Tích phân trong các đề thi đại học

Biên soạn:Thầy giáo Trần Quyết

Trường THPT Liễn Sơn

HƯỚNG DẪN GIẢI TÍCH PHÂN QUA CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC GẦN ĐÂY
Bài 1 (Đề minh họa 2015). Tính tích phân
2

(

)

I = ∫ 2 x 3 + ln x dx
1

2

Hướng dẫn:

(

ĐS:

I=

)

13
+ 2 ln 2
2

2

2

1

1

I = ∫ 2 x3 + ln x dx = 2∫ x3 dx + ∫ ln xdx = ...
1

Bài 2 (THPTQG 2015). Tính tích phân
1

I = ∫ ( x − 3) e x dx

ĐS: I = 4 − 3e

0

u = x − 3
du = dx
⇒

x
x
 dv = e dx v = e

Đặt

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: …
2
Bài 3 (ĐH A2014). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x − x + 3 và đường thẳng
y = 2x +1
2

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

S = ∫ x 2 − 3x + 2 dx =
1

2

∫( x
1

2

− 3x + 2 ) dx = ... =

1
6

Bài 4 (ĐH B2014). Tính tích phân
2

I =∫
1

x 2 + 3x + 1

dx
x2 + x
2

Hướng dẫn:

ĐS: I = 1 + ln 3
2

2

x 2 + 3x + 1
2x +1
I =∫
dx = ∫ dx + ∫ 2
dx = ...
2
x +x
x +x
1
1
1

Bài 5 (ĐH D2014). Tính tích phân
π
4

I = ∫ ( x + 1) sin 2 xdx

I=

3
4

ĐS:
du = dx
u = x + 1

⇒

1
dv = sin 2 xdx v = − cos2x

2
Đặt
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: …
0

Bài 6 (ĐH A2013). Tính tích phân
2

x2 −1
ln x dx
x2

5
3
I = ln 2 −
1
2

2
ĐS:
dx

u = ln x
du =



x
⇒

x2 −1
dv = 2 dx v = x + 1
x


x Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: …
Đặt
I =∫

Liên hệ: />

Biên soạn:Thầy giáo Trần Quyết

Trường THPT Liễn Sơn

Bài 7 (ĐH B2013). Tính tích phân
1

I = ∫ x 2 − x 2 dx

I=

ĐS:

0

2 2 −1
3

Đặt t = 2 − x ⇒ ...
2

1

Bài 8 (ĐH D2013). Tính tích phân
1

Hướng dẫn

( x + 1) 2
dx
2
x
+
1
0

I =∫

1

ĐS: I = 1 + ln 2

1

( x + 1) 2
x2 + 2x +1
2x 

dx
=
dx = ∫ 1 + 2 ÷dx
2
2
∫
x +1
x +1
x +1
0
0
0
…

I =∫

Bài 9 (ĐH A2012). Tính tích phân
3

1 + ln( x + 1)
dx
x2
1

I =∫

ĐS:

I=

2
2
+ l n 3 − ln 2
3
3

dx

u = 1 + ln ( x + 1)
du =



x +1
⇒

dx
 dv = 2
v = − 1

x


x
Đặt

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: …
1

Bài 10 (ĐH B2012). Tính tích phân

I =∫
0

x3
dx.
x 4 + 3x 2 + 2

ĐS :

3
I = l n 3 − ln 2
2
2
Đặt t = x ...

I=
Bài 11 (ĐH D2012). Tính tích phân
I=

π/4

∫ x(1 + sin 2x)dx

ĐS:

0

π2 1
+
32 4

du = dx
u = x

⇒ 
cos2 x 

dv = ( 1 + sin 2 x ) dx
v =  x − 2 ÷
 Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: …
 
Đặt
π
4

Bài 12 (ĐH A2011). Tính tích phân

I =∫
0

x sin x + ( x + 1) cos x
dx
x sin x + cos x

Liên hệ: />
I=
ĐS:

 2 π
π

+ l n 
 + 1 ÷÷
÷
4
 2  4 


Biên soạn:Thầy giáo Trần Quyết
π
4

I =∫

Hướng dẫn

0

Trường THPT Liễn Sơn

π
4

π
4

x sin x + ( x + 1) cos x
x sin x + cos x + x cos x
x cos x


dx = ∫
dx = ∫ 1 +
÷dx
x sin x + cos x
x sin x + cos x
x sin x + cos x 
0
0

π
4

π
4

π
4

π

4

π
4

d ( x sin x + cos x )
x cos x
x cos x


= ∫ 1 +
dx = ∫ dx + ∫
÷dx = ∫ dx + ∫
x sin x + cos x 
x sin x + cos x
x sin x + cos x
0
0
0
0
0

…

π
3

Bài 13 (ĐH B2011). Tính tích phân
π
3

Hướng dẫn

1 + x sin x
dx
2
c
os
x
0

I =∫

π
3

ĐS:

I = 3+

2π
+l n 2− 3
3

(

)

π
3

1 + x sin x
1
x sin x
dx = ∫
dx + ∫
dx = ...
2
2
cos x
cos x
cos 2 x
0
0
0

I =∫

u = x
du = dx


x sin x
⇒

sin x
1
dx
∫0 cos2 x
 dv = cos 2 x dx v = cos x

Tính
đặt
...
π
3

4

Bài 14 (ĐH D2011). Tính tích phân
I=

I =∫
0

4x −1
dx
2x +1 + 2

ĐS:

34
 3
+ 10l n  ÷
3
 5

Đặt t = 2 x + 1 ⇒ ...
1

Bài 15 (ĐH A2010). Tính tích phân

I =∫
0

x 2 + e x + 2 x 2e x
dx
2e x + 1

ĐS:

1 1 1 + 2e
I = + ln
3 2
3
1 2
1
1
2e x + 1) x 2 + e x
(
 2
x 2 + e x + 2 x 2e x
x + 2 x 2e x + e x
ex 
I =∫
dx
=
dx
=
dx
=

x
+
∫0 2e x + 1
∫0 2e x + 1
∫0  2e x + 1 ÷ dx = ...
2e x + 1
0
1

Hướng dẫn

e

Bài 16 (ĐH B2010). Tính tích phân

I =∫
1

ln x
dx
x(ln x + 2) 2

ĐS:

1
3
I =− +ln
3
2
Đặt t = ln x ⇒ ...

e

3
I = ∫ (2 x − ) ln xdx
x
1
Bài 17 (ĐH D2010). Tính tích phân
Liên hệ: />
ĐS:

I=

e2
−1
2


Biên soạn:Thầy giáo Trần Quyết
dx
u = ln x


 du =
x
3 ⇒


 dv =  2 x − x ÷dx
v = x 2 − 3ln x




Đặt 

Trường THPT Liễn Sơn

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: …

π
2

I = ∫ (cos3 x − 1)cos 2 xdx

Bài 18 (ĐH A2009). Tính tích phân
I=

ĐS:

0

8 π
−
15 4

Hướng dẫn

π
2

π

2

π
2

0

0

0

I = ∫ (cos3 x − 1)cos 2 xdx = ∫ cos5 xdx − ∫ cos 2 xdx = ...
3

3 + ln x
dx
2
(
x
+
1)
1

I =∫

Bài 19 (ĐH B2009). Tính tích phân
I=

ĐS:

1
27
(3 + ln )
4
16

dx

u = 3 + ln x
du =



x
dv = 3 dx ⇒ 
2

v = − 3
( x + 1)


x +1

Đặt

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: …
3

dx
e −1

1

I=∫

Bài 20 (ĐH D2009). Tính tích phân
3

Hướng dẫn

x

3

dx
e x dx
I=∫ x
=∫ x x
e − 1 1 e ( e − 1)
1

x
đặt t = e ...

π
6

Bài 21 (ĐH A2008). Tính tích phân
π
6

Hướng dẫn

2
ĐS: I = ln(e + e + 1) − 2

4

π
6

tan 4 x
I =∫
dx
cos2 x
0

1
10
I = ln(2 + 3) −
2
9 3
ĐS:

π
6

4

tan x
tan x

tan 4 x
I=∫
dx = ∫
dx = ∫
dx
2
2
cos2 x
2 cos 2 x − 1
0
0
0 cos x ( 1 − t an x )

đặt t = tan x ...

π
sin( x − ) dx
4
I=∫
dx
sin2
x
+
2(1
+
s
inx + cos x )
0
π
4

Bài 22 (ĐH B2008). Tính tích phân

sin 2 x = t 2 − 1
π 

t = sin x + cos x = 2cos  x − ÷⇒  
π
dt
4  sin  x − ÷dx = −

4
2 ...
 
Đặt
Liên hệ: />
ĐS:

I=

4−3 2
4


Biên soạn:Thầy giáo Trần Quyết

Trường THPT Liễn Sơn
2

Bài 23 (ĐH D2008). Tính tích phân

I=

ln x
dx
x3
1

I =∫

ĐS:

3 − 2 ln 2
16

dx

du =
u = ln x



x

dx ⇒ 
 dv = x 3
v = − 1

2x2
Đặt

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: …

Bài 24 (ĐH A2007). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = (e + 1) x , y = (1 + e x ) x
S=

.

ĐS :

e
−1
2

Bài 25

(ĐH B2007).

Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường . y = x ln x , y = 0 , x = e

. Tính thể

tích của khối tròn xoay tọa thành khi quay hình H quanh trục Ox. ĐS :
e

Bài 26 (ĐH D2007). Tính tích phân
2 ln xdx

du =


u = ln x

x
⇒


4
3
 dv = x dx v = x

4
Đặt

V=

π (5e3 − 2)
27

5e 4 − 1
I=
32
ĐS:

I = ∫ x3 ln 2 xdx
1

2

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: …

TP từng phần hai lần...
π
2

Bài 27 (ĐH A2006). Tính tích phân
π
2

Hướng dẫn

I =∫
0

0

sin 2 x
cos x + 4sin x
2

π
2

sin 2 x
cos x + 4sin x
2

I=∫

2

dx = ∫
0

sin 2 x
1 + 3sin 2 x

ln 5

I=
Bài 28 (ĐH B2006). Tính tích phân

∫e

ln 3

x

2

dx

dx
.
+ 2e− x − 3

Liên hệ: />
dx
ĐS :

I=

2
3

2
Đặt t = 1 + 3sin x ⇒ ...

ĐS:

I = ln

3
2


Biên soạn:Thầy giáo Trần Quyết
ln 5
ln 5
dx
e x dx
I= ∫ x
=
e + 2e− x − 3 ln∫3 e 2 x − 3e x + 2
ln
3
Hướng dẫn

Trường THPT Liễn Sơn
x
đặt t = e ...

1

Bài 29 (ĐH D2006). Tính tích phân
du = dx
u = x − 2

⇒

e2 x
2x
dv
=
e
dx
v
=



2
Đặt

5 − 3e 2
I=
4
ĐS :

I = ∫ ( x − 2)e 2 x dx.
0

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: …
π
2

sin 2 x + sin x

I=∫

Bài 30 (ĐH A2005). Tính tích phân

1 + 3cos x

0

π
2

dx
ĐS :

π

2 ( 2cosx + 1) sin x
sin 2 x + sin x
I=∫
dx = ∫
dx
0
0

1 + 3cos x
1 + 3cos x
Hướng dẫn

I=

34
27

cosx =
t = 1 + 3cos x ⇒ 
sin xdx = ...
đặt

π
2

Bài 31 (ĐH B2005). Tính tích phân
π
2

Hướng dẫn

sin 2 x cos x
dx.
1
+
cos
x
0

I=∫

ĐS : I = 2ln 2 − 1

π
2

cosx =
t = 1 + cosx ⇒ 
...
sin
xdx
=

Đặt

sin 2 x cos x
2sin x cos 2 x
I =∫
dx = ∫
dx.
1 + cos x
1 + cos x
0
0
π
2

Bài 32 (ĐH D2005). Tính tích phân

Hướng dẫn

I = ∫ (esinx + cos x ) cos xdx.

π
2

π
2

π
2

0

0

0

I = ∫ (esinx + cos x ) cos xdx = ∫ esinx cos xdx + ∫ cos 2 xdx
2 3

I=
Bài 33 (ĐH A2003). Tính tích phân
2 3

I=
Hướng dẫn

∫

5

2 3

dx
x x2 + 4

=

∫

5

ĐS:

0

∫

5

x x2 + 4

x2 x2 + 4

đặt

ĐS:

π
4

Hướng dẫn

1 − 2sin 2 x
dx
1
+
sin
2
x
0

I=∫

π
4

1 − 2sin x
cos2 x
dx = ∫
dx
1 + sin 2 x
1 + sin 2 x
0
0

I =∫

2

Liên hệ: />
I=

1 5
ln
4 3

 x2 =
x2 + 4 ⇒ 
...
 xdx =

π
4

Bài 34 (ĐH B2003). Tính tích phân

π
−1
4

...

dx

xdx

I =e+

đ đặt t = 1 + sin 2 x ...

1
I = ln 2
2
ĐS:


Biên soạn:Thầy giáo Trần Quyết

Trường THPT Liễn Sơn
2

Bài 35 (ĐH D2003). Tính tích phân
2

I = ∫ x 2 − x dx

ĐS: I = 1

0

1

2

I = ∫ x − x dx = ∫ ( x − x ) dx + ∫ ( x 2 − x ) dx...
2

Hướng dẫn

0

2

0

1

2

Bài 36 (ĐH A2004). Tính tích phân

x
x −1
1 1+

I =∫

ĐS:

I=

11
− 4 ln 2
3

I=

116
135

Đặt t = x − 1 ...

e

Bài 37 (ĐH B2004). Tính tích phân

I =∫
0

1 + 3ln x ln x
dx.
x

ĐS:

Đặt t = ln x ...
3

Bài 38 (ĐH D2004). Tính tích phân
2x −1

2
u = ln x − x
 du = 2
⇒
x −x


 dv = dx
v = x
Đặt

(

I = ∫ ln( x 2 − x)dx.
2

ĐS : I = 3ln 3 − 2

)

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: …

CHÚC CÁC EM HỌC TẬP THẬT TỐT

.

Liên hệ: />

Biên soạn:Thầy giáo Trần Quyết

Liên hệ: />
Trường THPT Liễn Sơn