PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC .


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG CỦA SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các
bài tập . Phương pháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá
trình luyện tập như : Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức…
không những vận dụng giải các bài toán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng
giải các bài tập của các lớp 9 ,10 và về sau này.
Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi
thấy học sinh sau khi học vẫn còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và
thường mắc phải những sai sót khi làm bài tập .
Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và định
hướng được một số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích
đa thức thành nhân tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC ” . phân tích đa
thức thành nhân tử theo mức độ nhận thức tức là giáo viên đưa ra các phương
pháp cụ thể cho học sinh nhưng phải theo từng đối tượng học sinh thì với mỗi
bài toán cụ thể các em có thể đưa ra phương pháp giải một cách chính xác. Đó là
các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử được tôi tích lũy trong quá
trình học và dạy toán, với niềm mong ước giúp các em học sinh dễ dàng giải các
dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp trong chương trình lớp 8
cũng như trong các cuộc thi học sinh giỏi các cấp.
2. Tên chuyên đề

“PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC ”
3. Tác giả chuyên đề
4. Chủ đầu tư chuyên đề
5. Lĩnh vực áp dụng chuyên đề
Áp dụng vào các giờ giảng dạy môn Toán 8 ,9 có nội dung liên quan đến
kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử.
6. Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Từ tháng 11 năm 2014.
7. Mô tả bản chất của chuyên đề
7.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu...
7.1.1. Mục đích nghiên cứu
Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày một số phương pháp
giải toán phân tích đa thức thành nhân tử . Cụ thể là:
2


+ Các phương pháp thường dùng khi giải phân tích đa thức thành nhân tử .
+ Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán có liên quan
+ Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập.
7.1.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Xây dựng hệ thống lý luận về vấn đề nghiên cứu
+ Đánh giá thực trạng vấn đề nghiên cứu
+ Đề xuất giải pháp nghiên cứu
+ Tiến hành thử nghiệm và đối chiếu kết quả.
7.1.3. Địa điểm, thời gian, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Địa điểm: Lớp 8 Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh Tường -Vĩnh Phúc
+ Thời gian: Từ tháng 11 năm 2014 đến tháng 1 năm 2016
+ Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 8 Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh TườngVĩnh Phúc .
+ Phạm vi nghiên cứu qua các tiết dạy về phân tích đa thức thành nhân tử

lớp 8, qua các buổi chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi.
7.1.4. Phương pháp nghiên cứu
1. Đọc tài liệu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn có liên quan
+ Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập.
+ Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông.
+ Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán.
+ Đổi mới phương pháp dạy học toán.
+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8,tài liệu chuyên toán lớp 8
,nâng cao và phát triển toán 8,....
2. Điều tra:
a. Dự giờ:
- Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ.
- Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ. Qua đó, tôi luôn chú ý đến
phương pháp giảng dạy cũng như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đó
giúp tôi tích lũy một số kinh nghiệm và hiệu quả của việc đổi mới phương pháp
dạy học .
b. Đàm thoại:

3


- Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm ra các
nguyên nhân học sinh chưa có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở
từng dạng toán cụ thể. Xem học sinh hỏng kiến thức nào, phần nào học sinh
chưa biết cách trình bày để có biện pháp xử lí kịp thời.
- Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhà trường cùng bàn biện
pháp nâng cao chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân học sinh học yếu ở các lớp
khác.
c. Thực nghiệm:
- Toán học là một môn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực

hành ngay tại lớp, để thực hiện được điều đó giáo viên phải giúp học sinh cũng
cố kiến thức ngay tại lớp qua các bài tập và các ?/SGK nhằm giúp các em nắm
vững các kiến thức cơ bản một cách sâu sắc từ đó hình thành kĩ năng giải toán
cho học sinh. Đồng thời giáo viên phải chú trọng bước hướng dẫn học sinh tự
học ở nhà để học sinh củng cố lại kiến thức đã học và vận dụng giải các bài tập
ở nhà tạo thói quen tự học cho học sinh. Ngoài ra đối với học sinh khá giỏi giáo
viến nên có thêm những bài tập đỏi hỏi tính tư duy cao.
d.Theo dõi các bài kiểm tra:
- Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình,
khá, giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng. Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích
hợp cho từng đối tượng học sinh.
7.2. Định nghĩa và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử .
7.2.1.Định nghĩa :
phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức thành tích của các đa thức
khác.
7.2.2. các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ từ dễ đến khó..
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử
chung.
Phương pháp: Dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.
A.B + A.C = A ( B + C).
4


 Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
 Tìm nhân tử chung của các biến (lấy với số mũ nhỏ nhất).
 Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

2
1) 5 x ( x − 2 y ) − 15 x ( x − 2 y )
GV: Tìm nhân tử chung của các hệ số?
HS: Nhân tử chung của các hệ số là 5 vì ƯCLN(5;15) = 5
GV: Tìm nhân tử chung của các biến?
HS: x(x – 2y)
2
Giải: 5 x ( x − 2 y ) − 15 x ( x − 2 y ) = 5 x ( x − 2 y ) ( x − 3)
2) 10 x ( x − y ) − 8 y ( y − x )
GV: Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ?
HS: 2
GV: Tìm nhân tử chung của x( x – y) và y( y – x)?
HS: ( x – y) hoặc ( y – x).
GV: Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x( x – y) hoặc – 8y( y – x) để có nhân tử
chung ( x– y) hoặc ( y – x)?
HS: Đổi dấu tích 10x( x – y) = - 10x( y – x)
Hoặc đổi dấu tích – 8y( y – x) = 8y( x – y).
Giải:
10x( x – y) – 8y( y – x) = 10x( x – y) + 8y( x – y)
= 2( x – y).5x + 2( x – y).4y
= 2( x – y)( 5x + 4y).
3) 9x( x – y) – 10( y – x) .
2

Cách giải sai:
9x( x – y) – 10( y – x)2

= 9x( x – y) + 10( x - y)2
= ( x – y) [9x + 10( x – y)]
= ( x – y)(19x – 10y).

Sai lầm:
- Thực hiện đổi dấu sai: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2
- Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 10 và ( y – x)2 của tích – 10( y – x)2
Vì – 10( y – x)2 = - 10( y – x)( y –x).
Cách giải đúng:
9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) - 10( x - y)2

5


= ( x – y) [9x - 10( x – y)]
= ( x – y)(10y – x).
• Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử.
- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.
Bài tập áp dụng:
1) 2axy − 4a 2 xy 2 + 6a3 x 2
2) -7x 2 y5 -14x 3 y 4 -21y3
2
3) 2 xy ( a − 1) − 4 x y ( 1 − a )
2
4) 5a ( x − y ) + 10a ( x − y )
2
5) 3ab ( x − 4 ) + 9a 2 ( 4 − x )

6) 2a b ( x + y ) − 4a b ( − x − y )
7) x m+1 − x m
8) x m+ 2 − x 2
9) x m+ 2 − x m

10) x m+1 − x m +1
2

3

Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
Phương pháp: Biến đổi để xuất hiện một trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
1) ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
2) ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
3) A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
4) ( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5) ( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
6) A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
7) A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) ( a – b )2 – ( a + b )2
GV: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
HS: Có dạng A2 - B2
Cách giải sai:
( a – b )2 – ( a + b )2 = ( a – b + a + b ) – ( a – b – a + b ) = 2a.0 = 0.
Sai lầm: Thực hiện thiếu dấu ngoặc.
Cách giải đúng:
( x – y )2 – ( x + y )2 = [( x – y ) + ( x + y )].[( x – y ) – ( x + y )]
= ( x – y + x + y ).( x – y – x – y )
= 2x.( –2y) = –4xy.
Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho bài tập
dưới dạng phức tạp hơn.

6

3) 8 x3 −

2) 10 x − 25 − x 2

1
8

4) 8 x3 + 12 x 2 y + 6 xy 2 + y 3

5)

1 2
x − 64 y 2
25

Giải:
2
2) 10 x − 25 − x 2 = − ( x 2 − 10 x + 25 ) = − ( x − 5 )
3

1
1 
1
3
1 
3) 8 x − = ( 2 x ) −  ÷ =  2 x − ÷ 4 x 2 + x + ÷
8
2 
4

2 
3

4) 8 x3 + 12 x 2 y + 6 xy 2 + y 3 = ( 2 x ) + 3. ( 2 x ) . y + 3.2 x. y 2 + y 3 = ( 2 x + y )
3

2

3

2

1
2
1 
1
 1

5) x 2 − 64 y 2 =  x ÷ − ( 8 y ) =  x + 8 y ÷ x − 8 y ÷
25
5 
5
 5


• Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Quy tắc dấu ngoặc.

- Kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán dựa vào các hạng tử, số
mũ của các hạng tử để sử dụng hằng đẳng thức thích hợp, chính xác.

Bài tập áp dụng:
1 3
x + 8 y3
8
1
7) x 6 − 125 y 3
64

1) 25a 2 − 1

6)

2) 144a 2 − 81
3) ( a − 2b ) − 4b 2
4) x 2 + 10 x + 25
5) 25 x 2 − 20 xy + 4 y 2
2

8) x3 + 15 x 2 + 75 x + 125
9) 27a3 − 54a 2b + 36ab 2 − 8b3
10) x 6 − x 6

Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng
đẳng thức.
Phương pháp: Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có
nhân tử chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức.
 Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
 Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
 Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) 3x 2 − 3xy − 5 x + 5 y
2) x 2 + 4 x − y 2 + 4
– 4y2 – 4y
Giải:
1) 3x 2 − 3xy − 5 x + 5 y
2
Cách giải sai: 3x − 3xy − x + y = 3x ( x − y ) − ( x − y ) = ( x − y ) 3x
Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung.
2
Cách giải đúng: 3x − 3xy − 5 x + 5 y = 3x ( x − y ) − 5 ( x − y ) = ( x − y ) ( 3x − 5 )

7

3) x2 – 2x


2) x 2 + 4 x − y 2 + 4
Sai lầm: HS không biết nhóm các hạng tử nào với nhau.
GV: Nếu như nhóm 2 hạng tử không được ta nhóm ba hạng tử.
2
Cách giải đúng: x 2 + 4 x − y 2 + 4 = x 2 + 4 x + 4 − y 2 = ( x + 2 ) − y 2 = ( x + 2 − y ) ( x + 2 + y )
3) x2 – 2x – 4y2 – 4y
Cách giải sai:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x – 4y)
= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y )
= ( x – 2y )( x + 2y – 2 )
Sai lầm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ hai.
Cách giải đúng:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x + 4y)
= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y )

= ( x + 2y )( x – 2y – 2 )
• Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử.
- Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm các hạng tử của đa thức.
Bài tập áp dụng:
1) ax + ay + 2 x + 2 y
6) 3ax 2 + 3bx 2 + ax + bx + 5a + 5b
2) x 2 − xy − 2 x + 2 y
7) ax 2 − bx 2 − 2ax + 2bx − 3a + 3b
3) 10ax − 5ax − 5ay + 2 x − y
8) ax 2 − 5 x 2 − õ + 5 x + a − 5
4) 2a 2 x − 5by − 5a 2 y + 2bx
9) ax + bx + cx − 2a − 2b − 2c
2
5) 2 x − 6 xy + 5 x − 15 y
10) ax − bx − 2cx − 2a + 2b + 4c
2) Đối với học sinh trung bình: Vận dụng và phát triển kỹ năng
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương
pháp.
• Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
• Cũng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kỹ năng thực hành.
• Tìm cách giải hay, khai thác bài toán.
Phương pháp: Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản:
 Phương pháp đặt nhân tử chung
 Phương pháp dùng hằng đẳng thức
 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

8

1) x4 – 9x3 + x2 – 9x
Giải:
1) x4 – 9x3 + x2 – 9x
Cách giải chưa hoàn chỉnh:

2) 8xy 3 + x ( x − y )

3

Cách 1: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9 )
Cách 2: x4 – 9x3 + x2 – 9x = ( x4 – 9x3 ) + ( x2 – 9x)
= x3( x – 9 ) + x( x – 9 )
= ( x – 9 )( x3 + x )
Sai lầm: Học sinh thường mắc phải sai lầm là phân tích chưa triệt để.
Cách giải đúng:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = x( x3 – 9x2 + x – 9 )
= x[(x3 – 9x2 ) + ( x – 9 )]= x[x2( x – 9 ) + 1. ( x – 9 )]= x( x – 9 )(x2 + 1)
2) 8xy 3 + x ( x − y )

3

Cách giải chưa hoàn chỉnh:
3
3
8 xy 3 + x ( x − y ) = x 8 y 3 + ( x − y ) 



Sai lầm: Học sinh thường mắc phải sai lầm là phân tích chưa triệt để.

Cách giải đúng:
3
3
2
8 xy 3 + x ( x − y ) = x 8 y 3 + ( x − y )  = x ( 2 y + x − y )  4 y 2 + 2 y ( x − y ) + ( x − y ) 





= x ( x + y ) ( 4 y 2 + 2 xy − 2 y 2 + x 2 − 2 xy + y 2 ) = x ( x + y ) ( 3 y 2 + x 2 )

•

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Khi số mũ của phần biến lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta vẫn có thể phân tích

được nữa.
- Củng cố các công thức:
( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
= A3+ B3 + 3AB( A + B)
⇒ A3+ B3 = ( A + B )3 – 3AB( A + B)

Bài tập áp dụng:
2
1) ( a 2 + 4b 2 ) − 16a 2b 2

2
2
6) x − ( 2a + b ) xy + 2aby

2) x 2 + 2 xy + y 2 − 25
7) ab ( x + y ) + xy ( a + b )
3) x 2 − 2 x + 1 − a 2 − 2ab − b 2
8) 6 x 2 + 12 xy + 6 y 2
2
2
2
4) x ( a − b ) − 2 xy ( a − b ) + ay − by
9) −12 x 4 y + 12 x3 y 2 − 3x 2 y 3
5) x3 + 2 x 2 y + xy 2 − 9 x
10) x 2 + 4 xy + 4 y 2 − a 2 + 2ab − b 2
3) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy
2

Dạng 5: Kĩ thuật bổ sung hằng đẳng thức

9

2

2

2


Phương pháp: Thêm, bớt cùng một hạng tử để nhóm với các hạng tử đã có
trong đa thức nhằm xuất hiện nhân tử chung mới hoặc xuất hiện hằng đẳng thức,
đặc biệt là xuất hiện hiệu của hai bình phương.
Đây là một kỹ thuật rất quan trọng liên quan đến dạng toán tìm Min, Max,

do đó GV cần phải hướng dẫn thật kỹ phương pháp này cho HS.
Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) x 2 − 2 x − 3
2) x 2 + 4 xy − 5 y 2
Giải:
1) x 2 − 2 x − 3
GV: Đối với phương pháp này các em nên tách để đưa về dạng A2 ± 2 AB + B 2
GV: Theo em ở câu 1 chúng ta nên tách hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng
thức?
HS: Tách hạng tử –3 = 1 – 4.
GV: Khi đó ta được x 2 − 2 x + 1 − 4 . Tới đây ta đưa về dạng nhóm hạng tử để xuất
hiện hằng đẳng thức.
2
HS : x 2 − 2 x + 1 − 4 = ( x − 1) − 22
GV: Biểu thức thu được thuộc hằng đẳng thức nào?
HS: A2 − B 2
Cách giải đúng:
x 2 − 2 x − 3 = x 2 − 2 x + 1 − 4 = ( x − 1) − 22 = ( x − 1 − 2 ) ( x − 1 + 2 ) = ( x − 3) ( x + 1)
2

2) x 2 + 4 xy − 5 y 2
Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1
Cách giải đúng:
x 2 + 4 xy − 5 y 2 = x 2 + 4 xy + 4 y 2 − 9 y 2 = ( x + 2 y ) − ( 3 y ) = ( x + 2 y − 3 y ) ( x + 2 y + 3 y ) = ( x − y ) ( x + 5 y )
2

2

• Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức.

- Biết cách nhóm ba hạng tử để xuất hiện hàng đẳng thức.
Dạng 6: Kĩ thuật tách hạng tử
Phương pháp: Cho đa thức : ax 2 + bx + c
- Tìm tích ac
- Phân tích tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách
ac = a1c1 = a2 c2 = a3c3 = ...a j c j = ...

- Chọn hai thừa số mà tổng bằng ( b = a j + c j )
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) 3x 2 + 7 x − 6
2) 10 x 2 − 11x − 6
3) 8 x 2 + 10 x − 3
Giải:
1) 3x 2 + 7 x − 6
GV: Hãy tìm tích ac.
HS: ac = 3.(-6) = -18.
GV: Phân tích tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách
HS: 3. ( −6 ) = −18 = ( −3) .6 = ( −2 ) .9 = 2. ( −9 ) = ( −1) .18 = 1. ( −18 )
GV: Hãy chọn hai thừa số a,c mà có tổng bằng 7

10


HS: 7 = -2 + 9
GV: Như vậy ta có: 7x = -2x + 9x
Cách giải đúng:

3x 2 + 7 x − 6 = ( 3 x 2 − 2 x ) + ( 9 x − 6 ) = x ( 3x + 2 ) + 3 ( 3x + 2 ) = ( 3x + 2 ) ( x + 3 )

2) 10 x 2 − 11x − 6

Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1
Cách giải đúng:

10 x 2 − 11x − 6 = 10 x 2 − 15 x + 4 x − 6 = 5 x ( 2 x − 3 ) + 2 ( 2 x − 3 ) = ( 2 x − 3 ) ( 5 x + 2 )

3) 8 x 2 + 10 x − 3
Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1
Cách giải đúng:

8 x 2 + 10 x − 3 = 8 x 2 − 2 x + 12 x − 3 = 2 x ( 4 x − 1) + 3 ( 4 x − 1) = ( 4 x − 1) ( 2 x + 3 )

• Lưu ý:
- Có nhiều cách tách để đi đến kết quả như tách hạng tử thứ nhất, tách hạng
thử thứ ba. Tuy nhiên tách hạng tử thứ hai là dễ dàng giải quyết bài toán.
- Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo
đặc điểm của các hệ số mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm vận
dụng được các phương pháp phân tích cơ bản đã học.
Dạng 7: Dạng thêm bớt khi số mũ chia 3 dư 1, số mũ chia 3 dư 2
Phương pháp: Ta biến đổi giảm dần số mũ của đa thức để xuất hiện nhân tử
chung x 2 + x + 1 hoặc x 2 − x + 1
Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) x5 + x + 1
2) x 4 + 2005 x 2 − 2004 x + 2005
Giải:
5
5
4
3
4
3

2
2
1) x + x + 1 = ( x + x + x ) − ( x + x + x ) + ( x + x + 1)
GV: Bước đầu tiên các em biến đổi giảm dần số mũ như sau: x5 + x 4 + x 3
GV: Như vậy khi ta thêm x 4 + x3 thì ta sẽ bớt x 4 + x3 ở phía sau, ta được:
x5 + x 4 + x3 − x 4 − x3

GV: Ta lại tiếp tục thêm bớt như vậy cuối cùng ta được:
x5 + x + 1 = x5 + x 4 + x3 − x 4 − x3 − x 2 + x 2 + x + 1

GV: Ta nhóm 3 hạng tử tạo thành một bộ, sau đó sử dụng phương pháp đặt nhân
tử chung ta có:
= x 3 ( x 2 + x + 1) − x 2 ( x 2 + x + 1) + ( x 2 + x + 1) = ( x 2 + x + 1) ( x 3 − x 2 + 1)

Cách giải đúng:

x + x + 1 = x5 + x 4 + x3 − x 4 − x 3 − x 2 + x 2 + x + 1 = ( x 5 + x 4 + x 3 ) − ( x 4 + x 3 + x 2 ) + ( x 2 + x + 1)
5

= x 3 ( x 2 + x + 1) − x 2 ( x 2 + x + 1) + ( x 2 + x + 1) = ( x 2 + x + 1) ( x 3 − x 2 + 1)

2) x 4 + 2005 x 2 − 2004 x + 2005
GV: Đối với câu 2 này các em cũng vẫn thực hiện theo cách trên.
Cách giải đúng:
x 4 + 2005 x 2 − 2004 x + 2005 = x 4 − x 3 + x 2 + x 3 − x 2 + x + 2005 x 2 − 2005 x + 2005

= ( x 4 − x 3 + x 2 ) + ( x 3 − x 2 + x ) + ( 2005 x 2 − 2005 x + 2005 ) = x 2 ( x 2 − x + 1) + x ( x 2 − x + 1) + 2005 ( x 2 − x + 1)
= ( x 2 − x + 1) ( x 2 + x + 2005 )

11

• Lưu ý:
- Thêm bớt các hạng tử một cách chính xác.
- Nếu như thêm bớt để xuất hiện đa thức chung là x 2 + x + 1 mà không được
thì ta thêm bớt để xuất hiện đa thức chung là x 2 − x + 1 .
Bài tập áp dụng:
1) x10 + x8 + 1
6) x11 + x10 + 1
2) x8 + x7 + 1
7) x 4 + 2002 x 2 + 2001x + 2002
3) x11 + x 4 + 1
8) x 4 + 2007 x 2 − 2006 x + 2007
4) x11 + x 7 + 1
9) x 4 + 1996 x 2 − 1995 x + 1996
5) x8 + x + 1
10) x 4 + 1999 x 2 − 1998 x + 1999
Dạng 8: Dạng đối xứng vòng quanh
Phương pháp:Dựa trên hai nhận xét sau:
 Nhận xét 1: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử,
trong đó a, b, c có vai trò như nhau trong biểu thức đó. Nếu F(a, b, c)
= 0 khi a = b thì F(a, b, c) sẽ chứa các nhân tử a - b, b - c và c - a.
Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b).
Nhận xét : Khi a = b ta có :
F(a, b, c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, do đó F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b.
Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b - c, c - a. Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba,
do đó F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a).
Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có : 1 + 1 = k.1.1.(-2) => k = -1.
Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a).

2) F(a, b, c) = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b).
Nhận xét : Tương tự như bài toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a b, b - c, c - a. Nhưng ở đây F(a, b, c) là biểu thức bậc bốn, trong khi đó (a - b)(b
- c)(c - a) bậc ba, vì vậy F(a, b, c) phải có một thừa số bậc nhất của a, b, c. Do
vai trò a, b, c như nhau nên thừa số này có dạng k(a + b + c). Do đó :
F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)
Cho a = 0 ; b = 1 ; c = 2 => k = -1.
Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c).
 Nhận xét 2: Trong một số bài toán, nếu F(a, b, c) là biểu thức đối
xứng của a, b, c nhưng F(a, b, c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a =
-b, F(a, b, c) có triệt tiêu không, nếu thỏa mãn thì F(a, b, c) chứa nhân
tử a + b, và từ đó chứa các nhân tử b + c, c + a.
3) F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz.
Nhận xét : Ta thấy rằng khi x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ 0. Nhưng nếu thay x
= -(y + z) thì F(x, y, z) = 0 nên F(x, y, z) có nhân tử x + y + z. Chia F(x, y, z)
12


cho x + y + z, ta được thương x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx và dư là 0. Do đó :
F(x, y, z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx).
Bài tập áp dụng:
1) ab ( a − b ) + bc ( b − c ) + ca ( c − a )
2) ( a + b ) ( b + c ) ( c − a ) + ( b + c ) ( c + a ) ( a − b ) + ( c + a ) ( a + b ) ( b − c )
3) ab ( a + b ) − bc ( b + c ) + ac ( a − c )
2
2
2
4) a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b )
4
4
4

5) a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b )
3
2
2
3
2
2
3
2
2
6) a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b )
3
2
3
2
3
2
7) x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) + xyz ( xyz + 1)

8) x ( y − z ) + y ( z − x ) + z ( x − y ) − x 3 − y 3 − z 3 + 4 xyz
9) ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) + 2abc
10) 3a 2b + ab2 + b2 c + 3bc 2 + 9c 2 a + 9ca 2 + 6abc
Dạng 9: Đặt biến phụ dạng đa thức
Phương pháp: Trong một số bài toán, ta nên đưa một biến phụ vào để việc giải
bài toán được gọn gàng, tránh nhầm lẫn. Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức
bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích.
2

2

2

Xét Q(x) = ay2 + by + c. Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n = b thì ay2
+ by + c = ay2 + (m +n)y + m.n/a hay y2 + by + c = a(y + m/a)(y + n/a) (*).Nếu a
= 1 thì y2 + by + c = (y + m)(y + n). Trong trường hợp này a, b, c nguyên thì
trước hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt đối của m và n nhỏ
hơn b. Sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b.
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
1) 6x4 + 19x2 + 15
2) ( x 2 + x ) + 4 ( x 2 + x ) − 12
3)

( 2x

2

− x − 1) ( 2 x 2 − x − 4 ) − 10

Giải:
1) P(x) = 6x4 + 19x2 + 15
Đặt y = x2 , ta có:
Q(y) = 6y2 + 19y + 15
Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19
Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có:
6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15
= 3y(2y + 3) + 5(2y +3)
= (2y + 3)(3y + 5)
Do đó :
P(x) = 6x4 + 19x2 + 15

= ( 2x2 + 3)(3x2 + 5)
2
2) ( x 2 + x ) + 4 ( x 2 + x ) − 12
Đặt x 2 + x = t

13


(x

2

+ x ) + 4 ( x 2 + x ) −12 = t 2 + 4t −12 = t 2 − 2t + 6t −12
2

= t ( t −2 ) +6 ( t − 2 ) = ( t − 2 ) ( t +6 ) = ( x 2 + x − 2 ) ( x 2 + x + 6 )

2
= ( x 2 − x + 2 x −2 ) ( x 2 + x +6 ) = 
x ( x −1) + 2 ( x −1) 
( x + x +6 )

= ( x −1) ( x + 2 ) ( x 2 + x +6 )

2
2
3) ( 2 x − x − 1) ( 2 x − x − 4 ) − 10
Đặt 2 x 2 − x − 1 = t

( 2x

2

−x −1) ( 2 x 2 −x −4 ) −10 =t ( t −3 ) −10 =t 2 −3t −10

=t 2 −5t +2t −10 =t ( t −5 ) +2 ( t −5 )

=( t −5 ) ( t +2 ) =( 2 x 2 −x −1 −5 ) ( 2 x 2 − x −1 +2 )

=( 2 x 2 −x −6 ) ( 2 x 2 −x +1) =( 2 x 2 −4 x +3 x −6 ) ( 2 x 2 −x +1)

2
2
=
2 x ( x −2 ) +3 ( x −2 ) 
( 2 x −x +1) =( x −2 ) ( 2 x +3 ) ( 2 x −x +1)

Bài tập áp dụng:
1) 4 x 4 − 37 x 2 + 9
2
2) ( x 2 + 3x ) + 7 x 2 + 21x + 10

6) 4 x 2 + 4 xy + y 2 + 10 x + 5 y − 6
2
2
7) ( x + x + 1) ( x + x + 2 ) − 12
2
2
8) ( x − x + 3) ( x − x − 2 ) + 4

3) x 2 + 2 xy + y 2 + 2 x + 2 y − 15

2
2
9) ( 2 x + x − 2 ) ( 2 x + x − 3) − 12

4) x 2 + 8 xy + 16 y 2 + 2 x + 8 y − 3

5) x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 7 x + 14 + 6
10) ( 2 x − x − 1) ( 2 x − x 4 ) − 10
Dạng 10: Đặt biến phụ dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) +e ( với a + b =
c+d)
Phương pháp: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d) hoặc
y2 = x2 + (a + b) x.
Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) – 15
2)
2

2

( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) ( x + 5) − 24

Giải:
1) (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) – 15
Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d.
Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15
Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành
Q(y) = y(y + 2) – 1 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15

= y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y + 5)
Do đó: P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9)
Tổng quát: Nếu đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)
thoả mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) rồi
biến đổi như trên.
Bài tập áp dụng:

14


2
2
6) ( x + 4 x + 3) ( x + 6 x + 8 ) − 24

1) x ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 10 ) + 128

2
2
7) ( x − 6 x + 5) ( x − 10 x + 21) − 20

2) ( x − 1) ( x − 3) ( x − 5) ( x − 7 ) − 20

2
2
8) ( x + x − 2 ) ( x + 9 x + 18 ) − 28

3) x ( x − 1) ( x + 1) ( x + 2 ) − 3

2
2

9) ( x − 5 x + 6 ) ( x − 15 x + 56 ) − 144

4) ( x − 7 ) ( x − 5) ( x − 4 ) ( x − 2 ) − 72

5) ( x + 8 x + 12 ) ( x + 12 x + 32 ) + 16
10) ( x − 11x + 28) ( x − 7 x + 10 ) − 72
Dạng 11: Đặt biến phụ dạng đẳng cấp
Phương pháp: Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa về đa thức có
bậc thấp hơn để thuận tiện cho việc phân tích ra nhân tử, sau khi phân tích ra
nhân tử đối với đa thức mới, thay trở lại biến cũ để được đa thức với biến cũ.
Ví dụ 11: Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
4
2
1) ( x 2 + 1) + 3x ( x 2 + 1) + 2 x 2
2)10 ( x 2 − 2 x + 3) − 9 x 2 ( x 2 − 2 x + 3) − x 4
Giải:
2
1) ( x 2 + 1) + 3x ( x 2 + 1) + 2 x 2
Đặt x 2 + 1 = t
2

(x

2

2

2

2

+ 1) + 3x ( x 2 + 1) + 2 x 2 = t 2 + 3 xt + 2 x 2 = t 2 + 2 xt + xt + 2 x 2
2

= t ( t + 2 x ) + x ( t + 2 x ) = ( t + 2 x ) ( t + x ) = ( x 2 + 1 + 2 x ) ( x 2 + 1 + x ) = ( x 2 + 1 + 2 x ) ( x 2 + 1 + x ) = ( x + 1)

2) 10 ( x 2 − 2 x + 3) − 9 x 2 ( x 2 − 2 x + 3) − x 4
Đặt x 2 − 2 x + 3 = t
4

2

10 ( x 2 − 2 x + 3) − 9 x 2 ( x 2 − 2 x + 3) − x 4 = 10t 4 − 9 x 2t 2 − x 4 = 10t 4 − 10 x 2t 2 + x 2t 2 − x 4
4

2

= 10t 2 ( t 2 − x 2 ) + x 2 ( t 2 − x 2 ) = ( t 2 − x 2 ) ( 10t 2 + x 2 )

2
= ( t + x ) ( t − x ) ( 10t 2 + x 2 ) = ( x 2 − 2 x + 3 + x ) ( x 2 − 2 x + 3 − x ) 10 ( x 2 − 2 x + 3) + x 2 


2
= ( x 2 − x + 3) ( x 2 − 3 x + 3) 10 ( x 2 − 2 x + 3) + x 2 



Bài tập áp dụng:

2
1) ( x 2 + 4 x + 8 ) + 3x ( x 2 + 4 x + 8 ) + 2 x 2

2

2) 3 ( − x 2 + 2 x + 3) − 26 x 2 ( − x 2 + 2 x + 3) − 9 x 4
4

3) ( x 2 − 1) + x ( x 2 − 1) − 2 x 2
2

4) ( x 2 + 4 x + 8 ) + 3x ( x 2 + 4 x + 8 ) + 2 x 2
2

6) ( x 2 − x + 1) − 5 x ( x 2 − x + 1) + 4 x 2

2

7) ( x 2 − x + 2 ) − 3x 2 ( x 2 − x + 2 ) + 2 x 4
4

2

8) 3 ( − x 2 + 2 x + 3) − 26 x 2 ( − x 2 + 2 x + 3) − 9 x 4
4

2

9) −6 ( − x 2 − x + 1) + x 2 ( − x 2 − x + 1) + 5 x 4
4

2

5) 4 ( x 2 + x + 1) + 5 x ( x 2 + x + 1) + x 2
10) ( x 2 − x − 1) + 7 x 2 ( x 2 − x − 1) + 12 x 4
Dạng 12: Đặt biến phụ dạng hồi quy
Ví dụ 12: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) x 4 + 6 x3 + 11x 2 + 6 x + 1
2) 2 x 4 − 5 x 3 − 27 x 2 + 25 x + 50
Giải:
1) x 4 + 6 x3 + 11x 2 + 6 x + 1
Giả sử x ≠ 0 , ta viết dưới dạng:
2

4

2

6 1 

1  
1


A = x 4 + 6 x3 + 11x 2 + 6 x + 1 = x 2  x 2 + 6 x + 11 + + 2 ÷ = x 2  x 2 + 2 ÷+ 6  x + ÷+ 11
x x 
x  
x





15

2


1
x

Đặt x + = t thì x 2 +

1
= t 2 − 2 . Do đó
x2

A = x ( t − 2 + 6t + 11) = x ( t + 3) = ( xt + 3 x )
2

2

2

2

2

2

2

 
1

=  x  x + ÷+ 3x  = ( x 2 + 3x + 1)
x
 


2) 2 x 4 − 5 x 3 − 27 x 2 + 25 x + 50
Giả sử x ≠ 0 , ta viết dưới dạng:
25 50 
 
25  
5


A = 2 x 4 − 5 x 3 − 27 x 2 + 25 x + 50 = x 2  2 x 2 − 5 x − 27 + + 2 ÷ = x 2  2  x 2 + 2 ÷− 5  x − ÷− 27 
x x 
x  
x

 

5
25
Đặt x − = t thì x 2 + 2 = t 2 + 10 . Do đó
x
x
2
2

A = x  2 ( t + 10 ) − 5t − 27  = x 2 ( 2t 2 + 20 − 5t − 27 ) = x 2 ( 2t 2 − 5t − 7 ) = x 2 ( t + 1) ( 2t − 7 )
5  
5 

= x 2  x − + 1÷ 2  x − ÷− 7  = ( x 2 + x − 5 ) ( 2 x 2 − 7 x − 10 )
x  
x 


Bài tập áp dụng:
1) x 4 + x3 − 4 x 2 + x + 1
5) x 4 + 7 x 3 + 14 x 2 + 14 x + 4
2) x 4 + 6 x3 + 7 x 2 + 6 x + 1
6) x 4 − 10 x3 + 26 x 2 − 10 x + 1
3) x 4 + 5 x3 − 12 x 2 + 5 x + 1
7) x 4 − 10 x3 − 15 x 2 + 20 x + 4
4) 6 x 4 + 5 x 3 − 38 x 2 + 5 x + 6
8) 3x 4 + 6 x3 − 33x 2 − 24 x + 48
Dạng 13: Đặt biến phụ dạng (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)(a1b1 = c1d1
và a2b2 = c2d2)
Phương pháp:Mục đích của phương pháp này là đưa về dạng đặt biến phụ dạng
đẳng cấp.
Qua ví dụ cụ thể các em sẽ thấy được phương pháp của dạng này.
Ví dụ 13: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) (3x + 2)( 3x – 5)( x – 9)( 9x + 10) + 24x2
Giải:
Dễ thấy a1b1 = 3.3 = 9.1 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2
P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2
Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 thì P(x) trở thành:
Q(y) = y(y + 10x) = 24x2

Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn được m = 6x , n = 4x
Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2
= (y + 6x)(y + 4x)
Do đó: P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10).
Bài tập áp dụng:
2
2
1) ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x − 6 ) + 32 x
5) ( x − 2 ) ( x − 4 ) ( x − 5 ) ( x − 10 ) − 54 x
2
2
2) ( x + 1) ( x − 4 ) ( x + 2 ) ( x − 8 ) + 4 x
6) ( x + 2 ) ( x − 4 ) ( x + 6 ) ( x − 12 ) + 36 x
2
2
3) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 6 ) ( x − 4 ) − 72 x
7) 4 ( x + 5) ( x + 6 ) ( x + 10 ) ( x + 12 ) − 3x
2
2
4) ( x + 3) ( x − 1) ( x − 5 ) ( x + 15 ) + 64 x
8) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 8) ( x + 12 ) − 4 x
Dạng 14: Dạng đoán nghiệm
Phương pháp:

16


 Nếu đa thức f ( x ) = a x + a x + ... + a x + a có nghiệm nguyên là x = x0 thì
x0 là một ước của hệ số tự do a0 , khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa
nhân tử x = x0 . Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên tìm lấy

một nghiệm của nó để định hướng cho việc phân tích ra nhân tử.
n

n

n−1

n −1

1

0

p

n
n −1
 Nếu đa thức f ( x ) = a x + a x + ... + a x + a có nghiệm hữu tỉ là x = q
(dạng tối giản) thì p là một ước của hệ số tự do a0 còn q là ước dương của hệ số
cao nhất an . Khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử qx – p.
n

n−1

1

0

Ví dụ 14: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) f(x) = x3 - x2 – 4

2) f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5
Giải:
1) f(x) = x3 - x2 - 4
Ta lần lượt kiểm tra với x = ±1; ±2; ±4 ta thấy f(2) = 0.
Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, do đó khi phân tích ra nhân tử, f(x) chứa nhân tử x
– 2.
Từ đó: f(x) = x3 - x2 - 4 = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) + (2x - 4)
= x2(x - 2) + x (x - 2) + 2 (x - 2)
= (x - 2)(x2 + x + 2).
2) f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Theo ví dụ 4, ta thấy các số ±1; ±5 không là nghiệm của đa thức. Như vậy đa
thức không có nghiệm nguyên, tuy vậy đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác.
1
3

5
3

Xét các số ± ;± , ta thấy

1
là nghiệm của đa thức, do đó khi phân tích ra nhân
3

tử, đa thức chứa nhân tử 3x – 1.
Từ đó: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5)
= x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(x2 – 2x + 5).
Bài tập áp dụng:
1) f(x)=x3– 6x2 +11x – 6

2) g(x) = x 5 + 6x 4 + 13x 3 + 14x 2 + 12x + 8
3) h(x) = 2x 4 + 7x 3 - 2x 2 - 13x + 6 .
Dạng 15: Đặt biến phụ dạng khác
Phương pháp: Đối với dạng này chúng ta cần biến đổi thêm một số bước để đưa
về dạng trên.
Ví dụ 15: Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
1) ( 2 x + 1) ( x + 1) ( 2 x + 3) − 18
2) ( 4 x + 1) ( 12 x − 1) ( 3x + 2 ) ( x + 1) − 4
Giải:
1)
A = ( 2 x + 1) ( x + 1)

2

( 2 x + 3) − 18 = ( 2 x + 1) ( 2 x + 3) ( x + 1)

2

− 18 = ( 4 x 2 + 8 x + 3 ) ( x 2 + 2 x + 1) − 18

Đặt x 2 + 2 x + 1 = t

A = ( 4t − 1) t − 18 = 4t 2 − t − 18 = ( t + 2 ) ( 4t − 9 ) = ( x 2 + 2 x + 1 + 2 )  4 ( x 2 + 2 x + 1) − 9 

= ( x 2 + 2 x + 3) ( 4 x 2 + 8 x + 4 − 9 ) = ( x 2 + 2 x + 3) ( 4 x 2 + 8 x − 5 )

17

2) A = ( 4 x + 1) ( 12 x − 1) ( 3 x + 2 ) ( x + 1) − 4 = ( 4 x + 1) ( 3 x + 2 ) ( 12 x − 1) ( x + 1) − 4
= ( 12 x 2 + 11x + 2 ) ( 12 x 2 + 11x − 1) − 4

Đặt 12 x 2 + 11x + 2 = t

A = t ( t − 3) − 4 = t 2 − 3t − 4 = ( t + 1) ( t − 4 ) = ( 12 x 2 + 11x + 2 + 1) ( 12 x 2 + 11x + 2 − 4 )

= ( 12 x 2 + 11x + 3) ( 12 x 2 + 11x − 2 )

Bài tập áp dụng:
2
1) ( 6 x + 5) ( 3x + 2 ) ( x + 1) − 35
2) ( 2 x + 1) ( x − 1) ( x − 3) ( 2 x − 3) + 9
Dạng 16: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt biến phụ
dạng hệ số bất định
Phương pháp: Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức f(x) và g(x) đồng
nhất với nhau, tức là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà
f(x) và g(x) luôn có các giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc là
bằng nhau.

f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0
g ( x) = bn x n + bn−1 x n−1 + ... + b1 x + b0
f ( x) ≡ g ( x) ⇒ an = bn ; an−1 = bn−1 ;....; a1 = b1 ; a0 = b0
Ví dụ 16: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) f(x) = x2 + 3x + 2
2) g(x) = x3 – 19x – 30
3) h(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
4) f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Giải:
1) f(x) = x2 + 3x + 2

Vì hệ số của hạng tử có bậc cao nhất là (x 2) là 1 nên f(x) có thể phân tích
thành hai nhân tử x + a, x + b, ta có:
x2 + 3x + 2 = (x + a)(x + b)
⇔ x2 + 3x + 2 = x2 + (a + b)x + ab
 a + b = 3
⇔
 ab = 2
Từ a + b = 3 => a = 3 - b. Đem thế vào ab = 2, ta được:
ab = 2 => b(3 - b) = 2 ⇔ -b2 + 3b - 2 = 0
⇔ -b2 + b + 2b -2 = 0
⇔ -b(b - 1) + 2(b - 1) = 0
⇔ (b - 1)(b - 2) = 0
b =1
⇔
b = 2
18


Cho b = 1 => a = 2 hoặc b = 2 => a = 1.
Trong cả hai trường hợp này ta đều được kết quả:
f(x) = x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).
Vậy f(x) = (x +1)(x + 2).
Chú ý: Có thể phân tích đa thức trên thành nhân tử bằng cách tách và nhóm
các hạng tử:
x2 + 3x + 2 = x2 + x+ 2x + 2
= x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)(x + 2).
3
2)
g(x) = x - 19x - 30

Kết quả phải tìm có dạng:
(x + a)(x2 + bx + c = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac. Ta phải tìm a, b, c thoả mãn:
x3 - 19x - 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac
Vì hai đa thức đồng nhất, nên ta có:
 a+b=0

ab + c = 19
 ac = −30

Vì a,c thuộc số nguyên và tích ac = -30, do đó a, c là ước của -30 hay a, c
={ ± 1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ± 10, ± 15, ± 30 }
a = 2, c = 15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ trên.
Vậy g(x) = x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15)
3)
h(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
Dễ thấy ± 1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có
nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy nếu đa thức đã cho
phân tích thành nhân tử thì phải có dạng:
(x2 + ax + b)( x2+ cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd
Đồng nhất hệ số đa thức này với đa thức đã cho, ta có:
4
x + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd
 a+c=6
ac + b + d = 7


 ad + bc = 6

bd = 1
Từ hệ phương trình trên ta tìm được: a = b = d = 1, c = 5

Vậy h(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5).
4) f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: Các số ±1; ±3 không phải là nghiện của đa thức f(x) nên đa thức
không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu f(x) phân
tích được thành nhân tử thì phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d), với a, b, c,
d ∈ Z.
19


Khai triển dạng này ra ta được đa thức: x4 + (a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x +
bd. Đồng nhất đa thức này với f(x) ta được hệ điều kiện:
 a + c = −6
ac + b + d = 12


ad + bc = −14
bd = 3.
Xét bd = 3, với b, d ∈ Z, b ∈ {±1; ±3}. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện
trở thành:
 a + c = −6

ac = 8
a + 3c = −14.

Từ đó ta tìm được: a = -2; c = -4. Vậy f(x) = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1).
Ta trình bày lời giải như sau:
f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x4 - 4x3 + x2) - (2x3+ 8x2 - 2x) + (3x2
-12x +3)
= x2(x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1)= (x2 - 4x + 1)(x2 2x +3).
Bài tập áp dụng:

1) f(x) = x 3 − 9 x 2 + 26 x − 24
2) g(x) = x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 14 x + 3
3) h(x) = x 4 − 8 x + 63
Dạng 17: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị
riêng
Phương pháp: Áp dụng linh hoạt các phương pháp đã học.
Ví dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
2) Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a b).
Giải:
1) P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Nhận xét: Nếu thay x bởi y thì P = 0, nên P chia hết cho x - y
Hơn nữa nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không thay đổi ( Ta nới đa thức
P có thể hoán vị vòng quanh). Do đó: P chia hết cho x - y thì P cũng chia hết
cho y - z và z - x.
Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); trong đó a là hằng số, không chứa biến vì P có
bậc 3 đối với tập hợp các biến.
Ta có: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*) đúng với mọi
x,
y, z ∈ R nên ta chọn các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong.
Chú ý: Các giá trị của x, y, z ta có thể chọ tùy ý, chỉ cần chúng đôi một khác
nhau để tránh P = 0 là được.
Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = 0 thay vào đẳng thức (*), ta tìm được a = - 1
Vậy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x z).
20


2) Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a b).
Nhận xét: với a = 0 thì Q = 0, cho nên a là một nhân tử của Q. Do vai trò bình
đẳng của a, b, c nên b và c cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợp

các biến nên Q = k.abc.
Chọn a = b = c = 1 được k = 4. Vậy Q = 4abc.
Trên đây là một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kèm theo ví dụ
và bài tập vận dụng . Các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử thật đa
dạng và phong phú kèm theo cả mức độ khó ,dễ. Vì vậy,Chúng ta nên hướng
dẫn học sinh giải những bài tập phân tích đa thức thành nhân tử theo các mức độ
nhận thức của học sinh để cho từng đối tượng học sinh đều làm được dạng toán
này theo mức độ nhận thức của mình.Qua các bài tập trên ta thấy mỗi dạng bài
tập sử dụng các phương pháp biến đổi khác nhau và có liên quan tới nhiều kiến
thức toán khác cho nên để làm được tốt dạng toán này yêu cầu học sinh phải
nắm chắc các kiến thức như : bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ,phương pháp hệ số
bất định ,dấu hiệu chía hết ,...Đồng thời giáo viên phải lựa chọn đưa ra các bài
tập phân tích đa thức thành nhân tử theo dạng toán và theo mức độ từ dễ đến khó
để học sinh nắm chắc cách giài từng dạng toán mà không bị lúng túng hoặc có
sai lầm kho gặp dạng toán này.Khi đã làm được như vậy thì việc giải các bài
toán phân tích đa thức thành thân tử trở thành niềm say ,mê hứng thú cho học
sinh từ đó học sinh sẽ giải được những dạng toán khác có liên quan trong
chương trình toán lớp 8,lớp 9.
8. Những thông tin cần được bảo mật chuyên đề
Không
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề
Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh,tài liệu tham khảo
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên
đề theo ý kiến của tác giả
Chúng ta đều biết: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức
đó thành tích của những đơn thức và đa thức khác. Do vậy đối với một số dạng
toán nếu áp dụng kết quả phân tích đa thức thành nhân tử thì sẽ giải được dễ
dàng như một số dạng toán sau:
Dạng 1: Tính nhanh

21


Ví dụ 1: (Bài 46, trang 21 SGK)
Tính nhanh:
732 - 272 = (73 - 27)(73 + 27) = 46 . 100 = 4600
20022 - 4 = 20022 - 22 = (2002 + 2)(2002 - 2) = 2004 . 2000 = 4008000.
Ví dụ 2 : (Bài 49, trang 22 SGK)
Tính nhanh:
37,5.6,5 -7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) - (7,5.3,4 + 6,6.7,5)
= 37,5(6,5 + 3,5) - 7,5(3,4 + 6,6)
= 37,5.10 - 7,5.10 = 375 - 75 = 300.
452 + 402 - 152 + 80.45 = 452 + 2.40.45 + 402 - 152
= (45 + 40)2 - 152
= 852 - 152
= (85 - 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000
Ví dụ 3 : (Bài 56, trang 25 SGK)
Tính nhanh:
x2 +

1
1
x+
2
16

x2 +

1
1

1
1
2
1 
x+
= x 2 + 2. x +  ÷ =  x + ÷ = ( x + 0, 25 )
2
16
4
4
4 

khi x = 49, 75
2

2

khi x = 49, 75 ⇒ ( x + 0, 25 ) = ( 49, 75 + 0, 25 ) = 502 = 2500
2

2

Trong các ví dụ trên ta thấy để thực hiện được việc tính nhanh thì phương
pháp chung là: Phân tích các biểu thức cấn tính nhanh ra thừa số rồi tính
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức:
Ví dụ 1 : (Bài 40, trang 19 SGK)
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. 15.91,5 + 150.0,85
b. 5x5(x - 2z) + 5x5(2z - x) víi x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1
Giải

a. 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5
= 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500
b. 5x5(x - 2z) + 5x5(2z - x) = 5x5 (x - 2z + 2z - x) = 5x5.0 = 0
Víi x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1 thì biểu thức bằng 0

22


Ví dụ 2 : Tính giá trị của biểu thức:
432 − 112
a,
36.52 − 27.52
973 + 833
− 97.83
b,
180

Giải

a,

( 43 − 11) ( 43 + 11)
432 − 112
=
2
2
36,5 − 27,5
( 36,5 − 27,5 ) ( 36,5 + 27,5 )
=

32.54 32
=
9.54
9

(

b,

)

( 97 + 83) 972 − 97.83 + 832
973 + 833
− 97.83 =
− 97.83
180
180
180.8247
=
− 97.83 = 8247 − 97.83 = 8247 − 8051 = 196
180

Trong 2 ví dụ trên đặc biệt là ví dụ 2 nhận thấy nếu như học sinh không
sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử thì việc tính toán gặp rất
nhiều khó khăn nên cần hướng dẫn cho các em:
- Trước hết hãy phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử.
- Thay giá trị của các biến vào biểu thức đã phân tích để tính.
Ví dụ 3:
Tính giá trị của biểu thức x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2000, y = 1999.
Nếu theo cách làm thông thường học sinh sẽ thay ngay giá trị của biến

vào biểu thức để tính giá trị. Cách làm đó rất phức tạp mới cho kết quả. Vì vậy
giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử rồi mới thay số
tính giá trị của biểu thức.
Giải:
Ta có x(x - 1) - y(1- x) = x(x - 1) + y(x - 1)
= (x - 1)(x + y)
Thay x = 2001, y = 1999 ta được
(2001 - 1) (2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000.
Dạng 3: Tìm x thoả mãn đẳng thức cho trước :
Ví dụ 1: (Bài 50, trang 23 SGK)
Tìm x biết:
a. x(x - 2) + x - 2 = 0
b. 5x(x - 3) - x + 3 = 0
Giải
a. x(x - 2) + x - 2 = 0
Ta có x(x - 2) + x - 2 = x(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x + 1)
x=2
23


Nên (x - 2)(x + 1) = 0 ⇔
x=-1
b. 5x(x - 3) - x + 3 = 0
Ta có 5x(x - 3) - x + 3 = 5x(x - 3) - (x - 3) = (x - 3)(5x - 1)
x=3
Nên (x - 3)(5x - 1) = 0 ⇔
x=

1
5

Ví dụ 2 : Tìm x biết
a. 8x3 - 50x = 0
b. (x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x2 - 4) - 5(x - 2) = 0
Giải
3
2
a. 8x - 50x = 2x(4x - 25)
x=0
= 2x(2x - 5)(2x + 5) = 0 ⇔

x=

5
2

x=−

5
2

(x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x2 - 4) - 5(x - 2)
= (x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x - 2)(x + 2) - 5(x - 2)
= (x - 2)[x2 + 2x + 7 + 2(x + 2) - 5]
= (x - 2)(x2 + 4x + 6) = 0 v× x2 + 4x + 6 = (x + 2)2 + 2 > 0
nên (x - 2)(x2 + 4x + 6) = 0

x - 2 = 0 hay x = 2

Ví dụ 3: Tìm x biết

5x(x - 1) = x - 1
⇔ 5x(x - 1) - (x - 1) = 0

x =1
⇔ (x - 1)(5x - 1) = 0

⇔
x=

1
5

Trong dạng toán này có thể nhận thấy đây là một cách biến đổi để đưa về
phương trình tích với các phép biến đổi chính là phân tích một đa thức thành
nhân tử, có thể hướng dẫn các en theo trìng tự sau:
- Chuyển tất cảc các số hạng về vế trái và vế phải bằng 0
A=0
⇔
- Phân tích vế trái thành nhân tử để được A.B = 0
B=0
- Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A = 0, B = 0 ta được kết quả

24


Dạng 4: Áp dụng vào số học
Đây là một dạng toán không khó nhưng việc vận dụng phân tích đa thức
thành nhân tử để giải thì lại khó cho các em học sinh, có thể hướng dẫn cho các
em giải định hướng sau đây:
- Số nguyên a chia hết cho số nguyên b khác 0 nếu có số nguyên k sao cho a =

bk.
- Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia.
Ví dụ 1: (Bài 42, trang 19 SGK)
CMR 55n + 1 - 55n chia hết cho 54 (n là số tự nhiên)
Giải
55n + 1 - 55n = 55n(55 - 1) = 55n.54 chia hết cho 54
Ví dụ 2: (Bài 52, trang 24 SGK)
CMR (5n + 2)2 - 4 chia hết cho 5
Giải
(5n + 2)2 - 4
= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)
= 5n(5n + 4) chia hết cho 5
Ví dụ 3: CMR

ta có:

a. n3 - 13n chia hết cho 6
b. n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120;
c. n3 - 3n2 - n + 3 chia hết cho 48 với n lẻ
Giải
3
3
a. n - 13n = (n - n) - 12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n
Vì n, n + 1, n - 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho
2 và một số chia hết cho 3 nên tích n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6
(2 và 3 nguyên tố cùng nhau), 12n chia hết cho 6 vậy:
n3 - 13n = n(n - 1)(n + 1) - 12n chia hết cho 6
b. n5 - 5n3 + 4n = n5 - n3 - 4n3 + 4n
= n3(n2 - 1) - 4n(n2 - 1) = n(n2 - 1)(n2 - 4)
= n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp. Trong 5 số

nguyên liên tiếp có ít nhất 2 số là bội của 2 (Trong đó có một số là bội của 4,
một bội của 3 và một bội của 5). Do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết
cho 8.3.5= 120 (vì 8, 5, 3 đôi một nguyên tố cùng nhau nhau)
n3 - 3n2 - n + 3 = n2(n - 3) - (n - 3) = (n - 3)(n2 - 1) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)
thay n = 2k + 1 (vì n lẻ) vào ta được:
(n - 3)(n - 1)(n + 1) = (2k - 2)2k(2k + 2) = 8(k - 1)k(k + 1)
Vì (k - 1)k(k + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.3 = 6 do đó
tích trên chia hết cho 48.
Qua 3 ví dụ vừa nêu ta nhận thấy nếu như các biểu thức đã cho được phân
tích thành nhân tử thì việc chứng minh sẽ trở nên đơn giản hơn vì vậy giúp các
25