KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN HỖN HỢP DÙNG TENSOR CẤU TRÚC CHO GIẢM NHIỄU ĐỐM VÀ TĂNG CƯỜNG BIÊN ẢNH SIÊU ÂM

Bài gửi đăng Tạp chí Tin học và Điều khiển học

KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN HỖN HỢP DÙNG TENSOR CẤU TRÚC
CHO GIẢM NHIỄU ĐỐM VÀ TĂNG CƯỜNG BIÊN ẢNH SIÊU ÂM
BLENDED NONLINEAR DIFFUSION USING STRUCTURE TENSOR
FOR ULTRASOUND IMAGE SPECKLE REDUCTION AND EDGE ENHANCEMENT

Nguyễn Hải Hà
Cao đẳng Kỹ thuật TBYT-Bộ Y tế
Email:

Phạm Trần Nhu
Viện Công nghệ thông tin-Viện KH&CN VN
Khoa CNTT-Trường Đại học Thành Đô
Email:

Tóm tắt- Nhiễu đốm thường ảnh hưởng tới chất lượng ảnh siêu âm y tế, làm giảm độ phân giải và độ tương
phản ảnh. Nhiễu đốm là một thuộc tính cố hữu của ảnh được tạo ra do sự giao thoa ngẫu nhiên liên quan
tới sự dội lại nhất quán tự nhiên của sóng truyền mà nguyên nhân là hiện tượng tán xạ. Nhiều giải pháp
loại bỏ nhiễu đốm, không làm mất thông tin biên ảnh đã đư ợc đề xuất. Bài báo này đề xuất hai tiến trình
khuếch tán, trong đó khuếch tán đẳng hướng để giải quyết bài toán giám nhiễu đốm, khuếch tán bất đẳng
hướng để tăng cường biên và các chi tiết cục bộ trong ảnh siêu âm. Cả hai trường hợp này được điều khiển
bằng mô hình khuếch tán phi tuyến hỗn hợp dùng tensor cấu trúc. Mô hình đề xuất kết hợp giữa tiến trình
Perona-Malik chỉnh hóa với phương trình dịch chuyển đường cong trung bình và tensor cấu trúc. Mô hình
thực hiện đồng thời giảm nhiễu đốm vùng đồng nhất và tăng cấu trúc ảnh vùng không đồng nhất bằng cách
sử dụng khuếch tán phi tuyến theo biến đổi cục bộ hướng gradient của ảnh. Bài báo cũng trình bày các kết
quả thực nghiệm được thực hiện trên ảnh siêu âm bị ảnh hưởng bởi nhiễu đốm để minh họa hiệu quả của
mô hình đề xuất.
Từ khóa: biên, ảnh siêu âm, tăng cường, đốm, khuếch tán, đẳng hướng, bất đẳng hướng, tensor, cấu trúc,
gradient, đường cong.
Abstract - Speckle noise generally affects medical ultrasound images quality, and tends to reduce the image

resolution and contrast. Speckle noise is an inherent property in which images are formed under random
interference between the coherent natures returns of a transmitted waveform that cause from scattering
phenomenon. Many solutions have been proposed to remove speckle noise without loosing the edge
information in images. This paper proposes two diffusion progresses, in which isotropic diffusion to solves
the problem of speckle noise reduction and anisotropic diffusion to enhances edges and local details in
ultrasound images. Both these cases are controlled by the blended nonlinear diffusion using structure
tensor model. The proposed model combines between the regularized Perona-Malik process with the mean
curvature motion equation and structure tensor. The model performs simultaneous speckle noise reduction
in homogeneous region, structure enhancement in inhomogeneous region using nonlinear diffusion based
on local variations of the gradient orientation of an image. The paper also presents experimental results
carried out on ultrasound images affected by speckle noise for illustrating the effectiveness of the proposed
model.
Keywords: Edge, ultrasound image, enhancement, speckle, diffusion, isotropy, anisotropy, tensor,
structure, gradient, curvature.

I. MỞ ĐẦU
Tạo ảnh siêu âm đã đư ợc coi là một kỹ thuật mạnh trong hỗ trợ chẩn đoán y học, hữu hiệu
cho việc thăm khám các tổ chức mô mềm trong cơ thể người. Tuy nhiên ảnh siêu âm tạo ra còn
những hạn chế về chất lượng do bản chất vật lý siêu âm và của hệ thống quét ảnh làm ảnh
hưởng tới kỹ thuật chẩn đoán bệnh lý bằng hình ảnh. Một trong những nguyên nhân gây nên
hạn chế này là hiện tượng đốm lẫn trong tín hiệu ảnh siêu âm.
Giải pháp tăng tần số đầu dò để tăng độ phân giải ảnh được áp dụng, nhưng hạn chế chính
của nó là giảm chiều sâu thăm khám, ng oài ra giải pháp này còn làmăng
t
giá thành của hệ
thống tạo ảnh ảnh siêu âm.
Đốm ảnh siêu âm là nhiễu ngẫu nhiên và nhất quán với nguồn sóng âm, bởi vậy SNR của
ảnh không thể cải thiện được bằng cách tăng biên độ tín hiệu. Nhiều giải pháp giảm nhiễu
đốm, tăng cường biên ảnh siêu âm hai chiều, đa mức xám dựa vào xây dựng chương trình chạy
trên PC như: median, homomorphic Wiener, wavelet,... đã được đề xuất, nhưng tới nay vấn đề

này vẫn còn là thách thức đối với các nhà nghiên cứu. Nguyên nhân do các giải pháp này đòi
hỏi độ phức tạp tính toán cao và yêu cầu bộ nhớ không gian lớn [4]. Ngoài ra, việc xử lý tín
hiệu thu nhận trước tầng nén logarit của hệ thống siêu âm là khó khăn khi thực hiện trong thực
tế. Yêu cầu đối với các phương pháp làm trơn, không làm mất mát thông tin của ảnh phải có
tốc độ xử lý nhanh, đảm bảo sự hoàn thiện của ảnh, đơn giản dễ sử dụng và tự động.
1


Bài gửi đăng Tạp chí Tin học và Điều khiển học

Các nghiên cứu gần đây đều có xu hướng ứng dụng phương trình đ ạo hàm riêng trong bài
toán phân tích tiến trình khuếch tán mức xám các điểm ảnh trong một ảnh phẳng, từ đó đề xuất
các phương pháp lọc phi tuyến đẳng hướng và bất đẳng hướng. Phân tích sự phân bố mức xám
các láng giềng của điểm ảnh xét cho phép làm sáng tỏ những đặc tính đặc trưng của cấu trúc bề
mặt ảnh và hướng cục bộ. Hướng cục bộ biểu diễn đặc tính của các láng giềng cục bộ trong ảnh
được chia thành các hướng riêng rẽ, nó có thể biến đổi khuếch tán từ đẳng hướng tới bất đẳng
hướng tùy thuộc vào cấu trúc giá trị mức xám của các điểm ảnh.
Thiết kế các bộ lọc hướng khuếch tán gradient dựa theo cấu trúc giá trị mức xám của ảnh
dẫn tới việc tính toán một cách tự nhiên và hiệu quả. Một trong những công cụ hữu hiệu cho
xây dựng bộ lọc hướng khuếch tán gradient là sử dụng tensor cấu trúc. Bằng cách phân tích đặc
trưng hình học vi phân của cấu trúc hướng, tensor cấu trúc chứng tỏ hiệu quả trong phân vùng
ảnh, phát hiện biên, các góc ảnh. Tensor cấu trúc có khả năng mô tả bề mặt cục bộ của ảnh tốt
hơn gradient thông thường, bằng cách dựa trên các giá trị riêng và các vector riêng tương ứng
của nó, tensor tổng hợp các hướng chính của gradient trong các láng giềng riêng biệt của điểm
ảnh để xác định hướng khuếch tán nhất quán.
Phát triển mô hình khuếch tán phi tuyến Perona-Malik chỉnh hóa [1][6][9][12] kết hợp với
mô hình dò biên-làm trơn chọn hướng của L. Alvarez và cộng sự, trong đó hướng khuếch tán
tiếp tuyến của gradient với biên ảnh được ưu tiên [1][3][5], bài báo xây dựng một mô hình
giảm nhiễu đốm, tăng cường biên của ảnh siêu âm nén logarit, nghĩa là ảnh tại đầu ra của hệ
thống có hàm mật độ phân bố xác suất (PDF) gần giống với nhiễu Gauss, dựa vào sự ước

lượng hướng khuếch tán gradient cục bộ của tensor. Mô hìnhđ ề xuất phân tích các đạo hàm
hướng của cả vùng đồng nhất và miền biên ảnh, theo đó tại vùng đồng nhất hướng khuếch tán
của gradient là đồng đều, trong khi đó tại biên hay đường nối các điểm ảnh đồng mức xám
(isophote) hướng khuếch tán của gradient tiếp tuyến với nó được lựa chọn.
Bài báo ứng dụng phương trình đ ạo hàm riêng làm cơ sở để phân tích, xử lý đối với ảnh
siêu âm trong miền không gian, thời gian liên tục. Ảnh siêu âm là một hàm ảnh số trong tọa độ
không gian theo thời gian và là các số nguyên, thực tế này cho phép rời rạc hóa không gian,
thời gian của ảnh để xử lý hay chính là tìm nghiệm số của bài toán sai phân hữu hạn.
II. MÔ HÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN HỖN HỢP DÙNG TENSOR CẤU TRÚC
A. Mô hình khuếch tán phi tuyến hỗn hợp
Coi hàm ảnh u là một ánh xạ u : Ω → G trong miền không gian Ω ⊂  d , d ≥ 2 vào không
gian ảnh đa mức xám G . Giới hạn chỉ xét ảnh đa mức xám hai chiều và biểu diễn như một hàm

từ miền =
Ω : [ 0,1] × [ 0,1] ⊂  2 trong đoạn G ∈ [ 0,1] .
Mô hình đề xuất được phát triển từ mô hình Perona-Malik chỉnh hóa [6][12] kết hợp với mô
hình làm trơn ch ọn hướng khuếch tán [3][5], ta có phương trình:
 ∇u 
∂u ( x, y, t )
∇u
2
2
2
= h ∇Gσ ∗ u ∇u d vi  −
 + h ∇Gσ ∗ u + 2 ∇u h′ ∇Gσ ∗ u
∇u d vi
,
2
2
 ∇u 

∂t
∇
u


∂u ( x, y, t )
(1)
= 0, ( x, y ) ∈ ∂Ω, t > 0; u=
(0, x, y ) u0 ( x, y )
∂n
trong đó h( ∇Gσ ∗ u ) là hàm khuếch tán suy biến của phương trình ( 1); Gσ là hàm Gauss có
độ lệch chuẩn σ ; ∂Ω thuộc miền biên ảnh.
Tổng quát có thể thấy phương trình ( 1) khuếch tán theo hai hướng η ⊥ ξ và phụ thuộc vào
hệ phương trình chứa hai hệ số khuếch tán:
 c = h ∇G ∗ u 2
σ
 ξ

2
2
cη = h ∇Gσ ∗ u + 2 ∇u h′ ∇Gσ ∗ u

(

((

)

(
(

)
)

(

)

(

))

)

2


Bài gửi đăng Tạp chí Tin học và Điều khiển học

cη

lim cξ= β > 0, lim

- Tại vùng đồng nhất lim cη=
∇u → 0

∇u →∞

∇u → 0

cξ

= 1 cho phép khuếch tán đẳng hướng

với gradient nhỏ;
- Tại biên ảnh hoặc đường có các điểm ảnh đồng mức xám, theo điều kiện Neumman:
c
=
=
cη lim
cξ 0, lim η = 0 cho phép bảo toàn biên, các điểm ảnh đồng mức xám với
lim
∇u →∞
∇u →∞
∇u →∞ c
ξ
gradient lớn.
Mô hình sử dụng các hệ số khuếch tán vô hướng phụ thuộc vào cấu trúc ảnh. Do vậy, dòng
khuếch tán chính của các điểm ảnh luôn song song với hướng gradient của ảnh. Trong điều
kiện này mô hình đư ợc coi là khuếch tán phi tuyến đẳng hướng.
B. Phân tích mô hình khuếch tán phi tuyến hỗn hợp
Để phương trình (1) trở thành khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng, ta giả thiết tại biên ảnh
hoặc các điểm ảnh đồng mức xám cξ= β > 0 và cη = 0. Theo điều kiện Neumman:
- Hướng khuếch tán η vuông góc với biên ảnh hay đường có các điểm ảnh đồng mức xám
bị triệt tiêu để bảo toàn biên ảnh: lim cη = 0.
∇u →∞

- Điều kiện để làm trơn biên ảnh theo hướng tiếp tuyến với biên khi gradient lớn là:
c
lim cξ= β > 0 và lim η = 0 cho phép khuếch tán bất đẳng hướng để bảo toàn, tăng cường

∇u →∞
∇u →∞ c
ξ
biên ảnh với gradient lớn.
Ta có hệ phương trình (2) với các điều kiện tại biên:
 c = h ∇G ∗ u 2 > β
σ
 ξ
(2)

cξ , ∇u ≤ K
2
2
cη = h ∇Gσ ∗ u + 2 ∇u h′ ∇Gσ ∗ u = 
khác
0

Các điều kiện của (2) tại biên ảnh cho:

β 
2
=
lim h′ ∇Gσ ∗ u = lim  −
 0
∇u →∞
∇u →∞
∇
2
u




(

)

(

)

(

(

(

Như vậy, h′ ∇Gσ ∗ u

2

)

)

) là hàm suy biến khi

∇u > K . Do đó, có thể áp dụng được các kết

quả nghiên cứu của Perona-Malik đã được công bố trong trường hợp biến đổi này.
Trong trường hợp xét các điểm ảnh trên biên hoặc đường có các điểm ảnh đồng mức xám,

phương trình (1 ) thỏa mãn hệ phương trình (2 ) với điều kiện tại biên khi và chỉ khi
∂ t u =∇Gσ ∗ u κ =uξξ . Nghĩa là, khi gần tới biên ảnh ∇u phải giảm tốc độ khuếch tán sao cho

(

h ∇Gσ ∗ u

2

) → 1 . Mà h ( ∇G

σ

∗u

2

) đã được chứng minh là hàm suy biến theo

∇u , do vậy

cần phải biến đổi để phương trình (1) để điều kiện của hệ phương trình (2) tại biên thỏa mãn.
Phương trình khuếch tán phi tuyến đẳng hướng (1) cần biến đổi để thỏa mãn các điều kiện
giả thiết tại biên của hệ phương trình (2) như sau:
1
Cho α ( s ) =
là một hệ số được thêm vào phương trình (1) với điều kiện (2) tại
2
h ∇Gσ ∗ u

(

)

biên, phương trình của mô hình đ ề xuất được biểu diễn:
2
 ∇u  
h′ ∇Gσ ∗ u
∂u ( x, y, t )

= ∇u div  −
 + 1 + 2 ∇u
2
 ∇u 2  
∂t
h ∇Gσ ∗ u

 

(
(

)  ∇u div ∇u
∇u
) 

2

=

(3)

3


Bài gửi đăng Tạp chí Tin học và Điều khiển học

 ∇u 
∇u
= λ2 ∇u div  −
 + λ1 ∇u div
2
2
 ∇u 
∇u


∂u ( x, y, t )
= 0, ( x, y ) ∈ ∂Ω, t > 0; u=
(0, x, y ) u0 ( x, y )
∂n
Hệ số α ( s ) được thêm vào vế phải của phương trình ( 1) ảnh hưởng không đáng kể tới kết
quả làm trơn ảnh tại vùng đồng nhất và thỏa mãn đi ều kiện Neumann, nếu hàm khuếch tán

(

h ∇Gσ ∗ u

2

) → 1 khi ( ∇u ) → 0 và h ( ∇G

∗u

σ

2

) → 0 khi ( ∇u ) → ∞ . Tại biên hoặc đường

có các điểm ảnh đồng mức xám hệ số α ( s ) có tác dụng làm tăng nhanh tiến trình làm trơn, bảo
toàn biên ảnh [7] và đảm bảo độ ổn định sai số cho phép khi chọn tham số kích thước bước
thời gian, không gian trong sơ đồ sai phân hữu hạn hợp lý.
C. Chọn hàm khuếch tán
1
Trong mô hình Perona-Malik [1][8][12], hàm dừng biên g ( s ) =
suy biến theo độ
2
s
1+
K2
lớn gradient của ảnh trong khoảng [ 0,1] , được chứng minh là không thỏa mãn phương trình
parabol đồng biến. Thật vậy:
Phương trình của mô hình Perona-Malik [1][8][12] có thể biểu diễn như sau:

(

∂ t u= a11 ∇u

2

)u

xx

(

+ 2a12 ∇u

2

)u

xy

(

+ a22 ∇u

2

)u

(4)

yy

Phương trình (4) là phương trình parabol khi và chỉ khi:

∑

(

trong đó: aij ∇u

2

( ) ∇ u ≥ 0,
g ′ ( ∇u )
+
∇ u∇ u

i , j =1,2

)= g ( ∇u ) δ

aij ∇u

2

2
ij

(5)

2

2

ij

∇u

2

i

j

Giá trị riêng của (5) được tính bởi:
a11 + a22
2
2
det ( A − λ=
I)
± u x2 g ′ ( ∇u ) + u y2 g ′ ( ∇u ) ≥ 0
2
Từ đó ta có hai giá trị riêng theo hai hướng khuếch tán của gradient của (5) chứa hàm dừng
biên Perona-Malik:

)

(

(

Đặt g ∇u

λ1 = g ( ∇u

2

2

) + 2 ∇u g ′ ( ∇u 2 ) và λ2 =

g ( s ) và λ = g ( ∇u ) + 2 ∇I g ′ ( ∇u ) =
)=
2

g ( ∇u

2

)

g ( s ) + 2 sg ′ ( s )

2

1

Giá trị riêng=
λ2 g ( s ) ≥ 0 theo điều kiện đã cho, cần xác định dấu của λ1 tại mỗi vùng biến
đổi của ảnh.
Bổ đề (1): Phương trình (4) s ử dụng hàm dừng biên g ( s ) là đồng biến khi ∇I < K và là
parabol nghịch biến khi ∇I ≥ K .
Chứng minh:
Phương trình (4) là parabol đ ồng biến khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện λ1 ≥ 0
Khi đó :

Ta có các trường hợp sau:

1
1+ s

λ1 =2

+ 2s
K

2

−2 s

(

1+ s

2

K

2

) (
2

2

K2

1− 3 s 2
= K 2
2
1+ s 2
K

)

4


Bài gửi đăng Tạp chí Tin học và Điều khiển học

(i) Trường hợp 1: s= 0 < K khi đó λ1 = 1, phương trình (4) thỏa điều kiện λ1 ≥ 0, do đó (4)
là parabol đồng biến.
(ii) Trường hợp 2: s = K khi đó λ1 = −1, phương trình (4) không thỏa điều kiện λ1 ≥ 0 , dó
đó (4) là parabol nghịch biến.
(iii) Trường hợp 3: s > K và s → ∞ → s  K → lim λ1 ≈ −3 khi đó λ1 < 0, phương trình (4)
s →∞

∎
không thỏa điều kiện λ1 ≥ 0 , do đó (4) là parabol nghịch biến.
Hàm khuếch tán của phương trình (3) trong mô hình đ ề xuất là hàm phụ thuộc vào sự biến
đổi của gradient tại từng vùng đặc tính của ảnh xây dựng dựa theo hàm dừng biên g ( s ) , sao
cho (3) luôn là parabol đồng biến được chọn:
1
2
(6)
h ∇Gσ ∗ u =

2
∇u
1+
4K 2
trong đó ( 0 ≤ K ≤ 1) là ngưỡng tương phản tùy chọn.
Bổ đề (2): Phương trìn h (3) với điều kiện biên Neumann, sử dụng hàm khuếch tán

(

(

h ∇Gσ ∗ u

2

)

) là parabol đồng biến khi ∇I < K

và ∇I ≥ K và luôn thỏa mãn cácđi ều kiện

của hệ phương trình (2) tại biên với ∀ ∇u .
Chứng minh:
Phương trình (3) là parabol đồng biến và thỏa các điều kiện của hệ phương trình (2) tại biên
khi và chỉ khi (3) là parabol đồng biến.
2
−s 2
h′ ( s )
−4 s 2
K

Lấy đạo hàm của hàm khuếch tán (6) và tính thành phần=
=
2s
h ( s ) 1 + s2
s2 + 4K 2
2
4K
Phương trình (3) có λ2 = 1 , chỉ xét λ1 với các trường hợp sau:
(i) Trường hợp 1: s= 0 < K khi đó λ1 = 1, thỏa điều kiện λ1 ≥ 0, phương trình (3) là parabol
đồng biến và cξ = cη =β =1, do đó (3) thỏa điều kiện của hệ phương trình (2).

1
(ii) Trường hợp 2: s = K khi đó λ1 = , thỏa điều kiện λ1 ≥ 0, phương trình ( 3) là parabol
5
4
đồng biến và cξ= cη= β=
, do đó (3) thỏa điều kiện của hệ phương trình (2).
5
(iii) Trường hợp 3 : s > K , s → ∞ , khi đó lim λ1 ≈ 0, thỏa điều kiện λ1 ≥ 0, phương trình ( 3)
s →∞

có xu hướng dừng, đồng thời lim cη = 0, do đó (3) thỏa điều kiện của hệ phương trình (2).
s →∞

∎

D. Khai triển mô hình đề xuất theo tensor khuếch tán
Phương trình khu ếch tán phi tuyến bất đẳng hướng (3) với hàm khuếch tán vô hướng (6)
không cho đầy đủ thông tin về hướng khuếch tán, cũng như giá tr ị của của các điểm ảnh cục
bộ. Để khắc phục hạn chế này, ta cần phân tích biến đổi cục bộ của hướng gradient một cách

riêng rẽ cho làm trơn đồng thời vùng đồng nhất và biên ảnh hoặc đường có các điểm ảnh đồng
mức xám trong ảnh có cấu trúc.
Phát triển kết quả của Weikert [1][4][9][12], tensor khuếch tán D được thiết kế bằng cách sử
dụng tensor cấu trúc thay cho tensor Hessian. Tensor cấu trúc là công cụ mạnh trong ước lượng
thông tin về độ lớn điểm ảnh, hướng khuếch tán gradient vùng cục bộ của ảnh và không bị xáo
trộn về hướng của các vector riêng [1][4][12]. Tensor cấu trúc gradient T2D là ánh xạ

T2 D :  2 →  2×2 được xác định dạng ma trận 2×2 tại thang không gian và theo một hướng bất
kỳ của ảnh u(x,y) :
5


Bài gửi đăng Tạp chí Tin học và Điều khiển học

 u 2 uxu y 
ux 
T2 D =∇u∇u T =  u x u y  = x
2 
u x u y u y 
u y 
Tensor cấu trúc gradient là sự kết hợp tuyến tính bởi nó là trung
bình tổng trọng số các hướng của tensor tại một vùng ảnh cục bộ.
Trước khi thiết kế tensor khuếch tán cần phải thực hiện chuyển
đổi tọa độ cục bộ vector (x,y)T trong hệ tọa độ x ⊥ y tại điểm
O ∈ ∂Ω bất kỳ của ảnh 2D (Hình1) thành hệ tọa độ η ⊥ ξ :
η 
1
ξ  =
2
u x + u y2

 

 ux u y   x 
Hình 1. Chuyển đổi tọa độ
 −u
  
hướng khuếch tán cục bộ
 y ux   y 
tại miền biên ảnh
Khai triển phương trình (3) theo quan hệ giá trị riêng v, w
tương ứng với các vector riêng η || ∇u và ξ ⊥ ∇u của tensor cấu trúc gradient T2D . Tensor

khuếch tán D (T2D ) được xây dựng dựa trên những đặc tính của tensor cấu trúc [1][4][12] chứa
đầy đủ thông tin về dữ liệu cấu trúc cục bộ và hướng khuếch tán gradient cục bộ của ảnh được
điều khiển bởi hàm khuếch tán. Tensor khuếch tán D (T2D ) ∈  2×2 dạng đối xứng dương với các
giá trị riêng là vλ1 , wλ2 tương ứng với các vector riêng eη || ∇u và eξ ⊥ ∇u được thiết lập:

0  eη 
vλ
T
T
(7)
=
eξ   1
e  vλ1eη eη + wλ2 eξ eξ

 0 wλ2   ξ 
2

4 ∇uσ

∇uσ ≤ K
1 −
2
λ1 ≈  ∇uσ + 4 K 2
trong đó:

∇uσ > K
0
λ2 = 1
Các hệ số v, w phải thỏa mãn các điều kiện lọc nhiễu vùng ảnh cục bộ:
- Làm trơn trong miền đồng nhất: khi đó λ1 =λ2= β ≈ 1 , thực hiện lọc đẳng hướng, ngầm
=
D
(T2 D ) eη

định vλ1 =wλ2 ≈ β > 0 và D
=
(T2 D ) β ( eη eη T + eξ eξ T ) ;

- Bảo toàn và làm trơn biên ảnh: khi đó λ=
0, λ2= β ≈ 1 thực hiện lọc bất đẳng hướng,
1

ngầm định wλ2 > vλ1 ≈ 0 và D (T2 D ) = wβλ2 eξ eξ T .

Phương trình khuếch tán phi tuyến hỗn hợp (3) theo hai hướng khuếch tán chính η, ξ được
viết lại theo tensor khuếch tán:
  a b  ux  
∂u ( x, y, t )
1

(8)
= div ( D (T=
div

2 D ) ∇u )
  b c  u y  
∂t
u x2 + u y2
 


u (0, x, y ) = u0 ( x, y )
Với các điều kiện đầu, điều kiện biên: 
) ∇u,η 0, ( x, y ) ∈ ∂Ω, t > 0
 D (T2 D=
trong đó ⋅, ⋅ là tích vô hướng trong không gian vector Euclide và η vector hướng ra ngoài trên
trường  2 .

E. Rời rạc hóa mô hình khuếch tán phi tuyến hỗn hợp dùng tensor cấu trúc
Hàm ảnh u(x,y,t) cho trong phương trình (8) với các giá trị riêng vλ1 , wλ2 tương ứng các
vector riêng eη , eξ ∈  2 thực chất là ảnh rời rạc về không gian và thời gian. Do vậy, phương
6


Bài gửi đăng Tạp chí Tin học và Điều khiển học

trình (8) có thể chuyển đổi thành sơ đồ sai phân hữu hạn để tìm nghiệm là các điểm ảnh được
xử lý lọc nhiễu theo thời gian thực.
Rời rạc hóa phương trình (8) theo không gian: miền chữ nhật=
Ω ( 0,1) × ( 0,1) được rời rạc

hóa bằng lưới N = n × n các điểm ảnh, ta có kích thước bước lưới là ∆x = h1 , ∆y = h2 = h =
Đặt xi = ih, y j = jh trong đó 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n là bước lưới không gian theo hai hướng x,y.

1
.
n

Rời rạc hóa phương trình (8) theo thời gian: số lần rời rạc t k = k ∆t , ( k =0,1,..., [T / ∆t ]) , ∆t=τ

là kích thước bước thời gian.
Định nghĩa xấp xỉ rời rạc uijk : uijk ≈ u ( ih, jh, kτ ) , với điều kiện biên Neumann.
Bằng cách sử dụng rời rạc hóa sai phân hữu hạn phương trình (8), ta có:
uijk +1 =
uijk +

( ∇u

τ

k
i± 1 , j± 1
2
2

)

( A (u ) + C (u ) + B (u ))
k
ij

2

k
ij

k
ij

(9)

trong đó Aijk ( u ) , Cijk ( u ) , Bijk ( u ) biểu thị sự rời rạc hóa của các toán tử:

(

∂ x ( a∂ x u ) , ∂ y ( c∂ y u ) , ∂ x ( b∂ y u ) + ∂ y ( b∂ x u )

Đặt Lkij ( uijk ) là xấp xỉ sai phân của

( ∇u

1
k
i± 1 , j± 1
2
2

)

2

)

( A ( u ) + C ( u ) + B ( u ) ) tại bước thời
k
ij

k
ij

k
ij

gian k; u là vector chứa các giá trị của từng điểm ảnh.
Áp dụng phương pháp sai phân trung tâm Crank-Nicolson [1][11] có độ chính xác bậc nhất
theo thời gian ta có sơ đồ bán ẩn:
−1
=
m 2=
m 2
k +1
k +1
ll
=l 1
=i 1 j ≠ i

 τ
  τ
k  k
(10)
=

 I − 2 ∑ L   I + 2 ∑∑ Lij  u

 

trong đó m là số chiều của ảnh, trong trường hợp ta đang xét m=2; I ∈  2 là ma trận đơn vị;
Ma trận Lkll là xấp xỉ sai phân của toán tử đạo hàm bậc hai theo trục tọa độ thứ l tại điểm thời
gian rời rạc thứ k.
Sơ đồ (10) gọi là bán ẩn thỏa mãn mọi điều kiện ổn định của Von Neumann, cho phép mở
rộng bước thời gian tùy ý [1][4][11][12].
Tuy vậy, trong sơ đồ bán ẩn (10), các ma trận nghịch đảo tại mỗi bước lặp thời gian, do đó
tiêu hao thời gian tính toán. Khắc phục hạn chế này sử dụng xấp xỉ hệ các phương trình phi
tuyến bằng sơ đồ sai phân hữu hạn dựa vào tách toán tử cộng [4][11][12]:
τ k
1
 k
k +1 −1
k +1 −1  
k
+1
(11)
u k=
 (1 − τ L11 ) + (1 − τ L22 )  1 + ( L12 + L21 )  u
2
 2

 τ 2

Trong sơ đồ (11), thành phần 1 + ∑∑ Lkij  u k gồm các giá trị hàm của các mắt lưới đã biết
 2=i 1 j ≠i1 
tại mức thời gian k, cho phép xác định nghiệm ẩn của vector uk+1 tại mức thời gian k+1.

Áp dụng thuật toán khử Gauss để giải sơ đồ (11) bằng hệ phương trình đ ại số tuyến tính.
Phương pháp này tính toán các toán tử độc lập tại từng bước thời gian, sau đó lấy tổng, do vậy
tăng hiệu năng của tính toán. Có độ chính xác bậc nhất theo thời gian. Đây là thuật toán song
song và thực hiện nhanh cho ma trận nghịch đảo thông dụng [2][8].
u

(

)

III. MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
A. Lựa chọn tham số ngưỡng K cho mô hình đề xuất
Trong thực nghiệm sử dụng ảnh siêu âm thận Mode B sau nén logarit (Hình 3.a) thu nhận từ
7


Bài gửi đăng Tạp chí Tin học và Điều khiển học

đầu dò convex, f=3,5MHz, có mức xám ∈(0÷255), kích thước ảnh 256×256 pixel. Các chỉ tiêu
chất lượng ban đầu của ảnh siêu âm: SNR=15,2dB, PSNR=22,65dB và MSE=356,02.
Tham số ngưỡng tương phản K của hàm khuếch tán được sử dụng để cân bằng sự đồng biến
và nghịch biến trong tiến trình khuếch tán của các điểm ảnh. Trong thực nghiệm giá trị của
tham số K ∈ [ 0,1] lần lượt được cài đặt cho mô hình đ ề xuất với các tham số σ=1, τ=1,5, T=6.
Chọn tham số kích thước bước thời gian τ=1,5 cho sơ đồ sai phân dựa vào tách toán tử cộng để
thỏa hiệp giữa mục đích giảm số bước lặp, giảm sai số tính toán khi thực hiện phép lọc nhiễu
đốm và tăng cường biên ảnh, đồng thời tiết kiệm không gian bộ nhớ của PC [10]. Hiệu quả của
mô hình khuếch tán phi tuyến hỗn hợp dùng tensor cấu trúc được đánh giá thông qua các chỉ
tiêu chất lượng SNR, PSNR và MSE của ảnh siêu âm. Mỗi giá trị của K tương ứng với một chỉ
tiêu đánh giá chất lượng ảnh được xử lý biểu diễn bằng biểu đồ (Biểu đồ 1,2).
Số liệu trong Biểu đồ1 và Biểu đồ 2 cho thấy với các giá trị của=

K 0, 00 ÷ 0, 02 các chỉ tiêu
SNR, PSNR và MSE biến đổi nhanh, liên quan tới vùng ảnh có gradient lớn, tương ứng với biến
đổi độ tương phản ảnh. Trái lại, vùng ảnh có gradient nhỏ ( K > 0, 02), các chỉ tiêu trên biến đổi
rất chậm, tương ứng với làm trơn ảnh vùng đồng nhất. Mục đích chính của mô hình đ ề xuất tập
trung vào hai đặc tính giảm nhiễu đốm, đồng thời bảo toàn, tăng cường ảnh, do vậy trong thực
nghiệm chọn K = 0, 02.

Biểu đồ 1. Chỉ tiêu SNR và PSNR biến đổi
theo tham số K trong tiến trình xử lý ảnh
siêu âm thận (Hình 3) với 4 bước lặp.
Biểu đồ 2. Chỉ tiêu MSE biến đổi theo tham
số K trong tiến trình xử lý ảnh siêu âm thận
(Hình 3) với 4 bước lặp.
B. Kết quả làm trơn-tăng cường biên ảnh của mô hình lọc nhiễu đề xuất
Ảnh siêu âm gan Mode B thu nhận từ đầu dò convex, f=5MHz, có mức xám ∈(0÷255), kích
thước ảnh 256×256 pixel (Hình 2) được sử dụng khảo sát lần lượt sự khuếch tán mức xám của
các điểm ảnh tại cột thứ 128 trong ma trận điểm ảnh gốc lẫn đốm, ảnh được làm trơn-tăng
cường độ tương phản dùng mô hình đ ề xuất với 4 bước lặp và 6 bước lặp. Các tham số cài đặt
cho tiến trình thử nghiệm: σ=1, τ=1,5, T=6 và 9, K=0,02. Kết quả thể hiện các điểm ảnh của
ảnh gốc lẫn đốm có mức sai lệch lớn so với các láng giềng của chúng; ảnh được làm trơn-tăng
cường độ tương phản với 4 bước lặp giảm đáng kể mức sai lệch giữa các điểm ảnh so với các
láng giềng của chúng và bảo toàn được độ chói của các điểm ảnh; với 6 bước lặp các điểm ảnh
được làm trơn có kết quả tương tự với ảnh 4 bước lặp, tuy nhiên làm giảm độ chói của các
điểm ảnh, dẫn tới giảm độ tương phản các chi tiết trong ảnh.
Ảnh siêu âm với các chỉ tiêu cho trước dùng cho thực nghiệm trong mục (III.A) được sử
dụng làm dữ liệu đầu vào cho mô hình khuếch tán tăng cường biên ảnh (EED) truyền thống của
J.Weikert với hằng số Cm=3,31488, K=3,5 cho giá trị riêng λ1  ∇u [1][4][12], mô hình khuếch
tán phi tuyến đẳng hướng Perona-Malik với K=0,02 cho hàm dừng biên g ( s ) [1][4][8][12] và
8

Bài gửi đăng Tạp chí Tin học và Điều khiển học

mô hình đ ề xuất với K=0,02 cho giá trị riêng λ1  ∇u . Các tham số cài đặt cho các mô hình lọc
trong thực nghiệm: σ=1, τ=1,5, T=6, K=0,02.

Hình 2. Giảm đốm-tăng cường ảnh siêu âm gan (a)
dùng mô hình đề xuất với σ=1, τ=1,5, T=6, K=0,02 (b) và σ=1, τ=1,5, T=9, K=0,02(c)
Làm trơn–tăng cường ảnh của các mô
hình đư ợc minh họa (Hình 3.b, c, d) và
sự thay đổi mức xám của từng điểm ảnh
khi dùng các mô hình thử nghiệm so với
ảnh lẫn nhiễu đốm ban đầu (Hình 4).
Kết quả cho thấy sau 4 bước lặp,
chất lượng ảnh được cải thiện đối với cả
ba mô hình lọc. Mô hình Perona-Malik
giảm hiện tượng đốm, nhưng giảm độ
tương phản, do phương ình
tr c ủa mô
hình là khuếch tán phi tuyến đẳng
hướng; mô hình EED làm ơn
tr h ầu hết
đốm trên bề mặt và làm nhẵn biên ảnh,
do
−Cm
2


λ1 =
1 − exp 

, ∇uσ > 0
m 
2
 
  ∇uσ
 
K 

chứa thành phần suy giảm exp, dẫn tới

(

)
Hình 3. Thử nghiệm giảm nhiễu đốm, tăng cường
ảnh siêu âm thận (a) bằng mô hình EED (ảnh b),
mô hình P-M (ảnh c), mô hình đề xuất (ảnh d)
9


Bài gửi đăng Tạp chí Tin học và Điều khiển học

giữa hai vùng khuếch tán đồng biến, suy biến trên ảnh đều suy giảm tức thời, do vậy ảnh không
gần với ảnh thực tế thu nhận được từ hệ thống tạo ảnh siêu âm; mô hình đ ề xuất thực hiện được
mục đích giảm nhiễu, tăng cường độ tương phản ảnh và bảo toàn được các chi tiết từ ảnh siêu
âm ban đầu, do giá trị riêng λ1 trong phương trình (8) có t ốc độ suy giảm hàm đa thức, thích
nghi với chuyển đổi giữa khuếch tán đồng biến và nghịch biến.

Hình 4. Mức xám từng điểm
ảnh siêu âm thận lẫn đốm
(Hình 2.a), sau xử lý bằng

mô hình EED (Hình 2.b),
mô hình P-M (Hình 2.c) và
mô hình đề xuất (Hình 2.d)
Tỷ số tín hiệu - nhiễu (SNR), đỉnh tỷ số tín hiệu - nhiễu (PSNR), sai số trung bình bình
phương (MSE), độ phức tạp tính toán của thuật toán biểu diễn trong Bảng 1 là các chỉ tiêu
chính để đánh giá kết quả của các mô hình thử nghiệm.
Bảng 1. Chỉ tiêu đánh giá chất lượng ảnh của các mô hình thử nghiệm với σ=1, τ=1,5, T=6
Chỉ tiêu

MSE

SNR
(dB)

PSNR
(dB)

Chỉ tiêu

MSE

SNR
(dB)

PSNR
(dB)

Ảnh gốc

356,02

15,2

22,65

Mô hình P-M

171,427

17,048

25,824

Mô hình EED

119,779

19,064

27,381

Mô hình đề xuất

109,315

18,981

27,778

Chỉ tiêu SNR, PSNR, MSE đạt được trong kết quả thực nghiệm của mô hình đ ề xuất lần lượt

được so sánh với mô hình P-M và mô hình EED. Từ các kết quả đánh giá cho thấy mô hình đ ề
xuất có tác động đối với tiến trình nâng cao chất lượng ảnh bị nhiễu cả vùng đồng nhất và vùng
biên trội hơn so với mô hình P-M và tương đương với mô hình truyền thống EED là mô hình
đã được nhiều nhà nghiên cứu trong lĩnh vực xử lý ảnh tham khảo.
IV. KẾT LUẬN
Mô hình đ ề xuất đã phát triển và hoàn thiện mô hình Perona-Malik chỉnh hóa của Catté và
cộng sự bằng cách kết hợp với phương trình d ịch chuyển đường cong trung bình và biến đổi nó
thành các phần tử của ma trận tán xạ (tensor cấu trúc) để trở thành tensor khuếch tán. Sự kết
hợp các phương pháp và những biến đổi được thực hiện trong bài báo đã làm cho tiến trình
khuếch tán có cấu trúc rõ ràng và khắc phục hạn chế vốn có của từng mô hình đã đ ề xuất trước
đó. Đồng thời mô hình khuếch tán phi tuyến dùng tensor cấu trúc luôn thoả mãn nguyên lý cực
trị, nghĩa là bài toán phương trình đạo hàm riêng của mô hình là đ ặt chỉnh.
Đánh giá hiệu quả làm trơn, tăng cường biên ảnh thông qua phương pháp phân tích kết quả
các chỉ tiêu đo lường chất lượng SNR, PSNR, MSE và tính toán độ phức tạp thuật toán của ảnh
xử lý cho thấy mô hình đ ề xuất đang trong quá trình hoàn thiện nhưng đã ch ứng tỏ được khả
năng phát triển, có độ tin cậy và tính đúng đắn của nó.

10


Bài gửi đăng Tạp chí Tin học và Điều khiển học

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Gilles Aubert, Pierre Kornprobst, Mathematical Problems Image Processing, ISBN 11-387-95326-4, Springer Verlag New York. LLC,
2002.
[2] Andrei D. Polyanin, Alexander V. Manzhirov, Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists, ISBN‑10: 1‑58488‑502‑5, 13:
978‑1‑58488‑502‑3, ©Taylor & Francis Group, LLC, 2007.
[3] Luis Alvarez, Pierre-Louis Lions, Jean-Michel Morel, Image Selective Smoothing and Edge Detection by Nonlinear Diffusion II, SIAM
Journal on Numerical Analysis, Vol. 29, No. 3. pp. 845-866, Jun., 1992.
[4] Khaled Z. Abd-Elmoniem, Abou-Bakr M. Youssef and Yasser M. Kadah, Real-Time Speckle Reduction and Coherence Enhancement in

Ultrasound Imaging via Nonlinear Anisotropic Diffusion, IEEE Transactions on Biomedical Engineering-Vol.49 No. 9, September 2002, pp.
997-1014.
[5] Sigurd Angenent, Eric Pichon, and Allen Tannenbaum, Mathematical Methods in Medical Image Processing, Bulletin of the American
Mathematical Society Volume 43, Number 3, July 2006, Paper 365-396.
[6] Francine Catté, Pierre-Louis Lions, Jean-Michel Morel, Tomeu Coll, Image Selective Smoothing and Edge Detection by Nonlinear
Diffusion, SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 29, No. 1. pp. 182-193, Feb., 1992.
[7] Stephan Didas and Joachim Weickert, From Adaptive Averaging to Accelerated Nonlinear Diffusion Filtering, Springer-Verlag Berlin
Heidelberg, 2006.
[8] P. Perona, J. Malik, Scale-Space and Edge Detection using Anisotropic Diffusion, IEEE Transactions on Patern Analysis and IntelligenceVol.12 No.7, July 1990.
[9] Joachim Weickert, Applications of Nonlinear Diffusion in Image Processing and Computer Vision, Acta Math. Univ. Comenianae, Vol.
LXX, 1(2001), pp. 33–50, Proceedings of Algoritmy 2000.
[10] Joachim Weickert, Bart M. ter Haar Romeny, Max A. Viergever, Effcient and Reliable Schemes for Nonlinear Diffusion Filtering, IEEE
Transactions on Image Processing, Vol. 7, NO.3,pp. 398-410, March 1998.
[11] J. M.McDonough, “Lectures in Basic computational numerical analysis”, Departments of Mechanical Engineering and Mathematics
University of Kentucky, 2007.
[12] Joachim Weickert, “Anisotropic Diffusion in Image Processing”, B.G. Teubner Stuttgart, 1998.

11