Một số kinh nghiệm khi giảng dạy phần “dao động tắt dần ” lớp 12

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Khi giảng dạy phần “dao động tắt dần ” lớp 12 tôi nhận thấy hầu hết các em học
sinh đều rất lúng túng khi làm các bài tập có liên quan đến dao động tắt dần.
Bởi đây là phần có nhiều dạng bài tập khó, có nhiều công thức cần nhớ và việc
áp dụng các công thức toán học tương đối phức tạp. Khó khăn lớn nhất của các
em là việc xác định bài toán thuộc dạng nào để ra đưa phương pháp giải phù
hợp cho việc giải bài toán đó.
Mặt khác, trong giai đoạn hiện nay khi mà hình thức thi trắc nghiệm được áp
dụng trong các kỳ thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học cao đẳng, yêu cầu về
phương pháp giải nhanh và tối ưu cho các em là rất cấp thiết để các em có thể
đạt được kết quả cao trong các kỳ thi đó.

Trang | 1


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận.
1.1. Hiện tượng tắt dần của dao động cơ.
Một vật thực hiện dao động điều hòa chỉ trong điều kiện lí tưởng. Trên
thực tế các vật khi dao động đều chịu tác dụng của lực cản trên bề mặt tiếp xúc
và lực cản của môi trường dao động. Điều này làm cho năng lượng của vật dần
mất đi dẫn đến hiện tượng tắt dao động.
Hiện tượng các dao động của các vật bị tắt (dừng lại) sau một khoảng thời
gian nào đó được gọi là hiện tượng tắt dần của dao động cơ.
1.2. Dao động tắt dần chỉ chịu tác dụng của lực ma sát có độ lớn không đổi.
Trước tiên để hiểu rõ được tại sao dao động tắt dần ở THPT có chu kì dao động
và biên độ hoàn toàn xác định. Ta khảo sát bài toán con lắc lò xo chịu thêm tác
dụng của một lực không đổi( chiều và độ lớn) sau:
Bài toán 1: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và một lò xo có độ
cứng k. Hệ được đặt trên mặt phẳng ngang nhẵn. Vật đang đứng yên, tác dụng
lên vật bằng một lực F không đổi. Bỏ qua lực cản của môi trường. Chứng minh

vật dao động điều hòa với chu kì đúng bằng chu kì riêng.
k

m

m

O

O1

Hướng dẫn

Trang | 2

r
F
x


Chọn trục tọa độ hướng dọc theo trục lò xo, gốc tọa độ trùng với vị trí lò
xo không biến dạng.
Sau khi có lực tác dụng vị trí cân bằng của vật lúc này tại O 1. O1 cách vị
F
k

trí lò xo không biến dạng một đoạn x0 với F = - kx 0 → x 0 = - .
Tại tọa độ x > 0 thì độ biến dạng của lò xo là x nên hợp lực tác dụng lên
vật là: - kx + F = ma.
Thay biểu thức của vào, ta nhận được:

F

- k  x - ÷ = ma → - k x - x 0 = ma ( 1.3a )
k


(

)

0

Đặt X = x – x

Ta có X’’ = x’’ = a, phương trình 1.3a trở thành : - k X = mX’’ hay

X'' +

Trong đó ω =

k
X = 0 → X = ACosωt+φ
(
m

) →x = X + x

0

=x

0

+ACos ωt+φ
(

)

k
. Như vậy vật dao động điều hòa với chu kỳ đúng bằng chu kì
m

dao động riêng T = 2π

m
quanh vị trí cân bằng O1.
k

Từ kết quả trên ta suy ra vật dao động điều hòa với chu kì đúng bằng chu kì
riêng và vị trí cân bằng của vật chính là vị trí lực đàn hồi cân bằng với lực F.

Trang | 3


Liên hệ với bài toán, ta sẽ phân tích quá trình dao động tắt dần thành
nhiều giai đoạn khác nhau để có thể áp dụng được kết quả của bài toán.
Để ý rằng lực ma sát khô ta đang xét chính là lực ma sát trượt. Lực này
luôn có hướng ngược hướng chuyển động, độ lớn không đổi. Như vậy trong một
quá trính dao động, trước khi vật đổi chiểu thì ta coi bài toán dao động tắt dần
trở về bài toán của con lắc lò xo chịu tác dụng của một lực có độ lớn và hướng

không đổi và áp dụng được kết quả trên. Chỉ có điều dao động ấy phức tạp hơn
ở các chỗ:
Vị trí cân bằng phụ thuộc hướng của lực có độ lớn không đổi do đó ở dao
động tắt dần trong mỗi lần đồi chiều thì vị trí cân bằng lại thay đổi, về mặt định
lượng thì khoảng cách từ 2 vị trí cân bằng ấy đến vị trí lò xo không biến dạng là
bằng nhau.
Ta luôn luôn xét được 1 nửa dao động bởi một nửa sau ( sau khi đổi
chiểu) vật lại dao động với biên độ và vị trí cân bằng khác.
Bài toán 2: Con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và lò xo có độ cứng k.
Con lắc đặt trên mặt phẳng nằm ngang. Tại thời điểm ban đầu người ta kéo vật
dịch khỏi vị trí lò xo không biến dạng một đoạn A0 rồi thả nhẹ. Cho rằng hệ số
ma sát trượt giữa vật và giá là không đổi và bằng μ , bỏ qua lực ma sát nhớt của
môi trường.
Để giải quyết bài toán này ta cần bổ sung các bổ đề và một số lý thuyết sau:
+ Sự bảo toàn năng lượng

Trang | 4


Ở thời điểm t, vật đang ở vị trí có li độ x ( so với vị trí lò xo không biến dạng),
với vận tốc v và đã đi được quãng đường S khi đó ta có: E 0 - Es = A ms

→

1 2 1 2 1
kA 0 - kx - mv 2 = Fms .S
2
2
2

+ Vị trí cân bằng tạm thời
Gọi vị trí lò xo không biến dạng là vị trí O.
Ban đầu kéo vật đến vị trí P cách vị trí lò xo không biến dạng một đoạn
OP = A0.
Trong quá trình chuyển động về vị trí lò xo không biến dạng ( P

O) vật chịu

thêm lực tác dụng của lực cản giữa vật và sàn, cụ thể là lực ma sát trượt. Rõ ràng
điều kiện ban đầu phải thỏa mãn lực đàn hồi có độ lớn lớn hơn độ lớn lực ma sát
trượt thì vật mới chuyển động về O được.
Nghĩa là: kAμmg
0 >

hay A 0 >

μmg
(*)
k

Khi thỏa mãn (*), vật sẽ chuyển động về O. Trong quá trình này, lực ma
sát trượt có độ lớn không đổi, lực đàn hồi kéo vật về có độ lớn giảm dần. Đến vị
trí O1 lực đàn hồi có độ lớn bằng với độ lớn của lực ma sát trượt, nên ta gọi O 1 là
vị trí cân bằng của vật ( không phải là vị trí O).

Trang | 5


m

.
O

.
P

-A0

1

m
P

.O
x0

x0

.O

2

.+AQ

0

x

A0

r
Fmst

.

O1

r
F
m dh
x0

A0
m

r
r
Fdh m Fmst
x0

Q

O2

Hình vẽ biểu thị vị trí lò xo không biến dạng O và hai vị trí cân bằng tạm thời O 1,
O2

Vị trí O1 nằm giữa P và O. Tương tự như vậy, trường hợp khi vật chuyển
động từ Q về O thì vật có vị trí cân bằng là O 2 giống với O1. Do đó trong quá
trình dao động qua lại vật có hai vị trí cân bằng, ta tạm gọi đó là hai vị trí cân

bằng tạm thời.
Gọi tọa độ của O1 và O2 là x0. Dễ dàng thấy được tại O1 và O2 ta có
Fđh = Fmst hay x 0 = ±

μmg
( 2.2a)
k

Vậy trong bài toán tắt dần của dao động cơ, ta để ý đến 3 vị trí đặc biệt.
Vị trí lò xo không biến dạng O
Hai vị trí cân bằng tạm thời O 1 và O2 nằm cách vị trí lò xo không biến

dạng một đoạn δ =

μmg
k

Trang | 6


+ Độ giảm biên độ của vật sau một chu kì
Cách lý giải 1: (Theo quan điểm năng lượng )
Rõ ràng ta không thể chọn một vị trí cân bằng nào cố định để tính biên độ,
mà mỗi một lần đổi chiều dao động thì biên độ sẽ ứng với vị trí cân bằng khác
nhau. Do đó ta tạm coi rằng khoảng cách xa nhất của vật tới vị trí lò xo không
biến dạng O là biên độ dao động tạm thời.

.

r

v

.

O

P
A
1 4 4 4 4 2 04 4 4 4 3

M

.

.Q

x

A
∆A
1 4 4 2 1/24 4 3142 41/23

A
1 4 4 4 4 2 04 4 4 4 3
Theo điều giả sử trên ta tính được độ giảm biên độ sau ½ chu kì dao động
như sau:
Giả sử sau ½ T đầu, vật dao động từ P rồi dừng lại và đổi chiều tại M. ( Nếu
không có ma sát thì vật sẽ dao động và đổi chiều tại Q đối xứng với P qua O ).
Như vậy lượng giảm biên độ của vật sau ½ T chính là đoạn MQ.
Tính MQ = ΔA1/2

Chọn mốc thế năng đàn hồi tại vị trí lò xo không biến dạng O. Mốc thế
năng trọng trường là mặt phẳng ngang.
Thế năng trọng trường của hệ bằng 0.
Tại P.
Năng lượng của hệ tồn tại dưới dạng thế năng đàn hồi của lò xo:
Trang | 7


EP =

1
1
kΔl2p = kA 02
2
2

Tại M
Vật đổi chiều (vM = 0) nên tại M năng lượng của hệ:
EM =

1
1 2
kΔl2M = kA1/2
2
2

Với A1/2 là biên độ của vật sau 1/2T.
Độ giảm năng lượng của hệ sau 1/2T:
ΔE = E P - E M =

1 2 1 2
kA 0 - kA1/2 (2.3.a)
2
2

Lực ma sát sinh công âm có độ lớn:
A ms = Fmst .S=μmgS

Dựa vào hình vẽ ta có: S = A0 – A1/2
Do đó : A ms =μmg (A 0- A 1/2 ) (2.3.b)
Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:
∆E = A ms ,

ΔA1/2 = 2

kết hợp với (2.3.a) và (2.3.b) và ΔA1/2 = ( A 0 - A1/2 ) ta được

μmg
= 2δ
k

Vậy độ giảm biên độ sau 1 chu kì của vật được xác định: ∆A = 2.ΔA1/2 = 4
Cách lý giải 2: ( Theo quan điểm biên độ với vị trí cân bằng tạm thời)
Sẽ ngắn gọn hơn nếu ta chú ý rằng:

Trang | 8

μmg
k

Trong ¼ T chu kì đầu vật dao động từ P hướng tới O, vật sẽ nhận vị trí O 1

r

làm vị trí cân bằng tạm
v thời ”
P

O1

.

O

.

O2

.

A1/4 = A0 - δ 1 2δ 3
1 4 442 4 4 43

Do vậy trong ¼ chu kì này biên độ dao động của vật đã giảm đi một lượng đúng

bằng OO1 = xδ0 = =

μmg
( theo 2.2a)

k

Vậy sau một chu kì, biên độ của vật giảm ∆A = 4δ = 4

μmg
k

Nhận xét: Trong hai cách lí giải trên, cách lí giải 1 có tính thuyết phục cao hơn
về mặt bản chất vật lý, nhưng so với phương pháp giải trắc nghiệm thì cách lí
giải 2 nhanh về dễ hiểu hơn nhiều, hơn nữa cách lí giải 2 sẽ giúp tìm tốc độ cực
đại của vật một cách nhanh chóng chứ không phức tạp theo cách lí giải 1.
+ Các bổ đề về sự dừng lại của vật.
Dễ dàng thấy rằng, vị trí vật dừng lại phải nằm trong khoảng từ O1 đến O2.
Gọi An là biên độ của vật sau n nửa chu kì. Ta có 3 bổ đề sau:

r
v

. .

.

O đó luôn O2Sthêm = 0.
O1 lại tại vị trí
Bổ đề 1: Nếu An = δ thì vật sẽ dừng
P
N

.

Bổ đề 2: Nếu 2 δ > An > δ thì vật dừng lại trong khoảng OO1.

xn
{
A
1 4 4 4 442 4n 4 4 4 43

Thời gian trong quá trình này là T/2.

Trang | 9


Tọa độ vị trí dừng lại được xác định dựa vào định luật bảo toàn năng lượng:

(

1 2 1 2
kA n = kx n +μmg A n- x n
2
2

)

→xn =

2μmg
− A n = 2δ − A n
k

Quãng đường vật đi thêm được là : Sthêm = 2An - 2 δ = 2A0 - 2 δ (2n + 1)

Bổ đề 3:
Nếu 2δ < A n < 3δ thì vật dừng lại trong khoảng OO2 tại N đối xứng.
Thời gian trong quá trình này là T/2.

r
v

O1

.

O

.

.
N

O2

.

A
x
1 4 4 4 442 4n 4 4 4 43142 n43

Tọa độ vị trí dừng lại được xác định dựa vào định luật bảo toàn năng lượng:
1 2 1 2
2μmg
kA n = kx n +μmg ( A n + x n ) → x n = A n= A n- 2δ

2
2
k

Quãng đường vật đi thêm được: Sthêm = An + xn = 2An - 2 δ = 2A0 -2 δ (2n + 1)
Trang | 10


II. Thực trạng vấn đề.
2.1 Đối với học sinh.
Hầu hết các em đều rất lúng túng và lo sợ khi đề thi có đề cập tới bài toán
dao động tắt dần. Các em chưa hệ thống được các dạng bài tập và phương pháp
giải bài tập có liên quan.
2.2 Đối với giáo viên.
Một số giáo viên chưa nghiên cứu cụ thể nên chưa hình thành cho mình
được một con đường đi, một phương pháp tiếp cận rõ ràng.
III. Giải pháp thực hiện.
Bằng những lý thuyết và bổ đề, tôi xây dựng hệ thống các dạng bài tập và
phương pháp giải cho chuyên đề dao động tắt dần như sau:
3.1. Hệ thống các dạng bài tập.
Dạng 1: Tốc độ của vật.
Kiểu 1. Tốc độ cực đại của vật trong toàn bộ quá trình dao động.
Kiểu 2. Tốc độ cực đại của vật sau khi vật đổi chiều lần n.
Kiểu 3. Tốc độ cực đại của vật kể từ thời điểm t nào đó.
Kiểu 4. Tốc độ của vật khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần n.
Dạng 2: Độ biến dạng của lò xo.
Kiểu 1. Độ biến dạng cực đại của lò xo trong toàn bộ quá trình dao động.
Kiểu 2. Độ biến dạng của lò xo khi vật đổi chiều lần n.
Kiểu 3. Độ biến dạng của lò xo khi vật đạt tốc độ cực đại lần n.
Kiểu 4. Độ biến dạng của lò xo khi vật dừng lại.

Dạng 3: Quãng đường vật đi được.
Kiểu 1: Quãng đường vật đi được khi vật đổi chiều lần n.
Kiểu 2: Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại.

Trang | 11


Dạng 4: Thời gian vật dao động.
Kiểu 1: Thời gian vật qua hai vị trí bất kì.
Kiểu 2: Thời gian vật dao động đến khi dừng lại.
3.2. Phương pháp giải cụ thể.
Dạng 1: Tốc độ của vật.
Kiểu 1: Tốc độ cực đại trong suốt quá trình dao động.
Có nhiều cách để tìm tốc độ cực đại của vật trong dao động tắt dần, sau đây tôi
xin trình bày 3 cách và sẽ nhận xét ưu nhược của từng cách trên:
Phương án 1: Dựa vào tính chất cực trị toán học.
Ta đã biết, gia tốc tức thời của vật chính là đạo hàm bậc nhất của vận tốc do đó
a=

dv '
=v
dt

Mặt khác, vận tốc là hàm phụ thuộc vào thời gian, vận tốc có độ lớn cực đại thì
điều kiện cần ta phải có
v' =

dv
=0
dt

Từ hai điều trên ta thu được, tốc độ của vật đạt cực đại khi a = 0. Nghĩa là vật
đạt tốc độ cực đại tại vị trí hợp lực tác dụng lên vật bằng 0.
Trong quá trình vật dao động từ P hướng tới O, vị trí đầu tiên mà hợp lực
bằng 0 chính là 01. Như vậy tốc độ của vật đạt cực đại chính là tốc độ của vật khi
đi qua O1.
Dựa vào định luật bảo toàn năng lượng tại P và tại O1 để tìm tốc độ cực đại:

Trang | 12


ΔE PO = A ms hay
1

→ v max =

1
1
1

kA 02 -  kδ 2 + m v 2max ÷= μmg ( A 0 - δ )
2
2
2



k
k
A0 -δ ) . Thay ω =

ta được : vmax = ω(A0 - δ)
(
m
m

Phương án 2: Dựa vào tính chất của đường cong Parabol.
Thiết lập phương trình tổng quát sau đó tìm vị trí vật đạt tốc độ cực đại.
Dễ dàng thấy, trước khi vật đổi chiều thì vật đã đạt tốc độ cực đại ở một
vị trí nào đó. Xét vật ở vị trí tọa độ x bất kì. Giả sử lúc này vật đang tại N:

r
v
P

.

O1

.N

.

O

.

Q

x

................... A0 .............................x ........

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng tại P và tại N ta có:
ΔE PN = A ms

hay

1
1
1

kA 02 -  kx 2 + m v 2 ÷=μmg (A 0 + x )
2
2
2



1
1
1
k
k
→ mv 2 = - kx 2 -μmgx + kA 02-μmgA 0 ⇔ v 2 = - x 2 - 2μgx + A 02 - 2μgA 0
2
2
2
m
m

Ta thấy v2 phụ thuộc vào x theo hàm bậc 2 nên từ tính chất của đường cong
parabol ta có được kết quả sau:
Vị trí vật đạt tốc độ cực đại: v max ⇔ x = -

bμmg
=, tọa độ này chính là tọa độ
2a
k

vị trí cân bằng tạm thời O1. Như vậy vật đạt tốc độ cực đại tại O1.
Tốc độ cực đại mà vật đạt được:

Trang | 13


2 2
b2
k 
μmg 
k 2
 4μ g
v max = c- =  A 0 - 2μgA 0 ÷=
A0 
÷ = ω(A0 - δ)
4a  m
m 
k 
 4.  - k 

÷

 m

với ω =

μmg
k
và δ =
.
k
m

Phương án 3: Dựa vào tính cực đại của vận tốc đối với dao động điều hòa.
Trong dao động điều hòa của một vật với tần số góc ω biên độ A, thì vật
đạt tốc độ cực đại khi đi qua vị trí cân bằng, giá trị cực đại có độ lớn : v max = ω
A.
Dựa vào hệ quả của cách lí giải 2 về độ giảm biên độ trong một chu kì.

r
v
P

O1

.

O

.

O2

.

A = A -δ
1 4 4 441 2 40 4 4 43 δ
123
A
1 4 4 4 44 2 04 4 4 4 43

Nhận thấy, trong quá trình vật dao động từ P hướng tới O, vật nhận O 1 làm vị trí
cân bằng tạm thời. Do đó ta coi trong quá trình này vật dao động với biên độ
A1 = A0 - δ và với tần số góc ω. Từ đó thu được kết quả:
vmax = ω A1 = ω(A0 - δ) với ω =

μmg
k
và δ =
.
k
m

Trang | 14


Nhận xét: Trong ba phương án, tác giả nhận thấy phương án 3 có ưu điểm rõ
ràng hơn, nhanh hơn so với hai phương án còn lại. Tuy nhiên hai phương án 1
và 2 thì có thể vận dụng được cho nhiều bài toán khác phức tạp hơn hay ta nói
phương án 1 và 2 sẽ giải quyết vấn đề đa dạng hơn.
Kiểu 2: Tốc độ cực đại sau khi vật đổi chiều lần n.
Khi vật đổi chiều lần n, vật đang cách vị trí cân bằng: Δx = A 0 - 2nδ

Vật đạt tốc độ cực đại khi vật qua vị trí cân bằng tạm thời kế tiếp:
v max = ω ( A 0 -2nδ - δ ) = ω  A 0 - ( 2n+1) δ 

Kiểu 3: Tốc độ cực đại của vật kể từ sau thời điểm t nào đó.
Sau thời gian t nào đó, vật sẽ đạt tốc độ cực đại sau đó là bao nhiêu?
t
= n+m
Phân tích: T
2

(Với n là phần nguyên, m là phần lẻ)

Biên độ dao động của vật sau thời gian nT/2 là: An = A0 – 2n δ
Lúc này vật đang ở biên, tốc độ của vật bằng 0
1
2

- Nếu m < thì tốc độ cực đại của vật đạt được sau đó là:
vmax = ω ( A n - δ ) = ω { A 0 - δ ( 2n+1) }
- Nếu

1
≤ m < 1 : Lúc này vật đã qua vị trí cân bằng tạm thời và đang có
2

xu hướng chuyển động về biên. Như vậy tốc độ cực đại của vật đạt được khi vật

Trang | 15

ra biên và qua vị trí cân bằng tạm thời tiếp theo ( kể từ khi đổi chiều). Do đó ta
tính được tốc độ cực đại của vật là: vmax = ω ( A n - 3δ ) = ω { A 0 - δ ( 2n+3) }
Kiểu 4: Tốc độ của vật khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần n.
Sử dụng định luật bảo toàn năng lượng kết hợp với quãng đường vật đi
được sau n nửa chu kì ta sẽ giải quyết được bài toán trên.
Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 1: S = A 0
Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 2: S = A 0 + 2 ( A 0 - 2δ )
Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 3: S = A 0 + 2 ( A 0 - 2δ ) + 2 ( A 0 - 4δ )
….
Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần n:

(

)

S = A 0 + 2 A 0 - 2δ + ...+2  A 0 - 2 ( n -1) 4δ 
= A 0 + 2  A 0 - 2δ + A 0 - 4δ +...+ A 0 - 2 ( n-1) δ 

{

}

= A 0 + 2 ( n - 1) A 0 - 2δ 1 + 2 +...+ ( n - 1 ) 

= A 0 + 2 ( n -1) A 0 - n ( n -1δ) = 2n
( - 1 )A -0 2n n( - 1δ)

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta được: Khi vật qua vị trí lò xo không
biến dạng lần thứ n:
1 2

kA 0 = Eđn + A ms hay
2

Eđn =

1 2
1
1
kA 0 - A ms = kA 02 - FmsS = kA 02 - μmg  2 ( n -1) A 0 - 2n ( n -1) δ 
2
2
2

Trang | 16


Từ đó ta tính được tốc độ của vật.
Dạng 2: Độ biến dạng của lò xo
Kiểu 1. Độ biến dạng cực đại của lò xo trong toàn bộ quá trình dao
động.
Khi vật đổi chiều lần 1 thì lò xo giãn cực đại. Mà độ giảm biên độ sau ½ chu kì
là 2 δ do đó: Δlmax = A 0 - 2δ
Kiểu 2. Độ biến dạng của lò xo khi vật đổi chiều lần n
Xuất phát từ kết quả biên độ vật giảm đi sau n nửa chu kì là 2n δ nên khi vật đổi
chiều lần n, vật đang cách vị trí cân bằng: Δx = A 0 - 2nδ
Do đó Δln = A 0 - 2nδ
Kiểu 3. Độ biến dạng của lò xo khi vật đạt tốc độ cực đại lần n
Khi vật đạt tốc độ cực đại thì vật đang ở vị trí cân bằng tạm thời nên Δl = δ
Dạng 3: Quãng đường vật đi được
Kiểu 1: Quãng đường vật đi được khi vật đổi chiều lần n

Khi đổi chiều lần 1, quãng đường vật đi được là: S1 = 2(A0 - δ )
Khi đổi chiều lần 2, quãng đường vật đi được là: S2 = 2(A0 - δ )+2(A0 - 3 δ )
…
Khi đổi chiều lần n, quãng đường vật đi được là:
Sn = 2(A0 - δ )+2(A0 - 3 δ )+…+2[A0 – (2n-1) δ ] = 2{nA0 – [1+3+5+…+(2n-1)] δ
}= 2[nA0 – n2 δ ]
Kiểu 2: Quãng đường đi được của vật đến khi dừng lại

Trang | 17


* Quãng đường của vật đi được sau n nửa chu kì:
Từ kết quả ở kiểu 1, sau n nửa chu kì, quãng đường vật đi được là: S n =
2n ( A 0 - nδ )

* Quãng đường của vật đi thêm sau n nửa chu kì:
Sau n nửa chu kì, biên độ của vật giảm còn An = A0 – 2n δ = A0 - 2n

μmg
k

Từ kết quả của 3 bổ đề
Nếu An = δ thì theo bổ đề 1 vật dừng lại tại đây hay Sthêm =0
Theo bổ để 2 và 3, trong cả hai trường hợp δ < An < 2 δ và 2 δ < An < 3 δ
quãng đường vật đi thêm đều là S thêm = 2A0 - 2 δ (2n + 1), với n là số nửa chu kì
dao động trước đó.
* Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại :
Tổng hợp hai kết quả trên ta tính quãng đường tổng như sau:
Phân tích: A 0 = n +m
2δ

( với n là số nguyên, m là phần lẻ ).

Kết quả 1: Nếu m = 0,5 thì vật rơi vào trường hợp A n = δ , do đó quãng đường
vật đi được là: S = 2n ( A 0 - nδ )
Kết quả 2: Nếu m > 0,5 thì vật rơi vào trường hợp δ < An < 2 δ quãng đường vật
đi được là:
S = Sn + Sthêm = 2(n+1)A0 -2(n+1)2 δ

Trang | 18


Kết quả 3: Nếu m < 0,5 thì An < δ . Ở đây vật đang nằm trong khoảng O1O2
nghĩa là sẽ không dao động nữa, vậy ta xét trong nửa chu kì trước đó. Lúc này 2
δ < An < 3 δ do đó quãng đưòng vật đi được là: S = Sn-1 + Sthêm = 2(n-1)[A0 – (n-

1) δ ] +2 An-1 - 2 δ = 2n ( A 0 -nδ )
( với An-1 = A0 – 2(n-1) δ ).
Nhận thấy kết quả 1 và 3 trùng nhau do đó ta có bảng kết quả rút gọn sau:
A0
= n+m
2δ

Quãng đường vật đi

m ≤ 0,5

m > 0,5

S = 2n ( A 0 - nδ )

S =2(n+1)[A0 - (n+1) δ ]

được đến khi dừng
lại.
Dạng 4: Thời gian vật dao động.
Kiểu 1: Thời gian vật qua hai vị trí bất kì.
Chu kì dao động không đổi, nên ta tính thời gian tương tự đối với dao động điều
hoà, chỉ cần lưu ý vật đang chuyển động ứng với vị trí cân bằng nào?
Nếu vật chuyển động từ trái qua phải thì vật nhận O1 là vị trí cân bằng từ đó suy
ra li độ tương ứng. Ngược lại nếu vật chuyển động từ phải qua trái thì vật nhận
O2 làm vị trí cân bằng.
Kiểu 2: Thời gian vật dao động đến khi dừng lại.
Bài toán tính thời gian dao động thì đơn giản hơn bài toán tính quãng đường đi.
Chỉ cần sử dụng hai bổ đề 1 và 2 thì ta có thể giải quyết được.

Trang | 19


Phân tích: A 0 = n + m ( với n là số nguyên, m là phần lẻ ).
2δ

Nếu m > 0.5 thì thời gian dao động là (n+1)T/2 rơi vào bổ đề 2.
Nếu m ≤ 0.5 thì thời gian dao động là nT/2.
3.3. Một số ví dụ minh hoạ.
Ví dụ minh họa 1 : Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,4kg và lò xo
có độ cứng 100 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo
trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Lấy g = 10 m/s2. (
π 2 = 10 ). Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén A0 cm rồi buông nhẹ để con lắc

dao động tắt dần. Tính thời gian vật dao động và tổng quãng đưỡng vật đi được
đến dao động tắt trong các trường hợp sau:
1. A0 = 9,8cm

2. A0 = 10cm

3. A0 = 10,12cm

4. A0 = 0,4cm

Hướng dẫn:
Ta sử dụng bảng kết quả tổng hợp từ phần phương pháp
A0
= n+m
2δ

Quãng đường vật đi

m ≤ 0,5

m > 0, 5

S = 2n ( A 0 - nδ )

S =2(n+1)[A0 - (n+1) δ ]

n

n+1

được đến khi dừng lại.
Số nửa chu kì vật dao
động đến khi dừng lại

Trang | 20


Vị trị cân bằng tạm thời cách vị trí lò xo không biến dạng một đoạn : δ =

0,4cm. Chu kì dao động của vật: T = 2π

μmg
=
k

m
= 0,4s
k

Từ đó ta có bảng kết quả sau:
Biên độ

10,4cm
9,8cm)

10cm

10,12cm

12 + 0,25

12 + 0,5

12 + 0,65

ban đầu
Phân tích
A0
= n+m
2δ

13 + 0

13
Giá trị n

12

12

12

Giá trị m

0,25

0,5

0,65

S

t

2n ( A 0 - nδ )

120cm
n

T
2

2n ( A 0 - nδ )

2 ( n+1)  A 0 - ( n+1δ
) 

2n ( A 0 - nδ )

127,92cm

135,2cm

124,8cm
n

0

T
2

(n+1)

T
2

n

T
2

2,4s
2,4s
2,6s
2,4s
Ví dụ minh họa 2 : Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có
độ cứng 50 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục
lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,05. Tại vị trí lò xo không
biến dạng, người ta nén vật 5cm rồi buông nhẹ.

Trang | 21


a. Tốc độ của vật khi vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng lần 3.
b. Độ lớn lực đàn hồi khi vật đổi chiều lần 3.
Hướng dẫn:
a. VTCB tạm thời cách vị trí lò xo không biến dạng : δ =

μmg
= 0,2cm

k

Từ lúc buông vật đến lúc lúc vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 3 vật đã
đi được quãng đường S = ( 2n - 1) A 0 - 2n ( n - 1δ) = 5A0 - 12 δ = 22,6cm
( Lưu ý đối với trường hợp n nhỏ ta có thể thấy ngay quãng đường vật đi được
thông qua hình vẽ mô phỏng).
Chọn mốc thế năng đàn hồi tại vị trí lò xo không biến dạng. Theo định luật bảo
toàn năng lượng ta có kết quả sau:
1 2
1
1
kA 0 = A ms + Eđ hay Eđ = kA 02 - A ms = kA 02 - μmgS = 0,04(J)
2
2
2
b. Khi vật đổi chiều lần 3, lúc này lò xo đang biến dạng một đoạn
Δl = An = A0 – 2.n δ = 3,8cm

Vậy độ lớn lực đàn hồi lúc vật đổi chiểu lần 3 là: Fđh = kΔl = kA n = 1,9(N)
Ví dụ minh họa 3: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có
độ cứng 20 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục
lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,01. Từ vị trí lò xo không bị
biến dạng, truyền cho vật vận tốc ban đầu 1 m/s thì thấy con lắc dao động tắt dần
trong giới hạn đàn hồi của lò xo. Lấy g = 10 m/s2. Tính độ lớn của lực đàn hồi cực
đại của lò xo trong quá trình dao động.

Trang | 22


Hướng dẫn: Để ý thấy cách kích thích dao động cho vật bằng cách cung cấp

cho hệ một động năng. Lúc này lò xo biến dạng lớn nhất và động năng của hệ
bằng 0. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng để tìm vị tri này:
Giả sử vị trí lò xo biến dạng cực đại thì vật cách vị trí cân bằng một đoạn
a, như vậy quãng đường vật đi được cũng chính là a, do đó:
1
1
1
1
mv02 = A ms + ka 2 → mv 02 = μmga + ka 2 từ đó ta tính được a= 9,9cm.
2
2
2
2

Lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động là: F đh(max) = ka =
1,98N.
Ví dụ minh họa 4: HSG tỉnh Thanh Hoá 2011 - 2012
Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng m =
100(g) và lò xo nhẹ có độ cứng k = 100(N/m). Nâng vật nặng lên theo phương
thẳng đứng đến vị trí lò xo không bị biến dạng, rồi truyền cho nó vận tốc 10 30
(cm/s) thẳng đứng hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật
nặng. Chọn trục tọa độ Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O
ở vị trí cân bằng.
Lấy g = 10(m/s2); π 2 ≈ 10 .
Nếu lực cản của môi trường tác dụng lên vật nặng có độ lớn không đổi và bằng
FC=0,1(N). Hãy tìm tốc độ lớn nhất của vật sau khi truyền vận tốc.
Hướng dẫn:
Bài toán này không khó chỉ cần người đọc biết cách chuyển bài toán về
bài toán cơ bản ở phương pháp trên.
Trang | 23

Trước tiên ta tìm vị trí lò xo biến dạng lớn nhất tương tự ví dụ 3, khoảng
cách đó là a, từ đó ta có thể phát biểu lại bài toán. Tại vị trí cân bằng, người ta
nhắc vật lên một đoạn A0 = a rồi buông nhẹ, xác định tốc độ cực đại của vật sau
đó.
Rõ ràng đến đây bài toán hoàn toàn đơn giản. Cụ thể như sau:
- Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng cũ ( khi chưa có lực cản).
- Tìm vị trí lò xo biến dạng lớn nhất (A0)
Tương tự ở ví dụ 3:
1
1
1
1
1
1
mv02 + kΔl02 = A c + ka 2 → mv 02 + kΔl 02 = Fc a - ∆l0 + ka 2
2
2
2
2
2
2

(

( với Δl0 =

)

mg
= 1cm là độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng khi chưa có
k

lực cản)
Ta tính được a = 0,0195m = 1,95cm
Như vậy A0 = 1,95cm.
Lưu ý thêm, vị trí cân bằng của vật ở đây trong quá trình vật đi xuống

nằm cách vị trí cân bằng cũ một đoạn δ =

Fc
=0,1cm
K

k
=10π ( rad/s ) ta
Vậy tốc độ cực đại của vật đạt được là: v max =ω ( A 0- δ ) Với ω =
m

được: vmax = 58,5cm/s
Ví dụ minh họa 5:

Cho một con lắc lò xo có độ cứng K = 100 N/m,

m=100gam. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,5. Kéo vật tới
Trang | 24


ví trí lò xo dãn 1,5 cm rồi thả nhẹ. Tính khoảng thời gian vật chuyển động từ

thời điểm ban đầu đến vị trí lò xo không biến dạng.
Hướng dẫn: Theo bài ra: A0 = 5cm. T = 2π

μmg
m
= 0,5cm.
=0,2(s). δ =
k
k

A1/2 = A0 - δ =1cm. Do đó thời gian từ thời điểm ban đầu đến vị trí lò xo không
M

φ

T
biến dạng là: t = + t 0 → +δ
4

Dựa vào hình vẽ: t =

0

T
T
+ t 0 → +δ = =0,066s
4
3

Trang | 25

δ

N

A1