Công thức nghiệm phương trình bậc 3

V
VN
NC
CA
ASSIIO
Oe
err TTe
ea
am
m

RRe
esse
ea
arrc
chh b
byy A
Ad
dm
miinn

Công thức nghiệm phương trình bậc 3
ax 3  bx 2  cx  d  0
Đặt y  x 

b
, đưa PT về dạng y 3  py  q  0 . Đến đây có 2 cách làm:
3a

 Cách 1: Áp dụng CT Cardano – Tartaglia. Đặt u 
nghiệm thực x 

3

q
q 2 p3


ta thu được
2
4 27

p
b
u 
3u
3a

 Cách 2: Lượng giác hóa. Đặt tiếp y  kt ( k  0 ), PT trở thành
k2 p
 , ngược lại p  0 thì
k t  pkt  q  0 . Nếu p  0 ta chọn k sao cho
4 3
3 3

k2
p
  , đưa PT về dạng 4t 3  3t  q ' . Đến đây xảy ra 2 trường hợp:
4
3

+ TH1. Với 4t 3  3t  q ' , nếu q '  1 ta đặt t  cos  , PT chuyển về dạng lượng
giác cos3  q ' . Còn ngược lại, ta giải PT r 6  2q ' r 3  1  0 tìm r, khi đó ta thu
1
1
được nghiệm t   r   là nghiệm duy nhất.
2
r

+ TH2. Với 4t 3  3t  q ' , ta chỉ có thể tìm r thông qua PT r 6  2q ' r 3  1  0 , khi
1
1
đó t   r   cũng là nghiệm duy nhất.
2
r

Sau đây là công thức nghiệm dạng lượng giác tổng quát cho mọi trường hợp:
Đầu tiên, đặt   b 2  3ac và k 

9abc  2b3  27 a 2 d
2 

3

, ta được:

vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm


V
VN

NC
CA
ASSIIO
Oe
err TTe
ea
am
m

RRe
esse
ea
arrc
chh b
byy A
Ad
dm
miinn

 Nếu   0 :
2  cos

1) Với k  1 , PT có 3 nghiệm: x1 
 arccos k 2
2  cos 

3
3

x23 

3a

arccos k
b
3
,
3a


b


2) Với k  1, PT có 1 nghiệm duy nhất:
x

k 3
 b
2
2
3
 k  k 1  k  k 1  
3ak 
 3a
b  3 b3  27a 2 d
3a



Nếu   0 , PT có 1 nghiệm bội: x 



Nếu   0 , PT có 1 nghiệm duy nhất:
x

 3
 b
3
2
2
 k  k 1  k  k 1  
3a 
 3a

 Nguồn: Wikipedia.

vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm