Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán tỉnh tuyên quang năm học 2012 2013(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2012 - 2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề có 01 trang)

Đề chính thức
Câu 1 (3,0 điểm).

a) Giải phương trình: x 2 − x − 12 = 0
2 x + 3 y = 7
.
 x − 10 y = −8

b) Giải hệ phương trình : 
c) Giải phương trình:

x 4 −29 x 2 +100 = 0

Câu 2 (2,5 điểm). Một tàu thuỷ xuôi dòng một khúc sông dài 48 km, rồi ngược khúc
sông ấy hết tổng thời gian 5 giờ. Tính vận tốc thực của tàu thuỷ (khi nước yên lặng)
biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Câu 3 (3,5 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD = 10 cm,
·
CD = 6 cm và BAD
= 600 . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông
góc với AD tại F.
a) Chứng minh rằng tứ giác DCEF nội tiếp.

b) Tính diện tích tam giác ABD và tam giác ACD.
c) Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc BCF.
Câu 4 (1,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên (x,y) của phương trình
4 y 2 = 2 + 199 − x 2 − 2 x

------------------------------------------Hết ----------------------------------


Hướng dẫn chấm, biểu điểm
MÔN THI: TOÁN CHUNG
Nội dung

Điểm

Câu 1 (3,0 điểm)

x 2 − x − 12 = 0

a) Giải phương trình:

Bài giải: Ta có ∆ = (−1)2 − 4.1.(−12) = 49 ⇒ ∆ = 7
Phương trình có nghiệm: x1 =
b) Giải hệ phương trình:

−(−1) − 7
−(−1) + 7
= − 3; x2 =
=4
2
2

1,0
0,5
0,5

2 x + 3 y = 7

 x − 10 y = −8

2 x + 3 y = 7
2 x + 3 y = 7
⇔
 x − 10 y = −8  2 x − 20 y = −16

1,0

Ta có: 

0,5

2 x + 3 y = 7
x = 2
⇔
⇔
.
23 y = 23
y =1

0,5

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (x; y) = (2; 1)
c) Giải phương trình:

1,0

x 4 −29 x 2 +100 = 0 (*)

Đặt y = x 2 ( điều kiện y ≥ 0 ) phương trình trở thành: y 2 −29 y +100 = 0
Phương trình này có 2 nghiệm: y = 25 và y = 4 (thoả mãn)
Với y = 25 ta có x 2 = 25 ⇔ x = ±5
Với y = 4 ta có x 2 = 4 ⇔ x = ±2

0,25
0,25
0,5
2,5

Câu 2 (2,5 điểm ) Một tàu thuỷ xuôi dòng một khúc sông dài 48 km, rồi ngược

khúc sông ấy hết tổng thời gian 5 giờ. Tính vận tốc thực của tàu thuỷ (khi nước
yên lặng) biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Bài giải: Gọi vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là x ( km/giờ) ĐK: x > 4

0,25

Vận tốc tàu thuỷ khi xuôi dòng là x + 4 (km/h), khi ngược dòng là x - 4 (km/h)

0,25

Thời gian tàu thuỷ xuôi dòng là

Theo bài ra ta có phương trình:
48
48
+
=5 ( 1 )
x+4 x−4

48
48
(h), ngược dòng là
x+4
x−4

4
Giải phương trình (1) tìm được x1 = 20 ; x2 = −
5
4
Loại x2 = − .
5
Vậy vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là 20 km/giờ.

0,25

0,5

1,0

0,25

2

Câu 3 (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD = 10 cm,
·
cạnh CD = 6 cm, BAD
= 600 . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF

vuông góc với AD tại F.
a) Chứng minh rằng tứ giác DCEF nội tiếp.
b) Tính diện tích tam giác ABD và tam giác ACD.
c) Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc BCF.

Vẽ hình đúng
C
2
1
B
E

0,5

A

1

F

D

1,0

a) Tứ giác DCEF nội tiếp.
·
Ta có: ACD
= 900
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD )
·
Hay ECD
= 900
Xét tứ giác DCEF có:
·
ECD
= 900 ( cm trên )
·
EFD
= 900 ( vì EF ⊥ AD (gt) )

0,5

·
·
=> ECD
+ EFD
= 900 + 900 = 1800 => Tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( đpcm )
0,5

b) Tính diện tích tam giác ABD và tam giác ACD.
1
2

Ta có AB = AD =

10
= 5 (cm)
2

BD = AD − AB = 10 − 5 = 5 3 (cm) ⇒ S ∆ABD
2

2

2

2

AC = AD 2 − CD 2 = 102 − 62 = 8 (cm) ⇒ S ∆ACD =

1
1
25 3
= AB.BD = 5.5 3 =
(cm2)
2
2
2

1
1
AC.CD = 8.6 = 24 (cm2)
2

2

1,0

0,5

0,5
3


c) Tia CA là tia phân giác của góc BCF.

1,0
0,5

Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( c/m phần a )
¶ =D
¶ ( góc nội tiếp cùng chắn » )
=> C
EF
1
1

(1)

Xét đường tròn đường kính AD, ta có:
¶ =D
¶ ( góc nội tiếp cùng chắn ¼ )
C
AB

2
1
Từ (1) và (2)

0,5

(2)

¶ =C
¶ hay CA là tia phân giác của ·
=> C
BCF .( đpcm )
1
2

Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình nghiệm nguyên
4 y 2 = 2 + 199 − x 2 − 2 x

Điều kiện: 199 − x 2 − 2 x ≥ 0 ⇔ −10 2 − 1 ≤ x ≤ 10 2 − 1

*

0,25

Ta có: 199 − x 2 − 2 x = 200 − ( x +1) 2 ≤ 200 < 15
1
2

Do đó: 2 ≤ 4 y 2 ≤ 17 ⇒ ≤ y 2 <

17
, mà y ∈ ¢ nên y ∈ { −2; −1;1; 2
4

}

0,25

2 + 200 − ( x + 1) 2 = 4 ⇔ 200 − ( x + 1) 2 = 4

Với y = ±1 ta có

 x = 13
⇔ ( x + 1) 2 = 196 ⇔ 
 x = −15

0,25

2 + 200 − ( x + 1) 2 = 16 ⇔ 200 − ( x + 1) 2 = 196

Với y = ±2 ta có

x = 1
⇔ ( x + 1) 2 = 4 ⇔ 
 x = −3

0,25

(Ghi chú: Nếu thí sinh có cách giải khác mà đúng đáp số thì vẫn cho điểm tối đa).

4