Giải bài 1,2,3,4,5 trang 82,83 SGK đại số và giải tích 11: Phương pháp quy nạp toán học

Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 1,2,3 trang 82; Bài 4,5 trang 83 SGK đại số và giải tích 11: Phương
pháp quy nạp toán học. Đây là bài đầu tiên Chương 3 Đại số và giải tích lớp 11: Dãy số – cấp số
cộng cấp số nhân.
Xem lại:
• Bài tập SGK chương 2 đại số và giải tích lớp 11
• Giải bài ôn tập chương 2 đại số và giải tích 11: Bài 1,2,3, 4,5,6, 7,8,9, 10,11,12, 13,14,15 trang
76, 77, 78

A. Tóm tắt lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học
1. Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n ∈ N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán
học, được tiến hành theo hai bước như sau:
Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1.
Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (ta gọi là
giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Khi đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề P(n) đùng với mọi n ∈ N*
2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề P(n) lf đúng vơi mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số tự
nhiên) thì:
– Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = p.
Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ p) và chứng minh rằng nó
cũng đúng với n = k + 1.
3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên tuy không phải là chứng minh nhưng cho phép ta dự đoán
được kết quả. Kết quả này chỉ là giá thuyết và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán
học.
Một số bài toán thường gặp
– Chứng minh các mệnh đề toán học liên quan đến lập luận lôgic.
– Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức.
– Dự đoán kết quả và chứng minh.

A. Giải bài tập sách giáo khoa bài phương pháp quy nạp toán học – Sách giáo khoa
đại số giải tích lớp 11 trang 82,83
Bài 1 trang 82 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức:

Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:
a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng
(3+1) / 2 = 2
Vậy VT = VP hệ thức a) đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n ∈ N*
b) Với n = 1, vế trái bằng 1/2, vế phải bằng 1/2, do đó hệ thức đúng.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức b) đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta

có:

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ∈ N*
c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1) / 6 = 1 nên hệ thức c) đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

(đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi n ∈ N*
Bài 2 trang 82 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:
a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;
b) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9;
c) n3 + 11n chia hết cho 6.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:
a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) ⋮ 3
Ta phải chứng minh rằng Sk+1 ⋮ 3
Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9
hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)


Theo giả thiết quy nạp thì Sk⋮3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3) ⋮3 nên Sk+1 ⋮ 3.

Vậy (n3 + 3n2 + 5n) ⋮ 3 với mọi n ∈ N*

.

b) Đặt Sn = 4n + 15n – 1
Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 ⋮9
Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k – 1 chia hết cho 9.
Ta phải chứng minh Sk+1 ⋮ 9.
Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1
= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 9 nên 4S1 ⋮ 9, mặt khác 9(5k – 2) ⋮ 9, nên Sk+1 ⋮ 9
Vậy (4n + 15n – 1) ⋮ 9 với mọi n ∈ N*
c) Đặt Sn = n3 + 11n
Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 ⋮ 6
Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k ⋮ 6
Ta phải chứng minh Sk+1 ⋮ 6
Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11
= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)
THeo giả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4) ⋮ 6, do
đó Sk+1 ⋮ 6
Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N*
Bài 3 trang 82 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:
a) 3n > 3n + 1;

b) 2n + 1 > 2n + 3

Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:
a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là


3k > 3k + 1

(1)

Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:
3k + 1 > 9k + 3 ⇔ 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.
Vì 6k – 1 > 0 nên
3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.
tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
2k + 1 > 2k + 3

(2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh
2k + 2 > 2(k + 1) + 3 <=> 2k + 2 > 2k + 5
Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:
2k + 2 > 4k + 6 ⇔ 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.
Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5
Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
Bài 4 trang 83 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Cho tổng

với n ∈ N*

a) Tính S1, S2, S3.
b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:
a) Ta có:


b) Từ câu a) ta dự đoán Sn=n/(n+1) (1), với mọi n ∈ N* .
Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp
Khi n = 1, vế trái là S1 =1/2, vế phải bằng 1/(1+1)=1/2. Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = ≥ 1, tức là

Ta phải

chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh

Ta có

tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.
Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.
Bài 5 trang 83 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là
bài 5:

Đáp án và hướng dẫn giải

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n ∈ N* , n ≥ 4.
Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: 4(4-3)/2 = 2
Vậy khẳng định là đúng với n= 4.
Giả sử khẳng định là đúng với n = k ≥ 4, tức là đa giác lồi k cạnh có số đường chéo là k(k – 3)/2