CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016

DẠNG 2: BÀI TOÁN ĐẾM CÓ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỰ NHIÊN
+Số tự nhiên n = ab trong đó a, b ∈ { 0,1, 2,...,9} , a ≠ 0
+Số ab = 10a + b , abc = 100a + 10b + c
+Số ab ≠ ba
1. Tính số các số tự nhiên liên quan đến so sánh các số, các chữ số:
Ví dụ 1:
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số
khác nhau và số đó
a) Lớn hơn 400?
b) Không nhỏ hơn 666?
c) Nhỏ hơn 345?
*Lời giải:
a/ Gọi số cần tìm là x = abc
Vì x>400 nên a ≥ 4 , suy ra a có 6 cách chọn và bc có A82 cách chọn .
Vậy có tất cả 6 × A82 =336 số .
b/ Gọi số cần tìm là x = abc
Từ x ≥ 666 suy ra a ≥ 6 , ta có các trường hợp sau:
*TH1: Với a ∈ { 7;8;9} khi đó b,c chọn tuỳ ý. Ta có :
a có 3 cách chọn
2
bc có A8 cách chọn
Suy ra có 3 × A82 =168 số.
*TH2: Với a=6 khi đó b>6 và c chọn tuỳ ý. Ta có:
a có 1 cách chọn
b có 3 cách chọn
c có 7 cách chọn
Suy ra có 1.3.7=21 số.
Vậy có tất cả 168+21=189 số thoả mãn yêu cầu bài toán .
c/ Vì x<345 nên a ∈ { 1;2;3} ta có các TH sau:
*TH1: Với a ∈ { 1;2} khi đó b,c chọn tuỳ ý. Ta có :
a có 2 cách chọn

2
bc có A8 cách chọn
Suy ra có 3 × A82 =112 số.

*TH2: Với a=3 khi đó b ∈ { 1;2;4} .
Xảy ra 2 khả năng:


KN1: Nếu b ∈ { 1;2} thì c chọn tuỳ ý. Do đó:
a có 1 cách chọn
b có 2 cách chọn
c có 7 cách chọn
Suy ra có 1.2.7=14 số.
KN2: Nếu b=4 thì c<5 nên c ∈ { 1;2} . Do đó có 2 số cần tìm .
Vậy có tất cả 112+14+2=128 số thoả mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 2:
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau từng đôi một sao cho
trong năm chữ số đó chữ số hàng trăm là lớn nhất?
*Lời giải :
Gọi số cần tìm là x = abcde
*Gọi P là tập gồm 5 chữ số khác 0.
Số cách chọn P là C95
Với mỗi cách chọn P như trên thì:
c có 1 cách chọn
abde có 4! cách chọn
Do đó với mỗi tập P như trên ta được 4! số x cần tìm.
Vậy số x được lập trong trường hợp này là : C95 .4! (số).
*Gọi Q là tập chứa chữ số 0 và 4 chữ số khác 0.
Số cách chọn Q là C94
Với mỗi cách chọn Qnhư trên thì:

c có 1 cách chọn
a có 3 cách chọn
bde có 3 cách chọn
Do đó với mỗi tập Q như trên ta được 3.3! số x cần tìm.
Vậy số x được lập trong trường hợp này là : C94 .3.3! (số).
Vạy có tất cả là:
C95 .4!+ C94 .3.3! =5292 (số)
2. Tính số các số tự nhiên liên quan đến tính chia hết:
*Dấu hiệu chia hết của số tự nhiên:
+dấu hiệu chia hết cho 2 là có chữ số tận cùng là số chẵn:0,2,4,6,8
+dấu hiệu chia hết cho 3 là tồng các chữ số là một số chia hết cho 3
+dấu hiệu chia hết cho 4 là có hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 4
+dấu hiệu chia hết cho 5 là có chữ số tận cùng là 0, 5
+dấu hiệu chia hết cho 6 là số chia hết cho cả 2 và 3
+dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số là một số chia hết cho 9


+dấu hiệu chia hết cho 10 là có chữ số tận cùng là 0
+dấu hiệu chia hết cho 11 là tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở vị
trí chẵn bằng 0
+dấu hiệu chia hết cho 25 là có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho
25
Ví dụ 3:
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5
chữ số khác nhau thoả mãn
a) số đó là số chẵn?
b) số đó chia hết cho 5?
*Lời giải :
Gọi số cần tìm là x = abcde, a ≠ 0 .
a/ Vì x là số chẵn nên e ∈ { 0;2;4;6;8} .

+TH1: Với e=0:
Khi đó a có 9 cách chọn , bcd có A83 cách chọn .

Suy ra có 9. A83 =3024 số.
+TH2: Với e ≠ 0 .
Khi đó e có 4 cách chọn , a có 8 cách chọn , bcd có A83 cách chọn .
Suy ra có 4.8. A83 =10752 số.
Vậy có tất cả 3024+10752=13776 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán .
b/ Vì x chia hết cho 5 nên e ∈ { 0;5} .
+TH1: Với e=0:
Khi đó a có 9 cách chọn, bcd có A83 cách chọn .
Suy ra có 9. A83 =3024 số.
+TH2: Với e=5:
Khi đó a có 8 cách chọn, bcd có A83 cách chọn .
Suy ra có 8. A83 =2688 số.
Vậy có tất cả 3024+2688=5712 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 4:
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có thoả mãn
a/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5.
b/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 3.
c/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9.
*Lời giải :


a/ theo dấu hiệu chia hết thì số cần tìm chia hết 5 nên nó có hàng đơn vị là 0 hoặc
5.
+ nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì cách sắp xếp các chữ số từ 1 đến 5 vào 3 vị trí
còn lại có : A53 số dạng này.
+ nếu chữ số hàng đơn vị là 5 thì có 4 cách sắp xếp chữ số hàng nghìn. Và có A42
cách sắp xếp vào vị trí hàng trăm và hàng chục.

Nên ta có : 4. A42 số dạng này.
Vậy có tất cả : A53 +4. A42 =96 số.
b/ Giả sử số cần tìm có dạng x = abc, a ≠ 0, a ≠ b ≠ c,
Vì xM3 nên ( a + b + c ) M3 . Xét các trường hợp sau:
* ( a, b, c ) ∈ { ( 0,1, 2 ) , ( 0, 4,5 ) , ( 0, 2, 4 ) , ( 0,1,5 ) } . Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ có thể
tạo thành (3!-2!) số.
Vậy có 4. (3!-2!)=16 số trong TH này
* ( a, b, c ) ∈ { ( 1, 2,3) , ( 2,3, 4 ) , ( 3, 4,5 ) , ( 1,3,5 ) } Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ có thể
tạo thành 3! số.
Vậy có 4. 3!=24 số trong TH này
Vậy có tất cả 16+24=40 số
c/ Vì số cần tìm x chia hết cho 9 nên ( a + b + c ) M9
Xét các TH sau:
* ( a, b, c ) = ( 0, 4,9 ) ⇒ có 3! -2! =4 số được tạo thành.
* ( a, b, c ) = ( 2,3, 4 ) ⇒ có 3! =6 số được tạo thành.
* ( a, b, c ) = ( 1,3,5 ) ⇒ có 3!=6 số được tạo thành.
Vậy có tất cả 4+6+6=16 số cần tìm.
Ví dụ 5:
Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có thoả mãn
a/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 11.
b/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 25.
c/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 4.
*Lời giải :
Gọi số cần tìm là x = abcd , a, b, c, d ∈ { 1,2,...,5} , a ≠ b ≠ c ≠ d
a/ Vì xM11 nên ta có các TH sau:
 a, c ∈ { 1, 4} ⇒ có 2!cách
tương tự
b, d ∈ { 2,3} ⇒ có 2!cách

TH1: 

Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số

b, d ∈ { 1, 4} ⇒ có 2!cách
do đó

 a, c ∈ { 2,3} ⇒ có 2!cách


 a, c ∈ { 2, 4} ⇒ có 2!cách
tương tự
b, d ∈ { 1,5} ⇒ có 2!cách

TH2: 

b, d ∈ { 2, 4} ⇒ có 2!cách

do đó
 a, c ∈ { 1,5} ⇒ có 2!cách

Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số
 a, c ∈ { 3, 4} ⇒ có 2!cách
tương tự
b, d ∈ { 2,5} ⇒ có 2!cách

TH3: 

b, d ∈ { 3, 4} ⇒ có 2!cách

do đó

 a, c ∈ { 2,5} ⇒ có 2!cách

Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số
Vậy có tất cả là 8+8+8=24 số cần tìm.
b/Vì xM25 nên n có dạng ab25
suy ra a có 3 cách chọn
b có 2 cách chọn
Vậy có tất cả 3.2=6 số cần tìm.
c/ Vì xM4 nên n có dạng ab12, ab24, ab32, ab52
Ở mỗi dạng ta có có thể sắp xếp ab để tạo được A32 =6 số.
Do đó ta có tất cả là 4.6=24 số cần tìm.
Ví dụ 6:
Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một được lập bằng cách dùng
7 chữ số 1,2,3,4,5,7,9 sao cho hai chữ số chẵn không nằm liền nhau?
*Lời giải:
Có 7! số có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho.
Bây giờ ta đi tìm số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau.
Ta coi hai chữ số nằm liền nhau như một khối thống nhất. Khối thống nhất này
cùng với 5 chữ số còn lại sẽ cho ta 6! số.
Mỗi lần hoán vị 2 chữ số chẵn trong khối ta sẽ có 2! số mới.
Nên có 6!.2! số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau.
Vậy có tất cả 7!-6!.2!=3600 số cần tìm.
3.Tính số các số tự nhiên ràng buộc sự có mặt cuả các chữ số:
Ví dụ 7:
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau trong đó
a) Nhất thiết phải có mặt chữ số 3?
b) Nhất thiết phải có mặt chữ số 2 và 4?
*Lời giải :
Gọi số có 5 chữ số là abcde , số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí.

a/ Xếp chữ số 3 vào 1 trong 5 vị trí : có 5 cách xếp.
Lấy 4 chữ số trong 5 chữ số xếp vào 4 vị trí còn lại: có A54 cách .
Vậy có tất cả là 5. A54 =600 số thoả mãn yêu cầu bài toán .
b/ Xếp chữ số 2 và 4 vào 2 trong 5 vị trí : có A52 cách xếp.


Lấy 3 chữ số trong 4 chữ số xếp vào 3 vị trí còn lại: có A43 cách .
Vậy có tất cả là A52 . A43 =480 số thoả mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 8:
Cho tập A= { 1,2,3,4,5,6,7,8}
a/ Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà mỗi
số luôn có mặt hai chữ số 1 và 7?
b/ Trong các số tìm được ở câu a/ có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 7 đứng kề
nhau, chữ số 1 đứng bên trái chữ số 7?
*Lời giải :
Một số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A có dạng abcde
( với a, b, c, d , e ∈ A; a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e .)
a/ Ta có:
 Có A52 cách chọn chữ số 1 và chữ số 7 vào 5 vị trí .
 Có A63 cách chọn 3 trong 6 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại.
Do đó số các số tự nhiên cần tìm là :
A52 × A63 =2400 (số)
b/Nhận thấy rằng : “ Số cách chọn hai chữ số 1 và 7 đứng cạnh nhau mà chữ số 1
luôn đứng bên trái chữ số 7 trong dãy có 5 vị trí là 4 cách chọn”.
Coi cặp số 17 là phần tử kép. Sẽ có 4 cách sắp xếp vị trí cho phần tử kép này.
Với mỗi cách sắp xếp này có A63 cách chọn các chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại.
Khi đó ta có tất cả là: 4. A63 = 480 số cần tìm
4.Tính số các số tự nhiên có chứa các chữ số lặp lại:
Ví dụ 9:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số , trong đó chữ số 0 có mặt đúng 2

lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và 2 chữ số còn lại khác nhau ?
*Lời giải :
Gọi số có 5 chữ số là abcde , số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí.
Chọn 2 vị trí xếp chữ số 0: có C42 cách.
Chọn 1 vị trí xếp chữ số 1: có 3 cách.
Chọn 2 chữ số trong 8 chữ số (10 chữ số trừ đi 2 chữ số là 0 và 1) xếp vào 2 vị trí
còn lại : có A82 cách.
Vậy có tất cả C42 .3. A82 =1008 số thoả mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 10:
Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số , trong
đó chữ số 5 có mặt đúng 3 lần các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần ?
*Lời giải :


Gọi x = a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8 là số cần tìm.
Trong x chữ số 5 có mặt 3 lần nên ta ghi thêm : 0,1,2,3,4,5,5,5
Cách 1:
a1 có 7 cách chọn (vì a1 khác 0)
a2 có 7 cách chọn
a3 có 6 cách chọn
a4 có 5 cách chọn
a5 có 4 cách chọn
a6 có 3 cách chọn
a7 có 2 cách chọn
a8 có 1 cách chọn
⇒ có 1.2.3.4.5.6.7.7=35280 số
Nhưng trong đó có chứa 3! số giống nhau khi ta giao hoán 3 chữ số chữ số 5 .
Vậy số các số cần tìm là

35280

= 5880 số
3!

Cách 2:
Chọn 8 chữ số vào 8 vị trí và hoán vị chúng ta được 8! số .
Trong đó có 7! Số có chữ số 0 đứng đầu và 3! Số giống nhau khi hoán vị chữ số 5.
Vây nên ta có tất cả
⇒ Từ

8!− 7!
= 5880 số cần tìm.
3!

đó có bài toán tổng quát:

Bài 1: “ Cho n chữ số khác nhau và khác 0, 1 ≤ n ≤ 9 . Hỏi có bao nhiêu số
tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các
chữ số khác có mặt đúng 1 lần”
⇒ Công thức

( n + k − 1) !
k!

số cần tìm

Bài 2: “ Cho n chữ số khác nhau chứa cả chữ số 0, 1 ≤ n ≤ 9 . Hỏi có bao
nhiêu số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1)
còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần”
⇒ Công thức

( n + k − 1) !− ( n + k − 2 ) !
k!

số cần tìm

5.Bài toán đếm liên quan đến tổng các chữ số và tính tổng các số tự nhiên vừa
tìm được:
Ví dụ 11:
Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
khác nhau đôi một được tạo thành từ các chữ số trên. Hãy tính tổng tất cả các số
vừa tìm được.


*Lời giải :
Cách 1:
Mỗi số cần tìm là một hoán vị của 5 phần tử do đó số các số cần tìm là 5!=120 số.
Nhận thấy:
Có 24 số có dạng n= a1a2 a3 a41
Có 24 số có dạng n= a1a2 a3 a4 2
Có 24 số có dạng n= a1a2 a3 a4 3
Có 24 số có dạng n= a1a2 a3 a4 4
Có 24 số có dạng n= a1a2 a3 a4 5
⇒ Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5).120=360
Tương tự :
Tổng các chữ số ở hàng chục là (1+2+3+4+5).10.120=3600
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5)100.120=36000
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5)1000.120=360000
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5)10000.120=3600000
Vậy tổng của 120 số n là: 360+3600+36000+360000+3600000=3999960
Cách 2:

Trong số 120 số n ta luôn tìm được cặp số n,n’ sao cho tổng của chúng
n+n’=66666. chẳng hạn như 12345+54321=66666.
Do đó tống tất cả 120 số vùa tìm được là:
66666.

120
=3999960
2

Ví dụ 12:
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số,
mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng
nghìn bằng 8?
*Lời giải :
Gọi số cần tìm là abcdef .
Theo giả thiết c+d+e=8.
Suy ra c, d , e ∈ { 1;2;5} hoặc c, d , e ∈ { 1;3;4} .
+Với c, d , e ∈ { 1;2;5} :

Ta có 3! Cách chọn cde .
Chọn 3 chữ số a,b,f trong 9 - 3=6 chữ số : có A63 cách chọn .
Vậy có 3! × A63 =720 số

+ Với c, d , e ∈ { 1;3;4} : Tương tự ta cũng có 720 số.
Vậy có tất cả là 720+720=1440 số thoả mãn yêu cầu bài toán .