Chuyên đề toán lớp 4 các bài TOÁN SO SÁNH PHÂN số

CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH PHÂN SỐ BD HSG lớp 4+5

V. So sánh phân số
1. Kiến thức cần ghi nhớ
1.1: So sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số, quy đồng tử số
a) Quy đồng mẫu số
Bước 1: Quyđồng mẫu số
Bước 2: So sánh phân số vừa quy đồng
1
1
Ví dụ: So sánh 2 và 3
1 1× 3 3
=
=
+) Ta có: 2 2 × 3 6
3 2
1 1
>
>
+) Vì 6 6 nên 2 3

1 1× 2 2
=
=
3 3× 6

b) Quy đồng tử số
Bước 1: Quy đồng tử số
Bước 2: So sánh phân số đã quy đồng tử số

2

3
Ví dụ: So sánh hai phân số 5 và 4 bằng cách quy đồng tử số

+) Ta có :

2 2×3 6
=
=
5 5 × 3 15
6 6
2 3
<
<
+) Vì 15 8 nên 5 4

3 3× 2 6
=
=
4 4× 2 8

2. So sánh phân số bằng cách so sánh phần bù với đơn vị của phân số
- Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ
hơn và ngược lại.
Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.
2000
2001
2001 và 2002

Bước 1: (Tìm phần bù)

Ta có :

1−

2000
1
=
2001 2001

2001
1
=
1- 2002 2002

Bước 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh)
1
1
2000 2001
>
<
Vì 2001 2002 nên 2001 2002

* Chú ý: Đặt A = Mẫu 1 - tử 1
B = mẫu 2 - tử 2
Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B. Nếu trong trường hợp A ≠ B
ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân
số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau:
2000
2001
Ví dụ: 2001 và 2003 .

2000 2000 × 2 4000
=
=
2001
2001
×
2
4002
+) Ta có:


4000
2
=
1 - 4002 4002
2
2
4000 2001
2000 2001
<
>
>
+)Vì 4002 2003 nên 4002 2003 hay 2001 2003

2001
2
=
1- 2003 2003

3. So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị của phân số:

- Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn
hơn.
2001
2002
Ví dụ: So sánh: 2000 và 2001

Bước 1: Tìm phần hơn
2001
1
−1 =
2000
Ta có: 2000

2002
1
−1 =
2001
2001

Bươc 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh.
1
1
2001 2002
>
>
Vì 2000 2001 nên 2000 2001

* Chú ý: Đặt C = tử 1 - mẫu 1
D = tử 2 - mẫu 2

Cách so sánh phần hơn được dùng khi C = D. Nếu trong trường hợp C ≠ D
ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân
số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau.
2001
2003
Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 2000 và 2001
2001 2001 × 2 4002
=
=
2000
2000
×
2
4000
Bước1: Ta có: 4002
2
2003
2
−1 =
−1 =
4000
4000
2001
2001
2
2
4002 2003
2001 2003
<
<

<
Bước 2: Vì 4000 2001 nên 4000 2001 hay 2000 2001

4. So sánh phân số bằng cách so sánh cả hai phân số với phân số trung
gian
3
4
Ví dụ 1: So sánh 5 và 9

Bước 1: Ta có:

3 3 1
> =
5 6 2
3 1 4
3 4
> >
>
Bước 2: Vì 5 2 9 nên 5 9
19
31
Ví dụ 2: So sánh 60 và 90

Bước 1: Ta có:

19 20 1
<
=
60 60 3
19 1 31

19 31
< <
<
Bước 2: Vì 60 3 90 nên 60 90
101
100
Ví dụ 3: So sánh 100 và 101
101
100
101 100
>1 >
>
101 nên 100 101
Vì 100

4 4 1
< =
9 8 2

31 30 1
>
=
90 90 3

Ví dụ 4: So sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất.


40
41
57 và 55

Bài giải

40
+) Ta chọn phân số trung gian là : 55
40 40 41
<
<
+) Ta có: 57 55 55
40 41
<
+) Vậy 57 55

* Cách chọn phân số trung gian :
- Trong một số trường hợp đơn giản,1 có
1 thể chọn phân số trung gian là
, ,...
những phân số dễ tìm được như: 1, 2 3 bằng cách tìm thương của
mẫu
1
số và tử số ( Tức là mẫu chia1 cho tử Nếu b:a = 2 phân số bằng 2 nếu b :
2 nhưnng lớn hơn 1/3)của từng phân số rồi
a=
2,...
phân số
nhỏgiữa
hơnhai
chọn
số thì
tự nhiên

nằm
thương vừa tìm được. Số tự nhiên đó chính
là mẫu số của phân số trung gian còn tử số của phân số trung gian chính
bằng 1.

a
c
- Trong trường hợp tổng quát: So sánh hai phân số b và d (a, b, c, d khác

0)
- Nếu a > c còn
a < c còn b > d) thì ta có thể chọn phân số
a b < d (hoặc
c
trung gian là d (hoặc b )
- Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân
số thứ haivà hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ
hai
1 2có4 mối quan hệ với nhau về tỉ số (ví dụ: gấp 2 hoặc 3lần,…hay bằng
, , ,...
2 3 5 ) thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần

sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ
nhất. Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như trên.
15
70
Ví dụ: So sánh hai phân số 23 và 117
15 15 × 5 75
=
=

23
23
×
5
115
Bước 1: Ta có:
70
75
Ta so sánh 117 với 115

70
Bước 2: Chọn phân số trung gian là: 115
70
70
75
70
75
70 15
<
<
<
<
Bước 3: Vì 117 115 115 nên 117 115 hay 117 23

5. Đưa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh
- Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta được cùng
thương thì ta đưa hai phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai
phần phân số của hai hỗn số đó.
47
65

Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 15 và 21 .
47
2
65
2
=3
=3
21
21
Ta có: 15 15


2
2
2
2
47 65
>
3 >3
>
21 hay 15 21
Vì 15 21 nên 15

- Khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta được hai thương khác
nhau, ta cũng đưa hai phân số về hỗn số để so sánh.
41
23
Ví dụ: So sánh 11 và 10

Ta có:

41
8
=3
11
11
8
3
41
23
3 >2
Vì 3 > 2 nên 11 10 hay 11 > 10

23
3
=2
10
10

* Chú ý: Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta
có thể nhân cả hai phân số đó với số tự nhiên đó rồi đưa kết quả vừa tìm
được về hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó với nhau
47
65
Ví dụ: So sánh 15 và 21 .
47
47
2
=9
5

+) Ta có: 15 x 3 = 5
2 2
2
2
47
65
>
9 >9
7 hay 15 > 21
+) Vì 5 7 nên 5

65
65
2
×3 =
=9
21
7
7

6. Thực hiện phép chia hai phân số để so sánh
- Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm được
bằng 1 thì hai phân số đó bằng nhau; nếu thương tìm được lớn hơn 1 thì
phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai; nếu thương tìm được nhỏ hơn 1
thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai.
5
7
Ví dụ: So sánh 9 và 10
5
7

50
5
7
<1
Ta có: 9 : 10 = 63
Vậy 9 < 10 .

7. Vẽ sơ đồ.
8. Viết PS thành tổng các phân số có tổng các phân số có tử bằng 1 mẫu
số khác nhau rồi so sánh.
9. Nghịch đảo hai phân số rồi so sánh.
10. So sans với 1. 9Còn nữa)
Bài tập
Bài 1: Rút gọn các phân số sau thành phân số tối giản:
297 474 549 3672 7976
;
;
;
;
.
891 1185 1281 4284 9970

Bài 2: Quy đồng mẫu số các phân số sau:
3 4
;
a) 4 9
13 5 43
;
;
c) 16 27 49

26
b) 32
45
d) 65

13
18
28 56
;
;
36 60
;

Bài 3: Quy đồng mẫu số các phân số sau:
8
a) 15
11
c) 16

23
60
17
;
80

;

13 11
;

b) 24 18
1 4 2
; ;
d) 4 5 3

Bài 4: Quy đồng tử số các phân số sau:


12 8
;
a) 13 9

16 27 21
;
;
b) 15 31 19

Bài 5:
a)Viết các số thập phân dưới dạng tỉ số phần trăm: 0,15 ; 3,1 ; 0,8 ; 3,5.
b)Viết các tỉ số phần trăm dưới dạng số thập phân: 25% ; 1.3% ; 10% ;
85%.
1 1 1 5
; ; ;
c)Viết các phân số sau dưới dạng tỉ số phần trăm: 2 4 8 16

Bài 6: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
7
17
a) 11 và 23
12

13
b) 48 và 47
25
25
c) 30 và 49

34
35
d) 43 và 42
23
47
e) 48 và 92
415
572
395 và 581
g)
3131

31
h, 42 và

4242

Bài 7: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
12
7
a) 17 và 15
1999
12
b) 2001 và 11

13
27
c) 27 và 41

1998
1999
d) 1999 và 2000
1
1
e) a + 1 và a − 1
23
24
17
13
g) 47 và 45
h, 33 và 27

Bài 8: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
a)
b)
c)
d)

15
5
25 và 7
13
27
60 và 100
1993

997
1995 và 998
47
29
15 và 35

e)
g)
h)
i)

3
17
8 và 49
43
29
47 và 35
43
31
49 và 35
16
15
27 và 29

15
24
k, 59 và 47

Bài 9: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
13

23
a)
16 15 và 25
49
23
24
b) 28 và 27
12
25
c) 25 và 49

Bài 10:

13
38 và

13
133
d) 15 và 153

13
1333
e) 15 và 1555
15
153
g, 21 và 213

1 2 3 4 5 6 7 8 9
; ; ; ; ; ; ; ;
a) Sắp xếp các phân số theo thứ tự giảm dần: 2 3 4 5 6 7 8 9 10

26 215 10 26 152
;
; ; ;
.
15 253 10 11 253
b) Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần:
5 1 3 2 4
; ; ; ; .
c) Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần: 6 2 4 3 5 Sắp xếp lại trước

khi tìm phần bù

d) Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ lớn đén bé:

21 60 19
; ;
25 81 29
15 6 3 12 2004
; ;1; ; ;
6 14 5 15 1999

e) Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ lớn đén bé:
Bài 11: Tìm phân số nhỏ nhất trong các phân số sau:(Giúp em gioi Toán
cũ)
1985 19 1983 31 1984
; ;
; ;
a) 1980 60 1981 30 1982

196 14 39 21 175
; ; ; ;
b) 189 45 37 60 175

Bài 12: Viết các phân số sau dưới dạng phân số thập phân rồi xếp theo thứ
tự từ nhỏ đến lớn:
11 9 7 600 19
; ;
;
;
20 10 25 1000 50 ( Cần phải nhớ rõ PS TP có mẫu số như thế nào?)

Bài 13: Tìm phân số nhỏ nhất và phân số lớn nhất trong các phân số sau:
12 77 135 13 231
;
;
;
;
49 18 100 47 123 (Cần rút gọn đã)

Bài 14:

1
3
a) Tìm 6 phân số tối giản nằm giữa 5 và 8

b) Hãy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số:
2
3

5 và 5

1
3
6 và 7

(Trước hết ta phải ss hai phân số)
Bài 15: Hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa hai phân
số:
2
3
a. 11 và 12

9
11
b. 10 và 13

Bài 16: So sánh phân số sau với 1
34 × 34
33 × 35
a) 1985198519
85 × 198719871987
c) 198619861986 × 198619861986

1999 × 1999
b) 1995 ×1995

Bài 17: So sánh

1 × 3 × 5 + 2 × 6 × 10 + 4 × 12 × 20 + 7 × 21 × 35

308
1 × 5 × 7 + 2 × 10 × 14 + 4 × 20 × 28 + 7 × 35 × 49 với 708 (Xem phân số ,tỉ số)

Bài 18: So sánh A và B, biết:

11 × 13 × 15 + 33 × 39 × 45 + 55 × 65 × 75 + 99 × 117 × 135
13 × 15 × 17 + 39 × 45 × 51 + 65 × 75 × 85 + 117 × 135 × 153
A = 1111
B = 1717

Bài 19: So sánh các phân số sau (n là số tự nhiên)


a. )

n +1 n + 3
;
n+2 n+4

n
n −1
;
n+3 n+4

b)

Bài 20: So sánh phân số sau: (a là số tự nhiên, a khác 0)

a +1
a

;
a+6 a+7
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + +
2 3 4 5 6 7 8 có phải là số tự nhiên không? Vì
Bài
21:
Tổng
S
=
sao?
1 1 1 1 1 1 1
1
+ + + + + +
HSG nên nâng cấp đến PS
S = 2 3 4 5 6 7 8 + ...+ 16
1
1
1
1
1
5
+
+
+ ... +
+
89 90 với 6 (Xem phân số , tỉ số)
Bài 22: So sánh 31 32 33
a)

a +1 a + 3
;
a
a+2

b)

Bài 23: Hãy chứng tỏ rằng:

7
1
1
1
1
1
<
+
+
+ ... +
+
<1
12 41 42 43
79 80

Bài 24: So sánh A và B biết: (Đề thi HSG năm 2007-2008)
A. =

2006
2007
+

987654321 246813579

B. =

2007
2006
+
987654321 246813579

Bài 25: So sánh M và N, biết:
M =

2003 2004
+
2004 2005

N =

Bài 26: So sánh A và B, biết:
A.

432143214321
999999999999

Bài 27: Cho phân số:

B.

2003 + 2004
2004 + 2005 ( Bù )

1231 + 1231 + 1231 + 1231
1997 + 19971997 + 199819982000

(chọn PS trung gian)

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9
M = 11 + 12 + 13 + ... + 19 ( Tính tổng tử và mẫu rồi rút gọn)

Hãy bớt một số hạng ở tử số và một số hạng ở mẫu số sao cho giá trị
phân số không thay đổi.
(Nên xem phân số , tỉ số để có thêm bài tập dạng này)