Chinh phục bài tập hình học giải tích oxyz

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz được thực hiện bởi đội ngũ tác giả
Lovebook: Nguyễn Anh Văn, Lê Hoàng Nam, Lê Phương Anh, Nguyễn Thành Đạt.
Một số thông tin:
NXB: ĐH quốc gia HN
Số trang: 292 trang khổ A4.
Giá: 119000 VND
Ngày phát hành toàn quốc: 25/09/2015
______________________________________________________________
Ước mơ của bạn - Sứ mệnh của chúng tôi!
💰 Đặt sách: - />
☎ Tổng đài hỗ trợ đặt sách, thắc mắc đơn hàng: 0466 860 849 - 0462857197. Hotline: 0963 140 260
📩 Trung tâm giải đáp thắc mắc trong sách: goo.gl/A7Dzl0
🎦 Tổng hợp video bài giảng: goo.gl/OAo45w
🏩 Kho tài liệu Lovebook: goo.gl/nU0Fze
📨 Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên: goo.gl/ol9EmG


Chữ ký và lời chúc của tác giả hoặc thành viên Lovebook

..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................
Sách gốc phải có chữ ký của
tác giả hoặc của thành viên Lovebook. Bất kể cuốn

...........................................
sách nào không có chữ ký đều là sách lậu, không phải do Lovebook phát hành.

Lời chúc
& kí tặng

..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
...............

LOVEBOOK.VN


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi
đầu trước giông tố!
Đặng Thùy Trâm
Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà
bằng cả con tim của mình nữa!
Lương Văn Thùy
LOVEBOOK tin tưởng chắc chắn rằng em sẽ
đỗ đại học một cách tự hào và hãnh diện nhất!

Bản quyền thuộc về Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp
Không phần nào trong xuất bản phẩm này được phép sao chép hay phát hành dưới bất kỳ hình thức hoặc phương
tiện nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của công ty.


GIA ĐÌNH LOVEBOOK

CHINH PHỤC
BÀI TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
OXYZ
Sách dành cho:








Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)
Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm và tốt nhất cho KÌ THI THPT QUỐC GIA
Học sinh mất gốc Toán, học kém Toán, sợ Toán, thiếu phương pháp và kĩ năng giải toán Toán
Học sinh muốn đạt 9,10 trong kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)
Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông
Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán
Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm một cuốn sách chứa những phân tích, tìm tòi thú vị, sáng
tạo và độc đáo.

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LỜI MỞ ĐẦU
Các bạn cảm thấy:
 Hoang mang khi lần đầu tiếp xúc với các kiến thức về hình giải tích Oxyz?
 Kiến thức về hình giải tích Oxyz nói chung và hình giải tích nói riêng khá là phức tạp và
rộng, hơn nữa các dạng bài trong đề thi khác xa với kiến thức trong SGK.
 Không hình dung được phương pháp, ý tưởng làm một bài hình giải tích Oxyz?
 Giá như có cuốn sách với đầy đủ kiến thức lý thuyết và phương pháp giải cụ thể, dễ hiểu
để mình có thể tự tin học?
 ….
Nếu bạn gặp phải những vấn đề trên, chắc chắn Chinh phục hình học giải tích Oxyz là cuốn
sách DÀNH CHO BẠN!!!!
Trong cuốn sách này bạn sẽ:
1. Thử thách bản thân với hàng loạt bài tập được các tác giả chọn lọc kĩ càng.
Các bài tập trong cuốn sách đều là những bài tập điển hình và quen thuộc nhất trong các
đề thi. Ngoài các ví dụ giúp các bạn định hình dạng toán, cuốn sách còn bao hàm rất nhiều bài
tập tự luyện có đáp án, giúp các bạn có một kĩ năng làm bài tốt phục vụ cho kì thi sắp tới.
2. Tiếp cận các nội dung, phương pháp giải bài toán một cách tối ưu nhất.
Các phương pháp và nội dung trong cuốn sách đều là các phương pháp được chọn lọc kĩ
càng, đồng thời được trình bày cẩn thận và rõ ràng với lời hướng dẫn chi tiết… Cuốn sách dễ
hiểu, dễ học ngay cả với những bạn mới bắt đầu tiếp xúc với hình giải tích Oxyz.
3. Được hỗ trợ trực tuyến ngay khi cầm trên tay cuốn sách.
Nếu có khúc mắc trong quá trình sử dụng sách, bạn có thể hỏi trực tiếp đội ngũ tác giả
trên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách của nhà sách: vedu.vn/forums/
Cuốn sách là tập hợp những kinh nghiệm, kiến thức về hình học giải tích Oxyz của các
tác giả; là quá trình làm việc nghiêm túc, miệt mài của các tác giả. Cuốn sách cũng là tâm huyết
của đội ngũ tác giả với mong muốn bạn đọc có thể đạt được kết quả tốt nhất, chinh phục được
bài toán hình giải tích Oxyz trong đề thi THPT Quốc gia sắp tới.
Mặc dù đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết để hoàn thiện cuốn sách nhưng cuốn
sách chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi sai sót vì thời gian và kiến thức còn hạn chế. Chúng tôi

rất mong nhận được các ý kiến đóng góp về nội dung của cuốn sách từ các bạn học sinh, sinh
viên, các thầy cô giáo để những lần tái bản tiếp theo cuốn sách sẽ được hoàn thiện hơn.
Mọi ý kiến đóng góp của các bạn, các thầy cô xin vui lòng gửi về địa chỉ
o Thư điện tử:
o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/
Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!!


LỜI CẢM ƠN
Chúng tôi xin được gửi những lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cha mẹ - những người có ơn
sinh thành và nuôi dưỡng chúng tôi, dạy bảo chúng tôi nên người. Gia đình luôn là điểm tựa
vững chắc giúp chúng tôi vươn đến những thành công như ngày hôm nay.
Chúng tôi cũng xin gửi những lời tri ân sâu sắc đến những người thầy, người cô đã dạy dỗ
chúng tôi suốt những năm học vừa qua, những người truyền đạt cho chúng tôi không chỉ về
những kiến thức mà còn về những hiểu biết, kĩ năng về cuộc sống.
Tiếp đến chúng tôi xin được cảm ơn các anh em bạn bè cũng như các anh em trong mái
nhà chung LOVEBOOK, các anh em đã luôn giúp đỡ, ủng hộ chúng tôi mọi lúc mọi nơi, giúp
chúng tôi có động lực để hoàn tất ước mơ có một sản phẩm “tinh thần” của cuộc đời.
Cuối cùng, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến anh Lương Văn Thùy –
Giám đốc VEDU – và NHÀ SÁCH LOVEBOOK đã luôn ủng hộ, động viên và hướng dẫn chúng
tôi trong quá trình hoàn thành cuốn sách.
Một lần nữa, chúng tôi xin chân thành cảm ơn!!!


HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
1. Bạn nên học theo thứ tự các chủ đề.
Cuốn sách này khác với các cuốn sách khác, tác giả khuyên các bạn nên ĐỌC THẬT KĨ
ĐÁP ÁN vì đáp án trong cuốn sách sẽ trình bày và phân tích các sai lầm mà các bạn sẽ hay gặp
phải cũng như phần bình luận, mở rộng thêm bài toán đó. Các bạn không nên lướt qua đáp án vì
đáp án chính là một trong những phần thú vị và giá trị nhất của cuốn sách.

2. Đọc có phần bạn không hiểu, bạn nên làm gì?
Đừng ngại ngần, hãy đi hỏi !!!
- Hỏi bạn bè cùng lớp. Học thầy không tày học bạn.
- Hỏi thầy cô giáo trên lớp.
- Hỏi bạn bè trên cộng đồng mạng.
- Bạn hãy đăng những thắc mắc trong quá trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử
dụng sách của nhà sách Lovebook để được hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/
3. Ghi chú, đánh dấu
Trong quá trình đọc cuốn sách, bạn nên lấy bút màu đánh dấu vào những phần kiến thức
mà bạn hay quên, còn nhầm lẫn, những bài toán mà các bạn làm sai và những phần mà bạn thấy
quan trọng. Trước khi thi 2 tháng, bạn nên đọc lại toàn bộ cuốn sách vì cuốn sách đã tổng hợp
toàn bộ những thứ bạn cần về phần Hình giải tích Oxyz, đặc biệt bạn cần xem lại những phần
mình đã đánh dấu bằng bút màu trước đây để tránh việc lặp lại sai lầm khi bước vào kì thi chính
thức.
4. Kết hợp với bộ đề.
Trong quá trình sử dụng sách, để đạt được hiệu quả cao nhất, tốt nhất bạn nên có một bộ
đề để luyện tập. Vì sao lại thế ?
Các bài tập tự luyện bên dưới sau mỗi chuyên đều là các bài tập cùng dạng đã trình bày
nhằm củng cố kiến thức dạng bài tập đó. Do đó, để có thể nhớ lâu và có kĩ năng tư duy tổng hợp
các kiến thức, các chuyên đề với nhau thì cần phải có một bộ đề để làm.
Khi làm đề mà có nhiều phần chưa học, hãy làm những phần mình đã học rồi chứ không
nên để đến lúc học xong hết chương trình rồi mới làm.
Ví dụ bạn đọc hết cuốn sách này, hãy cứ bỏ đề ra và đặt bút làm, làm hết tất cả các câu
thuộc phần Oxyz.
Bạn sợ thiếu đề? Bạn yên tâm rằng, Lovebook có 80 bộ đề nằm trong 2 tập của bộ sách
Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán với đáp án và lời giải chi tiết cho bạn.


MỤC LỤC
Chuyên đề 1: Hệ trục tọa độ trong không gian và công cụ giải toán

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Hệ tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
2. Tọa độ một điểm
3. Tọa độ của vectơ
4. Biểu thức tọa độ các phép toán trên vectơ
5. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ hai điểm mút
6. Tích vô hướng của hai vectơ
7. Tích có hướng của hai vectơ
8. Ứng dụng của tích có hướng
II. Phương trình mặt phẳng
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
3. Phương trình đoạn chắn
4. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
5. Công thức toán
III. Phương trình đường thẳng
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
2. Phương trình tham số của đường thẳng
3. Phương trình chính tắc
4. Phương trình tổng quát
5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
6. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
7. Công thức tính toán
IV. Phương trình mặt cầu
1. Phương trình mặt cầu
2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
4. Vị trí tương đối của hai mặt cầu
B. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Chuyên đề II: Các bài toán về điểm
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm
2. Biểu diễn
3. Các phép tính liên quan đến điểm
B. CÁC DẠNG BÀI THƯỜNG GẶP
1. Các bài toán sư dụng vectơ để tìm điểm
2. Tìm điểm thuộc mặt phẳng kèm điều kiện phụ
3. Tìm điểm thuộc đường thẳng kèm điều kiện phụ
3. Tìm tập hợp các điểm trong không gian
4. Bài toán khoảng cách
Chuyên đề III: Phương trình mặt phẳng
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

13
13
13
13
13
14
15
17
19
22
23
27
27
27
27

28
29
31
31
31
31
32
32
32
32
34
34
34
35
35
36
53
53
53
53
56
56
56
64
79
103
110
119
119
119

2. Tích có hướng của hai vectơ ứng dụng trong mặt phẳng
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
4. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
5. Chùm mặt phẳng
6. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
7. Góc giữa hai mặt phẳng
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Chuyên đề IV: Phương trình đường thẳng
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm
2. Mô tả
3. Phương trình đường thẳng
4. Vị trí tương đối của đường thẳng
5. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng
6. Góc giữa hai đường thẳng
7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
1. Bài tập viết phương trình đường thẳng cơ bản
2. Vị trí tương đối của đường thẳng so với mặt phẳng
3. Vị trí tương đối của đường thẳng so với đường thẳng
4. Các bài toán liên quan đến khoảng cách
Chuyên đề 5: Phương trình mặt cầu
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
2. Phương trình mặt cầu
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và điểm, đường thẳng, mặt phẳng

119

120
120
120
120
121
121
168
168
168
168
168
169
170
171
171
171
171
176
182
200
221
221
221
221
221


Trước khi bắt đầu chính thức trải nghiệm cuốn sách, anh chị Lovebook xin gửi tặng các em câu chuyện:
Bài học từ câu chuyện “Tái ông thất mã”

Một câu chuyện của Trung Quốc về một nông dân Bình tĩnh.
“Một ông lão ở gần biên giới giáp với nước Hồ phía Bắc nước Tàu, gần Trường thành, có nuôi một con ngựa.
Một hôm con của ông lão dẫn ngựa ra gần biên giới cho ăn cỏ, vì lơ đễnh nên con ngựa vọt chạy qua nước Hồ
mất dạng. Những người trong xóm nghe tin đến chia buồn với ông lão.
Ông lão là người thông hiểu việc đời nên rất bình tỉnh nói:
– Biết đâu con ngựa chạy mất ấy đem lại điều tốt cho tôi.
Vài tháng sau, con ngựa chạy mất ấy quay trở về, dẫn theo một con ngựa của nước Hồ, cao lớn và mạnh mẽ.
Người trong xóm hay tin liền đến chúc mừng ông lão, và nhắc lại lời ông lão đã nói trước đây.
Ông lão không có vẻ gì vui mừng, nói:
– Biết đâu việc được ngựa Hồ nầy sẽ dẫn đến tai họa cho tôi.
Con trai của ông lão rất thích cỡi ngựa, thấy con ngựa Hồ cao lớn mạnh mẽ thì thích lắm, liền nhảy lên lưng cỡi
nó chạy đi. Con ngựa Hồ chưa thuần nết nên nhảy loạn lên. Có lần con ông lão không cẩn thận để ngựa Hồ hất
xuống, té gãy xương đùi, khiến con ông lão bị què chân, tật nguyền.
Người trong xóm vội đến chia buồn với ông lão, thật không ngờ con ngựa không tốn tiền mua nầy lại gây ra tai
họa cho con trai của ông lão như thế.
Ông lão thản nhiên nói:
– Xin các vị chớ lo lắng cho tôi, con tôi bị ngã gãy chân, tuy bất hạnh đó, nhưng biết đâu nhờ họa nầy mà được
phúc.
Một năm sau, nước Hồ kéo quân sang xâm lấn Trung nguyên. Các trai tráng trong vùng biên giới đều phải sung
vào quân ngũ chống ngăn giặc Hồ. Quân Hồ thiện chiến, đánh tan đạo quân mới gọi nhập ngũ, các trai tráng đều
tử trận, riêng con trai ông lão vì bị què chân nên miễn đi lính, được sống sót ở gia đình.”
Người đời sau lập ra thành ngữ: Tái ông thất mã, an tri họa phúc. Nghĩa là: ông lão ở biên giới mất ngựa, biết đâu
là họa hay là phúc.
Bài học: Việc đời, hết may tới rủi, hết rủi tới may, nên bắt chước tái ông mà giữ sự thản nhiên trước những
biến đổi thăng trầm trong cuộc sống.Ta không bao giờ thực sự biết được những điều còn ở phía phía trước sẽ
xảy ra như thế nào. Cuộc sống không phải lúc nào cũng như chúng ta mong đợi. Dẫu có đôi lúc làm bài không
như mong đợi, các em cũng đừng vội nản, vội bỏ cuộc nhé. Biết đâu, đó lại là cú hích cho các em vươn xa
hơn ở các kỳ thi sắp tới. 

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission

Chuyên đề II: Các bài toán về điểm

A. Lý thuyết trọng tâm
1. Khái niệm

Khái niệm về điểm: Chúng ta không có một khái niệm cụ thể nào, nó là một khái niệm nguyên thủy,
không định nghĩa (trích Wikipedia). Khi học về toán giải tích không gian, điểm lại là cơ sở để xây dựng các
khái niệm khác. Để giải quyết những bài tập về hình không gian, chúng ta cần một trí tưởng tượng đủ tốt,
đừng lo nếu bạn chưa có, nó sẽ đến trong quá trình bạn học những bài toán, cách bạn luyện tập. Trí tưởng
tượng của chúng ta bắt đầu được thể hiện với việc gán khái niệm trừu tượng của điểm cho một cái gì đó
cụ thể mà khi nghĩ đến điểm, ta sẽ liên tưởng tới nó:
Trong một mặt phẳng điểm là một con ruồi đậu trên mặt bảng.
Điểm là một hạt bụi trong không khí.
Điểm là những thứ ta sẽ thu được khi băm nhỏ vật chất đến vô cùng và giải chúng khắp không gian…
v.v….

2. Biểu diễn:

Trong hình học giải tích Oxy, chúng ta gặp một dạng biểu diễn của điểm với một cặp số (x;y) thuộc

 Thêm một thành phần biểu diễn là chúng ta thêm một chiều cho điểm, trong hình giải tích không gian

chúng ta thêm một thành phần nữa: z. Một điểm trong không gian sẽ được biểu diễn với một cặp 3 số

(x;y;z) thuộc



y

-5

-4

(2,3)

3

(-5,2)

Pz

2
1

-3

-2

-1

(0,0)
-1
-2

-3

1

2

3

4

5

Px

x

z

O

P
Py

x

-4

Hình 1: Biểu diễn điểm trong Oxy
Hình 2: Biểu diễn điểm trong hệ tọa độ Oxyz
Đó là mô tả về một điểm trong hệ tọa độ Descartes ( Hệ tọa độ đề-các)

LOVEBOOK.VN | 53

y


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission

Trước khi sang phần mới, các em hãy dành chút thời gian đọc câu chuyện dưới đây nhé…

NHỮNG ĐIỀU HỌC ĐƯỢC TỪ CUỘC SỐNG

Cuộc sống là những chất liệu thô mà chúng ta là những người nghệ sỹ. Nhào nặn chúng thành

một tuyệt tác hay biến chúng thành một tác phẩm thô kệch đều tùy thuộc vào chúng ta. Cuộc sống
không phải là cái bẫy để chờ chúng ta sa vào rồi kết tội. Những biến cố, thử thách phải đối mặt chỉ
làm cho chúng ta lớn lên và "biết" nhiều hơn. Và chúng ta học được gì từ cuộc sống? Rất nhiều..
Biết cách chấp nhận khiếm khuyết !
Chuyện kể rằng, có một vòng tròn rất hoàn mỹ. Nó rất tự hào về thân hình tròn trĩnh đến từng
milimet của mình. Thế nhưng một buổi sáng thức dậy, nó thấy mình bị mất đi một góc lớn hình tam
giác.
Buồn bực, vòng tròn đi tìm mảnh vỡ đó. Vì không còn hoàn hảo nên nó lăn rất chậm.
Nó ngắm nhìn những bông hoa dại đang toả sắc bên đường..vui đùa với ánh nắng mặt trời, tâm tình
cùng sâu bọ…
Một ngày kia nó tìm được một mảnh hoàn toàn vừa khít và ghép vào. Nó lăn đi và nhận ra
mình đang lăn quá nhanh. Đến nỗi, không kịp nhận ra những bông hoa đang cố mỉm cười với nó.
Vòng tròn thấy rằng, cuộc sống khác hẳn đi khi nó lăn quá nhanh. Nó dừng lại, đặt mảnh vỡ bên
đường rồi chầm chậm lăn đi.
Bài học về cái vòng tròn cho chúng ta thấy được rằng, đôi khi con người ta mất đi thứ gì đó thì

lại trở nên hoàn hảo. Người có tất cả mọi thứ trên đời lại là kẻ nghèo túng. Đã là "nhân" thì sẽ "vô
thập toàn".
Điều quan trọng là, bạn phải biết chấp nhận sự bất toàn ấy giống như một phần tất yếu của cuộc
sống. Chưa hoàn mỹ là cơ hội để bạn cố gắng, ước mơ, hy vọng chứ không phải là lý do để bạn tự
dằn vặt về thất bại của mình.
Biết quan tâm đến những người xung quanh !
Quan tâm tới một người không đơn giản chỉ là việc xem người ấy sống thế nào, tiền có đủ tiêu
hay không. Điều quan trọng nhất chính là sự yêu thương xuất phát từ tâm hồn, là biết cách khơi dậy
lòng tin cho người khác.
Nên nhớ rằng, đôi khi những lời nói vô cùng bình dị lại tràn vào và khoả lấp khe nứt của trái
tim con người.
Quan tâm tới người khác chính là cách làm cho tâm hồn bạn "giàu có" thêm.
Biết giúp đỡ người khác !
Đơn giản như việc giúp một bà cụ hay một em nhỏ qua đường, cho ai đó đi nhờ xe, chép hộ
bài cho nhỏ bạn bị ốm.. Hãy làm điều đó một cách vô tư và không mong chờ được đền đáp.
Hãy nghĩ rằng sẽ có lúc bạn rơi vào tình trạng đó và cần sự giúp đỡ.
Biết xem trở ngại là cơ hội !
Cuộc sống có những ngả rẽ, những bước ngoặt mà ta không thể ngờ được. Gục ngã hay đạt
được thành công nhờ trở ngại, tất cả phụ thuộc vào bản thân bạn. Bạn sẽ không thể khám phá ra
được rằng, mình có tài "chèo lái" nếu công ty không lâm vào cảnh khó khăn về tài chính.
Bạn sẽ không thể khám phá ra được rằng, mình có thể trở thành ca sỹ nếu không bị "ép" lên hát trong
buổi biểu diễn văn nghệ toàn trường.
Cuộc sống bao giờ cũng là bắt đầu. Trở ngại nhiều lúc chính là cơ hội để bạn khám phá bản
thân.
Biết tự tin !

LOVEBOOK.VN | 54


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission

Tự tin là chìa khoá của thành công. Hãy thử hình dung một buổi phỏng vấn xin việc sẽ như thế
nào nếu bạn trả lời câu hỏi bằng ánh mắt sợ sệt, giọng nói run rẩy? Chắc chắn kết quả sẽ rất tệ.
Mỗi người chúng ta đều có một "bản ngã" riêng, tự tin với bản thân cũng có nghĩa là giữ cho mình
một nét khác biệt. Điều này luôn đặt mình vào những cơ hội mới để có dịp thể hiện bản thân.
Những điều học được từ cuộc sống
Biết tha thứ!
Tôi không thể quên được câu chuyện về "cái bao giận hờn".
Chuyện kể rằng, vị thầy giáo nọ khuyên các học sinh của mình, hãy ghi tên tất cả những người
mà cho đến giờ các con chưa thể tha thứ lên những củ khoai tây, sau đó bỏ chúng vào một cái bao.
Mỗi người tương xứng với một củ.
Thêm nữa, phải luôn để mắt, đặt nó ở những nơi dễ thấy nhất và mang chúng theo dù đang
làm bất cứ chuyện gì.
Ai cũng cảm thấy thật nặng nề và phiền toái khi lúc nào cũng phải mang kè kè bên mình một
"gánh nặng" như vậy. Hơn thế nữa, qua một tuần những bao khoai tây đó đã dần bị thối rữa.
Vị thầy giáo đã cho ta hiểu được cái giá phải trả khi luôn mang theo những nỗi giận hờn, buồn
phiền và bi quan bên mình. Chúng ta cứ nghĩ rằng, tha thứ là một món quà mà ta dành tặng cho
người khác, nhưng thực chất lại là món quà dành tặng cho chúng ta.
Hãy biết cách tha thứ, đó chính là món quà quý nhất mà cuộc sống mang lại cho bạn.
Biết sống hết mình và dám trả giá!
Mỗi giai đoạn của cuộc đời đều là những giai đoạn đẹp nhất nếu chúng ta biết sống hết mình,
biết trân trọng từng khoảnh khắc được sống. Thời gian không chờ đợi một ai. Do đó, đừng giữ mãi
trong đầu ý nghĩ rằng: “Mình sẽ làm việc đó vào ngày mai”.
Cuộc sống luôn đầy rẫy những bất trắc, không ai có thể biết trước được ngày mai sẽ xảy ra chuyện gì.
Trân trọng từng khoảnh khắc sống và làm hết khả năng của mình bạn sẽ không phải rơi những giọt
nước mắt hối tiếc. Sống hết mình cũng là cách trả giá cho những gì đáng giá đấy bạn ạ.
Biết đứng dậy sau vấp ngã!
Ngọn trúc oằn mình dưới sức mạnh của gió nhưng rồi lại bật thẳng lên đầy kiêu hãnh như

chưa từng xảy ra chuyện gì. Mỗi người chúng ta đều mang trong mình tính cách của ngọn trúc. Đấy là
điều chắc chắn.
Vấp ngã không phải là cách để bạn từ bỏ ước mơ, hy vọng. Đấy là "cơ hội”"để bạn nhìn lại
chính mình và rút kinh nghiệm cho lần sau.
Hãy thay đổi thái độ của mình sau mỗi lần gặp thất bại. Thời gian không chờ đợi một ai nhưng
không bao giờ là quá muộn. Khởi đầu hay kết thúc là do chính bạn.
Biết yêu thương!
Yêu thương vô điều kiện. Bạn đã bao giờ làm được điều đó chưa? Hay lúc nào cũng chỉ muốn
người khác yêu mình, muốn "nhận" tất cả mà không muốn "cho" đi chút gì?
Cuộc sống thật kỳ diệu, không ai có tất cả nhưng cũng không ai mất tất cả. Những nỗi đau sẽ dịu đi
rất nhiều nếu được hàn gắn bằng sự yêu thương. Yêu thương chính là dang tay đón nhận những xúc
cảm tuyệt vời do cuộc sống mang lại.
Điều quan trọng nhất không phải là việc đọc những điều này, mà là thái độ và quan điểm của
chúng ta trước những điều mà cuộc sống mang lại. Hãy để những "món quà vô giá" ấy của cuộc sống
làm dịu mát tâm hồn bạn, để sống tốt hơn và tận hưởng hạnh phúc diệu kỳ !

LOVEBOOK.VN | 55


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

3. Các phép tính liên quan đến điểm

Your dreams – Our mission

Điểm là một khái niệm nguyên thủy, vì vậy số lượng phép tính trên nó cũng không nhiều, với phần
này chúng ta chỉ cần nhớ 2 phép tính:



Vector từ 2 điểm: Cho A(a;b;c) và B(x;y;z) vector AB = (x - a;y - b;z - c)

Độ lớn Vector AB cũng chính là khoảng cách giữa 2 điểm A,B:

AB = (x - a)2 +(y - b)2 +(z - c)2

Điểm mấu chốt trong ý tưởng nghĩ ra công thức trên được suy ra từ khái niệm của vector: Cho tới giờ,
chúng ta vẫn được mô tả vector là một đoạn thẳng có hướng. Theo cách nghĩ này thì một vector không
xác điểm đặt cố định (VD : hãy tưởng tượng 2 đầu của cây cột điện trong khu phố là 2 đầu mút vector, như
vậy trên khu phố đặt một hàng n cây cột điện thì tất cả n vector lấy đầu mút tương tự 2 cây cột điện đầu sẽ
có cùng phương và cùng độ lớn. Đây là tất cả những gì cần thiết để xác định một vector  ), ở trường hợp



2 điểm A,B thì độ vector AB biểu thị vị trí tương đối điểm B so với A . Và vì vector không xác định điểm
đặt cố định, chúng ta có thể “bê” vector này đi đặt ở bất kì nơi nào thuận tiện cho việc tính toán (ví dụ: đặt
một đầu mút tại O. )
Để rõ hơn, chúng ta sẽ thử làm một vài bài tập phụ áp dụng công thức này:
Bài 1: Tính khoảng cách giữa 2 điểm A(2;0;0) và B(3;2;1)


AB = (1;2;1)

Lời giải:

Nhận xét: với cách hiểu về vector như trên, ta có thể đưa gốc của vector trùng với điểm O và bài
toán trở thành dạng tính khoảng cách OM. Trong hệ
z
tọa độ Decartes, ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau
vì vậy để tính OM, chúng ta có thể dùng định lí

Pythagos:
M
Cho tam giác OMM xy : OM2 = OMxy 2 + MMxy 2
O
Cho tam giác OM x M xy : OMxy 2 = OMx 2 + Mx Mxy 2
Y
Mx
⇒ OM2 = OMx 2 + Mx Mxy 2 + MMxy 2
Mxy
A
= x M2 + y M2 + zM2 = 1+ 22 +1 = 6
X

⇒ OM = 6 = AB

B
Ở bài toán này chúng ta đã sử dụng tính chất của vector để thể hiện lại ý nghĩa của công thức trên. Trong
các bài toán sau hay trong bài làm, chúng ta có thể coi công thức này hiển nhiên đúng và áp dụng trực tiếp.
Bạn cần lưu ý cách đổi gốc vector cũng là một thủ thuật cho để giải một số bài toán bạn sẽ gặp sau này.

B. Các dạng bài thường gặp

1. Các bài toán sử dụng vector để tìm điểm





Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a;b;c), B(m,n,p). Tìm điểm P sao cho AP = sBP
(a,b,c,m,n,p,s ∈  ).

Lời giải:

Nhận xét: Trước khi bắt đầu làm những dạng bài mới cho hình học giải tích không gian, việc nắm chắc kiến
thức về vector là không thể thiếu. Chúng ta sẽ bắt đầu với một bài tập tổng quát: cho tọa độ 2 điểm trong
không gian và tìm tọa độ điểm thứ 3 dựa trên một điều kiện về vector.
LOVEBOOK.VN | 56


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission

 Bài toán này chỉ cho một điều kiện, và điều kiện này cho sử dụng vector, vậy muốn tìm P, ít nhất chúng
ta cũng phải sử dụng một vector nào đó chứa P, và tìm quan hệ của nó với các vector cố định. Trong bài



này chúng ta chỉ có một vector cố định duy nhất: vector AB .





 Chúng ta sẽ thử biến đổi vector AP theo vector AB :



 
 


AP = sBP ⇔ AP - sAP = sBP - sAP ( cộng cả 2 vế của đẳng thức với -sAP )


⇔ (1 - s)AP = sAB

Biện luận:





Trường hợp 1: nếu s = 1 ⇒ AB = 0 . Vậy nếu s=1 và A ≠ B , chúng ta có thể kết luận bài toán vô nghiệm









(mâu thuẫn giữa 2 chi tiết AB = 0 & AB ≠ 0

Vậy nếu A ≡ B? ( a = m & b = n & c = p). . Bài toán của chúng ta sẽ có vô số nghiệm hình khi s = 1, bởi

 
AP = BP luôn thỏa mãn khi A ≡ B

s
s



x P - a = 1 - s (m - a) x P = 1 - s (m - a)+a



s
s
s 


(n - b) ⇔ y p =
(n - b)+ b
Trường hợp 2: nếu s ≠ 1 ⇒ AP =
AB hay y p - b =
1
s
1
s
1-s


s
s


zp - c = 1 - s (p - c)
zp = 1 - s (p - c)+c



 Vậy ở trường hợp này bài toán sẽ có một nghiệm hình

s
-1
s
-1
s 
s
s
 -1
 s

a+
m,
b+
n,
c+
p.
P
(m - a)+a,
(n - b)+ b,
(p - c)+c  = P 
s -1 s -1
s -1 s -1
s -1 
1-s
1-s
 s -1
 1-s



• Việc giải một bài toán chưa bao giờ nên dừng lại ở việc biết đáp số, chúng ta luôn thử những thứ mới, để
chọn cách nhanh nhất, dễ nhất, gọn nhất cho việc trình bày bài làm của mình, cũng như con người luôn
tìm cách đổi mới các phương pháp, tìm tòi sáng tạo những cái mới để giải quyết vấn đề dễ hơn. Đây cũng
là lí do mình thường đưa ra 2 cách giải cho một bài toán. Chúng ta sẽ thử cách tiếp cận khác:

**Một cách biến đổi khác: Thật ra với mọi bài tập trong hình giải tích phẳng luôn có một điểm ẩn: Gốc tọa
độ O(0;0;0). Với một số bài toán, sẽ là một lợi thế lớn khi giải bài toán nếu chúng ta có thể sử dụng điểm O
trong việc giải, có thể bạn đã từng hay thử giải bài toán bằng cách tương tự sau đây mình trình bày. Nếu
chúng ta “chèn” điểm O vào giữa các vector trong giả thiết:
 
 
 

(AO + OP) = s(BO + OP) ⇔ (s - 1)OP = -OA + sOB

 Điểm đặc biệt khi biến đổi đẳng thức theo cách này là chúng ta có thể dừng việc tính toán để có luôn kết
quả ngay cả khi còn tới 2 vector. Vì từ bài toán, tọa độ điểm A,(tương ứng: tọa độ điểm B) cũng chính là





biểu thị của vector OA (tương ứng : vector OB )
Trường hợp 1: s =1: tương tự như trên, bài toán có thể vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm hình.
Trường hợp 2: s ≠ 1


s

-1
s
-1
s 
-1 
s 
 -1
a+
m,
b+
n,
c+
p
OP =
OA +
OB hay P 
s -1 s -1
s -1 s -1
s -1 
s -1
s -1
 s -1

Nhận xét 2: Bài tâp 1 trình bày một trong những hướng tư duy khi sử dụng vector trong hình giải tích
không gian. Trong các bài tập tiếp theo, mình sẽ ưu tiên sử dụng cách biến đổi sau hơn cách đầu( không có
lí do gì cả, mình thích vậy thôi  ) Trên là công thức tổng quát cho dạng bài với 2 điểm (tuy nhiên mình
khuyên bạn không nên cố nhớ công thức trên vì khả năng áp dụng của nó là không cao, thay vào đó hãy
thử làm vài bài luyện tập bên dưới đây).
Bài 2 (luyện tập): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;0),B(1;-2;3) . Tìm trung điểm P



của AB .

LOVEBOOK.VN | 57


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission

Lời giải:
Nhận xét : Đây là bài luyện tập cho bài 1 trên. Bạn nên thử làm trước khi xem đáp số.
 
   
 1  
P là trung điểm AB ⇔ AP = -BP ⇔ AO + OP = -OP + OB ⇔ OP = OA + OB
2
1
 3 -1 3 
Vậy P có tọa độ ( 2+1;1 - 2;0+3) =  ; ; 
2
2 2 2

(

)

Lưu ý : Từ sau bài toán này khi dùng mình sẽ áp dụng luôn công thức trên về trung điểm. Bạn cũng có thể
sử dụng ngay công thức ngày khi làm bài.

Bài 3 (luyện tập): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;2;1),B(1;3;5) . Tìm tọa độ điểm M


sao cho AM = 2BM .

Lời giải:


 
 
 

AM = 2BM ⇔ (AO + OM) = 2(BO + OM) ⇔ OM = -OA + 2OB , M(-1;4;9)

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(x A , y A ,z A ),B(x B , y B ,zB ),C(x C , y C ,zC ). Tìm P









sao cho aAP+ bBP+cCP = 0 ( a, b, c ∈  ).

Lời giải:
Nhận xét: Đây là một trong những dạng mở rộng của bài 1. Đến giờ có thể bạn đã chú ý một điều: Tất cả
những nghiệm hình ở dạng đầu của loại bài toán này đều cho chúng ta một điểm nằm trên đường thẳng
AB. Vậy có thể bạn cũng đã đoán ra: Nghiệm ở bài 4 này sẽ là một điểm đồng phẳng với 3 điểm A,B,C. (Tất

nhiên, đây là khi bài toán không rơi vào trường hợp đặc biệt: đó là trường hợp s=1 ở phần trên ).
 Ở bài tập này chúng ta có tới 3 vector cố định, trong đó 1 vector bất kì đều có thể được biểu diễn qua 2
vector còn lại( do 3 điểm đồng phẳng, hiện tại chúng ta sẽ công nhận tính chất này mà không chứng
minh). Vì vậy... với người viết thì bản thân việc chọn vector nào để biểu diễn cũng khá bối rối… Mình sẽ
biến đổi theo cách 2. Nếu chúng ta chèn điểm O vào như dạng trước:

  
 
 
 

aAP + bBP + cCP = 0 ⇔ a OP - OA + b OP - OB + c OP - OC = 0


 
⇔ (a + b+ c)OP = aOA + bOB+ cOC

(

) (

) (

)

 Ở đây trường hợp đặc biệt của chúng ta (a + b+c = 0), tương tự như trên, sẽ có vô số điểm P thỏa

mãn, hoặc sẽ xảy ra mâu thuẫn với giả thiết. Trường hợp có vô số điểm P thỏa mãn, tập hợp các điểm P
này sẽ tạo thành một mặt phẳng mà chúng ta sẽ tìm hiểu sau.



 Ở những trường hợp khác, chúng ta tìm được duy nhất một vector OP :


OP =




a
b
c
OA +
OB+
OC
a + b+c
a + b+c
a + b+c
1
Hay tọa độ điểm P thỏa mãn là
( ax A + bxB +cxC ;ay A + by B +cy C ;az A + bzB +czC )
a + b+c

Nhận xét 2: Một lần nữa mình nghĩ bạn không nên học thuộc lòng công thức để áp dụng ngay, mà nên nhớ
và tạo thành kĩ năng qua các bài luyện tập. (Vì trong những trường hợp tổng quát, các bạn không thể áp
dụng ngay công thức mà vẫn phải trình bày lại).
Bài 5 (luyện tập): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;2), B(3;4;5), C(1;2;3). Tìm tọa
độ trọng tâm tam giác ABC

Lời giải:
Nhận xét: Bài toán tìm tọa độ trọng tâm là một trong những bài toán có lời giải một dòng trong hình giải
tích phẳng, tuy nhiên điều đó vẫn đúng trong hình học giải tích không gian ? Tất nhiên .
Với việc sử dụng vector, chúng ta có một tính chất bất biến:

LOVEBOOK.VN | 58


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

   
GA +GB+GC = 0

Your dreams – Our mission

 Và nếu chèn điểm O:
 1   
 
 
 

(GO + OA)+(GO + OB)+(GO + OC) = 0 ⇔ OG = OA + OB+ OC
3

(

)

 1+3+1 0+ 4+2 2+5+3   5 10 
;

;
 =  ;2; 
3
3
3
3 

 3

Hay G = 

 Lưu ý: Từ sau bài toán này, mình sẽ áp dụng công thức trên ngay khi cần dung mà không chứng minh
lại, bạn cũng có thể làm vậy.

Bài 6(luyện tập): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(2;0;1), B(2;1;3), C(-1;2;0). Tìm tọa

  
độ điểm P sao cho 2PA +3PB+ PC = 0.


  
2PA +3PB+ PC = 0
 
 
  
⇔ 2(PO +OA)+3(PO + OB)+(PO + OC) = 0

Lời giải:

    

⇔ 2OA +3OB+OC − 5OP =
0



 
 2  3  1 
5 OP = 2OA +3OB+OC ⇔ OP = OA + OB+ OC
5
5
5
3
1
2
3
1
2
3
1
2
  9 11 
Hay P =  ×2+ ×2+ × -1; ×0+ ×1+ ×2; ×1+ ×3+ ×0  =  ;1; 
5 
5
5
5
5
5
5
5

5
5
 5

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(x A , y A ,z A ),B(x B , y B ,zB ),C(x C , y C ,zC ). Tìm
trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải:
Nhận xét: Bài toán tìm trực tâm trong hình học giải tích phẳng luôn khá dễ dàng khi đã biết 3 điểm: cách
mà nhiều trong số chúng ta sẽ làm là viết phương trình đường thẳng AH, viết phương trình đường thẳng
BH và H chính là giao điểm của hai đường thẳng này, một số khác trong chúng ta có thể “ăn gian” một
bước bằng cách tham số hóa tọa độ điểm H và sử dụng tích vô hướng . Khi mở rộng ra giải tích không
gian, chúng ta thường hạn chế việc viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm nếu có thể hạn chế được
(như bạn có thể đã/sẽ thấy, phương trình viết đường thẳng trong không gian tọa độ 3 chiều so với 2
chiều…khó hơn  ).
 Bài tập này khác với những bài trên ở chỗ điểm bạn tìm được không dựa trên sự thẳng hàng giữa các
điểm mà dựa trên sự vuông góc giữa các vector.
 Và sự vuông góc giữa các vector chúng ta sẽ dựa trên tích vô hướng. Mình sẽ nhắc sơ lại một chút về
tích vô hướng mà chúng ta đã học:









Với 2 vector a(x a , y a ,za ) , b(x b ;y b ;z b ) , chúng ta có tích vô hướng của a và b :
b = xa xb + ya yb + za zb

a�⃗. �⃗

Tích vô hướng của 2 vector cho chúng ta một đại lượng vô hướng (tức là không biểu thị hướng, chỉ biểu







thị độ lớn). Chúng ta sẽ sử dụng một tính chất của tích vô hướng trong bài này a.b = 0 ⇔ a ⊥ b .
 Chúng ta sẽ bắt đầu việc tìm tọa độ H với việc tham số hóa nó
“tham số hóa” có thể hiểu sơ sài là: với yêu cầu tìm tọa độ của M, chúng ta sẽ coi mỗi biến cần dùng để tìm
điểm M là ẩn và tìm giá trị các ẩn đó. Với 3 biến (x , y, z) trong hệ tọa độ Descartes, chúng ta có thể lập hệ
phương trình của x, y, z bằng cách sử dụng các dữ kiện, thông tin từ đề bài để tạo ra những phương trình
liên quan tới 3 thành phần này của M từ đó chúng ta sẽ tìm được điểm, đây là một phương pháp tổng quát,
phổ biến mà mình sẽ dùng để giải nhiều bài toán tới.
 Quay trở lại bài toán:

LOVEBOOK.VN | 59


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission



Gọi H(x,y,z) là điểm cần tìm. Vậy CH = (x - x C ;y - y C ;z - zC ),BH = (x - x B , y - y B ,z - zB ). Có



AB = (x B - x A ;y B - y A ;zB - z A ); AC = ( x C - x A ;y C - y A ;zC - z A ) .

H ∈ (ABC)
Vì H là trực tâm của tam giác ABC, vậy 
CH ⊥ AB,BH ⊥ AC
 Có thể bạn đang hơi lúng một chút về điều kiện H thuộc mặt phẳng ABC. Thật ra chi tiết này có thể suy
ra từ những bài toán tìm điểm trên khá dễ dàng , theo ngôn ngữ vector:
 

H ∈ (ABC) ⇔ ∃j,k ∈ R : AH = jAB+ kAC

Có lẽ việc tìm điểm H theo điều kiện trên sẽ hơi khó khan, thay vì đó chúng ta có thể tìm H qua điều kiện
  
 
AH.  AB;AC  = 0 do vector  AB;AC  (tích có hướng của vector AB và AC) vuông góc với mọi vector song

song với mặt phẳng ( ABC )
 
Gọi  AB;AC  = ( a1 ;a2 ;a3 ) ,vector này hoàn có thể tính được do A,B,C đều đã xác định. Phương trình đầu

tiên của tọa độ H: a1 x +a2 y +a3z = 0

 Cũng theo ngôn ngữ vector, chúng ta có:

 

(x B - x A )(x - x C )+(y B - y A )(y - y C )+(zB - z A )(z - zC ) = 0
CH ⊥ AB
CH.AB = 0

⇔   
⇔

BH ⊥ AC
(x C - x A )(x - x B )+(y C - y A )(y - y B )+(zC - z A )(z - zB ) = 0

BH.AC = 0

x BA .x - x BA .x C + y BA .y - y BA .y C + zBA .z - zBA .zC = 0 x BA .x + y BA .y + zBA .z +C1 = 0
⇔
⇔
x CA .x + y CA .y + zCA .z +C2 = 0
x CA .x - x CA .x B + y CA .y - y CA .y B + zCA .z - zCA .zB = 0
 Giải hệ 3 phương trình 3 ẩn bậc nhất (bằng máy tính) chúng ta tìm được tọa độ điểm H.
Nhận xét 2: Bạn sẽ sớm cần quen với việc sử dụng tích vô hướng và tích có hướng trong giải tích không
gian. Đây mới chỉ là một bài tập mở đầu, để nắm vững dạng này , chúng ta sẽ làm một số bài luyện tập.
Bài 8 (luyện tập): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(2;1;1); B(1;2;-1); C(0;1;2). Tìm
trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải:
Nhận xét: Đây là một bài luyện tập, bạn hoàn toàn có thể (và nên) giải bài này với khung như trên trước
khi xem đáp án.



AB(-1;1;-2) , AC = (-2;0;1)


Gọi tọa độ H(x;y;z). BH = (x -1;y - 2;z +1),CH = (x;y -1;z - 2)

 
 AB.CH = 0
-x + y - 1 - 2(z - 2) = 0
⇔
Do H là trực tâm của tam giác ABC ⇒   
 AC.BH = 0 -2(x - 1)+ z +1 = 0

-x + y - 2z +3 = 0
⇔
-2x +z +3 = 0

 
(P) chứa AB, AC có vector pháp tuyến n p cùng phương với  AB;AC  = (1;5; 2 )

Lấy n p = (1;5;2) ,(P) đi qua A mặt phẳng (P) có phương trình:
(x - 2)+5(y -1)+2(z -1) = 0 ⇔ x +5y +2z - 9 = 0

Tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình:

-x + y - 2z +3 = 0
x = 2


⇔ y = 1
-2x +z +3 = 0
x +5y +2z - 9 = 0 z = 1



Nhận xét 2: Chúng ta có kết quả, tọa độ H trùng với A. Bài tập này của chúng ta là một trong những

bài tập đặc biệt. Chúng ta không thể biết khi nào đề bài đặc biệt, tuy nhiên việc kiểm tra khá dễ dàng (ngay
LOVEBOOK.VN | 60


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz
Your dreams – Our mission
 
sau khi tính vector AB, AC ) Việc kiểm tra mất thêm một chút thời gian, nhưng nếu vào dạng bài đặc biệt,
nó sẽ đỡ cho chúng ta rất nhiều.
Bài 9 (luyện tập): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A(1;2;3), B(2;3;5), C(5;6;7). Tìm
chân đường cao P hạ từ A xuống đường thẳng BC.

Lời giải:
Nhận xét: Đây là một bài luyện tập khác cho việc tìm điểm sử dụng tích vô hướng. Bạn có thể thử tìm P
dựa trên cách làm ở bài 7 trước khi xem lời giải dưới đây.



BP = kBC
P ∈ BC
P là chân đường cao hạ từ A xuống đường thẳng BC ⇔ 
⇔   
 AP ⊥ BC
 AP.BC = 0
 






BO+OP = kBO+ kOC
OP = (1 - k)OB+ kOC
⇔   
⇔   
AP.BC
=
0
 AP.BC = 0


P = ( 2 (1 - k ) +5k,3(1 - k)+6k,5(1 - k)+7k ) P = (2+3k;3+3k;5+7k)
⇔   
⇔
(2+3k - 1;3+3k - 2;5+7k - 3).(3;3;2) = 0
 AP.BC = 0

P = (2+3k;3+3k;5+2k)
P = ( 2+3k;3+3k;5+ 2k )

⇔
⇔
5
3(1+3k)+3(1+3k)+ 2(2+ 2k) = 0
k = - 11
 7 18 45  là điểm cần tìm.
; ; 
 11 11 11 

Vậy P = 


 7 18 45 
P =  11 ; 11 ; 11 

k = - 5

11

Nhận xét 2: So với hướng làm mẫu, bài tập 9 có một chút thay đổi tuy nhiên đó không phải vấn đề lớn,
những gì bạn cần nhớ là việc sử dụng tích vô hướng của vector để giải bài toán liên quan đến vuông góc.
Bài 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(x A ;y A ;z A ),B(x B , y B ,zB ) . Tìm M(x, y,z) sao
cho aMA 2 + bMB2 nhỏ nhất ( a, b ∈  )

Giải
Nhận xét: Ở trên mình có nhắc đến một hướng tư duy khi giải các bài toán liên quan đến vector, tuy nhiên
nó mới chỉ là một hướng tư duy, thật ra, mọi bài toán hình không gian nếu đưa được về dạng vector, đều
có thể giải được. Qua bài 8 mình muốn giới thiệu một hướng nghĩ mở rộng cho việc giải các bài toán sử
dụng vector.
 Đề bài yêu cầu chúng ta tìm M sao cho tọa độ của M sẽ khiến đa thức bậc 2 kia có giá trị nhỏ nhất. Thật
sự với những chi tiết đề bài đã cho ( quan hệ giữa x M ,y M ,z M ) chúng ta đã có thể thay ngay các giá trị x,y,z
và cố gắng biến đổi để tìm ra giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài. Đây là cách tư duy thẳng nhất để đến đích,
tuy nhiên quan sát sơ qua chúng ta có thể thấy việc biến đổi sẽ khá khó khan và tất nhiên sẽ thú vị hơn
nếu bạn có 2 phương pháp để lựa chọn tùy vào điểm mạnh yếu của bạn. Mình sẽ đưa ra phương pháp thứ
2: sử dụng vector.
****need to be edited****

2

Từ đây có a = x a 2 + y a 2 +za 2 = a2 . Vậy ở mọi bài toán về độ dài đoạn thẳng, chúng ta đều có thể đưa

 2

 

bình phương độ dài một đoạn thẳng về dạng vector. Ví dụ như ở đây: MA = MA.MA
Những gì mình sắp làm là sử dụng vector để suy luận, biến đổi và đơn giản hóa việc tính toán trên. Đa

 2

 2

thức mà giả thiết cho có thể được viết lại như sau : a.MA + bMB
☺ Mọi thứ không có gì thay đổi nhiều, cho đến khi mình thử “chèn” điểm I vào:

 2
 2
 
 
aMA + bMB = a(MI+IA)2 + b MI+IB

(

)

2

LOVEBOOK.VN | 61


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission

 Đây là điểm mạnh của vector , việc có thể tự do chèn thêm n điểm vào phương trình  và chúng ta vừa
tận dụng nó ( n =1 ở đây ). Nếu chúng ta biến đổi tiếp:

 
 
 2
 
 2
 2
 
 2
a(MI+IA)2 + b(MI+IB)2 = aMI +2aMI.IA +aIA + bMI +2bMI.IB+ bIB
 2
 

=(a + b)MI +2MI(aIA + bIB)+aIA 2 + bIB2(3)

 Việc biến đổi chung của những dạng bài này chỉ dừng lại ở đây, những việc quen thuộc và quan trọng
cũng bắt đầu từ đây. Nhiệm vụ của việc biến đổi này là để tìm cách tiếp cận việc khảo sát đa thức dễ dàng
hơn và hẳn là đa thức (3) vẫn chưa giúp ích nhiều lắm, chúng ta sẽ cần “tinh chỉnh” lại nó một chút. Giờ,
chúng ta sẽ tách những phần có thể cố định, những phần dễ khảo sát và những phần khó khảo sát:
Phần cố định: Ban đầu ở giả thiết, thứ duy nhất cố định mà chúng ta cố không tách rời khỏi biến : A & B bị





“dính” vào M qua MA & MB . Tuy nhiên ở đây những gì khác biệt là chúng ta đã chèn điểm I. Nếu điểm I

cố định, tất nhiên chúng ta sẽ có IA & IB cố định, từ đố phần cố định ở đây là aIA 2 + bIB2 .

Phần dễ khảo sát : Phần dễ khảo sát của chúng ta trong đa thức (3) là MI2 vì nó chỉ phụ thuộc duy nhất
vào một biến là khoảng cách từ M đến I.







Phần khó khảo sát: Thứ khó khảo sát nhất trong đa thức (3) là số hạng 2MI.(aIA + bIB) , vì nó không chỉ











phụ thuộc vào độ lớn MI mà còn phụ thuộc vào góc giữa MI và aIA + bIB .
 Vì điểm I là một điểm bất kì, chúng ta sẽ luôn chọn một điểm I cố định và khử được phần khó khảo sát
để đảm bảo được 2 mục đích: cố định phần cố định( với mọi I cố định, phần cố định sẽ cố định  ) , khử
phần khó khảo sát. Từ đó chúng ta sẽ có một đa thức một biến thay đổi : MI.



 Để khử phần dễ khảo sát, chúng ta sẽ tìm I thỏa mãn aIA + bIB = 0 , vì việc tìm I cố định để




MI ⊥ (aIA + bIB)∀M là hoàn toàn không thể. Việc tìm điểm I này giống như những bài trên, chúng ta sẽ

 
có (a + b)OI = -aOA - bOB .

 Cuối cùng, ở bài toán này không có điều kiện ràng buộc giữa các phần tử x,y,z trong tọa độ M, nên đa

thức sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ I . Khi đó giá trị của đa thức là a .IA 2 + b.IB2 và vì I cố định, giá trị này
là cố định.
Nhận xét 2: bạn có thể đang thắc mắc vì lí do gì khiến mình “vẽ” bài này dài ra như vậy ? Tất nhiên bạn
luôn có thể làm theo cách cũ và khảo sát đa thức với x,y,z . Ở bài toán này sự vượt trội của phương pháp
vẫn chưa được thấy rõ do tọa độ điểm M không có điều kiện gì. Tuy nhiên ở những bài toán phức tạp hơn
thì việc rút đa thức 3 biến về khảo sát theo một biến sẽ là một lợi thế rất lớn. Chúng ta sẽ thử xem trong
một vài bài tập ví dụ ( luyện tập) dưới đây.
Bài 11: (VnMath) (luyện tập) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x + y + z – 4 = 0

nhỏ nhất.

và các điểm A (1;2;1 ) , B ( 0;1;2) . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA 2 + 2MB2

Giải

Nhận xét: Chúng ta sẽ thử luyện tập dạng bài trên với số cụ thể và một ít “nâng cấp”, bạn nên thử tự làm
trước khi xem lời giải dưới đây.

(





MA 2 + 2MB2 = MI+IA

 

)

2

 
+2 MI+ IB

(

)

2

 

= MI2 + 2 MI.IA + IA 2 +2MI2 + 4 MI . IB + 2IB2







= 3MI2 + 2 MI ( IA + 2 IB)  + IA 2 + 2IB2

 ( 1 - x ) + 2. - x = 0


Gọi I(x; y; z), IA + 2 IB = 0 ⇔ ( 2 - y ) + 2. ( 1 - y ) = 0
 ( 1 - z ) + 2. ( 2 - z ) = 0





Khi đó MA 2 + 2MB2 = 3MI2 + IA 2 + 2IB2

LOVEBOOK.VN | 62

x = 1 / 3

⇔ y = 4 / 3
z = 5/3



Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission

Vậy độ lớn của MA 2 + 2MB2 chỉ phụ thuộc vào độ dài MI, vậy điểm M cần tìm là điểm thuộc mặt phẳng
(P) có khoảng cách tới I nhỏ nhất  M là hình chiều của I trên (P)

1

x
=
+t

3

4

(P) có vector pháp tuyến (1;1;1), IM vuông góc với (P) và đi qua I, vậy phương trình IM:  y = + t
3

5

 z = 3 + t

M có tọa độ (1/3 +t; 4/3 +t; 5/3 +t). M thuộc (P)

2
1
4
5
5 14 17

⇒  + t  +  + t  +  + t  – 4 = 0 ⇔ t = ⇔ M  , , 
9
9 9 9 
3  3  3 

Nhận xét 2: dựa vào cách làm vector, ta có thể giải quyết được nhiều bài toán khác liên quan đến
tổng bình phương độ dài các đoạn thẳng, mấu chốt là nắm được điểm cần chèn. Nếu để tưởng
tượng vị trí của điểm M trong không gian :
B

A

M

P

I

Bài 12( luyện tập) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1; 6; 2); B(-1;4;2) và đường
 x = -1 - t



thẳng d:  y = 2 - t . Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho MA 2 +MB2 nhỏ nhất.
z = 3+ 2t


Giải
Nhận xét: Đây vẫn là một bài luyện tập cho dạng toán trên, lần này thay vì phương trình mặt phẳng, chúng
ta có phương trình đường thẳng, khung có sẵn của bài toán vẫn không thay đổi nhiều:

  2   2
MA2 + MB2 = MI+IA + MI+ IB

(

) (

)

 
 
= MI2 + 2 MI.IA + IA 2 +MI2 + MI . IB +IB2
  
= 2MI2 + 2 MI ( IA + IB) +IA 2 +IB2

( 1 - x ) +(-1 - x) = 0
  

Gọi I(x; y; z) sao cho IA + IB = 0 . ⇔ ( 6 - y ) + ( 4 - y ) = 0
 (2 - z ) + (2 - z ) = 0

Khi đó MA 2 + MB2 = 2MI2 + IA 2 + IB2

x = 0

⇔ y = 5
z = 2


Vậy độ lớn của MA 2 + MB2 chỉ phụ thuộc vào độ dài MI, vậy điểm M cần tìm là điểm thuộc đường thẳng d

sao cho khoảng cách MI nhỏ nhất. Tìm hình chiếu của I trên đường thẳng d (bạn sẽ gặp lại sau trong

chương này), chúng ta có điểm M ( 0;3;1) .

2.Tìm điểm thuộc mặt phẳng kèm điều kiện phụ
LOVEBOOK.VN | 63


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission

Chuyên đề IV. Phương trình đường thẳng

A.Lý thuyết trọng tâm
1. Khái niệm:

Ở phần điểm mình có nhắc đến điểm là một khái niệm nguyên thủy, không có định nghĩa, dùng để xây
dựng các khái niệm toán học khác. Đường thẳng cũng tương tự: một khái niệm nguyên thủy…v.v. Nhưng
thay vì phải nghĩ ra một hình tượng nào đó để mô tả đường thẳng, chúng ta có thể làm điều này trực tiếp
trên điểm:

 Đường thẳng là …một đường không cong dài vô hạn

 Đường thẳng là tập hợp các điểm thẳng hàng, không có độ cong tại mọi điểm nó chứa
 v.v…

2. Mô tả:

Không khác đường thẳng được mô tả trong giải tích phẳng, để mô tả một đường thẳng hay để viết phương

trình một đường thẳng, chúng ta cần 2 điểm thuộc đường thẳng đó hoặc vector chỉ phương và một điểm
thuộc đường thẳng. Điểm mới với việc mô tả đường thẳng trong hệ tọa độ Đề-các Oxyz đó là chúng ta còn
có thể mô tả đường thẳng dưới dạng giao tuyến 2 mặt phẳng.
Hình : Mô tả đường thẳng trong Oxy
x

Hình 2: Mô tả đường thẳng dưới dạng giao tuyến
I

O

M

y

J

P

Q

3. Phương trình đường thẳng:
Trong những bài toán sẽ gặp, chúng ta sẽ thấy đề bài mô tả đường thẳng ở ba dạng:
 Dạng chính tắc:
x - x 0 y - y 0 z - z0
=
=
a
b
c

Trong đó ( x 0 ; y 0 ;z0 ) là tọa độ một điểm bất kì mà đường thẳng luôn đi qua, ( a;b;c ) là vector chỉ

phương của đường thẳng. Từ phương trình chính tắc của đường thẳng ta phát hiện ra một điều: khi
cần một điểm thuộc đường thẳng, chúng ta có thể lấy ngay ( x 0 ; y 0 ;z0 ) .

 Dạng tham số:
x = x 0 + at


y = y 0 + bt
z = z + ct

0

LOVEBOOK.VN | 167


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission

Chúng ta vừa sử dụng những tham số y hệt như trên. Đây cũng là một điểm lưu ý khi chuyển qua lại
giữa 2 dạng phương trình đường thẳng. ( x 0 ; y 0 ;z0 ) vẫn là một điểm thuộc đường thẳng trong khi ( a;b;c )
vẫn là vector chỉ phương của đường thẳng đó.
 Dạng giao tuyến:

ax + by +cz +d = 0

mx + ny + pz +q = 0

Ở dạng giao tuyến, phương trình đường thẳng được cho dưới dạng một hệ phương trình gồm phương trình
2 mặt phẳng chứa đường thẳng đó, đó cũng là lí do đây được gọi là dạng giao tuyến. Chuyển ngược lại từ
dạng này về 2 dạng trước phức tạp hơn một chút.
Gọi mặt phẳng có phương trình thứ nhất là (P), mặt phẳng có phương trình thứ hai là (Q). Vậy lấy vector





pháp tuyến 2 mặt phẳng lần lượt là n p và nQ



Cách 1: vì (d) thuộc cả 2 mặt phẳng này nên chúng ta sẽ lấy ud (vector chỉ phương của đường thẳng d) =

 

k.  n p ;nQ  (k ∈  )

Sau khi có vector chỉ phương của đường thẳng d, tùy vào vector đó có dạng đặc biệt hay không, chúng ta sẽ



chọn điểm thuộc đường thẳng này, ví dụ ud = (a 0 ;b0 ;c0 ) , chúng ta sẽ chọn một x 0 bất kì để giải y 0 , z 0 theo

hệ phương trình được cho. Và vì chỉ còn 2 ẩn, với cách chọn trên chúng ta sẽ thu được nghiệm duy nhất.
Cách 2: bạn có thể chọn một ẩn bằng t và biểu diễn các ẩn còn lại theo ẩn này.



 x = ao t + xo
 ax + by = -ct + d


Ví dụ: Đặt z=t khi đó mx + ny = -pt + q ⇒ y = bo t + y o


z = t
 z = t

(t ∈ R);

Cách 3: Bạn có thể tìm 2 điểm A,B thuộc (d) để viết phương trình đường thẳng bằng cách thay giá
trị bất của một tọa độ và giải hệ tìm hai tọa độ còn lại.
Chẳng hạn bạn có thể chọn x=0 và x=1.

4. Vị trí tương đối của đường thẳng:

a.Vị trí tương đối của đường thẳng với măt phẳng:
Trong hình tọa độ phẳng, đường thẳng có ba vị trí tương đối với một đường thẳng khác: song song, trùng,
cắt.
Vai trò đường thẳng với mặt phẳng khá giống nhau khi chuyển qua không gian, vẫn có 3 vị trí tương đối:
Cắt

LOVEBOOK.VN | 168

Thuộc mặt phẳng


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission

Song song

Để kiểm tra vị trí tương đối của đường thẳng so với mặt phẳng, trước hết chúng ta cần vector chỉ phương



u của đường thẳng. Xét xem nó có vuông góc với vector pháp tuyến n của mặt phẳng không:

 Nếu u.n ≠ 0 : Đường thẳng chắc chắn cắt mặt phẳng.

 Nếu u.n =0: Đường thẳng song song hoặc trùng nằm trong mặt phẳng. Để biết rõ là song song hay trùng,
chúng ta lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng và kiểm tra xem nó có thuộc mặt phẳng không, nếu điểm
này thuộc mặt phẳng, đường thẳng nằm trọn trong mặt phẳng, còn nếu không thì đường thẳng song song
với mặt phẳng.
b. Vị trí tương đối của đường thẳng so với đường thẳng:
Đường thẳng với đường thẳng trong không gian thì tới có 4 vị trí tương đối: Trùng, song song, cắt, chéo.
a : Trùng

b. Song song
d. Chéo

c. Cắt
5. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

Giả sử chúng ta có một đường thẳng d với phương trình:

x - x0

a

=

y - y0
b

=

z - z0
c

và một điểm B có tọa độ

(x b , y b , z b ) . Chúng ta có thể dễ dàng lấy ngay tọa độ điểm gốc trong phương trình d, gọi là A(x 0 , y 0 , z0 )

AB(x b - x 0 ; y b - y 0 ;z b - z0 ) . Công thức tính khoảng cách từ B tới đường thẳng d là:

 
ud ; AB
  
d(B;(d)) =
ud

Để chứng minh công thức này, chúng ta cần tưởng tượng vị trí tương đối của điểm B, A và đường thẳng AB
một cách trực quan:
Mình sẽ nhắc lại một chút về tính chất của tích có
hướng giữa hai vector:



 
 


ud ; AB = ud . AB .sin(AB,
u
)
d



B

A

𝑢𝑢
�⃗𝑑𝑑

d
LOVEBOOK.VN | 169


Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission

 
Và nếu mình gọi B’ là điểm thuộc đường thẳng d sao cho AB ' = ud thì chúng ta sẽ có ngay đây là 2 lần diện
 
tích tam giác tam giác ABB’ hay nói cách khác  ud ; AB = 2S ABB' = d(B; AB').AB'. Đây chính là mấu chốt của

việc biểu diễn biểu thức trên.
Trước khi vào xử lí các bài toán phức tạp, chúng ta sẽ thử làm một số bài tập áp dụng công thức:
x +1 y - 1 z - 2
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
. Tính khoảng cách từ
=
=
2
3
1
B (1; 6;9) tới đường thẳng d.
Giải

 



Gọi A(-1;1;2) ∈ d , AB = (2;5;7).  AB;ud  = (3;-11;7 )

Khoảng cách từ B tới đường thẳng d: d(B;(d)) =

179
14

6. Góc giữa hai đường thẳng:
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian được định nghĩa là góc giữa hai đường thằng cắt nhau lần lượt
song song với hai đường thẳng và có độ lớn từ 0° đến 90°.
 
Khi đó, hai đường thẳng d1, d2 có vector chỉ phương lần lượt là u1 , u 2 thì ta có:

 
| u1 .u 2 |
Cos (d1, d2)=   .
u1 . u 2
7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

�⃗
n

�⃗
u
𝛼𝛼

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa
đường thẳng này và hình chiếu của nó trên mặt
phẳng đó.

Xét mp (P) có vector pháp tuyến n và đường

thẳng d có vector chỉ phương u, d’ là hình chiếu
của d lên (P).

d

𝛽𝛽

d

α là góc giữa d và d’ và β là góc giữa d và giá của


vector n .

,

Khi đó ta có: α+β=90° nên sinα=cosβ

| u.n |
⇒sin(d,(P))=sinα=   .
u.n

P

B.Các dạng bài thường gặp

1. Bài tập viết phương trình đường thẳng cơ bản



Bài 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A ( x A ; y A ;z A ) và có vector chỉ phương u = ( a;b;c )

Giải
Nhận xét: Bài toán của chúng ta thật sự không có gì khó khan, đây là một tiểu bài nhỏ quan trọng , rất quan
trọng vì mọi bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng đều yêu cầu bạn phải biết viết phương
trình đường thẳng chút. Đáp số:
x = x A + at



Phương trình đường thẳng d ở dạng tham số:  y = y A + bt ( t ∈  )

z = z + ct

A

LOVEBOOK.VN | 170