Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 8: Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình)

1


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT 1 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Giải phương trình 1 +

2
1 − x2 = x + 1 − x
3

( x ∈ ℝ) .

( x ∈ ℝ) .
2 x 2 + 5 x + 3 − 16 ( x ∈ ℝ ) .

Câu 2: Giải phương trình

x − 2 − x + 2 = 2 x2 − 4 − 2 x + 2

Câu 3: Giải phương trình

2 x + 3 + x + 1 = 3x + 2

Câu 4: Giải phương trình 3 ( x + 1)

x −1
= 5 − x2
x +1

Câu 5: Giải phương trình x ( x + 5 ) + 1 + 4 ( x + 2 )

( x ∈ ℝ) .
x+3
=0
x+2

( x ∈ ℝ) .

Câu 6: Giải phương trình ( x3 − 1) ( x − 1) = 2 x 2 + 4 x x 3 + x

Câu 7: Giải phương trình ( x − 2 ) + 3 3 ( x − 2 ) ( x3 + 2 x ) = 8
2

Câu 8: Giải phương trình

2 x2 + 5x + 2 + x2 − x + 1 = 4 x

Câu 9: Giải phương trình x 2 + x + 2 x x − 3 + x 2 − 3x = 2 ( x + 10 )
Câu 10: Giải phương trình x + x + 1 + x − 1 + x 2 − 1 =
Câu 11: Giải phương trình 2 x + ( x + 1) 2 x − x 2 =

15
.
2

3
2

Câu 12: Giải phương trình 3 x 2 + 2 x − 20 + 2 ( x + 2 ) 3 x − 5 =

(

)

3x − 5 + 1

x+2

Câu 13: Giải các phương trình
a)

x 2 + x + 7 + x 2 + x + 2 = 3x 2 + 3x + 19

Đ/s: x = 1; x = −2

b)

2 x2 + 8x + 5 + 2 x 2 − 4 x + 5 = 6 x

HD: Đặt t = 2 x +

5
4± 6
⇒x=
x

2

Câu 14: Giải các phương trình
a)

b)

x + 1 + x 2 + 4 x + 3 = ( x + 2)3

5x
4 − x2

+

HD: Đặt t =

Đ/s: x =

−3 + 5
2

8
2x2
5 4 − x2
+
+
+4=0
x2 4 − x2
x
x

4 − x2

+

4 − x2
1
⇒ t = −2; t = − 
→x = − 2
x
2

Câu 15: Giải các phương trình
a) 3 2 x 2 − 5 x + 12 − − x 2 + 16 x − 6 = 6 x
HD: Đặt t = x +

6
⇒ t = 7 ⇒ x = 1; x = 6
x

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

b) 3

2x
1 1
23 3
+4

−
=
−
x −1
2 2x 2 2x

HD: Đặt t =
c)

Facebook: LyHung95

x −1
1
9
⇒ t = 
→x =
2x
3
7

4 x − 16 x 2 − 9 + 4 x + 16 x 2 − 9 = 4

Đ/s: x =

5
4

x4 − x2 + 1
5
Câu 16: Giải phương trình 2

+
+2=0
2
x (1 − x ) 2 x 1 − x 2
HD: Đặt t = x 1 − x 2 ⇒ x = −

1
2

Câu 17: Giải phương trình 2

3x − 1 4 x − 1
=
x
3x − 1

Câu 18: Giải phương trình

7x
3x + 2
=3
x−4
x−4

Câu 19: Giải phương trình

9
2x
+
=1

2
x
2x2 + 9

Câu 20: Giải phương trình

1
5
+
+1 = 0
2
x ( 4 − x ) 2 x 4 − x2
2

Câu 21: Giải phương trình x 2 − 6 x + x

Câu 22: Giải phương trình
Đ/s: x =

x2 − 6
−6 = 0
x

1
x +1
= x−
2
x +1 − 3 − x

2± 7

2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT ẨN KHÔNG HOÀN TOÀN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Giải phương trình x ( x + 7 ) = (1 + 2 x ) x 2 + x + 6
Câu 2: Giải phương trình 8 x 2 − 8 x + 3 = 8 x 2 x 2 − 3x + 1
Câu 3: Giải phương trình x 2 + 2 x + 2 = 2 ( x + 1) 1 + x 2
Câu 4: Giải phương trình 3x 2 + 4 x + 11 = ( x + 5 ) 3x 2 + x + 5

( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .

Câu 5: Giải phương trình 5 x 2 + 1 = 2 ( 2 x + 1) 2 x − 1
Câu 6: Giải phương trình 2 x 2 + 4 x − 3 = ( 2 x − 3) x 2 + x + 1

Câu 7: Giải phương trình x3 − 7 x 2 + 9 x − 1 = ( x 2 − 6 x + 7 ) 2 x − 1
Câu 8: Giải phương trình 2 x + 3 +

3x 2 − 2 x − 6
3 − 2 x2 − x + 1

=0

Câu 9: Giải phương trình 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 = x ( 2 x + 3) x 2 +
Câu 10: Giải phương trình ( x + 3) 3 x + 2 = x 2 − 3 x − 2 .
Câu 11: Giải phương trình 2 ( 2 x 2 + 3x + 3) = ( x 2 + 7 x ) x +

1
x

3
x

Câu 12: Giải phương trình 2 ( x 3 − 4 x ) − 3 ( x − 1) x 3 − x + 1 = 0
Câu 13: Giải phương trình x 2 − 3 x − 4 = ( x 2 − 4 x − 2 ) x − 1

( x ∈ R)

Câu 14: Giải phương trình 2 x 2 ( x − 1) + x = ( x − 1) 2 x ( x 2 − x + 2 ) + 6 trên tập số thực.
Câu 15: Giải phương trình

x3 + 6 x 2 − 7 x + 4
=
x3 − 2

5x − 1
x3 + 3 + 1

trên tập số thực.

Câu 16: Giải phương trình 2 2 − x − x + 3 1 − ( x − 1) = 4 − x
2

Câu 17: Giải phương trình

( 4 x − 5)

( x ∈ R)

x 2 − 2 x + 2 = 2 x 2 − 2 x + 1.

Câu 18: Giải phương trình 2 x 2 + 2 x − 6 = ( 3 x − 1) 5 x − 4.
Câu 19: Giải phương trình 6 x 2 + 7 x − 2 = ( 5 x + 2 ) 2 x 2 + 1.
Câu 20: Giải phương trình 3x 2 + 5 x − 4 = ( 3x + 2 ) x 2 − 1.

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. ĐẶT 2 ẨN PHỤ NHÓM NHÂN TỬ CHUNG

( x ∈ ℝ) .
( x + 8 )( x + 2013) + 8 .

Câu 1: Giải phương trình

x +1 + x − 2 = x2 − x − 2 +1

Câu 2: Giải phương trình

x + 8 + 8 x + 2013 =

x+2
1
3x + = x 2 + 1 .
3
x
7
Câu 4: Giải phương trình ( 3 + x ) 2 x + = 2 ( x 2 + 5) .
x
Câu 3: Giải phương trình

Câu 5: Giải phương trình 2 ( 2 x 2 + 13) x = ( x + 5 ) 4 x 2 + 21 .
Câu 6: Giải phương trình ( x + 3) x + 3 =

(

)


2x + 1 + 1  x + 2 +


Câu 7: Giải phương trình 2 3 + 2 x − x 2 + 1 + ( x − 1) = 2

2

(

2− x



x + 3 + 2x + 1 

1+ x + 3 − x

)

Câu 8: Giải phương trình x + 3 x 2 − 2 x − 5 + 2 3 x − 5 = 15 .
Câu 9: Giải phương trình x + x 3 + 1 + 2 x 2 − x + 1 = 3 .
Câu 10: Giải phương trình

x2 − x + 7
=
2x + 5

x2 − x + 1
x +1

Câu 11: Giải phương trình ( x 2 − 3 x + 4 ) 2 x − 1 + ( x 2 − 3 x ) x 2 − x + 1 = ( x − 1)( x − 2 ) .
Câu 12: Giải phương trình 2 x − 3 + ( x − 1) x − 1 = ( x − 1) 2 x − 3 + 2 x 2 − 5 x + 3.
Câu 13: Giải phương trình x3 − x 2 + 2 x + 4 = ( x 2 + 2 x + 3) x 2 − 2 x + 2.
2

1 7

Câu 14: Giải phương trình  2 − x 2 + 4 x − 3 +  + = 4 ( x − 1) 3 − x + 4 ( 3 − x ) x − 1.
2 4


(

)

Câu 15: Giải phương trình x + (1 − x ) x − 2 x − 1 = ( x − 1)

(

Câu 16: Giải phương trình 5 x − 3 + 1 + 2 x 2 + x − 2
Câu 17: Giải phương trình

)

2

2

2 x − 1.

= 4 ( x + 2 ) x − 1 + 8 ( x − 1) x + 2.

x+2
1
3x + = x 2 + 1

3
x

Câu 18: Giải phương trình ( 5 x 2 + 4 x + 3) x = ( x + 3) 5 x 2 + 4 x
Câu 19: Giải phương trình ( x 2 + 2 x + 1) x 2 +

3
= x3 + 2 x 2 + 5
x

Câu 20: Giải phương trình ( x 2 − 2 x + 1) x 2 + 1 = x 3 − 2 x 2 + x − 2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU 1
Câu 1 [ĐVH]: Giải phương trình x 2 − 4 x3 − x 2 − 4 = 4 x − 12
Câu 2 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 4 x 2 + 12 x = 9 + 7 x 4 x − 3

b)

2

+ 4 x + 2 = 5 x2 + x + 1
x

Câu 3 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a)

2 x2 − 4 x + 5
= 2 x2 + 1
x−2

b) 6 x 2 − x = 21 + ( x − 3) x 2 + x − 6

Câu 4 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
 3
b) 3 x + 5 1 +  = 8 3 + x
 x

a) 5 x 2 − 5 x x 2 + x + 1 = x + 1

Câu 5 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 3 x +

1
+ 2 = 3 x2 + 4 x + 2
x

b) 6 x 2 − 6 x + 5 = 5 ( x − 1) 2 x 2 + 2 x + 1

Câu 6 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 4 x 2 + 7 x + 1 = 7 x 3 − 1

b) 5 x 2 − 2 x + 8 = 8 x 3 + 1

Câu 7 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 10 x 2 − 6 x + 5 = 5 4 x 4 + 1

b) x 2 + x + 21 = 5 x 3 + 27

Câu 8 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a)

x3 − 64 = 3x 2 + 10 x + 56

b)

x4 + x2 + 1 1
=
3x 2 − 5 x + 3 3

Câu 9 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 20 x − 3x + 5 = 5 16 x − x + 1
2

4

2

b)

7 x 2 ( x + 1) − 2

5 x 2 + 12 x + 8

=1

Câu 10 [ĐVH]: Giải phương trình x 2 + 4 x + 1 = x 4 + x 2 + 1
Câu 11 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 72 x 2 − 4 x + 9 = 9 64 x 4 + 1

b) 7 x 2 − 5 x + 7 = 7 x 4 + x 2 + 1

Câu 12 [ĐVH]: Giải phương trình 4 x 2 − 16 x + 7 = 4 x 4 − 6 x3 + 8 x 2 − 7 x + 2
Câu 13 [ĐVH]: Giải phương trình 5 x 2 − x + 5 = 5 x 4 + x 2 + 1
Câu 14 [ĐVH]: Giải phương trình 2 x 2 − x + 1 = 4 x 4 + 1

( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

( x ∈ ℝ) .

Câu 15 [ĐVH]: Giải phương trình 8 x 2 + 20 x + 1 = 64 x 4 + 1
Câu 16 [ĐVH]: Giải phương trình 3x 2 − 4 x + 23 = 3 x 4 − 8 x + 63

(

)

(

x2 − 1 + 2 x2 − x − 2

( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .

Câu 17 [ĐVH]: Giải phương trình 3x 2 + x + 12 = x 4 + 7 x 2 + 16
Câu 18 [ĐVH]: Giải phương trình 2 x 2 − 1

Facebook: LyHung95

)

x2 + x − 1 = 0

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 3
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU 2
Câu 1: Giải phương trình 1 − x 2 + 1 − 2 x = 2 14 x 2 − 12 x + 1
Câu 2: Giải phương trình x 2 + 2 x 2 − 1 = 3 3 x 4 − 2 x 2 + 2

Câu 3: Giải phương trình

x 2 + x − 6 + x = 3 x 2 + 4 x − 18

Câu 4: Giải phương trình

x + 2 x 2 + x − 2 = 5 x 2 + 9 x − 10

Câu 5: Giải phương trình

3x 2
+ 6 + 2 x = 5x
3+ x

Câu 6. Giải phương trình

x − 1 + x 2 − 4 x + 5 = x 2 − x + 2.

Câu 7. Giải phương trình x + 1 + 2 x 2 − 2 x + 4 = 5 x 2 + 4 x + 7.
Câu 8. Giải phương trình x + 1 + x 3 − 3 x 2 + 3x + 3 = x3 + 9 x + 6.
Câu 9. Giải phương trình ( x − 1) + x 2 − 8 x = x 4 − 4 x3 + 9 x 2 − 28 x + 1.
2

Câu 10. Giải phương trình x 2 − x + 3x 2 − 4 x − 4 = x 4 − 2 x3 + 10 x 2 − 12 x − 12.
Câu 11: Giải phương trinh

x2 + x + 1 + 4 x + 1 = 5x2 + x + 4

Câu 12: Giải phương trình 6 ( x + 2 ) = 2 x 2 − 3 x ( x 2 − 7 x − 4 )
3

Câu 13: Giải phương trình

5 x 2 + 72 x + 246 − 2 x + 1 = 2 x + 14

Câu 14: Giải phương trình

x 2 + 3x = 4 x 2 + 18 x + 6 − x 2 − 3 .

Câu 15: Giải phương trình 3 x 2 + x − x 2 − x + 1 = 4 x 2 − 6 x + 5 .
Câu 16: Giải phương trình 2 x 2 + 1 + 3 x 2 + 2 x − 8 = 25 x 2 + 18 x − 56 .
Câu 17: Giải phương trình

x + 1 + x3 + x − 2 = 2 ( x3 + 2 x − 1) .

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 4
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU 3
Câu 1: Giải phương trình

x3 + 2 x 2 − 9 x + 2 = x3 − 1 + x − 2

Câu 2: Giải phương trình

2 x 2 + 14 x − 3 + 9 ( x + 1) 8 x − 4 = 2 x + 2 + 3 2 x − 1

Câu 3: Giải phương trình

x 2 + 4 x + 3 x − 1 = 3 x 2 + 15 x + 7

Câu 4: Giải phương trình

x2 + x − 6 + 3 x − 1 = 2 x2 − 2 x + 6

Câu 5: Giải phương trình

5 x 2 − 17 x + 5 = 2 x 2 − 2 x − x − 5

Câu 6: Giải phương trình

2 (10 x 2 − 14 x + 3) = 3 x ( 2 x − 1) − x − 2

Câu 7: Giải phương trình

5 x 2 + 8 x − 42 = 2

Câu 8: Giải phương trình

4 x 2 − 12 x + 5 = x 2 − 3 x + 2 + x 2 − 3x

Câu 9: Giải phương trình

9 x 2 − 27 x + 11 = 2 x 2 − 3x + x 2 − 3x + 2

Câu 10: Giải phương trình

( x − 2 )( x + 3) +

x −3

72 x 3 + 24 x 2 − 36 x + 4 = 3 8 x3 − 1 + 2 x − 3

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải phương trình
Câu 2. Giải phương trình

4x −1 − 2x2 + 4 2x2 − 2x + 1 = 2 4 x
4
3 − x + 4 x + 14 = 3

4

Câu 3. Giải phương trình 3 14 x + 6 − 3 3 x + 1 = 3 2 x + 1
Câu 4. Giải phương trình 3 1 − x + 1 + x = 2
Câu 5. Giải phương trình

3

2 − x = 1 − x −1

x 2 + 2 x − 3 + 3 4 − x 2 − 2 x = 1.

Câu 6. Giải phương trình

Câu 7. Giải phương trình x3 − 6 x 2 − 6 x + 47 + ( 3 x 2 + 3 x − 18 ) 15 − 3 x − 3 x 2 = 0.

)

(

Câu 8: Giải phương trình x. 3 9 − x3 . x + 3 9 − x3 = 6 .
Câu 9: Giải phương trình

3

Câu 10: Giải phương trình

x + 7 − x = 1.

5− 5+ x = x.

Câu 11: Giải phương trình 2 3 3 x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 .

Câu 12: Giải phương trình 4 18 − x + 4 x − 1 = 3 .
Câu 13: Giải phương trình x 2 + x + 1 = 1 .
Câu 14: Giải phương trình 2 (1 − x )( x − 4 ) =
Câu 15: Giải phương trình 2 − x 2 − 3 x + 4 =
Câu 16: Giải phương trình
Câu 17: Giải phương trình
Câu 18: Giải phương trình
Câu 19: Giải phương trình
Câu 20: Giải phương trình

5x + 4
.
x −5

5
+ 1.
x+2

x2 − 2 x − 4
= x ( x − 2) .
x −1
4 x2 + 2 x + 7
2
4 x −2 =
.
1− x
1
1
3
+

= .
2
2x
2
5 − 4x
1
1
7
+
= .
4 x
25 − 16 x 12
1
1
+
= 1.
x+3
5− x

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) x 2 − 6 x + 3 = x + 3

HD: Đặt

x+3 = t −3

b) x 2 − 2 x = 2 2 x − 1

HD: Đặt

2x −1 = t −1

HD: Đặt

3 x + 1 = −2t + 3

HD: Đặt

4x + 9
1
=t+
28
2

c)

3 x + 1 = −4 x 2 + 13 x − 5

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.

a) 7 x 2 + 7 x =

4x + 9
28

b) x 2 − x −

9
= 3 3x + 1
4

HD: Đặt

3x + 1 = t −

1
2

c) x 2 + x +

13
= 2 2x − 2
4

HD: Đặt

2x − 2 = t +

1
2

Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) 2 x 2 + 4 x =

x+3
2

b) 4 x 2 + 7 x + 1 = 2 x + 2

Đ/s: x =

−3 ± 17
−5 ± 14
;x =
4
4

7
1
Đ/s: x = −1; x = − ; x =
4
4

c) x3 + 3 x 2 + 3 x + 4 = 4 3 4 x + 1
Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) x 2 + 4 x + 7 = 2 2 x + 1

HD: Đặt

2x +1 = t + 2

b) 9 x 2 − 6 x + 2 = 3 x − 2

HD: Đặt

3 x − 2 = 3t − 1

c) x 2 + 2 x − 3 = 3 − x
HD: Biến đổi phương trình về dạng x 2 + (2 x − 3) = x − (2 x − 3)
Đặt

 x − (2 x − 3) = t 2
t = x
x − (2 x − 3) = t 
→ 2
⇒ x + x2 = t + t 2 ⇔ 
t = − x − 1
 x + (2 x − 3) = t

0 ≤ x ≤ 3
0 ≤ x ≤ 3
+) Với t = x ⇔ x = 3 − x ⇔  2
⇔ 2

→ vn
x = 3 − x
x + x − 3 = 0
 x ≤ −1
 x ≤ −1
−3 − 17

⇔ 2
⇒x=
+) Với t = − x − 1 ⇔ − x − 1 = 3 − x ⇔  2
2
x + 2x +1 = 3 − x
 x + 3x − 2 = 0
Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) x 2 + 3x − 1 = x x 2 + 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng ( x + 1) 2 + ( x − 2) = x x( x + 1) − ( x − 2)
Đặt

x( x + 1) − ( x − 2) = t + 1 ⇒ (t + 1) 2 + ( x − 2) = x( x + 1)

(t + 1) 2 + ( x − 2) = x( x + 1)
t = x
2
2
2
2
Khi đó ta có hệ phương trình 
⇒
(
t

+
1)
−
(
x
+
1)
=
x
−
t
⇔

2
( x + 1) + ( x − 2) = x(t + 1)
t = − x − 1

Đến đây, việc giải các phương trình thành phần hết sức đơn giản, nhường lại cho các em nhé!
b) 4 x 2 − 3x + 2 = x 2 x 2 − 2 x − 1
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng (2 x − 1) 2 + ( x + 1) = x x(2 x − 1) − ( x + 1)
Đặt

x(2 x − 1) − ( x + 1) = 2t − 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.

Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) x 2 − x + 1 = ( x + 2) x 2 − 2
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng ( x − 1)2 + x = ( x + 2) ( x + 1)( x − 1) − x
Đặt

( x + 2)( x − 1) − x = t − 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.

b) 4 x 2 + 5 x = ( x + 2) 2 x 2 + 4 x + 3
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng (2 x + 1) 2 + ( x − 1) = ( x + 2) ( x + 2)(2 x + 1) − ( x − 1)
Đặt

( x + 2)(2 x + 1) − ( x − 1) = 2t + 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.

c) x 2 + x + 2 = ( x + 2) x 2 + 4 x + 1
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng ( x + 1) 2 − ( x − 1) = ( x + 2) ( x + 2)( x + 1) + ( x − 1)
Đặt

( x + 2)( x + 1) + ( x − 1) = t + 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.

Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) 4 x 2 + 3x + 1 = x 2 x 2 + 2 x

b) x 2 + 4 x + 8 = 2 4 x + 7

c) x 2 − 2 x − 2 = 3 7 x + 6

d) ( x − 1)2 = 3 x − 3

e) x 2 + 3 = 2 6 x + 5

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1. Giải phương trình 4 x 2 + 7 x + 1 = 2 x + 2
6x + 9
Câu 2. Giải phương trình
+ 15 x 2 + x + 9 = 0
2x +1

10
Câu 3. Giải phương trình
+1 = x
6x2 − x − 6 − 4
 16 8 
Câu 4. Giải phương trình x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 =  2 − 3  2 x − 1
x 
x
Câu 5: Giải phương trình x 2 + 2 x + 3 = 3 3 x + 1

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

4− x
x
3
2
x − 4 x + 2 x − 11 3 2
= 3 x + 10 x − 1
Câu 7: Giải phương trình
2 x + 11
10 x + 14
Câu 8: Giải phương trình 3x 3 + 9 x 2 − 10 = 3
3
3x + 13
Câu 9: Giải phương trình 54 x 3 − 54 x 2 + 18 x − 16 = 3

2
Câu 6: Giải phương trình x 2 − 5 x + 5 =

Câu 10: Giải phương trình 6 x3 − 17 x + 12 = 3 3 x − 2
Câu 11: Giải phương trình 4 x 3 − 9 x + 8 = 3 3 3 x − 2
Câu 12: Giải phương trình 2 x 3 + 11x = 8 + 5 3 4 − 3 x
Câu 13: Giải phương trình 8 ( 4 x 2 + 5 x + 3) = 3 2 x − 5
Câu 14: Giải phương trình 3 ( x 2 + x − 1) =
Câu 15: Giải phương trình 6 ( x + 1) =
2

5x + 8
3

8 + x − 3x 2
3

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. LIÊN HỢP 1 NGHIỆM
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình
Điều kiện 4 ≤ x ≤ 6

x − 4 + 6 − x = 2 x 2 − 13x + 17 ⇔

⇔
⇔

(

)(

x − 4 −1

)+(

x − 4 +1

(

x − 4 + 6 − x = 2 x 2 − 13 x + 17.
Hướng dẫn giải:

) (

x − 4 −1 +

)(

6 − x −1

)

6 − x − 1 − 2 x 2 + 13x − 15 = 0

) − ( 2x

6 − x +1

x − 4 +1
6 − x +1
x−5
5− x
+
− ( x − 5 )( 2 x − 3) = 0
x − 4 +1
6 − x +1

2

− 13x + 15 ) = 0

x=5

1
1



⇔ ( x − 5) 
−
− (2 x − 3)  = 0 ⇔
1

1

−
− (2 x − 3) = 0
6 − x +1
 x − 4 +1

 x − 4 + 1
6 − x +1
1
1
1
1
−
− (2 x − 3) = 0 ⇔
−
= 2 x − 3 (1)
x − 4 +1
6 − x +1
x − 4 +1
6 − x +1
1
1
1
Ta có
−
<
≤ 1 và 2 x − 3 ≥ 5, ∀x ∈ [ 4; 6] nên phương trình (1) vô nghiệm.
x − 4 +1
6 − x +1

x − 4 +1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.

a)

c)

2x + 2 − 2x − 1 = x

b) 4 x + 1 − 3x − 2 =

4
1
5
+ x − = x + 2x −
x
x
x

x+3
5

d)

x+7
+ 8 = 2 x2 + 2 x − 1
x +1

Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.

a)

2x + 2 − 2x −1 = x

b)

x + 3 − 1− x = x +1

c)

x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5

d)

x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8

(Đ/s: x = 1)

Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a)

x − 2 + 4 − x = 2 x2 − 5x − 1

(Đ/s: x = 3)

b)

3 x + 1 − 6 − x + 3 x 2 − 14 x − 8 = 0

(Đ/s: x = 5)

c)

4x + 1 − 5 − 2x + 2x2 − 5x = 0

(Đ/s: x = 2)

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1: Giải phương trình x3 + x 2 − 2 x + 10 = 2 ( x 2 + x + 1) x − 1 + 6
Câu 2: Giải phương trình

2 x + 1 + 4 x − 7 = x3 − 6 x 2 +

21
x−4
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Câu 3: Giải phương trình 3 ( x − 2 ) + 3 x + 4 = 3 2 x + 1 + x − 3

( x ∈ ℝ) .

Câu 4: Giải phương trình

3x − 4 + x 2 + 2 = 3x + x

Câu 5: Giải phương trình

x +1
+ 2 x + 1 = 3x + 2
5x + 2 + 1

( x ∈ ℝ) .

Câu 6: Giải phương trình

2 x + 3 − x + 4 + 2 x 2 + 3x = 5

( x ∈ ℝ) .

Câu 7: Giải phương trình

1
1
−
=
2x + 3
x+4

x3 − 1
x2 − 2 x + 5 − 1

Câu 8: Giải phương trình 5 + x 2 + x + 4 = 3 x + 4 +
Câu 9: Giải phương trình

10
x

( x ∈ ℝ) .

( x ∈ ℝ) .

x − 1 + 2 x + 2 = 5 + ( 2x2 − 5x + 2) x + 3

Câu 10: Giải phương trình 2 x + 14 + 3 x + 1 = ( x + 8 ) x + 3

( x ∈ ℝ).

( x ∈ ℝ).

Câu 11: Giải phương trình x3 + 5 x + ( x − 2 ) x + 1 = 4 x 2 + 4 − x + 2
Câu 12: Giải phương trình x3 + 4 x + ( x − 1) 2 x + 1 = 3 x 2 + x + 3
Câu 13: Giải phương trình

x − 1 + 3x + 1 + x3 + x 2 − 2 = 2 x

( x ∈ ℝ).
( x ∈ ℝ).

( x ∈ ℝ).

Câu 14: Giải phương trình ( x + 2 ) x + 1 − ( 4 x + 5 ) 2 x + 3 + 6 x + 23 = 0
Câu 15: Giải phương trình x 2 + 2 x + 5 = 2 x + 2 + ( x + 1) x 2 + x + 3
Câu 16: Giải phương trình

Câu 17: Giải phương trình

( x ∈ R)

( x ∈ R)

2 x 2 + 8 − 2 2 x − 3 + x − 4 = 0 trên tập số thực.
2 x2 +

( x − 1)

3

+ ( 2 x − 1) 2 x − 3

x2 + 5x − 2

= 1 trên tập số thực.

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. LIÊN HỢP 2 NGHIỆM ĐẸP

Ví dụ 1 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
a)

5x − 3 − 2 x − 1 + 6 x2 − x − 2 = 0

Đ/s: x =

b) 3 2 x + 7 − 1 − 5 x + 2 x 2 + 13 x + 22 = 0
a) ĐK: x ≥

3
. Khi đó PT ⇔
5

(

2
3

Đ/s: x = −3
Lời giải.

)

5 x − 3 − 2 x − 1 + ( 3 x − 2 )( 2 x + 1) = 0

3x − 2
1



+ ( 3 x − 2 )( 2 x + 1) = 0 ⇔ ( 3 x − 2 ) 
+ 2 x − 1 = 0 (1)
5x − 3 + 2 x − 1
 5x − 3 + 2 x −1


⇔

Do ⇔

1
3
2

+ 2 x + 1 > 0  ∀x ≥  ⇒ (1) ⇔ x =
5
3
5x − 3 + 2 x − 1


Vậy x =

2
là nghiệm của PT đã cho.
3

b) ĐK:

−7
1

≤x≤
2
5

PT ⇔ 3( 2 x + 7 − 1) + (4 − 1 − 5 x ) + 2 x 2 + 13 x + 21 = 0 ⇔

6( x + 3)
5( x + 3)
+
+ (2 x + 7)( x + 3) = 0
2 x + 7 + 1 4 + 1 − 5x

6
5


⇔ ( x + 3) 
+
+ 2 x + 7  = 0 ⇔ ( x + 3).g ( x) = 0 ⇔ x = −3
 2 x + 7 + 1 4 + 1 − 5x

 −7 1 
Vì g ( x) > 0 ∀x ∈  ; 
 2 5
Vậy x=-3 là nghiệm của PT

Ví dụ 2 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
a)

2 x2 + x + 6 + x2 + x + 2 = x +

b)

x2 − x + 1 + x2 + x + 1 = 2

4
x

Đ/s: x = 1
Đ/s: x = 0
Lời giải.

a) ĐK: x > 0 ( vì VT > 0 ).

2
2
x2 + 4 ( 2 x + x + 6) − ( x + x + 2)
Khi đó: PT ⇔ 2 x + x + 6 + x + x + 2 =
=
x
x
2

⇔x

(

2

) (

2 x2 + x + 6 + x2 + x + 2 =

2x2 + x + 6 + x2 + x + 2

)(

2 x2 + x + 6 − x2 + x + 2

)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

⇔ 2 x2 + x + 6 − x2 + x + 2 = x ⇔ 2 x2 + x + 6 = x + x2 + x + 2
⇔ 2 x 2 + x + 6 = 2 x 2 + x + 2 + 2 x x 2 + x + 2 ⇔ 2 = x x 2 + x + 2 ⇔ 4 = x 4 + x3 + 2 x 2
⇔ ( x 4 − 1) + ( x3 + 2 x 2 − 3) = 0 ⇔ ( x − 1)( x + 1) ( x 2 + 1) + ( x − 1) ( x 2 + 3 x + 3)

⇔ ( x − 1) ( x + 1) ( x 2 + 1) + x 2 + 3 x + 3 = 0 ⇔ ( x − 1) g ( x ) ⇔ x = 1 ( vì g ( x ) > 0 ∀x > 0 )
Vậy x = 1 là nghiệm của PT đã cho.

b) PT ⇔ 2 x 2 + 2 + 2

(x

2

+ 1 − x )( x 2 + 1 + x ) = 4 ⇔ x 2 + 1 +

(x

2

+ 1) − x 2 = 2
2



x2 + 1
= 0 ⇔ x2 1 +
=0
x4 + x2 + 1 + 1
x4 + x2 + 1 + 1 

x4 + x2

⇔ x2 + x4 + x2 + 1 − 1 = 0 ⇔ x2 +
x = 0

⇔
x2 + 1
1+
= 0 ( vn )

x4 + x2 + 1 + 1
Vậy x = 0 là nghiệm của PT.

Ví dụ 3 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
a)

2 x2 + x + 9 + 2 x2 − x + 1 = x + 4

b)

2 x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1 = 3x

Đ/s: x = 0, x =

8
7

Lời giải.
a) Nhận xét: x = −4 không là nghiệm của PT. Với x ≠ −4 ta có:

PT ⇔

2x + 8
2x + x + 9 − 2x − x +1
2

2

= x + 4 ⇔ 2 x2 + x + 9 − 2 x2 − x + 1 = 2

 x ≥ −2
8

(1) ⇔ 2 x 2 + x + 9 = 2 x 2 − x + 1 + 4 2 x 2 − x + 1 + 4 ⇔ x + 2 = 2 2 x 2 − x + 1 ⇔  2
⇔ x = 0, x =
7
7 x − 8 x = 0
Vậy x=0, x =

8
là nghiệm của PT
7

b) Nhận xét : x = 0 không phải là nghiệm của PT

PT ⇔

6x
2 x + 3x + 5 − 2 x − 3x + 5
2

2

= 3x ⇒ 2 x 2 + 3x + 5 = 2 + 2 x 2 − 3x + 5

2

x ≥
⇔ 2 x + 3x + 5 = 4 + 4 2 x − 3x + 5 + 2 x − 3x + 5 ⇔ 2 2 x − 3x + 5 = 3x − 2 ⇔ 
⇔x=4
3
 x 2 − 16 = 0


2

2

2

2

Vậy x = 4 là nghiệm của PT đã cho.

Ví dụ 4 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
a)

3x 2 − 7 x + 3 − x 2 − 2 = 3x 2 − 5 x − 1 − x 2 − 3x + 4

b) 4 x 2 + 3 x + 3 = 4 x x + 3 + 2 2 x − 1

Đ/s: x = 2
Đ/s: x = 1

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Lời giải.

3x − 7 x + 3 ≥ 0


a) ĐK:  x 2 ≥ 2
(*) . Với ĐK trên ta có:
3x 2 − 5 x − 1 ≥ 0

2

PT ⇔ 3x 2 − 7 x + 3 − 3 x 2 − 5 x − 1 = x 2 − 2 − x 2 − 3x + 4
⇔

−2 x + 4
3x 2 − 7 x + 3 + 3 x 2 − 5 x − 1

=

 x = 2 ( tm (*) )

⇔
−2
=

2
2
x
−
x
+
+
x
−

x
−
3
7
3
3
5
1


3x − 6
x 2 − 2 + x 2 − 3x + 4

3

x − 2 + x 2 − 3x + 4
2

( vn )

Vậy x = 2 là nghiệm của PT đã cho.

b) ĐK: x ≥

1
. Với ĐK trên ta có:
2

(

PT ⇔ 4 x − 4 x x + 3 + ( x + 3) + 2 x − 2 2 x − 1 = 0 ⇔ 2 x − x + 3
2


2
2
2
2 ( x − 1)
2 x + 3)
 4 x2 − x − 3 
(
2 
⇔
= 0 ⇔ ( x − 1)
 +

 2x + x + 3  x + 2x −1
 2 x + x + 3

(

)

2

)

2

+

2 ( x 2 − 2 x + 1)
x + 2x −1

=0


2
=0
+
x + 2x −1 


⇔ x =1
Vậy x = 1 là nghiệm của PT.

Ví dụ 5 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 5 x 2 + x + 3 − 2 5 x − 1 + x 2 − 3x + 3 = 0
a. ĐK: x ≥

−4
Với ĐK trên ta có:
5

) (

(

PT ⇔ 2 − 5 x − 1 + x + 1 +

b) 2 x 2 + 3 = 3 x + 1 + 5 x + 4
Lời giải.

)

5 x 2 + x + 3 − 2 x − 1 + x 2 − 3x + 2 = 0



2
1


2
2
⇔ ( x 2 − 3 x + 2) 
 + x − 3x + 2 = 0
 + ( x − 3 x + 2) 
2
 5x − 1 + x + 1 
 5x + x + 3 + 2x + 1 

(

)



x = 1
2

1
⇔ ( x 2 − 3 x + 2) 
+
+ 1 = 0 ⇔ 
2
5x + x + 3 + 2 x + 1 
x = 2
 5x − 1 + x + 1

b. ĐK: x ≥

−1
. Với ĐK trên ta có:
5

PT ⇔ 2( x 2 − x) + ( x + 1 − 3 x + 1) + ( x + 2 − 5 x + 4) = 0

(

)

⇔ 2 x2 − x +

x = 0
x2 − x
x2 − x
+
= 0 ⇔ ( x 2 − x).g ( x) = 0 ⇔ 
x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4
x = 1

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Vì g ( x) = 2 +

1
x + 1 + 3x + 1

+

1
x + 2 + 5x + 4

Ví dụ 6 [ĐVH]: Giải phương trình

> 0 ∀x ≥

Facebook: LyHung95

−4
5

( x ∈ ℝ) .

3 − x + x + 2 = x3 + x 2 − 4 x − 1
Lời giải.

Điều kiện −2 ≤ x ≤ 3 .
Phương trình đã cho tương đương với
3 3 − x + 3 x + 2 = 3 x 3 + 3 x 2 − 12 x − 3

⇔ 3 3 − x − ( 5 − x ) + 3 x + 2 − ( x + 4 ) = 3 x3 + 3 x 2 − 12 x − 12
⇔

9 ( 3 − x ) − ( x 2 − 10 x + 25 )

+

9 ( x + 2 ) − ( x 2 + 8 x + 16 )

3 3− x +5− x
3 x+2 + x+4
2
−x + x + 2
−x + x + 2
⇔
+
= 3 ( x 2 − 4 ) ( x + 1)
3 3− x +5− x 3 x + 2 + x + 4

= 3 x 2 ( x + 1) − 12 ( x + 1)

2

1
1



⇔ ( x + 1)( x − 2 ) 
+
+ 3 ( x + 2 )  = 0 (1)
3 3− x + 5 − x 3 x + 2 + x + 4

1
1
Dễ thấy
+
+ 3 ( x + 2 ) > 0, ∀x ∈ [ −2;3] nên (1) có các nghiệm x = 2; x = −1 .
3 3− x + 5− x 3 x + 2 + x + 4
Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 2; x = −1 .

x 4 − x 3 − x 2 − x − 11
=0
3
Lời giải.
Điều kiện −2 ≤ x ≤ 3 . Phương trình tương đương
3 3 − x + 3 x + 2 + x 4 − x 3 − x 2 − x − 11 = 0

Ví dụ 7 [ĐVH]: Giải phương trình

3− x + x + 2 +

( x ∈ ℝ) .

⇔ 3 3 − x − (5 − x ) + 3 x + 2 − ( x + 4) + x2 ( x2 − x − 2) + x2 − x − 2 = 0
⇔

9 ( 3 − x ) − ( x 2 − 10 x + 25 )

+

9 ( x + 2 ) − ( x 2 + 8 x + 16 )

+ x 2 ( x − 2 )( x + 1) + ( x − 2 )( x + 1) = 0

3 3− x +5− x
3 x+2 + x+4
2
−x + x + 2
−x + x + 2
⇔
+
+ ( x − 2 )( x + 1) ( x 2 + 1) = 0
3 3− x +5− x 3 x + 2 + x + 4
1
1


⇔ ( x + 1)( x − 2 ) 
+
− x 2 − 1 = 0 (1)
3 3− x + 5 − x 3 x + 2 + x + 4

1
1
1
1

1
Ta thấy
+
=
+
< 2. = 1 < x 2 + 1 .
2
3 3− x + 5− x 3 x + 2 + x + 4 3 3− x +3− x + 2 3 x + 2 + x + 2 + 2
Nên (1) có các nghiệm x = 2; x = −1 .
Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 2; x = −1 .
2

Ví dụ 8 [ĐVH]: Giải phương trình x ( x + 1)( x − 3 ) + 3 = 4 − x + x + 1

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
Điều kiện −1 ≤ x ≤ 4 . Phương trình đã cho tương đương với

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x ( x + 1)( x − 3) = 4 − x + x + 1 − 3
⇔ x ( x + 1)( x − 3) = 4 − x −

6− x

x+3
+ 1+ x −
3
3

⇔ 3 x ( x + 1)( x − 3) = 3 4 − x − ( 6 − x ) + 3 1 + x − ( x + 3)
− x 2 + 3x
− x 2 + 3x
+
3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3
1
1


⇔ ( x 2 − 3 x ) 3 x + 3 +
+
=0
3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3

⇔ 3 ( x + 1) ( x 2 − 3 x ) =

Ta có nhận xét

(1)

3 4 − x + 6 − x > 0,3 1 + x + x + 3 > 0, ∀x ∈ [ −1; 4]

1
1
+

> 0, ∀x ∈ [ −1; 4]
3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3
Do đó (1) ⇔ x ( x − 3) = 0 ⇔ x ∈ {0;3} . Đối chiếu điều kiện, kết luận bài toán có hai nghiệm kể trên.
⇒ 3 ( x + 1) +

Ví dụ 9 [ĐVH]: Giải phương trình

5 − x + 28 − 3 x = 2 x 2 −

32
47
x+
3
3

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
Điều kiện x ≤ 5 .
Phương trình đã cho tương đương với
7−x
16 − x
5− x −
+ 28 − 3 x −
= 2 ( x2 − 5x + 4)
3
3
⇔ 3 5 − x − ( 7 − x ) + 3 28 − 3 x − (16 − x ) = 2 ( x 2 − 5 x + 4 )
⇔

x 2 − 14 x + 49 − 9 ( 5 − x )

+

x 2 − 32 x + 16 2 − 9 ( 28 − 3 x )

+ 2 ( x2 − 5x + 4 ) = 0

7− x +3 5− x
16 − x + 3 28 − 3 x
2
x − 5x + 4
x − 5x + 4
⇔
+
+ 2 ( x2 − 5x + 4) = 0
7 − x + 3 5 − x 16 − x + 3 28 − 3 x
1
1


⇔ ( x − 1)( x − 4 ) 
+
+ 2  = 0 (1)
 7 − x + 3 5 − x 16 − x + 3 28 − 3 x

1
1
Ta có
+

+ 2 > 0, ∀x ≤ 5 nên (1) ⇔ ( x − 1)( x − 4 ) = 0 ⇔ x ∈ {1; 4} .
7 − x + 3 5 − x 16 − x + 3 28 − 3 x
Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên.
2

Ví dụ 10 [ĐVH]: Giải phương trình 4 x 2 − 18 x + 22 = 13 − 4 x + 33 − 8 x

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
13
.
4
Phương trình đã cho tương đương với
( 4 − x ) − 13 − 4 x + ( 6 − x ) − 33 − 8 x + 4 ( x 2 − 4 x + 3) = 0

Điều kiện x ≤

⇔

x2 − 4 x + 3
x2 − 4x + 3
+
+ 4 ( x 2 − 4 x + 3) = 0
( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x



1
1

⇔ ( x 2 − 4 x + 3) 
+
+ 4  = 0 (1)
 ( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x



1
1
13
+
+ 4 > 0, ∀x ≤ nên (1) ⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0 ⇔ x ∈ {1;3} .
Vì
4
( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1: Giải phương trình

x2 + 3
=1
2 x + 5x − 1

( x ∈ ℝ) .

Câu 2: Giải phương trình

2 x2 − 5x + 7
=1
7x + 2 +1

( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .

Câu 3: Giải phương trình x 2 + 4 = 3 x − 2 + 2 5 x − 1
Câu 4: Giải phương trình x 2 − 3 x + 4 =

4x − 3 + 8x + 1
2

( x ∈ ℝ) .

Câu 5: Giải phương trình 3 x 2 − 13 x + 19 = 5 x − 6 + 7 x − 5
Câu 6: Giải phương trinh

( x ∈ ℝ) .

3x + 4 + 5 x + 9 = x 2 + 3x + 5

Câu 7: Giải phương trình x 2 + 5 x 2 + 4 + 2 = 5 x + 4 x − 3 .
Câu 8: Giải phương trình

2 x2 − x + 8 + x2 − 5x + 2 = 5x − 4

Câu 9: Giải phương trình x 2 + 3 = 16 x − 23 +

(x

2

− 2 x + 4 ) ( 3x − 2 )

Câu 10: Giải phương trình x 3 x − 2 + ( x + 1) 5 x − 1 = 8 x − 3.
Câu 11: Giải phương trình x3 + 3 x 2 − 19 x + 12 + 5 x − 1 + 8 x − 7 = 0.
Câu 12: Giải phương trình 2 x + 1 − 3 x − 2 − 5 x − 1 = ( x 2 − 3 x + 2 ) x 2 − 2 x + 5.
Câu 13: Giải phương trình x 3 x − 2 + 3 5 x − 1 + ( x 2 − 3 x + 2 ) 3 x + 2 = x 2 + 3 x + 3.
Câu 14: Giải phương trình

x − 1 + 2 x3 − x 2 + x + 3 = 3 x + 1 + ( x 2 − 3 x + 2 ) x + 3.

Câu 15: Giải phương trình 3 x 2 − x + 3 = 3 x + 1 + 5 x + 4 trên tập số thực.
Câu 16: Giải phương trình x 4 − 3 x3 + 3 = 4 − x + x + 1 trên tập số thực.
Câu 17: Giải phương trình ( x + 2 ) 3 x + 1 − 3 x − 2 +
Câu 18. Giải phương trình x 2 + 2 x + 4 = 16 x − 7 +

6 − 3 5x + 4
1 + 3x + 1

(x

2

=0

+ 3) ( 3x + 1)

( x ∈ R)

( x ∈ R)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P3
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3. LIÊN HỢP 2 NGHIỆM XẤU KINH
Ví dụ 1 [ĐVH]: Giải phương trình 4 x 3 − 36 x 2 + 94 x − 70 + 13 − 4 x + 33 − 8 x = 0

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
13
.
4
Phương trình đã cho tương đương với
4 ( x 3 − 9 x 2 + 23 x − 15 ) + 13 − 4 x + 33 − 8 x = 10 − 2 x

Điều kiện x ≤

⇔ 4 ( x − 5 ) ( x 2 − 4 x + 3 ) + 13 − 4 x + 33 − 8 x = 10 − 2 x

⇔ ( 4 − x ) − 13 − 4 x + ( 6 − x ) − 33 − 8 x + 4 ( 5 − x ) ( x 2 − 4 x + 3) = 0
⇔

x2 − 4x + 3
x2 − 4x + 3
+
+ 4 ( 5 − x ) ( x 2 − 4 x + 3) = 0
( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x



1
1
⇔ ( x 2 − 4 x + 3) 
+
+ 5 − x  = 0 (1)
 ( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x



1
1
13
+
+ 5 − x > 0, ∀x ≤
Vì

nên (1) ⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0 ⇔ x ∈ {1;3} .
4
( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x
Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên.
Ví dụ 2 [ĐVH]: Giải phương trình x 4 − 3 x3 + 3 = 4 − x + x + 1
Điều kiện −1 ≤ x ≤ 4 .
Phương trình đã cho tương đương với

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.

x3 ( x − 3) = 4 − x + x + 1 − 3 ⇔ x3 ( x − 3) = 4 − x −

x+3
6− x
+ 1+ x −
3
3

⇔ 3 x3 ( x − 3) = 3 4 − x − ( 6 − x ) + 3 1 + x − ( x + 3)
− x 2 + 3x
− x 2 + 3x
+
3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3
1
1


⇔ ( x 2 − 3 x ) 3 x 2 +

+
 = 0 (1)
3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3

1
1
Dễ thấy 3 x 2 +
+
> 0, ∀x ∈ [ −1; 4] nên nên (1) có các nghiệm x = 2; x = −1 .
3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3
Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 0; x = 3 .
⇔ 3x 2 ( x 2 − 3x ) =

Ví dụ 3 [ĐVH]: Giải phương trình 5 9 − x + 5 x + 4 = 17 x 3 − 425 x + 25
Điều kiện −4 ≤ x ≤ 9 .
Phương trình đã cho tương đương với

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

15 − x − 5 9 − x + x + 10 − 5 x + 4 + 17 x ( x 2 − 25 ) = 0
x2 − 5x

x2 − 5x
+
+ 17 ( x + 5 ) ( x 2 − 5 x ) = 0
15 − x + 5 9 − x x + 10 + 5 x + 4
1
1


⇔ x ( x − 5) 
+
+ 17 ( x + 5 )  = 0
15 − x + 5 9 − x x + 10 + 5 x + 4

1
1
+
+ 17 ( x + 5 ) > 0, ∀x ∈ [ −4;9] .
Ta có
15 − x + 5 9 − x x + 10 + 5 x + 4
Do đó (1) ⇔ x ( x − 5) = 0 ⇔ x ∈ {0;5} . Kết luận phương trình có hai nghiệm.
⇔

2 2 10
x = x + 25
3
3
Lời giải.

Ví dụ 4 [ĐVH]: Giải phương trình 5 9 − x + 5 x + 4 +
Điều kiện −4 ≤ x ≤ 9 .

Phương trình đã cho tương đương với

(1)

( x ∈ ℝ) .

2 2
( x − 5x ) = 0
3
x2 − 5x
x2 − 5x
2
⇔
+
− ( x2 − 5x ) = 0
15 − x + 5 9 − x x + 10 + 5 x + 4 3

15 − x − 5 9 − x + x + 10 − 5 x + 4 −

1
1
2

⇔ x ( x − 5) 
+
−  = 0 (1)
15 − x + 5 9 − x x + 10 + 5 x + 4 3 
1
1
1

1
1 1 2
+
=
+
< 2. = < .
Rõ ràng
6 3 3
15 − x + 5 9 − x x + 10 + 5 x + 4 6 + 9 − x + 5 9 − x 6 + x + 4 + 5 x + 4
Do đó (1) ⇔ x ( x − 5) = 0 ⇔ x ∈ {0;5} . Kết luận phương trình có hai nghiệm.

Ví dụ 5 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
x2 + x + 1 x2 2 + x2 + 2
+
=
x+3
2
x2 + 2

a)

b) 2

x2 + x +1
+ x2 − 3 =
x+4

2
x2 + 1

Lời giải.
x2 + x + 1
2
x2
−
+ −1 = 0
x+3
x2 + 2 2

a) ĐK: x ≥ −3 . Với ĐK trên ta có: PT ⇔

(x

⇔

⇔

⇔




(

2

)(

)

+ x + 1 x2 + 2 − 2 x + 3

( x + 3) ( x 2 + 2 )

x2 − 2
+
=0
2

x 4 + x 3 + 3x 2 − 2 x − 10
x2 − 2
+
=0
2
2
2
2

x + x + 1 x + 2 + 2 x + 3 ( x + 3) x + 2


)(

)

(

x 4 + 3 x 2 − 10 + x x 2 − 2
A

(

)+x

2

(

)

)(

)

x2 − 2 x2 + x + 5 x2 − 2
−2
=0⇔
+
=0
2
A
2

 x2 + x + 5 1 
⇔ x2 − 2 
+ =0⇔ x=± 2
A
2


(

)

Vậy x = ± 2 là nghiệm của PT đã cho.

b) Tương tự x = ± 3
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 6 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
a) x 4 + 2 x 2 + 2 x + 3 = 4 x 2 + 5 x + 3

b)

x 2 + 3x
1− x
=
2
x +1
2x

Lời giải.

a) ĐK: x ≥

−1
2
. Khi đó ta có: PT ⇔ 2 x 2 + 2 x + 3 − x − 2 + x 4 − ( 2 x + 1) = 0
2

x2 − 2x −1

⇔

2x + 2x + 3 + ( x + 2)
2

(

)

+ x 2 − 2 x − 1 ( x + 1) = 0
2

 x = 1± 2

1
2
⇔ x2 − 2 x − 1 
+ ( x + 1)  = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 1 g ( x ) = 0 ⇔ 
2
 g ( x ) = 0
 2x + 2x + 3 + x + 2


(

)

(

Giải g ( x ) = 0 ta có

)

2 x 2 + 2 x + 3 ≥ − x ( ∀x ∈ R ) ⇒ g ( x ) > 0 ∀x ∈ R

Do đó PT g ( x ) = 0 vô nghiệm
Vậy nghiệm của PT là x = 1 ± 2

b) ĐK: 0 ≤ x ≤ 1 . Khi đó PT ⇔

⇔

3x − 1
=
x2 + 1
2x

Vây x =

(

x 2 + 3x
1− x

3x − 1
1− x − 2x
−1 =
−1 ⇔ 2
=
2
x +1
2x
x +1
2x


1
⇔ ( 3 x − 1)  2
+
 x +1
1 − x + 2x
2x


1 − 3x

)

(


=0 ⇔ x=1
3
1− x + 2x 


1

)

1
là nghiệm của PT đã cho.
3

3
= 4 x 2 − 15 x + 11
x
Lời giải.
Điều kiện x ≥ 2 . Phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 7 [ĐVH]: Giải phương trình

( x ∈ ℝ) .

x−2 +

x x − 2 = 4 x 3 − 15 x 2 + 11x − 3 ⇔ x

(

)

x − 2 − 1 = 4 x3 − 15 x 2 + 10 x − 3

x = 3

⇔
= ( x − 3) ( 4 x − 3 x + 1) ⇔ 
x

= 4 x 2 − 3 x + 1 (1)
x − 2 +1
 x − 2 + 1
x
x

x
 x − 2 + 1 ≤ 1 = x, ∀x ≥ 2
Chú ý rằng 
⇒
≤ 4 x 2 − 3x + 1 .
x
−
2
+
1
( 2 x − 1)2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ 4 x 2 − 3 x + 1 ≥ x, ∀x ∈ ℝ

x
Dấu đẳng thức không xảy ra nên
< 4 x 2 − 3 x + 1 ⇒ (1) vô nghiệm.
x − 2 +1
Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3 .
x ( x − 3)

2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1: Giải phương trình 3 x 2 − 10 x + 4 = 4 x − 1 + 6 x .
Câu 2: Giải phương trình 8 x 2 − 10 x + 5 = 7 x − 2 + 11x − 1 .
Câu 3: Giải phương trình 9 x 3 − 11x 2 + 7 x + 2 = 11x − 1 + 23 x + 3 .
Câu 4: Giải phương trình x 2 − 4 x + 6 =

5x − 2
+ 11x + 7 .
x

Câu 5: Giải phương trình x3 − 3x 2 + 4 x + 1 = 3x − 1 + x ( 3x + 7 )
Câu 6: Giải phương trình x 2 − 5 x − 15 = 6 x + 2

( x ∈ ℝ ).

Câu 7: Giải phương trình 4 x 2 − 4 x − 5 = 4 x + 1

( x ∈ ℝ ).

Câu 8: Giải phương trình 8 x 2 − 16 x + 1 + 3 x + 2 = 0
Câu 9: Giải phương trình

( x ∈ ℝ) .

( x ∈ ℝ ).

2 x 2 − 10 x + 5 = 5 x − 2 + x 3 − 24 x + 11
x3 − 5 x2 + 5x + 1
x − 4x + 3 =
3− x
2

Câu 10: Giải phương trình

Câu 11: Giải phương trình ( x 2 + 1) 5 x − 2 + 5 x 2 = 2 x 3 + 3 x
x2 + x + 1 x2
+
−
x+4
2

Câu 12: Giải phương trình

1
x2 + 1

−2=0

Câu 13: Giải phương trình x 2 + 5 x 2 + 2 x = 4 x + 2 + 3 x + 1
Câu 14: Giải phương trình
Câu 15: Giải phương trình

3

x3 − 14 + 5 = 8 x + 10 .

( x + 1)

2 x + 1 + 2 x2 − 2 x + 1 = 5x + 4

Câu 16: Giải phương trình x 2 + ( x + 2 ) 2 x + 3 = 7 x + 8 + 4 x + 2
Câu 17: Giải phương trình

x + 3 − x = x 2 − x − 2 trên tập số thực.

Câu 18: Giải phương trình

4 x + 2 − 3 x3 − 14 = x 2 − 2 x + 2 trên tập số thực.

Câu 19: Giải phương trình ( x + 1) x 2 + x + 1 =

( x + 3) ( −1 +

)

x+2 +3

Câu 20: Giải phương trình ( x 2 + 3 x + 5 ) 8 x 2 + 4 x + 5 = x3 + 13 x 2 + 12 x + 31

( x ∈ R)
( x ∈ R)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!