Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 giáo dục thường xuyên

Đề cương ôn tập môn Toán lớp 11

PHẦN I: ĐẠI SỐ
Bài 1:Tìm tập xác định của hàm số



a) y = cot  x +



π
÷
6

b) y =

1 + cosx
1-sinx

1 + cos x
.
1- cos x
Bài 2: Tìm GTLN – GTNN của các hàm số sau:
π
1) y = 3 sin 2 x − 5 2) y = cos x + cos( x + )
c) y =

s in2x
.
1 + cos 2 x

d) y =

3
x
x
3) y = sin cos − 3 4) y = 3 cos x − sin x
2
2

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm số sau :
π
3

2
a) y = 3 - 2 cos (2x + ) )

b) y =

d) y = sin 2 x − 3 sin x cos x + 1

e) y =

1 + 2 sin 2 x
4
2sin x + 3cos x - 1
f) y = sin x - cos x + 2

4 − 3cos 2 3 x + 1 c) y =
cos 2 x + sin x cos x

1 + sin 2 x

Bài 4: Giải các phương trình sau (phương trình quy về bậc hai )
 π 11π 
1) cos8 x + c os4 x − 2 = 0 trên  − 2 ; 3 


π

2
2) 2 cos x + cos − x  + 1 = 0

2

2



2

4 sin 2x + 6 sin x − 9 − 3 cos 2x
=0
cos x
cos x( cos x + 2 sin x ) + 3sin x( sin x + 2 )
=1
4)
sin 2x − 1
Bài 5 : Giải các phương trình sau Phương trình quy về dạng bậc nhất đối với sinx ,cosx
1) 4 ( sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2

3)

2) sin 2 x + 3 cos 2 x = 2 sin x
3) 3 sin5x + 2sin11x + cos5x = 0
4) cos 2 x − 3 sin 2 x − 3 cos x + sin x − 4 = 0
5) 3 cos 5x − 2sin 3x cos 2x − sin x = 0
2 − 3 ) cos x − 2sin
6) (
2 cos x − 1

2

x π
 − ÷
 2 4  =1


2π
2
7) 2 cos  − 2x ÷+ 3 cos 4x = 4 cos x − 1
4

8) 2sin 2 x − 3 sin 2 x + 1 = 3 sin x − cos x

Bài 6: Giải các phương trình sau:
1
1) sin 2 x =
2
2) ( sin 3x − 1) 3 − 2 cos 2 x = 0

(

)

1


(

Đề cương ơn tập mơn Tốn lớp 11

)

3) ( sin 3x − 1) 3 − 2 cos 2 x = 0
4)

( tan 3x + 3 )(1 − 2 cos x ) = 0

5) sin 2 x + 5 sin x + 4 = 0

Bài 7 :Giải các phương trình sau :
7) 4sin x cos x cos 2 x = −1
1) sin 2 x + 5 cos x + 5 = 0
8) sin 7 x − sin 3 x = cos 5 x
2) 2sin22x + 5sin2x + 2 = 0
9) cos 2 x − sin 2 x = sin 3 x + cos 4 x
x
2 x
− 4 sin + 4 = 0
3) 2 cos

1
2
2
sin
x
sin
2
x
sin
3
x
=
sin 4 x
10)
4
4) 3tan2x – tanx – 4 = 0
11) sin 6 x + cos6 x = 4 cos 2 2 x
5) cos 2 x + 3 sin x + 1 = 0
12) cos 3 x + cos 2 x + cos x = sin 3 x + sin 2 x + sin x
6) 2cos2x – 5cosx – 3 = 0
Bài 8 Giải các phương trình sau :
1) sin 2 x + sin 2 x + 3 cos 2 x = 0
1
2
2
2) 2 sin x + sin 2 x − cos x = 3
2
3) 3sin x + 4 cos x = 5
4) 3 sin 3 x + cos 3 x = 2
Bài 9: Từ các chữ số 0.1.2.3,4.5.6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :

a/ Chẵn có 4 chữ số khác nhau?
b/ Có 4 chữ số khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5.
c/ Lẻ có 5 chữ số khác nhau?
Bài 10: Cho tâp hợp A = { 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7} . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a. Có 3 chữ số khác nhau ,
b. là số chẵn có ba chữ số khác nhau ,
c. Có 5 chữ số khác nhau và khơng bắt đầu bằng 56 .
d. Có 3 chữ số khác nhau và có tổng các chữ số khơng vượt q 15
Bài 11.Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ
số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của
ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị.
Bài 12 : Cho tâp A = { 1;2;3;4;5 } .Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
đơi một khác nhau từ A.Tính tổng tất cả các số lập được
Bài 13: : Cho tâp A = {0; 1;2;3;4;5 ;..;9 } Từ A có thể
a) Lập được bao nhiêu số chẵn 5 chữ số khác nhau .
b) Lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau sao cho nhất thiết có mặt chữ số 8
c) Lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau sao cho nhất thiết có mặt hai chữ số 0; 8
d) Lập được bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 500000.
Bài 14 : Từ tập thể gồm 14 người,có 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình,người ta muốn
chọn một tổ cơng tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
a.
b.
c.
d.

Trong tổ có đúng 2 nữ.
Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ.
Trong tổ phải có ít nhất 2 nữ
Trong tổ phải có ít nhất 2 nam và 2 nữ
2

Đề cương ôn tập môn Toán lớp 11

e. Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên,hơn nữa An và Bình đồng thời không có mặt
trong tổ.
Bài 15:Giải các phương trình :
5
4

x +3
3
a) C x +8 = 5 Ax +6 b) Cn4−1 − Cn3−1 − An2− 2 = 0

c) 2 C 2n +A 3n = 12( n - 1)

k
k
Bài 16: Giải phương trình ,bất phương trình (Có liên quan đến Pn , An , C n .)

1). C x3 = 5C1x
x+2
14

4). C + C
x
14

x +1
14

=C

5). A + C
3
x

1
2

6). Ax2−1 − C1x = 79

x−2
x

(

2
2
3). Px Ax + 72 = 6 Ax + 2 Px

2). 3Cx2+1 + xP2 = 4 Ax2

)

= 14 x

6
x

7) A22x − Ax2 ≤ Cx3 + 10
10

2

Bài 17. Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển  x + 
x


(x≠o)
5

2 

Bài 18. Tìm hệ số của x trong khai triển của  3x 3 −
 ( x ≠ 0)
x2 

5

Bài 19. Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1+3x)n bằng 90. Hãy tìm n.
5

Bài 20 :Tìm số hạng chứa x

10


2 
trong khai triển của  3x 3 − 2 ÷

x 

n

1
1 

Bài 21 :Tìm hệ số của x trong khai triển của  x + 2 ÷ , biết rằng Cnn + Cnn −1 + An2 = 821 .
2
x 

31

n

1 

Bài 22 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:  x 2 + 4 ÷ , biết Cn0 − 2Cn1 + An2 = 109
x 

n

1 

Bài 23: T×m hÖ sè cña x trong khai triÓn cña  2 x 4 + 3  (x > 0) biÕt r»ng n thoả mãn
x 

7

Cn2 + 2 An2 + n = 112 .

Bài 24: Trên một giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Vật lý và 2 quyển sách Hóa
học. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển.
a.
Xác định số phần tử của không gian mẫu.
b.
Tính xác suất sao cho trong 3 quyển sách lấy ra có đủ cả 3 môn.
c.
Tính xác suất sao cho trong 3 quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển sách
Toán.
Bài 25 : Gọi A là tập gồm các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập E = { 0 ;
1:2;3;4;5 }.Chọn ngẫu nhiên hai phần tử của A.Tính xác suất sao cho
a) Chọn được hai số chia hết cho 5
b)Chọn được ít nhất 1 số chia hết cho 6
Bài 26: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần. Tính xác suất của các biến cố sau:
a. A: “ Mặt 3 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần”
b. B: “ Mặt 3 chấm xuất hiện lần ở lần gieo thứ 2”
c. C: “ Tổng số chấm hai lần gieo bằng 9”
d. D: “Tổng số chấm hai lần gieo được số chia hết cho 3”
e. E: “Tổng số chấm hai lần gieo không vượt quá 9”

3


cng ụn tp mụn Toỏn lp 11

Bi 27 : T mt hp cha 3 bi trng, 2 bi , ly ngu nhiờn ng thi 2 bi.
a) Xõy dng khụng gian mu .
b) Xỏc nh cỏc bin c sau:
A : Hai bi cựng mu trng;

B : Hai bi cựng mu ;
C: Hai bi cựng mu ;
D: Hai bi khỏc mu .
c)Trong cỏc bin c trờn , hóy tỡm cỏc bin c xung khc, cỏc bin c i nhau.
Bi 28. Gieo ngu nhiờn mt con sỳc sc hai ln
a) Hóy mụ t khụng gian mu.
b) Hóy xỏc nh cỏc bin c sau:
A: Ln u xut hin im 6
B: Tng im ca hai ln l 4
c)Tớnh P(A) v P(B).
Bi 29.Mt bỡnh ng 5 viờn bi xanh , 3 viờn bi vng , 4 viờn bi trng ch khỏc nhau v
mu. Ly ngu nhiờn 3 viờn bi .Tớnh xỏc sut cỏc bin c sau :
1) A : Ly c 3 bi xanh .
2)B : Ly c ớt nht 1 bi vng .
3)C : Ly c 3 viờn bi cựng mu .
Bi 30: Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n.

n( n +1)
2
2
n 2 ( n +1)
3
3
3
3
b) 1 + 2 + 3 + ... + n =
4
a) 1 + 2 + 3 + ... + n =

Bài 31: Tìm CSC biết:

a. Gồm 4 số hạng: Tổng của chúng bằng 4; tổng các bình phơng của chúng bằng 24.
b. Gồm 5 số hạng: Tổng của chúng bằng 5; tích của chúng bằng 45.

u23 u17 = 30
2
2
u17 + u23 = 450

c.

2. Cho cấp số cộng biết

u7 u3 = 8
u7 .u2 = 75

u2 u3 + u5 = 10
u1 + u6 = 17

a.

b.

Tìm CSC và tính u15; S34.
3. Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng ( un ) , biết:

u1 + 2u5 = 0
S4 = 14

u9 + u6 = 29
u3 .u11 = 25

c.

u4 = 10
u7 = 19

a.

b.

Tìm CSC có 8 số hạng biết tổng các số hạng bằng 44 và hiệu giữa số hạng cuối và đầu bằng
21
Bi 32: Tớnh tng :

1 1 1 1
A = 1 + + ...
3 2 9 4

Bi 33: Tỡm cỏc gii hn:
a) lim

2 n2 n + 3
3n2 + 2n + 1

;

b) lim( n + n n) ;
2

4

c) lim

3n + 5.7 n
;
2n 3.7 n

d) lim

32 n + 5.4n
;
5n + 2 n


Đề cương ôn tập môn Toán lớp 11

(

)

e) lim n + 1 − n n ; f) lim

1 + 2 + ... + n
n2

 1

1

1



g) lim 2.4 + 4.6 + ... + 2n(2n + 2)  .



;

Bài 34: Tính các giới hạn sau:
4 x 2 − 3x + 5
x2 − x − 2
x+8 −3
2 x2 − x + x
lim
;
b)
;
c)
;
d)
;
lim
lim
x →−∞
x →−1 x 3 + x 2
x →1 x 2 + 2 x − 3
x →−∞
2 x − 3x 2
2 − 3x

3
x3 − x 2 + x − 1
x +3 −3
2x −1 − x
1− x −1
f) lim
; g) lim
;
h) lim
;
lim
x →1
x →6
x →1
x →0
x −1
x−6
x −1
x
x x−2
lim−
.
x →2
x−2

a) lim

e)
i)

Bài 35: Tính các giới hạn sau:
a) lim
x →1

x + x 2 + x3 − 3
;
x −1

( x 2 + x + 1 − x) ;
c) xlim
→+∞
x3 − 3x − 2
e) lim
;
x →1
x −1
3
x+7 − 5− x
g) lim
;
x →1
x −1

( 4 x 2 + x − 2 x) ;
b) xlim
→−∞

d) lim

4 − x2

x+7 −3

f) lim
x →2

x− x+2
;
4x +1 − 3

x →2

h) lim
x →2

x+ 2 + x+7 −5
.
x−2

 x+3−2
khi x ≠ 1

x
−
1
f
(
x
)
=
taïi x = 1

Bài 36:
a) Xét tính liên tục của hàm số:

1

khi x = 1
 4
3x 2
khi x>2
f
(
x
)
=
b) Cho hàm số:
tìm m để hàm số liên tục tại x = 2

khi x ≤ 2
2mx + 1
 x2 − 2x − 3
nÕu x ≠ 3

Bài 37: a) Xét tính liên tục của hàm số: f ( x ) =  x − 3
ax + 1
nÕu x = 3


trên tập xác định

của nó.

 x −1

b) Cho hàm số: f ( x ) =  2 − x − 1
 −2 x + m

khi x < 1
khi x ≥ 1

tìm giá trị m để hàm số liên tục trên

miền xác định.
Bài 38:
a) Chứng minh phương trình 2x4 + 4x2 + x -3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1 )
b) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2x3 – 10x – 7 = 0
c) Chứng minh phương trình: x 3 − 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
d) Chứng minh phương trình: x5 − 5 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
e) Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
m( x − 1)3 ( x − 2) + 2 x − 3 = 0

f) Chứng minh rằng phương trình: (m2 + m +1)x5 + x3 – 27 = 0 có nghiệm dương với mọi
giá trị của tham số m.

5


cng ụn tp mụn Toỏn lp 11

Bi 39: Tỡm o hm cỏc hm s sau:
a) y = ( x 3 x + 3)( x + 2 x 1) ; b) y =
2

2

2 4
+5 ;
x x2

y = x3 x2 + 5

f) y = sin 3 (2 x 3 1) ;

y = (2 + sin 2 2 x ) 3 ;

j) y = tan 2

x2 +1
c) y = 2
; d) y = (1 2 x 2 ) 5 ; e)
x +2
2
g) y = sin (cos 2 x) ; h) y = sin 2 + x 2 ; i)

2x
3

Bài 40: Gii phng trỡnh f(x) = 0, bit rng :
a) f(x) = 3 x +

60 64
+5 ;

x x3

b) f(x)=

x 2 5x + 4
x2

Bi 41: Cho hm s f(x) = x5 + x3 2x - 3. Chng minh rng:

f(1) + f(-1) = - 4f(0)

Bài 42: Cho hàm số f(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 có đồ thị là (C)
a) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hoành độ 2.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có tung độ 1.
c) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với đồ thị hàm số g(x) = x3
Bi 43: Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C):
a) Tung ca tip im bng

5
2

y =

3x 2
x 1

bit:

.

b) Tip tuyn song song vi ng thng y = x + 3 .
c) Tip tuyn vuụng gúc vi ng thng y = 4 x + 4 .
Bi 44 : Cho hm s y = x3 - 3x + 1 (C).
a) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ta im cú honh x = 2
b) Vit phng trỡnh tip tuyn biờt tip tuyn song song vi ng thng 45x y + 54 = 0
c) Vit phng trỡnh tip tuyn biờt tip tuyn vuụng gúc vi ng thng x + 9y 1 = 0.
d) Vit phng trỡnh tip tuyn cu th (C) cú h s gúc ca tip tuyn bng 6 .
PHN II: HèNH HC
Bi 1 :Trong mt phng Oxy cho im M (-3;6) v ng thng ( C ) cú phng trỡnh
x 2 +y 2 - 4x - 2y - 2 = 0

a. Tỡm nh M / ca im M qua phộp tnh tin theo v = (-5;-4)
b. Vit phng trỡnh ng trũn ( C / ) l nh ca ( C ) qua phộp v t tõm O t s
k=4
Bi 2: Trong mt phng ta Oxy cho im A(-1; 2) v ng thng d cú phng trỡnh
3x + y + 1= 0. Tỡm nh ca A v d


a) Qua phộp tnh tin theo vect v =(2 ; 1); b) Qua phộp quay tõm O gúc 900.
Bi 3: Tỡm nh ca im A ( 3; 2 ) , ng thng d: 2x-3y+4=0 v ng trũn
(C ) : x 2 + y 2 4 x + 2 y 4 = 0 qua cỏc phộp bin hỡnh sau:
r
a. Tnh tin theo v( 2;3)
b. V t tõm I (2;-1), t s k=2
c. Phộp ng dng cú rc bng vic thc hin liờn tip phộp v t tõm O, t s k=2 v
phộp tnh tin theo v = (3; 1) .
6


cng ụn tp mụn Toỏn lp 11

Bi 4 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đờng thẳng d1 : 2 x 3y 1 = 0, d2 : x + 2 y 4 = 0 . Tìm tọa
độ vectơ u sao cho phép tịnh tiến theo vectơ u biến d1 thành đờng thẳng đi qua M(2; - 1), biến
d2 thành đờng thẳng đim qua N(2; 2).
Bi 5 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đờng thẳng d : 3 x y + 3 = 0, d ' : 3 x y 1 = 0 .
Tìm vectơ v có giá vuông góc với d sao cho phép tịnh tiến theo vectơ v biến d thành d
Bi 6 : Cho t giỏc ABCD l hỡnh bỡnh hnh, bit A(3;2), B(1;4), C thay i trờn ng
thng x- y+ 5= 0. Tỡm qu tớch im B.
Bi 7: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú AB v CD khụng song song. Gi M l mt im thuc
min trong ca tam giỏc SCD.
a. Tỡm giao im N ca ng thng CD v mt phng (SBM).
b. Tỡm giao tuyn ca hai mt phng (SBM) v (SAC).
c. Tỡm giao im I ca ng thng BM v mt phng (SAC).
d. Tỡm giao im P ca SC v mt phng (ABM), t ú suy ra giao tuyn ca hai
mt phng(SCD) v (ABM).
Bi 8: Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh. Gi M, N l trung im AB,
CD.
1. Chng minh: MN//(SBC); MN//(SAD).
2. Gi P l trung im SA. Chng minh: SB//(MNP); SC//(MNP).
3. Gi G1, G2 l trng tõm tam giỏc ABC v SBC. Chng minh: G1G2//(SCD).
4. Tỡm giao tuyn ca cỏc cp mt phng: (SAD) v (SBC); (MNP) v (SAD);
(MNP) v (SCD); (CG1G2) v (SAB).
Cõu 9: Cho hỡnh chúp S.ABCD,ABCD l hỡnh bỡnh hnh.Gi M,N,P l trung im ca
BC,AD,SD.
a.
Xỏc nh giao tuyn ca (SAB) v (SCD),(SAM) v (SBC)
b.
Chng minh rng : MN // (SAB)
c.
Tỡm giap im ca AM v (SBD).Xỏc nh thit din ca (MNP) vi hỡnh chúp

S.ABCD
Cõu 10 : Cho hỡnh chúp S.ABCD ,ABCD l hỡnh bỡnh hnh.Gi H,K ln lt l trung im
ca S A,SB
a. Chng minh : HK // (SCD)
b. Gi M l im tựy ý trờn cnh CD ,( ) l mt phng qua M v song song vi
SA,BC.Xỏc nh thit din to bi mp( ) v hỡnh chúp S.ABCD
Bi 11 : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh .Gi M,N ln lt l
trung im SC ,BC.
a) Xỏc nh giao im I ca AM v (SBD)
b) Xỏc nh giao im J ca SD v (AMN) .Tớnh

SJ
SD

c) Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp v (AMN)
Bi 12 : Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh. M, N ln lt l trung
im ca AB, SC.
a. Tỡm giao tuyn ca (SMN) v (SBD)
b. Tỡm giao im I ca MN v (SBD)
c) Tớnh t s

MI
?
MN
7


Đề cương ơn tập mơn Tốn lớp 11

Bài 13: Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt

là trung điểm SB và SD.
a) Tìm giao tuyến của ( SAC ) và ( SBD ) ; ( SAD ) và ( SBC ) .
b) Chứng minh BD song song với mặt phẳng ( AMN ) .

c) Tìm giao điểm I của đường thẳng SC với mặt phẳng ( AMN ) . Tính tỉ số

SJ
.
SC

d) Gọi P là trung điểm OC.Xác định thiết diện của (MNP) và hình chóp Thiết diện
chia cạnh SA theo
tỉ số nào?
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang biết AD=2BC; AD và BC là
hai đáy của hình thang. Gọi O là giao của hai đường chéo AC và BD, G là giao điểm của hai
đường trung tuyến SM và DN của tam giác SCD.
1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
2) Tìm giao điểm của SO với mặt phẳng (ADG).
3) Chứng minh rằng GO song song với BN.
Bài 15: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thang ( AB// CD). Gọi M là
trung điểm của SD.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD).
b) Xác định hình dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi (MAB).
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2CD.Gọi
M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB và O là giao điểm của AC và BD .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) ; (SAD) và (SBC) .
b) Chứng minh MN // CD và MD // NC
c) Tìm giao điểm của đường thẳng AN với (SCD)
d) Gọi I trên SC sao cho SI = 2IC . C/m SA // (IBD)
e) Gọi G là trọng tâm ∆SBC . C/m OG // (SCD

Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD, M là trung điểm trên SC.
a). Tìm giao tuyến giữa mp(SAC) và mp(SBD)?
b). Tìm giao điểm của AM và mp(SBD)?
c). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) qua AM và song song
với BD.
Bài 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N
lần lượt là trung điểm AD và SB .
a/ Tìm giao tuyến của ( SAB ) và ( SCD )
b/ Chứng minh:

ON // ( SAD )

c/ Tìm giao điểm của đường thẳng

MN và mặt phẳng ( SAC )

Bài 19: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,
N, P lần lượt là trung điểm CD, SB, SA.
8


Đề cương ơn tập mơn Tốn lớp 11

a/ Chứng minh MN // (SAD) ; MP // (SBC) ; SA // (OMN)
b/ Tìm giao tuyến của (OMN) và(SBC) ; (SOM) và (MNP)
d/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp(SAC).
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD.
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và gọi G là trọng tâm của tam giác SAB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (IJG).
b) Xác định thiết diện của (IJG) với hình chóp S.ABCD.Tìm điều kiện đối với AB ,CD

để thiết diện là hbh
Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O; SA ⊥ (ABCD). Gọi
H, I, K lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm A trên SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng BC ⊥ ( SAB); CD ⊥ (SAD); BD ⊥ (SAC)
b) Chứng minh rằng AH, AK cùng vng góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI,
AK cùng chứa trong một mặt phẳng.
c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC). Từ đó suy ra HK ⊥ AI.
Bài 22: Cho tứ diện SABC có SA = SC và mặt phẳng (SAC) ⊥ (ABC). Gọi I là trung điểm
của cạnh AC. Chứng minh SI ⊥ (ABC).
Bài 23: Cho tam giác ABC vng góc tại A; gọi O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, AB, AC. Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) tại O ta lấy một điểm S
khác O). Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng (SBC) ⊥ (ABC);
b) Mặt phẳng (SOI) ⊥ (SAB);
c) Mặt phẳng (SOI) ⊥ (SOJ)
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác
cân tại S và (SAB) ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh rằng:
a) BC và AD cùng vng góc với mặt phẳng (SAB);
b) SI ⊥ (ABCD).
Bµi 25: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. C¹nh bªn SA ⊥
(ABCD) vµ SA = a
a) TÝnh gãc gi÷a ®êng th¼ng SB vµ CD;
b) Chøng minh mỈt ph¼ng (SAB) ⊥ (SBC).
Bµi 26: Cho chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt víi AB = a, AD = 2a, SA = a vµ
vu«ng gãc víi (ABCD). Gäi I, M theo thø tù lµ trung ®iĨm c¹nh SC, CD.
a) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (SBD);
b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn (SBD);
c) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (SBM)
Bµi 27: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng cỈnh b»ng a vµ SA ⊥ (ABCD),
SA = a. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng SB vµ AD theo a

Bµi 28: Cho hình vng ABCD. Gọi S là điểm trong khơng gian sao cho SAB là tam giác
đều và mp(SAB) ⊥ (ABCD).
a) CMR: mp(SAB) ⊥ mp(SAD) và mp(SAB) ⊥ mp(SBC);
b) Tính góc giữa hai mp(SAD) và (SBC).
Bµi 29: Cho chãp S.ABCD cã SA ⊥ (ABCD) vµ SA = a, ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng ®êng cao AB = a, BC = 2a. Ngoµi ra SC ⊥ BD
a) Chøng minh tam gi¸c SBC vu«ng; b) TÝnh AD theo a.

9