Mở rộng đơn cực dirac và yang cho không gian chín chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thành Sơn

MỞ RỘNG ĐƠN CỰC DIRAC VÀ YANG
CHO KHÔNG GIAN CHÍN CHIỀU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thành Sơn

MỞ RỘNG ĐƠN CỰC DIRAC VÀ YANG
CHO KHÔNG GIAN CHÍN CHIỀU

Chuyên Ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 62 44 01 01

Phản biện 1: GS.TS. Nguyễn Ngọc Giao
Phản biện 2: PGS.TS. Hồ Trung Dũng
Phản biện 3: TS. Võ Văn Ớn
Phản biện độc lập 1: GS.TS. Nguyễn Ngọc Giao
Phản biện độc lập 2: GS.TS. Hoàng Ngọc Long

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TSKH. LÊ VĂN HOÀNG

TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2015


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến thầy hướng dẫn PGS. TSKH. Lê Văn Hoàng.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thầy đã hết sức tận tình hướng dẫn, chỉ bảo,
động viên và cả nhắc nhở để tôi có thể hoàn thành luận án này.
Tôi xin cảm ơn tất cả thầy, cô trong bộ môn Vật lý lý thuyết, trường Đại học
Khoa học tự nhiên TP. HCM đã truyền thụ những kiến thức khoa học trong suốt quá
trình tôi tham gia học tập tại bộ môn.
Tôi xin cảm ơn Khoa Khoa học cơ bản, trường Đại học Kiến trúc TP. HCM
đã tạo thuận lợi về công việc và thời gian để tôi có thời gian tập trung nghiên cứu
hoàn thành luận án.
Xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong nhóm nghiên cứu của thầy Lê Văn
Hoàng, các đồng nghiệp - những người luôn bên tôi, hỗ trợ tôi rất nhiều trong suốt
khóa học và trong quá trình làm luận văn.
Xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo sau đại học – Trường Đại học Khoa
học tự nhiên TP. HCM đã tận tình hướng dẫn, hỗ trợ mọi thủ tục trong suốt thời gian
tôi học tập và nghiên cứu.
Cảm ơn gia đình đã luôn ở bên tôi để động viên giúp tôi vững tin học tập và
nghiên cứu.

Nguyễn Thành Sơn


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả

trong luận án là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào mà tôi
không tham gia.
Tác giả

Nguyễn Thành Sơn


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT:
CERN:

Trung tâm nghiên cứu nguyên tử Châu Âu
(Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire)

LHC:

Máy gia tốc hạt lớn (Large Hadron Collider)

RHIC:

Máy gia tốc Ion nặng tương đối tính
(Relativistic Heavy Ion Collider)

MICZ-Kepler: Bài toán chuyển động của electron trong trường Coulomb và
trường đơn cực từ được ba nhà khoa học McIntosh, Cisneros và
Zwanziger đưa ra như một dạng mở rộng của bài toán Kepler.


MỤC LỤC ................................................................................................. Trang

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Danh mục các chữ viết tắt
Mục lục........................................................................................................................ 1
Mở đầu ....................................................................................................................... 3
Chương 1: Đơn cực từ và phép biến đổi Hurwitz ............................................... 10
1.1. Đơn cực từ .......................................................................................................... 10
1.1.1. Tổng quan về đơn cực từ .......................................................................... 10
1.1.2. Đơn cực từ Dirac ...................................................................................... 16
1.1.3. Đơn cực trong không gian nhiều chiều ..................................................... 18
1.2. Định lý Hurwitz.................................................................................................. 20
1.3. Các phép biến đổi Hurwitz và mối quan hệ với đơn cực ................................... 21
1.3.1. Phép biến đổi Levi-Civita .......................................................................... 22
1.3.2. Phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel ......................................................... 24
1.3.3. Phép biến đổi Davtyan .............................................................................. 26
1.3.4. Phép biến đổi Hurwitz mở rộng ................................................................ 29
Chương 2: Đơn cực SO(8) trong không gian chín chiều ..................................... 30
2.1. Biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz mở rộng............................................ 31
2.2. Mối liên hệ giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và nguyên tử hydro 9 chiều ... 34
2.3. Thế đơn cực SO(8) trong không gian chín chiều .................................................... 36
Chương 3: Lời giải giải tích chính xác cho bài toán MICZ-Kepler chín chiều. 46
3.1. Bài toán MICZ-Kepler chín chiều ..................................................................... 47
1


3.2. Hàm sóng của bài toán MICZ-Kepler chín chiều .............................................. 50
3.2.1. Thành phần hàm sóng theo nhóm các góc ( ,  ) ...................................... 50
3.2.2. Thành phần hàm sóng theo góc  ............................................................. 55
3.2.3. Thành phần hàm sóng theo bán kính r .................................................... 57
3.3. Năng lượng của bài toán MICZ-Kepler chín chiều ............................................ 59

3.3.1. Biểu thức năng lượng ................................................................................ 59
3.3.2. Bậc suy biến............................................................................................... 60
Kết luận .................................................................................................................... 63
Hướng phát triển ....................................................................................................... 64
Danh mục các công trình công bố ............................................................................. 65
Tài liệu tham khảo ..................................................................................................... 66
Phụ lục: Các tính toán tường minh............................................................................ 76
A1. Phép biến đổi ngược ........................................................................................... 76
A2. Tính đạo hàm các góc theo us , vs ....................................................................... 78
A3. Tính toán dẫn đến biểu thức (2.10) ................................................................... 81
A4. Tính toán dẫn đến biểu thức (2.14) ................................................................... 83
A5. Hệ toán tử Lˆij trong hệ tọa độ cầu .................................................................... 109
A6. Giải phương trình siêu bội dạng (3.18) ............................................................ 112
A7. Hệ số Clebsch-Gordan ..................................................................................... 116

2


Mở đầu

1.

Trường điện từ được mô tả thông qua hệ các phương trình Maxwell. Bằng

phép biến đổi đối ngẫu, điện trường biến thiên có thể sinh ra từ trường và ngược lại.
Tuy nhiên, nguồn sinh ra hai trường này không tuân theo quy luật tương tự nhau.
Điện trường có nguồn là điện tích còn từ trường không có nguồn phát tường minh
(thông lượng từ đi qua mặt kín bất kỳ luôn bằng không). Điều này làm mất đi tính đối
ngẫu của điện-từ.
Dirac là người đầu tiên giải quyết vấn đề này về mặt lý thuyết. Năm 1931,

Dirac đã đưa “từ tích” vào công trình của mình và kết luận sự lượng tử hóa của từ
tích liên quan chặt chẽ với sự lượng tử của điện tích thông qua phương trình lượng tử
hóa Dirac [25]. Tương tự như trường tĩnh điện, từ trường do từ tích gây ra có tính
chất: (i) thông lượng từ xuyên qua mặt kín là khác không và (ii) trường có đối xứng
cầu O(3).
Dựa trên tính chất cơ bản của đơn cực từ Dirac, năm 1978, Yang đã mở rộng
đơn cực Dirac cho không gian 5 chiều qua mô hình tương tác giữa trường gauge
SU(2) với hạt có isospin [95]. Tính chất cơ bản của trường đơn cực Yang là: (i) thông
lượng trường qua một mặt kín trong không gian 5 chiều chứa đơn cực là khác không
và (ii) trường có đối xứng cầu O(5). Chúng ta sẽ gọi một đơn cực là mở rộng của đơn
cực Dirac và đơn cực Yang nếu như nó có các tính chất tương tự như trên. Với kết
quả của Yang, mở rộng đơn cực từ cho không gian nhiều chiều là một nhu cầu tự
nhiên và đã được tiến hành trong một số công trình [59, 93].

3


Một điều đặc biệt mà nhiều công trình đã nghiên cứu đó là đơn cực Dirac,
Yang và mở rộng của nó có liên hệ mật thiết với phân thớ không gian Hopf [102-103]
trong lý thuyết Tô-pô và sự tồn tại của các bộ số trong đại số học [101]. Năm 1935,
Hopf khẳng định chỉ tồn tại 4 trường hợp phân thớ không gian là

(0th ) : S 1  S 1 ,

S
S
S
(1st ) : S 3 
 S 2 , (2nd ) : S 7 
 S 4 và (3rd ) : S 15 

 S 8 . Sau đó, năm 1980, đơn cực
1

7

3

Dirac-U(1), Yang-SU(2) đã được xây dựng từ phân thớ Hopf thứ nhất [85, 54] và
phân thớ Hopf thứ hai [55]. Đơn cực trong không gian 9 chiều cũng được đề xuất [28,
11] ứng trường hợp cuối cùng của phân thớ Hopf. Một hướng tiếp cận khác, trong
đại số học, năm 1898, Hurwitz đã chứng minh và khẳng định chỉ tồn tại bốn bộ số
trong đại số chia chuẩn hóa là số thực, số phức, số siêu phức bội 4 (quarternion) và
số siêu phức bội 8 (octonion) [101] tương ứng với bốn trường hợp trong định lý
Hurwitz. Các trường hợp này lần đầu tiên được cụ thể hóa bằng các phép biến đổi
thiết lập mối liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa 2 h chiều và bài toán nguyên
tử hydro 2h1  1 chiều  h  1, 2,3, 4  tương ứng với các phép biến đổi Levi-Civita
[104]  h  1 , Kustaanheimo-Stiefel [40]  h  2  , Davtyan [24]  h  3 và Hurwitz
mở rộng [47]  h  4  . Một điều rất thú vị là các phép đổi Kustaanheimo-Stiefel,
Davtyan làm xuất hiện đơn cực Dirac và Yang trong bài toán nguyên tử hydro 3 và 5
chiều. Theo logic như trên, trong trường hợp h  4 ứng với phép biến đổi Hurwitz
mở rộng, nếu chúng ta xây dựng tường minh phép biến đổi Hurwitz mở rộng kết nối
bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro 9 chiều thì chúng
ta có thể kỳ vọng tìm thấy thế đơn cực là dạng mở rộng của đơn cực Dirac và Yang
trong không gian 9 chiều. Năm 2009, chúng tôi đã xây dựng phép biến đổi Hurwitz
mở rộng với 7 biến số góc được đưa ra. Sử dụng phép biến đổi này chúng tôi đã kết
nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro 9 chiều.
Chúng tôi cũng hình dung được một bộ thế đơn cực ẩn trong bài toán. Tiếp theo chúng
tôi sẽ xác định rõ bộ thế đơn cực và tính chất của chúng, kỳ vọng nó là thế đơn cực
mở rộng của Dirac và Yang trong không gian 9 chiều.

4


Như vậy, việc mở rộng đơn cực Dirac sẽ có 3 phương pháp tiếp cận chính: thứ
nhất là mở rộng trực tiếp dựa trên các tính chất cơ bản đơn cực Dirac, thứ hai là sử
dụng phân thớ Hopf và cuối cùng là sử dụng phép biến đổi Hurwitz. Nội dung nghiên
cứu của chúng tôi là sẽ sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng để xây dựng bộ thế
đơn cực từ trong không gian 9 chiều. Tính chất của bộ thế sẽ được nghiên cứu để
khẳng định nó là đơn cực mở rộng của Dirac và Yang trong không gian 9 chiều.

2.

Bài toán MICZ-Kepler 3 chiều được Zwanziger, McIntosh và Cisneros xây

dựng từ những năm 60 [56, 99] bằng cách mở rộng bài toán Kepler khi thêm vào hệ
này trường đơn cực từ Dirac. Đây là một bài toán quan trọng được khảo sát nhiều
bằng các phương pháp khác nhau trong vài thập niên qua và đến bây giờ vẫn còn
được quan tâm [13-14, 17-18, 38-39, 69, 73]. Hàm sóng, năng lượng của bài toán
được giải bằng các phương pháp khác nhau [13, 17-18, 39]. Sự có mặt của đơn cực
Dirac trong bài toán MICZ-Kepler không ảnh hưởng đến các đối xứng không gian
SO(3) và đối xứng động lực SO(4,2) của bài toán Kepler. Bài toán cũng có đối xứng
ẩn SO(4) là vector Runge-Lenz giống bài toán Kepler 3 chiều thông thường.
Cùng với việc mở rộng đơn cực trong không gian nhiều chiều, bài toán MICZKepler cũng được mở rộng khảo sát trong không gian nhiều chiều [12, 60, 63, 93].

5


Tuy nhiên, bài toán MICZ-Kepler trong các không gian không gian 3 chiều, 5 chiều
có một vị trí rất đặc biệt, do nó lần lượt tương đương với bài toán dao động tử điều
hòa 4 chiều [29, 46, 64], 8 chiều [24, 66]. Nếu bộ thế đơn cực trong không gian 9

chiều được xây dựng thành công bằng phép biến đổi Hurwitz mở rộng thì bài toán
MICZ-Kepler trong không gian 9 chiều sẽ tương đương với bài toán dao động tử điều
hòa 16 chiều. Theo định lý Hurwitz và phân thớ Hopf, bài toán MICZ-Kepler 9 chiều
sẽ là trường hợp cuối cùng trong hệ thống các bài toán MICZ-Kepler. Bài toán MICZKepler 9 chiều sẽ mô tả chuyển động của hạt mang điện trong trường Coulomb với
sự có mặt của trường đơn cực trong không gian 9 chiều. Khảo sát bài toán là khảo sát
sự tác động của trường đơn cực lên nguyên tử hydro 9 chiều. Việc khảo sát bài toán
MICZ-Kepler 9 chiều sẽ làm cho việc nghiên cứu đơn cực trong không gian 9 chiều
được trọn vẹn hơn.
3.

Mục tiêu của luận án này là mở rộng đơn cực Dirac và Yang trong không gian

9 chiều thông qua việc xây dựng tường minh phép biến đổi Hurwitz mở rộng kết nối
bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro trong không gian
9 chiều làm xuất hiện dạng tường minh của thế đơn cực SO(8). Đồng thời chỉ ra đây
chính là dạng mở rộng của thế đơn cực Dirac và Yang. Thế đơn cực tìm được sẽ được
đưa vào bài toán Kepler trong không gian 9 chiều gọi là bài toán MICZ-Kepler 9
chiều. Hàm sóng và năng lượng cũng như bậc suy biến của bài toán MICZ-Kepler 9
chiều sẽ được nghiên cứu tiếp theo làm rõ hơn tác động của trường đơn cực đối với
bài toán.
Mục tiêu trên được thực hiện thông qua các nội dung nghiên cứu sau:
-

Tìm hiểu tổng quan về đơn cực từ Dirac và mở rộng của nó trong không

gian nhiều chiều và quá trình tìm kiếm đơn cực từ.
-

Tìm hiểu một định lý rất quan trọng trong đại số học là định lý Hurwitz.

Sử dụng các phép biến đổi thuộc định lý này kết nối bài toán dao động tử điều

6


hòa và bài toán nguyên tử hydro làm xuất hiện đơn cực trong không gian 3
chiều và 5 chiều.
-

Xây dựng tường minh phép biến đổi trong trường hợp cuối cùng của

định lý Hurwitz gọi là phép biến đổi Hurwitz mở rộng. Sử dụng phép biến đổi
kết nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro 9
chiều làm xuất hiện thế đơn cực SO(8) là dạng mở rộng của đơn cực Dirac và
Yang.
-

Đưa thế đơn cực SO(8) vào bài toán nguyên tử hydro 9 chiều ta có bài

toán MICZ-Kepler 9 chiều. Từ đó ta tìm hàm sóng và năng lượng của bài toán.
Kết quả này cho chúng ta hiểu rõ hơn tác động của trường đơn cực lên bài
toán.
4.

Cấu trúc luận án:
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm ba chương:

Chương 1: Đơn cực từ và các phép biến đổi Hurwitz
Chương này gồm ba phần. Phần đầu tiên giới thiệu tổng quan về đơn cực từ
Dirac và mở rộng của nó trong không gian nhiều chiều cũng như quá trình tìm kiếm

đơn cực từ của giới khoa học. Phần hai giới thiệu định lý Hurwitz, một định lý rất
quan trọng trong đại số học quy định về sự tồn tại của bốn bộ số trong đại số chia
chuẩn hóa: số thực, số phức, số siêu phức bội 4 và số siêu phức bội 8. Dựa trên định
lý này, chúng tôi sẽ tổng hợp các phép biến đổi sử dụng để thiết lập mối liên hệ giữa
bài toán nguyên tử hydro và dao động tử điều hòa. Xây dựng một bức tranh hoàn
chỉnh về mối liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa và bài toán hydro nhiều chiều
làm xuất hiện đơn cực Dirac và đơn cực Yang. Từ đây chúng tôi chỉ ra con đường
xây dựng tổng quát hóa của các đơn cực nêu trên và trong không gian 9 chiều. Lý
giải tại sao các không gian 3 chiều, 5 chiều và 9 chiều đặc biệt hơn các không gian
có số chiều khác.

7


Chương 2: Đơn cực SO(8) trong không gian chín chiều
Trong chương này, chúng tôi xây dựng phép biến đổi Hurwitz mở rộng trong
trường hợp cuối cùng với số chiều lớn nhất 16  9 với việc đưa ra 7 biến số phụ. Từ
đó, phép biến đổi ngược của phép biến đổi Hurwitz mở rộng cũng được xây dựng.
Trên cơ sở phép biến đổi vừa xây dựng, chúng tôi đi tìm mối liên hệ giữa bài toán
nguyên tử hydro 9 chiều và dao động tử điều hòa 16 chiều và chứng minh bài toán
dao động tử điều hòa 16 chiều tương đương với bài toán hydro 9 chiều với sự có mặt
của trường có dạng đơn cực. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng đơn cực vừa tìm ra có
mô hình tương tác thông qua 28 vi tử của nhóm SO(8). Cuối cùng, chúng tôi xem xét
tính chất của trường đơn cực vừa tìm ra để khẳng định nó là mở rộng của đơn cực
Dirac và Yang.
Chương 3: Lời giải giải tích chính xác cho bài toán MICZ-Kepler chín chiều
Trường đơn cực SO(8) được đưa vào bài toán nguyên tử hydro 9 chiều gọi là
bài toán MICZ-Kepler 9 chiều. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các tính
chất đối xứng của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều. Sau đó chúng tôi sử dụng phương
pháp giải tích để tìm hàm sóng, năng lượng cũng như bậc suy biến của bài toán trong

tọa độ cầu 9 chiều.
Phần kết luận nêu lại các kết quả của luận án và hướng phát triển của đề tài.
Phần tài liệu tham khảo gồm 106 công trình khoa học cũng như các sách liên
quan đến đề tài luận án.
Trong luận án có nhiều phần tính toán và biến đổi phức tạp sẽ được trình bày
ở phần phụ lục để logic của vấn đề được liền mạch và người đọc có thể theo dõi một
cách dễ dàng.

8


4.

Trong quá trình thực hiện luận án, những kết quả nghiên cứu đã được công bố

03 bài báo trên tạp chí quốc tế (SCI) và 02 bài báo trên tạp chí khoa học chuyên ngành
của Việt Nam.
Các kết quả trong quá trình nghiên cứu cũng được báo cáo tại Hội nghị Vật lý
lý thuyết toàn quốc lần thứ 37 (năm 2012) và 38 (năm 2013). Ngoài ra, nghiên cứu
sinh cũng tham gia một đề tài khoa học và công nghệ cấp bộ với nội dung liên quan
đến luận án.

9


Chương 1
Đơn cực từ và phép biến đổi Hurwitz

1.1.

Đơn cực từ

1.1.1. Tổng quan về đơn cực từ
Kiến thức thông thường về điện từ học cho chúng ta biết một nam châm bao
giờ cũng có một cực bắc và một cực nam, điện tích sinh ra điện trường còn từ trường
là do điện tích chuyển động sinh ra. Tuy nhiên nếu xét trên phương diện đối ngẫu
điện từ thì tại sao lại không tồn tại các hạt từ tích là nguồn của từ trường tương ứng
với điện tích là nguồn của điện trường và tại sao lại chỉ tồn tại những hạt điện tích
hoặc dương hoặc âm mà không tồn tại những hạt từ tích hoặc bắc hoặc nam? Câu hỏi
này đã được đưa ra từ rất lâu bởi Petrus Peregrinus Maricourt vào năm 1269 trong
công trình “The Epistola de Magnete” [106]. Vì vậy, có thể xem Maricourt là người
đầu tiên đưa ra ý tưởng về đơn cực từ.

Hình 1.1: Mô phỏng hai cực của nam châm bị tách ra thành hai đơn cực từ

Trải qua sự phát triển của điện từ học cổ điển, Maxwell đã thống nhất và mô
tả trường điện từ bằng hệ phương trình nổi tiếng:
E  e  0 ,
 E  

B
,
dt

B  0,

1 E 
  B  0  J e 
,
 0 t 



10

(1.1)


trong đó, E , B là cường độ điện trường và cảm ứng từ, đây là hai đại lượng đặc trưng
cho điện trường và từ trường.  ,  là hằng số điện môi và độ từ thẩm phụ thuộc vào
môi trường.  0 , 0 là hằng số điện và hằng số từ. e , J e là mật độ điện tích và mật độ
dòng điện tích.
Các phương trình trên thể hiện nguồn gốc và tính chất của trường điện từ. Hai
phương trình bên trái cho chúng ta biết rằng điện trường tĩnh (có đường sức hở) do
điện tích gây ra, còn điện trường xoáy (có đường sức kín) do sự biến thiên của từ
trường gây ra. Hai phương trình bên phải cho ta biết từ trường luôn xoáy (có đường
sức là đường cong kín), từ trường được sinh ra do các điện tích chuyển động (dòng
điện dẫn) và do sự biến thiên của điện trường (dòng điện dịch). Dựa trên ý nghĩa vật
lý cũng như hình thức các phương trình trên ta thấy mặc dù điện trường và từ trường
thống nhất với nhau trong trường điện từ và có vai trò như nhau nhưng ở đây ta thấy
có sự bất cân xứng giữa điện và từ. Để giải quyết vấn đề này, Pierre Curie là người
đã đưa ra giả thuyết về sự tồn tại của đơn cực từ trong tự nhiên thông qua công trình
[105] vào năm 1894. Với giả thuyết này, điện và từ sẽ có tính đối ngẫu và hệ phương
trình Maxwell được điều chỉnh lại cho thấy sự đối xứng giữa điện và từ:
E  e  0 ,
 E  

B
 0 J m ,
dt

B  0  m ,

E 
  B  0  J e   0
.
t 


(1.2)

Ở hệ phương trình này, m , J m là mật độ từ tích và mật độ dòng từ tích.
Giả thuyết của Pierre Curie chỉ dừng lại ở mức ý tưởng cho đến năm 1931,
trong khi khảo sát tính chất thừa số pha của hàm sóng, Dirac chứng minh rằng cần
thiết phải có nguồn sinh ra từ trường tồn tại độc lập, để thông lượng từ gửi qua một
mặt kín là khác không. Ngoài ra, nguồn của từ trường gọi là từ tích hoặc đơn cực từ,
cũng bị lượng tử hóa đồng thời với điện tích. Các đơn cực từ có từ tích luôn bằng

11


một số nguyên lần từ tích nguyên tố g = ng 0 , ở đây g 0 =
n là số nguyên,

c
là từ tích nguyên tố và
2e

bằng hằng số Planck chia 2 và c là vận tốc ánh sáng. Công trình

của Dirac là một công trình rất quan trọng thúc đẩy các nhà vật lý nghiên cứu đơn

cực từ trong cả lý thuyết lẫn thực nghiệm.
Hiện nay, về mặt lý thuyết, nhiều loại đơn cực từ đã được nghiên cứu. Tên
của đơn cực được gọi theo tên các tác giả nghiên cứu, trong đó phải kể đến những
đơn cực sau:
 Đơn cực từ Dirac: Được Paul Dirac tìm ra năm 1931 trong công trình [25].
Công trình này đã giải thích được sự lượng tử hóa điện tích và từ tích. Với
khái niệm từ tích của Dirac, hệ phương trình mô tả trường điện từ của Maxwell
đã thể hiện được tính đối ngẫu giữa điện và từ. Thế đơn cực Dirac có kì dị dây
Dirac.
 Đơn cực Wu-Yang: là lời giải đầu tiên của phương trình Yang-Mills [96]
được Tai Tsun Wu và Chen Ning Yang tìm ra năm 1969. Thế đơn cực WuYang có kỳ dị tại vị trí đặt đơn cực và độ lớn của nó tỉ lệ nghịch với khoảng
cách từ vị trí đang xét đến đơn cực. Sau đó, vào năm 1984, Akihiro Itô đã mở
rộng đơn cực này cho nhóm đối xứng O (n  1) theo mô hình  [35].
 Đơn cực ‘t Hooft-Polyakov: Đơn cực tương tự như đơn cực Dirac nhưng
khác biệt là không có kỳ dị dây Dirac, được Alexander Polyakov [82] và
Gerard ‘t Hooft [91] tìm ra độc lập nhau vào năm 1974. Xét ở xa vị trí đặt đơn
cực, đơn cực ‘t Hooft-Polyakov chuyển thành dạng của đơn cực Dirac.
 Đơn cực BPS: Đơn cực được Eugène Bogomol’nyi, Manoj Prasad và Charles
Sommerfield độc lập nghiên cứu công bố vào các năm 1975, 1976 [16, 83].
Hạt mang cả điện tích và từ tích, gọi là lưỡng tích (charged-dyon). Đơn cực
BPS có những đóng góp quan trọng trong việc phát triển lý thuyết siêu hấp
dẫn và lý thuyết dây.

12


 Đơn cực Yang: dựa trên các tính chất của đơn cực Dirac, Chen Ning Yang đã
mở rộng đơn cực từ Dirac cho không gian 5 chiều vào năm 1978. Thế đơn cực
Yang có nhóm đối xứng SU(2). Bộ thế đơn cực Yang có cùng dạng và tính
chất với đơn cực Dirac. Đây là dạng thế đơn cực mở rộng trực tiếp của đơn

cực Dirac trong không gian 5 chiều.
 Đơn cực trong không gian chín chiều: Được đề xuất đầu tiên bởi Grossmann
năm 1984, là lời giải cho phương trình Yang-Mills trong trường hợp cuối cùng
của phân thớ Hopf [28]. Năm 2003, khi nghiên cứu hiệu ứng Hall lượng tử
trong không gian cầu 8 chiều, nhóm nghiên cứu của Zhang đã dẫn ra đơn cực
trong không gian chín chiều với đại số SO(8) [11]. Tuy nhiên, các công trình
trên chưa đưa ra dạng tường minh của bộ thế đơn cực.
Với giả thiết về sự tồn tại của đơn cực từ trong lý thuyết, rất nhiều vấn đề
trong vật lý hiện đại được giải thích một cách hợp lý. Từ tích được cho là nguồn sinh
ra từ trường, xuất hiện trong nhiều lý thuyết vật lý quan trọng như: lý thuyết thống
nhất lớn [98], lý thuyết hấp dẫn lượng tử [33], lý thuyết siêu đối xứng [97], lý thuyết
siêu dây [42, 98] và cả trong vũ trụ học [27]. Dạng thức động lực của trường đơn cực
từ còn được sử dụng trong vật lý hệ ngưng tụ [31, 58]. Đây cũng là lĩnh vực mở ra
nhiều triển vọng về khả năng tìm thấy đơn cực từ trong tự nhiên.
Về mặt thực nghiệm, việc tìm kiếm và nghiên cứu những bằng chứng thật sự
về sự tồn tại của đơn cực từ đã trở thành một vấn đề thời sự. Từ sau công trình của
Dirac xuất bản năm 1931 cho đến nay, việc tìm kiếm đơn cực từ đã trở nên rất sôi
động. Giới khoa học tìm kiếm các bằng chứng trong tự nhiên cho sự tồn tại của đơn
cực từ cũng như xây dựng các phòng thí nghiệm hiện đại để tìm kiếm trực tiếp đơn
cực từ ở tất cả các vùng năng lượng mới [26, 53]. Hiện tại, các máy gia tốc hiện đại
nhất tại các trung tâm nghiên cứu lớn trên thế giới (như CERN, RHIC) [19, 22, 77,
78, 92] đang thực hiện nhiều thí nghiệm để tìm kiếm đơn cực từ. CERN bố trí hẳn
một khu vực riêng thuộc LHC nhằm phát hiện đơn cực từ thông qua các va chạm của
các hạt được gia tốc đến năng lượng lớn, cỡ 8 TeV (trong tương lai có thể đạt mức
13


14 TeV) [19]. Bên cạnh đó, nhiều nhóm nghiên cứu khác tìm kiếm đơn cực từ thông
qua phân tích các bức xạ vũ trụ [9, 21].

Hình 1.2: Thí nghiệm LHCb với máy dò MOEDAL tại máy gia tốc CERN LHC [92]

Hình 1.3: Mặt cắt máy dò đơn cực tại RHIC [22]

Từ năm 2009, nhiều thí nghiệm với độ chính xác cao nhằm tìm kiếm đơn cực
từ đã được tiến hành và cho kết quả khả quan. Nhiều công trình liên quan đến việc
quan sát được chuẩn đơn cực từ (magnetic monopole quasiparticle) trong tinh thể
băng spin đã được công bố trên các tạp chí uy tín bậc nhất của thế giới như Nature,
Science [31, 57, 58]. Công trình thực nghiệm do Morris và các cộng sự đăng trên tạp
chí Science năm 2009 cho biết tinh thể một chiều dyprosyum titanate được làm lạnh
đến nhiệt độ trong khoảng từ 0,6 đến 2 Kelvin, quan sát bằng tán xạ nơtron hành xử

14


như một chuẩn đơn cực từ [58]. Năm 2010 nhóm nghiên cứu Hans-Benjamin Braun
đã công bố ảnh chụp các dây Dirac trong băng spin trên tạp chí Nature Physics [57].
Năm 2011, cũng trên tạp chí Nature Physics, nhóm của Giblin thực hiện thí nghiệm
cùng đối tượng với nhóm của Morris nhưng ở nhiệt độ thấp hơn (0,35 Kelvin) cũng
cho kết quả tương tự [31]. Gần đây nhất vào tháng 01 năm 2014, nhóm nghiên cứu
của David Hall tại Massachusetts đã công bố quan sát được đơn cực từ Dirac trong
hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein bằng cả thực nghiệm và mô phỏng [86]. Công
trình là một bước đột phá lớn trong việc tìm kiếm đơn cực từ. Tuy nhiên, nhóm tác
giả vẫn chưa đo được khối lượng của “hạt từ tích” tìm thấy và chưa thể kết luận hạt
được quan sát là đơn cực từ thực thụ. Mặc dù các công trình nghiên cứu trên vẫn
chưa tìm thấy đơn cực từ thực thụ, tuy nhiên nó sẽ tạo một niềm tin rất lớn trong việc
tìm kiếm đơn cực từ trong tương lai.

Hình 1.4: Sự tạo ra và tách các cặp đơn cực và các dây Dirac [57]. Bên trái là hình ảnh thực chụp
được. Bên phải là bản đồ từ tích (màu xanh là từ tích nam và màu đỏ là từ tích bắc).

Hình 1.5: Mô phỏng đơn cực từ Dirac trong công trình [86].

15


1.1.2. Đơn cực từ Dirac
Năm 1931, trong khi khảo sát tính chất thừa số pha của hàm sóng, Dirac chứng
minh rằng, cần thiết phải có nguồn sinh ra từ trường tồn tại độc lập gọi là đơn cực từ,
để thông lượng từ gửi qua một mặt kín là khác không. Đồng thời, từ tích của đơn cực
từ cũng bị lượng tử hóa như điện tích thông qua biểu thức sau:
qg 1
 n, (với n là số nguyên).
c 2

(1.3)

Trong đó, q, g lần lượt là điện tích và từ tích. Sau này, sự lượng tử hóa của điện tích
và từ tích được chứng minh trong nhiều công trình với nhiều phương pháp khác nhau
cho cùng một kết quả như trên. Một thí nghiệm tưởng tượng được Bohm và Aharonov
đề nghị trong công trình năm 1959 [5] về mặt lý thuyết cũng cho thấy sự lượng tử
hóa này của từ tích. Thí nghiệm này về sau được Chambers kiểm chứng bằng thực
nghiệm và cho kết quả phù hợp [23]. Từ biểu thức lượng tử hóa của từ tích và điện
tích, chúng ta có thể ước lượng được giá trị của từ tích nguyên tố, hay giá trị từ tích
nhỏ nhất:
g0 =

trong đó  =

c

e
137
=
=
e,
2e 2
2

(1.4)

e2
1
là hằng số cấu trúc tinh tế.

c 137

Trên cơ sở lý thuyết về từ tích của Dirac, chúng ta sẽ xác định lại bộ thế vector
đơn cực Dirac trong không gian 3 chiều. Xét một đơn cực từ có từ tích g đặt tại gốc
tọa độ O của hệ trục Descartes vuông góc Ox1 x2 x3 . Thông lượng từ xuyên qua mặt
cầu S có tâm tại O bán kính r được tính bằng công thức:
m 

 BdS .

(1.5)

S

16

Do tính đối xứng, các vector cường độ trường đơn cực B luôn hướng theo phương
bán kính và có độ lớn bằng nhau trên toàn bộ mặt cầu S . Do đó, thông lượng từ gửi
qua mặt cầu này S được tính dễ dàng và có kết quả như sau:
m  B  dS  B 4 r 2 .
S

Áp dụng định luật Gauss trong trường hợp này với từ tích đặt bên trong mặt Gauss
là g , ta xác định được cường độ trường (chúng ta hay gọi là cảm ứng từ) tạo ra bởi
đơn cực từ này:

B=

g r
. .
r2 r

(1.6)

Mà thế vector của từ trường được xác định bởi:
B   A.

(1.7)

Thế biểu thức trên vào (1.6), ta được phương trình xác định thế đơn cực:
 A 

g
r.
r3

(1.8)

Thế đơn cực từ tìm được là nghiệm của phương trình (1.8) như sau:
A=

g
  x2 , x1 , 0  .
r  r  x3 

(1.9)

Trong bộ thế đơn cực Dirac này, ta thấy bộ thế có kì dị dây Dirac là phần âm của trục
Ox3 . Một nghiệm khác của phương trình trên cho ta thế đơn cực có kỳ dị dây Dirac

ứng với phần dương của trục Ox3 :

A=

g
 x2 ,  x1 , 0  .
r  r  x3 

(1.10)

17


Từ biểu thức xác định cường độ trường đơn cực (1.6) ta thấy rõ ràng rằng
cường độ trường có đối xứng cầu O(3) và thông lượng từ qua mặt kín S chứa đơn

cực là khác không. Đây là tính chất cơ bản của đơn cực từ tương tự như đơn cực điện.
Ngoài ra, thế đơn cực từ A trực giao với r :
(1.11)

x A = 0,

với  = 1, 2,3 chỉ các thành phần tọa độ trong không gian 3 chiều. Bên cạnh đó, A
cũng thỏa mãn biểu thức:
A A = g 2

r x3
.
r  r  x3 

(1.12)

2

1.1.3. Đơn cực trong không gian nhiều chiều
Năm 1978, Chen Ning Yang đã mở rộng đơn cực từ Dirac cho không gian 5
chiều qua mô hình tương tác giữa trường gauge SU(2) với hạt có isospin [95]. Trường
đơn cực Yang-SU(2) được xây dựng có tính chất cơ bản tương tự như đơn cực Dirac:
(i) thông lượng trường qua một mặt kín trong không gian 5 chiều chứa đơn cực là
khác không và (ii) trường có đối xứng cầu O(5). Một đơn cực từ đồng thời có điện
tích người ta gọi là đơn cực Yang-Coulomb, hay còn gọi lưỡng tích “charge-dyon”,
được nghiên cứu tương đối rộng rãi trong thời gian sau này [15, 35, 65-68, 70]. Thế
đơn cực từ được Yang đề xuất trong công trình [95] và được sử dụng ở nhiều bài báo
khác có dạng sau:

A1 

1
( x2 ,  x1 ,  x4 , x3 , 0),
r (r  x5 )

A2  

1
( x4 ,  x3 , x2 ,  x1 , 0),
r (r  x5 )

A3 

1
( x3 ,  x4 , x1 , x2 , 0).
r (r  x5 )

18

(1.13)


Bộ thế (1.13) có kỳ dị dây dọc phần âm của trục Ox5 . Ngoài các tính chất cơ bản của
đơn cực được nêu ở trên, bộ thế đơn cực Yang cũng có những tính chất giống bộ thế
đơn cực Dirac như (1.11) và (1.12):
x Ak  = 0

và

Ak  Ak  =

r  x5
 , với   1, 2,..,5 và k  1, 2,3.
r  r  x5  kk
2

Tiếp theo kết quả của Yang, việc xây dựng đơn cực cho không gian nhiều chiều khác
đã được tiến hành trong một vài công trình [59, 93]. Ở đây, một tính chất rất quan
trọng của đơn cực Dirac cũng như Yang là khi kết hợp với điện tích nó không phá vỡ
các tính chất đối xứng của bài toán Coulomb. Cụ thể, sự có mặt của đơn cực Dirac
không làm thay đổi đối xứng không gian SO(3), đối xứng ẩn SO(4) với vector RungeLenz cũng như đối xứng động lực SO(4,2) [17, 18] đối với bài toán nguyên tử hydro
3 chiều. Tương tự như vậy, với sự xuất hiện của đơn cực Yang thì bài toán Coulomb
5 chiều vẫn bảo toàn đối xứng SO(5), đối xứng ẩn SO(6) với vector Runge-Lenz
trong không gian 5 chiều [67] và đối xứng động lực SO(6,2) [79] . Chúng ta sẽ gọi
một đơn cực là mở rộng trực tiếp của đơn cực Dirac và đơn cực Yang nếu như nó có
những tính chất tương tự như vậy. Năm 2007, Meng đã kiểm tra lại các tính chất của
đơn cực Dirac và Yang đồng thời phác thảo phương pháp toán học có thể mở rộng
thế đơn cực trong không gian nhiều chiều [59].
Ngoài phương pháp mở rộng đơn cực Dirac trực tiếp dựa trên các tính chất cơ
bản của đơn cực từ. Chúng ta còn biết hai hướng tiếp cận khác cũng có thể xây dựng
nên bộ thế đơn cực không chỉ trong không gian 5 chiều mà còn có thể xây dựng thế
đơn cực ở những không gian có số chiều khác. Hướng tiếp cận đầu tiên là sử dụng
phân thớ Hopf. Nhiều công trình đã nghiên cứu và phát hiện rằng đơn cực Dirac,
Yang và mở rộng của nó có liên hệ mật thiết với phân thớ không gian Hopf [102,
103] trong lý thuyết Tô-pô. Các công trình năm 1931-1935 của Hopf khẳng định chỉ

19


tồn tại 4 trường hợp phân thớ không gian là

S
S
S 1  S 1 , S 3 
 S 2 , S 7 
 S 4 và
1

3

S
S 15 
 S 8 . Trừ trường hợp đầu tiên của phân thớ Hopf là không có tính chất đặc
7

biệt, các trường hợp còn lại của phân thớ Hopf đều cho chúng ta những kết quả đáng
quan tâm. Đơn cực Dirac được Ryder và Minami xây dựng từ phân thớ Hopf thứ nhất
vào năm 1979-1980 [54, 85]. Sau đó, đơn cực Yang cũng được xây dựng từ phân thớ
Hopf thứ hai [55]. Năm 1984, Grossman đã áp dụng trường hợp cuối cùng của phân
thớ Hopf tìm lời giải cho phương trình Yang-Mills và đã đề nghị tính chất của cường
độ trường đơn cực trong không gian chín chiều [29]. Gần đây, năm 2003, trong quá
trình nghiên cứu hiệu ứng Hall lượng tử trong không gian cầu 8 chiều sử dụng phân
thớ Hopf cuối cùng, nhóm nghiên cứu của Zhang tại đại học Stanford đã đưa ra bài
toán tương tác giữa electron và trường gauge SO(8) [11].
Bên cạnh việc sử dụng phân thớ Hopf, đơn cực từ cũng có thể xây dựng từ
định lý Hurwitz [101]. Định lý Hurwitz được sử dụng trong cơ học lượng tử kết nối
bài toán dao động tử điều hòa 2 h chiều và bài toán nguyên tử hydro 2h1  1 chiều
trong 4 trường hợp ứng với h  1, 2,3, 4 . Sử dụng phép đổi Kustaanheimo-Stiefel

 h  2  [40], ta tìm thấy thế đơn cực Dirac trong không gian 3 chiều [37-38]. Đơn

cực Yang trong không gian 5 chiều cũng được tìm thấy bằng phép biến đổi Davtyan

 h  3 [24, 66]. Với logic như vậy, trường hợp cuối cùng của định lý Hurwitz ứng
với phép biến đổi Hurwitz mở rộng [47] được kỳ vọng sẽ tìm thấy đơn cực trong
không gian 9 chiều.
1.2.

Định lý Hurwitz
Trong đại số học, việc tìm phép biến đổi giữa không gian thực n chiều

 x1 , x2 ,..., xn  và không gian thực

2n chiều  u1 , u2 ,..., un , v1 , v2 ,..., vn  sao cho thỏa mãn

biểu thức:

u

2
1

 ...  un2  v12  ...  vn2   x12  ...  xn2

20

(1.14)