Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán tỉnh tuyên quang năm học 2013 2014(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học 2013 - 2014
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề có 01 trang)

Câu 1 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình: x 2 − 2 x − 4 = 0 .

 x + 2 y = −4
2 x − y = 7

b) Giải hệ phương trình : 

c) Cho phương trình: x 2 − 2 x + m − 1 = 0 . Tìm m để phưong trình có 2 nghiệm
2
2
phân biệt thoả mãn điều kiện: x1 + x2 = 5 .
Câu 2 (2,5 điểm). Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 32 m. Nếu tăng chiều
rộng lên gấp đôi, chiều dài lên gấp ba thì chu vi mảnh vườn mới là 82 m. Tính các
cạnh của mảnh vườn ban đầu.
Câu 3 (3,5 điểm). Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ tiếp tuyến MA, MB
với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O
(C nằm giữa M và D), OM cắt AB và đường tròn tâm O lần lượt tại H và I.

Chứng minh.
a) Tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Hai tam giác MAC và MDA đồng dạng.
c) OH.OM + MC.MD = MO2.
Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực a, b, c, d sao cho: a + b + c + d = 2 .
Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ 1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
----Hết ----


Hướng dẫn chấm, biểu điểm
MÔN THI: TOÁN CHUNG
Nội dung

Điểm

Câu 1 (3,0 điểm)
a) Giải phương trình:

x2 − 2x − 4 = 0

1,0

Ta có ∆ ' = (−1)2 − 1.(−4) = 5 ⇒ ∆ ' = 5
Phương trình có nghiệm: x1 =1 − 5; x2 = 1 + 5

0,5
0,5

 x + 2 y = −4 (1)
b) Giải hệ phương trình: 

(2)
2 x − y = 7

1,0

 x + 2 y = −4
 x + 2 y = −4
⇔
⇔
⇒x=2
4 x − 2 y = 14
5 x = 10
x = 2
Thay x = 2 vào (1): 2 + 2y = -4 ⇔ y = -3. Tập nghiệm: 
 y = −3

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (x; y) = (2; - 3)
c) Cho phương trình: x 2 − 2 x + m − 1 = 0 . Tim m để phương trình có 2 nghiệm
phân biệt thoả mãn điều kiện: x12 + x22 = 5
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ta cần có:
∆ ' > 0 ⇔ 1 − (m − 1) = − m + 2 > 0 ⇔ m < 2 (1)
x12 + x22 = 5 ⇔ x12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 5

Ta có

⇔ 4 − 2(m − 1) = 5 ⇒ m =

1
2

0,5

0,5
1,0

0,5

0,5

thoả mãn điều kiện (1).
Vậy m =

1
là giá trị cần tìm
2

Câu 2 (2,5 điểm ) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 32 m. Nếu tăng
chiều rộng lên gấp đôi, chiều dài lên gấp ba thì chu vi mảnh vườn mới là 82 m.
Tính các cạnh của mảnh vườn ban đầu.
Gọi chiều rộng, chiều dài của mảnh vườn lúc đầu lần lượt là x, y (m). Điều kiện:
x và y là các số thực dương và x ≤ y .
Chu vi mảnh vườn là 32 (m), ta có phương trình
2(x + y) = 32 hay x + y = 16 (1)
Khi tăng chiều rộng lên 2 lần, chiều dài lên 3 lần, chu vi mảnh vườn mới là 82
(m), ta có phương trình
2

2,5

0,25

0,5


2(2x + 3y) = 82 hay 2x + 3y = 41 (2)
 x + y = 16
 2 x + 3 y = 41

0,5

Ta có hệ phương trình: 

x = 7
y = 9

Giải hệ phương trình thu được nghiệm: 

1,0

(thỏa mãn điều kiện)

Mảnh vườn ban đầu có chiều rộng 7 m có chiều dài 9m
Câu 3 (3 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ tiếp tuyến MA,

0,25

MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua
tâm O ( C nằm giữa M và D), OM cắt AB và (O) lần lượt tại H và I. Chứng
minh.
a) Tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Hai tam giác MAC và MDA đồng dạng.

c) OH.OM + MC.MD = MO2
A

Vẽ đúng hình

D
C
M
I

O

H

0,5
B

·
·
a) Ta có MAO
= MBO
= 90o ( vì MA, MB là các tiếp tuyến của (O) )
⇒ Tứ giác MAOB nội tiếp

b) Xét ∆ MAC và ∆ MDA
¶
Có chung M
·
» ), nên đồng dạng.
·

= MDA
(cùng chắn AC
MAC
c) Xét ∆ MAO và ∆ AHO
·
·
Có chung góc O và AMO = HAO (cùng chắn hai cung bằng nhau của đường tròn
nội tiếp tứ giác MAOB)
⇒ ∆ MAO : ∆ AHO
⇒ OH.OM = OA2
3

0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25


Lại có: ∆ MAC : ∆ MDA (c.m.t)
⇒ MC.MD = MA2
Suy ra: OH.OM + MC.MD = MO2

0,25

Câu 4. Cho các số thực a, b, c, d sao cho: a + b + c + d = 2

1,0

Chứng minh rằng: a + b + c + d ≥ 1 dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
2

2

2

2

Ta có: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − (a + b + c + d ) + 2 (thêm, bớt 2)

0,25

1
1
1
1
= ( a − ) 2 + (b − ) 2 + ( c − ) 2 + ( d − ) 2 + 1 ≥ 1
2
2
2
2

0,5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d =

1
2

0,25

(Ghi chú: Nếu thí sinh có cách giải khác mà đúng đáp số thì vẫn cho điểm tối đa).

4