bài tập nhập môn toán cao cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA TOÁN
NGUYỄN DƯƠNG HOÀNG

BÀI TẬP

NHẬP MÔN
TOÁN CAO CẤP

ĐỒNG THÁP -2011


Nhập môn toán cao cấp

TS Nguyễn Dương Hoàng

BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Đề 1. Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:
a) A = {x ∈ R|(x − 1)(2x2 + 3x + 1) = 0}
b) B = {x ∈ Z|xx = x}
c) C = {x ∈ N |x là ước của 24}

ET

d) D = {x ∈ N |x2 + 4x − 5 = 0}
Đề 2. Viết lại các tập hợp sau bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng
của các phần tử.

ATH
S.N

a) A = {5, 10, 15, 20, 25}
b) B = {−2, −1, 0, 1, 2}
1 1 1
c) C = {1, , , , · · · }
2 4 8
d) D = {∅}

Đề 3. Xét quan hệ giữa các tập A và B cho dưới đây:
a) A = {n ∈ N |n2 < 7}; B = {n ∈ N |n3 < 10}

TM

b) A = {các đa giác có chu vi 4m}, B = {các hình vuông có diện tích 1 m2 }
Đề 4. Cho A = {−2, −1, 0, 3, 4}, B = {−1, 2, 3, 5}
a) Xác định các tập A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, A∆B

VIE

b) Tìm tất cả các tập con của A mà nó cũng là tập con của B.
Đề 5. Cho A = {−2, −1, 0, 1, 4}, B = {0, 1, 2}. Hãy xác định các tập sau
đây:
a) {(x, y) ∈ A × B|x < y}

b) {(x, y) ∈ A × B|x2 ≤ y 2 }
Đề 6. Liệt kê các phần tử của các tập sau:
a) {(a, b) ∈ N 2 |a + b = 8}
b) {(a, b) ∈ N 2 |a = 6 − 2b}
Đề 7. Cho A = {−2; −1; 0; 1; 2}, B = {0; 1; 2}. Hãy xác định các tập sau
đây:
2

Nhập môn toán cao cấp

TS Nguyễn Dương Hoàng

a) {(x, y) ∈ A × B|x < y}
b) {(x, y) ∈ A × B|x2 ≤ y 2 }
c) {(x.y) ∈ A × B|ylà ước của x}
d) {(x, y) ∈ A × B|xy = 0}
Đề 8. Kí hiệu φ là tập rỗng. Xác định bản số của các tập sau:
a) {1; 0; {φ, {1}}}
b) {φ; {φ, 1}}
Đề 9. Trong số 50 học sinh của lớp có 25 học sinh có năng khiếu Toán, 17
có năng khiếu Văn, 12 không có năng khiếu cả Văn và Toán. Tìm số
học sinh của lớp có năng khiếu cả Văn và Toán.
Đề 10. Trong một lớp học có 20 em xin được bồi dưỡng chỉ một môn Toán,
4 em xin được bồi dưỡng chi một môn Văn, 15 em xin bồi dưỡng
thêm môn Tiếng Anh, trong số đó có 8 em chỉ xin bồi dưỡng môn
Tiếng Anh; 2 em xin bồi dưỡng thêm cả 3 môn Văn, Toán, Tiếng
Anh, 3 em xin bồi dưỡng Văn và Toán, 5 em xin bồi dưỡng thêm
Tiếng Anh và Toán. Hỏi:
a) Có bao nhiêu học sinh xin được bồi dưỡng thêm Văn và Tiếng
Anh?
b) Lớp có bao nhiêu học sinh, biết rằng mỗi học sinh của lớp đều
xin đăng kí học thêm ít nhất một môn.
Đề 11. Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức đã huy động 30 cán
bộ phiên dịch tiếng Anh và 25 cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong
đó có 12 cán bộ phiên dịch được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hỏi:
a) Ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho

hội nghị đó?
b) Có bao nhiêu cán bộ chỉ phiên dịch được tiếng Anh? chỉ phiên
dịch được tiếng Pháp?
Đề 12. Cho tập X = {2, 3, 4, 5, 6}. Trên X xác định các quan hệ sau:
aS1 b ⇔ a = b
aS2 b ⇔ a ≤ b
aS3 b ⇔ a < b
3


Nhập môn toán cao cấp

TS Nguyễn Dương Hoàng

.
aS4 b ⇔ a..b
aS5 b ⇔ a \ b
aS6 b ⇔ a, b nguyên tố cùng nhau.
a) Liệt kê các phần tử của mỗi quan hệ
b) Biểu diễn các quan hệ đó trên mặt phẳng tọa độ.
Đề 13. Trên tập Z, xét tính chất của các quan hệ sau đây:

ET

a) aRb nếu a+b lẻ.
b) aSb nếu a+b Chẵn.

ATH
S.N

Đề 14. Gọi X là tập các học sinh trong một lớp. Trên X xác định các quan
hệ: aS1 b nếu a và B cùng năm sinh, aS2 b nếu a, b cùng giới tính.
a) Chứng tỏ S1 , S2 là quan hệ tương đương.
b) Xác định tập thương X/S1 và X/S2 .

Đề 15. Gọi X là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và O ∈ X là một điểm
cố định. Xét quan hệ ARB nếu O, A, B thẳng hàng.
a) Chứng tỏ R không là quan hệ tương đương trên X.

TM

b) Chứng tỏ R là quan hệ tương đương trên X ∗ = X \ {0}.Xác định
tập thương X ∗ /R.
Đề 16. Trên tập N 2 , xét quan hệ R sau đây:
∀(m1 , n1 ), (m2 , n2 ) ∈ N 2 , (m1 , n1 )R(m2 , n2 ) ⇔ m1 + n2 = m2 + n1

VIE

Chứng minh rằng R là quan hệ tương đương trên N 2 . Hãy chỉ ra tập
thương.
Đề 17. Trên tập Z × N ∗ , xét quan hệ R sau đây:
∀(m1 , n1 ), (m2 , n2 ) ∈ Z × N ∗ , (m1 , n1 )R(m2 , n2 ) ⇔ m1 .n2 = m2 .n1
Chứng minh rằng R là quan hệ tương đương trên Z × N ∗ . Hãy chỉ
ra tập thương.
Đề 18. Trên tập X = R2 xét quan hệ sau (x1 , y1 )S(x2 , y2 ) nếu |y1 | = |y2 |
a) Chứng tỏ S là quan hệ tương đương trên X.
b) Xác định tập thương X/S và minh họa trên mặt phẳng tọa độ.

4

Nhập môn toán cao cấp

TS Nguyễn Dương Hoàng

Đề 19. Kí hiệu X là tập các điểm trên mặt phẳng và O ∈ X là một điểm cố
định. Trên X xét quan hệ M N nếu OM = ON
a) Chứng tỏ

là quan hệ tương đương trên X.

b) Xác định lớp tương đương chứa điểm A ∈ X
c) Mô tả tập thương X/ .
Đề 20. Trên R xét quan hệ :
aSb nếu a3 ≤ b3
aT b nếu a2 ≤ b2
Chứng tỏ S là quan hệ thứ tự toàn phần trên R còn T không là quan
hệ thứ tự trên R
Đề 21. Tìm miền xác định của ánh xạ cho bởi các biểu thức sau:
2+x
2−x
2
x − 3x − 2
b) f (x) = ln
x−1
π
c) f (x) = ln(sin )
2
a) f (x) = (x + 1)

Đề 22. Cho một ví dụ về ánh xạ f : N → N là
a) Đơn ánh nhưng không toàn ánh.
b) Vừa toàn ánh vừa đơn ánh nhưng khác ánh xạ đồng nhất
c) Không đơn ánh cũng không toàn ánh.
Đề 23. Chứng minh rằng nếu f : A → A là một toàn ánh và f ◦ f = f thì f
là ánh xạ đồng nhất.
Đề 24. Cho ánh xạ f : A → B X và Y là các tập con của A, S và T là tập
con của B. Chứng minh rằng:
a) f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y )
b) f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y )
c) f (A \ X) =⊃ f (A) \ f (X)

5


Nhập môn toán cao cấp

TS Nguyễn Dương Hoàng

Đề 25. Giả sử n là một số tự nhiên cho trước, f là một ánh xạ từ tập N đến
chính nó được xác định bởi:
n − k nếu k < n
n + k nếu k ≥ n

f (x) =

f có phải là đơn ánh, toàn ánh, song ánh không?
Đề 26. Cho ánh xạ

ET

f :R → R
x → x2 − 3x + 2

a)
b)
c)
d)

ATH
S.N

Hãy xác định:
f (0), f (1), f (−1)
f −1 (0), f −1 (1), f −1 (−1)
Imf, f ((0; +∞)), f ([2, +∞))
f −1 ([0; +∞), f −1 ((−∞, 0])

Đề 27. Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh của các ánh xạ sau. Trường
hợp f là song ánh thì tìm ánh xạ ngược của nó.
a)

VIE

b)

TM

f :R → R
x → x5 − 1

f :R → R
x → x2 − 3x + 3

c)

f :R \ {2} → R
3x − 1
x→
x−2

d)
f :[1, +∞) → [−5, ∞)
x → x2 − 2x − 4
6


Nhập môn toán cao cấp

TS Nguyễn Dương Hoàng

Đề 28. Cho ánh xạ f : X → Y . Trên tập X xét quan hệ xSy nếu f (x) = f (y)
a) Chứng minh S là một quan hệ tương đương trên X
b) Mô tả tập thương X/S. Chứng tỏ rằng có một đơn ánh từ X/S.
Đề 29. Cho ánh xạ f : A → B. Chứng minh rằng:
a) f là đơn ánh khi và chỉ khi với mọi tập X và với mọi g, g : X →
A, f ◦ g = f ◦ g kéo theo g = g
b) f là toàn ánh khi và chỉ khi với mọi tập Y và với mọi h, h : B →
Y, h ◦ f = h ◦ f kéo theo h = h
Đề 30. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số

a) Các chữ số không cần khác nhau.
b) Các chữ số khác nhau.
c) Số đầu và số cuối trùng nhau, khác với 3 số giữa.
Đề 31. Bảy người (A,B,C,D,E,F,G) lên một đoàn tàu có 10 toa. Hỏi có bao
nhiêu cách lên:
a) Một cách tùy ý.
b) Mỗi người một toa khác nhau.
c) A và B lên cùng một toa, những người khác tùy ý.
Đề 32. Trong một cuộc liên hoan của một lớp học, tất cả mọi người đều bắt
tay nhau và người ta đếm được tất cả 1225 cái bắt tay. Hãy tìm số
người của lớp đó.
Đề 33. Có thể vẽ được bao nhiêu tam giác từ n điểm trên mặt phẳng, trong
đó có m điểm cùng nằm trên một đường thẳng d và ngoài ra mọi bộ
ba điểm không cùng nằm trên đường thẳng d thì không thẳng hàng.
Đề 34. Một lớp học có 20 nam, 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 người trực
lớp.
a) Một cách tùy ý.
b) Có đúng một nữ.
c) Có ít nhất một nữ.
d) Có nhiều nhất hai nữ.
7


Nhập môn toán cao cấp

TS Nguyễn Dương Hoàng

Đề 35. Trên một đường tròn cho n điểm A1 , A2 , · · · , An . Hỏi lấy các điểm
này làm đỉnh thì:
a) Xác định được bao nhiêu tam giác.

b) Xác định được bao nhiêu tứ giác lồi.
c) Xác định được bao nhiêu đa giác lồi.

ET

Đề 36. Có bao nhiêu cách phân phối 9 đồ vật khác nhau vào 3 hộp khác
nhau sao cho hộp thứ nhất chứa 2 đồ vật, hộp thứ hai chứa 3 đồ vật
và hộp thứ ba chứa 4 đồ vật.

ATH
S.N

Đề 37. Với 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ta có thể ghi được bao nhiêu số
tự nhiên thỏ mãn một và chỉ một trong các điều kiện sau đây:
a) Có 5 chữ số và là số chẵn.
b) Có 5 chữ số khác nhau.

c) Có 5 chữ số và chia hết cho 5.

VIE

TM

d) Có 5 chữ số đồng thời mỗi chữ số ở mỗi hàng lớn hơn chữ số ở
hàng liền trước nó.

8


Nhập môn toán cao cấp

TS Nguyễn Dương Hoàng

BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Đề 1. Viết phủ định của các mệnh đề sau:
a) a và b đều không âm
b) a hoặc b không âm.
c) Phương trình (1) và phương trình (2) đều có nghiệm.
d) Phương trình (1) hoặc phương trình (2) đều có nghiệm.
Đề 2. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
a) Nếu người Mỹ lên được vũ trụ thì người Việt Nam lên được vũ
trụ
b) Nếu băng Bắc Cực còn thì các châu lục không còn.
c) Nếu chạch đẻ ngọn đa, sáo đẻ dưới nước thì ta lấy mình.
Đề 3. Viết các mệnh đề sau đây dưới dạng kí hiệu:
a) Nếu nước được độc lập mà dân không được hưởng hạnh phúc thì
độc lập cũng không có ý nghĩa gì? (Hồ Chí Minh)
b) Đường đi khó, không khó vì ngăn sông cách núi mà khó vì lòng
người ngại núi e sông. (Nguyễn Bá Học).
c) Nó gầy đi không phải vì làm việc nhiều, cũng không phải vì bệnh.
Đề 4. Kiểm tra 3 lô hàng. Kí hiệu pi là mệnh đề lô hàng i đạt yêu cầu
(i = 1, 2, 3). Sử dụng p1 , p2 , p3 và các phép toán, hãy biểu diễn các
mệnh đề:
a) Lô hàng 1 và 2 đạt yêu cầu.
b) Không lô hàng nào đạt yêu cầu.
c) Có ít nhất một lô hàng đạt yêu cầu.
d) Có không quá 2 lô hàng đạt yêu cầu.
Đề 5. Chứng minh các đẳng thức sau theo 2 cách lập bảng chân trị và biến
đổi đồng nhất.
a) p ⇒ (q ⇒ r) = q ⇒ (p ⇒ r)

b) p ⇒ (q ⇒ r) = p ∧ q ⇒ r
c) (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) = p ⇒ q ∧ r
9


Nhập môn toán cao cấp

TS Nguyễn Dương Hoàng

d) ((p ∧ q) ∨ (p ∧ q)) ∧ p = 0
Đề 6. Chứng minh các công thức sau đây hằng đúng, sau đó viết chúng
dưới dạng luật
a) p ∧ (p ∨ q) ⇒ q
b) (p ⇒) ∧ (p ⇒ q) ⇒ q
c) (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ q) ⇒ p

ET

Đề 7. Tìm miền đúng trên các hàm mệnh đề xác định trên R các số thực.
a) 2x + 1 > 3x
c) 3x2 + 5x + 10 > 0
d) x2 + 3x + 4 ≤ 0

ATH
S.N

b) 5x2 − 4x − 1 ≤ 0

Đề 8. Tìm miền đúng trên các hàm mệnh đề xác định trên N các số tự
nhiên.

a) n chia hết cho 2 và 3.
b) n là ước của 15.
c) n chia hết cho 5.

TM

d) n(2n2 − 3n + 1) = 0

Đề 9. Tìm miền đúng hàm mệnh đề hai biến xác định trên R các số thực.
Biểu diễn chúng trên mặt phẳng tọa độ.
b) xy ≥ 0
c) x ≤ y

VIE

a) x = y

d) |x + y| = 1

Đề 10. Cho hai hàm mệnh đề xác định trên R:
P (x) : x − 3 ≥ 0; Q(x) : x2 − 7x + 10 ≤ 0
Hãy tìm miền đúng của các hàm mệnh đề:
P (x) ∧ Q(x); P (x) ∨ Q(x), P (x) ⇒ Q(x); P (x) ⇔ Q(x)

10


Nhập môn toán cao cấp

TS Nguyễn Dương Hoàng

Đề 11. Cho hai hàm mệnh đề xác định trên R:
P (x, y) : x + y = 2; Q(x, y) : 2x + y = 3
Hãy tìm miền đúng của các hàm mệnh đề:
P (x, y) ∧ Q(x, y); P (x, y) ∨ Q(x, y), P (x, y) ⇒ Q(x, y); P (x, y) ⇔
Q(x, y). Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.
Đề 12. Dùng lượng từ ∃ hoặc ∀ để biểu diễn các mệnh đề dưới đây, sau đó
thiết lập mệnh đề phủ định của chúng.
a) Một số học sinh không hiểu bài.
b) Có quả ớt không cay.
c) Tất cả chất khí đều không dẫn điện.
Đề 13. Bạn hãy chứng tỏ những kết luận sau đây là sai:
1) Có một số tự nhiên mà mọi số chẵn đều nhỏ hơn nó.
2) Mọi người đàn ông đều có một người đàn bà là vợ của người ấy.
3) Mỗi tháng đều có ba ngày chủ nhật là ngày lẻ.
Đề 14. Cho trước các mệnh đề:
1) Trẻ sơ sinh chưa có tư duy logic.
2) Chúng ta không dám coi thường những người chinh phục được cá
sấu.
3) Chúng ta coi thường những những người chưa có tư duy logic.
Đề 15. Diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường và xác định tính đúng sai của
các mệnh đề:
1) ∀x∈R (|x| > 0)
2) ∃x∈R (|x| ≤ 0)
3) ∃x∈R ∀y∈R (x + y) = 1
4) ∀x∈R ∃y∈R (x + y) = 1
Đề 16. Rút gọn công thức
1) A = x ∨ y ⇒ (x ⇒ z)
2) B = (x ⇔ y) ∨ x
3) C = x ⇒ y ∨ (x ⇒ y)

11


Nhập môn toán cao cấp

TS Nguyễn Dương Hoàng

4) D = (xy ∨ xy)z ∨ (xy ∨ xy).z
Đề 17. Ba tên Cam, Quýt và Cuội bị tố cáo đã tham gia vào một vụ cướp
nhà băng. Bọn chúng lẫn trốn bằng xe riêng. Trong cuộc điều tra:
• Tên Cam khai bọn chúng đi trên chiếc TOYOTA màu xanh.
• Tên Quýt khai đó là chiếc MERCESDES màu đen.

ET

• Riêng tên Cuội thì cam đoan rằng chún bỏ chạy trên chiếc FORD
không phải màu xanh.

ATH
S.N

Giả sử rằng, trong các lời khai trên của mỗi tên chỉ đúng: hoặc là
màu xe, hoặc là nhãn hiệu Oto. Hỏi chiếc Oto đó màu gì? của hãng
xe nào?
Đề 18. Sau khi làm bài kiểm tra, trên đường về nhà.
Bạn An nói: Mình được điểm 10.

Bạn Bình khẳng định mình được 6.

Còn bạn Cúc vẻ không tự tin: mình không đạt điểm 10.

Sau khi thầy giáo trả bài: Một trong 3 bạn đạt điểm 6, một bạn đạt
điểm 10. So với dự kiến ban đầu thì có hai bạn trả lời đúng, một
người sai. Hỏi điểm bài kiểm tra của mỗi bạn.

TM

Đề 19. Bốn đội bóng A, B, C, D tham gia vào một cuộc thi đấu để xếp
hạng.
• Một người dự đoán: B hạng nhì, C hạng ba

VIE

• Người thứ hai dự đoán: A hạng nhì, C hạng tư
• Người thứ ba dự đoán: B hạng nhất, D hạng nhì.
Kết quả cho thấy mỗi người có một phần đúng và một phần sai. Vậy
kết quả xếp hạng thế nào.
Đề 20. Trong phòng có 100 người quen với ít nhất là 67 người khác. Chứng
minh rằng trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau.
Đề 21. Một gia đình có 5 người: bố, mẹ, em gái, một anh trai và một chị
gái. Những buổi đi xem hát vào tối thứ 7 bao giờ cũng tuân theo
quy luật sau:
a) Nếu bố đi thì mẹ, ít nhất một trong hai chị,em gái cùng đi.
12


Nhập môn toán cao cấp

TS Nguyễn Dương Hoàng

b) Hai chị em gái không đồng thời cùng đi.

c) Anh trai và em gái hoặc cùng đi hoặc không cùng đi.
Hỏi, tuân theo quy tắc trên thì những ai trong gia đình đi xem hát
trong mỗi trường hợp sau:
TH1: Mẹ không đi và anh trai đi.
TH2: Bố và ít nhất một trong hai chị em cùng đi.
Đề 22. Một giải bóng đá có n đội tham dự, các đội thi đấu vòng tròn mọt
lượt. Trong mỗi trận, đội thắng được hai điểm. Đội hòa được 1 điểm
và đội thua không điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng
theo các chỉ số phụ nào đó. Khi kết thúc giải, đội vô địch được 8
điểm, đội xếp thứ nhì được 6 điểm, đội xếp thứ ba được 5 điểm. Các
đội còn lại có số điểm khác nhau, hãy cho biết số đội đã tham dự
giải và số điểm các đội còn lại (có giải thích rõ).
Đề 23. Sau một thời gian dài xa cách, hai người bạn cũ gặp lại nhau. Một
trong hai người thông báo là anh ta đã có 3 người con trai và tích
các tuổi của chúng bằng 36; còn tổng các tuổi của chúng thì bằng
số cửa sổ của ngôi nhà cạnh chỗ họ đang gặp nhau. Người bạn đang
lúng túng thì anh ta tiếp luôn: Đứa con trai đầu tóc màu hung.
Sau đó, người thứ hai lập tức đọc ngay được số tuổi đám trẻ con
một cách chính xác. Hỏi tuổi của mỗi đứa trẻ.
Đề 24. Cho định lý: "Nếu đường thẳng c bất kì của mặt phẳng đã cắt đường
thẳng a thì cũng cắt đường thẳng b thì hai đường thẳng a và b song
song với nhau".
1) Viết cấu trúc logic của định lí đã cho.
2) Sử dụng hình thức phản đảo, chứng minh định lí đã cho.
Đề 25. Có tất cả 105 học sinh làm một đề kiểm tra. Đề kiểm tra gồm 1 bài
toán Đại số, 1 bài toán Hình học và 1 bài toán Lượng giác.
Biết rằng: 70 em giải được bài toán đại số; 59 em giải được bài toán
hình học và 62 em giải được bài toán Lượng giác; 90 em làm được bài
toán Đại số hoặc Hình học; 89 em giải được bài toán Hình học hoặc
Lượng giác; 91 em học sinh giải được bài toán Đại số hoặc Lượng

giác; còn 6 em không làm được bài toán nào.
13


Nhập môn toán cao cấp

TS Nguyễn Dương Hoàng

Hỏi có bao nhiêu em học sinh giải được cả ba bài toán của đề kiểm
tra.(20 em).
Đề 26. Có 10 người đi họp. Mỗi người quen với ít nhất là 5 người khác.
Chứng tỏ rằng, nếu cần sắp xếp 4 người vào một bàn tròn gồm 4
chỗ ngồi thì có thể xếp sao cho người nào cũng ngồi giữa hai quen
của mình.

ATH
S.N

ET

Đề 27. Hãy nêu những ví dụ suy luận trong toán học hoặc trong cuộc sống
có vận dụng những quy tắc suy luận sau:
p ⇒ q, q
p ⇒ q), p
b)
a)
q
p
p ∨ q, p
p ⇒ q, q ⇒ r

d)
c)
p⇒r
q
Đề 28. Chứng minh rằng một số bằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì
chia hết cho 6.
Đề 29. Chứng minh trong một tam giác có nhiều nhất một góc tù. Hãy nêu
quy tắc suy luận sử dụng trong chứng minh đó.
Đề 30. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ∗
n(n + 1)
2

TM

1) 1 + 2 + · · · + n =

2) 13 + 23 + · · · + n3 = (1 + 2 + · · · + n)2 = [

VIE

1
1
1
n
+
+ ··· +
=
1.2 2.3
n(n + 1) n(n + 1)
4) (1 + a)n ≥ 1 + na (a > −1)

3)

14

n(n + 1) 2
]
2