SKKN Giải bài toán đường đi trong dao động bằng tích phân

2

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. THÔNG TIN CHUNG

1.1. Tên sáng kiến: Tích phân – đường di
1.2. Lĩnh vực áp dụng: Giải bài tập vật lí lớp 12
1.3. Tác giả:
- Họ và tên: Nguyễn Quang Trường
- Ngày sinh: 13/10/1981
- Trình độ chuyên môn: Cử nhân vật lí
- Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên Trường THPT Chí Linh
- Điện thoại: 0125.733.8668
1.4. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Đối tượng học sinh lớp 12.
1.5. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: năm học 2012 – 2013

HỌ VÀ TÊN TÁC GIẢ

XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN


3

2. TÓM TẮT SÁNG KIẾN

- Đề tài là phương pháp ứng dụng tích phân để tính đường đi của chất
điểm dao động điều hòa.
- Trong chuyển động biến đổi, quãng đường chất điểm đi được trong
t2

khoảng thời gian t1t2 được xác định bởi tích phân: s = ò v(t).dt .

t1

Được áp dụng cho chất điểm dao động điều hòa dưới dạng :
α2

s = A ò sinα .dα (với α = ωt + φ và α1 = ωt1 + φ,α 2 = ωt 2 + φ ).
α1

α2

- Đề tài tập trung giải quyết bài toán tính tích phân s = A ò sinα .dα
α1

bằng cách đưa ra các bài tâp ví dụ từ đó khái quát thành phương pháp
giải. Cuối cùng là đáp án tổng quát của bài toán, học sinh có thể vận
dụng trực tiếp (giải bằng máy tính casio) mà không phải thực hiện tính
tích phân:
m
s = A(- 1) n (cπ
osn.c - α os
) 1A(+ 1) - (cos
m.π

éα
ê
ëπ

ù
ú
û

c - α os
) 22A(m
+

éα ù
ê
ëπ ú
û

Với m, n là số nguyên: n = ê 1 +1ú; m = ê 2 ú

n)-


4

PHẦN 2. MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI.

1.1. Lí do chọn đề tài.
Bạn là giáo viên vật lí? Bạn cũng là người yêu thich toán học? Bạn đã
khai thác kiến thức toán học để ứng dụng vào giải các bài toán vật lí ở những
bài toán cụ thể nào? Bạn đã thử chưa?
Tôi là một người yêu toán học. Trong khi giải bài toán về tìm đường đi
trong dao động điều hòa, tôi đã liên hệ và ứng dụng tích phân để giải quyết
bài toán này với mong muốn mang lại một cách giải khác hiệu quả hơn.
Bài toán tính đường đi trong dao động điều hòa có khá nhiều cách giải.
Năm học 2011 – 2012 tôi cũng tham gia viết sáng kiến kinh nghiệm (SKKN)
về vấn đề này, với đề tài “điểm ¼ trong chuyển động tròn đều”. Thực tế các

cách giải đó học sinh phải nhớ nhiều công thức, với nhiều trường hợp có thể
xẩy ra.
Việc ứng dụng tích phân để tính đường đi trong chuyển động biến đổi,
có vận tốc biến thiên theo thời gian, là một vấn đề không phải là mới với giáo
viên vật lí. Nhưng cụ thể, để tính đường đi trong một dao động điều hòa bằng
tích phân là một vấn đề mà tôi và các bạn cần xem xét trong đề tài này và
chắc chắn kết quả sẽ đem lại nhiều bất ngờ thú vị.
1.2. Mục đích của đề tài.
Đề tài đươc xây dựng với mục đích đưa ra lời giải bài toán tính đường
đi trong dao động điều hòa dưới dạng một tích phân và hướng dẫn cách để
tính tích phân đó. Cuối cùng là đưa ra một công thức mà người không biết
tính tích phân cũng có thể giải được bài toán này
1.3. Giới hạn, phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung vào ý nghĩa của đạo hàm, tích phân trong toán học để
thành lập công thức tính đường đi trong dao động điều hòa.


5

Với yêu cầu là phải tính được tích phân, đề tài chủ yếu xoay quanh
α2

phương pháp tính tích phân dạng s = ò sinα .dα
α1


6

2. NỘI DUNG
2.1. Kiến thức liên quan

2.1.1. Đường đi trong chuyển động thẳng biến đổi
Một chất điểm chuyển động thẳng, không đổi chiểu với vân tốc tức thời
là một hàm của thời gian v=v(t)
Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian t 1t2 được xác
t2

định bởi tích phân: s = ò v(t).dt
t1

2.1.2. Đường đi trong dao động điều hòa
- Phương trình chuyển động: x(t) = Acos (ωt + φ) (với A,ω,φ là các
hằng số)
- Trong dao động điều hòa chất điểm đổi chiều chuyển động tuần hoàn
 vận tốc v(t) đổi dấu tuần hoàn

=- Mặt khác: v(t) = x '(t)ωAsin(ωt

φ)+

(với A,ω,φ là các hằng số)

- Khi đó đường đi trong dao động điều hòa xác định bởi tích phân
t2

t2

t1

t1

s = ò v(t) .dtω= ò
sin(ωt
- A φ) .dt+
t2

= ò A sin(ωt + φ) .d(ωt + φ)
t1

t2

= A ò sin(ωt + φ) .d(ωt + φ)
t1

Đặt α = ωt + φ đổi cực ta có α1 = ωt1 + φ,α 2 = ωt 2 + φ
α2

Ta có s = A ò sinα .dα
α1


7

Vậy, để xác định đường đi của chất điểm dao động điều hòa từ thời điểm
t1 t2 ta phải tính tích phân:
α2

s = A ò sinα .dα (1)

(với α1 = ωt1 + φ,α 2 = ωt 2 + φ )

α1

2.1.3. Một số trường hợp đặc biệt dễ dàng xác định được kết quả của tích
phân (1) với α1 ,α 2 cho trước:
π

π

π
a. s = A ò sinα .dα =A òsin.dα =- Ac osα | 0 =- A(c osπ - c os0) =2A
0

0

2π

2π

2π
b. s = A ò sinα .dα =A ò- sin.dα =Ac osα | π =A(c os2π - c osπ) =2A
π

π

2π

π

2π

c. s = A ò sinα .dα =A ò sin α .dα +A ò sin α .dα =2A +2A =4A
0

0π

4π

2π

3π

4π

d. s = A ò sinα .dα =A ò sin α .dα +A ò sin α .dα +A ò sin α .dα
π

π

2π

3π

s = 2A + 2A + 2A = 6A
mπ

e. Tổng quát: Tích phân (1) có dạng s = A ò sinα .dα (m,n là số nguyên).
nπ

mπ

Khi đó kết quả của tích phân là: s = A ò sinα .dα =2A(m - n)
nπ

α2

2.2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN s = A ò sinα .dα (1)
α1

2.2.1. Ví dụ minh họa

(2)


8

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình
π
4
x = 4cos(10πt + )cm . Tính quãng đường vật đi được từ t1=0 đến t 2 = s .
6
60
Giải:
π
π π
4
π 5π
α =10πt + Þ α1 =10π.0 + = ,α 2 =10π. + =
6
6 6
60 6

6
5π
6

5π
6

π
6

π
6

5π
6
π
6

s = A ò sinα .dα =A òsin α.dα =- Ac osα | =- A(c os

5π
π
- c os )
6
6

3
3
) = A 3 = 4 3 cm
2

2

s =- A(-

Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình
π
1
x = 4cos(10πt + )cm . Tính quãng đường vật đi được từ t1=0 đến t 2 = s .
6
6
Giải:
π π
1 π 11π
5π
α1 =10π.0 + = ,α 2 =10π. + =
=π+
6 6
6 6
6
6
π+

s =A

5π
6

ò
π
6

π

sinα .dα =A ò sin α .dα +A
π
6

π

Û s = A òsinα.dα +A
π
6

π+

5π
π+
6

ò sin α .dα
π

5π
6

ò - sin α.dα =
π

é
ù

π
5π
Û s =- A(cπ
os -c os) +
A c êos(
π + ) -c π
os ú
ê
ú
6
6
ë
û
3
3
Û s = A(1 + ) + A(
+1)
2
2
Û s = 2A + A 3 = 8 + 4 3 cm


9

Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình
π
13
x = 4cos(10πt + )cm . Tính quãng đường vật đi được từ t1=0 đến t 2 = s .
6
60

Giải:
π π
13 π 14π
2π
α1 =10π.0 + = ,α 2 =10π. + =
= 2π +
6 6
60 6
6
6
π+

s =A

5π
6

ò
π
6

π

2π

sinα .dα =A ò sin α .dα +A òsin α .dα +A
π
6

π

π

2π

Û s = A òsinα.dα +A ò- sin α.dα +A
π
6

π

2π +

2π
2π+
6

ò

sin α .dα

2π

2π
6

ò sin α.dα
2π

é

ù
π
2π
Û s =- A(cπ
os -c os) +
A(c os2
π -c π)
os -A c êos(2
π + ) -c os2
π ú
ê
ú
6
6
ë
û
3
1
Û s = A(1 + ) + 2A - A( - 1)
2
2
A A 3
Û s = 3A + +
=12 + 2 + 2 3 =14 + 2 3 cm
2
2
Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình
π
64
x = 4cos(10πt + )cm . Tính quãng đường vật đi được từ t1=0 đến t 2 = s .

6
60
Giải:
π π
64 π 65π
5π
α1 =10π.0 + = ,α 2 =10π. + =
=10π +
6 6
60 6
6
6


10
10π +

s =A

5π
6

π

ò

10π

sinα .dα =A ò sin α .dα +A ò sin α .dα +A

π
6

π
6

π

10π +

π

Û s = A òsinα.dα +2A(10 - 1) +A
π
6

2π
10π +
6

ò

sin α .dα

10π

5π
6

ò

sin α.dα

10π

é
ù
5π
-A c êos(10
π + ) -c os10
π ú
ê
ú
6
ë
û
3
3
Û s = A(1 + ) +18A - A(- 1)
2
2
Û s = 20A + A 3 = 80 + 4 3 cm
π
Û s =- A(cπ
os -c os) 18A
+
6

Ví dụ 5: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình
π

1
x = 4cos(10πt + )cm . Tính quãng đường vật đi được từ t1 = s đến
6
10
t2 =

64
s.
60

Giải:
α1 =10π.

1π
π
19 π 20π
2π
+ = π + ,α 2 =10π. + =
= 3π +
10 6
6
60 6
6
6

2π

3π +

3π

s = A ò sinα .dα +A ò sin α .dα +A
π+

π
6

2π

2π

ò

π
6

3π +

3π

2π

é
π ù
ú+ A+c
Û s = A êcπ
os2 c - πos( +
) 2A
ê
6 ú

ë
û
3
1
Û s = A(1 + ) + 2A + A(- +1)
2
2
A
3
Û s = 3A + + A
=14 + 2 3 cm
2
2

sin α .dα

3π

Û s = A ò - sinα.dα +A òsin α.dα +A
π+

2π
6

2π
6

ò

- sin α.dα

3π

é
2π
êos(3
π
+) c - π
os3
ê
6
ë

ù
ú
ú
û


11

Ví dụ 6: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình
x = 4cos(10πt -

t2 =

π
)cm . Tính quãng đường vật đi được từ t1 = 0 đến
6

5
s.
60

Giải:
α1 =10π.0 -

π
π
5 π 4π
=- ,α 2 =10π. - =
6
6
60 6
6

4π
6

4π
6

0

s = A ò sinα .dα =A ò sin α .dα +A ò sin α .dα
-

π
6

-

0

π
6

0

4π
6

Û s = A ò- sinα.dα +A òsin α.dα
-

π
6

0

é
π ù
4π
Û s = A êcos0 - cos(- )ú- A(cos - cos0)
ê
6 ú
6
ë
û
3

1
Û s = A(1 + ) - A(- - 1)
2
2
A
3
Û s = 2A + + A
=10 + 2 3 cm
2
2
α2

2.2.2. Phương pháp tính tích phân s = A ò sinα .dα (1)
α1

Bạn là người không biết tính tích phân, việc giải như các ví dụ trên là quá
phức tạp với bạn. Hãy yên tâm! Sau đây, tôi sẽ đưa ra công thức để tính tích
phân này.
Qua các ví dụ trên ta thấy:


12
α2

- Khi tính tích phân s = A ò sinα .dα (1)
α1

vấn đề quan trọng là phải chia cực từ

sinα>0

α1 ® α 2 để xét dấu sinα
- Khi α thuộc nửa trên đường tròn thì

sinα<0

sinα>0, khi α thuộc nửa dưới đường
tròn sinα<0. Dựa vào đó ta có thể chia cực từ α1 ® α 2 như sau:
=(m-n)π

<π

<π

n.π

α1

éα
ù
éα ù
Với n = ê 1 +1ú;m = ê 2 ú (m,n nguyên)
ê
ú
ê
ëπ
û
ëπ ú
û

m.π

α2

Tích phân (1) được viết thành:
α2

n.π

α1

α1

α2

m.π

s = A ò sinα .dα =A ò sin α .dα +A ò sin α .dα +A ò sin α .dα
n.π

α2

n.π

α1

α1

m.π

α2

Þ s = A ò sinα .dα =A ò sin α .dα +2A(m - n) +A ò sin α .dα
m.π

m.π

(với A ò sinα .dα =2A(m - n) theo (2) )
n.π

Mặt khác ta lại thấy:
 Với miền giá trị α Î [ α1;nπ ] : nếu n lẻ thì α thuộc nửa trên đường tròn
 sinα>0, nếu n chẵn sinα<0. Nên:
ìï n.π
ïï A sinα.dα
ïï ò
n.π
α
A ò sinα .dα = ïí 1 n.π
ïï
α1
ïï - A òsinα.dα
ïï
α1
î

nếu n lẻ
nếu n chẵn

13
n.π

n.π

 ta có thể viết thành: A ò sinα .dα =A.( - 1)

n- 1

α1

òsin α.dα
α1

 Với miền giá trị α Î [ mπ;α 2 ] : nếu m chẵn thì α thuộc nửa trên đường
tròn  sinα>0, nếu m lẻ sinα<0. Nên:
ìï α2
ïï A sinα.dα nếu m chẵn
α2
ïï ò
mπ
A ò sinα .dα = ïí
α2
ïï
mπ
ïï - A sinα.dα nếu m lẻ
ò
ïï
mπ
î

α2

 A ò sinα .dα =A.( - 1)
mπ

α2

m

òsin α.dα
mπ

Ta có:
α2

α2

n.π

s = A ò sinα .dα =A( - 1)
α1

= A(- 1) n- 1 (- 1)cα
os

n.π
α1

n- 1

òsin α.dα +2A(m - n) +A( - 1) òsin α.dα
m

α1

+
2A(m

mπ

-n)

+
A( 1)
- (m 1)c
α
os

α2
m.π

= A(- 1) n (cπ
osn.c - α os
) 12A(m
+

m
n)- A(+ 1) - ( 1)(c
- α os cos
2 - m.π)

= A(- 1) n (cπ
osn.c - α os
) 12A(m
+

m
n)- A(+ 1) - (cos
m.π

c - α os
)

2

Tóm lại: Dao động điều hòa có phương trình x = Acos (ωt + φ) . Quãng
đường đi được của vật dao động từ thời điểm t1  t2 được xác đinh theo
các bước sau:
Bước 1: Với α1 = ω.t1 + φ ; α 2 = ω.t 2 + φ , Tính:

éα ù
éα
ù
n = ê 1 +1ú; m = ê 2 ú (m, n là số nguyên)
ê
ú
ê
ëπ
û
ëπ ú

û
Bước 2: Tính quãng đường theo công thức
m
s = A(- 1) n (cπ
osn.c - α os
) 1A(+ 1) - (cos
m.π

c - α os
) 22A(m
+

n)-


14

2.3. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình
π
π
x = 12cos(50t − ) . Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t = ( s )
2
12

, kể từ thời điểm gốc (t=0) là:
A. 6cm

B. 90cm

C. 102cm

D. 54cm.

π
Bài 2. Một con lắc lò xo dao động với phương trình x = 6cos(20t + ) cm .
3

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t =

13π
( s ) , kể từ lúc bắt đầu
60

dao động là:
A. 6cm

B. 90 cm

C. 102 cm

D. 54cm
π
2

Bài 3. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4 cos(π t − ) cm . Tính
quãng đường vật đi được trong 2,25 giây đầu tiên.
Đ/A: 16 + 2 2
Bài 4. Một vật dao động với phương trình x = 4 2 cos(5π t −

đường vật đi từ thời điểm t1 =
A. 84,4cm

3π
) cm . Quãng
4

1
( s ) đến t2 = 6( s ) là:
10

B. 333,8cm

C. 331,4cm

D. 337,5cm

Bài 5. (CĐ 2007): Một vật nhỏ dao động điều hòa có biên độ A, chu kì dao
động T , ở thời điểm ban đầu to = 0 vật đang ở vị trí biên. Quãng đường mà
vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = T/4 là:
A/2 .

B. 2A .

C. A/4 .

D. A.


15

π
3

Bài 6. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2 cos(10π t − ) cm . Tính
quãng đường vật đi được trong 1,1 giây đầu tiên.
Đ/A: 44cm


16

PHẦN 3. KẾT LUẬN
Với mỗi bài toán, có thể có nhiều cách giải khác nhau, có thể ẩn chứa
những kiến thức liên quan không chỉ giới hạn trong phạm vi của môn học đó,
mà còn trong các kiến thức của môn học khác. Đề tài này là một minh chứng
cho điều đó.
Với việc khai thác kiến thức toán học áp dụng vào vật lí, cụ thể là liên
hệ “tích phân – đường đi”, đã giúp ta đưa ra được một cách giải cho bài toán
tìm đường đi trong dao động điều hòa với các bước giải khá gọn và dễ vận
dụng so với các cách giải trước đó.
Dù biết rằng toán học là công cụ để giải các bài toán vật lí phổ thông,
nhưng thông thường công cụ này chỉ dừng lại ở mức sử dụng các kỹ năng tính
toán. Vì vậy, để thấy được vai trò to lớn của toán học trong vật lí, rất mong
rằng sau này sẽ xuất hiện nhiều bài toán vật lí phổ thông có phương pháp giải
dựa trên cơ sở toán học hơn nữa.
Do kiến thức cá nhân còn nhiều hạn chế rất mong sự nhận xét, đóng
góp ý kiến của các thầy (cô) cho đề tài này.