CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

 

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH


HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại .
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®

QUAN HỆ GIỮA CẠNH, GÓC, ĐƯỜNG

QUAN HỆ GIỮA CẠNH, GÓC, ĐƯỜNG
VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN
QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC
1. Cho ΔABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. So sánh độ dài
của BD và CD.
 
Xem lời giải tại:
/>2. Cho ΔABC, AB < AC, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng:
^
^
a.  MAB > MAC
^
b.  Tia phân giác của BAC cắt BC tại một điểm nằm giữa B và M.
Xem lời giải tại:
/>3. Cho hình chữ nhật ABCD trên AB lấy điểm E sao cho AE = 2cm. Biết AB = 6cm,
EC = 5cm.
Hãy tính diện tích hình thang AECD.
 
Xem lời giải tại:
/>4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6cm, AD = 3cm. Lấy điểm E nằm trên đoạn
AB sao cho AE = 2cm. Hãy tính độ dài các đoạn DE và EC.
 
Xem lời giải tại:
/>5. Cho ΔABC vuông tại A, có AB = 6cm, BC = 10cm. Hãy tính diện tích của ΔABC.
 
Xem lời giải tại:


/>

6. Cho ΔABC, lấy M là trung điểm của cạnh BC, nối AM. Chứng minh rằng:
^
a.  Nếu AM > BM thì góc BAC là góc nhọn.
^
b.  Nếu AM = BM thì góc BAC là góc vuông.
^
c.  Nếu AM < BM thì góc BAC là góc tù.
Xem lời giải tại:
/>7. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6cm, AD = 3cm. Điểm E nằm trên AB. Kẻ 
EF⊥DC (F ∈ DC) 
Chứng minh rằng tổng diện tích ΔAED và ΔEFC không đổi khi E di chuyển trên
cạnh AB
 
Xem lời giải tại:
/>8. Cho ΔABC. Gọi E, D lần lượt là trung điểm của BC, AC và AE ⊥ BD. Chứng
minh BC < 2AC.
 
Xem lời giải tại:
/>9. Cho ΔABC đều. Lấy M là trung điểm cạnh BC.Trên cạnh AB lấy điểm D, tia DM
cắt AC tại E. Chứng minh rằng MD < ME.
 
Xem lời giải tại:
/>^
0
ˆ
10. Cho ΔABC cân tại A, A = 110 . Trên cạnh BC lấy điểm D, biết ADC = 105 0.
Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Chứng minh rằng:
a.  AE < CA = CE.

b.  EC < BC < BE.
Xem lời giải tại:
/>11. Cho ΔABC cân tại A. Trên cạnh đáy BC lấy các điểm D, E sao cho 
^
^
BD = DE = EC. Chứng minh rằng: BAD < DAE.
 
Xem lời giải tại:
/>12. Cho ΔABC nhọn. Gọi AH là đường cao lớn nhất trong các đường cao của tam
giác đó. BE là trung tuyến và BE = AH.
a.  Chứng minh Bˆ ≤ 60 0.
b.  Với điều kiện nào của tam giác thì Bˆ = 60 0.
Xem lời giải tại:
/>13. Cho ΔABC. Trên tia đối của các tia CB, AC, BA lần lượt lấy các điểm A', B', C'
sao cho CA ′ = AB ′ = BC ′ . Chứng minh rằng nếu ΔA ′ B ′ C ′  đều thì ΔABC cũng là
tam giác đều.
 
Xem lời giải tại:
/>
QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC, ĐƯỜNG XIÊN VÀ
HÌNH CHIẾU
ˆ
14. Cho ΔABC có Bˆ < C , đường cao AH. Lấy điểm M bất kì trên AH. 
Chứng minh: CM < BM.
 
Xem lời giải tại:
/>15. Cho O là điểm nằm trong ΔABC. Biết AO = AC. CMR: ΔABC không thể cân tại
A.
 

Xem lời giải tại:
/>16. Cho Δ ABC cân tại A. Kẻ BE ⊥ AC. Biết AE = 3 cm; BE = 4 cm.
a.  Tính độ dài EC theo cm.
b.  So sánh AC và BC.
Xem lời giải tại:
/>17. Cho Δ ABC nhọn, kẻ BD và CE lần lượt là các đường vuông góc với AC và AB (
E ∈ AB; D ∈ AC). Chứng minh rằng: BD + CE < AC + AB.
 
Xem lời giải tại:
/>18. Cho ΔABC, các góc B và C nhọn. Điểm M nằm giữa B và C. Gọi d là tổng
khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AM.
a.  Chứng minh rằng d ≤ BC.
b.  Xác định vị trí điểm M trên BC sao cho d có giá trị lớn nhất.
Xem lời giải tại:
/>19. Cho ΔABC, M là điểm nằm trong tam giác. Gọi E, D, F lần lượt là các chân
đường vuông góc kẻ từ M tới AB, BC, AC. 
Chứng minh rằng: AM + BM + CM > ME + MF + MD.
 
Xem lời giải tại:
/>20. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB > AC. Qua trung điểm I của cạnh huyền
BC ta kẻ một đường thẳng vuông góc với BC, đường này cắt cạnh AB tại D. Gọi M
là một điểm thuộc đoạn BD.
Chứng minh DB ≤ CM.
 
Xem lời giải tại:
/>21. Cho ΔABC cân tại A. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh BC. Chứng minh rằng khi


M thay đổi vị trí trên cạnh BC thì tổng khoảng cách từ M đến hai cạnh bên AB và

AC không đổi.
 
Xem lời giải tại:
/>22. Cho Δ ABC cân tại A, trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho 
AM = AN. Chứng minh rằng
a.  Các hình chiếu của BM và CN trên cạnh BC là bằng nhau.
b.  BN >

BC + MN
2

⋅

Xem lời giải tại:
/>23. Cho ΔABC vuông tại B, phân giác AD. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc
với BC cắt tia AD tại E. Chứng minh rằng: chu vi ΔECD lớn hơn chu vi ΔABD.
 
Xem lời giải tại:
/>24. Cho ΔABC, đường cao AH. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AH. 
Tia BM cắt cạnh AC tại D. Biết AB < AC. Chứng minh rằng: MD < HD
 
Xem lời giải tại:
/>^
0
ˆ
25. ΔABC vuông tại A có B = 54 . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DBC = 18 0.
Chứng minh rằng BD < AC.
 
Xem lời giải tại:
/>26. Cho ΔABC vuông tại C, kẻ CH⊥AB (H ∈ AB). 

Trên các cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho BM = BC và CN = CH. 
Chứng minh rằng:
a.  MN⊥AC.


b.  AC + BC < AB + CH.
Xem lời giải tại:
/>
BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
27. Ba thành phố A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, trong đó 
AC = 40km, AB = 80km.
a.  Nếu đặt ở B máy phát sóng truyền hình có bán kính hoạt động bằng 40 km
thì ở C có nhận được tín hiệu không? vì sao?
b.  Nếu đặt ở B máy phát sóng truyền hình có bán kính hoạt động bằng 120 km
thì ở C có nhận được tín hiệu không? vì sao?
Xem lời giải tại:
/>28. Có thể tồn tại tam giác nào mà độ dài ba cạnh như sau hay không:
a.  5 cm; 10 cm; 12 cm?
b.  1 m; 2 m; 3,3 m?
c.  1,2 m; 1 m; 2,2 m?
Xem lời giải tại:
/>29. Cho hai điểm A và B nằm về 2 phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc d
sao cho AC + BC là nhỏ nhất.
 
Xem lời giải tại:
/>30. Tính chu vi tam giác cân ABC theo cm, biết:
a.  AB = 8 cm; AC = 5 cm.
b.  AB = 25 cm; AC = 12 cm.
Xem lời giải tại:
/>31. Cho hình vẽ, chứng minh rằng: MA + MB < IA + IB < CA + CB.

 
Xem lời giải tại:
/>32. Cho tam giác ABC và D nằm trên cạnh BC. Chứng minh rằng: AD nhỏ hơn
nửa chu vi tam giác ABC.
 
Xem lời giải tại:
/>33. Trong tam giác ABC, điểm M nằm bên trong tam giác. Chứng minh:
AB + AC + BC
AM + BM + CM >
2
 
Xem lời giải tại:
/>34. Cho ΔABC có AB > AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Gọi I là một điểm
nằm giữa A và D. 
Chứng minh: AB– AC > IB– IC.
 
Xem lời giải tại:
/>35. Cho ΔABC gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: AM <
 
Xem lời giải tại:
/>36. Cho ΔABC điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng:
AB + AC − BC
< AD
2

AB + AC
2

 
Xem lời giải tại:
/>37. Cho O là một điểm nằm trong ΔABC. Chứng minh rằng:
AB + BC + CA
< OA + OB + OC < AB + BC + CA.
2
 
Xem lời giải tại:
/>38. Cho hai điểm phân biệt A, B không thuộc đường thẳng d. 
Xác định vị trí điểm M trên d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
 
Xem lời giải tại:
/>39. Cho ΔABC điểm M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng:
AB + AC − BC
AB + AC
< AM <
.
2
2
 
Xem lời giải tại:
/>
CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC


CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
40. Cho Δ ABC cân tại A, đường trung tuyến AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm
D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = BC. Đường

thẳng AB cắt DE tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của DE.
 
Xem lời giải tại:
/>41. Cho Δ ABC có trọng tâm G và đường trung tuyến AD. Kéo dài GD thêm một
đoạn DI = DG. Gọi E là trung điểm của AB. IE cắt BG tại M. Chứng minh M là
trọng tâm của Δ ABI.
 
Xem lời giải tại:
/>42. Cho Δ ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng
AB + AC − BC
< AM
2
 
Xem lời giải tại:
/>43. Cho Δ ABC vuông tại A, AB = 5, AC = 12. Ba đường trung tuyến AD, BE, CF
gặp nhau tại G. Hãy so sánh GA, GB, GC.
 
Xem lời giải tại:
/>44. Cho ΔABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Chứng minh
rằng:
a.  BD + CE >

3
2

BC.


b.  BD <

AB + BC
2

Xem lời giải tại:
/>45. Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam
giác đó là tam giác cân.
 
Xem lời giải tại:
/>46. Cho ΔABC, hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại G. Cho 
BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 = 5c 2.
 
Xem lời giải tại:
/>47. ΔABC có ba đường trung tuyến AA', BB', CC'. Chứng minh rằng:
3
AA ′ + BB ′ + CC ′ > (AB + BC + CA).
4
 
Xem lời giải tại:
/>48. ΔABC có trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền. Chứng minh rằng Δ ABC
vuông tại A.
 
Xem lời giải tại:
/>49. Cho Δ ABC có các đường trung tuyến AD = 12 cm, BE = 9 cm, CF = 15 cm.
Tính độ dài cạnh BC theo cm (làm tròn đến số thập phân thứ 2).
 
Xem lời giải tại:
/>50. Cho ΔABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho 


^

^
^
^
DAE = ABD. Chứng minh rằng DAE = ECB.
 
Xem lời giải tại:
/>51. Cho ΔABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Từ F kẻ đường thẳng song
song với AD cắt ED tại I.
a.  Chứng minh rằng IC // BE và IC = BE.
b.  Cho biết AD ⊥ BE, chứng minh ΔICF là tam giác vuông và chu vi của tam giác
này bằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của ΔABC.
Xem lời giải tại:
/>
ĐƯƠNG PHÂN GIÁC
52. Cho Δ ABC, hai đường phân giác BD và CE của tam giác đó cắt nhau tại O. Tia
AO cắt BC tại M. Tam giác ABC phải có điều kiện gì để AM⊥BC.
 
Xem lời giải tại:
/>ˆ
53. Cho Δ ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng m // BC. Tia phân giác của B cắt
đường thẳng m tại M. Chứng minh rằng:
a.  Đường thẳng AM là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của Δ ABC.
b.  Đường thẳng CM là đường phân giác ngoài tại đỉnh C của Δ ABC.
Xem lời giải tại:
/>54. Cho ΔABC vuông tại A. I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của
tam giác. Gọi r là khoảng cách từ I đến ba cạnh của ΔABC. Chứng minh rằng: 
AB + AC − BC = 2r.
 
Xem lời giải tại:
/>^

ˆ
55. Cho Δ ABC có đường cao AH, đường phân giác BD. Biết: B = ADB = 45 0.


Chứng minh rằng HD // AB.
 
Xem lời giải tại:
/>ˆ
ˆ
56. Cho Δ ABC. Gọi I là giao điểm hai phân giác của hai A và 
B. Qua I kẻ đường
thẳng song song với BC, cắt AB ở M, cắt AC ở N. Chứng minh rằng: 
MN = BM + CN.
 
Xem lời giải tại:
/>57. Cho Δ ABC cân tại A, đường phân giác CF. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 
AE = AF. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BE,
CF đồng quy.
 
Xem lời giải tại:
/>58. Cho Δ ABC, Aˆ = 120 0, đường phân giác AD. Tia phân giác của góc ADC cắt AC
tại I và cắt đường thẳng AB tại K. Gọi tia Cx là tia đối của tia CB. Chứng minh
rằng:
a.  Tia BI là tia phân giác của góc B.
b.  Tia CK là tia phân giác của góc ACx.
Xem lời giải tại:
/>59. Cho Δ ABC vuông tại A. Kẻ AH⊥BC( H  ∈  BC ). Các tia phân giác của các 
^
^
^

HAC và AHC cắt nhau ở I. Tia phân giác của HAB cắt BC ở D. Chứng minh rằng:
CI đi qua trung điểm của AD.
 
Xem lời giải tại:
/>^
60. Cho góc nhọn xOy và điểm A nằm trên tia phân giác của góc đó. Điểm B


^
thuộc tia Ox sao cho OAB = 45 0, gọi H là hình chiếu của B lên Oy.
^
a.  Chứng minh rằng HA là tia phân giác của gócBHy.
^
b.  Tính số đo góc OHA
Xem lời giải tại:
/>61. Cho Δ ABC vuông tại A. Vẽ Δ MBC vuông cân ở M sao cho M và A thuộc hai
nửa mặt phẳng đối nhau. Chứng minh rằng:
a.  Điểm M cách đều hai cạnh AB và AC.
b.  Tia AM là tia phân giác của góc A.
Xem lời giải tại:
/>ˆ = 90 0. Vẽ đường phân giác AM của tam giác đó.
62. Cho Δ ABC, Bˆ − C
a.  Tính số đo của góc AMB.
b.  Vẽ đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại
N. Chứng minh rằng AM = AN.
Xem lời giải tại:
/>63. Cho Δ ABC có các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I và ID = IE. CMR: 
ˆ
ˆ = 120 0.
Bˆ = C hoặc 

Bˆ + C
 
Xem lời giải tại:
/>64. Cho Δ ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MH ⊥ AB. Gọi E là một điểm
^
^
thuộc đoạn AH. Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AEF = 2EMH. Chứng minh
^
rằng FM là tia phân giác của EFC.
 


Xem lời giải tại:
/>
ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, ĐƯỜNG CAO
65. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng:
2
HA + HB + HC < (AB + BC + CA).
3
 
Xem lời giải tại:
/>66. Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy, B và C lần lượt là hai điểm di động trên
Ox và Oy. Tìm vị trí của B và C để chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất.
 
Xem lời giải tại:
/>67. Cho Δ ABC có Bˆ > 90 0. Gọi d là đường trung trực của BC, O là giao điểm của
AB và d. Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA. 
Chứng minh rằng: d là đường trung trực của AE.
 
Xem lời giải tại:

/>68. Chứng minh trong một tam giác vuông giao điểm của ba đường trung trực
của ba cạnh chính là trung điểm của cạnh huyền.
 
Xem lời giải tại:
/>69. Cho Δ ABC vuông cân tại B. Trên cạnh AB lấy điểm H, trên tia đối của tia BC
lấy điểm D sao cho BD = BH. Chứng minh rằng:
a.  DH⊥AC.
b.  CH⊥AD.


Xem lời giải tại:
/>70. Cho Δ ABC, Aˆ = 30 0, hai đường cao BH, CK (H ∈ AC, K ∈ AB). Gọi E và F lần
lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh:
a.  Δ BEH và Δ CKF là các tam giác đều.
b.  HE⊥KF.
Xem lời giải tại:
/>71. Cho ΔABC và đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của ba
đường phân giác của ΔABK trùng với giao điểm ba đường trung trực của ΔABC.
Tính số đo các góc của ΔABC.
 
Xem lời giải tại:
/>72. Chứng minh rằng trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm và giao điểm
của các đường trung trực của một tam giác cùng nằm trên một đường thẳng.
 
Xem lời giải tại:
/>73. Cho ΔABC. Hai điểm M và N theo thứ tự di chuyển trên hai tia BA và CA sao
cho BM + CN = BC. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một
điểm cố định.
 
Xem lời giải tại:

/>74. Cho Δ ABC cân tại A, Aˆ = 45 0. Vẽ đường phân giác AD. Đường trung trực của
AB cắt AC tại M. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho BN = CM. Chứng minh rằng
ba đường thẳng AD, BM và CN đồng quy.
 
Xem lời giải tại:
/>

^
75. Cho xOy = 50 0 và điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B sao cho Ox là trung
trực của AB, vẽ điểm C sao cho Oy là trung trực của AC.
a.  Chứng minh Δ BOC cân ở O.
b.  Tính số đo góc BOC.
Xem lời giải tại:
/>76. Cho góc nhọn aOb và một điểm M nằm trong góc ấy. Từ M kẻ MA ⊥ Oa và
MB ⊥ Ob. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng OM và P là trung điểm của đoạn
thẳng AB. Chứng minh CP là trung trực của cạnh AB của tam giác ACB.
 
Xem lời giải tại:
/>77. Cho ΔABC nhọn, AB < AC và đường cao AH.
^
^
a.  Chứng minh BAH < HAC.
b.  Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. CM: Δ ABD là tam giác cân.
c.  Từ D kẻ DE⊥AC, từ C kẻ CF⊥AD. CMR: ba đường thẳng AH, DE, CF cùng đi
qua một điểm.
Xem lời giải tại:
/>78. Cho Δ ABC ( AB < AC ). Vẽ đường trung trực m của cạnh BC. Gọi M là một
điểm bất kì trên đường thẳng m. Hãy xác định vi trí của M để chu vi tam giác
AMB nhỏ nhất.
 

Xem lời giải tại:
/>79. Cho H là trực tâm của Δ ABC. CMR: HA + HB + HC < AB + AC.
 
Xem lời giải tại:
/>80. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là trung điểm của BC, E là trung


điểm của HC, F là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: CF⊥AD; BF⊥AE
 
Xem lời giải tại:
/>81. Cho ΔABC cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực của đoạn
thẳng AC cắt đường thẳng BC tại M. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho
AN = BM. 
a.  ΔCMN là tam giác gì? Vì sao?
b.  ΔABC cho trước phải có điều kiện gì CM ⊥ CN?
Xem lời giải tại:
/>
BÀI TẬP TỔNG HỢP


BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI TẬP TỔNG HỢP CƠ BẢN
82. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ phân giác BD của góc B, kẻ AI⊥BD, AI cắt
BC tại E.
a.  Chứng minh BE = BA.
b.  Chứng minh tam giác BED là tam giác vuông.
c.  Đường thẳng DE cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh AE // FC.
Xem lời giải tại:
/>83. Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a.  Tính BC

^
^
b.  Trung trực của BC cắt AC tại D và cắt AB tại F. Chứng minh rằng DBC = DCB
c.  Tên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho DE = DC chứng minh tam giác BCE
^
vuông. Suy ra FD là phân giác của ADE
d.  Chứng minh rằng BE⊥FC.
Xem lời giải tại:
/>84. Cho tam giác ABC biết AC < AB, vẽ trung tuyến AM.
a.  So sánh các góc ABC và ACB
^
^
b.  Chứng minh rằng BAM < CAM
c.  Chứng minh rằng điểm D, chân của đường phân giác AD nằm giữa trung
điểm M của cạnh BC và điểm H (chân đường cao kẻ từ đỉnh A).
Xem lời giải tại:
/>85. Cho tam giác ABC, phân giác trong của góc B cắt phân giác trong của góc C
tại điểm I. Phân giác ngoài của góc B cắt phân giác ngoài của góc C tại điểm J. Tia
phân giác trong của góc B cắt tia phân giác ngoài của góc C tại điểm K.


a.  Chứng minh rằng BI⊥BJ; CI⊥CJ.
^
^
^
b.  Tính các góc BIC; BJC; BKC theo góc A.
c.  Áp dụng, tính các góc trên với Aˆ = 70 0
d.  Chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
/>86. Cho tam giác ABC, kẻ phân giác BD. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với BD, cắt BD

ở E và BC ở F. Gọi M, N là các trung điểm của các cạnh AB, AC.
a.  Chứng minh rằng AB=BF
b.  Chứng minh ME//BC
c.  Chứng minh ba điểm M, E, N thẳng hàng.
d.  Gọi J là trung điểm của đoạn thẳng BF. Chứng minh ba đường thẳng AJ, BE, và
FM đồng quy.
Xem lời giải tại:
/>87. Cho tam giác ABC; AD và AH theo thứ tự là phân giác và đường cao kẻ từ
đỉnh A. Chứng minh rằng nếu AC < AB thì 
^
^
a.  ADC < ADB
b.  CD < BD
c.  Điểm H nằm trên tia DC
Xem lời giải tại:
/>88. Cho tam giác ABC, AB < BC; AC < BC. Trên cạnh BC có hai điểm D, E sao cho
BD=AB; CE=AC, kẻ BK⊥AD , BK cắt AE ở điểm N, kẻ CP⊥AE , CP cắt AD ở điểm
F. 
a.  BK giao CP tại I. Chứng minh AI là phân giác của góc BAC.
b.  Chứng minh AI⊥FN
c.  Cho biết AB=7(cm); AC=5(cm); BC=8(cm). Hãy tính độ dài KP theo (cm).
Xem lời giải tại:
/>

89. Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C vẽ tia 
Ax⊥AB và lấy trên đó một điểm E sao cho AE=AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC,
không chứa điểm B, vẽ tia Ay⊥AC và lấy trên đó một điểm F sao cho AF=AC. Gọi
D là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm A’ sao cho A’D=AD
^
^

′
a.  Chứng minh rằng ACA = FAE
b.  Chứng minh EF=2AD
c.  Chứng minh AD⊥EF
d.  Qua E kẻ đường thẳng song song với Ay và qua F kẻ đường thẳng song song
với Ax. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ba điểm A, I,
trung điểm K của EF thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
/>90. Từ các trung điểm I, K, L của cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC, ta kẻ các
đường trung trực, và trên các đường trung trực ấy, về phía ngoài của tam giác
1
1
1
theo thứ tự ta lấy các điểm M, N, P sao cho IM = AB; KN = AC; LP = BC.
2
2
2
a.  Chứng minh MK=KP và MK⊥KP
b.  Chứng minh MC=NP
c.  Chứng minh MC⊥NP
d.  Chứng minh ba đường thẳng AP, BN, MC đồng quy.
Xem lời giải tại:
/>91. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, phân giác trong tại đỉnh B cắt cạnh
AC tại điểm D. từ D ta kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Tia ED và tia BA cắt
nhau tại điểm F.
a.  So sánh DA và DC
b.  Chứng minh BD⊥FC
c.  Chứng minh BC=BF
d.  Chứng minh AE//FC
Xem lời giải tại:

/>

92. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh C. Kẻ đường cao CH, lấy điểm M trên
AB và lấy điểm N trên AC sao cho BM=BC, CN=CH.
a.  Chứng minh MN⊥AC
b.  Từ kết quả trên suy ra mệnh đề “ Trong một tam giác vuông, tổng hai cạnh
góc vuông bé hơn tổng của cạnh huyền và đường cao tương ứng với cạnh
huyền”
Xem lời giải tại:
/>93. Cho đoạn thẳng AB, từ A và B trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB, ta kẻ các tia
Ax, By cùng vuông góc với AB, gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, và C là
một điểm bất kỳ nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, chứa các tia Ax, By
sao cho OC=OA, đường vuông góc với OC kẻ qua điểm C cắt Ax ở P và cắt By ở Q.
Chứng minh rằng:
a.  PQ = AP + BQ
b.  Tam giác POQ là tam giác vuông.
c.  Tam giác ACB là tam giác vuông.
d.  AC//OQ và BC//OP
Xem lời giải tại:
/>94. Cho hai góc xOy và yOz kề nhau và bằng nhau, kẻ tia phân giác Om của góc
xOy và On của góc yOz lấy trên các tia Ox, Om, Oy, On, Oz theo thứ tự các điểm A,
B, C, D, E sao cho OA = OB = OC = OD = OE.
a.  So sánh các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE
b.  So sánh các góc BAC và DCE
c.  So sánh các đoạn thẳng AD và BE
d.  Chứng minh rằng OD⊥EC; OB⊥AC
Xem lời giải tại:
/>95. Cho tam giác vuông cân ABC, đỉnh A. Cạnh góc vuông AB=AC =a, trên tia AB
lấy điểm D mà AD=2a và điểm E mà AE=3a. Trên tia CA lấy điểm F sao cho
AF=2a. Kẻ tia Bx⊥AB (trong nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C) Bx cắt

đường thẳng vuông góc với CF kẻ qua F tại điểm G. Chứng minh rằng:


^
^
a.  CGB = CEA
b.  Tam giác CDG là tam giác vuông cân
^
^
^
c.  ABC = ADC + AEC
Xem lời giải tại:
/>96. Cho tam giác ABC, cân tại A, đường cao AH, biết AB=5cm, BC=6cm.
a.  Tính độ dài đoạn thẳng BH và AH.
b.  Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng
hàng.
^
^
c.  Chứng minh rằng ABG = ACG.
Xem lời giải tại:
/>97. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH, trên đáy BC lấy điểm M, vẽ 
MD⊥AB; ME⊥AC; MF⊥BH .
a.  Chứng minh rằng ME=FH
b.  Chứng minh tam giác ΔDBM = ΔFMB
c.  Chứng minh khi M chạy trên BC thì tổng MD+ME có giá trị không đổi
d.  Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho KC=EH. Chứng minh rằng: trung
điểm của KD nằm trên cạnh BC
Xem lời giải tại:
/>98. Cho tam giác ABC, gọi E, F theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AC.
Trên tia đối của FB ta lấy điểm P sao cho PF=BF. Trên tia đối của tia EC, ta lấy

điểm Q sao cho QE=CE.
a.  Chứng minh AP=AQ
b.  Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng
c.  Chứng minh BQ//AC và CP//AB
d.  Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB, chứng minh rằng 
Chu vi của tam giác PQR bằng hai lần chu vi của tam giác ABC.
e.  Chứng minh ba đường thẳng AR, PB, CQ đồng quy.


Xem lời giải tại:
/>99. Cho hai đường thẳng p và p’ song song với nhau. Một đường thẳng q cắt p và
p’ lần lượt tại các điểm A, B. Một đường thẳng q’//q cắt p và p’ lần lượt tại các
điểm D, C.
a.  Chứng minh AD=BC; AB=DC.
b.  Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh O là trung điểm của AC, đồng
thời cũng là trung điểm của BD.
c.  Một điểm M thuộc đoạn AD và một điểm P thuộc đoạn BC sao cho AM=CP.
Chứng minh điểm O là trung điểm của đoạn thẳng MP.
d.  Một đường thẳng đi qua O, cắt đoạn thẳng AB tại điểm Q và cắt đoạn thẳng
DC tại điểm N. Chứng minh MN//PQ và MQ//NP.
Xem lời giải tại:
/>100. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ 
HI⊥AB; HK⊥AC.
a.  Chứng minh rằng HI⊥HK
b.  Chứng minh IK=AH
c.  Gọi O là giao điểm của AH và IK, chứng minh OI=OK=OA=OH
d.  Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh AM⊥KI
Xem lời giải tại:
/>
(

)

101. Cho tam giác ABC, cân tại A  Aˆ < 90 0 . Hai đường cao BD và CE cắt nhau
tại H, tia AH cắt BC tại I.
a.  Chứng minh rằng: ΔABD = ΔACE
b.  Chứng minh I là trung điểm của BC.
c.  Từ C kẻ đường thẳng d vuông góc với AC, d cắt đường thẳng AH tại F. 
^
Chứng minh rằng CB là tia phân giác của FCH.
^
d.  Giả sử BAC = 60 0 và AB = 4 cm. Tính khoảng cách từ B đến đường thẳng CF.