NGUYỄN XUÂN ĐỒNG THIẾT KẾ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC ĐẠI SỐ GẮN VỚI THỰC TIỄN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------

NGUYỄN XUÂN ĐỒNG

THIẾT KẾ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC ĐẠI SỐ
GẮN VỚI THỰC TIỄN Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lý luận & Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số

: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Chu Cẩm Thơ

HÀ NỘI - 2015
1


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
người hướng dẫn khoa học TS. Chu Cẩm Thơ đã tận tình giúp và hướng dẫn
tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tác giả trân trọng cảm ơn cảm ơn tới các thầy cô giảng viên của Khoa
Toán, các thầy cô trong bộ môn Lí luận và phương pháp dạy học môn Toán
của Trường Đại học sư Phạm Hà Nội; các anh chị em trong lớp K23 - Lí luận
và Phương pháp dạy học đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện
luận văn.

Tác giả xin gửi cảm ơn tới Ban Giám Hiệu, cô giáo chủ nhiệm lớp
10A1 và tập thể lớp 10A1 trường THPT Hoàng Văn Thụ tỉnh Nam Định đã
tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong quá trình thực nghiệp luận văn.
Xin cảm ơn tất cả những người bạn, đồng nghiệp đã đang và sẽ tiếp tục
đồng hành cùng tôi trong những chặng đường khoa học sắp tới!
Trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 15 tháng 9 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Xuân Đồng


MỤC LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, lấy thực tiễn làm thước đo chân lý
và là công cụ trong hầu hết hoạt động của con người. Tuy nhiên Toán học
cũng có tính độc lập tương đối so với thực tiễn. Toán học có vai trò quan
trọng, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực sản xuất, là công cụ để
học tập và nghiên cứu các môn học khác, góp phần hình thành kỹ năng và tri
thức cơ bản cho học sinh trước khi rời ghế nhà trường. Do đó, cần phải dạy
học môn Toán ở trường phổ thông gắn liền với hoạt động thực tiễn.
Trước yêu cầu mới của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất
nước gắn liền với sự phát triển nền kinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa
đòi hỏi phải có những con người lao động toàn diện có tư duy sáng tạo và có
kỹ năng thực hành giỏi. Trước hiện thực đó yêu cầu ngành Giáo dục và đào
tạo phải có những đổi mới nhằm nâng cao chất lương dạy học. Muốn đáp ứng
được yêu cầu này chúng ta không chỉ đổi mới về nội dung mà còn đổi mới cả

về phương pháp dạy học. Điều này được cụ thể hóa trong Luật giáo dục nước
ta năm 2009.
Tuy nhiên, thực tế dạy học môn Toán ở bậc Trung học phổ thông hiện
nay, vì nhiều lý do khác nhau GV thường quan tâm đến việc dạy tri thức, kỹ
năng thuộc về lý thuyết, xem nhẹ vận dụng hoặc học sinh chưa có ý thức vận
dụng những kiến thức Toán vào học những môn khác cũng như giải quyết
những tình huống thực tế trong cuộc sống. Điều đó dẫn đến học sinh nắm bắt
kiến thức lỏng lẻo và không thấy được ý nghĩa thực tiễn của môn học này, tiết
học Toán trở nên khô khan.
Hơn nữa, một thực tế khác đó là không phải học sinh hoàn thành xong
chương trình phổ thông đều tiếp tục học đại học, cao đẳng. Một phần sẽ đi

4


vào thực tiễn sản xuất ngay. Vì thế, trong quá trình học, nên cung cấp những
kỹ năng vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn.
Chính vì những lí do trên nên đề tài “Thiết kế tình huống dạy học Đại
số gắn với thực tiễn ở trường Trung học phổ thông” được lựa chọn để
nghiên cứu.
2. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ của luận văn cũng như thời gian nghiên cứu nên
chúng tôi chủ yếu khai thác tình huống dạy học nội dung Đại số gắn với thực
tiễn trong chương trình THPT.
3. Mục đích nghiên cứu
Thiết kế một số tình huống thực tiễn trong dạy học Đại số ở trường THPT
theo hướng rèn luyện năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho học sinh
nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Toán học cho học sinh THPT.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về tính thực tiễn và ứng dụng của Toán học.

- Thực trạng vấn đề vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy học
Toán hiện nay.
- Đề xuất một số tình huống thực tiễn trong dạy học Đại số ở trường
THPT nhằm rèn luyện năng lực vận dụng vào thực tiễn cho học sinh.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để bước đầu kiểm nghiệm tính khả
thi và hiệu quả của những biện pháp đề xuất trong luận văn.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu những định hướng, biện pháp nhằm rèn luyện năng lực vận dụng
vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học Đại số được vận dụng một cách có
hiệu quả thì sẽ góp phần nâng cao khả năng vận dụng Toán học vào trong
thực tiễn cho học sinh THPT.

5


6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận:
+ Nghiên cứu những tài liệu về lý luận dạy học môn Toán.
+ Nghiên cứu chương trình SGK, SGV môn Toán, các tài liệu đổi mới
phương pháp dạy học môn Toán.
+ Nghiên cứu các luận văn, luận án, bài báo có nội dung phù hợp với
hướng nghiên cứu của đề tài.
+ Nghiên cứu các đề thi của SAT và một số đề thi Toán dành cho học
sinh lớp 10, 11 ở Mỹ.
- Phương pháp quan sát – điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
+ Thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của biện
pháp được đề xuất trong luận văn.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Thiết kế một số tình huống vận dụng thực tiễn trong dạy học
nội dung Đại số ở trường Trung học phổ thông
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

6


CHƯƠNG 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phạm trù thực tiễn
1.1.1. Thuật ngữ thực tiễn trong một số tài liệu khoa học
Theo từ điển Tiếng Việt: “Thực tiễn là những hoạt động của con
người, trước hết là lao động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết
cho sự tồn tại của xã hội (nói tổng quát)” [33, tr-974].
Trong Triết học, các nhà triết học duy tâm cũng chỉ hiểu thực tiễn như
là hoạt động tinh thần chứ không hiểu nó như là hoạt động hiện thực, hoạt
động vật chất như cảm tính của con người. Ngay cả Hegel (1770 -1831) – nhà
triết học duy tâm khách quan cũng cho rằng “thực tiễn là hoạt động ý chí của
tư tưởng”, “là một suy lí logic” [14, tr-52]. Thực tiễn được giới hạn ở hoạt
động tư tưởng, ở “ý niệm”. Theo ông, bằng thực tiễn, chủ thể tự “nhân đôi”
mình, đối tượng hóa bản thân mình trong quan hệ với thế giới bên ngoài.
Kế thừa những yếu tố hợp lí, chỉ rõ và khác phục những thiếu sót trong
quan điểm của các nhà triển học đi trước, Mark và Engels đã đem lại một
quan niệm đúng đắn về thực tiễn: “Thực tiễn là toàn bộ những hoạt động vật
chất, “cảm tính”, có mục đích, có tính lịch sử - xã hội của con người, nhằm
cải tạo tự nhiên và xã hội” [14, tr-53].
Như vậy, thực tiễn không phải bao gồm các hoạt động của con người
mà chỉ là những hoạt động vật chất – hoạt động đặc trung, có mục đích, có ý
thức, năng động, sáng tạo. Hoạt động này có sự thay đổi qua các giai đoạn
lịch sử khác nhau và được tiến hành bởi đông đảo quần chúng nhân dân trong

xã hội. Con người sử dụng các phương tiện, công cụ vất chất, sức mạnh vật
chất của mình tác động vào tự nhiên để làm biến đổi chúng trong hiện thực
cho phù hợp với nhu cầu của mình và làm cơ sở để biến đổi hình ảnh sự vật
trong nhận thức. “Thực tiễn trở thành một khâu trung gian nối liền ý thức con
người với thế giới bên ngoài”. Con người và xã hội loài người sẽ không thể
7


tồn tại và phát triển được nếu không có hoạt động thực tiễn (mà dạng cơ bản
đầu tiên và nguyên thủ nhất là hoạt động sản xuất vật chất). “Thực tiễn là
phương thức tồn tại cơ bản của con người và xã hội, là phương thức đầu tiên
và chủ yếu của mối quan hệ giữa con người với thế giới”.
1.1.2. Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn trong dạy học Toán
1.1.2.1. Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn
Giữa lí luận và thực tiễn có mối quan hệ biện chứng với nhau, tác động
qua lại lẫn nhau. Lí luận là hệ thống sản phẩm tri thức được khái quát từ thực
tiễn nhờ sự phát triển cao của nhận thức. Con người đến với thế giới bắt đầu
từ thực tiễn, “từ trực quan sinh động tới tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu
tượng đến thực tiễn, đó là con đường nhận thức chân lí, con đường nhận thức
hiện thực khách quan”.
Thực tiễn là cơ sở, mục đích và động lực chủ yếu của nhận thức, lí luận.
Thực tiễn cung cấp tài liệu cho nhận thức, không có thực tiễn thì không có
nhận thức. Mọi tri thức khoa học dù trực tiếp hay gián tiếp thì xét đến cùng đều
bắt nguồn từ thực tiễn. Nhận thức, lí luận sau khi ra đời phải quay về phục vụ
thực tiễn, hướng dẫn và chỉ đạo thực tiễn. Ngược lại, thực tiễn là công cụ xác
nhận, kiểm nghiệm tri thức thu được là đúng hay sai, chân lí hay sai lầm
nghiêm khắc chứng minh chân lí, bác bỏ sai lầm bởi “Thực tiễn là tiêu chuẩn
của chân lí”. Việc nhận thức phải xuất phát từ thực tiễn, dựa trên cơ sở thực
tiễn, đi sâu vào thực tiễn, nghiên cứu lí luận phải liên hệ với thực tiễn, “học đi
đôi với hành”. Tuy nhiên không có nghĩa là coi nhẹ, xa rời lí luận. Chủ tịch Hồ

Chí Minh đã viết “Thực tiễn không có lí luận hướng dẫn thì thành thực tiễn mù
quáng. Lí luận mà không liên hệ với thực tiễn là lí luận suông”.
1.1.2.2. Một số quan điểm về vấn đề liên hệ thực tiễn trong dạy học
Trong lĩnh vực Giáo dục và Đào tạo, Chủ tịch Hồ Chí Minh đã nói rõ về
mục đích của việc học: “Học để giúp dân giúp nước, học để làm việc”. Còn về
8


phương pháp học tập thì Người xác định: “Học phải gắn liền với hành; học tập
suốt đời; học ở mọi nơi, mọi lúc, mọi người”. Về vấn đề liên hệ với thực tiễn
trong dạy học, Bác đã nhấn mạnh “Học để hành; học với hành phải đi đôi.
Học mà không hành thì vô ích. Hành mà không học thì không trôi chảy”.
Còn theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn, trong dạy học không nên đi theo
con đường sao chép lí luận ở đâu đó rồi nhồi cho người học, vì học như vậy là
kiểu học sách vở, nên theo con đường có một lí luận hướng dẫn ban đầu rồi
bắt tay hoạt động thực tiễn, dùng thực tiễn mà củng cố lí luận, kiến thức có
phê phán lí luận của người khác rồi lại hoạt động thực tiễn, cứ thế theo mối
liên hệ qua lại giữa lí luận và thực tiễn mà đi lên.
1.2. Nguyên lí giáo dục thực hiện trong môn Toán
1.2.1. Nguyên lí giáo dục trong môn Toán
Luật Giáo dục (2009) xác định: “Hoạt động giáo dục phải xác định
thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động
sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo
dục gia đình và giáo dục xã hội” [Khoản 2, điều 3]. Đây là nguyên lí để đạt
được mục tiêu đào tạo con người trong tình hình đất nước có những biến
chuyển to lớn trong tất cả các mặt của đời sống xã hội. Thời đại hội nhập và
phát triển, thời đại của kinh tế tri thức đã mở ra rất nhiều cơ hội nhưng cũng
đồng thời rất nhiều thách thức. Do đó, toàn bộ hoạt động giáo dục nói chung
và dạy học bộ môn nói riêng, phải được thực hiện triệt để theo nguyên lí này.
Môn Toán cũng như mọi môn học khác, xuất phát từ đặc điểm và vai trò, vị

trí, ý nghĩa của nó, phối hợp cùng các môn khác và các hoạt động khác nhau
trong nhà trường, góp phần thực hiện mục tiêu nêu trên.
1.2.2. Những phương hướng thực hiện nguyên lí giáo dục trong môn Toán
Toán học là một khoa học được hình thành từ rất sớm, có nhiều định
nghĩa khác nhau về Toán học. Engels cho rằng: “Khái niệm về số tự nhiên,
9


Đại số, Hình học được con người trừ tượng hóa từ trong thế giới hiện thực do
những nhu cầu thực tiễn của con người chứ không phải do phát sinh từ trí não
con người, do tư duy thuần thúy. Những ngón tay, ngón chân, những hòn đá
nhỏ, nhờ đó người ta học đếm, những đối tượng có hình dạng khác nhau mà
người ta so sánh, những mảnh đất trên đó mà người ta đo diện tích... đó chính
là một bộ phận của nhiều sự vật cụ thể đã giúp con người hoàn thiện được
khái niệm về số tự nhiên, về đại lượng, về Hình học”; “Đối tượng của Toán
học thuần thúy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng
của thế giới khách quan” [5, tr.20]. Theo từ điển tiếng Việt: Toán học là khoa
học nghiên cứ về các quan hệ số lượng, hình dạng và logic trong thế giới khác
quan hay Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng là người ta có
thể trang bị cho một hệ tiên đề... Như vậy những khái niệm hình dạng không
gian và quan hệ số lượng được hiểu một cách rất tổng quát và trừ tượng. Hình
dạng của không gian có thể hiểu không phải chỉ trong không gian thực tế ba
chiều mà còn cả không gian trừu tượng khác nữa như không gian có số chiều
là n hoặc vô hạn, không gian mà phần tử là các hàm liên tục... Quan hệ số
lượng không chỉ bó hẹp trong phạm vi tập hợp các số mà được hiểu như
những phép toán và những tính chất của chúng trên những tập hợp có các
phần tử là những đối tượng tùy ý như ma trận, tập hợp, mệnh đề, phép biến
hình... Trong Toán học, cái trừ tượng tách khỏi mọi chất liệu của đối tượng,
chỉ giữ lại quan hệ số lượng dưới dạng cấu trúc mà thôi. Như vậy Toán học có
tính trừu tượng cao độ. Sự trừu tượng của Toán học diễn ra trên các bình diện

khác nhau. Có những khái niệm Toán học là kết quả sự trừ tượng hóa đối
tượng vật chất cụ thể, chăng hạn khái niệm số tự nhiên, hình bình hành.
Nhưng cũng có nhiều khái niệm là kết quả của sự trừu tượng đã đạt được
trước đó, chẳng hạn khái niệm nhóm, vành, trường, không gian vectơ.

10


Do vậy, có thể nói rằng, môn Toán có nhiều tiềm năng liên hệ với thực
tiễn trong dạy học. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn nên tính trừu tượng
chỉ che lấp chứ không hề làm mất đi tính thực tiễn của nó. Với vai trò là môn
học công cụ nên các tri thức, kĩ năng và phương pháp làm việc của môn toán
được sử dụng cho việc học tập các môn học khác trong nhà trường, trong
nhiều hành khoa học khác nhau và trong đời sống thực tế. Chẳng hạn trong
Vật lí chúng ta gặp mỗi liên hệ giữa quãng đường đi được s và thời gian t
trong một chuyển động được biểu thị bởi: s=v.t, mối liên hệ giữa hiệu điện
thế U và cường độ dòng điện I khi điện trở R không đổi biểu thị bởi U=I.R;
trong Hình học chúng ta gặp mỗi liên hệ giữa chu vi C và bán kính R của
đường tròn biểu thị bởi

C = 2pR

; trong Hóa học chúng ta gặp mỗi liên hệ

giữa phân tử gam M của một khối chất khí với tỉ khối d của chất khí đó đối
với không khí được biểu thị bởi:

M = 29d

.... Bằng cách trừu tượng hóa, gạt

ra một bên những đại lượng cụ thể và chỉ chú ý tới quan hệ của các địa
phương đó, chúng ta có hàm số

y = a.x

. Do vậy, có thể nói rằng, môn Toán

có nhiều tiềm năng liên hệ với thực tiễn trong dạy học. Vì thế thông qua cái
vỏ trừu tượng của của Toán học, phải làm cho học sinh thấy được mối liên hệ
giữa Toán học và thực tiễn, cụ thể là:
- Làm rõ nguồn gốc thực tiễn của Toán học: Số tự nhiên ra đời do nhu
cầu đếm, Hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận
lụt bên bờ sông Nin (Ai Cập), …
- Làm rõ sự phản ánh thực tiễn của Toán học: Khái niệm vectơ phản
ánh những đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng,
chẳng hạn vận tốc, lực… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình có cùng
hình dạng nhưng khác nhau về độ lớn…
11


- Làm rõ những ứng dụng thực tiễn của Toán học: Ứng dụng lượng
giác để đo những khoảng cách không tới được, ứng dụng của đạo hàm để tính
vận tốc tức thời, ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tích… Muốn
vậy, cần phải tăng cường cho học sinh tiếp cận với những bài toán có nội
dung thực tiễn trong khi học lí thuyết cũng như làm bài tập.
Người giáo viên cần tránh tư tưởng máy móc trong việc liên hệ Toán
học với thực tiễn, phải thấy rõ mối liên hệ này có đặc thù so với các môn học
khác, đó là: tính phổ dụng, tính toàn bộ và tính nhiều tầng.
- Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn có tính phổ dụng: tức là cùng

một đối tượng Toán học (khái niệm, định lí, công thức, …) có thể phản ánh
rất nhiều hiện tượng trên những lĩnh vực khác nhau trong đời sống. Chẳng
hạn hàm số y = ax có thể biểu thị mối liên hệ giữa diện tích của một tam giác
với đường cao ứng với một cạnh khi cho trước cạnh đó, giữa quãng đường đi
được với thời gian trong một chuyển động đều khi cho trước vận tốc, giữa
hiệu điện thế với cường độ dòng điện khi cho trước điện trở, …
- Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn có tính toàn bộ: Muốn thấy rõ
ứng dụng của Toán học, nhiều khi không thể xét từng khái niệm, từng định lí
riêng lẻ mà phải xét toàn bộ một lí thuyết, toàn bộ một lĩnh vực. Chẳng hạn,
khó mà thấy được ứng dụng trực tiếp của định lí “Không có số hữu tỉ nào
bình phương bằng 2”, nhưng ý nghĩa thực thế của định lí này ở vai trò của nó
trong việc xây dựng số thực, mà toàn bộ lĩnh vực này là cơ sở để hình thành
giải tích Toán học, một ngành có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
- Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn có tính nhiều tầng: Như ta đã
biết, Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa diễn ra trên những bình diện
khác nhau. Có những khái niệm Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa
những đối tượng sự vật cụ thể, nhưng cũng có nhiều khái niệm nảy sinh do sự
trừu tượng hóa những cái đã đạt được trước đó. Do vậy, từ Toán học tới thực
12


tế nhiều khi phải qua nhiều tầng. Ứng dụng của một lĩnh vực Toán học được
thể hiện có khi không trực tiếp ngay ở trong thực tế mà ở một lĩnh vực khác
gần thực tế hơn nó. Giải phương trình là một lĩnh vực gần thực tế, ứng dụng
của nó được thấy rõ ràng. Khảo sát hàm số có khi giúp ta giải phương trình,
như vậy khảo sát hàm số cũng là có ứng dụng thực tế. Đạo hàm là một công
cụ khảo sát hàm số, điều đó là một biểu hiện của ý nghĩa thực tiễn của đạo
hàm. Tương tự như vậy, ứng dụng của Toán học nhiều khi thấy rõ ở những
môn học khác gần với thực tế hơn, chẳng hạnh như Vật lí, Hóa học,… làm
việc với những ứng dụng của Toán học trong những môn học này cũng là một

hình thức liên hệ Toán học với thực tế, đồng thời cũng góp phần làm rõ những
mối liên hệ liên môn.
Cần dạy theo cách sao cho học sinh có thể nắm vững tri thức, kĩ năng
và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Muốn vậy cần tổ chức cho học sinh học
Toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực chủ động, sáng tạo,
được thực hiện độc lập hay giao lưu.
Dạy toán trong hoạt động và bằng hoạt động của học sinh góp phần
thực hiện nguyên lí: Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động trong
nhà trường gắn liền với xã hội”. Cách dạy học như trên xuất phát từ quan
điểm cho rằng con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong
hoạt động. Tinh thần cơ bản của cách làm này là xuất phát từ một nội dung
dạy học toán, ta xác định những hoạt động liên hệ của nó, phân tách chúng
thành những hoạt động thành phần rồi căn cứ vào mục tiêu dạy học mà lựa
chọn ra một số hoạt động và hoạt động thành phần thích hợp, dựa vào đó tổ
chức chọn ra một số hoạt động và hoạt động thành phần thích hợp, dựa vào đó
tổ chức cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động này với tư cách
là chủ thể được gợi động cơ, được hướng đích, có ý thức về phương pháp hoạt
động và có trải nghiệm thành công.
13


Cần đặc biệt chú ý tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức, rèn
luyện những kĩ năng, kĩ xảo, phát triển tư duy và hoạt động cần thiết và thường
dùng trong thực tiễn như tri thức về vectơ, tọa độ, kĩ năng và kĩ xảo tính toán
(kể cả tính nhẩm và tính bằng máy), tư duy thuật giải, tư duy thống kê,…
Trong nội bộ môn Toán, cần cho học sinh làm rõ toán có nội dung thực
tiễn như giải những bài toán bằng cách lập phương trình, giải toán cực trị, đo
những khoảng cách không tới được bằng cách dùng những hàm số lượng giác,...
Cần cho học sinh vận dụng những tri thức và phương pháp Toán học
vào những môn học trong nhà trường, chẳng hạn vận dụng vectơ để biểu thị

lực, vận tốc, gia tốc, vận dụng đạo hàm để tính vận tốc tức thời trong Vật lí,
vận dụng Tổ hợp và Xác suất khi nghiên cứu di truyền, vận dụng tri thức về
Hình học không gian trong kĩ thuật, vận dụng tính gần đúng, sử dụng bảng số,
máy tính trong việc đo đạc, tính toán khi học những môn khác.
Tổ chức những hoạt động thực hành Toán học trong nhà trường và
ngoài nhà trường như ở nhà máy, đồng ruộng,… kể cả những hoạt động có
tính chất tập dượt nghiên cứu bao gồm các khâu đặt bài toán, xây dựng mô
hình, thu thập dữ liệu, xử lí mô hình để tìm lời giải, đối chiếu lời giải với thực
tế để kiểm tra điều chỉnh.
Việc vận dụng và thực hành Toán học cần dẫn tới hình thành phẩm chất
luôn muốn ứng dụng tri thức và phương pháp Toán học để giải thích, phê
phán và giải quyết những sự việc xảy ra trong đời sống. Chẳng hạn, gặp một
số ghi ở một cột bên lề đường, một số học sinh có thể không hiểu số đó chỉ
cái gì. Ý thức và tác phong vận dụng Toán học sẽ thôi thúc họ xem xét sự
biến thiên các số trên cột để giải đáp điều đó.
1.3. Hoạt động Toán học hóa các tình huống thực tế
Thực tế cho thấy, Toán học đã xâm nhập vào trong cuộc sống đời
thường, trong lao động sản xuất và trong nghiên cứu của mọi ngành khoa học,
14


thông qua quá trình Toán học hoá các vấn đề thực tế. Từ đó, có thể hiểu quá
trình Toán học hoá vấn đề thực tế là quá trình đưa vấn đề đó về dạng Toán
học (xây dựng mô hình toán cho vấn đề thực tế). Để có thể thực hiện được
hoạt động Toán học hóa các vấn đề thực tế, người dạy và người học cần được
trang bị phương pháp mô hình hóa.
Phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức khoa học mà con
người dùng phương tiện là mô hình để nghiên cứu các sự vật và hiện tượng.
* Quan niệm về mô hình
Về mô hình, có nhiều quan niệm khác nhau, có thể dẫn ra đây một vài

ví dụ:
- Khách thể M là mô hình của khách thể A đối với một hệ thống S các
đặc trưng nào đó, nếu M được xây dựng hoặc được chọn để bắt chước A theo
những đặc trưng đó” [1, tr-107].
- Mô hình là một "vật" hay "hệ thống vật" đóng vai trò đại diện hoặc vật
thay thế cho "vật" hay "hệ thống vật" mà ta quan tâm nghiên cứu [34, tr-175].
- Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện
bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu ... [ 27, tr-347]
Nói tóm lại, mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng
(vật gốc) mà ta quan tâm.
* Đặc trưng của mô hình
Mô hình có các đặc trưng sau đây:
- Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mô
hình phải bảo lưu được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là
cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng
cấu với vật gốc. Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng
nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan
hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn
giản hơn vật gốc.
15


- Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó
ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong
quá trình trừu tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản
chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng
nghiên cứu đã được lí tưởng hóa. Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính
chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có
trong thực tiễn.
- Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc. Một mô hình chỉ phản

ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc. Để nghiên cứu
các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng.
Tuy nhiên việc lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng
ban đầu không phải là một việc đơn giản.
- Thực tiễn cuộc sống luôn luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình
không phải là cái bất biến. Phát triển từ mô hình ở mức độ thấp lên mức độ
cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô
hình của các quá trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương
thích với các mô hình cụ thể trước đó. Một mô hình có thể là chưa thành công
về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán
đoán tình huống thực tiễn.
* Đặc điểm của mô hình Toán học
Đặc điểm quan trọng của mô hình Toán học là sử dụng ngôn ngữ Toán
học để mô tả các hiện thực khách quan; chính điều này đã làm cho nó ưu việt
hơn các mô hình của các khoa học khác. Từ đó, ta có các nhận xét sau đây:
- Mô hình Toán học cũng là một loại mô hình (mô hình ký hiệu) nó
cũng chỉ phản ánh một khía cạnh nào đó của thực tiễn.
- Cùng một sự vật, hiện tượng, có thể có nhiều mô hình Toán học mô
tả, bởi vậy, trong lớp các mô hình đó, có mô hình “tốt” hơn theo nghĩa đơn
16


giản về mặt Toán học và sát thực hơn với đối tượng của nó. Tuy nhiên, mô
hình càng đơn giản về mặt Toán học thì càng “xa” thực tiễn, càng phức tạp về
mặt Toán học thì càng “xích lại gần” thực tiễn. Bởi vậy, con người cần có sự
đánh giá vào điều chỉnh mô hình trong hoạt động của mình.
* Quá trình mô hình hóa một sự kiện nào đó thường xảy ra ba giai
đoạn chính
- Giai đoạn 1 là giai đoạn xây dựng mô hình, đó là quá trình tìm “vật”
đại diện; thông thường cần sự liên tưởng đến những vấn đề tương tự. Trong

giai đoạn này, vai trò của trí tưởng tượng và trực giác rất quan trọng. Nhờ trí
tưởng tượng và trực giác, người ta loại bỏ những mối quan hệ thứ yếu của đối
tượng nghiên cứu, thay nó bằng một “hình mẫu” chỉ mang những tính chất,
những mối quan hệ chủ yếu. “Hình mẫu” chỉ có trong óc và căn cứ vào đó,
người ta xây dựng mô hình thật (nếu như người đó sử dụng mô hình vật chất)
hoặc liên tưởng tới những mô hình đã sẵn có.
- Giai đoạn 2 là giai đoạn nghiên cứu trên mô hình. Trong giai đoạn
này, mô hình trở thành đối tượng nghiên cứu; trên đó, người ta áp dụng các
phương pháp lý thuyết và thực nghiệm khác nhau.
- Giai đoạn 3 là giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình. Trong
giai đoạn này, kết quả thu được trên mô hình được chuyển về đối tượng
nghiên cứu để đối chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình.
* Hoạt động Toán học hóa các vấn đề thực tế đối với học sinh phổ thông
Hoạt động Toán học hóa các vấn đề thực tế là hoạt động chuyển một
vấn đề thực tế về một vấn đề trong nội tại bản thân Toán học để sử dụng vai
công cụ của khoa học này nghiên cứu giải quyết. Đối với người có học vấn
bậc phổ thông, hoạt động Toán học hóa các vấn đề thực tế xảy ra khi họ đối
mặt với các tình huống có ảnh hưởng trực tiếp đến cuộc sống cá nhân. Họ
phải nỗ lực chuyển những tình huống này về dạng Toán học phổ thông để giải
17


quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình. Hoạt động Toán
học hóa các vấn đề thực tế đối với học sinh phổ thông thiên về việc vận dụng
Toán học vào trong các tình huống đơn giản, phổ biến thường xảy ra trong
cuộc sống. Tuy nhiên, việc vận dụng đó lại mang tính chất gián tiếp. Cụ thể là
trước tình huống đối mặt trong cuộc sống, họ phải liên tưởng tới những tri
thức Toán học phù hợp để từ đó đặt ra được bài toán và tìm cách giải quyết
nhằm thỏa mãn nhu cầu của mình. Không những thế, người lao động còn biết
nhìn lại quá trình giải quyết một cách nghiêm túc để tìm ra được lược đồ tối

ưu, bổ sung vào vốn kinh nghiệm, phục vụ cho các hoạt động thực tiễn.
1.4. Tình huống thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thông
1.4.1. Tình huống thực tiễn và bài toán thực tiễn
Trên cơ sở của lí thuyết hệ thống,“hệ thống là một tập hợp những phần
tử cùng với những quan hệ giữa những phần tử của tập hợp đó, còn một tình
huống là một hệ thống phức tạp bao gồm chủ thể và khách thể, trong đó chủ
thể có thể là người còn khách thể là một hệ thống nào đó. Một tình huống mà
khách thể tồn tại ít nhất có một phần tử chưa biết, được gọi là tình huống bài
toán đối với chủ thể. Đứng trước một tình huống, chủ thể đặt ra mục đích tìm
phần tử chưa biết, dựa vào các phần tử khác của khách thể thì có một bài
toán đối với chủ thể” [16, tr-183].
Dựa trên quan điểm của Nguyễn Bá Kim, ta có thể hiểu:
Tình huống thực tiễn là tình huống mà khách thể của nó chứa đựng các
yếu tố mang nội dung thực tiễn (tức là mang nội dung các hoạt động của con
người).
Bài toán có nội dung thực tiễn là bài toán mà khách thể của nó chứa
đựng các yếu tố mang nội dung thực tiễn. [2, tr-31]

18


Để phù hợp với tình độ học sinh phổ thông, tình huống thực tiễn là
những tình huống đơn giản, phổ biến trong cuộc sống mà bằng kiến thức phổ
thông, học sinh có thể nhận thức được.
Tuy nhiên, có sự khác biệt giữa khái niệm “thực tiễn” và khái niệm
“thực tế”: Thực tiễn là toàn bộ các hoạt động của con người, trước hết là lao
động sản suất; trong khi đó thực tế là tổng thể nói chung những gì đang tồn
tại, đang diễn biến trong tự nhiên và trong xã hội về mặt có liên quan đến đời
sống con người.
1.4.2. Vấn đề ứng dụng Toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề Toán

học hóa tình huống thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thông
Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, tuy nhiên có tính trừu tượng cao độ,
chính nhờ có đặc điểm này mà Toán học có tính độc lập tương đối. Tính trừu
tượng cao độ của Toán học chỉ che lấp chứ không làm mất đi nguồn gốc thực
tiễn của nó, đồng thời càng tăng thêm sức mạnh ứng dụng của nó trong đời
sống thực. Sự hình thành và phát triển của Toán học được thể hiện qua hai xu
hướng chính: Toán học lý thuyết (Toán học thuần túy) và Toán học ứng dụng.
Sự phân chia đó cũng chỉ có tính chất tương đối, vì suy cho cùng, mọi lý thuyết
của nó dù xa hay gần, cuối cùng cũng trở về phản ánh, ứng dụng vào trong thực
tiễn. Lý thuyết càng trừu tượng thì ứng dụng của nó càng lớn. Dạy học Toán
nói chung, dạy học Toán ở bậc phổ thông nói riêng, theo một nghĩa nào đó là
phản ánh sự hình thành và phát triển của khoa học Toán học nên trong cơ cấu
chương trình không thể bỏ qua một trong hai nội dung các xu hướng nói trên.
1.4.3. Mối quan hệ giữa mô hình Toán học của tình huống thực tiễn và mô
hình Toán học của bài toán có nội dung thực tiễn
Theo [1, tr-107], xây dựng mô hình Toán học cho tình huống thực tiễn
là mô tả tình huống đó bằng ngôn ngữ Toán học. Giả sử rằng: tình huống thực
tiễn (THTT) đang xét có mô hình Toán học là M và trước tình huống đó chủ
thể có nhu cầu N1 (tìm hiểu về khách thể). Nhu cầu này chuyển hóa thành
19


mục đích và được diễn tả bởi một nội dung Toán học là A 1. Khi đó, mô hình
của bài toán có nội dung thực tiễn vừa xuất hiện là M 1, có quan hệ với mô
hình của tình huống ban đầu được diễn tả như Sơ đồ 1.1:

20


THTT

M1

=

M

N1

+

A1

Sơ đồ 1.1
Cần phải lưu ý rằng đứng trước mỗi một tình huống thực tiễn, có thể có
nhiều nhu cầu, do đó, ứng với mỗi tình huống có thể xây dựng được nhiều bài
toán. Sự tách bạch giữa các khái niệm tình huống thực tiễn và bài toán có nội
dung thực tiễn cùng việc mô tả mối quan hệ giữa các mô hình của chúng có
những thuận lợi sau đây:
- Làm cho học sinh thấy được rằng bài toán có nội dung thực tiễn
nguồn gốc từ nhu cầu của con người, khi bản thân chứng kiến tình huống đó.
- Làm cho học sinh thấy rõ có thể xây dựng mô hình bài toán có nội
dung thực tiễn trên cơ sở mô hình Toán học của tình huống thực tiễn.
- Học sinh thấy được mỗi tình huống thực tiễn có thể có nhiều bài toán
có nội dung thực tiễn. Một điều cần phải thống nhất ở đây là không phải bao
giờ cũng phân biệt các khái niệm trên một cách rạch ròi, chỉ khi nào thấy thực
sự là hết sức cần thiết. Bởi vậy, trong luận văn, khi đề cập đến tình huống
thực tiễn trong khi bàn luận đến bài toán có nội dung thực tiễn thì ngụ ý muốn
nói tình huống thực tiễn hàm chứa trong bài toán đó.
1.4.4. Một số vấn đề khác xung quanh bài toán có nội dung thực tiễn

Điều đầu tiên phải khẳng định rằng, các bài toán có nội dung thực tiễn
trong sách giáo khoa ở trường phổ thông đã được chính xác hóa và lý tưởng
hóa. Điều đó được thể hiện qua những điểm sau: các tình huống ẩn chứa trong
các bài toán này chưa hẳn đã xảy ra trong cuộc sống thực; chẳng hạn, những
21


tình huống diễn tả chuyển động đều, chuyển động nhanh dần đều,... Mặt khác,
giả thiết của bài toán không thiếu, không thừa, lời giải bao giờ cũng cho kết
quả để trả lời cho câu hỏi thực tiễn, thậm chí kết quả còn "rất đẹp". Nói như
thế, không có nghĩa các bài toán có trong sách giáo khoa không có tác dụng gì
trong dạy học; ngược lại nó có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện cho học
sinh khả năng vận dụng tri thức Toán học vào đời sống thực tiễn. Những bài
toán có nội dung thực tiễn là cầu nối đầu tiên nối liền Toán học với cuộc
sống, vì lí do sư phạm mà mà có sự can thiệp của các tác giả của sách giáo
khoa như đã trình bày ở trên.
1.5. Tiếp cận khám phá toán có nội dung thực tiễn
Theo [10, tr-34], mô tả thuật ngữ khám phá toán với vai trò là một
nhiệm vụ học tập và một quy trình mà học sinh khám phá các bài toán cùng
với việc phân biệt khám phá toán với vấn đề, hoạt động khám phá toán với
Giải quyết vấn đề là cần thiết để hiểu rõ việc sử dụng của thuật ngữ này trong
cộng đồng các nhà giáo dục. Xem xét việc tích hợp khám phá toán vào
chương trình toán ở một số nền giáo dục sẽ thầy được sự ủng hộ của các nhà
quản lí, nghiên cứu giáo dục và giáo viên với tiếp cận này.
Khám phá toán là một tiếp cận dạy học xuất hiện ở Anh những năm
1960 trong báo cáo của dự án Nuffield và báo cáo Plowden. Hai báo cáo này
khuyến khích ý tưởng cung cấp môi trường để học sinh khám phá kiến thức
khi các em học toán. Từ đó khám phá toán trở thành một hoạt động thiết thực
trong các lớp học toán, thịnh hành ở các trường học của Anh từ những năm
1980 và thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà giáo dục trong nỗ lực

tìm kiếm các tình huống dạy học toán hiệu quả. Thuật ngữ khám phá toán vì
thế cũng được sử dụng rộng rãi trong cộng động các nhà nghiên cứu giáo dục
và giáo viên. Tuy nhiên, cho đến những năm gần đây các nhà giáo dục vẫn
chưa tìm được sự thống nhất trong quan niệm về thuật ngữ này. Ernest [41, tr22


284] đã chỉ ra rằng bản thân thuật ngữ “khám phá” vốn đã gây sự khó hiểu vì
nó là một danh từ nhưng lại miêu tả quá trình tìm kiếm. Ernest nhận thấy rằng
có một sự chuyển đổi về nghĩa khi sử dụng thuật ngữ này trong lĩnh vực giáo
dục toán. Điều đó dẫn đến ý tưởng đồng nhất khám phá toán với câu hỏi hay
tình huống Toán học phù hợp với điểm bắt đầu của nó. Đó là một sự chuyển
đổi mang tính hoán dụ về nghĩa khi thay thế hoạt động toàn thể với một trong
các bộ phận của nó. Sự chuyển đổi này vẫn còn tập trung vào sự điều khiển
của giáo viên thông qua việc thiết lập khám phá toán như một nhiệm vụ học
tập và điều đó đối lập với quan điểm xem khám phá toán là hoạt động được
định hướng bởi người học. Một lí do nữa khiến thuật ngữ khám phá trở nên
không rõ ràng là việc tập trung vào sự chuyển đổi của hoạt động khi xem xét
các câu hỏi mới được đặt ra và những tình huống mới được nảy sinh từ những
câu hỏi và tình huống Toán học ban đầu. Điều đó sẽ dẫn đến sự chuyển đổi
trong mục đích của hoạt động khám phá toán và sự chuyển đổi này được xác
định bởi người học. Đo đó, đồng nhất khám phá toán với điểm bắt đầu của nó
sẽ dẫn đến việc nhận thức thiếu chính xác về bản chất của hoạt động mà học
sinh tiến hành khi khám phá các tình huống Toán học có tính kết thúc mở.
Mặc dù Esnest đã chỉ ra một số hạn chế với ý tưởng đồng nhất thuật
ngữ khám phá toán với câu hỏi hoặc tình huống Toán học phù hợp với điểm
bắt đầu của chúng, tuy nhiên ý tưởng này vẫn được tiếp nhận và phát triển bởi
các nhà nghiên cứu sau đó. Jaworki [45, tr-3] đã chỉ ra rằng ngay từ khi bắt
đầu học sinh làm việc với các tình huống có thể được nhìn thầy là đang khám
phá nó và dần dần vấn đề học tình huống mà các em đang khám phá đó được
biết đến với tên gọi là khám phá toán. Như vậy, khám phá toán được biết đến

là một danh từ dùng để chỉ những vấn đề và những tình huống Toán học có
cầu trúc lỏng lẻo đòi hỏi học sinh phải tham gia vào các hoạt động như đặt
các câu hỏi, đặt ra các mục đích và tiến hành nghiên cứu. Một nhiệm vụ học
23


tập không có mục đích cụ thể, thách thức và không có thuật toán cụ thể để
thực hiện được gọi là một khám phá. Khi đó, một tình huống Toán học với
đặc trưng là chưa có mục đích cụ thể, mục đích là mở và chưa được đưa ra
trong phát biểu ban đầu cũng chưa có điểm kết thúc là một tên gọi khác của
thuật ngữ khám phá toán. Bailey cũng cho rằng khám phá toán là một bài toán
có kết thức mở chứa đựng nhiều con đường để khám phá, dẫn đến nhiều ý
tưởng Toán học và nhiều phương án giải quyết khác nhau. Haylock và
Thangata [44, tr-96] cũng ủng hộ quan điểm của các nhà nghiên cứu trước
đây khi chon rằng khám phá toán chỉ có một nhiệm vụ Toán học mang đến cơ
hội cho học sinh đặt ra các vấn đề, xác định phương án giải quyết vấn đề và
thảo luận các kết quả tìm được.
Có thể thấy quan niệm xem khám phá toán là một nhiệm vụ Toán học
phổ biến trong cồng đồng các nhà giáo dục. Ở đó khám phá toán được biết
đến như một bài toán kết thúc mở đòi hỏi sự tham gia tích cực của học sinh.
Bên cạnh đó khám phá toán cũng được phân biệt với vấn đề ở chỗ vấn đề bao
hàm một mục đích rõ ràng trong phát biểu ban đầu còn khám phá toán có mục
đích mở và chưa đưa ra trong phát biết biểu ban đầu.
Cùng quan niệm xem một khám phá toán là một vấn đề nhưng Morgan
lại đưa ra một cách tiếp cận toàn diện hơn những nhà nghiên cứu khác khi
phân biệt khám phá toán và việc tiến hành khám phá toán. Theo Morgan câu
trả lời cho câu hỏi “khám phá toán là gì” là không duy nhất vì các nhiệm vụ
Toán học và các loại hoạt động đều được gắn với tên gọi là khám phá toán.
Trong đó một tình huống khám phá toán được hiểu là một nhiệm vụ Toán học
đòi hỏi học sinh phải tự mình tiến hành các hoạt động Toán học một cách

sáng tạo trong bối cảnh mở và gắn liền với chương trình. Các hoạt động Toán
học của học sinh gắn liền với việc khám phá tình huống khám phá toán được
gọi là các hoạt động khám phá toán.

24


Mặc dù có sự khác nhau trong cách tiếp cận đối với thuật ngữ khám
phá toán trong cộng đồng các nhà giáo dục khi xem khám phá toán là một
nhiệm vụ học tập hoặc khám phá toán là hoạt động khám phá các tình huống
Toán học có tính kết thúc mở nhưng nhìn chung hầu hết các nhà nghiên cứu
đều thống nhất với nhau rằng khám phá toán cung cấp cơ hội để học sinh
tham gia vào các vấn đề mới từ bài toán kết thức mở ban đầu và tìm kiếm
phương án giải quyết chúng để phát triển hiểu biết Toán học cho bản thân. Vì
đặt vấn đề và giải quyết vấn đề là hai trong những hoạt động Toán học đặc
trưng trong công việc khám phá toán của học sinh nên một số nhà giáo dục
phân biệt khám phá toán với giải quyết vấn đề để giúp giáo viên khắc phụ
nhận thức sai lầm và áp lực khi thực hiện các tình huống dạy học với trọng
tâm là khám phá toán. Việc phân biệt khám phá toán và giải quyết vấn đề
được hiểu theo nghĩa phân kì hơn và hội tụ hơn trong mục đích tiếp cận, do
đó khám phá toán thường gắn liền với các bài toán kết thúc mở còn giải quyết
vấn đề tập chung vào các bài toán đóng:
Trong giải quyết vấn đề, học sinh tập trung vào việc tìm kiếm một lời
giải và múc đích chính của các em là đưa ra được lời giải đó. Trong
khi đó khám phá toán lại được đặc trưng bởi việc học sinh tiến hành
các hoạt động trí tuệ cơ bản, ở đó sự chú ý tập trung vào quá trình suy
nghĩ hơn là lời giải. Học sinh không chỉ được mong đợi đưa ra lời giải
đúng mà tìm kiếm các khả năng có thể xảy ra, đưa ra các giải huyết và
làm cho bản thân các em và bạn học tin vào những gì các em thấy.
Khám phá toán nhấn mạnh đến khám phá các bài toán theo mọi hướng,

ở đó hành chứ chứ không phải điểm đến là mục đích của nó.
Khi so sánh giải quyết vấn đề và khám phá toán, Orton và Frobisher đã
chỉ ra rằng:

25