Tích Phân Toán Đại Học

Chương 2: Tích phân
Trần Minh Toàn

(1)

Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội

Hà Nội, tháng 8 năm 2013

(1)

Email:

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
1/64
tháng 8 năm 2013

1 / 64


Tích phân bất định

Nội dung

1

Tích phân bất định

2

Tích phân xác định

3

Tích phân suy rộng

4

Ứng dụng của tích phân xác định

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
2/64
tháng 8 năm 2013

2 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Khái niệm và tính chất
Định nghĩa 1.1
Ta gọi F (x) là nguyên hàm của f (x) nếu F (x) = f (x). Mọi nguyên hàm của f (x) đều

có dạng F (x) + C (C − const). Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f (x), gọi là tích
phân bất định, ký hiệu
f (x)dx = F (x) + C (C − const).

Tích phân bất định có các tính chất sau
d
Đạo hàm
f (x)dx = f (x) và vi phân d
dx
af (x)dx = a

f (x)dx (a − const);

[f (x) ± g(x)] dx =
Nếu

f (x)dx ±

f (x)dx = F (x) + C thì

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

f (x)dx = f (x)dx;

g(x)dx;
f (u)du = F (u) + C.

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,

3/64
tháng 8 năm 2013

3 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Khái niệm và tính chất
Định nghĩa 1.1
Ta gọi F (x) là nguyên hàm của f (x) nếu F (x) = f (x). Mọi nguyên hàm của f (x) đều
có dạng F (x) + C (C − const). Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f (x), gọi là tích
phân bất định, ký hiệu
f (x)dx = F (x) + C (C − const).

Tích phân bất định có các tính chất sau
d
Đạo hàm
f (x)dx = f (x) và vi phân d
dx
af (x)dx = a

f (x)dx (a − const);

[f (x) ± g(x)] dx =
Nếu

f (x)dx ±

f (x)dx = F (x) + C thì

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

f (x)dx = f (x)dx;

g(x)dx;
f (u)du = F (u) + C.

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
3/64
tháng 8 năm 2013

3 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Khái niệm và tính chất
Định nghĩa 1.1
Ta gọi F (x) là nguyên hàm của f (x) nếu F (x) = f (x). Mọi nguyên hàm của f (x) đều
có dạng F (x) + C (C − const). Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f (x), gọi là tích
phân bất định, ký hiệu
f (x)dx = F (x) + C (C − const).

Tích phân bất định có các tính chất sau
d

Đạo hàm
f (x)dx = f (x) và vi phân d
dx
af (x)dx = a

f (x)dx (a − const);

[f (x) ± g(x)] dx =
Nếu

f (x)dx ±

f (x)dx = F (x) + C thì

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

f (x)dx = f (x)dx;

g(x)dx;
f (u)du = F (u) + C.

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
3/64
tháng 8 năm 2013

3 / 64

Tích phân bất định

Tích phân bất định
Khái niệm và tính chất
Định nghĩa 1.1
Ta gọi F (x) là nguyên hàm của f (x) nếu F (x) = f (x). Mọi nguyên hàm của f (x) đều
có dạng F (x) + C (C − const). Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f (x), gọi là tích
phân bất định, ký hiệu
f (x)dx = F (x) + C (C − const).

Tích phân bất định có các tính chất sau
d
Đạo hàm
f (x)dx = f (x) và vi phân d
dx
af (x)dx = a

f (x)dx (a − const);

[f (x) ± g(x)] dx =
Nếu

f (x)dx ±

f (x)dx = F (x) + C thì

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

f (x)dx = f (x)dx;

g(x)dx;
f (u)du = F (u) + C.

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
3/64
tháng 8 năm 2013

3 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Khái niệm và tính chất
Định nghĩa 1.1
Ta gọi F (x) là nguyên hàm của f (x) nếu F (x) = f (x). Mọi nguyên hàm của f (x) đều
có dạng F (x) + C (C − const). Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f (x), gọi là tích
phân bất định, ký hiệu
f (x)dx = F (x) + C (C − const).

Tích phân bất định có các tính chất sau
d
Đạo hàm
f (x)dx = f (x) và vi phân d
dx
af (x)dx = a

f (x)dx (a − const);

[f (x) ± g(x)] dx =
Nếu

f (x)dx ±

f (x)dx = F (x) + C thì

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

f (x)dx = f (x)dx;

g(x)dx;
f (u)du = F (u) + C.

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
3/64
tháng 8 năm 2013

3 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Một số tích phân bất định cơ bản

0dx = C;

adx = ax + C (a − const)

1
xα+1 + C, (α = −1)
α+1
ax
dx
= ln |x| + C;
ax dx =
+ C (a > 0, a = 1)
x
ln a
1
eax dx = eax + C (a = 0);
a
1
cos bxdx = sin bx + C (b = 0)
b
1
dx
sin bxdx = − cos bx + C;
= tan x + C
b
cos2 x
dx
dx
x
+C
= − cotan x + C;

= ln tan
sin x
2
sin2 x
dx
x
π
= ln tan
+
+ C;
cos x
2
4
xα dx =

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
4/64
tháng 8 năm 2013

4 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Một số tích phân bất định cơ bản (tiếp)

1
a+x
dx
=
+C
ln
a2 − x2
2a
a−x
dx
1
x
x
dx
√
= arctan + C;
= arcsin + C
x2 + a2
a
a
a
a2 − x2
√
dx
√
= ln x + x2 + b + C
x2 + b
√
x

x√ 2
a2
a2 − x2 dx =
a − x2 +
arcsin + C
2
2
a
√
√
x√ 2
b
2
x + bdx =
x + b + ln x + x2 + b + C
2
2

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
5/64
tháng 8 năm 2013

5 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định

1. Phương pháp phân tích
Dựa vào các phép biến đổi đại số để đưa f (x) về dạng tổng của các hàm sơ cấp đơn
giản mà nguyên hàm của chúng đã có sẵn.

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
6/64
tháng 8 năm 2013

6 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định
2. Phương pháp đổi biến

Mệnh đề 1.1
Đặt x = ϕ(t), trong đó ϕ là hàm liên tục, đơn điệu và có đạo hàm liên tục. Khi đó
dx = ϕ (t)dt và ta có
I=

f (x)dx =

f [ϕ(t)] ϕ (t)dt = F (t) + C.

Trả lại biến số cũ t = ϕ−1 (x) ta có kết quả.
Trường hợp hàm f (x) có thể biểu diễn dưới dạng f (x) = h (ϕ(x)) ϕ (x), đặt t = ϕ(x)
ta có
f (x)dx = h(t)dt (dễ tính).
Trả lại biến số cũ t = ϕ(x) ta thu được kết quả.
T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
7/64
tháng 8 năm 2013

7 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định
2. Phương pháp đổi biến

Mệnh đề 1.1
Đặt x = ϕ(t), trong đó ϕ là hàm liên tục, đơn điệu và có đạo hàm liên tục. Khi đó
dx = ϕ (t)dt và ta có
I=

f (x)dx =

f [ϕ(t)] ϕ (t)dt = F (t) + C.

Trả lại biến số cũ t = ϕ−1 (x) ta có kết quả.
Trường hợp hàm f (x) có thể biểu diễn dưới dạng f (x) = h (ϕ(x)) ϕ (x), đặt t = ϕ(x)
ta có
f (x)dx = h(t)dt (dễ tính).
Trả lại biến số cũ t = ϕ(x) ta thu được kết quả.
T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
7/64
tháng 8 năm 2013

7 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định

Ví dụ 1
Tính các tích phân sau
1

x+1
dx
x2 + x + 1

x+

2

√

xdx
5 + x − x2

x−

3

√
2 + x − x2 dx

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

1
=t
2

1
2x + 1
1
ln x2 + x + 1 + √ arctan √

+C ;
2
3
3
√
1
2x − 1
− 5 + x − x2 + arcsin √
+C ;
2
21

1
=t
2
2x − 1 √
9
2x − 1
2 + x − x2 + arctan
+C .
4
8
3

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
8/64
tháng 8 năm 2013

8 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định

3. Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là các hàm khả vi thì ta có
udv = uv −

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

vdu.

Hà Nội,
9/64
tháng 8 năm 2013

9 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định
Chú ý 1.1

Ba nhóm dạng hàm sau đây người ta thường sử dụng phương pháp tích phân từng phần

ln x




arcsin x 


Dạng
Pn (x) arccos x dx. Đặt dv = Pn (x)dx =⇒ v = Pn (x)dx, còn



arctan x



arccot x
1

 dx


x





1
ln
x




√
dx




arcsin x
 1 − x2


1
dx
u = arccos x
=⇒ du = − √
2




arctan x
 11 − x







dx



1 + x2
arccot x


1

−
dx
1 + x2
T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
10/64
tháng 8 năm 2013

10 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định

Chú ý 1.1. (tiếp)
Dạng
eax




Pn (x) cos bx dx =


sin bx

1

d (eax )


a
1
Pn (x)
d (sin bx)

b


− 1 d (cos bx)
b

Dạng
I=

eax

sin bx
cos bx

dx =

sin bx
cos bx

1
d (eax ) ,
a

tích phân từng phần hai lần, sẽ dẫn tới dạng tích phân ban đầu I, giải phương
trình được kết quả. Nhưng chú ý rằng lần đầu đưa eax vào trong dấu vi phân thì
lần thứ hai cũng phải đưa eax vào trong dấu vi phân.

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
11/64
tháng 8 năm 2013

11 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định

Ví dụ 2
x arctan x −

1
ln 1 + x2 + C ;
2

1

arctan xdx

2

x2 e2x dx

3

x sin 2xdx

1
1
− x cos 2x + sin 2x + C ;

2
4

4

e2x sin xdx

e2x
(2 sin x − cos x) + C .
5

1
2

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

x2 − x +

1
2

e2x + C ;

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
12/64
tháng 8 năm 2013

12 / 64

Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định

4. Tích phân hàm hữu tỷ
Pn (x)
, trong đó Pn (x) = ao + a1 x + · · · + an xn là đa thức bậc n còn
Qm (x)
Qm (x) là đa thức bậc m.
Nếu n ≥ m ta thực hiện phép chia đa thức để được phần nguyên và phần phân
Xét hàm hữu tỷ

Pn (x)
R(x)
= H(x) +
.
Qm (x)
Qm (x)
H(x) là phần nguyên và là đa thức bậc n − m, còn R(x) là phần dư và là đa thức bậc
< m.
Pn (x)
Nếu n ≤ m − 1 thì
gọi là phân thức hữu tỷ thực sự.
Qm (x)
Để tính

Pn (x)

dx,
Qm (x)

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

n < m ta tiến hành như sau.

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
13/64
tháng 8 năm 2013

13 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định
4. Tích phân hàm hữu tỷ
Phân tích
Qm (x) =bo (x − a)(x − b)α . . . (x2 + p1 x + q1 )×
× (x2 + p2 x + q2 )β . . . , p2i − 4qi < 0, ∀i ≥ 1.
Phân tích

Pn (x)
=
Qm (x)
=

+

A
B1
Bα
Cx + D
+
+ ··· +
+ 2
x−a
x−b
(x − b)α
x + p 1 x + q1
C1 x + D1
Cβ x + Dβ
+ ··· + 2
+ ···
x2 + p2 x + q2
(x + p2 x + q2 )β

Các hằng số A, Bi (i = 1 ÷ α), . . . , C, D, Cj , Dj , j = 1 ÷ β, . . . được tìm bằng cách
quy đồng mẫu số chung ở vế phải và đồng nhất hai vế theo lũy thừa của x, được
hệ để tìm chúng. Tích phân hai vế đẳng thức cuối cùng ta được kết quả.
T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
14/64
tháng 8 năm 2013

14 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định
4. Tích phân hàm hữu tỷ
Phân tích
Qm (x) =bo (x − a)(x − b)α . . . (x2 + p1 x + q1 )×
× (x2 + p2 x + q2 )β . . . , p2i − 4qi < 0, ∀i ≥ 1.
Phân tích

Pn (x)
=
Qm (x)
=
+

A
B1
Bα
Cx + D
+
+ ··· +
+ 2
x−a
x−b
(x − b)α

x + p 1 x + q1
C1 x + D1
Cβ x + Dβ
+ ··· + 2
+ ···
x2 + p2 x + q2
(x + p2 x + q2 )β

Các hằng số A, Bi (i = 1 ÷ α), . . . , C, D, Cj , Dj , j = 1 ÷ β, . . . được tìm bằng cách
quy đồng mẫu số chung ở vế phải và đồng nhất hai vế theo lũy thừa của x, được
hệ để tìm chúng. Tích phân hai vế đẳng thức cuối cùng ta được kết quả.
T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
14/64
tháng 8 năm 2013

14 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định

Ví dụ 3
1

15x2 − 4x − 81
dx
(x − 3)(x + 4)(x − 1)

2

x4 − 3x2 − 3x − 2
dx
x3 − x2 − 2x

3

xdx
x3 + 1

4

ln (x − 3)3 (x + 4)5 (x − 1)7 + C ;

x2
2
1
+ x + ln |x| − ln |x − 2| − ln |x + 1| + C ;
2
3
3
√
1
3
2x − 1

1
− ln |x + 1| + ln x2 − x + 1 + +
arctan √
+C ;
3
6
3
3

x4 + 4x3 + 11x2 + 12x + 8
dx
(x2 + 2x + 3)2 (x + 1)
x+2
1
x+1
ln |x + 1| −
− √ arctan √ + C .
2 (x2 + 2x + 3)
2 2
2

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
15/64
tháng 8 năm 2013

15 / 64

Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định

5. Tích phân hàm lượng giác
Giả sử cần tính tích phân I =

R (sin x, cos x) dx, trong đó R (sin x, cos x) là hàm hữu

tỷ đối với các biến sin x, cos x.
x
Thực hiện phép đổi biến t = tan , −π < x < π, ta có
2
I=

R

1 − t2
2t
,
2
1 + t 1 + t2

2
dt.
1 + t2

Chú ý 1.2
Nếu R (sin x, cos x) chẵn đối với sin x và cos x thì đặt t = tan x hoặc t = cot x;
Nếu R (sin x, cos x) lẻ đối với sin x thì đặt t = cos x;
Nếu R (sin x, cos x) lẻ đối với cos x thì đặt t = sin x.
T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
16/64
tháng 8 năm 2013

16 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định

5. Tích phân hàm lượng giác
Giả sử cần tính tích phân I =

R (sin x, cos x) dx, trong đó R (sin x, cos x) là hàm hữu

tỷ đối với các biến sin x, cos x.
x
Thực hiện phép đổi biến t = tan , −π < x < π, ta có
2
I=

R

1 − t2
2t
,
2
1 + t 1 + t2

2
dt.
1 + t2

Chú ý 1.2
Nếu R (sin x, cos x) chẵn đối với sin x và cos x thì đặt t = tan x hoặc t = cot x;
Nếu R (sin x, cos x) lẻ đối với sin x thì đặt t = cos x;
Nếu R (sin x, cos x) lẻ đối với cos x thì đặt t = sin x.
T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
16/64
tháng 8 năm 2013

16 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định

5. Tích phân hàm lượng giác
Giả sử cần tính tích phân I =

R (sin x, cos x) dx, trong đó R (sin x, cos x) là hàm hữu

tỷ đối với các biến sin x, cos x.
x
Thực hiện phép đổi biến t = tan , −π < x < π, ta có
2
I=

R

1 − t2
2t
,
2
1 + t 1 + t2

2
dt.
1 + t2

Chú ý 1.2
Nếu R (sin x, cos x) chẵn đối với sin x và cos x thì đặt t = tan x hoặc t = cot x;
Nếu R (sin x, cos x) lẻ đối với sin x thì đặt t = cos x;
Nếu R (sin x, cos x) lẻ đối với cos x thì đặt t = sin x.

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
16/64
tháng 8 năm 2013

16 / 64


Tích phân bất định

Tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân bất định

Ví dụ 4
1

2

sin2 x cos x
dx;
sin x + cos x
1
1
tan x = t,
ln |sin x + cos x| − cos x (sin x + cos x) + C ;
4
4

dx
sin x (2 cos2 x − 1) √
1
1 + 2 cos x
x
√
+ ln tan
+C .
cos x = t, √ ln
2
2
1 − 2 cos x

T.M. Toàn (SAMI-HUST)

Chương 2: Tích phân

Hà Nội,
17/64
tháng 8 năm 2013

17 / 64