Bài giảng, Bài tập toán cao cấp A2 Thầy Đặng Văn Vinh Trường Bách Khoa

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Bộ mơn Tốn ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Chương 1: Ma trận

•

Giảng viên: Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)
www.tanbachkhoa.edu.vn


NỘI DUNG
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I.

Đònh nghóa ma trận và ví dụ

II. Các phép biến đổi sơ cấp
III. Các phép toán đối với ma trận
IV. Hạng của ma trận
V. Ma trận nghòch đảo


I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa ma trận
Ma trận cở mxn là bảng số (thực hoặc phức) hình chử nhật có m
hàng và n cột .

Cột j
Ma trận A cở mxn

 a11 ... a1 j
 


A   ai1 ... aij
 


am1 ... amj

a1n 
 

... ain 



... amn 
...

Hàng i


I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 1.

 3 4 1
A

 2 0 5 23
Đây là ma trận thực cở 2x3.
Ma trận A có 2 hàng và 3 cột.
Phần tử của A: a11  3; a12  4; a13  1; a21  2; a22  0; a23  5
Ví dụ 2

1  i 2
A

 3  i i 22


I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

--------------------------------------------------------Ma trận A có m hàng và n cột thường được ký hiệu bởi
A  aij mn
Tập hợp tất cả các ma trận cở mxn trên trường K được ký hiệu
là Mmxn[K]
Định nghĩa ma trận không
Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận không,
ký hiệu 0,
(aij = 0 với mọi i và j).

 0 0 0
A


 0 0 0


I. Caực khaựi nieọm cụ baỷn vaứ vớ duù
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Phn t khỏc khụng u tiờn ca mt hng k t bờn trỏi
c gi l phn t c s ca hng ú.

nh ngha ma trn dng bc thang
1. Hng khụng cú phn t c s (nu tn ti) thỡ nm di cựng
2. Phn t c s ca hng di nm bờn phi (khụng cựng
ct) so vi phn t c s ca hng trờn.


I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

2

0

A
0

0

1 0

3

 2

0 7 2
6 
4 1 2 5 

0 0 0
0 45

 2 1 1  2


B  0 0 0 3 
0 0 0 5 



Không là ma trận
bậc thang

Không là ma trận
bậc thang


I. Các khái niệm và ví dụ cơ bản.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

1

0

A
0

0

3 0

2

 2
 Là ma trận dạng bậc
0 7 1
4  thang
0 0 2 5 

0 0 0
0  45

 1 2 0  2


B  0 0 1 3 
0 0 0 7 




Là ma trận dạng
bậc thang


I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ

---------------------------------------------------------Định nghĩa ma trận chuyển vị
Chuyển vị của A  aij 
là ma trận AT  aij 
cở nXm
mn
nm
thu được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột.

Ví dụ

 2 1 3
A

 4 0 9  23

 2 4


T
A   1 0 
 3 9


32


I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

---------------------------------------------------------Định nghĩa ma trận vuông
Nếu số hàng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A
được gọi là ma trận vuông cấp n.

 2  1
A

 3 2  22

Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số K được ký hiệu
bởi M n [K]


I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

---------------------------------------------------------Các phần tử a11, a22,…,ann tạo nên đường chéo chính của ma trận
vuông A.

 2 3
 3 4

 2 1
 2 1


1 1
0 5

3 7
6 8 


I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

---------------------------------------------------------Định nghĩa ma trận tam giác trên
Ma trận vuông A   aij 
được gọi là ma trận tam giác trên nếu
nn
aij  0, i  j
 2 1 3 


A  0 3
6 
 0 0  2


Định nghĩa ma trận tam giác dưới
Ma trận vuông A   aij 
được gọi là ma trận tam giác dưới
nn
nếu aij  0, i  j
2 0 0 
A  4 1 0 



 5 7 2 




I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

--------------------------------------------------------------Định nghĩa ma trận chéo
Ma trận vuông A được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằm
ngoài đường chéo đều bằng không, có nghĩa là (aij = 0, i ≠ j).

2 0 0 


D  0 3 0 
 0 0  2


Định nghĩa ma trận đơn vị
Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là
ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j; và aii = 1 với mọi i).

1 0 0


I   0 1 0
0 0 1



I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

--------------------------------------------------------------Định nghĩa ma trận ba đường chéo.
Ma trận ba đường chéo là ma trận các phần tử nằm ngoài ba
đường chéo (đường chéo chính, trên nó một đường, dưới nó một
đường) đều bằng không.
1 2 0 0 


3 1 7 0 

A
0 4 8  1


0 0 5 9 


I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

--------------------------------------------------------------Định nghĩa ma trận đối xứng thực
Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với mọi i = 1,….n và j =1,…,n
được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT)

 2 1 3 


A   1 4 7 

 3 7 0


Định nghĩa ma trận phản đối xứng
Ma trận vuông A thỏa aij = - aji với mọi i và j (tức là A = -AT)
được gọi là ma trận phản đối xứng.
 0 1 3 
A   1 0 7


 3 7 0 




II. Các phép biến đổi sơ cấp.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng
1. Nhân một hàng tùy ý với một số khác không hi   hi ;  0
2. Cộng vào một hàng một hàng khác đã được nhân với một số
tùy ý hi  hi   h j ; 
3. Đổi chổ hai hàng tùy ý hi  h j

Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp đối với cột.
Chú ý: các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi cơ bản,
thường dùng nhất!!!


II. Các phép biến đổi sơ cấp.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý 1
Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc thang bằng các
phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.

Chú ý
Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được
nhiều ma trận bậc thang khác nhau


II. Các phép biến đổi sơ cấp.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận sau
đây về ma trận dạng bậc thang.
 1 1 1 2 1 
 2 3 1 4 5 


 3 2 3 7 4 
 1 1 2 3 1 


Bước 1. Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên từ bên trái. Chọn
phần tử khác không tùy ý làm phần tử cơ sở.
1
2


3
 1


1 1 2
3 1 4
2 3 7
1 2 3

1
5

4
1 


II. Các phép biến đổi sơ cấp.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bước 2. Dùng bđsc đối với hàng, khử tất cả các phần tử còn lại của
cột.
 1 1 1 2 1 
 1 1 1 2 1 
h2 h2  2 h1
 2 3 1 4 5  

 0 1 1 0 3
h

h


3
h


3
3
1
A


h

h

h
4
4
1
 3 2 3 7 4 
 0 1 0 1 1 
 1 1 2 3 1 
 0 2 1 1 2 




Bước . Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử cơ sở và những
hàng trên nó. Áp dụng bước 1 và 2 cho ma trận còn lại
1

0
h3 h3  h2


h4 h4  2 h2
0
0


1 1 1
1 1
0 1
0 0


1 1 2 1 
0

h4 h4  h3
1 1 0 3 


0
0 1 1 4
0

0 1 1 4 


2

0
1
0

1
3

4
0 


II. Các phép biến đổi sơ cấp.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa
Nếu dùng các biến đổi sơ cấp đưa A về ma trận bậc thang
U, thì U được gọi là dạng bậc thang của A.
Định nghĩa
Cột của ma trận bậc thang A được gọi là cột cơ sở nếu cột đó
chứa phần tử cơ sở

 1 2 0 2 


A 0 0 1 3


0 0 0 7 



III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sự bằng nhau của hai ma trận
Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cở; 2) các phần tử ở những
vị trí tương ứng bằng nhau (aij = bij với mọi i và j).

Phép cộng hai ma trận
Cùng cở
Tổng A + B:
Các phần tử tương ứng cộng lại
Ví dụ
 1 2 4 
3  2 6
A
; B  

 3 0 5
1 4 7 

 2 0 10 
A B  

 4 4 12 


III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Phép nhân ma trận với một số.
Nhân ma trận với một số, ta lấy số đó nhân với tất cả các phần
tử của ma trận.
Ví dụ
 1 2 4 
A

 3 0 5

Tính chất:
a) A + B = B + A;
c) A + 0 = A;
e) k (mA) = (km) A;

 2 4 8 
2 A  

 6 0 10 

b) (A + B) + C = A + ( B + C);
d) k(A + B) = kA + kB;
f) (k + m)A = kA + mA;


III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Phép nhân hai ma trận với nhau

A  (aij )m  p ; B  (bij ) p n
AB  C  (cij ) mn với



AB  ai1 ai 2


cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  aip b pj

 b1j 


*

 
 * b2 j * 

... aip 
 ... cij ...



 

 
*

 bpj 

Để tìm phần tử c2,3 ở ma trận tích: lấy hàng 2 của A nhân với cột 3
của B (coi như nhân tích vô hướng hai véctơ với nhau)


Ví dụ

III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------

1  2 2


 2 1 4 
A
; B   3 0 1 
 4 1 0
 2 4 3



Tính AB

 1 2 2 
c 13 
 c711 cc12
 2 1 4  
12 c13

A B  
 3 0 1  





c
c
c
c
c
c
4
1
0
 21
22
23

 
21
22
23 

2 4 3
1
c11   2 1 4   3   2  1  (1)  3  4  2  7
 
2
 

III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

 2 1 
1
A
;B   

4 1 
 3
Tìm ma trận X, thỏa AX = B.

a 
Xác định cở của ma trận X là 2x1. Đặt X   
b 
 2a  b   1 
 2 1 a   1 
 
AX=B  
  



 4a  b   3 
 4 1  b   3 
 2a  b  1
2
1

2 / 3


 a  ,b 
Vaäy X  

4
a

b

3
3
3

1/
3

