ứng dụng lý thuyết ánh xạ đóng nghiên cứu các luật trong trí tuệ nhân tạo

l

n(> GIA.o nvc vA aAo T~o
E>~I HOC Quoc GIA THANH PHO HO cHi MINH

•

TRUONG D~I HOC KHOA HOC TV NHIEN

NGUYEN VAN TINH

...\

UNG DONG
LY THOYET ANH XA• D6NG
•
NGHIEN caa cAc LOAT
TRONG
•
TRI TOE• NHAN TAO
•

LuQ,n vii.n thf!,c si khoa hpc
Chuyen nganh :
TIN HOC
Ma so':
1.01.10

NgliUi hlifJng ddn khoa hpc :
PGS.TSKH NGUYEN XUAN HUY

\ LUU HANH NQI BQ J
TP.HO CHI MINH-THANG 3 NAM 2001
,•


Tac gia lu?n van hay to long hiet dn sau sic il
Nguy~n

Xuan Huy, PGS.TSKH thm)c W¢n COng Ngh¢ Thong Tin, Trung Tam
Khoa H9c va COng Ngh¢ Quoc Gia, aa danh cho tac gia Sl/ quan tam
hu'ang dfin quy gia

vJ n<)i dung

va phu'dng phap nghien CUu ae? Ju?n van

au'{1c hoan thanh.
Tac gia 1u?n van chan thanh aim dn Thi y Tru'dng Khoa COng Ngh¢
Thong Tin, GS.TSKH Hoang Kiem, aic thiy, c6 Khoa COng Ngh¢ Thong
Tin va Phong Sau DH9c Quoc Gia Tp. Ho' Chi Minh aa trlfc tiep giang dki¢n thwjn l<;1i trong thai gian h9c t?p t.

,.

.

~,

'

Tac gia lu?n van cung cam nh?n chan thanh Sl/ chia xe, giup aa cua
aic a6ng nghi¢p Phong Dao T?o Tru'ang Cao Ding BC Marketing, aic h?n
h
Tp.H6 Chi Minh thang 3 nam 2001.

. ,,


Ml)C Ll)C
Trang

Loi noi dau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chtfdng 1. Anh xc;i. dong va cac phep toan tren anh
x~ dong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 . 1 . Anh xq. d6ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. 2 . Giao cua cac anh xq. d6ng

. . . . . . . . . . . . 8

1. 3. Tich cua cac anh xq. d6ng

. . . . . . . . . . . 11

1. 4. Hc;Jp cua cac anh xq. d6ng
1. 5. Quan he thu tl,! tren

t~p

. . . . . . . . . . . . 16
anh xq.

. . . . . . 18

1. 6. Dieu kien de ti ch cua anh xq. d6ng la
mot anh xq. d6ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Chtfdng 2 . Ung d\lng anh X9- dong nghien cuu cac
lu~t trong cd sd tri thuc, . . . . . . . . . 31
2.1. cackhainiemcoban . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.

T~p

1 u~ t t uong duong . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

2 . 3. Bao dong cua
2.4.
. 2.

s.

T~p

t~p

sv kien. . . . . . . . . . . . 3 8

d6ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

T~p lu~t

dq.i dien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Chudng 3. Bieu dien lu~t bang cong thuc logic. 55
3 . 1. Cong thuc logic duong . . . . . . . . . . . . . . 5 6
3 . 2. Bieu di en cac 1 u~ t b~ng cong thuc
logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Chudng 4. M¢t

so thu~t

4. 1. Xay dl,!ng cac
4.2. Cai
Ket lu~n

Ta i 1 i

~u

d~t

cac

toan trich ch9n

thu~ t

thu~t

lu~t

.. 70

toan . . . . . . . . . . . . 7 0
toan . . . . . . . . . . . . . 82

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
t ham kha o

. . .. . . . . .. . . . .. . . . . . . . . .

aa


,.

LOI NOi E>AU

D~ tai lu~n van nh~m giai quye't m(>t va'n d~ co tinh ly thuye't: httong

ap dt;mg cac ke't qua nghien cuu v~ anh x~ dong vao lTnh vlfc tri tu~ nhan
t~o.

Nhi~u bai toan trong lTnh vlfc tri tu~ nhan t~o dtt

li~n VOi m(>t CO Sd tri thuc CO cac Slf ki~n Va cac lu~t chi ph6i cac Slf ki~n la

nhung thanh ph§n chti ye'u. Hi~u qua giai quye't cac bai toah n'ay ph9
thUQC nhi~U VaO chfi't lu'vai tro quan tr9ng. Voi m()t t~p cac slf ki~n da cho, d€ xay dlfng m()t co Sd
tri thuc t6i ttu, giau ngu nghia, c§n co m()t t~p lu~t d§y du, khong du thua,
khong mau thu§n, khong bi "luftn quftn" V.V ...
Trong lu~n van trlnh bay m()t so' ke't qua khao sat, nghien cuu cac
lu~ t d§n trong CO Sd tri thuc du'oi goc d(> ly thuye't anh X~ dong.

Co th€ noi trong vi~c nghien cuu v~ ph9 thu(>c du li~u noi chung va
cac lu~t noi ri.eng thl khai ni~m bao dong cua t~p cac Slf ki~n dong vai tro
quan tr9ng. v~ m~t ngu nghia, bao dong cua t~p slf ki~n

x

la t~p toan be)

cac slf ki~n ph9 thUQC vao X. Cac ke't qua co y nghia sau sac nhu' dinh' ly
tu'ong du'ong giua cac ki€u suy d§n, cac ke't qua lien quan de'n vi~c tlm
phu ctia t~p slf ki~n, t~p lu~t v.v ... d~u dttqc phan tich ho~c chung minh
tren co Sd khai ni~m bao dong ctia t~p cac slf ki~n. N(>i dung d~ tai se d~
c~p de'n m(>t so' tinh chfft ctia cac anh x~ dong va hu'ong ung d9ng cac anh

1


X(;l

dong trong Vi~c nghieil cliu bao dong CUa t~p cac Slf ki~n, tom lu'(;Jc mot

s6 ke't qua chu ye'u cua hu'ong nghien cliu nay.
Lu~n van g6m 4 chu'ong:

Chu'ong 1. Anh

X(;l

dong va cac phep toan tren anh

Chu'ong 2. Ung dt;mg anh

X(;l

X(;l

dong.

dong nghien cliu cac lu~t trong co sd

tri · thlic.
Chu'ong 3. Bi€u di€n lu~t bang cong thlic logic.
Chu'ong 4. Mot s6 thu~t toan trich ch9n lu~t.
Chu'ong 1 trlnh bay mot s6 ke't qua nghien cliu ly thuye't v~ anh

X(;l

dong nhu' la mot hu'ong nghien cliu doc l~p cua toan h9c. D6ng thoi cac
ke't qua da du'qc d~ c~p tOi co dinh hu'ong ap dt;mg vao vi<%c nghien cliu ly
thuye't cong ngh<% thong tin nhu' mot trong cac linh vlfc ke' c~n-cua toan

h9c.
Chuong 2 d~ c~p vi<%c ling dt;mg cac ke't qua nghien cliu v~ anh

X(;l

dong d€ khao sat cac lu~t trong co sd tri thlic.
Chu'ong 3 trlnh bay phu'ong phap bi€u di€n cac lu~t, t~p lu~t'bang
cong thlic logic duong va ling dt;mg phu'ong phap nay d€ chling minh mot
s6 ke't qua v& tu'ong quan d~ng ca'u giua t~p cac t~p dong va t~p cac t~p
con cua 23 n.
Chuong 4 cua lu~n van danh cho vi<%c xay dlfng va cai d~t m(>t s6 thu~t
toan giup giai bai toan trich ch9n lu~t tu m(>t co sd tri thlic dlfa tren cac ke't
· qua da thu duqc trong chu'ong 3 ding nhu' cac chu'ong tnroc. Trong cac
. th~~t toan se d~ c~p toi co thu~t toan trich ch9n cac lu~t duqc g9i la "co

2


minh chung", nghia la cac lu~t d~ng X~Y ma trong bang du lic$u K c6 it
nha't hai dong a va ~ thoa di~u ki~n:
a(X)

= ~(X)

va a(Y)

= ~(Y).

Trong m6i chu'dng d~u c6 nh~c l~i m<)t

s6 khai nic$m, ke't qua

nghien

cuu cua cac tac gia di tru'ck trong nhii'n'g va'n d~ thu<)c cac linh vlfc lien
quan. Phftn chie'm ty 1«$ IC1n hon cua lu~n van du'qc danh cho vi~c trlnh bay
cac ke't'qua nghien cuu, phat tri€n cac bai toan cua.tac gia trong qua trlnh
hoan thanh ban lu~n van nay.

3


CHU'dNG 1

ANH x~ E>ONG vA cAc PHEP TOAN
TREN ANH X~ E>ONG

Chudng 1 trlnh bay m9t s6 ke't qua nghien cuu ly thuye't v€ anh xe;t
dong nhu' la mc)t huong nghien cuu dc)c l~p cua toan h9c. D6ng thoi cac ke't
qua da du'c;:lc d€ c~p tdi co dinh hu'ong ap d9ng vao vi~c nghien cuu ly
thuySt Cong ngh~ thong tin nhu' IDQt trong CaC linh VlfC ke'° C~n CUa toan
hQC.

Phfrn kie'n thuc Cd sd v€

ly

thuye't cho cac va'n d€ cua chu'dng nay (cac

khai ni~m. cac djnh nghia, m<)t s6 ke't qua da bie't) chu ye'u dlfa vao cac

tai

li~u

[1], [2], [3], [4].

M1;1c l.1. neu khai ni~m va cac tinh cha't cua anh

XC;l

dong cling mc)t

s6 vi d9, phan vi d9 lam ro cac khai ni~m va cac tinh cha't da neu.
Trong cac m9c 1.2, 1.3, 1.4. lfrn lu'c;:lt trlnh bay v€ cac phep toan co
th~ thlfc hi~n d6i VOi cac anh XC;l dong Va cac tinh chfft, cac h~ thuc tu'dng

ung. Do la phep giao, phep Iffy ham hc;:lp (Iffy tich) va phep hc;:lp.
M1;1c 1.5. xac d!nh mc)t thu tl! be) ph~n tren t~p
XC;l

dong. M1;1c 1.6.

chung minh IDQt s6 h~ thuc lien h~ giua cac phep toan tren anh

XC;l

dong

trong quan h~ thu tl! be) ph~n da xac djnh trong ml)c 1.5. Trong ffil;IC 1.6,

ngoai vi~c h~ th6ng le;ti mc)t s6 ke't qua da du'c;:lc cong b6 cua nhi€u tac gia

(trang 19-20), lu~n van ding d€ c~p m<)t s6 ke't qua moi, phat bi~u va

4


chung minh· mminh mX(;l dong la ffiQt anh X(;l dong (djnh

fy

1.4, nhcJ,n xet 1.2

VQ

phan vi dij, 1.3,

m{lc 1.6.2, trang 27-30).

1.1. ANH X~ DONG.
1.1.1. Khai ni~m anh xq. dong.

Dinh nghia 1.1.
Gia sll' cho Ula t~p h<;:lp huu h(;ln cac phfrn tll' ba't ky. Khi d6 anh x~

P/-f U)

f :

trong d6

P/-f U)

~

P/-f U)

,

la ky hi~u t~p ta't ca cac t~p con cua U, duqc g9i la

anh X(l dong, ne'u f thoa CaC tlnh chfft Sau:

•

(Cl) Tlnh cha't phan x(;l:
VX c U (X c f(X))

•

(C2) Tlnh cha't d6ng bie'n:
VX,Yc U (X c Y ~ f(X) c f(Y))

•

(C3) Tlnh cha't lily d~ng:
VX c U (f(f(X)) = f(X))

(Tlnh cha't lfiy d~ng con duqc vie't la f.f = f hay f = f ).

2

1.1.2. Vi di!- vi anh xq. dong:
1. Anh x(l to'i d(li:

M(X)

=U, X cU;

2. Anh X(l ddn vj:

E(X)

= X, X c

U;
5


3. Anh x~ tinh tien:
He (X) = CX,
voi

x cu

va

c la m()t t~p con xac djnh tnroc cua u.

Theo quy u'oc, CJ day

la theo quy u'oc:

CX

sa dl;lng CX d~ chi hqp cua 2 t~p C va X, nghia

=C u

X.

D~ chung minh cac anh XC;l M, E, He neu trong cac vi dl;l tren la

dong ta Chung ffiinh r~ng cac anh XC;l do l§n lu'Qt thoa ta'°t ca cac tinh cha'°t
(Cl), (C2) va (C3) neu trong djnh nghia anh XC;l dong.

1.1.3. MQt sif tillh chat cua anh X(l, dong:
(C4)

V X,Yc U:

= f(Xf(Y)) = f(XY).

f(f(X)Y)

d day xin nh~c lC;li, theo quy u'oc:
f(X)Y

=f(X)uY;

Xf(Y) = Xuf(Y).

(CS)

V X,Y c U:

f(XY)
(C6)

:J

f(X)f(Y);

V X,Yc U:
f(X n Y) c f(X) n f(Y).

Cac tinh cha"t tren da du'QC chung minh trong [13].

d day chi xet cac

phan vi dl;l cho cac tinh cha"t (CS) va (C6).

Phan vi d1:1- 1.1:
D~ chung to r~ng trong tinh cha"t (CS) chi co th~ vie't:

f(XY)

:J

f(X)f(Y),

6

ma khong th~ vie't: f(XY) = f(X)f(Y), ta xet vi d1,1 sau:
Gia si't cho U =ABC va anh x~

f :

'!Yr. u)

~

'!Yr. u)

du'<;1c dinh nghia nhu' sau:
f(X) = XC, ne"u AB c X;
f(X) = X,

ne"u AB CZ. X.

Anh x~ f tren la m(H anh x~ dong (thoa cac tinh cha't (Cl), (C2), (C3)).
Voi X =A, Y = B, ta c6: f(XY) = f(AB) =ABC

(1)

trong khi d6,
f(X) = f(A) = A
f(Y) = f(B) = B

va

f(X)f(Y) = f(A)f(B) =AB

Tu (1) va (2) ta c6: f(XY) ;t; f(X)f(Y).

Phan vi df:l 1.2:
f)~ chung to trong tfnh_cha't (C6) chi c6 th~ vie"t:

f(X n Y) c f(X) n f(Y)

ma khong th~ vie"t:
f(X n Y) = f(X) n f(Y),

ta xet vi dl;l sau: Gia si't cho U = ABC va anh x~

f :

'!Yr. u)

~

'!Yr. u)

du'<;1c xac dinh nhu' sau·:·
f(X) = XB, ne"u CEX;
f(X) = X,

ne'u C ~ X.

7

(2)


Anh x~ f tren la mot anh x~ dong (thoa cac tinh cha't (Cl), (C2), (C3)).
Vdi

X =AB, Y =AC, ta c6:
f(X) = f(AB) =AB
f(Y) = f(AC) =ABC

va

f(X n Y) = f(A) =A;

(3)

f(X) n f(Y) = AB.

(4)

trong khi d6:

Tu (3) va (4) suy ra:

f(X n Y)

* f(X) n

f(Y).

1.1.4. Khoa cua anh Xf!, dong.
Dinh nghia 1.2.
Gia

str cho t~p huu h~n Uva anh x~ f xac dinh tren U, nghia la:
rf{U) ~ rf{U) .

f :

'

Khi d6, t~p K c U duqc gQi la khod cua dnh xg, f, ne'u f(K) = U
va

VK'c K ( f(K')

*U

), d day K' la t~p con thlfc slf cua K.

N6i each khac, t~p Kc U gQi la khoa cua f ne'u K la tgp con nho
nhcft cua U thoa diSu ki~n f(K) = U.
?

,

,

,

1.2. GIAO CUA CAC ANH X~ DONG:

1.2.1. Khai lli~m giao cua hai anh Xf!,.
Dinh nghia 1.3.
Gia Slr cho

t~p

huu

h~n

u va hai .anh x~ f va g xac dinh tren U, nghia
g:

la:

Khi d6, vdi X c U, ta c6:

8

rf{U) ~ rf{U).


f(X) n g(X) c U.
Ky hi<$u:
ta du'cjc anh

X(;l

h(X) = f(X) n g(X)
h xac· djnh tren U:

9q'U) ~· 9q'U) . .

h :
Anh

X(;l

h xac djnh nhu' tren g<;>i la giao cua hai dnh x~

h

f

va

g, ky hi<$u:.

=! /\ g.

Nhu' v~y, theo djnh nghia tren:

(f /\ g) (X)
1.2.2.

=f(X) n

wJi PX c U.

g(X),

Tinh chat cila phep giao cac anh xq. dong:

M~nh d~ 1.1.

Giao cua hai anh

Xt;l

dong la m()t anh

X(;l

Ne'u ky hi<$u ?l?u la t~p hcjp ta"t ca cac anh

dong.

X(;l

dong xac djnh tren U, thl

mc$nh d€ tren co th~ phat bi~u nhu' sau:

'rlf, g(f, gE?l?u =:>f /\ gE?l?u).
Chang minh m~nh d~ 1.1:
Gia slt f va g la cac anh

X(;l

dong, nghia la f va g tho a man cac tinh

cha"t (Cl), (C2), (C3).
Ta chung minh, khi do f /\ g cfing thoa cac tinh cha"t (Cl), (C2), (C3).

• Chang minh

f /\ g thoa (Cl):

Vai x c U: (f /\ g) (X) = f(X) n g(X)
Nhung:

f(X)

:::J

X (vl f E ?l?u)

g(X)

:::J

X (vl gE ?l?u)

9


•

n g(X)

suy ra:

f (X)

Nghia la:

(f /\ g)(X)

Chang minh

f /\ g

Voi X,YEU

=:J

X

=:J

X

(dpcm).

thoa tfnh cha't ( C2 ): .

va

XcY:

(f /\ g)(X) = f(X)
(f /\ g)(Y)
Nhung:

n g(X)

=f(Y) n

f(X) c f(Y)

g(Y);

(vl f E Ybu)

g(X) c g(Y) (vl gE ~u)

•

n g(X) c f (Y) n g(Y)

Suy ra:

f (X)

hay

(f /\ g)(X) c (f /\ g)(Y)

:

Chang minh

f /\ g

( dpcm)

thoa tfnh ch(ft (C3):

Voi XcU:
(f /\ g)((f /\ g)(X)) = (f /\ g)(f(X) n g(X))
= f(f(X)

n g(X)) n g(f(X) n g(X))

(5).

(Theo dinh nghia phep /\).
Nhung:

f(f(X)

n g(X))c f(f(X))nf(g(X)) (vl f c6 tinh cha't (C6))
= f(X) n f(g(X)) (vl f c6 tinh cha't (C3))

c f(X)

(6).

Tudng tlf nhu' tren:
g(f(X)

n g(X)) c g(f(X)) n g(g(X))

= g(f(X))

n g(X) c g(X)

(7).

Tu (5), (6), (7) ta thu du9c:
(f /\ g) ((f /\ g)(X)) c f(X) n g(X) = (f /\ g) (X)

JO

(8).


a tren

M~t khac, nhu' da chung minh

f" g c6 tinh cha't phan x~ (tinh

chfft (Cl)), nen :
(f /\ g) (X)

X

::J

(9).

Cung theo chung rninh phfrn tren f /\ g c6 tinh chfft d6ng bie'n (tinh
cha't (C2)), do d6 tu (9) ta c6:

(f /\ g) ( (f" g) (X))

::J

(f" g) (X)

(10).

Nhu' v~y, tu (8) va (10) suy ra:
(f /\ g) ((f /\ g) (X)) = (f /\ g) (X) (dpcm).
,

?

,

,

,

1.3. TICH CUA CAC ANH

1.3.1. Khai

ni~m

Dinh nghia 1.4.
Khi d6 voi

X~

DONG.

tich cua cac anh
Gia sll'

X(l

(theo nghia ham hf!p cua hai dnh xg,).

f : '.o/{ U) ~ '.o/{ U),

g:

'.o/{ U) ~ '.o/{ U) .

X c U, ta c6:
f(g(X)) c U.

Anhx~

h(X) = f(g(X)) la m

la:

h :

'.o/-t u)

~

'.o/-t u)

Anh X<;l h du'QC gQi lag tich (ham hf!p) cua cdc dnh x~
hi~u

la:

'.o/-t U)' nghia

f

va g va

h =f.g.

Nhu' v~y, theo djnh nghia:
(fg)(X) =f(g(X)),

vlfiX cU.

1.3.2. Tinh chat cua tich cac anh X(l dong:
M~nh d~ 1.2. Ne'u f va g la cac anh X<;l dong thl tich f.g thoa cac tinh

11

ky


chfft phan

Xl;l

(Cl) va d6ng bie'n (C2).

Chang minh:

• f.g thoa (Cl), nghia la:
Voi X c U, phai chung minh:
(f.g)(X)

:::>

X.

Th?t v?y, ap dt;mg lien tie'p cac tinh chfft (Cl), (C2) d6i voi f va g, ta
(f.g)(X) = f(g(X))

co:

:::>

f(X)

:::>

X

(dpcm).

• f.g thoa (C2), nghia la:
Voi X,Yc U va X c Y ta phai chung minh:
(f.g)(X) c (f.g)(Y).
Th?t v?y, ap dt;mg lien tie'p cac tinh chfft (Cl), (C2) d6i voi f va g, ta
(f.g)(X)

co:

=f(g(X)) c

f(g(Y))

= (f.g)(Y)

(dpcm).

M~nh d~ 1.3.

Tu tinh dong cua cac anh

Xl;l

Noi each khac, tich ciia cac anh

x~

Xl;l

f va g khong suy ra tinh dong cua f.g.
dong noi chung khong phai la m<)t anh

dong:

f, ge CV?u

=I=>

f ge CV?u

M~nh d~ 1.3 du'qc lam ro qua phan vi d9 sau:

Phdn vi df:l 1.3:

Xet

u = ~ 1, 2, 3, ... ,,

10~

la t~p 10 s6 tlf nhien (du'dng) dftu tien.

Gia sit hai anh X(;l:
f : '.o/-t'U) ~ '.o/-t'U)

12


g : Pl-( u) ~ Pl-( u)

clu'VdiXcU:

=x u i a+l I a EX & a chan & a+l EUr;
g(X) = x u i 2a I a Ex & a le & 2a Eu r.

f(X)

Trude he't ta chll'ng minh r~ng f va g la cac anh

Xl;l

dong, nghia la

chung thoa cac tinh cha't (Cl), (C2) va (C3):
(I)

Chang minhf la dnh xg, dong:

• f thoa (Cl):
Hi~n nhien, vl vdi X c U ·

f(X) =

x u i a+l I a EX & a chan & a+.l EU r :::> x.

• f thoa (C2):
Vdi X,Yc U va X c Y ta phai chung minh:
Th~t v~y,

f(X) c f(Y).

gia sli' hEf(X) thl theo clinh nghia cua f(X):

Ho~c

bEX

(i)

Ho~c

b = a+l vdi aEX, a chan, a+l EU

(ii)

Nhu'ng vl

x c y nen ne'u bEX ~ bEY
va ne'u a EX~ aEY

Do cl6 tu (i) va (ii) suy ra:
Ho~c

bEY

Hoac b =a+l voi aEY, a chan, a+l EU
Khi cl6, theo dinh nghia cua f(Y), ta c6: b.Ef(Y).
Nhu v~ y ta da chung minh:
bEf(X)

~

bEf(Y).
13


f(X) c f(Y)

Nghia la:

(dpcm).

• f thoa (C3):
Theo dinh nghia f (X):
f(X)=Xui a+I
trong ·d6 ky

I aEX&achan&a+lEUr=XuM,

hi~u:

M=ia+II aEX&achan&a+lEUr;
f(f(X)) = f(X u M)
=Xu Muib+l{ bEXuM&bchan&b+lEUr

=(Xu M) u Mi.
trong d6 ky

hi~ti:

M1 = ib+l{ bEX u M & b chan & b+lEUr.
f)g chung minh f thoa (C3) tntoc he't ta chung minh

M 1c M :

Gia slt CEM1.
Khi d6:

c = b+l voi bEX uM, b chan, b+l EU.

C6 thg xay ra 2 tntong hqp:
-

Truong h
hEX, b chan, b+l EU;

-

Truong h
bEM, b chan, b+l EU.

d day truong hTh~t v~y, bEM

=> b = a+l voi a chan => b le .

.E>ieu nay mau thufin voi dieu ki~n b chan.
Trong trudng hop I:
b Ex & b cha n & b+ 1 Eu => b+ 1 EM => c EM.
Nhu v~y cEM 1 => cEM hay

M 1 c M.

Xet f(f(X)) = f(X u M) =(Xu M) u M 1 =Xu M = f(X) (Vl M1 c M)

14


=> f thoa (C3).
(2) Chang minh g la dnh xg, dong bdng lgp lugn tudng tf:( nhu dffi wJi

f

Theo m~n d~ 1.2, vl f va g la cac anh x~ dong, nen f.g co tinh chat
phan x~ (Cl) va tinh chat d6ng bie'n (C2).
Voi cac anh ~<:t dong f va g da xay dlfrig tren, tich f.g khong thoa
tinh chat (C3), nghia la (f.g)(f.g)

=1-

f.g.

Th~t v~y, xett~p X = i 1 r c U,

Khi do:

g(X)

=i

1, 2

r

=f(g(X)) = td 1, 2 r) =i 1, 2, 3 r
(g(f.g))(X) = g(f(g(X))) = g{i 1, 2, 3 h =i 1, 2, 3, 6 r
((f.g)(f.g))(X) =f(g(f(g(X)))) =f(i 1, 2, 3, 6 h =i 1, 2, 3, 6, 7 r
=1- i 1, 2, 3 r = (f.g)(X) => (f.g)(f.g) =1- f.g
(dpcm).
(f.g)(X)

Nh{j,n xet 1.1.
Trong ph~n chung minh m~nh d€ 1.3 tren thlfc te' da chung minh
m~nh d€ sau:
"Tich cua cdc dnh xg, dong khong c6 tinh chfft lay ddng ".

Tie'p tl;lC nghien cuu v€ tich ctia anh
noi chung, tich ctia hai anh
m9t sO' lOp anh

XC;l

X<;l

X<;l

dong, tnroc he't ta nh~n thay,

khong co tinh giao hoan. Tuy nhien, dO'i voi

hyp hon thl co th~ co tinh chat do. Lop anh

XC;l

dong ~u

da de C~p trong phan tren cling Chua du hyp d~ tich cua hai anh XC;l CO tinh

chat giao hoan. B~ng phan vi dl;l, ta co th~ chung to di€u do.

15


M~nh d~ 1.4.

Tich cua hai anh x~ dong khong c6 tinh giao hoan:
(f,

gE ~U =I=> fg

= g.f).

f)~ chung minh, ta xet cac ham f va g da xay dlfng trong phan vi

d9 1.3 (J phfin tren.

La'y X = { 1

r,
=f(g(X)) =i
(g.f)(X) = g(f(X)) = i
(f.g)(X)

1, 2, 3
1, 2,

r

r

=> (f.g)(X) "* (g.f)(X). Do d6: f.g "* g.f (dpcm).
1.4. H(1P CUA cAc ANH x~ DONG:
1.4.1. Khai ni~m htjp cua hai anh

Xf!..

l>jnh nghia 1.5.
Gia sll':

f: 'Pf(U) ~ 'Pf(U)

va

g: 'Pf(U) ~ 'Pf(U).

Khi d6 voi X c U, ta c6:
f(X) u g(X).c U.
Anh x~ h(X)

= f(X) u

g(X) la m<)t anh x~ xac djnh tren 'Pf(U), nghfa la:

h: 'Pf(U) ~ 'P/(U)
Anh x~ h du'QC gc;>i la h
f

va g va ky hi<$u :

h =f vg.
Nhu' v~y,'theo dinh nghia,

. (f v g)(X) = f(X) u g(X),
1.4.2. Tinh chat cua htjp cac anh Xf!. dong.

16

wJi X c U.


M~nh d~ 1.5. H<;fp cua hai anh xc;i dong c6 tinh phan xc;i (Cl) va tinh d6ng
bie'n (C2).

Chang minh:
Gia sii' cho f, gE<&'u. Ta phai chung minh f v g co cac tinh cha't (Cl)
va (C2), rtghia la phai chung minh:
(1)

V X c U ((f v g)(X) ::J X)

(2)

V X,Yc U (X c Y => (f v g)(X) c (f v g)(Y))
DS chung minh (1), Ia'y X c U, khi d6 theo dinh nghia
(f v g)(X)
Nhung

f(X)

::J

= f(X) u

g(X)

X (vl f E <&'u)

=> f(X) u g(X)

::J

X => (f v g)(X)

::J

X (dpcm).

• DS chung minh (2), xet X,Yc U sao cho X c Y. Khi d6, tu tinh cha't
d6ng bie'n cua f va g, ta c6 :
(f v g)(X)

= f(X) u

g(X) c f(Y) u g(Y)

= (f v g)(Y)
(dpcm).

M~nh d~ 1.6.

H<;fp cua hai anh x~ dong n6i chung khong co tinh lily d~ng (C3).
DS chung m~nh d€ 1.6. ta sii' dl;lng cac anh x~ f va g trong phan vi dl;l 1.3
da trlnh bay (J ph~n tren va chi ra ding dO'i voi cac anh x~ f va g d6:
(f v g)(f v g)
Th~tv~y.xet

-:t

f v g.

x = ~ 1 r. khi do:
(f v g)(X) = (f v g)d 1 h = fd 1 h u gd 1 r)

=~ 1 r u ~ 1, 2r = ~ 1, 2 r;
Trong khi d6:

17


((f v g)(f v g))(X) = (f v g)((f v g)d 1

r))

=(fvg)d 1,2 h= fd 1,2 r)u gd 1,2 h
=

Ro rang,

((f v g)(f v g))(X)

Nhu' v~y, h
X(;l

i

1. 2, 3 r u

i

1, 2 r ~

i

1, 2. 3

r.

* (f v g)(X) ~ (dpcm).
dong tuy co cac tinh cha"t (Cl) va (C2)

nhu'ng khong co tinh cha"t(C3). Do d6 ta co m~nh d~ sau:
M~nh d~ 1.7.

H
X(;l

dong noi chung khong phai la m<)t anh

X(;l

dong.

N 6 i ca ch kha c: f, g E ?#'u =I=> f v g E ?#'u.

1.5. QUAN Ht THU Tl} TREN T~P ANH XA.

1.5.1. Khai lli~m thu tt! giila cac anh X(l,.
Dinh nghia 1.6.

Ky hi~u t~p h

Gia sll'

la G4'tu, nghia la :

f, gEGYltu. Khi d6, quan h? thu t~ ~ (nho hon ho~c bang)

giua f va g du'. f ~ g ne'u tfX cU (f(X) cg(X)).

1.5.2. Tinh chat cua quan h~ ( ~):
M~nh d~ 1.8.

Quan h~ ( ~) xac dinh mQt thu tlf b<) ph~n tren G4'tu
sau:
(1) Tinh cha"t phan x(;l:

tffEGYltu (f ~ f);

18

va c6 cac tinh cha"t


(2) Tfnh cha't phan xung: 'rlf,
(3) Tinh cha't b~c cfiu:

gE
= g);

'rlf, g, hE
Nhlj,n xet:
•

Cac tinh cha't tren dttc;fc suy ra tnfc tie'p tu dinh nghia quan h~ thu
tlf ~ gifi'a hai anh

•

X<;l.

Quan h~ thu tlf ~ la IDQt thu tlf bQ ph~n VI t6n t<;ti nhfi'ng anh
khong SO Sanh dltc;fC VOi nhau, nghfa la t6n t<;ti cac anh

X<;l

X<;l

f Va g

thu(k di~u ki~n g ~ f.

•

Theo qui uoc, trong truong hc;fp c§n thie't d~ thu~n ti~n cho vi~c
trlnh bay, c6 th~ vie't f~ g thay cho each vie't g~f.

1.6. DIEU KitN DE Tieu CAC ANH x~ DONG LA ANH x~ DONG.

1.6.1. Nhiic l{li mQt sfi'ket qua: [l], [3], [13]
M~nh d~ 1.9.

Tich ciia hai anh

X(;l

dong khong nho hon m6i anh

X<;l

thanh ph§n:

'vf f, gE M~nh d~ 1.10. (Tlnh Ch(ft gia tang trdi

va gia tang phdi cua quan h~

~

giila cdc dnh X(l dong).
Vf, g, h, kE <!Wu (f ~ g & h ~ k => f.h~ g.k).

Dinh ly 1.1.
Voi m9i anh x<;t dong f, g ba di~u ki~n sau day la tuong duong:
1)
f ~ g;
2)
f.g = g;
3)

g.f=g.

19


Dinh ly 1.2. (Diiu ki~n c&n va du de' tich cua hai dnh X(J, dong
la m9t dnh xg, dong).
Cho hai anh X<;t dong f va g. Khi do, cac tich f.g va g.f d6ng thoi
la CaC anh

dong khi Va chi khi chung giao hoan:

X<;l

V f,

gE~u

(f.g, g.fE~u <=> f.g = g.f).

Dinh ly 1.3.
Tich cua hai anh X<;t dong f va g la m()t anh X<;t dong khi va chi khi
f.g.f = f.g.
Noi each khac:

v f, g E '$7u

(f.g E ~u <=> f.g.f = f.g).

1.6.2. Mqt slf ket qua khac.

Trong m1:1c 1.6.1. da d~ c~ p m()t s6 tinh cha't ctia quan h~ ~ giua cac
anh

X<;l

dong, nhu' tfnh chfft gia tang trai, gia tang phai ... (cac m~nh di J.9,

I.JO). Trong m1:1c nay, truck he't tac gia lu~n van se chung minh cac tinh
cha't tu'dng tlf nhu' tren nhu'ng md r()ng hon, khong doi hoi nha't tpie't ta't ca
cac anh

X<;l d~u

phai la anh

X<;l

dong (cdc m~nh di 1.11, l.J2,

Va

J.J3, trang

20-21). Tie'p theo se chung minh m()t s6 h~ thuc lien h~ giua giao, tich va
h<;1p cua cac anh X<;t dong (cdc m~nh di 1.14 - 1.18, trang 22-27). Cu6i illl;IC
nay, se chung minh m()t di~u ki~n du (nhu'ng khong la di~u ki~n cfin) dti
tich cua cac anh

X<;l

dong la IDQt anh

X<;l

dong (djnh

/y

J.4, nh!jn xet J.2

phdn vi di!- 1.3, ·trang 27-_30).
M~nh d~ 1.11.
~

(1) \:/

f, gE'$7u (f.g

(2) V

fE'$7u. V gEo&'u (f.g ~ g).

20

f) ([13]);

Va


Chung minh: (2)

Gia slt fE ~U- gE0Atu va la'y tuy

y x cu.

Khi d6, d~t Y = g(X), vl f E ~u. nen f c6 tinh cha't phan x~. do do :
f (Y) ::) Y hay f (g(X)) ::) g(X), nghia la:
f.g

~

g (dpcm).

M~nh d~ 1.12.
~

~

(1)

V f, g, hEoAtu (f

g

(2)

V f, gEoAtu V hE~u (f

f.h

~

g

~

g.h);

~

h.f

~

h.g).

Chung minh:
(1)

La'y tuy

Khi d6, vl f

~

y

X c U, d~t Y = h(X).

g, nen f(Y)c g(Y) hay f(h(X)) c g(h(X))
<=> (f.h)(X) c (g.h)(X)

<=> f.h

(2)

Khi d6, vl

~

g.h

(dpcm).

Gia si't f, gEoltu, hE f

~

y x cu.

g, nen f(X) c g(X).

Vl hE ~u nen ap dl;lng tinh cha't d6ng bie'n (C2) d6i voi h ta c6:
f(X) c g(X)

~

h(f(X)) c h(g(X))

<=> (h.f)(X) c (h.g)(X)
<=> h.f

~

h.g

(dpcm).

M~nh d~ 1.13.

V f, gEoltu V h,

kE~u(f ~

h& g

~

k

~

f.g

~

h.k).

Chung minh:
Theo gia hie't:

f ~h

Theo m~nh dS 1.12, (1): f.g ~ h.g
21

(1)


g ~ k, h E ~u

Theo gia thie't :

Theo m<$nh d€ 1.12, (2): h.g ·~ h.k

(2)

Tu (1) va(2) suy ra (theo tinh cha't b~c c§u cua quan ht$ ~):
f.g

~

h.k

(dpcm).

M~nh d~ 1.14.

Voi m9i anh x~ f, g, hEg,f{u (khong nha't thie't la anh x~ dong) ta
d~u c6 cac ht$ thuc sau:
~

f

~

f v g;

(1)

f /\ g

(2)

(f /\ g)h =f.h /\ g.h;
(phep giao c6 tinh cha't phan b6 phai d6i voi tich).

(3)

h(f /\ g) ~ h.f /\ h.g;
(phep giao khong c6 tinh cha't phan b6 trai dO'i voi tich).

(4)

(f v g)h = f.h v g.h;
(phep hqp c6 tinh cha't phan b6 phai dO'i voi tich).

(5)

h(f v_ g)

~

h.f v h.g

(voi hE ~u)

(phep hqp khong c6 tinh cha't phan b6 trai d6i voi tich).
Chang minh m~nh

di 1.14 (cdc h~ thac (1)-(5))

Trude he't ta chung minh (1) :V f, gEg,/{u ( f /\ g ~ f ~ f v g );
Ta tha'y, ht$ thuc (1): f /\ g ~ f ~ f v g duqc suy rad~ dang tu dinh nghia
cac phep toan /\, v cua cac anh x~ va tu h~ thuc hi~n nhien sau trong
thuye't t~p hqp:
f(X) n g(X) c f(X) ·c f(X) u g(X),

22

X c U.

ly-