Tổng hợp 210 đề thi thử môn toán 2015 phần 1

!

Khoá)giải)đề)THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam)
Môn:)Toán;)ĐỀ)SỐ)24/50)

Ngày)thi):)8/04/2015)
Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)không)kể)thời)gian)giao)đề)
Liên)hệ)đăng)ký)khoá)học)–)Hotline:)0976)266)202)–)Chi)tiết:)www.mathlinks.vn))
Câu)1)(2,0)điểm).)Cho!hàm!số! y = (x + m)(x −1) 2 (1) .!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 0 .!
2. Cho!điểm!C(10;A2).!Tìm!m!để!(1)!có!hai!điểm!cực!trị!A,B!sao!cho!ba!điểm!A,B,C!thẳng!
hàng.!
Câu)2)(1,0)điểm).)
a) Giải!phương!trình! 2 2 sin x. cos x =1 .!!
2

b) Tìm!số!phức!z!có!phần!thực!và!phần!ảo!đều!dương!thoả!mãn! z = 5, z 2 + z = 6 .!!
Câu)3)(0,5)điểm).!Giải!phương!trình! log 2 (x + 3) = log 4 x −1 + 2 .!

⎧⎪ 2
⎪⎪ x + 3x + y + 2 = (x +1)(x + 2)
y −1
Câu)4)(1,0)điểm).)Giải!hệ!phương!trình! ⎪⎨
,( x, y ∈ !) .!!!
⎪⎪
2
2
⎪⎪⎩ x +16 − 2 x −3x + 4 = y −1 −1
Câu)5)(1,0)điểm).!Tính!thể!tích!khối!tròn!xoay!khi!quay!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!các!đường!

y=

4 + x 2 .ln x
2
, y = , x = 2 quanh!trục!hoành.!
x
x

Câu)6)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABC!có!mặt!bên!SBC!là!tam!giác!vuông!cân!tại!S!và!nằm!
! = CSA
! = 600 .!Tính!thể!tích!
trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt!phẳng!(ABC),! BC = a 2, ASB
khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!từ!điểm!B!đến!mặt!phẳng!(SAC).!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!vuông!cân!tại!C.!
Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AC,!D!là!điểm!thuộc!đoạn!AB!thoả!mãn! DB = 2DA ,!H!là!hình!
18 24
chiếu!vuông!góc!của!D!trên!BM.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C!biết!D(A2;4),! H (− ; ) và!đỉnh!B!
5 5
có!hoành!độ!nguyên.!
Câu)8)(1,0)điểm).!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!điểm!I(2;2;0)!và!mặt!phẳng!
(P ) : 3x + 2y − z + 4 = 0 .!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!đi!qua!I!và!vuông!góc!với!mặt!
phẳng!(P).!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!d!sao!cho!M!cách!đều!gốc!toạ!độ!và!mặt!phẳng!(P).!!
Câu)9)(0,5)điểm).!Người!ta!dùng!5!cuốn!sách!Toán,!6!cuốn!sách!Vật!lý,!7!cuốn!sách!Hoá!học!
(các!sách!cùng!loại!thì!giống!nhau)!để!làm!phần!thưởng!cho!9!học!sinh!mỗi!học!sinh!được!hai!
cuốn!khác!loại,!trong!9!học!sinh!này!có!hai!bạn!Nam!và!Hường.!Tính!xác!suất!để!Nam!và!
Hường!có!phần!thưởng!giống!nhau.!
Câu)10)(1,0)điểm).!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! a(a − c) + b(b − c) = 0 .!Tìm!giá!trị!
2

a
b

c 2 + ab ⎛⎜ a + b ⎞⎟
⎟ .!
nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P = 3
+
+
−⎜
⎜⎝ c ⎟⎟⎠
2
b + c 3 c 3 + a3
)
mmmHẾTmmm)
Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))
!

1!


!

PHÂN)TÍCH)BÌNH)LUẬN)ĐÁP)ÁN)

Câu)1)(2,0)điểm).)Cho!hàm!số! y = (x + m)(x −1) 2 (1) .!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 0 .!
2. Cho!điểm!C(10;A2).!Tìm!m!để!(1)!có!hai!điểm!cực!trị!A,B!sao!cho!ba!điểm!A,B,C!thẳng!
hàng.!
1. Học!sinh!tự!giải.!
⎡ x =1

⎢
2
2. Ta!có:! y ' = (x −1) + 2(x + m)(x −1); y ' = 0 ⇔ ⎢
.!
⎢ x = 1− 2m
⎢⎣
3

1− 2m
≠1 ⇔ m ≠ −1 .!
3
1− 2m 4(m +1)3
;
) ,!ta!có:!
Khi!đó!toạ!độ!2!điểm!cực!trị!là! A(1;0), B(
3
27
!!!"
!!!"
−2(m +1) 4(m +1)3
AC = (9;−2), AB = (
;
) / /(−9;2(m +1) 2 ) .!
!
3
27
!!!" !!!"
Vậy!A,B,C!thẳng!hàng!khi!và!chỉ!khi! AB , AC cùng!phương!
⎡m = 0
−9 2(m +1) 2

!
⇔
=
⇔⎢
(t / m) .!
⎢ m = −2
9
−2
⎣
Kết)luận:!Vậy! m = −2;m = 0 là!giá!trị!cần!tìm.!!!
+)!Để!đồ!thị!hàm!số!có!hai!điểm!cực!trị!khi!và!chỉ!khi!

Câu)2)(1,0)điểm).)
a) Giải!phương!trình! 2 2 sin x. cos x =1 .!!
2

b) Tìm!số!phức!z!có!phần!thực!và!phần!ảo!đều!dương!thoả!mãn! z = 5, z 2 + z = 6 .!!
a) Điều!kiện!phương!trình!có!nghiệm:! sin x > 0 .!
Khi!đó!bình!phương!hai!vế!của!phương!trình!ta!được:!

π
π
+ k ,k ∈ ! .!
8
4
+)!Biểu!diễn!trên!vòng!tròn!lượng!giác!ta!được!các!nghiệm!thoả!mãn!:!
⎧
⎫
⎪π
⎪

3π
5π
7π
!
x ∈⎪
⎨ + k2π, + k2π, + k2π, + k2π,k ∈ !⎪
⎬ .!!
⎪
⎪
8
8
8
⎪
⎪
⎩8
⎭
!

8sin 2 x.cos2 x =1 ⇔ 2sin 2 2x =1 ⇔ cos4x = 0 ⇔ x =

b) Đặt! z = x + y.i (x, y > 0) ,!theo!giả!thiết!ta!có:!
⎧
2
2
⎧
⎪
⎧x = 2
⎪x 2 + y 2 = 5 ⎧
⎪
x2 = 4 ⎪

⎪ x +y = 5
⎪
⇔⎪
⇔
⇔⎪
(do x, y > 0) .!
!
⎨
⎨
⎨
⎨
2
2
2
2
2
⎪
⎪
⎪
⎪
y
=1
x
−
y
=
3
y
=1
(x

+
yi)
+
(x
−
yi)
=
6
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎩
⎩
⎪
⎩
Vậy! z = 2 + i .!!!
Câu)3)(0,5)điểm).!Giải!phương!trình! log 2 (x + 3) = log 4 x −1 + 2 .!
Điều!kiện:! −3 < x ≠1 .!
Phương!trình!tương!đương!với:!
Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))
!

2!

!

log 2 (x + 3) = log 2 4 + log 2
!

x −1 ⇔ log 2 (x + 3) = log 2 4 x −1

⇔ x + 3 = 4 x −1 ⇔ (x + 3) 2 =16 x −1

.!

⎡⎧
⎪ x >1
⎢⎪
⎢⎨
⎪(x + 3) 2 =16(x −1)
⎩
⇔ ⎢⎢⎪
⇔ x = 5; x = 8 2 −11
⎪
⎢⎧
x
<1
⎢⎪
⎨
2
⎢⎪
⎩(x + 3) = −16(x −1)
⎣⎪
Kết)luận:!Phương!trình!có!hai!nghiệm! x = 5; x = 8 2 −11 .!!!

⎪⎧⎪ 2
(x +1)(x + 2)
⎪⎪ x + 3x + y + 2 =
y −1
Câu)4)(1,0)điểm).)Giải!hệ!phương!trình! ⎨
,( x, y ∈ !) .!!
⎪⎪
2
2
⎪⎪⎩ x +16 − 2 x −3x + 4 = y −1 −1
Phân%tích%lời%giải:!Để!ý!phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!có! x 2 + 3x + 2 = (x +1)(x + 2) do!vậy!để!
đơn!giản!ta!đặt! a = (x +1)(x + 2) ,!phương!trình!trở!thành:!
⎪⎧a ≥ 0
a
!.!
a+ y =
⇔ ⎪⎨
y −1 ⎪⎪⎩(a + y)( y −1) 2 = a 2
Đưa!về!phương!trình!bậc!hai!của!a:!!
a 2 −( y −1) 2 a − y( y −1) 2 = 0,Δa = ( y −1) 4 + 4 y( y −1) 2 = ( y 2 −1) 2 .!
Do!đó! a =
Tức!là!

( y −1) 2 + ( y 2 −1)
( y −1) 2 −( y 2 −1)
= y 2 − y;a =
= −y +1 .!
2
2

⎡ x 2 + 3x + 2 = y 2 − y
⎡ x 2 + 3x +1+ y = 0
⎢
⎢
⇔
⎢ x 2 + 3x + 2 = −y +1 ⎢ x 2 + 3x − y 2 + y + 2 = 0
⎢⎣
⎢⎣
⎡ x 2 + 3x +1+ y = 0 .!
⎢
⎡ x 2 + 3x +1+ y = 0
⇔ ⎢⎢
⇔ ⎢⎢ y = −x −1
⎣(x + y +1)(x − y + 2) = 0 ⎢ y = x + 2
⎢⎣

Lời%giải:%%%%
Điều!kiện:! x 2 + 3x + y + 2 ≥ 0, y >1 .!Phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!tương!đương!với:!
⎧
⎪
( x +1)( x + 2) ≥ 0
⎪
⎪
⎪
2
2
⎪
x +1) ( x + 2) .!
⎨ 2
(

⎪
x + 3x + y + 2 =
⎪
2
⎪
⎪
y
−1
(
)
⎪
⎩

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))
!

3!


!

⎧( x +1)( x + 2) ≥ 0
⎪
⎪
⇔⎪
⎨
2

2
2
⎪
y −1) ⎡⎢( x +1)( x + 2) + y ⎤⎥ = ( x +1) ( x + 2)
⎪
⎪(
⎣
⎦
⎩
.!
⎧
⎪
x
+1
x
+
2
≥
0
)( )
⎪(
⇔⎪
⎨ 2
⎪
x + 3x + y +1)( x + y +1)( x − y + 2) = 0
⎪
⎪
⎩(
+!Ta!có! y >1 ⇒ x 2 + 3x +1+ y > x 2 + 3x + 2 = ( x +1)( x + 2) ≥ 0 .!

+!)!Nếu! y = −x −1 ⇒ −x −1>1 ⇔ x <−2 .!
Thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được!

x 2 +16 − 2 x 2 −3x + 4 = −x − 2 −1
⇔ x 2 +16 +1 = 2 x 2 −3x + 4 + −x − 2

.!

Khi!đó:!
VT = x 2 +16 +1≤ 6,∀x ∈ ⎡⎢⎣−3;−2⎤⎥⎦ ,
VP = 2 x 2 −3x + 4 + −x − 2 ≥ 2 14 > 6,∀x ∈ ⎡⎣⎢−3;−2⎤⎦⎥

.!

Do!đó!phương!trình!vô!nghiệm.!
!+!)!Nếu! y = x + 2 thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:!

x 2 +16 − 2 x 2 −3x + 4 = x +1 −1 .!
Phương!trình!này!có!điều!kiện:! x ≥−1 .!!
Thực!hiện!nhân!liên!hợp!ta!có:!
⇔

−3x 2 +12x
x 2 +16 + 2 x 2 −3x + 4

=

x
x +1 +1

.!
⎡x = 0
⎢
⇔⎢ 2
2
⎢ x +16 + 2 x −3x + 4 = −3( x − 4) x +1 +1 (1)
⎣
Giải!phương!trình!(1)!bằng!cách!kết!hợp!với!phương!trình!đầu!của!hệ!ta!được!(!Xem!thêm!
Cuốn!“%Bài%giảng%chọn%lọc%Phương%trình%–%Bất%phương%trình%vô%tỷ”!cùng!tác!giả).!
⎧
⎪
x 2 +16 + 2 x 2 −3x + 4 = −3( x − 4) x +1 +1
⎪
⎪
⎨
⎪
2
2
⎪
⎪
⎩ x +16 − 2 x −3x + 4 = x +1 −1

(

(

)

)

⇒ 2 x 2 +16 = (13−3x ) x +1 −3x +11
⇔2

(

)

(

x 2 +16 −5 + (3x −13)

)

x +1 − 2 + 9( x −3) = 0 !

⎡ 2( x + 3)
⎤
3x −13
⇔ ( x −3) ⎢⎢
+
+ 9⎥⎥ = 0
⎢⎣ x 2 +16 + 5
⎥⎦
x +1 + 2
⎡ 2( x + 3)
⎤
5 + 9 x +1 + 3x ⎥
⎢
⇔ ( x −3) ⎢
+

⎥=0⇔ x =3
⎢⎣ x 2 +16 + 5
x +1 + 2 ⎥⎦
Thử!lại!thấy!thoả!mãn.!Suy!ra! ( x; y ) = (0;2);(3;5) .!

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))
!

4!


!
Kết)luận:!Vậy!hệ!phương!trình!có!hai!nghiệm!là!! ( x; y ) = (0;2);(3;5) .!!!
Cách%2:!Đặt! t = x 2 + 3x + 2 + y ⇒ (x +1)(x + 2) = t 2 − y .!
Phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!trở!thành:!

t2 − y
⇔ t 2 −( y −1)t − y = 0 ⇔ (t − y)(t +1) = 0 ⇔ t = y (do t ≥ 0) .!
y −1
⎧⎪ y ≥ 0
⎪⎧ y ≥ 0
Vì!vậy! x 2 + 3x + 2 + y = y ⇔ ⎪
.!
⇔ ⎪⎨
⎨ 2
2
⎪⎪ x + 3x + 2 + y = y

⎪⎪⎩( y − x − 2)( y + x +1) = 0
⎩
Ta!có!kết!quả!tương!tự!trên.!!!!
Câu)5)(1,0)điểm).!Tính!thể!tích!khối!tròn!xoay!khi!quay!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!các!đường!
!

y=

t=

4 + x 2 .ln x
2
, y = , x = 2 quanh!trục!hoành.!
x
x

+)!Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm:!

⎡ x = 0(l )
4 + x 2 .ln x
2
= ⇔ 4 + x 2 .ln x = 2 ⇔ x 2 .ln x = 0 ⇔ ⎢
.!
⎢ x =1
x
x
⎣
2

Vì!vậyV = π

∫
1

2

4 + x 2 .ln x 2 4
(
) − 2 dx =π ∫ ln x dx .!!!
x
x
1

⎧
⎪
dx
⎧
⎪
⎪
u
=
ln
x
du =
⎪
⎪
+)!Đặt! ⎨
⇒⎨
x .!
⎪

⎪
dv
=
dx
⎪
⎪
⎩
⎪
⎩v = x
2

2
2
+)!Suy!ra:!V = π(x ln x − ∫ dx ) = π(2ln 2− x ) = π(2ln 2−1) !(đvtt).!
1 1
1
Câu)6)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABC!có!mặt!bên!SBC!là!tam!giác!vuông!cân!tại!S!và!nằm!
! = CSA
! = 600 .!Tính!thể!tích!
trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt!phẳng!(ABC),! BC = a 2, ASB
khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!từ!điểm!B!đến!mặt!phẳng!(SAC).!
+)!Gọi!H!là!trung!điểm!BC,!theo!giả!thiết:!
⎧
⎪SH ⊥ BC
!⎪
⇒ SH ⊥ (ABC ) .!
⎨
⎪
⎪
⎩(SBC ) ⊥ (ABC )

BC a 2
.!
=
2
2
! = ASC
! = 600 nên!
Tam! giác! SAB! và! SAC! có! SA! chung,! SB = SC, ASB
Và!tam!giác!SABC!vuông!cân!có! SH = BH = CH =

! bằng!nhau.!
Do!đó! AB = AC và!tam!giác!ABC!cân!tại!A,!đặt! SA = x .!
Áp!dụng!định!lý!Hàm!số!côsin!cho!tam!giác!SAB,!pitago!cho!các!tam!giác!SAH,!AHB!có:!

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))
!

5!


!
AB 2 = SA2 + SB 2 − 2SA.SB cos600 = x 2 + a 2 −ax,

!

AH 2 = AB 2 − BH 2 = x 2 + a 2 −ax −

SA2 = SH 2 + AH 2 =

Do!đó! AH =

a2
,
2

.!

a2
a2
+ (x 2 + a 2 −ax − ) = x 2 ⇒ x = a
2
2

a 2
1
1 a 2
a2
,S ABC = AH .BC = .
.a 2 = .!
2
2
2 2
2

1
1 a 2 a2 a3 2
. =

Vì!vậy!VS .ABC = SH .S ABC = .
(đvtt).!
3
3 2 2
12
+)!Ta!có:! d(B;(SAC )) = 2d(H ;(SAC )) .!
Kẻ!HK!vuông!góc!với!AC!tại!K,!Kẻ!HI!vuông!góc!với!SK!tại!I!thì!!
!
HI ⊥ (SAC ) ⇒ d(H ;(SAC )) = HI .!
Tam!giác!vuông!AHC!và!SHK!có!
!

1
1
1
1
1
1
2
2
2
6
a 6
=
+
=
+
+
= 2 + 2 + 2 = 2 ⇒ HI =
.!

2
2
2
2
2
2
6
HI
SH
HK
SH
HC
HA
a
a
a
a

a 6
.!
3
Cách)2:!Tính!theo!thể!tích!vì!diện!tích!tam!giác!SAC!tính!đơn!giản!
Vậy! d(B;(SAC )) = 2HI =

3V
1
a 3
⇒ d(B;(SAC )) = SABC
Ta!có: SSAC = SA.SC.sin 600 =
2

4
SSAC
2

a3 2
a 6
= 4 =
.!!!
2
3
a 3
4

1
Bình)luận:!Chú!ý!giả!thiết!bài!toán!ta!tính!được! HA = BC ⇒ ΔABC vuông!cân!tại!A.!!!
2
Bài)tập)tương)tự)m)Cho!hình!chóp!S.ABC!có!mặt!bên!SBC!là!tam!giác!cân!tại!S,! SB = a !và!nằm!
! = BSC
! = CSA
! = 600 .!Tính!thể!tích!
trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABC).!Biết! ASB
khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!từ!trung!điểm!đoạn!SB!đến!mặt!phẳng!(SAC).!!!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!vuông!cân!tại!C.!
Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AC,!D!là!điểm!thuộc!đoạn!AB!thoả!mãn! DB = 2DA ,!H!là!hình!
18 24
chiếu!vuông!góc!của!D!trên!BM.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C!biết!D(A2;4),! H (− ; ) và!đỉnh!B!
5 5
có!hoành!độ!nguyên!
Phương!trình!đường!thẳng!DH!là! x + 2y −6 = 0 .!
Đường!thẳng!BM!đi!qua!H!và!vuông!góc!với!DH!nên!có!phương!trình! 2x − y +12 = 0 .!

!!!" 3 !!!"
Ta!chứng!minh!C,H,D!thẳng!hàng!và! CH = HD .!
2
!!!" 3 !!!"
12 6
2a 2
Do! CH = HD = ( ;− ) ⇒ C (−6;6) .!Đặt! CA = CB = a > 0 ⇒ AB = a 2, BD =
.!
2
5 5
3
Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))
!

6!


!
Áp!dụng!định!lý!hàm!số!CôAsin!cho!tam!giác!BCD!có!

CD 2 = BC 2 + BD 2 − 2BC.BD cos450 = a 2 +
Gọi!B(b;2b+12)!với!b<0!thuộc!BM!ta!có!

8a 2 4a 2
−
= 20 ⇔ a 2 = 36 .!
9

3

⎡b = −6(t / m)
⎢
!
.!
BC = 36 ⇔ (b + 6) + (2b + 6) = 36 ⇔ 5b + 36b + 36 = 0 ⇔ ⎢
⎢b = − 6 (l )
⎢⎣
5
!!!" 1 !!!"
Suy!ra! B(−6;0),DA = BD ⇒ A(0;6) .!
2
Kết)luận:!Vậy!A(0;6),!B(A6;0),!C(A6;6).!!!
Câu)8)(1,0)điểm).!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!điểm!I(2;2;0)!và!mặt!phẳng!
(P ) : 3x + 2y − z + 4 = 0 .!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!đi!qua!I!và!vuông!góc!với!mặt!
phẳng!(P).!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!d!sao!cho!M!cách!đều!gốc!toạ!độ!và!mặt!phẳng!(P).!!
+)! Đường! thẳng! d! vuông! góc! với! (P)! nên! nhận! vtpt! của! (P)! làm! véc! tơ! chỉ! phương,! vì! vậy!
!"
!
ud = (3;2;−1) .!!
2

2

2

2

⎧⎪ x = 2 + 3t

⎪⎪
Do!đó!phương!trình!của!d!là! d : ⎪
⎨ y = 2 + 2t ,t ∈ ! .!
⎪⎪
⎪⎪⎩ z = −t
+)!Gọi! M (2 + 3t;2 + 2t;−t ) ∈ d ,!ta!có:!
!

3(2 + 3t ) + 2(2 + 2t ) −(−t ) + 4

d(M ;(P )) =

32 + 22 +12

= 14 t +1 ,

.!

MO = (2 + 3t ) 2 + (2 + 2t ) 2 + t 2 = 14t 2 + 20t + 4
+)!Theo!giả!thiết!ta!có:!
!

14 t +1 = 14t 2 + 20t + 4 ⇔ 14t 2 + 20t + 4 =14(t +1) 2

.!
3
1 1 3
⇔ 4t + 3 = 0 ⇔ t = − ⇒ M (− ; ; )
4
4 2 4

1 1 3
Kết)luận:!Vậy!điểm!cần!tìm! M (− ; ; ) .!!!
4 2 4
Câu)9)(0,5)điểm).!Người!ta!dùng!5!cuốn!sách!Toán,!6!cuốn!sách!Vật!lý,!7!cuốn!sách!Hoá!học!
(các!sách!cùng!loại!thì!giống!nhau)!để!làm!phần!thưởng!cho!9!học!sinh!mỗi!học!sinh!được!hai!
cuốn!khác!loại,!trong!9!học!sinh!này!có!hai!bạn!Nam!và!Hường.!Tính!xác!suất!để!Nam!và!
Hường!có!phần!thưởng!giống!nhau.!
Gọi!x!là!số!học!sinh!nhận!sách!Toán!và!Vật!Lý.!
Gọi!y!là!số!học!sinh!nhận!sách!Toán!và!Hoá!học!
Gọi!z!là!số!học!sinh!nhận!sách!Hoá!học!và!Vật!Lý!

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))
!

7!


!

⎧x + y + z = 9
⎪
⎪
⎧x = 2
⎪
⎪
⎪
⎪x + y = 5

⎪
⎪
Ta!có:! ⎨
⇔⎪
⎨ y = 3 .!Vậy!chỉ!có!2!học!sinh!nhận!sách!Toán!và!Vật!lý;!3!học!sinh!
⎪
⎪
x
+
z
=
6
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩z = 4
y
+
z
=
7
⎪
⎪
⎩
nhận!sách!Toán!và!Hoá!học;!4!học!sinh!nhận!sách!Vật!lý!và!Hoá!học!(*).!
+)!Không!gian!mẫu!là!số!cách!chia!sách!cho!9!học!sinh!theo!điều!kiện!(*)!có!
Ω = C 92 .C 73 .C 44 =1260 .!

Gọi!A!là!biến!cố!2!bạn!Nam!và!Hường!có!phần!quà!giống!nhau,!có!các!khả!năng!
TH1:!Cả!2!cùng!nhận!sách!Toán!và!Vật!lý,!khi!đó!7!bạn!còn!lại!có!3!bạn!nhận!sách!Toán!và!
Hoá!học;!4!bạn!nhận!sách!Hoá!học!và!Vật!lý.!Số!cách!phân!chia!là! C 73 .C 44 = 35 .!
TH2:!Cả!2!cùng!nhận!sách!Toán!và!Hoá!học,!khi!đó!7!bạn!còn!lại!có!2!bạn!nhận!sách!Toán!và!
Vật!lý;!1!bạn!nhận!sách!Toán!và!Hoá!học;!4!bạn!nhận!sách!Vật!lý!và!Hoá!học.!
Số!cách!phân!chia!là! C 72 ..C 51.C 44 =105 .!!!!
TH3:!Cả!2!cùng!nhận!sách!Hoá!học!và!Vật!Lý,!khi!đó!7!bạn!còn!lại!có!2!bạn!nhận!sách!Toán!
và!Vật!lý;!3!bạn!nhận!sách!Toán!và!Hoá!học;!2!bạn!nhận!sách!Hoá!học!và!Vật!lý.!
Số!cách!phân!chia!là! C 72 .C 53 .C 22 = 210 .!
Vậy! Ω A = 35 +105 + 210 = 350 .!
Xác!suất!cần!tính! P (A) =

ΩA
Ω

=

350
5
= .!!!!!!!!
1260 18

Câu)10)(1,0)điểm).!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! a(a − c) + b(b − c) = 0 .!Tìm!giá!trị!
2

nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P =

a
b

c 2 + ab ⎛⎜ a + b ⎞⎟
⎟ .!
+
+
−⎜
⎜⎝ c ⎟⎟⎠
2
b 3 + c 3 c 3 + a3

a
b
+ 3
,S = a b 3 + c 3 + b a 3 + c 3 , !!
3
3
b +c
c +a
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Holder!ta!có: A.S 2 ≥ (a + b)3 .!! !!
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–Schwartz!ta!có:!
Đặt! A =

3

S = a 2 (b + c).(b 2 −bc + c 2 ) + b 2 (c + a)(c 2 − ca + a 2 )
≤

(a (b + c) + b (c + a))(b
2

2

2

+ a 2 + 2c 2 − c(a + b))

!

= c 2(ab(a + b) + c(a 2 + b 2 )) = c 2(a + b)(ab + c 2 )
Suy!ra:! A ≥

(a + b) 2
.!!
2c 2 (c 2 + ab)

Vì!vậy! P ≥

(a + b) 2
c 2 + ab ⎛⎜ a + b ⎞⎟ a + b ⎛⎜ a + b ⎞⎟
⎟ ≥
⎟ ≥−2 .!
+
−⎜
−⎜
⎜⎝ c ⎟⎟⎠
⎜⎝ c ⎟⎟⎠
2
c
2c 2 (c 2 + ab)

2

2

Bởi!vì!theo!giả!thiết!ta!có:!

1
a+b
a+b
c(a + b) = a 2 + b 2 ≥ (a + b) 2 ⇒
≤ 2,c(a + b) < (a + b) 2 ⇒
>1 .!!
2
c
c
Hotline:)0976)266)202))
Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)
!
!

8!


!

1
a+b
≤ 2 .!
Cách%2:!Theo!giả!thiết!ta!có:! a 2 + b 2 = c(a + b) ≥ (a + b) 2 ⇒
2

c
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–Schwarz!ta!có:!
a
b
a2
b2
+
=
+
b 3 + c 3 c 3 + a 3 a(b 3 + c 3 ) b(c 3 + a 3 )
≥

(a + b) 2
(a + b) 2
.!
=
a(b 3 + c 3 ) + b(c 3 + a 3 ) ab(a 2 + b 2 ) + c 3 (a + b)

=

(a + b) 2
a+b
a+b
=
=
3
3
abc(a + b) + c (a + b) abc + c
c(ab + c 2 )

Do!đó:!
2
2
⎡ a+b
c 2 + ab ⎤⎥ ⎛⎜ a + b ⎞⎟
a+b
c 2 + ab ⎛⎜ a + b ⎞⎟
⎟
⎟
P ≥ ⎢⎢
+
−
≥
2
.
−
⎜
⎜⎜
⎟
2 ⎥⎦ ⎜⎝ c ⎟⎟⎠
2
c(ab + c 2 )
c(ab + c 2 )
⎝ c ⎟⎠
⎣
!
.!
2
2(a + b) ⎛⎜ a + b ⎞⎟
a

+
b
⎟ = f (t ) = 2t −t 2 ,t =
=
−⎜
∈ (1;2⎤⎦⎥
⎜⎝ c ⎟⎠⎟
c
c
Khảo!sát!hàm!số!f(t)!trên!nửa!khoảng! (1;2⎤⎦⎥ ta!có! f (t ) ≥ f (2) = −2 .!
Ta!có!kết!quả!tương!tự.!
!
!!!!
!
!!
!
!
!
!

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))
!

9!


!

Khoá)giải)đề)THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam)
Môn:)Toán;)ĐỀ)SỐ)33/50)

Ngày)thi):)04/04/2015)
Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)không)kể)thời)gian)giao)đề)
Liên)hệ)đăng)ký)khoá)học)–)Hotline:)0976)266)202)–)Chi)tiết:)www.mathlinks.vn))
)
Câu)1)(2,0)điểm).!Cho!hàm!số! y = x 3 −3x 2 + 4 (1) .!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!
2. Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!các!giao!điểm!của!(1)!với!trục!hoành.!
Câu)2)(1,0)điểm).)
a) Cho!góc!a!thoả!mãn! sin a =

1

π
,a ∈ ( ;π) .!Tính!giá!trị!của!biểu!thức! M = (tan a +1).cos2a .!
2
5

b) Cho!số!phức!z!thoả!mãn! z + 2.z = 6−3i .!Tìm!số!phức!liên!hợp!của!z.!
Câu)3)(0,5)điểm).!Giải!phương!trình! log3 (x +1) + 3 = 2 log3 (x + 7) .!
Câu)4)(1,0)điểm).!Giải!bất!phương!trình! 8 x(x 2 − x − 2) + 4−8x ≥ (x 2 − 2x)2 .!
π
2

Câu)5)(1,0)điểm).)Tính!tích!phân! I = ∫ (cos x + x.e x )dx .!
0

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và
tam giác SBC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H
của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(2;0;0)!và!B(1;1;b1).!
Viết!phương!trình!mặt!phẳng!(P)!đi!qua!ba!điểm!O,A,B.!Viết!phương!trình!mặt!cầu!(S)!đi!qua!
O,A,B!và!có!bán!kính!nhỏ!nhất.!
Câu)8)(1,0)điểm).)Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!đỉnh!B(2;9)!và!
giao!điểm!của!đường!phân!giác!trong!góc!A!với!đường!phân!giác!ngoài!góc!B!của!tam!giác!
ABC!là!điểm!K(14;15).!Đường!thẳng!đi!qua!K!vuông!góc!với!AK!cắt!các!đường!thẳng!AB,AC!
lần!lượt!tại!D,E!thoả!mãn! BD.CE = 288 .!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,C!biết!D!có!hoành!độ!dương!
nằm!trên!đường!thẳng! 10x − y + 7 = 0 .!
Câu)9)(1,0)điểm).!Trong!một!kỳ!thi!vấn!đáp!thí!sinh!A!phải!đứng!trước!ban!giám!khảo!chọn!
ngẫu!nhiên!3!phiếu!câu!hỏi!từ!một!thùng!phiếu!gồm!50!phiếu!câu!hỏi,!trong!đó!có!4!cặp!
phiếu!câu!hỏi!mà!mỗi!cặp!phiếu!có!nội!dung!khác!nhau!từng!đôi!một!và!trong!mỗi!một!cặp!
phiếu!có!nội!dung!giống!nhau.!Tính!xác!suất!để!thí!sinh!A!chọn!được!3!phiếu!câu!hỏi!có!nội!
dung!khác!nhau.!
Câu)10)(1,0)điểm).!Cho!các!số!thực! a,b,c ∈ ⎡⎢1;2⎤⎥ thoả!mãn! a 2 + b 2 + c 2 = 6 .!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!
⎣

⎦

của!biểu!thức! P = 4− a + 4− b + 4− c .!!!!!
mmmHẾTmm
2

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn!

2

2

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

1!


!
PHÂN)TÍCH)BÌNH)LUẬN)ĐÁP)ÁN)
Câu)1)(2,0)điểm).!Cho!hàm!số! y = x 3 −3x 2 + 4 (1) .!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!
2. Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!các!giao!điểm!của!(1)!với!trục!hoành.!
1. Học!sinh!tự!giải.!
⎡ x = −1

2. Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm:! x 3 −3x 2 + 4 = 0 ⇔ (x +1)(x − 2)2 = 0 ⇔ ⎢⎢

⎢⎣ x = 2

.!

Ta!có:! y ' = 3x 2 − 6x .!!
+)!Nếu! x = −1⇒ y '(−1) = 9; y(−1) = 0 !nên!tiếp!tuyến!là:!
y = 9(x +1) + 0 = 9x + 9 .!!!!
+)!Nếu! x = 2 ⇒ y '(2) = 0; y(2) = 0 nên!tiếp!tuyến!là! y = 0 .!
Kết!luận:!Vậy!có!hai!tiếp!tuyến!!cần!tìm!là! y = 0; y = 9x + 9 .!!!!
Câu)2)(1,0)điểm).)
1

π

,a ∈ ( ;π) .!Tính!giá!trị!của!biểu!thức! M = (tan a +1).cos2a .!
2
5

a) Cho!góc!a!thoả!mãn! sin a =

b) Cho!số!phức!z!thoả!mãn! z + 2.z = 6−3i .!Tìm!số!phức!liên!hợp!của!z.!
1

4

π

5

5

2

a)!Ta!có:! cos2 a = 1−sin 2 a = 1− = .!Vì! a ∈ ( ;π) ⇒ cosa < 0 ⇒ cosa = −
Do!đó! M = (

sin a
cosa

+1).(2 cos2 a −1) = (

2
5

.!

1

4
3
+1).(2. −1) = .!!!!
−2
5
10

b)!Đặt! z = x + y.i(x, y ∈ !) ,!theo!giả!thiết!ta!có:!
⎧3x − 6 = 0 ⎪
⎧x = 2
⎪
x + y.i + 2(x − y.i) = 6−3i ⇔ (3x − 6) + (3− y).i = 0 ⇔ ⎪
⇔⎪
⇒ z = 2 + 3i,z = 2 −3i .!
⎨
⎨
⎪
⎪
3−
y
=
0
y
=
3
⎪

⎪
⎩
⎩

Vậy! z = 2 −3i .!!
Câu)3)(0,5)điểm).!Giải!phương!trình! log3 (x +1) + 3 = 2 log3 (x + 7) .!
Điều!kiện:! x >−1 .!
Phương!trình!tương!đương!với:!
!

log3 (x +1) + log3 27 = log3 (x + 7)2 ⇔ log3 ⎡⎢ 27(x +1)⎤⎥ = log3 (x + 7)2
⎣
⎦
!.!
⎡x = 2
⇔ 27(x +1) = (x + 7)2 ⇔ x 2 −13x + 22 = 0 ⇔ ⎢⎢
(t / m)
⎢⎣ x = 11

Vậy!phương!trình!có!hai!nghiệm! x = 2; x = 11 .!!!

Câu)4)(1,0)điểm).!Giải!bất!phương!trình! 8 x(x 2 − x − 2) + 4−8x ≥ (x 2 − 2x)2 .!
⎡x ≥ 2

Điều!kiện!xác!định:! ⎢⎢

⎣⎢−1≤ x ≤ 0

.!

Bất!phương!trình!tương!đương!với:!
8 x(x 2 − x − 2) + 4−8x ≥ x 4 − 4x 3 + 4x 2 ⇔ 8 x(x 2 − x − 2) + 4x 3 − 4x 2 −8x + 4 ≥ x 4

.!

⇔ 4(2 x(x 2 − x − 2) + x(x 2 − x − 2) +1) ≥ x 4
⇔ 4( x(x − x − 2) +1) ≥ x ⇔ 2( x(x − x − 2) +1) ≥ x (1)
2

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn!

2

4

2

2

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

2!


!
+)!Nếu! −1≤ x ≤ 0 ⇒ VP(1) ≤1≤ VT(1) ;!bất!phương!trình!luôn!đúng.!
+)!Nếu! x ≥ 2 bất!phương!trình!tương!đương!với:!
x 2 − 2 x(x 2 − x − 2) − 2 ≤ 0 ⇔ (x 2 − x − 2)− 2 x(x 2 − x − 2) + x ≤ 0

!

.!

⇔ ( x 2 − x − 2 − x )2 ≤ 0 ⇔ x 2 − x − 2 = x
⎡
x = 1− 3(l)
⇔ x 2 − 2x − 2 = 0 ⇔ ⎢⎢
⎢ x = 1+ 3(t / m)
⎣

{

}

Kết!hợp!2!trường!hợp!ta!có!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là! S = ⎡⎢−1;0⎤⎥ ∪ 1+ 3 .!!
⎣

⎦

Bài)tập)tương)tựm)

{

x 2 − 4x

}

)2 .!Đ/s:! S = ⎡⎢−1;0⎤⎥ ∪ 2 + 6 .!!!!
⎣

⎦
⎧
⎫
⎪
3+ 17 ⎪
⎪
⎪
2
2
2
⎡
⎤
⎪
⎪
Bài)2.)Giải!bất!phương!trình! 8 2x(x − x − 2) + 4−16x ≥ (x −3x) .!Đ/s:! S = ⎢−1;0⎥ ∪ ⎨
⎬ .!
⎣
⎦ ⎪
2 ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭

Bài)1.)Giải!bất!phương!trình! 8 3x(x 2 − x − 2) +1− 6x ≥ (

2

π
2

Câu)5)(1,0)điểm).)Tính!tích!phân! I = ∫ (cos x + x.e x )dx .!
0

π

π

2

2

0

0

+)!Ta!có:! I = ∫ cos x dx + ∫ x.e x dx .!
π

π

2

+)! I1 = ∫ cos x dx = sin x 2 = 1 .!
0

0

π

π

2

2

π

0

0

0

π
2

π

π

π

+)! I 2 = ∫ x.e x dx = ∫ xd(e x ) = x.e x 2 − ∫ e x dx = e 2 − e x 2 =
+)!Vậy! I = I1 + I 2 = 1+

π−2
2

π

e +1=
2

2

0

π−2
2

π−2
2

0

π

e 2 +1 .!

π

e 2 + 2 .!!!!

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và
tam giác SBC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H
của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Tam giác ABC vuông tại A, nên

BC = a 2 + (a 3)2 = 2a,SABC =

1
2

AB.AC =

Do tam giác SBC vuông tại S nên SH =
1

1

a2 3

3

3

2

Vì vậy VS.ABC = SH.SABC = .a.

=

a2 3
2

BC
2

=a.

a3 3
6

.

(đvtt).

+) Do BC = 2HC , nên d(B;(SAC)) = 2d(H;(SAC)) .
Kẻ HI song song với AB cắt AC tại I, Kẻ HK vuông góc với SI tại K, ta có HK ⊥ SI (1) .
Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn!

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

3!


!
Ta có AC ⊥ HI, AC ⊥ SH ⇒ AC ⊥ (SHI) (2) .
Từ (1), (2) suy ra: HK ⊥ (SAC),HK = d(H;(SAC)) .
Tam giác vuông SHI có:
IH =

Vì vậy d(B;(SAC)) =

a
1
1

1
4
1
a
.
= ,SH = a ⇒
= 2+
= 2 + 2 ⇒ HK =
2
2
2
2
HK
HI
SH
a
a
5

AB

2a 5
5

.

Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(2;0;0)!và!B(1;1;b1).!
Viết!phương!trình!mặt!phẳng!(P)!đi!qua!ba!điểm!O,A,B.!Viết!phương!trình!mặt!cầu!(S)!đi!qua!
O,A,B!và!có!bán!kính!nhỏ!nhất.!
!!"

!!"

⎡
⎢⎣

!!" !!"

⎤
⎥⎦

Ta!có:! OA = (2;0;0),OB = (1;1;−1) ⇒ ⎢OA,OB ⎥ = (0;2;2) / /(0;1;1) .!
+)!Mặt!phẳng!(P)!đi!qua!O!và!nhận!(0;1;1)!làm!véc!tơ!pháp!tuyến!nên!có!phương!trình!
(P) : y + z = 0 .!
+)!Gọi!I!là!tâm!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!OAB,!do!I!thuộc!(P)!nên! I(x; y;−y) .!
Ta!có:!
⎧⎪ x = 1
⎪⎪
⎪⎧⎪IO 2 = IA 2 ⎪⎧⎪ x 2 + 2y 2 = (x − 2)2 + 2y 2
1 1
⎪⎨
⇔
⇔
⇒ I(1; ;− ) .!
⎨ 2
⎨
⎪⎪IO = IB 2 ⎪⎪ x 2 + 2y 2 = (x −1)2 + 2(y −1)2 ⎪⎪ y = 1
4 4
⎩
⎩

⎪⎪⎩
4

+)!Gọi!K!là!tâm!mặt!cầu!(S)!và!R!là!bán!kính!của!(S),!ta!có:!
R 2 = KI 2 + IO 2 ≥ IO 2 =

9
8

1

1

4

4

.!Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! K ≡ I ⇒ K(1; ;− ) .!

1

1

9

4

4

8

Vậy! (S) : (x −1)2 + (y − )2 + (z + )2 = .!!!!!!!!
Câu)8)(1,0)điểm).)Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!đỉnh!B(2;9)!và!
tâm!đường!tròn!bàng!tiếp!góc!A!là!điểm!K(14;15).!Đường!thẳng!đi!qua!K!vuông!góc!với!AK!
cắt!các!đường!thẳng!AB,AC!lần!lượt!tại!D,E!thoả!mãn! BD.CE = 288 .!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,C!
biết!D!có!hoành!độ!dương!nằm!trên!đường!thẳng! 10x − y + 7 = 0 .!
Tam!giác!ADE!cân!tại!A!(do!có!đường!cao!cũng!là!
!

!

đường!phân!giác). ⇒ D = E (1).!
Tứ!giác!BDCE!có:!
! ! ! !
! " "
B + C + D + E = 360 0 ⇒ E + KCE + KBD = 180 0 (2) .!

Xét!tam!giác!KCE!có:!
! " "
E + KCE + CKE = 180 0 (3) .!!!!
! !
Từ!(2),(3)!suy!ra:! CKE = KBD (4) .!

Từ!(1),(4)!suy!ra!tam!giác!DBK!đồng!dạng!với!tam!giác!
EKC.!
!

Do!đó!

DB

EK

=

DK
CE

⇒ BD.CE = EK.DK = DK 2 (*).!

+)!Gọi! D(a;10a + 7),a > 0 từ!(*)!ta!có!phương!trình:!
Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn!

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

4!


!
⎡ a = 2(t / m)
⎢
(a −14) + (10a −8) = 288 ⇔ 101a −188a − 28 = 0 ⇔ ⎢⎢
14 .!
(l)
⎢a = −
101
⎣
2

2

2

Vậy!D(2;27),!K!là!trung!đểm!của!DE!nên!E(26;3).!
+)!Đường!thẳng!AB!đi!qua!B,D!nên!có!phương!trình:! x − 2 = 0 .!
+)!Đường!thẳng!AK!đi!qua!K!và!vuông!góc!với!DE!nên!có!phương!trình!là! x − y +1= 0 .!
⎧
⎧
⎪x − 2 = 0
⎪x = 2
⇔⎪
⇒ A(2;3) .!
⎨
⎪
⎪y = 3
⎪
⎩ x − y +1= 0 ⎪
⎩
+)!Đường!thẳng!AC!đi!qua!A,E!nên!có!phương!trình!là! y −3 = 0 .!

Toạ!độ!điểm!A!là!nghiệm!của!hệ! ⎪⎨

Đường!thẳng!BC!đối!với!AB!đối!xứng!qua!đường!thẳng!KB!nên!có!phương!trình!!
3x + 4y − 42 = 0 .!
⎧ y −3 = 0
⎧ x = 10
⎪
⎪
⇔⎪
⇒ C(10;3) .!!!!!

⎨
⎪
⎪3x + 4y − 42 = 0 ⎪
⎪
⎩
⎩y = 3

Toạ!độ!điểm!C!là!nghiệm!của!hệ! ⎪⎨

Kết)luận:!Vậy!A(2;3),!C(10;3).!
Bình)luận:!Với!giả!thiết!bài!toán!liên!quan!đến!tích!độ!dài!hoặc!tỷ!số!độ!dài!các!chúng!ta!cần!
chú!ý!đến!việc!chứng!minh!hai!tam!giác!đồng!dạng!với!nhau.!
Bài)tập)tương)tự)m!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!tâm!đường!tròn!nội!tiếp!
là!I(1;0).!Đường!thẳng!vuông!góc!với!AI!tại!I!cắt!các!cạnh!AB,AC!lần!lượt!tại!M,N!thoả!mãn!
BM.CN = 50 .!Viết!phương!trình!đường!thẳng!AC!biết!rằng!P(3;11)!thuộc!đường!thẳng!AB,!M!
có!hoành!độ!âm!và!thuộc!đường!thẳng! x + y + 7 = 0 .!!
HD:!Chứng!minh!tam!giác!MBI!đồng!dạng!với!tam!giác!NIC.!
Suy!ra:! BM.CN = MI.NI = MI 2 ⇒ M(−6;−1) ,!I!là!trung!điểm!MN!suy!ra!N(8;1).!
+)!Viết!pt!AI,AB!và!tìm!được!A(0;7),!đường!thẳng!AC!đi!qua!A,N!nên!có!pt!là! 3x + 4y − 28 = 0 .!!!!!!!
Câu)9)(1,0)điểm).!Trong!một!kỳ!thi!vấn!đáp!thí!sinh!A!phải!đứng!trước!ban!giám!khảo!chọn!
ngẫu!nhiên!3!phiếu!câu!hỏi!từ!một!thùng!phiếu!gồm!50!phiếu!câu!hỏi,!trong!đó!có!4!cặp!
phiếu!câu!hỏi!mà!mỗi!cặp!phiếu!có!nội!dung!khác!nhau!từng!đôi!một!và!trong!mỗi!một!cặp!
phiếu!có!nội!dung!giống!nhau.!Tính!xác!suất!để!thí!sinh!A!chọn!được!3!phiếu!câu!hỏi!có!nội!
dung!khác!nhau.!
Không!gian!mẫu!là!số!cách!chọn!tuỳ!ý!3!phiếu!câu!hỏi!từ!thùng!đựng!50!phiếu!câu!hỏi,!vậy!
3
.!
Ω = C50

+)!Gọi!A!là!biến!cố!thí!sinh!A!chọn!được!3!phiếu!câu!hỏi!khác!nhau.!

Để!tìm!số!phần!tử!của!A!ta!tìm!số!phần!tử!của!biến!cố! A ,!lúc!này!cần!chọn!được!1!trong!4!cặp!
phiếu!có!câu!hỏi!giống!nhau!và!chọn!1!phiếu!trong!48!phiếu!còn!lại.!
Vậy! Ω A = 48.C41 .!
Vậy!xác!suất!cần!tính! P =

ΩA
Ω

=

Ω−Ω
Ω

A

=

3
C50
− 48.C41
3

C50

=

1213
1225

≈ 0,9902 .!!!

Câu)10)(1,0)điểm).!Cho!các!số!thực! a,b,c ∈ ⎡⎢1;2⎤⎥ thoả!mãn! a 2 + b 2 + c 2 = 6 .!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!
⎣

⎦

của!biểu!thức! P = 4− a + 4− b + 4− c .!
2

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn!

2

2

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

5!


!
Theo!giả!thiết!a,b,c!là!độ!dài!3!cạnh!một!tam!giác!có!thể!suy!biến!(!tức!có!thể!xảy!ra!
a + b = c hoặc! b = c + a !hoặc! c = a + b ).!
Ta!có:!
P=

2(b 2 + c 2 )− a 2
3

+

2(c 2 + a 2 )− b 2
3

+

2(a 2 + b 2 )− c 2
3

=

2
3

(ma + mb + mc) .!

Trong!đó!ma,mb,mc!là!độ!dài!ba!đường!trung!tuyến!kẻ!từ!A,B,C.!
Ta!cũng!có!ma,mb,mc!cũng!là!độ!dài!ba!cạnh!của!một!tam!giác!
Thậy!vậy!vì!tính!đối!xứng!của!ma,mb,mc!ta!chỉ!cần!chứng!minh! ma + mb ≥ mc .!
⇔ 2(b 2 + c 2 )− a 2 + 2(c 2 + a 2 )− b 2 ≥ 2(a 2 + b 2 )− c 2

!

.!

⇔ 2 2(b 2 + c 2 )− a 2 . 2(c 2 + a 2 )− b 2 ≥ a 2 + b 2 − 5c 2
⇔ 2 (2x − y + 2)(2y − x + 2) ≥ x + y − 5 (x =

+)!Nếu! x + y − 5< 0 bất!đẳng!thức!luôn!đúng.!

+)!Nếu! x + y − 5≥ 0 ,!ta!chỉ!cần!chứng!minh!

a

2

c

2

,y =

b

2

c2

)

4(2x − y + 2)(2y − x + 2) ≥ (x + y − 5)2 ⇔ x 2 + y 2 − 2xy − 2x − 2y +1≤ 0

!

.!

⇔ (x − y +1)2 ≤ 4x ⇔ −2 x ≤ x − y +1≤ 2 x
⇔ ( x −1)2 ≤ y ≤ ( x +1)2 ⇔

x −1 ≤ y ≤ x +1 ⇔ a − c ≤ b ≤ a + c

Bất!đẳng!thức!cuối!luôn!đúng.!
Áp!dụng!ta!có:!

!

⎪⎧⎪ma + mb ≥ mc ⎪⎧⎪mc(ma + mb) ≥ mc 2
⎪⎪
⎪⎪
2
⎨mb + mc ≥ ma ⇒ ⎨ma(mb + mc) ≥ ma
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪mc + ma ≥ mb ⎪⎪mb(mc + ma) ≥ mb 2
⎩
⎩
.!
⇒ 2(ma.mb + mb.mc + mc.ma) ≥ ma 2 + mb 2 + mc 2
3
⇒ (ma + mb + mc)2 ≥ 2(ma 2 + mb 2 + mc 2 ) = (a 2 + b 2 + c 2 ) = 9
2
⇒ ma + mb + mc ≥ 3 ⇒ P ≥ 2 3

Nhận!thấy! a = 2,b = c = 1 dấu!bằng!xảy!ra.!Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng! 2 3 .!
Bình)luận:!Lời!giải!trên!dựa!vào!tính!chất!hình!học!của!tam!giác!đó!là!độ!dài!3!đường!trung!
tuyến!cũng!là!độ!dài!ba!cạnh!của!một!tam!giác.!
+)!Ngoài!ra!ta!có!thể!chứng!minh!trực!tiếp!các!bất!đẳng!thức:!
2(b 2 + c 2 )− a 2 + 2(c 2 + a 2 )− b 2 ≥ 2(a 2 + b 2 )− c 2 ,
2(c 2 + a 2 )− b 2 + 2(a 2 + b 2 )− c 2 ≥ 2(b 2 + c 2 )− a 2 , !
2(b 2 + c 2 )− a 2 + 2(a 2 + b 2 )− c 2 ≥ 2(c 2 + a 2 )− b 2

Rồi!áp!dụng!tương!tự!cách!trên.!
+)!Nếu!đổi!giả!thiết!thành! 4− a 2 + 4− b 2 + 4− c 2 = 2 3(a,b,c ∈ ⎡⎢1;2⎤⎥ ) .!Bài!toán!đặt!ra!tìm!giá!
⎣

trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = a + b + c .!!!
Cách%2:!
2

2

⎦

2

{

}

⎡
⎢⎣

⎤
⎥⎦

Không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử! a = max a;b;c ⇒ a ∈ ⎢ 2;2⎥ ,!ta!có:!
Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn!

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

6!


!
4− b 2 + 4− c 2 = 8− b 2 − c 2 + 2 (4− b 2 )(4− c 2 )
= 2 + a 2 + 2 16− 4(b 2 + c 2 ) + b 2 c 2

!

.!

= 2 + a + 2 4a −8+ b c
2

2

2 2

≥ 2 + a 2 + 2 4a 2 − 7
⎡
⎤
Vì!vậy! P ≥ 4− a 2 + 2 + a 2 + 2 4a 2 − 7 ≥ 2 3,∀a ∈ ⎢ 2;2⎥ .!!!!
⎢⎣
⎥⎦

Cách%3:%Với!mọi! x ∈ ⎡⎢1;2⎤⎥ !ta!có:! 4− x 2 ≥
⎣

−2x 2 + 3x + 2

⎦

3

(*) .%

Thật!vậy,!sau!khi!bình!phương!hai!vế!bất!đẳng!thức!tương!đương!với:!! (x − 2)(x −1)2 (x +1) ≤ 0 .!
Áp!dụng!bất!đẳng!thức!(*)!ta!có:!
!

P ≥−

2
3

(a 2 + b 2 + c 2 ) + 2 3 + 3(a + b + c) = 3(a + b + c)− 2 3 .!

Lại!có:!
!

(a −1)(a − 2) ≤ 0 ⇒ a ≥

a2 + 2
3

⇒ a+b+c≥

a 2 + b 2 + c2 + 6
3

= 4 .!

Vì!vậy! P ≥ 3.4− 2 3 = 2 3 .!!!
Bài)tập)tương)tựm!
Bài)1.!Cho!các!số!thực! a,b,c ∈ ⎡⎢1;2⎤⎥ thoả!mãn! 4− a 2 + 4− b 2 + 4− c 2 = 2 3 .!Tìm!giá!trị!lớn!
⎣

⎦

nhất!của!biểu!thức! P = a + b + c 2 .!!!!
!
!!!!!!!!!!!
2

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn!

2

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

7!


KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%

Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%–%Thầy:%Đặng%Thành%Nam%
Môn:%Toán;%ĐỀ%SỐ%23/50%
Ngày%thi%:%10/04/2015%

Thời%gian%làm%bài:%180%phút,%không%kể%thời%gian%giao%đề%
Liên%hệ%đăng%ký%khoá%học%–%Hotline:%0976%266%202%–%Chi%tiết:%www.mathlinks.vn%
Câu%1%(2,0%điểm).%Cho!hàm!số! y =

2x
x−2

(1) .!

1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!
2. Cho!điểm!I(2;2).!Tìm!điểm!M!thuộc!(1)!sao!cho!tiếp!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!M!vuông!góc!với!
đường!thẳng!IM.!
Câu%2%(1,0%điểm).%
a) Giải!phương!trình! tan x −1= 2 sin(x +

3π
4

) .!!
4

2

b) Cho!số!phức!z!thoả!mãn! (1+ 2i).z = 3+ i .!Tính!giá!trị!của!biểu!thức! A = z − z +1 .!
Câu%3%(0,5%điểm).!Giải!phương!trình! log2

x +1
x

= log4 x 2 +1 .!

Câu%4%(1,0%điểm).!Giải!bất!phương!trình! x +1+ x 2 + x +1 −
3

Câu%5%(1,0%điểm).!Tính!tích!phân! I = ∫
2

(x +1) − x.ln x
2

x2

x 2 − x +1 +1
x

1
≤ − x −1 .!
x

dx .!!

Câu%6%(1,0%điểm).!Cho!hình!lăng!trụ!đứng!ABC.A’B’C’!có!đáy!ABC!là!tam!giác!đều!cạnh!a,!
A 'B =

a 7
2

.!Gọi!M,N,P!lần!lượt!là!trung!điểm!các!cạnh!A’B’,A’C’,CC’.!Tính!thể!tích!khối!lăng!

trụ!ABC.A’B’C’!và!khoảng!cách!từ!điểm!A!đến!mặt!phẳng!(MNP).!!

Câu%7%(1,0%điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!đường!tròn! (C ) : x 2 + y 2 =1 .!Gọi!
A!là!điểm!thuộc!đường!thẳng! y −3 = 0 !và!B,C!lần!lượt!là!các!tiếp!điểm!của!tiếp!tuyến!kẻ!từ!A!
đến!(C).!Qua!B!kẻ!đường!thẳng!song!song!với!AC!cắt!(C)!tại!D,!AD!cắt!(C)!tại!E.!Tìm!toạ!độ!
điểm!A,!biết!BE!cắt!AC!tại!điểm!I(1;2).!
Câu%8%(1,0%điểm).%Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(1;2;t1)!và!B(0;0;2).!
!"
!
!"
!
Tìm!toạ!độ!điểm!I!thoả!mãn! IA = 2IB .!Viết!phương!trình!đường!thẳng! Δ đi!qua!I,!cắt!trục!Oz!

và!vuông!góc!với!đường!thẳng!AB.!!!
Câu%9%(0,5%điểm).%Từ!một!ngân!hàng!20!câu!hỏi,!trong!đó!có!4!câu!hỏi!khó!người!ta!xây!dựng!
thành!hai!đề!thi!mỗi!đề!thi!gồm!10!câu,!và!các!câu!trong!một!đề!được!đánh!số!thứ!tự!từ!Câu!1!
đến!Câu!10.!Tính!xác!suất!để!xây!dựng!được!hai!đề!thi!mà!mỗi!đề!thi!đều!gồm!2!câu!hỏi!khó.!!
Câu%10%(1,0%điểm).!Cho!a,b,c,m,n,p!là!các!số!thực!thoả!mãn! a 2 + b 2 + c 2 = m2 + n2 + p 2 = 9 .!Tìm!
giá!trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = 9− a − 2b − 2c + 9− m− 2n− 2 p + 9− am− bn− cp .!!
wwwHẾTwww%
Hotline:%0976%266%202%%
Chi%tiết:%Mathlinks.vn!

Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%%

1!


KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%

%

PHÂN%TÍCH%BÌNH%LUẬN%ĐÁP%ÁN%
Câu%1%(2,0%điểm).%Cho!hàm!số! y =

2x
x−2

(1) .!

1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!
2. Cho!điểm!I(2;2).!Tìm!điểm!M!thuộc!(1)!sao!cho!tiếp!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!M!vuông!góc!với!
đường!thẳng!IM.!
1. Học!sinh!tự!giải.!
2. Gọi! M(m;

kIM =

2m
m− 2

) ∈ (1),m ≠ 2 ,!suy!ra!hệ!số!góc!của!đường!thẳng!IM!là!
2m

−2
4
.!
= m− 2
=
x M − xI
m− 2
(m− 2)2

y M − yI

+)!Hệ!số!góc!của!tiếp!tuyến!với!(1)!tại!M!là! k = y '(m) =
Theo!giả!thiết!ta!có:! kIM .k = −1 ⇔

−4
(m− 2)2

.!

⎡ m− 2 = 2
⎡m = 4
4
⎢
⎢
.!
=
−1
⇔
(m−
2)
=
16
⇔
⇔
⎢
⎢
(m− 2)4
⎢⎣ m− 2 = −2 ⎢⎣ m = 0
−16

+)!Vậy!có!hai!điểm!M(4;4)!và!M(0;0).!!!!!
Câu%2%(1,0%điểm).%

a) Giải!phương!trình! tan x −1= 2 sin(x +

3π
4

) .!!
4

2

b) Cho!số!phức!z!thoả!mãn! (1+ 2i).z = 3+ i .!Tính!giá!trị!của!biểu!thức! A = z − z +1 .!
π

a) Điều!kiện:! cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ,k ∈ ! .!
2

Phương!trình!tương!đương!với:!
sin x − cos x
cos x

= −sin x + cos x ⇔ (sin x − cos x)(cos x +1) = 0

⎡
⎡sin x = cos x ⎡ tan x = 1
⎢ x = π + kπ
⎢

⎢
⇔⎢
⇔⎢
⇔ ⎢⎢
,k ∈ !
4
⎢⎣ cos x = −1
⎢⎣ cos x = −1 ⎢
⎣ x = π + k2π

.!

π

Vậy!phương!trình!có!nghiệm! x = + kπ; x = π + k2π,k ∈ ! .!!
4

b) !Ta!có:! z =

3+ i
1+ 2i

=

(3+ i)(1− 2i)
5

=

5− 5i

5

= 1−i ⇒ z = 2 .!

Do!đó! A = ( 2)4 −( 2)2 +1= 4− 2 +1= 3 .!!
Câu%3%(0,5%điểm).!Giải!phương!trình! log2 (
Hotline:%0976%266%202%%
Chi%tiết:%Mathlinks.vn!

x +1
x

) = log4 x 2 +1 .!

Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%%

2!


KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
⎪⎧⎪ x ≠ 0
⎡x > 0
⎪
Điều!kiện:! ⎪⎨ x +1
.!Phương!trình!tương!đương!với:!
⇔ ⎢⎢
⎪⎪
> 0 ⎢⎣ x <−1
⎪⎪⎩ x
⎡⎧

⎪x > 0
⎢⎪
⎪
⎢⎪
x +1
⎢⎨
2x =
⎪
⎢⎪
⎪
x +1
x +1
x +1
x
⎩
log2 (
) = log2 x + log2 2 ⇔ log2 (
) = log2 2 x ⇔
= 2 x ⇔ ⎢⎢⎪
⇔ x = 1 .!
⎪
x
x
x
⎢⎧
x
<−1
⎪
⎢⎪
⎪

⎢⎨
x +1
⎢⎪
−2x =
⎪
⎢⎣⎪
x
⎪
⎩

Vậy!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! x = 1 .!!

x 2 − x +1 +1

Câu%4%(1,0%điểm).!Giải!bất!phương!trình! x +1+ x 2 + x +1 −

x

1
≤ − x −1 .!
x

Điều!kiện:! x > 0 .!
Bất!phương!trình!tương!đương!với:!!!
x +1+ x 2 + x +1 −

x 2 − x +1 +1
x

1

≤ − x −1
x

(x +1) + (x +1) −(x +1) +1 + x +1≤
2

1
x

+

1
x2

1

1

.!

− +1 + (1)
x
x

Xét!hàm!số! f (t) = t + t 2 −t +1 + t ,!ta!có:!
1+
f '(t) = 1+

2t −1
2 t 2 −t +1

2t −1+ 2 t 2 −t +1

= 1+

2 t + t −t +1

4 t + t −t +1. t −t +1

2

2

2

> 0 ,!!

bởi!vì! 2t −1+ 2 t 2 −t +1 = 4t 2 − 4t + 4 + 2t −1= (2t −1)2 + 3 + 2t −1> 2t −1 + 2t −1≥ 0 .!!!!
1

x 2 + x −1

x

x

Do!đó!f(t)!là!hàm!đồng!biến.!Vì!vậy (1) ⇔ x +1≤ ⇔

≤0⇔ 0

−1+ 5
2

(do x > 0) .!!

⎛
⎤
⎜ −1+ 5 ⎥
⎥ .!!
⎜⎜
⎥
2
⎝
⎦

Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là! S = ⎜⎜0;
Bài%tập%tương%tựw%%

)

Giải!bất!phương!trình! x +1+ x 2 + x +1 − 2x + 4x 2 − 2x +1 ≥ x −1 .!Đ/s:! S = ⎡⎢1;+∞ .!!!
⎣

3

Câu%5%(1,0%điểm).!Tính!tích!phân! I = ∫
2

3

+)!Ta!có:!! I = ∫
2

(x +1)2
x

2

3

dx − ∫

Hotline:%0976%266%202%%
Chi%tiết:%Mathlinks.vn!

2

ln x
x

(x +1)2 − x.ln x
x2

dx .!!

dx .!

Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%%

3!

KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
3

+)! I1 = ∫

(x +1)2
x

2

3

+)! I 2 = ∫

2

2 1
1 3 7
3
dx = ∫ (1+ + 2 )dx = (x + 2 ln x − ) = + 2 ln .!
x x
x 2 6
2
2
3

ln x

2

3

1
3 ln 2 3− ln 2 2
.!
dx = ∫ ln xd(ln x) = ln 2 x =
x
2
2
2
2
7

3

ln 2 3− ln 2 2

6

2

2

+)! I = I1 − I 2 = + 2 ln −

.!!!!

Câu%6%(1,0%điểm).!Cho!hình!lăng!trụ!đứng!ABC.A’B’C’!có!đáy!ABC!là!tam!giác!đều!cạnh!a,!

A 'B =

a 7
2

.!Gọi!M,N,P!lần!lượt!là!trung!điểm!các!cạnh!A’B’,A’C’,CC’.!Tính!thể!tích!khối!lăng!

trụ!ABC.A’B’C’!và!khoảng!cách!từ!điểm!A!đến!mặt!phẳng!(MNP).!!
1

a2 3

2

4

+)! SABC = AB.AC sin 60 0 =

.!!!

Tam!giác!vuông!A’AB!có:!
7a 2

! AA ' = A 'B 2 − AB 2 =

4

+)! VABC.A 'B 'C ' = AA '.SABC =

− a2 =

a 3
2

.!!

a 3 a 2 3 3a 3
.
=
(đvtt).!
2
4
8

+)!Gọi!P’!là!trung!điểm!của!BB’!ta!có!PP’//B’C’//MN!nên!
mặt!phẳng!(MNP)!là!mặt!phẳng!(MNPP’).!
Gọi!E,E’,L,J!lần!lượt!là!trung!điểm!của!B’C’,BC,MN,EE’!ta!
có:!LJ!là!giao!tuyến!của!mặt!phẳng!(AA’E’E)!với!mặt!
phẳng!(MNP).!
! Đường!thẳng!AE’!cắt!LJ!tại!H,!cắt!A’E!tại!I.!
Ta!có:!BC!vuông!góc!với!mặt!phẳng!(AA’E’E)!và!PP’//BC!nên!PP’!vuông!góc!với!AI!(1).!
Mặt!khác!tam!giác!AA’E!vuông!cân!tại!A!vì! AE = AA ' =

a 3
2

,!do!đó!AI!vuông!góc!với!A’E!(2).!!

Mặt!khác!A’E//LJ!(3).!
Từ!(1),(2),(3)!suy!ra:! AI ⊥ (MNP) ⇒ AH = d(A;(MNP)) .!

+)!Do!LJ!là!đường!trung!bình!của!tam!giác!A’E’E!nên!H!là!trung!điểm!của!IE’,!lại!có!I!là!trung!
3

3

4

4

điểm!của!AE’!nên! AH = AE ' =
Vậy! d(A;(MNP)) =

3a 6
8

AE 2 + EE '2 =

3 3a 2
4

4

+

3a 2
4

=

3a 6

8

.!

.!

Cách%2:!!Gọi!E!là!trung!điểm!BC,!chọn!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!sao!cho:!
A(0;0;0),E(

a 3
2

;0;0),B(

a 3

a
a 3 a
a 3
a 3 a a 3
a 3 a a 3
;− ;0),C(
; ;0), A '(0;0;
),B '(
;− ;
),C '(
; ;
) .!
2
2

2 2
2
2
2 2
2 2 2

Khi!đó!toạ!độ!M,N,P!lần!lượt!là! M(
Hotline:%0976%266%202%%
Chi%tiết:%Mathlinks.vn!

a 3

a a 3
a 3 a a 3
a 3 a a 3
;− ;
), N(
; ;
),P(
; ;
) .!
4
4 2
4 4 2
2 2 4

Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%%

4!

KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%

!!!"
!!!"
a
a 3 3a a 3
; ;−
) / /(1; 3;−1) ,!và!véc!tơ!pháp!tuyến!của!
Suy!ra:!!!! MN = (0; ;0) / /(0;1;0), MP = (
2
4 4
4
!!!!!" ⎛
⎞⎟
⎜
(MNP)!là! n( MNP) = ⎜⎜ 1 0 ; 0 0 ; 0 1 ⎟⎟⎟ = (−1;0;−1) .!!
⎜⎜ 3 −1
−1 1
1
3 ⎟⎟⎠
⎝

Vì!vậy!phương!trình!mặt!phẳng!(MNP)!là! x + z −
−

3a 3
4

= 0 .!

3a 3

Ta!có:! d(A;(MNP)) =

4
2

=

3a 6
8

.!!!!

Câu%7%(1,0%điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!đường!tròn! (C ) : x 2 + y 2 =1 .!Gọi!
A!là!điểm!thuộc!đường!thẳng! y −3 = 0 !và!B,C!lần!lượt!là!các!tiếp!điểm!của!tiếp!tuyến!kẻ!từ!A!
đến!(C).!Qua!B!kẻ!đường!thẳng!song!song!với!AC!cắt!(C)!tại!D,!AD!cắt!(C)!tại!E.!Tìm!toạ!độ!
điểm!A,!biết!BE!cắt!AC!tại!điểm!I(1;2).!
Đường!tròn!(C)!có!tâm!là!gốc!toạ!độ!O(0;0),!bán!kính!
bằng!1.!
Phát%hiện%tính%chất%hình%học:%
Ta!có!I!là!trung!điểm!AC!
Chứng&minh.&
IC!là!tiếp!tuyến!của!đường!tròn!(C)!nên! IC 2 = IE.IB (1) .!
Theo!tính!chất!góc!nôị!tiếp!và!góc!tạo!bởi!tiếp!tuyến!và!
dây!cung!ta!có:!
⎧
! = BDA
!

⎪ EBA
! = EAI
! .!
⎪
⇒ EBA
!
⎨! !
!
⎪
⎪
⎪
⎩ BDA = EAI (so le)
Do!đó!tam!giác!IBA!đồng!dạng!với!tam!giác!IAE(g.g).!!
IA IB
=
⇒ IA2 = IB.IE (2) .!
+)!Suy!ra:!
IE IA
Từ!(1)!và!(2)!suy!ra:! IA = IC !,!hay!I!là!trung!điểm!AC.!
+)!Gọi!A(a;3)!thuộc!đường!thẳng! y −3 = 0 ,!do!I!là!trung!điểm!AC!nên!C(2ta;1).!
Mặt!khác:! OC 2 =1 ⇔ (2−a) 2 +1 =1 ⇔ a = 2 ⇒ A(2;3) .!
Kết%luận:!Vậy!A(2;3)!là!điểm!cần!tìm.!!!
Bình%luận:!Ta!có!thể!chứng!minh!I!là!trung!điểm!AC!như!sau:!
! !
Kẻ!tiếp!tuyến!!với!(C)!tại!D,!cắt!AC!tại!M.!Hình!thang!ABDM!có! DBA = BDM !nên!là!hình!
! "
thang!cân.!Suy!ra:! BAI = M và!C!là!trung!điểm!của!AM.!
Gọi!K!là!trung!điểm!của!AD,!ta!có!CK!là!đường!trung!bình!của!tam!giác!ADM!nên!
MD AB AC
CK =

=
=
!
.!
2
2
2
! = CAK
! , BAI
! = ACK
! nên!bằng!nhau.!
Tam!giác!ABI!và!CAK!có! AB = AC, ABI

Hotline:%0976%266%202%%
Chi%tiết:%Mathlinks.vn!

Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%%

5!


KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
AC
⇒ I !là!trung!điểm!của!AC.!
Do!đó! AI = CK ,!vì!vậy! AI =
2
Câu%8%(1,0%điểm).%Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(1;2;t1)!và!B(0;0;2).!
!"
!

!"
!

Tìm!toạ!độ!điểm!I!thoả!mãn! IA = 2IB .!Viết!phương!trình!đường!thẳng! Δ đi!qua!I,!cắt!trục!Oz!
và!vuông!góc!với!đường!thẳng!AB.!!!
!"
!

!"
!

+)!Vì! IA = 2IB nên!B!là!trung!điểm!của!IA,!do!đó!I(t1;t2;5).!

!!"
+)!Giả!sử!đường!thẳng! Δ cắt!trục!Oz!tại!điểm!M(0;0;t),!ta!có:! IM = (1;2;t − 5) .!
!!"
Đường!thẳng!AB!có!véc!tơ!chỉ!phương! AB = (−1;−2;3) .!

Do!AB!và!! Δ vuông!góc!nên:!!
−1.1− 2.2 + 3(t − 5) = 0 ⇔ 3t −10 = 0 ⇔ t =

!!"
5
⇒ IM = (1;2;− ) / /(3;6;−5) .!
3
3

10

+)!Đường!thẳng! Δ đi!qua!I!và!có!véc!tơ!chỉ!phương!(3;6;t5)!nên!có!phương!trình!là:!

Δ:

x +1
3

=

y+2
6

=

z−5
−5

.!

Câu%9%(0,5%điểm).%Từ!một!ngân!hàng!20!câu!hỏi,!trong!đó!có!4!câu!hỏi!khó!người!ta!xây!dựng!
thành!hai!đề!thi!mỗi!đề!thi!gồm!10!câu,!và!các!câu!trong!một!đề!được!đánh!số!thứ!tự!từ!Câu!1!
đến!Câu!10.!Tính!xác!suất!để!xây!dựng!được!hai!đề!thi!mà!mỗi!đề!thi!đều!gồm!2!câu!hỏi!khó.!
Không!gian!mẫu!là!số!cách!xây!dựng!hai!đề!thi!mỗi!đề!thi!gồm!10!câu!được!chọn!ra!từ!ngân!
hàng!20!câu!hỏi.!
+!Chọn!ra!10!câu!hỏi!cho!đề!thứ!nhất,!sau!đó!sắp!xếp!theo!thứ!tự!từ!câu!1!đến!câu!10!có!
10
C20
.10! !cách.!
+!10!câu!còn!lại!lấy!làm!đề!thứ!hai,!và!sắp!xếp!theo!thứ!tự!từ!câu!1!đến!câu!10!có!10!!cách.!
10
10
Vậy!không!gian!mẫu! Ω = C20

.!
.10!.10!= (10!)2 .C20

+)!Gọi!A!là!biến!cố!xây!dựng!được!hai!đề!thi!mỗi!đề!gồm!2!câu!hỏi!khó.!
+!Chọn!ra!2!câu!hỏi!khó!trong!4!câu,!và!8!câu!hỏi!dễ!trong!16!câu!cho!đề!thứ!nhất,!sau!đó!sắp!
xếp!10!câu!này!theo!thứ!tự!từ!câu!1!đến!câu!10!có! C42 .C168 .10! cách.!
+!10!câu!còn!lại!lấy!làm!đề!thứ!hai,!và!sắp!xếp!theo!thứ!tự!từ!câu!1!đến!câu!10!có!10!!cách.!
Vậy!số!phần!tử!của!biến!cố!A!là! Ω A = C42 .C168 .10!.10!= (10!)2 .C42 .C168 .!
Vậy!xác!suất!cần!tính! P(A) =

ΩA
Ω

=

(10!)2 .C42 .C168
(10!) .C20
2

10

=

135
323

.!!!!

Câu%10%(1,0%điểm).!Cho!a,b,c,m,n,p!là!các!số!thực!thoả!mãn! a 2 + b 2 + c 2 = m2 + n2 + p 2 = 9 .!Tìm!
giá!trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = 9− a − 2b − 2c + 9− m− 2n− 2 p + 9− am− bn− cp .!!

Ta!có:!
P=

(a −1)2 + (b − 2)2 + (c − 2)2
2

Hotline:%0976%266%202%%
Chi%tiết:%Mathlinks.vn!

+

(m−1)2 + (n− 2)2 + (p − 2)2
2

+

(a − m)2 + (b − n)2 + (c − p)2
2

.!

Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%%

6!


KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
+)!Trong!không!gian!Oxyz,!xét!ba!điểm!A(a;b;c),!B(m;n;p),!C(1;2;2),!ta!có!A,B,C!cùng!thuộc!
mặt!cầu!(S)!có!phương!trình: x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,!bán!kính! R = 3 .!!
Và! P =

1
2

(AB + BC + CA) ,!ta!gọi!(P)!là!mặt!phẳng!chứa!tam!giác!ABC.!Khi!đó!(P)!cắt!(S)!theo!

giao!tuyến!mà!một!đường!tròn!bán!kính! R ' = R 2 − d 2 (O;(P)) ≤ R .!!!
+)!Ta!có:! AB + BC + CA ≤ 3 3R ' ≤ 3 3R = 9 3 ⇒ P ≤

9 6
2

.!

Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi!tam!giác!ABC!đều!và!O!là!trọng!tâm!của!tam!giác!ABC.!!
Do!luôn!có!mặt!phẳng!(P)!đi!qua!O,C!và!(P)!cắt!(S)!theo!giao!tuyến!là!một!đường!tròn!(C),!
trên!(C)!luôn!tìm!được!hai!điểm!A,B!để!tam!giác!ABC!nên!dấu!bằng!xảy!ra.!!
Vậy!giá!trị!lớn!nhất!của!P!bằng!

9 6
2

.!!!!

⎧⎪
⎪⎪ 2
2
2
⎪⎪a + b + c = 9
⎪⎪

2
2
2
⎪⎪(a −1) + (b − 2) + (c − 2) = 27
2
2
2
Bình%luận:%Có!thể!cụ!thể!hoá!dấu!bằng!như!sau:! ⎪⎨m + n + p = 9
.!
⎪⎪
⎪⎪(m−1)2 + (n− 2)2 + (p − 2)2 = 27
⎪⎪
⎪⎪ a + m +1 = b + n + 2 = c + p + 2 = 0
⎪⎪⎩
3
3
3

+)!Lời!giải!trên!đã!sử!bài!toán!cực!trị!hình!học!sau:!
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cho trước có chu vi lớn nhất khi ABC là tam giác đều.
Chứng minh.
Gọi R là bán kính đường tròn, theo định lý hàm số Sin ta có:
BC = 2R sin A,CA = 2R sin B, AB = 2R sinC .
Vì vậy chu vi tam giác ABC là P = 2R(sin A + sin B + sinC) (1) ,
Mặt khác: sin A + sin B + sinC = 2sin

A+B
2

cos

A−B
2

+ 2sin

C
2

cos

C⎛
C ⎞⎟
≤ 2 cos ⎜⎜⎜1+ sin ⎟⎟⎟ (2) .
2
2 ⎜⎝
2 ⎟⎠

C

Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!cho!ba!số!thực!không!âm!ta!có:!
3

⎛
⎞
⎜⎜ 2 cos2 C +1+ sin C +1+ sin C ⎟⎟
⎟
⎛
⎞
⎜

C
C⎟
C
C
C
2
2
2 ⎟⎟⎟
2 cos ⎜⎜⎜1+ sin ⎟⎟⎟ = 2. 2 cos2 (1+ sin )(1+ sin ) ≤ 2. ⎜⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
2 ⎜⎝
2 ⎟⎠
2
2
2
3
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠
3

⎛9
⎞
⎜⎜ − 2(sin C − 1 )2 ⎟⎟
⎟
⎜
2 2 ⎟⎟⎟ ≤ 2. ( 3 )3 = 3 3 (3)

= 2. ⎜⎜⎜ 2
⎟⎟
⎜⎜
3
2
2
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠

.!!

⎪⎧⎪ A = B
⎪
Từ (1),(2),(3) ta có: P ≤ 3 3R . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ⎪⎨ C 1 ⇔ A = B = C = 60 0 .
⎪⎪sin =
⎪⎪⎩ 2 2

Hotline:%0976%266%202%%
Chi%tiết:%Mathlinks.vn!

Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%%

7!


KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
Cách&2:!Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–Schwarz!ta!có!!

P=

1

(AB + BC + CA) ≤

3

(AB 2 + BC 2 + CA 2 )

2
!!" !!"
!!!" !!"
!!" !!!"
⎤
3⎡
=
⎢(OB −OA)2 + (OC −OB)2 + (OA −OC )2 ⎥ .!
⎥⎦
2 ⎢⎣
!!" !!" !!!" !!" !!" !!!"
3
=
(6R 2 − 2(OA.OB + OC.OB + OA.OC )
2
2

+)!Mặt!khác!gọi!G!là!trọng!tâm!tam!giác!ABC!ta!có!

!!" !!" !!!"

!!!"
!!" !!" !!!"
OA + OB + OC = 3OG ⇒ (OA + OB + OC )2 = 9OG 2
!!" !!" !!!" !!" !!" !!!"
.!
⇔ 3R 2 + 2(OA.OB + OC.OB + OA.OC ) = 9OG 2
!!" !!" !!!" !!" !!" !!!"
⇒ 2(OA.OB + OC.OB + OA.OC ) = 9OG 2 −3R 2

!

Vì!vậy! P ≤

3
2

(6R 2 −(9OG 2 −3R 2 )) =

27R 2
2

−

27OG 2
2

≤

27R 2
2

=

9 6
2

.!

⎧O ≡ G
⎪
.!!!!
⎪
⎪
⎩ AB = BC = CA

Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! ⎪⎨

Bài%tập%tương%tự%w%
Bài số 01. Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 10 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 10 − a −3b + 10 − c −3d + 10 − ac − bd . Đ/s: Pmax = 3 15 .

Bài số 02. Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 25 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 25−3a − 4b + 25−3c − 4d + 25− ac − bd . Đ/s: Pmax =

15 6
2

.

!

Hotline:%0976%266%202%%
Chi%tiết:%Mathlinks.vn!

Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%%

8!


!

Khoá)giải)đề)THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam)
Môn:)Toán;)ĐỀ)SỐ)25/50)
Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)không)kể)thời)gian)giao)đề)
Liên)hệ)đăng)ký)khoá)học)–)Hotline:)0976)266)202)–)Chi)tiết:)www.mathlinks.vn))
Câu)1)(2,0)điểm).!Cho!hàm!số! y =

−2x −1
x +1

(1) .!

1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!
2. Tìm!toạ!độ!điểm!M!thuộc!(1)!có!hoành!độ!nguyên!cách!đều!tiệm!cận!đứng!và!đường!thẳng!
Δ : 3x − 4y −19 = 0 .!
Câu)2)(1,0)điểm).)
1

1− cosa + cos2a

2

sin 2a −sin a

a) Cho!góc!a!thoả!mãn! tan a = .!Tính!giá!trị!của!biểu!thức! A =

.!

b) Cho!số!phức!z!thoả!mãn! (2 + i).z = 2 +11i .!Tính!môđun!của!z.!!!!
Câu)3)(0,5)điểm).)Giải!phương!trình! (x +1)
Câu)4)(1,0)điểm).!Giải!bất!phương!trình! 2
2

Câu)5)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân! I = ∫
1

log3 ( x+2)+1

2
x +1

= (x 2 + 2x +1)

+ x ≤2 2+

(x −1)2 + x
x

log9 ( x+2)2

x
(x +1)2

.!!

.!

dx .!!

Câu)6)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!a!và!cạnh!bên!SA!
vuông!góc!với!mặt!phẳng!(ABCD).!Mặt!phẳng!(P)!đi!qua!A,!vuông!góc!với!SC!cắt!cạnh!SB!tại!E!
thoả!mãn! SE.SB = 2a 2 .!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!khoảng!cách!điểm!E!đến!mặt!phẳng!
(SCD).!!!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có! AC = 2AB và!đỉnh!C(k15;k9).!
Tiếp!tuyến!tại!A!của!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!ABC!cắt!đường!thẳng!BC!tại!điểm!I(5;1).!
Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B!biết!A!có!hoành!độ!âm!và!phương!trình!đường!thẳng!AI!
là x + 2y − 7 = 0 .!!!!!!
Câu)8)(1,0)điểm).!Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(1;5;0)!và!B(3;3;6),!
đường!thẳng! d :

x +1
2

=

y −1
−1

=

z
2

.!Tính!côsin!góc!giữa!đường!thẳng!AB!và!đường!thẳng!d.!Tìm!

toạ!độ!điểm!M!trên!d!để!chu!vi!tam!giác!AMB!nhỏ!nhất.!!
Câu)9)(0,5)điểm).!Hai!người!hẹn!gặp!nhau!ở!thư!viện!từ!10h!đến!11h!sáng,!họ!thống!nhất!với!
nhau!nếu!người!đến!trước!đợi!người!đến!sau!quá!10!phút!thì!rời!đi.!Tính!xác!suất!để!hai!người!
đi!ngẫu!nhiên!mà!gặp!nhau.!

)

Câu)10)(1,0)điểm).!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!thuộc!nửa!khoảng! ⎡⎢1;+∞ .!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!
⎣

biểu!thức! P =

1
1
1
3
+ 3
+ 3
−
.!
2
2
2
(x +1)
( y +1)

(z +1)
2x 2 y 2 z 2 + 2
3

!
Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)

mmmHẾTmmm)
Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))
!

1!