PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH GIỎI THPT TRONG DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------

LƯƠNG QUỐC TUẤN

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH GIỎI THPT TRONG DẠY HỌC
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS BÙI VĂN NGHỊ

HÀ NỘI, NĂM 2015


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ sự biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Ban giám hiệu;
Phòng Quản lý khoa học; Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng tất cả các thầy cô giáo
Khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ, tạo
điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành các chuyên
đề thạc sĩ khóa 23, chuyên ngành Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán tại
trường Đại học sư phạm Hà Nội.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt đối với thầy giáo, GS. TS. Bùi Văn Nghị,
người thầy đã giảng dạy và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Sở GD&ĐT Lạng Sơn, Ban giám hiệu
cùng các thầy cô giáo và học sinh trường THPT chuyên Chu Văn An – Lạng Sơn đã

tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình đi học và tiến hành thực nghiệm sư phạm.
Lạng Sơn, tháng 5 năm 2015
Tác giả

Lương Quốc Tuấn


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
STT
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

Viết tắt
ĐHSPHN
HS
HSG
MO
IMO
TH
THPT
THTT

TNSP
VMO
VN

Viết đầy đủ
Đại học sư phạm Hà Nội
Học sinh
Học sinh giỏi
Mathematical Olympiad
International Mathematical Olympiad
Trường hợp
Trung học phổ thông
Toán học tuổi tre
Thực nghiệm sư phạm
Vietnam Mathematical Olympiad
Việt nam


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN.......................................................................................................................2
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT....................................................................................3
MỞ ĐẦU...............................................................................................................................1
Tiểu kết chương 1............................................................................................................23
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................................96


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Luật Giáo dục VN năm 2005 đã ghi: “Phương pháp giáo dục phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người

học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”.
Bài toán Tổ hợp thường gắn liền với các bài toán thực tế và cũng thường
xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia và quốc tế. Việc tìm
tòi những lời giải khác nhau hoặc sáng tạo ra bài toán mới là cách thể hiện của tư duy
sáng tạo. Nó không chỉ giúp học sinh hiểu sâu kiến thức Toán học mà còn tạo niềm
say mê, hứng thú, tích cực học tập cho các em học sinh. Việc học tập tự giác, tích
cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và
tạo được động lực thúc đẩy bản thân họ tư duy để đạt được mục tiêu đó.
Trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ở trường phổ thông, môn
Toán đóng vai trò rất quan trọng. Bởi vì, thứ nhất, Toán học là môn khoa học của tư
duy, logic. Thứ hai, Toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các
ngành khoa học và kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng
rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời
sống xã hội hiện đại; Toán học còn là một công cụ để học tập và nghiên cứu các
môn học khác.
Thực tế giảng dạy cho thấy chủ đề Đại số tổ hợp là một chủ đề hay và khó
trong chương trình môn Toán Trung học phổ thông nhưng nó chứa đựng nhiều tiềm
năng phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo cho các em học sinh.
Với những lý do trên, đề tài nghiên cứu được lựa chọn là: “Phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh giỏi THPT trong dạy học chuyên đề Đại số Tổ hợp"
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất hệ thống bài toán được chọn lựa và sử dụng nhằm phát triển tính nhuần
nhuyễn, tính linh hoạt và tính độc đáo của tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi THPT

1


trong dạy học Đại số Tổ hợp, nhằm nâng cao chất lượng dạy học nội dung này trong
việc ôn luyện học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh và cấp quốc gia của tỉnh Lạng Sơn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm rõ tính nhuần nhuyễn, tính linh hoạt và tính độc đáo của tư duy sáng
tạo trong giải toán Đại số Tổ hợp của học sinh
- Đề xuất hệ thống bài toán được chọn lựa và sử dụng nhằm phát triển tính
nhuần nhuyễn, tính linh hoạt và tính độc đáo của tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi
THPT trong dạy học Đại số Tổ hợp.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và tính hiệu
quả của đề tài.
4. Đối tượng nghiên cứu
Hệ thống bài tập Đại số Tổ hợp để phát huy tính sáng tạo của học sinh giỏi
THPT của tỉnh Lạng Sơn.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu sử dụng hệ thống bài toán được chọn lựa trong luận văn trong dạy học
Đại số Tổ hợp cho học sinh giỏi THPT thì học sinh vừa có kỹ năng giải các bài toán
Tổ hợp tốt hơn, vừa phát triển được tư duy sáng tạo.
6. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung vào việc đề xuất và xây dựng hệ thống các bài tập Đại số Tổ hợp
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi THPT. Việc nghiên cứu thực trạng hứng thú
học tập chuyên đề Đai số Tổ hợp của học sinh giỏi được tiến hành ở 4 trường đó là:
THPT Việt Bắc (thành phố Lạng Sơn), THPT Cao Lộc (huyện Cao Lộc), THPT Dân
Tộc Nội Trú tỉnh (thành phố Lạng Sơn), THPT Chuyên Chu Văn An (thành phố Lạng
Sơn). Việc thực nghiệm sư phạm được triển khai ở trường THPT Chuyên Chu Văn An
(thành phố Lạng Sơn) năm học 2014 - 2015.
7. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu các tài liệu công trình khoa học đã công bố làm sáng tỏ cơ sở lí
luận của đề tài.

2

- Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, đề
thi và chuyên đề luyện thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia, ... có liên quan đến dạy học
Đại số Tổ hợp.
Quan sát, điều tra
Lập các phiếu điều tra, xin ý kiến chuyên gia về việc phát triển tư duy sáng
tạo cho học sinh giỏi THPT trong dạy học Đại số Tổ hợp tại trường THPT chuyên
Chu Văn An, Lạng Sơn để làm sáng tỏ cơ sở thực tiễn của đề tài.
Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm tại 02 lớp Chuyên toán của trường THPT
chuyên Chu Văn An, tỉnh Lạng Sơn để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
8. Những đóng góp mới của đề tài
- Góp phần hệ thống hóa cơ sở lí luận về vấn đề phát triển tư duy sáng tạo.
- Điều tra đánh giá thực trạng học chuyên đề Đại số Tổ hợp ở một số trường
THPT của tỉnh Lạng Sơn.
- Đề xuất và thử nghiệm hệ thống bài tập Đại số Tổ hợp để phát triển tư duy
sáng tạo của học sinh giỏi THPT tỉnh Lạng Sơn.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm ba chương.
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Tư duy sáng tạo
1.2. Điều tra thực trạng dạy học chuyên đề Đại số Tổ hợp cho học sinh giỏi THPT
Chương 2. Xây dựng và vận dụng hệ thống bài toán trong dạy học đại số tổ
hợp cho học sinh giỏi THPT nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
2.1. Tóm tắt lý thuyết
2.2. Hệ thống bài toán
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, tổ chức thực nghiệm sư phạm
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm

3


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. TƯ DUY SÁNG TẠO
1.1.1. Quan niệm về tư duy
Theo Từ điển tiếng Việt của tác giả Hoàng Phê (1996): “Tư duy là giai đoạn
cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của
sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý”. [13]
Theo tác giả [26]: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức một
cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong
các khái niệm, phán đoán, lý luận,... Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động
sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện
những mối liên hệ hợp với quy luật của thực tại”; “Tư duy là một quá trình tâm lý
thuộc nhận thức lý tính, là mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri
giác. Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có
tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”.
• Đặc điểm của tư duy
Theo tác giả [1], Tư duy có những đặc điểm sau
Thứ nhất là tính có vấn đề: khi gặp những tình huống mà vấn đề hiểu biết cũ,
phương pháp hành động của chúng ta không đủ để giải quyết, lúc đó chúng ta đang
gặp “tình huống có vấn đề”, và chúng ta phải cố vượt ra khỏi phạm vi những hiểu
biết cũ để đi tìm những cái mới, phương pháp hành động mới để giải quyết vấn đề
hay nói cách khác chúng ta phải tư duy.
Thứ hai là tính khái quát: Tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính
chung, những mối quan hệ, liên hệ của hàng loạt sự vật hiện tượng. Do đó, tư duy
mang tính khái quát.
Ngoài ra tư duy còn có tính độc lập tương đối: Trong hoạt động giao tiếp
hàng ngày của con người, tư duy của con người vừa tự biến đổi qua quá trình hoạt

động của bản thân, vừa chịu sự tác động biến đổi từ tư duy của đồng loại thông qua
những hoạt động có tính vật chất. Do đó, tư duy không chỉ gắn với bộ não của từng

4


cá nhân mà còn gắn với sự tiến hóa của xã hội, trở thành một sản phẩm có tính xã
hội trong khi vẫn duy trì được tính cá thể.
Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành các
thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của tư duy, vì vậy ngôn ngữ được xem như là
phương tiện của tư duy.
Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức: Tư duy là kết quả của nhận thức đồng
thời là sự phát triển cấp cao của nhận thức. Xuất phát điểm của nhận thức là những
cảm giác, tri giác và biểu tượng ... được phản ánh từ thế giới khách quan với những
thông tin về hình dạng, hiện tượng bên ngoài được phản ánh một cách riêng le. Giai
đoạn này được gọi là tư duy cụ thể. Ở giai đoạn sau, với sự hỗ trợ của ngôn ngữ,
hoạt động tư duy tiến hành các thao tác so sánh, đối chiếu, tổng hợp, phân tích, quy
nạp ... những thông tin đơn le, gắn chúng vào mối liên hệ phổ biến, lọc bỏ những
cái ngẫu nhiên, không căn bản, không bản chất của sự việc để tìm ra nội dung và
bản chất của sự vật, hiện tượng, quy nạp nó thành khái niệm, phạm trù, định luật...
Giai đoạn này được gọi là giai đoạn tư duy trừu tượng.
Các giai đoạn của tư duy: Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao
gồm 4 bước cơ bản:
- Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy (tức là tìm được
câu hỏi cần giải đáp).
- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về
cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
- Xác minh giả thiết trong thực tiễn. Nếu giả thiết đúng thì qua bước sau, nếu
sai thì phủ định của nó và hình thành giả thiết mới.
- Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.

• Các thao tác tư duy
Theo [3], Trong môn Toán, người ta thường dùng thao tác tư duy như: phân
tích, tổng hợp, tương tự hóa, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa...
Phân tích - tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng
nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau. Còn tổng hợp là

5


các thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần đã tách rời
nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể.
Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là
hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất. Phân tích tiến hành theo hướng tổng
hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích. Trong học tập môn Toán,
phân tích – tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ là thao tác quan trọng nhất để
giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1. Khi thực hiện bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 gồm
4 chữ số khác nhau? Ta phân tích rằng một số tự nhiên chia hết cho 5 thì chữ số ở
hàng đơn vị có 2 trường hợp xảy ra:
+ Trường hợp 1: Chữ số ở hàng đơn vị bằng 0. Khi đó chữ số hàng nghìn có
9 cách chọn một chữ số; chữ số hàng trăm có 8 cách chọn một chữ số; chữ số hàng
chục có 7 cách chọn một chữ số
Vậy có: 9.8.7 = 504 số thỏa mãn.
+ Trường hợp 2: Chữ số ở hàng đơn vị bằng 5. Khi đó chữ số hàng nghìn có
8 cách chọn một chữ số; chữ số hàng trăm có 8 cách chọn một chữ số; chữ số hàng
chục có 7 cách chọn một chữ số.
Vậy có 8.8.7 = 448 số thỏa mãn.
Tổng hợp lại, ta có số các số tự nhiên chia hết cho 5 gồm 4 chữ số khác nhau là:
504 + 448 = 952 số.
So sánh, tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau

và khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng
nhau giữa các đối tượng nhận thức. So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích tổng
hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có
thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng. Tương tự là một
dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận hai
đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác. Như vậy, tương tư là sự giống nhau
giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó.

6


Trong [29] G. Polya cho rằng “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu
một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả
tập hợp ban đầu”. Như vậy có thể hiểu khái quát hóa là thao tác tư duy nhằm phát
hiện những quy luật phổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một
hoặc một số trường hợp riêng le.
Cũng trong [29] G. Polya đã viết: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên
cứu một tập hợp đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập
hợp đó”. Đặc biệt hóa có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái
niệm, định lý khái quát bằng những trường hợp riêng le.
Trừu tượng hóa: Trừu tượng hóa là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt,
những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các
yếu tố cần thiết cho tư duy. Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ
mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động.
Ví dụ 2. Sau khi đã giải được bài toán: Cho ba chữ số 1, 2, 3. Từ các chữ số
trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 10 chữ số sao cho trong mỗi số trên
có mặt cả ba chữ số 1, 2, 3? bằng cách sau:
Gọi A là tập hợp các số thoả mãn điều kiện đầu bài, S là tập hợp các số gồm
10 chữ số được lập từ 3 chữ số đã cho. Ti là tập hợp các số thuộc S mà trong đó
không có mặt chữ số i ( i = 1, 2, 3). Ta có: A = S - T1 È T 2 È T 3 (1)

10
Mặt khác: S = 3 ;

T1 È T 2 È T 3 = T1 + T 2 + T 3 - T 1 Ç T 2 - T1 Ç T 3 - T 2 Ç T 3 + T 1 Ç T 2 Ç T 3
Với
T1 = T 2 = T 3 = 210; T1 Ç T 2 = T1 Ç T 3 = T 2 Ç T 3 = 1; T1 Ç T 2 Ç T 3 = 0.
10
10
Thế vào (1) ta có: A = 3 - 3.2 + 3 .

Khi đó, bằng tương tự hóa, ta có thể yêu cầu học sinh giải bài toán
Cho ba chữ số 1, 2, 3. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số gồm
2015 chữ số sao cho trong mỗi số đó có mặt cả 3 chữ số 1, 2, 3.
7


Hoặc khái quát hóa lên thành bài toán: Cho ba chữ số 1, 2, 3. Từ các chữ số
trên có thể lập được bao nhiêu số gồm n chữ số ( n ³ 3 ) sao cho trong mỗi số đó
có mặt cả 3 chữ số 1, 2, 3.
Tóm tắt lời giải
Gọi A là tập hợp các số thoả mãn điều kiện đầu bài, S là tập hợp các số gồm
n chữ số được lập từ 3 chữ số đã cho. T i là tập hợp các số thuộc S mà trong đó
không có mặt chữ số i ( i = 1, 2, 3). Ta có: A = S - T1 È T 2 È T 3 (1)
n
Mặt khác: S = 3 ;

T1 È T 2 È T 3 = T1 + T 2 + T 3 - T 1 Ç T 2 - T1 Ç T 3 - T 2 Ç T 3 + T 1 Ç T 2 Ç T 3
Với
T1 = T 2 = T 3 = 2n ; T1 Ç T 2 = T1 Ç T 3 = T 2 Ç T 3 = 1; T 1 Ç T 2 Ç T 3 = 0 .
n

n
Thế vào (1) ta có: A = 3 - 3.2 + 3.

1.1.2. Quan niệm về sáng tạo
Sáng tạo là một khái niệm đã được rất nhiều tác giả, nhiều công trình nghiên
cứu trong và ngoài nước đề cập đến.
Theo định nghĩa trong từ điển Tiếng Việt [13] thì “Sáng tạo là tạo ra những
giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần hay là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới,
không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có”. Như vậy cái mới có thể là một tính chất
mới của sự vật, một đối tượng, có thể là một quan hệ mới, một phương pháp mới.
Theo Bách khoa toàn thư Xô–Viết (1976): “Sáng tạo là hoạt động của con
người trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự
nhiên, xã hội phù hợp với các mục đích và nhu cầu của con người. Sáng tạo là hoạt
động đặc trưng bởi tính không lặp lại, tính độc đáo và tính duy nhất”.
Sự sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem lại một cách nhìn nhận
hay giải quyết mới me đối với một vấn đề hay tình huống.
Còn Karen Huffman (1987) định nghĩa: “Người có tính sáng tạo là người
tạo ra được những giải pháp mới mẻ và thích hợp để giải quyết vấn đề” [40].
8


Henry Gleitman (1986) đưa ra định nghĩa: “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra
những giải pháp mới học duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích” [39].
Theo I.Ia. Lecne (1977) thì: “Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng
cái mới về chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ thống
các thao tác hoặc hành động được mô tả thật chính xác và được điều hành nghiêm
ngặt” [28].
Nguyễn Cảnh Toàn (2005) lại nói rằng: “Người có óc sáng tạo là người có
kinh nghiệm về phát hiện vấn đề và giải quyết được vấn đề đặt ra” [24].
Tóm lại, như tác giả Tôn Thân (1995) nói: “Nội dung sáng tạo gồm hai mặt

chính: Có tính mới (khác với cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (tốt, có giá trị hơn cái
cũ, cái đã biết)” và vì vậy sự sáng tạo là vô cùng cần thiết và đóng một vai trò quan
trọng trong tiến trình phát triển của khoa học kỹ thuật nói riêng và trong quá trình
phát triển xã hội của loài người nói chung [19].
* Quá trình sáng tạo
Cũng theo [24]: có thể chia quá trình sáng tạo làm 4 giai đoạn:
Chuẩn bị. Đặt ra nhiệm vụ nghiên cứu, thu thập tài liệu liên quan. Đó là giai
đoạn phát hiện vấn đề và thử giải quyết vấn đề đó bằng nhiều cách khác nhau nhờ
huy động những kiến thức liên quan tiềm ẩn trong bộ não của mình. Vì vậy nếu ở
giai đoạn này chủ thể đã có được sự tích lũy tốt sẽ là tiền đề thuận lợi cho toàn bộ
quá trình sáng tạo.
Ấp ủ. Kết thúc giai đoạn chuẩn bị, quá trình tư duy ít bị sự kiểm soát hơn của ý
thức, tiềm thức bắt đầu hoạt động, đó là sự tập trung suy nghĩ. Những cố gắng có ý
thức làm bộ óc phải lao động một cách thực sự và từ đó buộc tiềm thức phải làm việc.
Bừng sáng. Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến sự “bừng sáng” trực giác, một
bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức. Sự bừng sáng thường xuyên xuất
hiện đột ngột, không thấy trước.
Kiểm chứng. Là giai đoạn triển khai lập luận, chứng minh logic, kiểm định
lại tính đúng đắn của phát hiện trực giác. Trong toán học đó là triển khai các suy
luận, các chứng minh logic và kiểm tra kết quả bằng trực giác.

9


Việc phát hiện ra cái mới được thực hiện ở giai đoạn bừng sáng nhưng giai
đoạn ấp ủ cũng không kém phần quan trọng vì giai đoạn này tiền đề cho giai đoạn
bừng sáng.
Ví dụ 3. Tìm số cách xếp n cặp vợ chồng ( n ³ 2) ngồi quanh một bàn tròn
có 2n ghế sao cho mỗi người vợ phải ngồi cạnh chồng của cô ấy.
Giai đoạn chuẩn bị: Khi giải bài toán này, bước đầu HS thấy có 2n người

được xếp vào 2n ghế thỏa mãn thêm điều kiện người vợ phải ngồi cạnh người
chồng của cô ấy.
Giai đoạn ấp ủ: Học sinh xét một vài trường hợp cụ thể như sau:
- Với n = 2 thì có 3 cách xếp thỏa mãn;
- Với n = 3 thì có 16 cách xếp thỏa mãn;
Giai đoạn bừng sáng: Ta nhận thấy để đảm bảo rằng người vợ luôn ngồi
cạnh chồng của cô ấy thì ta chỉ cần coi mỗi cặp vợ chồng là một phần tử để sắp xếp.
Ngoài ra việc người vợ ngồi bên trái hay bên phải người chồng của mình thì đều
thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Như vậy trong mỗi cặp vợ chồng cần phải xét
trường hợp hai người đổi chỗ cho nhau.
Giai đoạn kiểm chứng: Trước hết ta ghép cặp vợ chồng và xếp vào bàn tròn
thì có ( n - 1) ! cách xếp. Sau đó hoán vị chỗ ngồi của người vợ và người chồng
n
trong mỗi cặp thì có 2n cách. Như vậy có ( n - 1) !´ 2 cách xếp thỏa mãn yêu cầu

bài toán.
* Các cấp độ sáng tạo
Cũng theo Irving Taylor [19]: có thể phân tích sáng tạo ra thành năm cấp độ:
(1) Cấp độ biểu hiện, đó là sự sáng tạo tre thơ. Chẳng hạn khi giải một bài
toán, học sinh có thể thực hiện được những cách giải đã được học nhưng vận dụng
ngắn gọn hơn, phối hợp nhiều kỹ năng trong quá trình giải.
(2) Cấp độ sản xuất, đó là khi cá nhân có những kỹ năng nhất định để thực
hiện ý tưởng.

10


(3) Cấp độ đổi mới, đó là khi cá nhân đã có thể thao tác được, tức là thấy
những quan hệ mới giữa sự vật được tác động đến.
(4) Cấp độ cải tiến, đó là khi cá nhân cải tiến cái mới. Ở cấp độ này, các nhà

khoa học đã không ngừng cải tiến, tìm tòi để đưa nền khoa học kỹ thuật ngày càng
tiên tiến, hiện đại, phục vụ nhu cầu ngày càng cao của cuộc sống xã hội loài người.
(5) Cấp độ khai sáng, đó là khi người sáng tạo đưa ra ý tưởng mới hay sản
phẩm mới, độc đáo có ý nghĩa khai sáng văn hóa. Đây chính là cấp độ sáng tạo của
các nhà bác học, những người đã cống hiến cho nền văn hóa nhân loại một kho tàng
các phát minh, sáng chế.
Ở ba cấp độ đầu của sáng tạo thì cái mới vẫn liên quan đến kinh nghiệm cá
nhân của người sáng tạo. Ở hai cấp độ sau của sáng tạo thì cái mới đã vượt ra ngoài
kinh nghiệm của nền văn hóa nhân loại.
1.1.3. Tư duy sáng tạo
Theo [5]: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới
độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện
vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý tưởng mới
thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất”.
Theo J. Dantom thì: “Tư duy sáng tạo, đó là năng lực tìm thấy những ý
nghĩa mới, tìm thấy những mối liên hệ mới, là một chức năng của kiến thức, trí
tưởng tượng và sự đánh giá là một quá trình, một cách dạy học và học bao gồm
những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như sự khám phá, sự phát sinh, sự
đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm” [37].
Tôn Thân cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân
đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” [19]. Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc
trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ như tính mềm deo, tính nhạy
cảm, tính kế hoạch, tính chính xác. J. Danton cho rằng: “Tư duy sáng tạo đó là những
năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng
của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học
bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như sự khám phá, sự phát
sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm” [37, tr.20].

11

Theo Nguyễn Bá Kim: “tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là
những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt
khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng
tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn
mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” [3].
Cũng theo Tôn Thân [19]: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo
ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao... Tư duy sáng tạo là
tư duy độc lập và nó không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó
bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của
tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó”.
Trong [29], G. Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó
dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó
tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận dụng
những tư liệu này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ
sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: Lúc những cố gắng của người giải vạch ra
được những phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác. Việc làm của
người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài
toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có
hiệu quả”.
Theo I.Ia. Lecne [28] thì những biểu hiện đặc trương của tư duy sáng tạo có
6 biểu hiện sau:
+ Có sự tự lực chuyển các tri thức, kỹ năng, kỹ xảo sang tình huống mới gần
hoặc xa, bên trong hay bên ngoài, hay giữa các hệ thống kiến thức.
+ Nhìn thấy những nội dung mới trong tình huống bình thường.
+ Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
+ Độc lập kết hợp các phương thức hoạt động đã biết, tạo thành cái mới.
+ Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn lời giải (khả năng xem
xét đối tượng ở những khía cạnh khác nhau) và lựa chọn cách giải tối ưu.

12


+ Kỹ năng tạo ra một phương thức giải độc đáo tuy đã biết những phương
thức khác.
Cơ sở của tư duy sáng tạo: Krutexki [36, tr.66 – 70] đã chỉ ra mối quan hệ
giữa ba dạng tư duy, nói lên điều kiện cần của tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và
tư duy tích cực. Ba khái niệm này lần lượt bao trùm nhau. Có tư duy tích cực mới
có thể có tư duy độc lập, cuối cùng mới có thể có tư duy sáng tạo.

Tư duy sáng tạo
Tư duy độc lập
Tư duy tích cực
Ba vòng tròn đồng tâm của Krutexki
Lấy ví dụ:
- Tư duy tích cực: Học sinh chăm chú nghe giáo viên giảng cách chứng minh
định lý và cố gắng hiểu bài.
- Tư duy độc lập: Học sinh nghiên cứu tài liệu, tự mình tìm hiểu và chứng
minh định lý.
- Tư duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá định lý, tự chứng minh định lý đó.
Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ
đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng
biết. Như vậy, việc giải một bài toán cũng có thể coi là sáng tạo nếu các thao tác giải
không bị chi phối bởi một phương pháp giải hay một thuật toán nào đó đã biết trước.
Tư duy sáng tạo có tính chất tương đối, vì cùng một chủ thể giải quyết vấn
đề trong điều kiện này có thể mang tính sáng tạo, trong điều kiện khác thì lại không
có tính sáng tạo, hoặc cùng một vấn đề được giải quyết có thể mang tính sáng tạo
đối với người này nhưng không mang tính sáng tạo đối với người khác. Tuy nhiên,
tư duy sáng tạo luôn phải là một tư duy độc lập và tạo ra những ý tưởng mới độc
đáo và có được hiệu quả giải quyết vấn đề cao.

13


* Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo nghiên cứu của nhiều nhà tâm lí học và giáo dục học thì cấu trúc của tư
duy sáng tạo có năm đặc trưng cơ bản sau:
- Tính nhuần nhuyễn (fluency)
- Tính mềm deo, linh hoạt (flexibility)
- Tính độc đáo (originality)
- Tính hoàn thiện (elaboration)
- Tính nhạy cảm vấn đề (problem’s sensibility)
Ngoài ra còn có những thành tố quan trọng khác như: Tính chính xác
(precise), năng lực định giá (ability to valued), phán đoán (decide), năng lực định
nghĩa lại (redefinition)[10, tr.114].
a) Tính nhuần nhuyễn
Trong [19], Tôn Thân đã nêu:
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh
chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng le của các hình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả
thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra,
lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn được thể hiện bởi:
- Khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra
càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp
này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng. Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2
đặc trưng sau:
- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải
pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn để phải giải
quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều
phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu.

- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cái
nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn
bất biến, phiến diện, cứng nhắc.

14


Ví dụ 4. Xét dãy số gồm 9 chữ số khác nhau được lấy từ các số tự nhiên từ 1
tới 9. Hỏi tạo được bao nhiêu dãy số mà các số 1, 2, 3 đôi một không đứng cạnh
nhau (kể cả ba số 1, 2, 3 không đứng cạnh nhau).
Tóm tắt lời giải
Cách 1:
+ Số các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau là: 9!.
+ Ta xét các dãy số không thỏa mãn đề bài:
- Nếu dãy số có hai chữ số 1, 2 đứng cạnh nhau thì có 2!.7!.C 81 dãy số.
Tương tự như vậy cho các dãy số có hai chữ số 1, 3 và 2, 3 đứng cạnh nhau.
- Nếu dãy số có 3 số 1, 2, 3 đứng cạnh nhau thì tạo được 3!.6!.C 71 dãy số.
Vậy có 9! - 3. 2!.7!.C 81 + 3!.6!.C 71 =151200
Cách 2:
+) Xếp 6 chữ số 4, 5, 6, 7, 8, 9 trên một đường thẳng: có 6 ! cách xếp.
+) 6 chữ số này chia đường thẳng thành 7 phần.
+) Xếp mỗi chữ số 1, 2, 3 vào 1 trong 7 phần đó: A73 cách xếp
Vậy có 6 !.7.6.5 = 151200 số thoả mãn yêu cầu bài toán.
Cách 3: (Giải bằng bài toán chia kẹo EULER).
Bài toán chia kẹo của EULER: " Cho k, n là các số nguyên dương. Số nghiệm
k- 1

nguyên không âm của phương trình: x1 + x2 + … + xk = n là C n+k- 1 "
Ta xét trường hợp số 1 đứng trước số 2 và số 2 đứng trước số 3.
Gọi x1, x2, x3, x4 lần lượt là số phần tử đứng trước số 1, đứng giữa số 1 và số 2,

ìï x + x + x + x = 6
ïï 1
2
3
4
ï
đứng giữa số 2 và số 3, đứng sau số 3. Khi đó ta có í x1 ³ 0;x2 ³ 1;x3 ³ 1;x4 ³ 0
ïï
ïï x1, x2, x3, x4 Î Z
î
Số nghiệm của hệ phương trình là: C 73 .

15


Mỗi hoán vị của 6 phần tử 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta được một dãy số thỏa mãn trường hợp
này. Do đó số dãy số thỏa mãn trường hợp này là: 6!´ C 73 .
Vậy số các dãy số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 3!´ 6!´ C 73 = 151200
b) Tính linh hoạt
Cũng trong [19], ta có: Tính mềm deo của tư duy là năng lực thay đổi dễ
dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức từ góc độ quan niệm này sang góc
độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và
xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới,
hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và phán đoán.
Tính linh hoạt của tư duy được thể hiện bởi:
- Năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ
thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác; vận dụng linh hoạt các hoạt động
phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các
phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp

này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
- Khả năng suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các
kiến thức, kĩ năng sẵn có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó có những yếu
tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm,
những phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước.
- Khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức
năng mới của đối tượng quen biết.
Để tư duy được linh hoạt, linh hoạt đòi hỏi phải thường xuyên rèn luyện các
hoạt động trí tuệ, các thao tác tư duy.
Ví dụ 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau đôi một, trong đó
các chữ số 1,2,3,4,5 được xếp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải nhưng các chữ
số 1,2,3,4,5,6 thì không được xếp như vậy.
Nếu cứ rập khuôn, máy móc là: phân chia thành nhiều trường hợp nhỏ để
xét. HS sẽ làm như sau:

16


+ Giả sử số tự nhiên có 10 chữ số là a1a2...a10 (a1≠0)
+ Theo đề bài thì các chữ số 1,2,3,4,6 phải đứng trước chữ số 5 nên chữ số 5
chỉ có thể ở từ vị trí thứ 6 trở đi. Tức là ở vị trí a6, a7, a8, a9, a10.
Ta xét lần lượt từng vị trí của chữ số a 5, rồi đến vị trí a6, rồi vị trí bộ (1,2,3,4)
và cuối cùng là vị trí các chữ số còn lại.
+ Trường hợp a10 = 5, chữ số 6 có 9 vị trí, bộ (1,2,3,4) có C 84 vị trí và bốn chữ
số 0,7,8,9 có 4! Vị trí, như vậy có tất cả 9.C 84 .4! cách sắp xếp kể cả khi a1=0. Ta bỏ
đi các trường hợp a1=0: 8.C 74 .3!.
Như vậy, trong trường hợp này có 9.C 84 .4!-8.C 74 .3! số;
+ Trường hợp a9=5 ta có: 8.C 74.4!- 7.C 63.3!.số;
+ Trường hợp a8=5 ta có: 7.C 64.4!- 6.C 53.3!
+ Trường hợp a7=5 ta có: 6.C 54.4!- 5.C 43.3!

+ Trường hợp a6=5 ta có 5.C 44.4!
Vậy có: 9.C 84 .4!-8.C 74 .3! + 8.C 74.4!- 7.C 63.3! + 7.C 64.4!- 6.C 53.3! +
6.C 54.4!- 5.C 43.3! + 5.C 44.4!=22680 số.
Nếu linh hoạt hơn trong tư duy ta có thể làm như sau:
Ta coi 6 số 1, 2, 3, 4, 5, 6 đều là số 5 . Số cách xếp 6 số 5 , 1 số 0, 1 số 7, 1
số 8, 1 số 9 thành một dãy số có 10 chữ số sao cho số 0 không đứng đầu là:
10! 9!
= 4536
6! 6!
Với mỗi cách xếp như trên ta thay số 5 ở vị trí cuối cùng bởi số 5, một trong
năm số 5 còn lại bởi số 6 và các số 5 ở những vị trí còn lại theo thứ tự từ trái qua
phải bởi 1, 2, 3, 4 thì được một số thoả mãn bài toán.
Như vậy với mỗi số ở trên với cách thay như trên ta lập được 5 số thoả mãn
đề bài.

17


Vậy có 5.4536 = 22680 số thoả mãn yêu cầu bài toán.
c) Tính độc đáo
Theo [19], tính độc đáo của tư duy được thể hiện bởi các khả năng sau:
- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liên
tưởng như không có liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật
thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí
tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm deo) tạo điều kiện cho việc tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và
nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ,

đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác
như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc
trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt
động trí tuệ của con người.
Ví dụ 6. Cho tập hợp A = {1;2;3;...;2n} . Tập con B của tập A gọi là tập cân
nếu trong B số các số chẵn bằng số các số le ( tập Æ là tập cân). Tập A có bao
nhiêu tập con cân?
• Cách giải thông thường như sau:
Xét B là tập cân có 2k phần tử. khi đó số tập B là số cách chọn ra k số từ n số

( )

chẵn và k số từ n số le, tức là có C nk
n

Vậy có

å (C )
k=0

k
n

2

2

tập.

= C 2nn (đếm bằng 2 cách để chứng minh đẳng thức).

• Nếu nhìn bài toán theo sự tương ứng một - một giữa số chẵn và số le của tập cân
B, ta có một lời giải được xem là độc đáo, như sau:
Đặt X = {2, 4,..., 2n}, Y = {1, 3,..., 2n-1}, ℑ là họ tất cả các tập cân của A,
℘ là họ các tập con của A có đúng n phần tử.

18


Xét tương ứng f: ℑ → ℘, f(B) = B1∪(Y\B2) trong đó B1 = B∩X, B2 = B∩Y.
+) Rõ ràng f là ánh xạ vì |B1| = |B2| nên |f(B)| = n suy ra f(B) thuộc ℘.
+) f là đơn ánh: Từ f(B) = f(C) suy ra B1∪(Y\B2) = C1∪(Y\C2). Do tính chẵn
le của các phần tử suy ra B1 = C1, Y\B2 = Y\C2 ⇒ B = C.
+) f là toàn ánh: Giả sử M thuộc ℘, M1, M2 là cac tập con của M chứa các
phần tử chẵn và le. Đặt B1 = M1, B2 = Y\M2, B = B1∪B2. Khi đó:
|B1| = |M1| ; |B2| = |Y\M2| = |Y| - |M2| = n - |M2| = |M1| = |B1|. Vậy B là tập cân.
Hơn nữa f(B) = B1∩(Y\B2) = M1∪(Y\(Y\M2)) = M1∪M2 = M.
Vậy số tập cân của A là C 2nn .
d) Tính hoàn thiện
Trong [19], đã nêu: Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý
tưởng và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.
e) Tính nhạy cảm vấn đề
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề
- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó có
nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
Các thành tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở học
sinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh giỏi. Trong học tập Toán mà cụ
thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các hoạt động trí
tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phân tích trong khi tìm tòi lời

giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải. Ở học sinh khá và giỏi cũng có sự biểu
hiện các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo. Điều quan trọng là người giáo viên
phải có phương pháp dạy học thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn
năng lực sáng tạo ở các em.
1.2. THỰC TRẠNG DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP CHO HỌC
SINH GIỎI Ở MỘT SỐ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
1.2.1. Khảo sát qua phiếu điều tra giáo viên và học sinh

19


Để đánh giá thực trạng dạy học chuyên đề đại số tổ hợp cho học sinh giỏi
chúng tôi đã tiến hành điều tra khảo sát thực tế và lập ra các phiếu điều tra từ giáo
viên và học sinh (xem phụ lục 1,2).
Kết quả điều tra từ 30 giáo viên toán và 120 học sinh tại các trường THPT
Chuyên Chu Văn An (các lớp chuyên Toán), THPT Việt Bắc, THPT Dân Tộc Nội
Trú Tỉnh, THPT Cao Lộc (đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán lớp 11 và 12)
Tỉnh Lạng Sơn như sau:
+ Đối với giáo viên, kết quả trả lời các câu hỏi là:
Câu
Số người chọn
Tỉ lệ (%)
Số người chọn
Tỉ lệ (%)
Số người chọn
Tỉ lệ (%)
Số người chọn
Tỉ lệ (%)
Số người chọn
Tỉ lệ (%)

1
2
3
4
5

Kết quả khảo sát
b
c
20
7
66,7
23,3
18
6
60
20
4
9
13,3
30
8
4
26,7
13,3
9
3
30
10

a
0
0
4
13,3
0
0
17
56,7
17
56,7

d
3
10
2
6,7
17
56,7
1
3,3
1
3,3

+ Đối với học sinh, kết quả trả lời các câu hỏi là:
Kết quả khảo sát
a
b
c

d
Số người chọn
85
24
9
2
Tỉ lệ (%)
70,8
20
7,5
1,7
Số người chọn
81
23
14
2
Tỉ lệ (%)
67,5
19,2
11,6
1,7
Số người chọn
82
26
9
3
Tỉ lệ (%)
68,3
21,7
7,5

2,5
Số người chọn
81
26
10
3
Tỉ lệ (%)
67,5
21,7
8,3
2,5
Số người chọn
75
36
7
2
Tỉ lệ (%)
62,5
30
5,8
1,7
Từ kết quả khảo sát ở trên cho phép rút ra một số kết luận về thực trạng dạy
Câu

1
2
3
4
5

và học chuyên đề đại số tổ hợp như sau:

20


+ Đa số học sinh cảm thấy ngại học và giải bài toán Đại số Tổ hợp (70,8 %).
Từ tâm lí ngại đó dẫn đến tình trạng học sinh giỏi không quyết tâm khi học chuyên
đề đại số tổ hợp, nhiều học sinh cứ gặp bài toán tổ hợp là bỏ, không chịu tư duy để
giải toán.
+ Việc vận dụng các phương pháp đếm trong bài toán Đại số Tổ hợp của học
sinh chủ yếu chỉ dừng lại ở mức nhận biết (21,7 %), rất ít học sinh thuần thục và
sáng tạo khi vận dụng các phương pháp vào giải toán.
+ Nhiều thầy cô giáo chưa thực sự quan tâm và đầu tư vào dạy học chuyên
đề Đại số Tổ hợp cho học sinh giỏi.
+ Đa số các giáo viên thấy được vài trò dạy học Đại số Tổ hợp để phát triển
tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi.
1.2.2. Khảo sát qua bài kiểm tra
Để có thêm cơ sở đánh giá khả năng giải bài toán Đại số Tổ hợp của học sinh
giỏi, chúng tôi sử dụng bài kiểm tra tự luận trong thời gian 45 phút.
Đối tượng là học sinh lớp 11 chuyên toán 11A1, 11A2 trường THPT Chuyên
Chu Văn An, Tỉnh Lạng Sơn. Lớp 11A1 có 34 học sinh, lớp 11A2 có 34 học sinh,
các em học theo chương trình chuyên Toán.
Đề bài
Câu 1. Cho A = { 0;1;2;3;4;5;6;7} . Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt
thuộc A có một trong 3 chữ số đầu bằng 1.
Câu 2. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số
mà trong mỗi số được viết có 1 chữ số xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất
hiện 1 lần.
Câu 3. Trên mặt phẳng cho 20 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng
hàng. Giả sử trong các đường thẳng đi qua hai trong 20 điểm đã cho không có hai

đường thẳng nào song song và cũng không có ba đường thẳng nào đồng qui tại một
điểm khác với 20 điểm đã cho.
Hãy tính số tam giác tạo bởi các đường thẳng đó mà mỗi tam giác đều không
có đỉnh là một trong 20 điểm đã cho.
21