Bài tập nguyên hàm, tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (271.39 KB, 23 trang )
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
x
Cx
xx
++−
x
x
+
C
x
x
+−
x
x
−
x
x
x
−
C
x
x
x
++−
xxx
++
C
xxx
+++
xx
−
Cxx
+−
x
x
−
Cxxx
++−
x
x
−
Cxx
+−
x
Cxx
++
xx
xx
x
Cx
+−
Cxx
+−−
!
!
Cee
xx
+−
!
x
e
x
−
!
C
a
a
xx
++
!
Ce
x
+
+
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
"#$
"
#$%
+−
x
x
"
xx
−
#$
−−
xxx
"
+
x
#$
−++
x
x
x
"
#$
6"
&&'&
=−==
fff
x
b
++
x
x
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
()*+
∫
dxxuxuf ',-
./01*234
34
dxxudt '
=⇒
+
∫ ∫
=
dttfdxxuxuf ',-
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
∫
−
dxx
∫
−
x
dx
dxx
∫
−
∫
−
x
dx
∫
+
xdxx
∫
+
dxxx
xdxx
∫
+
∫
+
dx
x
x
∫
+
dx
x
x
∫
+
xx
dx
dx
x
x
∫
∫
+
dxex
x
∫
xdxx
∫
dx
x
x
∫
gxdx
∫
x
tgxdx
∫
x
dx
∫
x
dx
∫
tgxdx
∫
dx
x
e
x
∫
−
x
x
e
dxe
∫
dx
x
e
tgx
∫
−
dxx
∫
−
x
dx
∫
−
dxxx
∫
+
x
dx
∫
−
x
dxx
∫
++
xx
dx
∫
xdxx
dxxx
∫
−
∫
+
x
e
dx
dxxx
∫
+
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
5644&#$**$7892:*$7;<=;+
∫ ∫
−=
dxxuxvxvxudxxvxu ''
>?
∫ ∫
−=
vduuvudv
#@A44"A&A##"A
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
∫
xdxx
∫
xdxx
∫
+
xdxx
∫
++
xdxxx
∫
xdxx
∫
xdxx
∫
dxex
x
∫
xdx
∫
xdxx
dxx
∫
∫
x
xdx
∫
dxe
x
∫
dx
x
x
∫
xdxxtg
∫
dxx
∫
+
dxx
∫
xdxe
x
∫
dxex
x
∫
+
dxxx
∫
xdx
x
∫
xdxx 0
∫
+
dxxx
∫
+
dx
x
x
∫
xdxx
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
x x dx+ +
∫
2.
e
x x dx
x x
+ + +
∫
2.
x dx−
∫
3.
x dx+
∫
4.
x cosx x dx
π
π
+ +
∫
5.
x
e x dx+
∫
6.
x x x dx+
∫
7.
x x x dx+ − +
∫
8.
x cosx dx
x
π
π
+ +
∫
9.
x
e x dx+ +
∫
10.
x x x x dx+ +
∫
11.
x x x dx− + +
∫
12.
A( ).
−
+
∫
13.
2
2
-1
x.dx
x +
∫
14.
!
A
− −
∫
15.
5
2
dx
x 2+ + −
∫
16.
A
( ).
ln
+
+
∫
17.
A
cos .
sin
π
π
∫
18.
0 A
.
cos
π
∫
19.
! !
! !
dx
−
−
−
+
∫
20.
! A
! !
.
−
+
∫
21.
A
+
∫
22.
A
! !
ln
.
−
+
∫
22.
A
sin
π
+
∫
24.
∫
−
++
dxxx
25.
∫
−−
dxxx
26.
∫
−
−
dxxx
27.
∫
−
−
dxx
28.
dx
xx
∫
+
29.
∫
−
dx
x
xx
30.
∫
e
e
x
dx
31.
∫
dxx
32.
dx
x
xx
e
∫
−+
33.
dx
x
x
∫
−
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
xcos xdx
π
π
∫
2.
xcos xdx
π
π
∫
3.
x
dx
cosx
π
+
∫
3.
tgxdx
π
∫
4.
gxdx
π
π
∫
5.
xcosxdx
π
+
∫
6.
x x dx+
∫
7.
x x dx−
∫
8.
x x dx+
∫
9.
x
dx
x +
∫
x x dx−
∫
dx
x x +
∫
dx
x+
∫
dx
x x
−
+ +
∫
dx
x +
∫
dx
x+
∫
x
e cosxdx
π
π
∫
cosx
e xdx
π
π
∫
18.
x
e xdx
+
∫
19.
xcos xdx
π
π
∫
20.
x
e cosxdx
π
π
∫
21.
cosx
e xdx
π
π
∫
22.
x
e xdx
+
∫
xcos xdx
π
π
∫
xcos xdx
π
π
∫
x
dx
cosx
π
+
∫
tgxdx
π
∫
gxdx
π
π
∫
xcosxdx
π
+
∫
x x dx+
∫
30.
x x dx−
∫
31.
x x dx+
∫
32.
x
dx
x +
∫
33.
x x dx−
∫
34.
dx
x x +
∫
35.
e
x
dx
x
+
∫
36.
e
x
dx
x
∫
37.
e
x x
dx
x
+
∫
38.
e
x
e
dx
x
+
∫
39.
e
e
x
dx
x x
+
∫
40.
e
e
dx
cos x+
∫
41.
x
dx
x+ −
∫
42.
x
dx
x +
∫
43.
x x dx+
∫
44.
dx
x x+ +
∫
45.
dx
x x+ −
∫
46.
x
dx
x
+
∫
e
x
dx
x
+
∫
47.
e
x
dx
x
∫
48.
e
x x
dx
x
+
∫
49.
e
x
e
dx
x
+
∫
50.
e
e
x
dx
x x
+
∫
51.
e
e
dx
cos x+
∫
52.
+
∫
x x dx
53.
( )
+
∫
x xdx
π
54.
x dx−
∫
55.
x dx−
∫
56.
dx
x+
∫
57.
dxe
x
∫
−
+
58.
∫
−
dxe
x
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
1
0
x
dx
2x 1+
∫
1
0
x 1 xdx−
∫
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
3
2
0
4sin x
dx
1 cos x
π
+
∫
4
2
0
1 sin 2x
dx
cos x
π
+
∫
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
2
6
1 sin 2x cos2x
dx
sin x cos x
π
π
+ +
+
∫
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
dxxx
∫
−
π
∫
+
π
dx
x
x
∫
+
π
dx
x
x
∫
−
π
dx
x
x
∫
−
−+
+
dx
xx
x
∫
++
−
xx
dx
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
2
5
0
cos xdx
π
∫
4
2
0
sin 4x
dx
1 cos x
π
+
∫
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
2
2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+
∫
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫
e
1
1 ln x
dx
x
+
∫
4
0
1
dx
cos x
π
∫
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫
6
2
0
cos x
dx
6 5sin x sin x
π
− +
∫
3
4
0
tg x
dx
cos 2x
∫
4
0
cos sin
3 sin 2
x x
dx
x
π
+
+
∫
∫
+
π
dx
xx
x
∫
−+
−
xx
ee
dx
∫
+
π
dx
x
x
∫
π
π
dx
x
tgx
∫
−
π
dxxtg
∫
+
−
π
π
dx
x
xx
∫
+
+
π
dx
x
xx
∫
+
π
dx
x
xx
∫
+
π
xdxxe
x
∫
−+
dx
x
x
∫
+
e
dx
x
xx
∫
+
−
π
dx
x
x
1
2
0
1 x dx−
∫
1
2
0
1
dx
1 x+
∫
1
2
0
1
dx
4 x−
∫
1
2
0
1
dx
x x 1− +
∫
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +
∫
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +
∫
2
2
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
2
2 2
1
x 4 x dx−
∫
2
3
2
2
1
dx
x x 1−
∫
3
2
2
1
9 3x
dx
x
+
∫
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫
2
0
cos
7 cos 2
x
dx
x
π
+
∫
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
∫
++
−
xx
dx
∫
++
x
dx
∫
−
−
dx
x
xx
8
2
3
1
1
dx
x x +
∫
7
3
3 2
0
1
x
dx
x+
∫
3
5 2
0
1x x dx+
∫
ln2
x
0
1
dx
e 2+
∫
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫
2
2 3
0
1x x dx+
∫
∫
+
xx
dx
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
B0*C)*D*EF0D*GH
4 #' '
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
IDa
̣
ng 1
ax
ax
f x cosax dx
e
β
α
∫
'
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= =
⇒
= =
∫
IDa
̣
ng 2:
f x ax dx
β
α
∫
J
K
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx
=
=
⇒
=
=
∫
IDa
̣
ng 3:
∫
ax
ax
e dx
cosax
β
α
LM
N
A4
K
HM
N
*
N
M
N
*D*E4
%
x
x e
dx
x +
∫
2J
K
x
u x e
dx
dv
x
=
=
+
.%
x dx
x −
∫
2J
K
u x
x dx
dv
x
=
=
−
%
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
+ −
= = − = −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
(M
N
*+
dx
x
=
+
∫
.J
O
0D*PQ0D*
N
D2B
R
.;
N
B
N
(M
N
*+
x dx
x+
∫
.J
O
0D*PQ0D*
N
DP
O
0D*E
O
H2J
K
u x
x
dv dx
x
=
=
+
Bài tập
e
x
dx
x
∫
e
x xdx
∫
x x dx
+
∫
e
x xdx
∫
e
x
dx
x
∫
e
x xdx
∫
x x dx
+
∫
e
x xdx
∫
x c dx
π
+
∫
e
x xdx
x
+
∫
x x dx
+
∫
x xdx
π
π
∫
13.
x
dx
x
∫
14.
x xdx
π
∫
15.
x
xe dx
∫
16.
x
e xdx
π
∫
Tính các tích phân sau
1)
∫
dxex
x
2)
∫
−
π
xdxx
3)
∫
−
π
xdxx
4)
∫
π
xdxx
5)
∫
e
xdxx
6)
∫
−
e
dxxx
7)
∫
dxxx
8)
∫
+
dxxx
9)
∫
+
dxex
x
10)
∫
π
dxxx
11)
∫
π
dxxx
12)
∫
+
π
dxxxx
