Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 9: Bất đẳng thức và cực trị)

1


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN THƯỜNG GẶP
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Một số các bất đẳng thức cơ bản cần ghi nhớ:

( ∀a, b ∈ R )
ab , ( a ≥ 0, b ≥ 0 )

1) a 2 + b 2 ≥ 2ab

2) a + b + c ≥ 3 3 abc

3) a + b ≥ 2

4) a 3 + b3 + c3 ≥ 3abc

1 1
4
+ ≥
x, y > 0
x y x+ y
1
4
7)

≥
( x, y > 0)
xy ( x + y ) 2
9) a 3 + b3 ≥ a 2b + ab 2 (a, b ≥ 0

5)

11) a, b > 0,

6)

1 1 1
9
+ + ≥
, ( x, y , z > 0 )
x y z x+ y+ z

8) 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2
10) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

a b
+ ≥2
b a

12) abc ≤

a 3 + b3 + c3
3

a 3 + b3  a + b 

13)
≥

2
 2 
a2 + b2
15) ab ≤
( ∀a, b ∈ R )
2

 a+b+c
14) abc ≤ 

3



 a+b
17) ab ≤ 
 ( ∀a, b ∈ R )
 2 
1
11 1
≤  +  , ( x, y > 0 )
19)
x+ y 4 x y 

18) 3(ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c )

3

16)

2

25)

ab + bc + ac ≤ a + b + c
2

a
b
c
3
+
+
≥ , (a, b, c > 0)
b+c c+a a+b 2
1
1
2
22)
+
≥
, ( ∀a, b ≥ 1)
1 + a 1 + b 1 + ab

20)

21) 1 + x + 1 + y ≥ 1 + 1 + x + y , ( x, y ≥ 0)

23) x3 + y 3 ≥

3

( x + y )3
, ( x, y ≥ 0 )
4

24)

a 2 b 2 c 2 (a + b + c)2
+ + ≥
x
y z
x+ y+z

a
(a1 + a2 + ....an ) 2
a1 a2
+ + ...... + n ≥
x1 x2
xn a1 x1 + a2 x2 + .. + an xn

Bài 1: [ĐVH]. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng

a b
+ ≥2
b a

Bài 2: [ĐVH]. Chứng minh rằng a 4 + b 4 ≥ a 3b + ab3 , với mọi a, b.

Bài 3: [ĐVH]. Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca với mọi a, b, c.
Bài 4: [ĐVH]. Chứng minh rằng

b
a
+
≥ a + b , với mọi a, b > 0
a
b

Bài 5: [ĐVH]. Chứng minh rằng ( a 2 − b 2 ) ≥ ( a − b ) , với mọi a, b > 0
2

4

Bài 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng a 5 + b5 ≥ a 3b 2 + a 2b 3 , với mọi a, b ≥ 0.
Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh rằng
Bài 8: [ĐVH]. Chứng minh rằng

1
1
2
+
≥
, ( ∀a, b ≥ 1) .
2
2
1 + a 1 + b 1 + ab

( a + c )( b + d ) ≥

ab + cd , ( ∀a, b, c, d ≥ 0 )

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

( a + c) + (b + d )

a2 + b2 + c 2 + d 2 ≥

Bài 9: [ĐVH]. Chứng minh rằng
Bài 10: [ĐVH]. Chứng minh rằng

Facebook: LyHung95

2

2

, ∀a, b, c, d ∈ R

a3
b3
c3
a+b+c
+
+
≥

2
2
2
2
2
2
a + ab + b b + bc + c c + ca + a
3

x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 ( x + y + z )

Bài 11: [ĐVH]. Chứng minh rằng

Hướng dẫn:
x + xy + y =
2

2

( x + y)

2

( x + y)

− xy ≥

2

( x + y)

−

2

=

4

3
( x + y ) , tương tự ta được đpcm
2

Bài 12: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c > 0.
Chứng minh rằng

b+c

a + 3 4 ( b3 + c3 )

+

c+a

b + 3 4 ( c3 + a3 )

+

a+b

c + 3 4 ( a 3 + b3 )

≤2

Hướng dẫn:
b + c = ( b + c ) − 3bc ( b + c ) ≥ ( b + c )
3

3

3

Bài 13: [ĐVH]. Chứng minh rằng

3

(b + c)
−3
4

2

(b + c)

(b + c)
=
4

3



→ 4 ( b3 + c 3 ) ≥ ( b + c )

3

a4
b4
c4
a+b+c
+
+
≥
3
3
3
3
3
3
a +b b +c c +a
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

DẠNG 1. SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CÁC HỆ QUẢ CỦA BĐT CÔ-SI
Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh rằng ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc, ∀a, b, c ≥ 0

(

)

Bài 2: [ĐVH]. Chứng minh răng (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ 1 + 3 abc , ∀a, b, c ≥ 0
3

Bài 3: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
a)

a+b b+c c+a
+
+
≥6
c
a
b

b)

a
b
c
3
+
+
≥

b+c c+a a+b 2

Bài 4: [ĐVH]. Cho a, b > 1. Chứng minh rằng :
a) ( a + 1)( b + 1) ≥ a + b + 2
b) a b − 1 + b a − 1 ≤ ab
Bài 5: [ĐVH]. Chứng minh rằng : a 4 + b4 + c 4 ≥ abc ( a + b + c ) , ∀a, b, c ∈ R
Bài 6: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng

1
1
1
+ 2
+ 2
≥9
a + 2bc b + 2ca c + 2ab
2

Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh rằng :
a) a +

c) a +

1
≥ 3, ∀a > b > 0
b ( a − b)
4

( a − b )( b + 1)

2

b) a +

≥ 3, ∀a > b > 0

d)

1
b ( a − b)

a2 + 2
a2 + 1

2

≥ 2 2, ∀a > b > 0

≥ 2, ∀a ∈ R

Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng abc ( a + b )( b + c )( c + a ) ≤
Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng

8
729

a
b
c
3 3
+ 2

+ 2
≥
2
2
2
b +c c +a
a +b
2
2

 a , b, c > 0
a+b
c+b

Bài 10: [ĐVH]. Cho  1 1 2 . Chứng minh rằng:
+
≥4
2 a − b 2c − b
 a + c = b

Bài 11: [ĐVH]. Chứng minh rằng

a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
, ∀a, b, c > 0

b+c c+a a+b
2

1
1  3
 1
Bài 12: [ĐVH]. Chứng minh rằng với a, b, c > 0 ta có ( a 2 + b 2 + c 2 ) 
+
+
 ≥ (a + b + c)
a+b b+c c+a 2

Bài 13: [ĐVH]. Cho x ≥ 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x 2 + 2 x + 17
2 ( x + 1)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Bài 14: [ĐVH]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Facebook: LyHung95

x + 6 x + 34
x +3

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. SỬ DỤNG TRỰC TIẾP BĐT CÔ-SI
Ví dụ 1. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = xyz .
1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

1 + x2

+

1
1+ y2

+

1
1+ z2

Ví dụ 2. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x+ y
y+z
z+x
+
+
xy + z
yz + x
zx + y

Ví dụ 3. Cho x, y > 0 và x + y = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1
1
+
3
x +y
xy
3

Ví dụ 4. Cho x, y > 0 và xyz = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1
1 1
3
+ + +
xy yz xz x + y + z

 x

1  y
1  z
1
Ví dụ 5. Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
+ 
+ 
+ 
 y + z 2  x + z 2  x + y 2 
Hướng dẫn:
Ta có

x
1 2 x + y + z ( x + z) + ( y + z)
1
+ =
=
≥
( x + z )( y + z )
y+z 2
2( y + z )
2( y + z )
y+z

Tương tự cho hai biểu thức còn lại, sau đó nhân vào ta được P ≥ 1

Ví dụ 6. Cho x, y, z > 0 và

1
1
1

+
+
= 2.
1+ x 1+ y 1+ z

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz

Hướng dẫn:
Tách


1
1  
1 
y
z
yz
= 1 −
+
≥2
 + 1 −
=
1+ x  1+ y   1+ z  y +1 z +1
( y + 1)( z + 1)

Tương tự

1
xz
1

xy
≥2
;
≥2
1+ y
( x + 1)( z + 1) 1 + z
( x + 1)( y + 1)

Nhân vế theo vế các BĐT ta được

1
1 1
xyz
1
≥8
⇒ xyz ≤
1+ x 1+ y 1+ z
(1 + x)(1 + y )(1 + z )
8

Ví dụ 7. Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1 + x2 + y2
1+ y2 + z2
1 + z 2 + x2
+
+
xy
yz

zx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 8. Cho các số thực x > 1; y > 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

( x3 + y3 ) − ( x2 + y 2 )
( x − 1)( y − 1)
Hướng dẫn:

( x3 − x2 ) + ( y3 − y 2 )
x2
y2
2 xy
Ta có P =
=
+
≥
( x − 1)( y − 1)
y −1 x −1
( x − 1)( y − 1)
x

 x − 1 = 1.( x − 1) ≤ 2

xy
Lại có 

→ ( x − 1)( y − 1) ≤
4
 y − 1 = 1.( y − 1) ≤ y

2
Từ đó dễ dàng suy ra P ≥ 8.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a)

a
b
c
1 1 1 1
+ 2 2+ 2
≤  + + 
2
2
a +b b +c c +a
2 a b c 

b)

a+b
b+c
c+a 1 1 1

+ 2 2+ 2
≤ + + 
2
2
a + b b + c c + a2  a b c 

2

Bài 2: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và

1
1
1
1
+
+
≥ 2 . Chứng minh rằng abc ≤
1+ a 1+ b 1+ c
8

Bài 3: [ĐVH]. Cho a, b, c bất kỳ. Chứng minh rằng :
a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
b) ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c )
2

 a , b, c > 0
Bài 4: [ĐVH]. Cho 
.
a + b + c = 1
 1  1  1 

Chứng minh rằng  − 1 − 1 − 1 ≥ 8
 a  b  c 

Bài 5: [ĐVH]. CMR

1
1
1
a+b+c
+ 2
+ 2
≤
, ∀a, b, c > 0
a + bc b + ca c + ab
2abc
2

Bài 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có
1
1
1
1
+ 3 3
+ 3
≤
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
3

Bài 7: [ĐVH]. Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1
Tìm giá trị lớn nhất của P =

1
1
1
+ 3 3
+ 3
3
a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1
3

Bài 8*: [ĐVH]. Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1
a 3 + b3
b3 + c3
c3 + a3
Tìm GTNN của P = 2
+
+
a + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Hướng dẫn:

( a + b ) ( a 2 + ab + b 2 ) − 2ab ( a + b )

2ab ( a + b )
2ab ( a + b ) a + b
a 3 + b3
=
= ( a + b) − 2
≥ ( a + b) −
=
2
2
2
2
2
a + ab + b
a + ab + b
a + b + ab
3ab
3
Tương tự cho các bất đẳng thức khác ta được Pmin = 2 khi a = b = c = 1.
Bài 9: [ĐVH]. Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 1.
Chứng minh rằng P =

x9 + y 9
y9 + z9
z 9 + x9
+
+
≥2
x6 + x3 y3 + y 6 y 6 + y3 z 3 + z 6 z 6 + z 3 x3 + x6

Bài 10: [ĐVH]. (Khối D – 2006) Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1.

1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy
yz
zx

Chứng minh rằng

Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 11: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng

2 y
2 x
2 z
1
1
1
+ 3 2+ 3
≤ 2+ 2+ 2
3
2
2
x +y
y +z
z +x

x
y
z

Bài 12: [ĐVH]. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

a2
b2
c2
+
+
≥1
a 2 + 2bc b 2 + 2ac c 2 + 2ab

Bài 13: [ĐVH]. (Khối B – 2007) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi.
x 1 
y 1  z 1 
Tìm GTNN của biểu thức P = x  +  + y  +  + z  + 
 2 zx   2 xy 
 2 yz 
Bài 14: [ĐVH]. Cho các số thực x, y. Chứng minh rằng
a) x + y
2

2

( x + y)
≥

2

b) x + y
4

2

4

( x + y)
≥

4

8

1 1 1
+ + =4.
a b c
1
1
1
Chứng minh rằng :
+
+
≤1
2 a + b + c a + 2 b + c a + b + 2c

Bài 15: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và thoả mãn

Bài 16: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0 và thoả mãn x + 2 y + 4 z = 12 .

Chứng minh rằng:

2 xy
8 yz
4 xz
+
+
≤ 6.
x + 2 y 2 y + 4z 4z + x

Bài 17: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0 và thoả mãn: 2 xy + xz = 1 .
Tìm GTNN của biểu thức P =

3 yz 4 zx 5 xy
+
+
x
y
z

Bài 18: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy = 3( x + y + z ).
Tìm GTNN của biểu thức P = x + y + z +

20
+
x+z

20
.
y+2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P3
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3. KĨ THẬT TÁCH, GHÉP
Ví dụ 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

a2
a+b+c
∑b+c ≥ 2

Ví dụ 2. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c =
a) Tìm GTLN của biểu thức P = ∑
b) Tìm GTNN của biểu thức Q =

(

3

3a + b

∑(

3
.
4

)

1
x + 3y

)

Ví dụ 3. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 3 .
Tìm GTNN của biểu thức P = ∑

a3
(b + 1)(c + 1)

a4
a+b+c
Ví dụ 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng ∑ 2
≥
b (a + c)
2
Ví dụ 5. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3 .
Tìm GTNN của biểu thức P = ∑

a
b +1

Ví dụ 6. Cho x, y > 1 và thỏa mãn xy = 1 .

x3
y3
Tìm GTNN của biểu thức P =
+
y +1 x +1
Hướng dẫn:
Tách

x3
y + 1 1 3x
+
+ ≥
...
y +1
4
2 2

Ví dụ 7. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn xy xy + yz yz + zx zx = 1 .

x6
y6
z6
Tìm GTNN của biểu thức P = 3
+
+
x + y 3 y 3 + z 3 z 3 + x3
Hướng dẫn:
Đặt x3 = a; y 3 = b; z 3 = c quy về BĐT cơ bản!
Ví dụ 8. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3 xyz .

Tìm GTNN của biểu thức P =

yz
zx
xy
+ 3
+ 3
x ( z + 2 y ) y ( x + 2 z ) z ( y + 2 x)
3

Hướng dẫn:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Đặt

Facebook: LyHung95

1
1
1
= a; = b; = c ⇒ ab + bc + ca = 3
x
y
z

a3
Thay vào biểu thức P ta được P = ∑

b + 2c
a3
a (b + 2c) 2a 2
Ta có
+
≥
... Tương tự, đến đây các em tự làm nốt nhé!
b + 2c
9
3
Ví dụ 9. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3.
b b
c c
a a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
+
+
2a + b + c
2b + c + a
2c + a + b
Hướng dẫn:
Cách 1:
b b
c c
a a
+
+
a+3
b+3
c+3

Áp dung bất đằng thức Cauchy cho 3 số thực dương, ta có:

Từ giả thiết ta có P =

b b
b b
a+3
b3 3b
3
+
+
≥3
=
64 4
2 a + 3 2 a + 3 16

 c c
c c
b+3
c 3 3c
3
+
+
≥
3
=

64 4
 2 b + 3 2 b + 3 16
Tương tự 

a a
c+3
a 3 3a
 a a
3
+
+
≥
3
=

64 4
 2 c + 3 2 c + 3 16
Cộng vế theo vế các bất đẳng thứ trên ta được:
b b
c c
a a
a+b+c+9 3
3
+
+
+
≥ (a + b + c) ⇔ P ≥
16
4
2
a+3
b+3
c+3
Đẳng thức chỉ xảy ra khi a = b = c = 1 .

Cách 2:
Cauchy − Schwarz
(a + b + c)
b2
c2
a2
Ta có: P =
+
+
≥
b a+3
c b+3
a c+3
a c+3 + b a+3 + c b+3
2

Mặt khác:

⇒P≥

a c+3 + b a+3 + c b+3

Bunhiacopxki

≤

( a + b + c )( a + b + c + 9 ) =

36 = 6

3
. Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1
2

Ví dụ 10. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.
CMR:

a3
b3
c3
3
+
+
≥ .
2
2
2
b +3 c +3 a +3 4

Ví dụ 11. Cho các số dương x, y, z . CMR:

x4
y4
z4
1
+
+
≥ ( x3 + y3 + z 3 ) .
y+ z z+ x x+ y 2

Ví dụ 12. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 3 . CMR:

x3
y +8
3

+

y3
z +8
3

+

z3
x +8
3

≥

1 2
+ ( xy + yz + zx)
9 27

a3
b3
c3
Ví dụ 13. Cho a, b, c > 0: a + b + c = 1 . Tìm GTNN: P =
+
+

2b + 3c 2c + 3a 2a + 3b
2

2

2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Ví dụ 14. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 6 . Tìm GTNN: P =

Facebook: LyHung95

x3
y3
z3
+
+
y+z z+x x+ y

Ví dụ 15. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1
1
1
+ 4

+ 4
a (b + c) b ( c + a ) c ( a + b)
4

Hướng dẫn:
1
x

1
y

1
z

Cách 1: Đặt: a = ; b = ; c = → xyz = 1
Khi đó ta có → P =

x 4 yz y 4 zx z 4 xy
x3
y3
z3
+
+
=
+
+
y+z x+z x+ y y+z z+x x+ y

Hướng 1:
Theo BĐT Cauchy thì:

x3
y + z 1 3x
+
+ ≥ ;
y+z
4
2 2
⇒P=

y3
z + x 1 3y
+
+ ≥ ;
z+x
4
2 2

z3
x + y 1 3z
+
+ ≥
x+ y
4
2 2

x3
y3
z3
3 Cauchy 3
3 3

+
+
≥ x+ y+ z−
≥ 3 xyz − =
y+z z+x x+ y
2
2 2

Hướng 2:
Theo BĐT Cauchy – Schwarz ta có:
P=

3

3

3

4

4

4

x
y
z
x
y
z

+
+
=
+
+
y + z z + x x + y xy + zx zy + xy zx + yz

Cauchy − Schwarz

≥

( x2 + y 2 + z 2 )

2

2 ( xy + yz + zx )

Mặt khác lại có: xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2
Suy ra ⇒ P ≥

2 2 2
3
x 2 + y 2 + z 2 33 x y z
≥
=
2
2
2

Hướng 3:

Bunhiacopxki  x 2
 x3
y3
z3 
y2
z2 
Ta có: P ( x + y + z ) = 
+
+
≥
+
+
 ( x + y + z )


 y+z z+x x+ y
 y+ z z+ x x+ y

C1. Theo BĐT Cauchy thì:
⇒

x2
y+z
+
≥ x;
y+z
4

y2
z+x

+
≥ y;
z+x
4

2

z2
x+ y
+
≥z
x+ y
4

x2
y2
z2
1
1
3
+
+
≥ ( x + y + z) ⇒ P ≥ ( x + y + z) ≥
y+z z+x x+ y 2
2
2

C2. P ( x + y + z )
⇒P≥

Bunhiacopxki 

≥

x2
y2
z2 
+
+


 y+z z+x x+ y

2

( x + y + z )2 

2( x + y + z) 



Cauchy − Schwarz 

≥

2

 x+ y+z
=


2



2

x+ y+z 3
≥
2
2

Vậy GTNN của P là PMin =

3
⇔ a = b = c =1
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

2


1
1  
1

1
1
 1
+ 2 + 2  = 2
. b+c + 2
. c+a + 2
. a+b
2
b
c  a b+c
b c+a
c a+b
a


2

Cách 2: Ta có: 

Theo BĐT Bunhiacopxki:


1
1
1
. b+c + 2
. c+a + 2
. a+b
 2
b c+a

c a+b
a b+c


2 Bunhiacopxki



1
1
1
+ 4
+ 4
 4
  2 ( a + b + c ) 


 a (b + c) b (c + a ) c ( a + b) 

≤

2

1
1 
 1
+ 2 + 2  ≤ 2 ( a + b + c ) .P
2
b
c 

a

Hay ⇔ 

Mặt khác theo BĐT Cauchy thì:
1
1 
 1
 2 + 2 + 2
b
c 
a

2
 a 2 + b2 + c 2 
1
1   1
1
1 
 1
≥ 3 2 2 + 2 2 + 2 2  ↔  2 + 2 + 2  ≥ 3 
= 3 a 2 + b2 + c 2
 a 2b 2c 2 
b c
c a  a
b
c 
a b



2 Cauchy

(

(

)

⇒P≥

2

1
1 
 1
2
+ 2 + 2  ≥ ( a + b + c)
2
b
c 
a

Và: ( a + b + c ) ≤ 3 a 2 + b 2 + c 2 . Nên suy ra: 
2

)

a + b + c Cauchy 3 3 abc 3
≥

= .
2
2
2

3
2

Vậy GTNN của P là PMin = ⇔ a = b = c = 1

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P4
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 4. SỬ DỤNG CÔ-SI NGƯỢC DẤU
Ví dụ 1. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm GTNN của biểu thức P =

x
y
z
+
+
2
2

1 + y 1 + z 1 + x2

Ví dụ 2. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm GTNN của biểu thức P = ∑
Ví dụ 3. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm GTNN của biểu thức P =

Ví dụ 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

x2
x + 2 y2

x +1 y +1 z +1
+
+
1 + y 2 1 + z 2 1 + x2

a2

1
≥ (a + b + c)
3a + 8b + 14ab 5

∑

2

2

Ví dụ 5. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = 3 .
1

Tìm GTNN của biểu thức: P =

8a 2 + 26ab + 15b 2

1

+

8b 2 + 26bc + 15c 2

+

1
8c 2 + 26ca + 15a 2

Hướng dẫn:
Cách 1:
Hướng 1: Ta có: 8a 2 + 26ab + 15b 2 = ( 3a + 4b ) − ( a − b ) ≤ ( 3a + 4b )
2

1

⇒

8a 2 + 26ab + 15b 2

=

1

( 3a + 4b )2 − ( a − b )2

≥

2

2

1
3a + 4b
2

 6a + 8b 
2
Hướng 2: Ta có: 8a + 26ab + 15b = ( 2a + 5b )( 4a + 3b ) ≤ 
 = ( 3a + 4b )
 2 
2

2

1

⇒

8a + 26ab + 15b
2

2

≥

1
.
3a + 4b

Tương tự cho hai biểu thức còn lại ta được: P ≥
Theo Cô-si ta có:
⇒P≥

1
1
1
+
+
3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a

1
3a + 4b 2
1
3b + 4c 2
1
3c + 4a 2
+
≥ ;
+
≥ ;
+
≥
3a + 4b

49
7 3b + 4c
49
7 3c + 4a
49
7

(

)

Bunhiacopxki
6 a+b+c
2
−
. Mà : ( a + b + c )
≤
(1 + 1 + 1) a 2 + b2 + c 2 = 9 → a + b + c ≤ 3 .
7
7

3
7

Vậy suy ra ⇒ P ≥ . Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1
Cách 2:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

∑

P=

1
8a 2 + 26ab + 15b 2

=

∑

1

≥

( 3a + 4b )2 − ( a − b )2

Facebook: LyHung95

∑ 3a +1 4b

1
1
1 Cauchy − Schwarz (1 + 1 + 1)
+
+
≥
3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a
7(a + b + c)

3

Mặt khác:

Lại có: ( a + b + c )
⇒P≥

2

Bunhiacopxki

≤

(1 + 1 + 1) ( a 2 + b2 + c 2 ) = 9 → a + b + c ≤ 3 .

3
. Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1
7

Cách 3:
 x = 8a 2 + 26ab + 15b 2


Đặt  y = 8b 2 + 26bc + 15c 2 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 23 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 26 ( ab + bc + ca ) ≤ 49 ( a 2 + b 2 + c 2 )

2
2
 z = 8c + 26ca + 15a
Mặt khác: 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) ⇒ ( x + y + z ) ≤ 3.49 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 441 ⇒ x + y + z ≤ 21
2

P=

2

1 1 1
9
3
+ + ≥
≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 .
x y z x+ y+z 7

Vậy GTNN của P là

3
khi a = b = c = 1 .
7

(

)

a2
b2
c2
1
+
+
+
ab + bc + ca ≥ a + b + c

a+b b+c c+a 2
x4 y
y4 z
z4 x
3
Ví dụ 7. Cho các số thực x, y , z > 0, xyz = 1. CMR: 2
+ 2
+ 2
≥
x +1 y +1 z +1 2
Ví dụ 8. Cho các số thực x, y , z > 0 .

Ví dụ 6. Chứng minh với mọi số dương a; b; c :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ∑

Ta có


1
x
= 1 −
≤
x + 2 yz 2  x + 2 yz 
yz

yz
x + 2 yz
Hướng dẫn:


1
x
1 −

2 x+ y+ z 

Tương tự cho các biểu thức còn lại ta thu được Pmin = 1 ⇔ x = y = z

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P5
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 5. KĨ THUẬT CÂN BẰNG HỆ SỐ
Ví dụ 1. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 .
Tìm GTNN của biểu thức P = a 3 + 2b3 + 3c3

Ví dụ 2. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 3 .
Tìm GTNN của biểu thức P = a 2 + b 2 + c3

Ví dụ 3. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a 2 + 2b 2 + 3c 2 = 1 .
Tìm GTNN của biểu thức P = 2a 3 + 3b3 + 4c3

Ví dụ 4. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 .

Tìm GTLN của biểu thức P = (1 + 2a )(1 + 2bc)

Ví dụ 5. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn 2a + 4b + 3c 2 = 68 .
Tìm GTNN của biểu thức P = a 2 + b 2 + c3

Ví dụ 6. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn ab + bc + ca = 1 .
Tìm GTNN của biểu thức P = a 2 + 2b 2 + 3c 2

Ví dụ 7. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a + 4b + 9c = 6 .
Tìm GTNN của biểu thức P = a 3 + b3 + c3

Đ/s: min P =

1
1
1
1
⇔ a = ;b = ;c =
6
6
3
2

Ví dụ 8. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + xy + 3 xyz =

4
.
3

Tìm GTNN của biểu thức P = x + y + z

1
x + 4y

 xy = 2 x.4 y ≤ 4
Hướng dẫn: Ta có 
 3 xyz = 1 3 x.4 y.16 z ≤ x + 4 y + 16 z

4
12

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
 a , b, c > 0
1
Bài 1: [ĐVH]. Cho 
. Tìm GTNN của biểu thức P = abc +
abc
a + b + c ≤ 1
Bài 2: [ĐVH]. Cho 0 < a ≤

1
1
. Tìm GTNN của biểu thức P = 2a + 2
2
a

 a , b, c > 0
1
1
1


2
2
2
Bài 3: [ĐVH]. Cho 
3 . Tìm GTNN của biểu thức P = a + 2 + b + 2 + c + 2
b
c
a
a + b + c ≤ 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a, b > 0
1
1
Bài 4: [ĐVH]. Cho 
, tìm GTNN của P = 2
+
2
a + b 2ab
a + b ≤ 1
Bài 5: [ĐVH]. Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

3x2 + 4 2 + y3
+

4x
y2

Bài 6: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c =
Chứng minh rằng

3

3
.
4

a + 3b + 3 b + 2c + 3 c + 3a ≤ 3

Bài 7: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng 3 a9 + 2 + 3 b9 + 2 + 3 c9 + 2 ≥ 3 3 3

Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng a 3 1 + b − c + b 3 1 + c − a + c 3 1 + a − b ≤ 1

Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng 5 2a + b + 5 2b + c + 5 2c + a ≤ 3 5 3

Bài 10: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng 5 ( 2a + b )( a + c ) a + 5 ( 2b + c )( b + a ) b + 5 ( 2c + a )( c + b ) c ≤ 3 5 6

Bài 11: [ĐVH]. Cho a > b ≥ 0. Chứng minh rằng 2a +

32

( a − b )( 2b + 3)

2

≥5

Bài 12: [ĐVH]. Cho các số dương x, y thỏa mãn x2 + y2 = 1.


 1
 1
 S = (1 + x ) 1 +  + (1 + y )  1 + 
y
 x


Tìm GTNN của các biểu thức sau : 
2
2
1
1
2
2

 P = (1 + x ) 1 + y  + (1 + y ) 1 + x 



Bài 13: [ĐVH]. Xét các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1.
Tìm GTNN của biểu thức P =

1
1
1
1
+
+ +
2
2
a +b +c
ab bc ca
2

Bài 14: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 1.
Tìm GTNN của biểu thức: P =

1
1
1
1
1
1
+ 2 2+ 2
+
+ +
2
2
a +b b +c c +a
ab bc ca
2

Bài 15: [ĐVH]. Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x + 3 y +

6 10
+
x y

Bài 16: [ĐVH]. Cho x, y, z là ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 − x + 1 − y + 1 − z

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P6
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng

1
1
1
9
+
+

≥
1+ a 1+ b 1+ c 4

Bài 2: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của P =

a
b
c
+
+
1+ a 1+ b 1+ c

Bài 3: [ĐVH]. Cho các số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ 1.
Chứng minh rằng

1
1
1
9
+
+
≥
1− a 1− b a + b 2

Bài 4: [ĐVH]. Cho các số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ 1.
a2
b2
1
5

Chứng minh rằng
+
+a+b+
≥
1− a 1− b
a+b 2

Bài 5: [ĐVH]. (Khối A – 2005) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
Chứng minh rằng

1 1 1
+ + =4
a b c

1
1
1
+
+
≤ 1.
2a + b + c 2b + a + c 2c + a + b

Bài 6: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c.
Chứng minh rằng

ab
bc
ca
a+b+c
+

+
≤
.
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b
4

Bài 7: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c.
Chứng minh rằng

ab
bc
ca
a+b+c
+
+
≤
.
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b
6

Bài 8: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c.
Chứng minh rằng

1
1
1
1
1
1
+

+
≥
+
+
a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b

Hướng dẫn:
Ta có:

1
1
4
2
+
≥
=
a + 3b b + 2c + a ( a + 3b ) + ( b + 2c + a ) a + 2b + c

Tương tự cho các BĐT khác rồi cộng lại ta được đpcm.

Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

1
1
1
1 1
1
1 
+

+
≤ 
+
+

2a + 3 ( b + c ) 2b + 3 ( c + a ) 2c + 3 ( a + b ) 4  a + b b + c c + a 

b)

1
1
1
1 1
1
1 
+
+
≤ 
+
+

a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 2  a + 2c b + 2a c + 2b 
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Hướng dẫn:

a) Ta có

1
1
1 1
1
2 
=
≤ 
+
+
…
2a + 3 ( b + c ) ( a + b ) + ( a + c ) + ( b + c ) + ( b + c ) 16  a + b a + c b + c 

Tương tự cho các BĐT khác rồi cộng lại ta được đpcm.
b) Ta có

1
1
1 1
1 
=
≤ 
+
…
a + 2b + 3c ( a + 2c ) + ( c + 2b ) 4  a + 2c c + 2b 

Tương tự cho các bất đẳng thức khác ta được đpcm.
Bài 10: [ĐVH]. Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a + b + c =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

3

3
.
4

1
1
1
+3
+3
a + 3b
b + 3c
c + 3a

Bài 11: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (với a, b, c là độ dài 3 cạnh).
Chứng minh rằng

1
1
1
1 1 1
+
+
≥ 2 + + 
p −a p −b p −c
a b c

Bài 12: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c > 0, và abc = 1.

Tìm GTLN của biểu thức P =

1
1
1
+ 2
+ 2
2
2
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a 2 + 3
2

1
1 
1
1 
 1
 1
Bài 13: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c > 0 và thỏa mãn 15  2 + 2 + 2  = 10 
+
+
 + 2007 .
b
c 
a
 ab bc ca 
Tìm GTLN của biểu thức P =

1
5a2 + 2ab + 2b2

+

1
5b2 + 2bc + 2c2

+

1
5c2 + 2ca + 2a2

.

Bài 14: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng

1
1
1
1
+
+
≥
2
2
2
ab + 2c + 2c cb + 2a + 2 ac + 2b + 2b ab + bc + ac

Bài 15: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 vaø a + b + c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

a
b
c
+
+
.
2
2
1 + b 1 + c 1 + a2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

SỬ DỤNG BĐT PHỤ ĐỂ CHỨNG MINH BĐT
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 = 2013 .

Bài 1: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn
Chứng minh rằng

a2
b2
c2

1 2013
+
+
≥
b+c a+c a+b 2
2

Bài 2: [ĐVH]. Chứng minh rằng

x 2 − 2 x + 5 + x 2 − 12 x + 1362 ≥ 13, ∀x ∈ R

Bài 3: [ĐVH]. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z ≤ 1.
Chứng minh rằng

x2 +

1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82
2
x
y
z

Bài 4: [ĐVH]. Với a, b, c là ba số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = abc.

b 2 + 2a 2
c 2 + 2b 2
a 2 + 2c 2

+
+
≥ 3.
Chứng minh rằng
ab
bc
ca
Bài 5: [ĐVH]. Cho các số thực x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + (1 − yz ) + y 2 + (1 − zx ) + z 2 + (1 − xy )
2

2

2

Bài 6: [ĐVH]. Cho các số thực x, y thay đổi.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

( x − 1)

2

+ y2 +

( x + 1)

2

+ y2 + y − 2

Bài 7: [ĐVH]. Cho các số thực x, y thay đổi.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 − 4 y + 4 + x 2 + y 2 + 4 y + 4 + x − 4

Bài 8: [ĐVH]. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z ≤

Chứng minh rằng

x2 +

3
2

1
1
1 3 17
+ y2 + 2 + z2 + 2 ≥
2
x
y
z
2

Bài 9: [ĐVH]. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn xy + yz + zx ≥

Chứng minh rằng

x2 +

1

( x + 1)

2

+ y2 +

1

( y + 1)

2

+ z2 +

1

( z + 1)

2

4
3

≥

181
5

Bài 10: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + 3b + 5c ≤ 3.
Chứng minh rằng 3ab 625c 4 + 4 + 15bc a 4 + 4 + 5ca 81b 4 + 4 ≥ 45 5abc

Bài 11: [ĐVH]. Cho các số thực x, y thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức
P = 2 x2 + 2 y2 − 2 x + 2 y + 1 + 2 x2 + 2 y 2 + 2 x − 2 y + 1 + 2 x2 + 2 y 2 + 4 x + 4 y + 4

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ CHỨNG MINH BĐT
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1.
1
1
1
3
+ 3
+ 3
≥
Chứng minh rằng 3
a (b + c ) b (c + a ) c ( a + b ) 2
Hướng dẫn:
1
1
1
Đặt x = , y = , z = ⇒ xyz = 1
a

b
c
x2
y2
z2
3
Khi đó BĐT đã cho được đưa về BĐT cơ bản:
+
+
≥
y+z z+x x+ y 2
Bài 2: [ĐVH]. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 1.
bc
ca
ab
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2
+ 2
+ 2
2
2
a b + a c b a + b c c a + c 2b
Bài 3: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = abc.
a
b
c
3
Chứng minh rằng
+
+
≤

bc (1 + a 2 )
ac (1 + b2 )
ab (1 + c 2 ) 2
Bài 4: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab + bc + ca = abc.
1
1
1
1
Chứng minh rằng
+
+
≥
a ( a − 1) b ( b − 1) c ( c − 1) 2
Bài 5: [ĐVH]. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5− x + 5− y + 5− z = 1 .
25x
25 y
25z
5x + 5 y + 5z
Chứng minh rằng x y + z + y z + x + z x+ y ≥
25 + 5
5 +5
5 +5
4
Bài 6: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1.
1
1
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4
+ 4
+ 4

a (1 + b )(1 + c ) b (1 + a )(1 + c ) c (1 + a )(1 + b )
Hướng dẫn:
1
1
1
Đặt x = , y = , z = 
→ xyz = 1
a
b
c
Bài 7: [ĐVH]. Cho tam giác ABC với các cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi tam giác.
Chứng minh các BĐT sau:
a
b
c
a)
+
+
≥3
b+c −a c +a −b a +b−c
1
1
1
1 1 1
b)
+
+
≥ + +
a +b−c b+c−a c +a −b a b c
a2

b2
c2
c)
+
+
≥ a+b+c
b+c −a c +a −b a +b−c
d) ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) ≤ abc
e)

1

( p − a)

2

+

1

( p − b)

2

+

1

( p − c)

2

≥

p
( p − a )( p − b )( p − c )

Bài 8: [ĐVH]. (Khối A – 2008)
Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thoả xyz = 1
x2 ( y + z )
y2 ( z + x)
z2 ( x + y)
Tìm GTNN của biểu thức P =
+
+
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y
Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

4a
9b
16c
+
+
≥ 26.

b+c −a c +a −b b+a −c
Bài 10: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn xyz = 1.
yz
zx
xy
+ 2
+ 2
Tìm GTNN của biểu thức P = 2
2
2
x y + x z y z + y x z x + z2 y
1
Bài 11: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0 và xyz = .
6
1
1
1
3
Chứng minh rằng 3
+ 3
+
≥
3
x ( 2 y + 3 z ) 8 y (3z + x) 27 z ( x + 2 y ) 2

Chứng minh rằng

Bài 12: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0. Tìm GTLN của biểu thức P =

bc

ca
ab
+
+
.
a + 3 bc b + 3 ca c + 3 ab

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. (Khối B – 2008)
Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2( x 2 + 6 xy )
1 + 2 xy + 2 y 2

Bài 2: [ĐVH]. Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =

(

(x

3

+ y3 ) − ( x2 + y2 )
( x − 1)( y − 1)

)

Bài 3: [ĐVH]. Cho x, y là các số thực thỏa điều kiện 2 x 2 + y 2 = xy + 1 .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x4 + y 4
2 xy + 1

Bài 4: [ĐVH]. Cho x, y thoả mãn là các số thực thỏa mãn x 2 − xy + y 2 = 1 .
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P =

x4 + y 4 + 1
x2 + y 2 + 1

Bài 5: [ĐVH]. Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy + yz + zx +

5
x+ y+ z

Bài 6: [ĐVH]. Cho các số x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = 2.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x3 + y 3 + z 3 − 3 xyz
Bài 7: [ĐVH]. Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 ( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2 ( x 2 + y 2 ) + 1
Bài 8: [ĐVH]. Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ 1.

1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + z + 2  + +  .
x y z
Bài 9: [ĐVH]. Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ 1.
1 1 1
Chứng minh rằng 3 ( x + y + z ) + 2  + +  ≥ 21 .
x y z
Bài 10: [ĐVH]. Cho các số x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1.
Chứng minh rằng

1 1 1
+ + − ( x + y + z) ≥ 2 3
x y z

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 2.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(x3 + y3) – 3xy.
Bài 2: [ĐVH]. Cho các số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: S = ( 4 x 2 + 3 y )( 3 x + 4 y 2 ) + 25 xy
Bài 3: [ĐVH]. Các số x, y, z thay đổi nhưng luôn thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1.
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx.

Bài 4: [ĐVH]. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn x 2 + y 2 + xy ≥ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x 2 − xy + 2 y 2
y2 +1

 a , b, c > 0
12a
12b
25c
Bài 5: [ĐVH]. Cho 
Tìm GTNN của P =
+
+
a+b b+c c+a
9a ≥ c ≥ a
x ≥ y
Bài 6: [ĐVH]. Cho x; y; z là các số thực thỏa mãn x; y; z ∈ [1; 4] và 
x ≥ z
Tìm GTNN của: P =

x
2x + 3y

+

y
y+z

+

z
z+x

Bài 7: [ĐVH]. Cho các số thực dương thỏa mãn
Tìm GTLN của biểu thức: P =

4

3
b ≥ a−c ≥ b
5
5

12 ( a − b ) 12 ( b − c ) 25 ( c − a )
+
+
c
a
b
1


1

1

Bài 8: [ĐVH]. Cho các số thực a; b; c > 0 thỏa mãn ( a + b + c )  + +  = 16
a b c

Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: P =



a 2 + 2b 2
ab

Bài 9: [ĐVH]. Cho x; y; z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 1
Chứng minh rằng: 4 ( x 3 + y 3 + z 3 ) + 15 xyz ≥ 1(1)

Bài 10: [ĐVH]. Cho các số thực dương a; b; c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

a
b
c
+ 2
+ 2
2
2
b +c
c +a
a + b2
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P3
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn (a + b)ab = 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3(a 3 + b3 ) − 2(a 2 + b 2 ) + a + b

Bài 2: [ĐVH]. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

3
2

a
b
c
a 5 b5 c5
+
+
+
+ +
b 2 c c 2 a a 2b b c a

Bài 3: [ĐVH]. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a + b − ab ≤ 0
12
a 2b 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2
+
+ 12ab

2
a +b
ab

Bài 4: [ĐVH]. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 9
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = (9 + 2 yz )( y 2 z 2 − 4 yz + 8)

Bài 5: [ĐVH]. Cho các số thực x, y thỏa mãn x 2 + y 2 = xy ( x + y )
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x3 + y 3 − 6 xy

Bài 6: [ĐVH]. Cho các số thực x, y thỏa mãn x 2 + y 2 = 1 + xy
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x 4 + y 4 − x 2 y 2

Bài 7: [ĐVH]. Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x3 + y 3 − 9 xy

Bài 8: [ĐVH]. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x 2 + y 2 + 2 = 2( x + y ) + xy
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 2 xy + xy −

4
x+ y

Bài 9: [ĐVH]. Cho các số thực x, y thỏa mãn x 4 + y 4 = 2 xy
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = xy + 3 x 2 y 2 + 2 xy ( x 2 + y 2 ) − ( x + y ) 2

1 1 1
Bài 10: [ĐVH]. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn (a + b + c)  + +  = 16 .
a b c
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =

a 2 + 2b 2
.
ab

1 1
Bài 11: [ĐVH]. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn (a + 2b)  +  = 4 và 3a ≥ c
b c
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P =

a 2 + 2b 2
.
ac

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!