tại I. Chứng minh rằng:
a.  DM = EN.
b.  IM = IN.
Xem lời giải tại:
/>58. Cho Δ ABC vuông cân tại A. M là trung điểm của BC, E là điểm nằm giữa B và
C nhưng không trùng với M. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc AE). Hỏi 
Δ MHK có đặc điểm gì? Vì sao?
 
Xem lời giải tại:
/>59. Cho Δ ABC vuông cân tại A. Qua A vẽ đường thẳng d sao cho B và C cùng
thuộc một nửa mặt phẳng bờ d. Vẽ BD, CE cùng vuông góc với d (D, E thuộc D).

a.  Chứng minh rằng DE = BD + CE.
b.  Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh Δ DME vuông cân tại M.
Xem lời giải tại:
/>60. Cho Δ ABC cân tại A, có Aˆ < 90 0. Vẽ BD ⊥ AC, CE ⊥ AB, AK ⊥ BC. Chứng
minh AK, BD, CE cùng đi qua một điểm.
 
Xem lời giải tại:
/>61. Cho Δ ABC cân tại A. Trên tia đối của các tia BC và CB tương ứng lấy hai
điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M là trung điểm của BC. Từ B và C kẻ BH vuông
góc với AD, CK vuông góc với AE ( H thuộc AD, K thuộc AE). Chứng minh rằng ba
đường thẳng BH, CK, AM đồng quy.
 
Xem lời giải tại:
/>62. Cho Δ ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Đường
vuông góc với BC tại D cắt AC ở E.
a.  So sánh độ dài AE và DE.
b.  Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh C cắt đường thẳng BE ở K. Tính góc BAK.
Xem lời giải tại:
/>63. Cho Δ ABC vuông tại A. Ở miền ngoài Δ ABC vẽ Δ ABD vuông cân tại B, Δ ACF
vuông cân tại C.
a.  Chứng minh: D, A, F thẳng hàng.
b.  Từ D và F hạ các đường vuông góc DD', FF'xuống đường thẳng BC. Chứng
minh: DD ′ + FF ′ = BC.
Xem lời giải tại:
/>^
64. Cho tam giác ABC, BAC = 120 0, đường phân giác trong AD. Từ D hạ 
DE ⊥ AB, DF ⊥ AC.

a.  Tam giác DEF là tam giác gì?
b.  Qua điểm C, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng AB tại M.
Cho biết tam giác ACM là tam giác gì?
c.  Cho CM = a, CF = b. Tính AD (a > b).
Xem lời giải tại:
/>
BÀI TẬP TỔNG HỢP
^
^
^
65. Cho hình vẽ sau biết AE=AF, ABC = EAF = FAC = 36 0.

^ ^
a.  Tính các góc E 2, F 2
^ ^ ^ ^
b.  Tính các góc E 1, F 1, A 1, C 1
c.  Tìm những tam giác cân trong hình vẽ
Xem lời giải tại:
/>^
^
^
^
0
0
0
66. Cho hình vẽ sau. Biết rằng BAC = 20 ; CAD = 60 ; ADB = 50  và BDC = 10 0
.

^
^

a.  Tính các góc ACD; ABD.


^
^
b.  Tính các góc DBC; BCA
c.  Những tam giác nào là tam giác cân? Tam giác nào là tam giác đều.
^ ^ ^ ^
d.  Tính số đo các góc O 1; O 2; O 3; O 4
Xem lời giải tại:
/>67. Cho tam giác ABC cân tại A. Từ B hạ BH⊥AC (H thuộc AC). Lấy điểm M trên
cạnh BC từ M hạ MF⊥AC (F thuộc AC) và ME⊥AB (E thuộc AB). Trên tia đối của
tia MF lấy điểm I sao cho FI=BH. Chứng minh rằng:
^
^
a.  HBF = BFI
^
b.  BIF = 90 0
^
^
c.  EBM = IBM
d.  ME + MF = BH
Xem lời giải tại:
/>68. Cho hai đường thẳng d 1 / / d 2; đường thẳng d 3 cắt d 1 và d 2 tại M và N. Lấy O là
trung điểm của đoạn thẳng MN. Qua O kẻ đường thẳng d 4 cắt đường d 1 tại E và
cắt đường thẳng d 2 tại F.
a.  Chứng minh rằng: O là trung điểm của EF và ME=NF
b.  Chứng minh rằng NE//MF
c.  Lấy điểm P bất kỳ thuộc đoạn thẳng EM. Nối PO, tia PO cắt d 2 tại Q. Chứng
minh: EP=QF và EQ//PF.

Xem lời giải tại:
/>69. Cho đoạn thẳng BC, trên cùng nửa mặt phẳng bờ có chứa đoạn BC vẽ tam
giác ΔABC cân tại A và có góc ở đáy bằng 80 0 . Vẽ tam giác ΔBMC đều, trên AB
lấy điểm E sao cho AE=BC. Nối AM, tia AM cắt BC tại I. Chứng minh rằng:
^
a.  AI là tia phân giác của góc BAC


^
b.  MI là tia phân giác của góc BMC
^
c.  CE là tia phân giác của góc ACM
Xem lời giải tại:
/>ˆ
70. Cho ΔABC cân tại A (Aˆ = 120 0 ). AI là tia phân giác của góc A (I 
∈  BC). Từ I
hạ HI⊥AB(H ∈ AB); IK⊥AC(K ∈ AC)
a.  Chứng minh rằng ΔIHK là tam giác đều.
b.  Chứng minh: KH//BC
c.  Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AB. Chứng minh ΔACD là tam
giác đều.
d.  ΔBCD là tam giác gì? Vì sao?
Xem lời giải tại:
/>71. Cho ΔABC, vẽ phía ngoài tam giác tia Ax sao cho Ax⊥AB và lấy điểm E trên
tia Ax sao cho AE=AB (E và C ở 2 phía AB). Kẻ Ay⊥AC và lấy điểm F trên Ay sao
cho AF=AC (F và B ở hai phía của AC), lấy M là trung điểm của đoạn BC. Kéo dài
AM cắt EF tại I. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho AM=MN. Chứng minh
rằng:
a.  BN=AF
b.  AM =

1
2

EF

^
^
c.  NAC = EFA
d.  ΔIAF vuông tại I.
Xem lời giải tại:
/>72. Cho tam giác ABC (AB < AC), kẻ phân giác AL của góc A. Từ trung điểm M
của cạnh BC, kẻ đường thẳng vuông góc với AL, đường này cắt AC ở E và cắt AB
ở D.
a.  Chứng minh AD=AE
b.  Kẻ BB’//ED (B' thuộc AC). Chứng minh rằng B’E=EC=BD


c.  Chứng minh các hệ thức sau:
2AD = AC + AB
2EC = AC − AB
^
d.  Tính góc BMD theo các góc B, C.
e.  Tìm trên tia phân giác AL một điểm N cách đều hai điểm B, C.
Xem lời giải tại:
/>73. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, đường cao AH. Từ H kẻ HM⊥AC và
trên tia đối của tia MH lấy điểm E sao cho MH=EM. Kẻ HN⊥AB và trên tia đối
của tia NH lấy điểm D sao cho NH=ND.
a.  Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng
b.  Chứng minh MN//DE

c.  Chứng minh BD//CE
d.  Chứng minh tam giác DHE là tam giác vuông.
Xem lời giải tại:
/>74. Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối CB lấy điểm M sao cho CM=BC. Trên tia
đối AC lấy điểm N sao cho AN=AC và trên tia đối BA lấy điểm P sao cho BP=AB.
a.  Chứng minh AM⊥AP
b.  Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.
c.  Gọi O là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho OA = OB = OC. Chứng minh
OM=OP.
d.  Chứng minh ON⊥MP
Xem lời giải tại:
/>75. Cho tam giác ABC có Aˆ = 90 0, Bˆ = 45 0 . Gọi M là trung điểm của BC.
a.  Chứng minh rằng ΔAMB = ΔAMC; AM⊥BC
b.  Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại N. Chứng
minh CN//AM.
c.  Tam giác ΔBCN là tam giác gì? Vì sao?


Xem lời giải tại:
/>
76. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các tam

(

)

^
giác vuông ABM  BAM = 90 0, AM = AB  và tam giác vuông CAN 

(

)

^
CAN = 90 0, AN = AC .Chứng minh rằng:

a.  ΔAMC = ΔABN
b.  MC⊥BN 
Xem lời giải tại:
/>77. Cho tam giác ABC có AB=AC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại H. Lấy
điểm D bất kỳ trên AH. Chứng minh rằng.
a.  ΔADB = ΔADC
^
b.  DH là tia phân giác của góc BDC
c.  AH⊥BC
Xem lời giải tại:
/>78. Cho tam giác ΔABC , gọi M, N thứ tự là trung điểm của các cạnh AB. AC, trên
tia đối tia MC lấy điểm P sao cho MP=MC, trên tia đối tia NB lấy điểm Q sao cho
NQ=NB. Chứng minh rằng:
a.  Ba điểm A, P, Q thẳng hàng
b.  A là trung điểm của PQ
Xem lời giải tại:
/>79. Cho tam giác ABC có góc B tù và kẻ AH, BK lần lượt vuông góc với BC và AC 
(H ∈ BC; K ∈ AC). Trên tia đối AH lấy điểm D sao cho AD=BC. Trên tia đối của
tia BK lấy điểm E sao cho BE=AC. Chứng minh:


^
^
a.  HAC = KBC

b.  ΔCBE = ΔDAC
c.  DC⊥EC
Xem lời giải tại:
/>80. Cho tam giác ABC có AB=9cm, AC=12cm, BC =15cm.
a.  Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
b.  Kẻ phân giác BD và CE (D ∈ AC; E ∈ AB) hai phân giác này cắt nhau tại F.
^
Tính số đo của góc BFC ?
Xem lời giải tại:
/>81. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ AH⊥BC(H ∈ BC), kẻ HM và HN lần
lượt vuông góc với AB, AC (M ∈ AB, N ∈ AC). Trên tia đối tia MH lấy điểm E sao
cho ME=MH, trên tia đối của tia NH lấy điểm F sao cho NF=NH.
a.  Chứng minh AH=AE.
b.  Chứng minh tam giác ΔAEF cân
^
^
0
c.  Giả sử BAC = 60  . Hãy tính số đo góc EAF
Xem lời giải tại:
/>82. Cho tam giác ΔABC (AB < AC). Trên tia BA lấy điểm D sao cho DB=CB. Nối
DC, tia phân giác của góc ABC cắt AC và CD theo thứ tự tại E và H.
a.  Chứng minh rằng ΔBDE = ΔBCE
b.  Chứng minh HC=HD
c.  Kẻ AK⊥DC(K ∈ DC). Chứng minh rằng AK//BH.
Xem lời giải tại:
/>83. Cho tam giác ABC cân tại A và có Aˆ < 90 0 vẽ BH⊥AC(H ∈ AC) và 
CK⊥AB(K ∈ AB)
a.  Chứng minh rằng AH=AK

b.  Gọi P là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AP là tia phân giác của góc
ˆ
A.
Xem lời giải tại:
/>84. Cho tam giác ΔABC cân tại A. Kẻ AH⊥BC(H ∈ BC) .
a.  Chứng minh rằng: ΔAHB = ΔAHC
b.  Trên tia đối của tia BH lấy điểm D, trên tia đối của tia CH lấy điểm E sao cho
BD=CE. Tam giác ADE là tam giác gì? vì sao?
Xem lời giải tại:
/>85. Cho góc xOy. Trên tia Oz là phân giác của góc xOy ta lấy một điểm A. Qua
trung điểm B của OA, ta kẻ đường thẳng vuông góc với Oz, đường này cắt cạnh
Oy tại điểm C.
a.  Chứng minh AC//Ox
^
^
b.  Tính góc xOy để ACO = 130 0
Xem lời giải tại:
/>86. Cho tam giác ABC có góc A nhọn, về phía ngoài của tam giác ta vẽ các tam
giác đều ADB và AEC.
a.  Chứng minh BE=CD.
b.  Tính góc BIC trong đó I là giao điểm của BE và CD
Xem lời giải tại:
/>87. Cho một đường thẳng d và ba điểm A, B, C theo thứ tự ấy thuộc d. Trên cùng
một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d ta vẽ hai tam giác đều ABD và BEC.
Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AE, CD.
a.  Chứng minh AE=CD
b.  Chứng minh ΔAMB = ΔDNB
c.  Chứng minh tam giác MNB là tam giác đều.
Xem lời giải tại:
/>

ˆ
88. Cho tam giác ABC, có Aˆ = 90 0 + C. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AB,
đường này cắt BC tại D. Từ C kẻ đường vuông góc với cạnh BC, đường này cắt
AB tại điểm E, ED cắt cạnh AC tại điểm N.
a.  Chứng minh tam giác ADC, AEC là các tam giác cân.
b.  Chứng minh N là trung điểm của cạnh AC và DE⊥AC
^
^
c.  Cho Bˆ = 30 0 Tính các góc BAC, ACB . Tam giác BAC là tam giác gì?
Xem lời giải tại:
/>89. Cho tam giác ABC cân ở A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, Qua C kẻ
đường thẳng vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau ở D. Chứng minh
rằng:
a.  BD=CD
b.  AD là trung trực của BC.
Xem lời giải tại:
/>90. Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho 
BC
BD = CE <
 . Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với BC cắt AB tại M, đường
2
thẳng kẻ từ E vuông góc với BC cắt AC tại N. Chứng minh rằng:
a.  DM=EN
b.  EM=DN
c.  Tam giác ADE là tam giác cân.
Xem lời giải tại:
/>91. Cho tam giác cân ABC có AB=AC, trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai
điểm D và E sao cho BD=CE.
a.  Chứng minh DE//BC.

b.  Từ D kẻ MD vuông góc với BC, từ E kẻ EN vuông góc với BC (M, N thuộc BC).
Chứng minh rằng DM=EN.
c.  Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân.
d.  Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I. Chứng


^
^
minh AI là tia phân giác chung của hai góc BAC; MAN
Xem lời giải tại:
/>92. Cho tam giác cân ABC có Aˆ = 45 0 , AB=AC. Từ trung điểm I của cạnh AC kẻ
đường vuông góc với AC cắt đường thẳng BC ở M. Trên tia đối của tia AM lấy
điểm N sao cho AN =BM. Chứng minh rằng:
^
^
a.  AMC = ABC
b.  ΔABM = ΔCAN
c.  ΔMNC là tam giác vuông cân ở C.
Xem lời giải tại:
/>93. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC
lấy điểm E sao cho AD=AE, các đường thẳng vuông góc kẻ từ A và E tới CD cắt
BC ở G và H. Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M. Đường thẳng kẻ
từ A song song với BC cắt MH tại I. Chứng minh rằng:
a.  ΔACD = ΔAME
b.  ΔAGB = ΔMIA
c.  BG=GH
Xem lời giải tại:
/>94. Cho tam giác ABC cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy
điểm E sao cho BD=CE. Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt AB ở M, từ E kẻ
đường vuông góc với BC cắt AC tại N.

a.  Chứng minh MD=NE
b.  MN cắt DE ở I. Chứng minh I là trung điểm của DE.
c.  Từ C kẻ đường vuông góc với AC, từ B kẻ đường vuông góc với AB chúng cắt
nhau ở O, chứng minh AO là đường trung trực của BC.
Xem lời giải tại:
/>95. Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm E, trên tia đối của tia AC


^
^
lấy điểm D, các tia phân giác của các góc ACB và AED cắt nhau ở F, 
^
^
^
^
^
^
^
^
BCM = C 1; MCA = C 2; AEN = E 1; NED = E 2 . Chứng minh rằng:
^
^
a.  Bˆ + C 1 = Fˆ + E 1
^
^
ˆ
ˆ
b.  D + E 2 = F + C 2
^
c.  EFC =

^
^
ABD + ADE
2

 .

Xem lời giải tại:
/>96. Cho tam giác ABC đường cao AH, gọi M là trung điểm của BC biết AH, AM
chia góc ở đỉnh A thành ba góc bằng nhau. Kẻ ME⊥AC(E ∈ AC). Từ E kẻ EI 
^
ˆ
(I ∈ MC) sao cho IEC = C.
a.  Chứng minh rằng ME =

1
2

MC

b.  Chứng minh: IE=IM
c.  Tính các góc của tam giác ABC
Xem lời giải tại:
/>97. Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên tia AC lấy lần lượt hai điểm D và E sao
cho AC=CD=DE. Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho A là trung điểm của
BH. Đường thẳng vuông góc với AB ở H, và đường thẳng vuông góc với AE ở C
cắt nhau ở K.
a.  Chứng minh tam giác BKE vuông cân ở K.
^

^
b.  Chứng minh ADB + AEB = 45 0
Xem lời giải tại:
/>98. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC, trên tia