Bài tập Nguyên Hàm Tích Phân luyện thi đại học Đại Số 12

LỚP HỌC BỒI DƯỠNG MƠN TỐN THẦY NAM

BÀI TẬP TÍCH PHÂN
Biên Soạn: Thầy Nam
ĐT: 0981 929 363

16


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

GV: LÊ NAM – 0981 929 363

BÀI TẬP TÍCH PHÂN
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng ngun hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x),
rồi sử dụng trực tiếp định nghóa tích phân:
b

 f ( x )dx  F(b)  F(a)

a

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
2

a)

3
 ( x  2 x  1)dx
1

1

2

d)

x



1 x

2

2

1

dx

e)

2

1

k)



x2  2x
x3

1



x

2

g)  ( x  1)( x  x  1)dx
2

2

b)  ( x 2 



2

c)

x 1
dx

x2

e

f)  ( x 
1

2



1 1

 x 2 )dx
x x2



4

i)

1

l)


1

2

4
dx
x2

h)  ( x 2  x x  3 x )dx

x  23 x  44 x dx

1

e2

dx

4

3
 e 3 x 1 )dx
x



2 x  5  7x
dx
x

5

dx

1

8
1
m)   4 x 

3
1
3 x2


dx



Baøi 2. Tính các tích phân sau:
2

a)

x  1dx



b)

x2  x 2

2

1

d)



2

0

xdx
1  x2

dx

e)

2

2

0 3

3x 2
1  x3

dx

c)  ( x 2  x x  3 x )dx

1

f)

4

0 x

x 2  9dx

Bài 3. Tính các tích phân sau:



a)  sin(2 x 
0


6


6

2

)dx

b)

 (2sin x  3cosx  x )dx



3

1

c)

  sin 3x  cos 2 x  dx

0


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

GV: LÊ NAM – 0981 929 363


4

d)

k)

3

tan x .dx



e)

2

cos x

4

2
 3tan x dx

 (2 cot

f)





4

6







2

2

0

g)





dx
 1  sin x
0

h)





3

2





(tan x  cot x )2 dx

l)


6

2

1  cos x
 1  cos x dx
0

 sin

i)

4

m)



sin(  x )
4

2

( x  1).dx

x.cos2 xdx






2

x  5) dx

0

sin(  x )
4
dx



2

2

 cos

4

x dx

0

Bài 4. Tính các tích phân sau:
1 x

a)

d)

e  e x



0e

x

ln 2

0

 e x

dx

b)

ex

dx
ex  1

k)

2 ecos x
0



e ln x

1

x

x 2  x ln x

1

e)



g)



sin xdx

h)

dx

l)

2 x
e x
e (1 
)dx
1
x



4e

1
1

0

x

x

1e

0

c)

dx

0

i)

1

e

1

2

xe x dx

m)



4

ex  2

1e

f)

2x

x

2x

dx

dx

1  ln x
dx
x
1

0 1 e

x

dx

VẤN ĐỀ 2: Tính các tích phân bằng phương pháp đổi biến số
b

Dạng 1: Giả sử ta cần tính  g( x )dx .
a

Nếu viết được g(x) dưới dạng:
Dạng 2: Giả sử ta cần tính

g( x )  f u( x ).u '( x )

thì

b

u( b )

a

u( a )

 g( x )dx 



f (u)du



 f ( x )dx .



Đặt x = x(t) (t  K) vaø a, b  K thoả mãn  = x(a),  = x(b)
thì







b

b

a

a

f ( x )dx   f  x (t ) x '(t )dt   g(t )dt

2

 g(t)  f  x(t).x '(t)


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

GV: LÊ NAM – 0981 929 363

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
Cách đổi biến

f(x) có chứa

Hoặc

Hoặc

Hoặc

Bài 1. Tính các tích phân sau: (đổi biến số dạng 1):
1

d)

2 3



5



0

n)

3



h)

x x2  4

0

e x dx



x

e

l)



ex  1

3


1





2

2


0

sin 2 x
cos x  4 sin x

2

1

2

f)  x 3 1  x 2 dx

1  x dx

0

dx

ln3

k)

e)

2x  1

0

g)

1

xdx



x5
dx
c)  2
x

1
0

x3
b) 
2 3
0 (1  x )

0

1

1

1

a)  x(1  x)19 dx

2

dx

0

ln 2

x5  2x3

dx

1 x2

i)



0

2  ln x dx
2x

e

m)


1

ex
1  ex

dx

1  3 ln x ln x
dx
x


3

cos x. sin x
dx
o) 
2
0 1  sin x

3

6

p)

 2 sin
0

sin 2 x
dx
x  cos 2 x

2


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

GV: LÊ NAM – 0981 929 363

Bài 2. Tính các tích phân sau: (đổi biến số dạng 2):
1
2

a)

1

dx



1 x

0

b)

2

0

3

d)



1

e)

dx



2

i)

1

2

k)

x2 1
dx
x3



2
2

dx

l)

x x2  1



0

4  x 2 dx

2

1

f)

2

x
1

dx
0 ( x 2  1)( x 2  2)

h)

x2  2x  2

3

4 x

c)

2

1

dx
0 x 2  3
0

g)



2

x 2 dx

x2
1  x2

x

4

0

xdx

 x2 1

1

dx



1  x 

2 5

0

2

m)  x 2 x  x 2 dx

dx

0

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp từng phần
Bài 1. Tính các tích phân sau:

a)





4

2

 x sin 2 xdx

b)

0

 ( x  sin


4

3

x cos



x) cos xdx

c)

0

2

d)

2
2

xdx

e)

2

cos xdx

0

 x tan

2

1

f)  ( x  2)e 2 x dx

xdx



0

x

0

4
ln 2

g)

 xe

e

x

dx

h)

0

i)  ln( x 2  x)dx
2



2

k)  e sin 5 xdx
3x

0

3
2
 x ln xdx

e

2

l)  e

cos x

m)  ln 3 xdx

sin 2 xdx

0

1

e

e

1

 x ln xdx
1



o)

3

p)

0

ln x
1 x 2 dx

q)

 x (e

1

e

4

2x

 3 x  1)dx


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

GV: LÊ NAM – 0981 929 363

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứ GTTĐ, ta cần xét dấu của f(x) rồi sử dụng cơng thức phân đoạn để
tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.

Bài 1. Tính các tích phân sau:
2

a)



2

x  2 dx

b)

0

3

d)



g)





c)

0

e)



3

( x  2  x  2 )dx

f)

2
2

x  6 x  9dx

h)

2

 2 x  3 dx



2

x

 4 dx

0

1

3

1

x
0

5

x 2  1 dx

3
4

2

x 2  x dx

x  4 x  4 x dx

3

2

i)

4  x dx



1

0

Bài 2. Tính các tích phân sau:

a)



1  cos 2 x dx

b)

d)





2

1  sin xdx

e)



0







2

2

tan x  cot x  2dx

3



h)





6



c)





3

g)

2

1  sin 2 x .dx

0

0







2


2



1  cos xdx

f)

sin x dx



1  cos2xdx

0

3

cos x cos x  cos xdx i)



2

1  sin xdx



0

2

VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Bài 1. Tính các tích phân sau:

dx
b)  2
0 x  5x  6

dx
a) 
3
1 x x
1

d)

x

 1  2 x 

3

0

3

1

3

c)

3

dx

e)

x 3 dx
0 x 2  2x  1
4

x 2 dx
2 1  x 9

f)

x
1

5

2

dx
(1  x)

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
4

g)

GV: LÊ NAM – 0981 929 363

dx

 x(x  1)

h)

k)

2 x3  6 x2  9x  9



x 2  3x  2

1

x

dx

3

l)



x 3  3x  2

2

2

1

d)



2

0 ( x  2) ( x  3)



1

x (1  x 4 )

2

k)

2

1

1



2
0 4 x

3x

dx

dx



f)

2

2

h)

1  x 2008



x (1  x 2008 )

2

l)



1  x2

4
1 1 x

x2



3
0 (3 x  1)

dx

x 3  2x 2  4x  9
dx
0
x2  4
2

1

e)

x  x 1
dx
x

1
0



m)

x3  x  1
dx
 2
x

1
0



1

dx

dx

3

1

c)

0

1

2

g)

b)

i)

2
dx
2
x 1

3

dx
0 x 2  2x  2

1

 5x  6

3x 2  3x  3

Bài 2. Tính các tích phân sau:

a)

2

0

2

0

4 x  11dx

1

1

dx

x



4

0 1 x
3

i)

x4



2 (x
1

dx



m)

dx

2

dx

 1)2

2  x4

2
0 1 x

dx

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vơ tỉ
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1

2 2

a)



x x 2  1dx

b)

0

0

2

d)

1
1

10

g)



7
3

k)



3

0

2
2

n)

x 1

dx

dx

x 1



0

3x  1

x2 1

6

x

e)

dx

2

h)

x

2

4x  1

f)

dx

l)



5

x4



x5  1

0

x  1dx
2

i)

 2
0

dx

3x  1

3

x5  x3

0

1  x2



m)

x x2  4

dx

4x  3

1

3

0

2 3

x 1  x

0

dx

 2x  1

dx



c)

1

x  2 x 1

5

 x

1

x3

2

1 x
dx
1 x

3

o)



2

2

dx

p)

x x2  1



1

6

dx
x x3  1

dx

dx


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

GV: LÊ NAM – 0981 929 363

Bài 2. Tính các tích phân sau:
1

a)

x

2

3

2

1  x dx

b)

d)



x  2008dx

1

dx

e)

x

3

1

dx



1 1 



2

h)

x  x2  1

1

2

10  x dx

f)

dx

l)



1  x 2 dx

1

x 3dx

0

x  x2  1

0

i)

x 2  2008

2
2

(1  x 2 )3

0





5
4

2

x dx





m)

1  x2

0

(1  x 2 )3

0

dx

1

dx



c)

0

2

2

k)

x2 x2  1

3

2

1

g)



1

0

2

x2  1

12 x  4 x 2  8dx

1

Bài 3. Tính các tích phân sau:

a)





2

2

2

cos xdx

0

0

2  cos2 x







2

2

cos xdx





6

1  cos3 x sin x cos5 xdx

e)

2
 sin x cos x  cos xdx



0

0




3

2

g)

b)

7  cos 2 x

0

d)





0

cos xdx

h)

1  cos2 x




4

sin 2 x  sin x
1  3cos x

dx

tan x
cos x 1  cos2 x

c)

f)

dx



3

cos xdx

0

2  cos 2 x




2

i)



sin 2 x  sin x

0

1  3cos x

dx

Bài 4. Tính các tích phân sau:
ln3

a)



0

ln3

d)



ln 2
ln3

g)



0

ln 2

dx

b)

ex  1

ln2 x
x ln x  1



0

0

dx

ex
(e x  1) e x  1

e)



e

e2 x dx

c)

ex  1

1

x(e2 x  3 x  1)dx

ln 2

f)

dx

h)



0



0

1
1



ex

e x  e x

ln 2

dx

i)



0

7

1  3ln x ln x
dx
x
e x dx
(e x  1)3

e x  1dx


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

GV: LÊ NAM – 0981 929 363

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Bài 1. Tính các tích phân sau:




4

4

a)  sin 2 x. cos xdx

b)

0


2

 tan xdx

sin x

 1  3 cos x dx

c)

0

0





2





2

2

2
4
 sin x cos xdx

0


2

 (sin

3

3

x  cos x )dx

0


2


3

 tan

3

xdx

o)

 tan

4

2


3

xdx

p)

q)



0



3

sin x
2

1  cos x

dx




4

4

2

sin 2 x cos x
dx
1  cos x
0



m)



0

x cos5 xdx



cos x
l) 
dx
cos x  1
0

4

4

0

3





 sin

i)

0

2

n)

0

h)  sin 2 x cos 3 xdx



k)

f)  cos 2 3 x

0

0

g)



e)  sin 2 xdx

d)  sin 3 xdx

dx
sin x.cos3 x

 /3

cos3 x
r) 
dx
1  cos x
0
2

s)



 /6 sin

dx
4

x.cos x

Bài 2. Tính các tích phân sau:

2

a)







1  cos 3 x sin x cos 5 xdx

0

1  sin 2 x  cos 2 x
dx
b) 
sin x  cos x


3

2

c)



e)

0

3

g)

 sin x.ln(cos x )dx

0

1  cos 2 x

dx



2

4
4
 cos 2 x(sin x  cos x )dx

tan x

4

6

d)


 cos x





4
0


4

h)



(tan x  e sin x cos x)dx

 1  sin x  sin 2 xdx
2

f)

3

2

0

3

sin x

2
2
5
0 (tan x  1) .cos x

8

dx


3

i)





1

2
2
 sin x  9 cos x
3

dx


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

GV: LÊ NAM – 0981 929 363

Bài 3. Tính các tích phân sau:

a)







2

2





1
dx
sin x

b)

2

dx
2  cos x



0

1

 2  sin x dx

c)

0

3

d)

g)

k)





2

2

cos x

 1  cos x dx
0

e)





0





2

2

1
 sin x  cos x  1 dx
0







2

3



0

(1  sin x ) cos x
2

(1  sin x )(2  cos x )

dx

l)

sin x

 2  sin x dx

f)

0





h)

2

cos x
dx
2  cos x



sin x  cos x  1
dx
sin x  2 cos x  3

4

dx

0

cos x cos( x  )
4



i)



2



3

dx





sin x cos( x  )
4
4



dx



m)



sin x sin( x  )
6
6



Bài 4. Tính các tích phân sau:

a)





2

4

 (2 x  1) cos xdx
0

d)





2

2

3
 sin xdx

e)

0



e

2x

2

sin xdx

4

l)

0

2

n)

 sin 2 x.e

sin x

e

0

sin x cos3 xdx

6

ln(sin x )

dx

2

cos x

2

dx

i)

 x tan

2

2

xdx

2

xdx

 (2 x  1) cos

0



xdx

m)

 x sin x cos

0

4

4

o)

2 x 1


3


2

dx

0

0



x

2

f)





2

0

x 2 cos xdx



h)

x

 cos






1

k)

3

c)

0

2

g)  cos(ln x )dx



xdx
b) 
1  cos 2 x
0

 ln(1  tan x )dx

0

p)

0

9

dx

 cos

4

x


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

GV: LÊ NAM – 0981 929 363

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân của các hàm số Mũ và Lơgarit
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1

a)

ln 8

d)



1



x
1 1 e
e

k)

0

ex 1

2

dx

dx

ln x





b)

ex

ln 3

g)

ln 2

e x dx
0 1  e x

dx
1 x (ln x  1)
2

e)



l)

e x  1.e 2 x dx

ln 3

e2 x

x
0 e 1



x

0e 4

e2 x

0e

x

1

dx

1

i)

e x



x
1
0e
ln3

dx

dx

1 ex
dx
1 ex



f)

0



1

1



c)

ln 2

ln 8

2

h)

1

dx
x
e 5

1



m)

dx

ex  1

0

dx

Bài 2. Tính các tích phân sau:

2

2

a)

e

x

sin xdx

b)

 xe

1

2x

dx

0

0

d)  (e  cos x) cos xdx
x

e)

0



2

k)



1

 x ln 1  x dx

f)

ln x  ln(ln x )
dx
x



 ln x
h)  
 ln 2
1  x ln x  1
e


x dx


e3

i)

ln(ln x )
dx
x

2
e



ln x
x2

dx

3

l)





dx

1  ln2 x
dx
x

1

0

e2
e

e

1

2

x

0



g)

 xe

c)



1

ln(sin x )
dx
cos2 x

m)

6

10

ln( x  1)
dx
x

1
0




NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

GV: LÊ NAM – 0981 929 363

VẤN ĐỀ 9: Thiết lập công thức truy hồi.
b

Giả sử cần tính tích phân: I n   f ( x , n)dx (n  N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta thường gặp một số
a

yêu cầu sau:

 Thiết lập biểu thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1  k  n).
 Chứng minh một cơng thức truy hồi cho trước.
 Tính một giá trị I n cụ thể nào đó.
0

Bài 1. Lập cơng thức truy hồi cho các tích phân sau:

2

a) I n   sin n xdx
0

n1

 Đặt: u  sin x
dv  sin x.dx


2

b) I n   cosn xdx
0

n1

 Đặt: u  cos x
dv  cos x.dx


4

c) I n   tan n xdx

 Phân tích: tann x  tan n2 x  tan2 x  1  tan n2 x

0



d) I n 

2

x

n

cos x.dx

0

n

 Đặt u  x
dv  cos x.dx



Jn 

2

x

n

sin x.dx

0

1

e) I n  x n e x dx
0

e

f) I n   ln n x.dx
1

n

 Đặt u  x
dv  sin x.dx




 Đặt u  x

n

x

dv  e .dx

n

 Đặt u  ln x
dv  dx

11


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
1

g) I n   (1  x 2 )n dx

GV: LÊ NAM – 0981 929 363

 Đặt x  cos t

2n

Đặt u  sin t
dv  sin t.dt



0

1

h) I n  

dx

0 (1  x

 Phân tích

2 n

)

1

1

x2

Tính Jn  

2 n
0 (1  x )

1

i) I n   x n 1  x .dx
0



(1  x 2 )n

1  x2
(1  x 2 )n



x2
(1  x 2 )n

u  x

x
Đặt 
dv 
dx
2 n

(1

x
)


dx .

n


 Đặt u  x


dv  1  x .dx



k) I n 

4



0

dx
n

cos x

dx  Phân tích

1
n

cos x



cos x
cos

n1

12

x

 Đặt t 

1
cosn1 x