NGHIÊN CỨU VAI TRÒ CỦA ISOSPIN TRONG CHẤT HẠT NHÂN BẤT ĐÔI XỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn PGS. TS Lê Viết Hòa, khoa Vật lý trường ĐH Sư Phạm Hà Nội, người
đã trực tiếp hướng dẫn trực tiếp cũng như giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên
cứu và hoàn thành luận văn này. Thầy đã cung cấp cho tôi rất nhiều hiểu biết về một
lĩnh vực mới về lí thuyết chuyển pha khi tôi mới bắt đầu bước vào thực hiện luận
văn. Trong quá trình thực hiện luận văn thầy luôn định hướng, góp ý và sửa chữa
những chỗ lỗi sai giúp tôi hoàn thành tốt luân văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý trường ĐH Sư
Phạm Hà Nội, cũng như các thầy cô trong trường đã giảng dạy, giúp đỡ chúng tôi
nhiệt tình trong khoá học này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn phòng Sau đại học, các phòng ban, thư viện
trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ, và cũng xin chân
thành cảm ơn những bạn bè, đồng nghiệp, đoàn thể cơ quan trường THPT Lạc Thủy
B đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi để tôi hoàn thành luận văn này.
Do được hoàn thành trong một khoảng thời gian hạn chế và mới bước đầu
làm quen với nghiên cứu khoa học độc lập, luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót Tôi rất mong nhận được mọi ý kiến đóng quý báu và chỉ bảo của thầy cô, bạn bè
và đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh hơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015
Tác giả

Đỗ Thanh Phong

CHÚ THÍCH CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT

i


STT

Kí hiệu viết tắt

Chú thích

1

QCD

Sắc động học lượng tử

2

BEC

Ngưng tụ Bose – Einstein

3

CJT

Cornwall Jackiw Tomboulis

4

EOS

Phương trình trạng thái

5

KMS

Kubo-Martin- Schwinger

ii


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................1
2. Mục đích đề tài...........................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................1
4. Nhiệm vụ của đề tài...................................................................................2
5. Phương pháp nghiên cứu của đề tài...........................................................2
6. Cấu trúc của luận văn.................................................................................2
Chương I: THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ................................................................3
1.1 Hình thức luận tích phân đường và thời gian ảo......................................4
1.2. Hình thức luận toán tử..........................................................................12
1.3. Hàm phổ ρ(k0)......................................................................................13
1.4. Hàm truyền Matsubara (hoặc thời gian ảo)...........................................16
1.5. Hàm truyền trật tự thời gian (thời gian thực)........................................18
1.6. Việc lấy tổng theo tần số.......................................................................18
Chương II:.......................................................................................................22
LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Ở NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN................22
2.1. Trường vô hướng thực trung hòa..........................................................22
2.1.1. Định lý Wick và hàm truyền..............................................................23
2.1.2. Hiệu chỉnh cấp một: hàm truyền và tổng thống kê............................26
2.1.3. Các quy tắc Feynman.........................................................................31
2.2. Hình thức luận thời gian thực...............................................................32

2.2.1. Tích phân đường................................................................................32
2.2.2. Tích phân đường và hàm truyền........................................................36
2.2.3. Quy tắc Feynman với hàm truyền đối xứng.......................................41
2.3. Năng lượng riêng trong hình thức luận thời gian thực..........................43
2.4. Tái chuẩn hóa ở nhiệt độ khác không...................................................47

iii


Chương III:......................................................................................................49
VAI TRÒ CỦA BẬC TỰ DO ISOSPIN TRONG CHẤT HẠT NHÂN BẤT
ĐỐI XỨNG.....................................................................................................49
3.1. Thế hiệu dụng ở gần đúng một loop.....................................................49
3.2. Các phương trình trạng thái..................................................................54
3.3 Nghiên cứu số........................................................................................55
3.4. Kết quả và thảo luận..............................................................................59
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................61

iv


DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 3.1. Sự phụ thuộc của năng lượng liên kết vào mật độ barion...............56
Hình 3.2. Sự phụ thuộc mật độ của khối lượng nucleon hiệu dụng tại α = 0, 2
.........................................................................................................................57
và một vài nhiệt độ..........................................................................................57
Hình 3.3. Phương trình trạng thái ở nhiệt độ xác định và α khác nhau...........58
Hình 3.4. Năng lượng liên kết tại T = 20MeV ứng với một vài giá trị α........59

v


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cùng với thành công của mô hình Walecka, một mô hình chất hạt nhân mà
trong đó chỉ bao gồm bậc tự do nucleon đã được đề xuất [11], [12]. Thông qua sự
tương tác trực tiếp giữa các nucleon mà các trạng thái liên kết giống như meson,
r
N, N , N,γ μ, N , N, γ μτ, N , đã được hình thành trong môi trường hạt nhân. Mặc

dù mô hình bốn nucleon đã mô tả thành công nhiều tính chất của hạt nhân, mô hình
này vẫn chưa đề cập đến tính chất bất đối xứng giữa proton và neutron tức là chưa
nghiên cứu vai trò của isospin. Chính vì vậy, yêu cầu cấp thiết là phải mở rộng
nghiên cứu sang các chất hạt nhân bất đối xứng vì những thông tin về chúng có vai
trò hết sức quan trọng để hiểu được hàng loạt các vấn đề thời sự của thiên văn học
như sự tồn tại của các sao neutron, sự hình thành các sao siêu mới, tốc độ nguội của
của các sao...
2. Mục đích đề tài
Luận văn này được thực hiện nhằm các mục đích sau:
1. Tìm hiểu lý thuyết trường ở nhiệt độ và mật độ hữu hạn.
2. Nghiên cứu ảnh hưởng của các bậc tự do isospin đến các tính chất của chất
hạt nhân thuộc vùng giữa chất hạt nhân đối xứng và vật chất thuần chứa neutron.
3. Đối tượng nghiên cứu
Là chất hạt nhân được mô tả bằng mật độ Lagrangian có dạng
→→
→ → 

μ
μ

L = Ψ i γ μ ∂ − M N + g σ σ + g δ τ δ − g ω γ μ ω − g ρ γ μ τ ρ μ  Ψ +


1
1
1
+ σ ( ∂σμ ∂mμ σ− σ 2F) − F μυ μυm+ ω ω 2ω μ μ −
2
4
2
→
→
→
r
u
r
u
r
ur2
μ
1
1
1
− G μυ G μυ + mρρ2 μρ + ( ∂ μ δ ∂ μ δ − mδ2 δ ) +ψγ μ0 Ψ,
4
2
2
r
r
ở đây Ψ,σ, ω μ,ρ μ và δ là toán tử trường của nucleon, meson sigma, meson omega,

meson ro và meson delta; Fω
μυ = ∂ μ ω
υ − ∂υ

1

ur
r
r
M Nσ; m ; m ω ; m δ ;
Gρ
=
∂
ρ
−
∂
μ
ν
,
μ
μ ν
ν μ;


mρ là khối lượng thuần của các hạt tương ứng; g σ ; g ω ; g δ ; g ρ là các hằng số liên
r

kết, τ =

1r 1
σ = (σ1 ,σ 2 ,σ3 ), với σi (i = 1,2,3) là các ma trận Pauli γ μ (μ = 1,2,3) là
2
2

các ma trận Dirac
4. Nhiệm vụ của đề tài
1. Tìm hiểu lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn và viết tổng quan.
2. Tìm biểu thức giải tích cho thế nhiệt động, từ đó rút ra các phương trình
trạng thái và thực tính số để nghiên cứu ảnh hưởng của bậc tự do isospin đến các
quá trình biến đổi trạng thái của chất hạt nhân bất đối xứng.
5. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
Sử dụng các phương pháp đang được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trường
lượng tử: phương pháp khai triển loop, kỹ thuật giản đồ Feynman, phương pháp
tính số bằng máy tính điện tử…
6. Cấu trúc của luận văn
Luận văn này trình bày các kết quả thu được khi thực hiện những mục đích
đề ra và được cấu trúc như sau: ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo là
phần chính gồm 3 chương:
Chương I: Thống kê lượng tử.
Chương II: Lý thuyết trường ở nhiệt độ và mật độ hữu hạn.
Chương III: Vai trò của bậc tự do isospin trong chất hạt nhân bất đối xứng.

2


Chương I: THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ
Chúng ta hãy bắt đầu tìm hiểu nội dung chủ yếu của chương này: lý thuyết
trường ở nhiệt độ và thế hóa học khác không. Như đã biết, để nghiên cứu lý thuyết
trường ở nhiệt độ không ta có thể sử dụng hai hình thức luận: Hình thức toán tử và

hình thức luận tích phân đường. Thực tế thì cả hai hình thức luận là tương đương
nhau trong việc giải quyết các bài toán cụ thể, mặc dù trong một số trường hợp thì
hình thức này có thể có ưu thế hơn hình thức luận kia: Ví dụ, việc lượng tử hóa
trường Gauge sẽ đơn giản hơn nhiều nếu ta sử dụng hình thức luận tích phân đường.
Điều này cúng đúng trong trường hợp lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn: cả hai
hình thức nói trên đều có thể sử dụng được và ta có thể chuyển từ hình thức luận
này sang hình thức luận kia.
Vì trường hợp đơn giản nhất của lý thuyết trường là lý thuyết trường với số
chiều không gian bằng không, hay nói cách khác chính là cơ học lượng tử, nên
chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc trình bày ngắn gọn về cơ học lượng tử ở nhiệt độ hữu
hạn hoặc một cách tương đương là vật lý thống kê lượng tử. Trước hết, chúng ta
tiếp cận vấn đề bằng hình thức luận tích phân đường và sau đó sẽ trở lại hình thức
luận toán tử quen thuộc. Chúng ta sẽ đặc biệt quan tâm tới tích thứ tự thời gian (còn
gọi là T- tích) của các toán tử tọa độ mà nó sẽ được mở rộng cho các toán tử trường
trong lý thuyết trường.
Ở nhiệt độ không, để thuận lợi cho tính toán người ta thường thực hiện việc
kéo dài giải tích từ thời gian thực sang thời gian ảo: t → − iτ hoặc x 0 → − ix 4 . Với
τ (hoặc x4) là số thực. Điều này cũng có nghĩa là ta chuyển từ không gian
Minkowski sang không gian Euclidean, vì các metric của không gian Minkowski
chuyển thành metric của không gian Euclidean (với việc đổi dấu):

t 2 − x 2 = − (τ 2 + x 2 )

(1.1)

Trong không gian xung lượng phép toán tương ứng là: k 0 → − ik 4 . Như sau
này sẽ thấy việc sử dụng không gian Euclidean khi nghiên cứu ở nhiệt độ hữu hạn
đóng vai trò quan trọng hơn nhiều so với ở nhiệt độ không. Do đó phần đầu tiên của

3

chương này sẽ được dành cho một nhận xét ngắn về các hình thức luận tích phân
đường trong thời gian ảo.
1.1 Hình thức luận tích phân đường và thời gian ảo
Trong hình thức luận thông thường của cơ học lượng tử, các đại lượng vật lý
được biểu diễn bằng các toán tử tuyến tính Hermite tác dụng trong không gian
Hibert của các vectơ trạng thái. Hình thức luận tích phân đường của cơ học lượng tử
được xây dựng trực tiếp vào khái niệm hàm truyền. Để đơn giản cho các lập luận ta
sẽ giả thiết chỉ có một tọa độ không gian. Tuy nhiên, giả thiết như vậy không làm
mất tính tổng quát của các kết quả vì ta dễ dàng suy rộng cho trường hợp có nhiều
tọa độ.
Gọi Ψ(q i , t i ) là vectơ trạng thái ở thời điểm t i và Ψ(q f , t f ) là vector trạng
thái ở thời điểm muộn hơn t f thì hiển nhiên theo nguyên lý chồng chất có thể viết:

Ψ(q f , t f ) = ∫ F(q f , t f , q i , t i )Ψ(q i , t i ) dq i

(1.2)

Như vậy F(q f , t f , q i , t i ) cho phép xác định vector trạng thái ở thời điểm t f
khi biết vector trạng thái ở thời điểm t i . F(q f , t f , q i , t i ) được gọi là hàm truyền và
có thể thấy rằng đó chính là đại lượng quen thuộc trong cơ học lượng tử: biên độ
xác suất chuyển dời từ trạng thái đầu Ψ(q i , t i ) sang trạng thái cuối Ψ(q f , t f ) .
Thật vậy, trước hết ta chú ý rằng vector trạng thái Ψ(q, t) chính là:

Ψ(q, t) = q t s ,
trong đó Ψ t
trạng thái Ψ

s

H

là vector trạng thái trong biểu diễn Schodinger liên hệ với vector
trong biểu diễn Heisenberg bằng hệ thức:
∧

Ψt

s

=e

−

iHt
h

Do đó bằng cách định nghĩa vector:
∧

qt = e

−

iHt
h

(1.3)

q

4


ta sẽ có: Ψ(q, t) = qt Ψ

H

,

Mặt khác, do tính chất đầy đủ của hệ các vector trạng thái ta có:

q f t f Ψ = ∫ q f t f q i t i dq i
hay

Ψ(q f , t f ) = ∫ q f t f q i t i Ψ (q i t i ) dq i

(1.4)

So sánh (1.4) với (1.2) ta thu được:

F(q f , t f , q i , t i ) = q f t f q i t i

(1.5)

Theo tiên đề của cơ học lượng tử, xác suất chuyển dời lượng tử từ điểm qi tại thời
điểm t i đến thời điểm q f tại thời điểm t f là:

p(q f , t f , q i , t i ) = q f t f q i t i

2

Vì vậy hàm truyền là biên độ xác suất chuyển dời lượng tử.
Trong cơ học lượng tử thông thường, chuyển động của một hạt trong một trường
thế không phụ thuộc thời gian V(q) có thể được mô tả bởi biên độ xác suất F(q , t ;q, t) để
'

'

tìm thấy hạt ở vị trí q ' tại thời điểm t ' , khi biết được vị trí q tại thời điểm t
ˆ '
F ( q ' , t ' ; q, t ) = q′ e − iH(t − t) q

(1.6)

ˆ là Hamintonian không phụ thuộc vào thời gian; để đơn giản chúng ta xét
trong đó H
chuyển động một chiều và sử dụng hệ đơn vị tự nhiên trong đó h = 1;c = 1 . Sau này
bất cứ khi nào cần tránh sự nhầm lẫn, ta sẽ sử dụng dấu mũ để biểu thị tác động của
toán tử trong không gian Hilbert các trạng thái.
Chi tiết về biểu diễn tích phân đường của F có thể tìm thấy trong [1] nên ta
sẽ không mô tả chi tiết ở đây và chỉ quan tâm đến sự kéo dài giải tích của nó sang
thời gian ảo:

t → − iτ; t → − iτ
'

(

)

'

F q ' , − iτ ' ;q, − iτ = q ' e

ˆ ' − τ)
−iH(τ

5

q

(1.7)


Chúng ta hãy rút ra biểu diễn tích phân đường cho F trong (1.7). Chia khoảng
 τ' , τ  thành (n+1) khoảng con có độ dài ε = (τ ' − τ)/(n + 1) , với n → ∞ và viết:

(

ˆ
exp  − Hτ

'


)  =exp  −τ(


−τ

'

−τ

 pˆ 2

)  2m +V q( ˆ ) ÷



(1.8)

ở đây pˆ và qˆ là các toán tử xung lượng và tọa độ. Sau đó sử dụng công thức trotter
(còn gọi là tích Lie):

(

lim e

n→ ∞

A

n

e

B

n

)

n

= eA + B

(1.9)

và bằng cách bổ sung một tập hợp đủ các trạng thái riêng của toán tử tọa độ qˆ tại
các thời điểm τ1…τn ta có:

(

)

F q ' , − iτ ' ; q, − iτ = lim
n

∫ ∏ dq
l=1

l

q l+1

ε →∞


pˆ 2 
 ε

exp  − V ( qˆ ) ÷× expε − exp÷
2m 
 2



 ε
− q
V
 2

( ˆq) ÷


l

(1.10)
Tiếp theo ta hãy tính các yếu tố ma trận trong (1.10). Tác động của toán tử

ˆ lên vector ket q l tuân theo quy tắc thông thường, còn đối với các yếu tố ma
V (q)
trận của các toán tử xung lượng chúng ta bổ sung một bộ đầy đủ các trạng thái p l

ˆ và thu được:
của toán tử p
q l+1

2
pˆ 

expε − q ÷= l dp ∫ q
2m 


=∫

l

exp
l+1

dp l i( q l + 1 − ql ) pl
e
e
2π

2
pˆ 

ε − p ÷ p l q
2m 

2
− εp l

Chú ý tới (1.7) ta viết lại F như sau:

6

1

2m

l

 m  2e
÷
 2πε 

=

l

 m( q
−



l +1

− ql )

2


÷

2ε ÷


(1.11)


1

 m 
F ( q , − iτ ;q, − iτ ) = lim 
÷
 2πε 
'

'

2

ε→ ∞



×expε −



 m 
∫ ∏  2πε ÷




1

n

2

dq l 



l =1

 m( q − q )
+
∑

2ε

n

l +1

l

2

l=0

q
Chúng ta đã thay đối số của V thành 


2

(1.12)


q
V
÷ ∑ 
÷


n

l

l=0

+ ql + 1
2


÷


+ ql 
÷ và bỏ qua các số hạng vô

2


l +1

cùng bé tại giới hạn ε → 0 . Một cách hình thức, ta gọi

D q (τ )
''

là giới hạn ε → 0

của độ đo tích phân trong (1.12) và chú ý rằng biểu thức ở số mũ của hàm exp cho
tích phân:
S E (τ

'

τ′

1
− τ)= ∫ dτ ''  mq&'2 (τ '' ) + V(q(τ '' )) 
 2

τ

(1.13)

trong đó dấu chấm là đạo hàm cấp một theo τ, SE trong (1.13) thường được gọi là tác
dụng trong không gian Euclidean. Cuối cùng có thể viết biên độ xác suất F dưới

dạng tích phân đường:

(

'

) ∫D q( τ )

'

''

F q , − iτ ; q, − iτ =


''  1
''
''

× exp − ∫ dτ  mq& (τ ) + V ( q(τ ) ) ÷

2

τ′

2

(1.14)

τ

 q(τ) = q
'
'
q(τ ) = q

Điều kiện biên trên đường lấy tích phân q (τ'' ) là: 

Bây giờ chúng ta sẽ thiết lập mối liên hệ với thống kê lượng tử bằng cách áp
dụng (1.14) cho tổng thống kê Z(β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn
vị tự nhiên hằng số Bolzoman kβ = 1). Theo định nghĩa, tổng thống kê có dạng:
Z (β) = Tr e

ˆ
− βH

=

∑e

− βE n

(1.15)

n

ˆ.
trong đó vết được tính bằng một bộ đầy đủ các vector trạng thái của toán tử H

7

ˆ n =E n
H
n

(1.16)

Tuy nhiên, nó cũng có thể viết vết bằng cách sử dụng một bộ đầy đủ các
vector trạng thái của các toán tử tọa độ

∫

Z (β) = dq q e

ˆ
− βH

q

(1.17)

ˆ
Rõ ràng là e − βH có thể được hiểu như một toán tử tiến triển trong thời gian ảo. So

sánh với (1.7) ta thấy:

Z (β) = dq F ( q, − iβ; q, 0 )

∫

(1.18)

Do đó Z (β) có thể được biểu diễn như tích phân đường:


1

Z(β) = ∫ Dq(τ)exp − ∫ dτ  mq& (τ)+V ( q(τ) ) ÷

2
 
β

2

(1.19)

0

= Dq(τ)exp [ − S E (β) ]

∫

Ở đây việc tích phân được thực hiện theo mọi đường với điều kiện biên

q(β) = q(0)

(1.20)

cụ thể là trên mọi đường với chu kỳ β trong thời gian ảo.
Chuyển sang lý thuyết trường lượng tử, thay cho tổng thống kê ta định nghĩa
phiếm hàm sinh với sự có mặt của nguồn ngoài j bằng biểu thức:
β


Z(β, j) = ∫ D q(τ) exp  − SE (β) + ∫ j(τ)q(τ)dτ 


0

(1.21)

Đạo phiếm hàm của (1.21) sẽ cho ta hàm truyền trong thời gian ảo:
2

1δ Z(β, j)
×
Z(β) δj(τ1 )δj(τ 2 )

1

=

j=0

∫ D q(τ) q(τ )q(τ )e
Z(β)
1

2

− Sβ
E(

)

(1.22)

Thật vậy, chúng ta sẽ chỉ ra rằng vế phải (RHS) của (1.22) có thể đồng nhất
với trung bình nhiệt động của tích theo trật tự thời gian (time – ordered product),
còn gọi là T-tích của các toán tử tọa độ.

8


ˆ − iτ1 ) q(
ˆ − iτ 2 ) )
T ( q(

=

β

1
Z(β)

Tr e

ˆ

− βH

ˆ − iτ1 ) q(
ˆ − iτ 2 ) )  (1.23)
T ( q(


Ở đây qˆ (-iτ) là toán tử tọa độ trong biểu diễn Heiserberg
ˆ

ˆ

iHt
− iHt
qˆ (t) = e qˆ e
ˆ

(1.24)

ˆ

Hτ
− Hτ
qˆ ( − iτ) = e qˆ e

ˆ
Chúng ta nhớ lại rằng trung bình nhiệt A
1
ˆ − βHˆ
Aˆ β =

Tr Ae
Z(β)

(

β

ˆ được xác định bởi:
của toán tử A

)

(1.25)

T-tích trong (1.23) tác dụng trong thời gian ảo là:

ˆ − iτ1 )q(
ˆ − iτ 2 ) τ1 >τ 2
q(

ˆ − iτ1 )q(
ˆ − iτ 2 ) ) = 
T ( q(

(1.26)

ˆ − iτ 2 )q(
ˆ − iτ1 ) τ 2 >τ1
q(

Từ đó có thể dễ dàng chứng minh đạo phiếm hàm Z(β,j) là trung bình nhiệt
động của T - tích của các toán tử tọa độ. Chẳng hạn, với τ 1> τ2 ta có:

ˆ − iτ1 )q(
ˆ − iτ 2 ) )
Z(β) T ( q(
= ∫ dq q e

− ( β − τ1 ) Hˆ

β

ˆ − ( τ1 − τ 2 ) H qe
ˆ − τ2H q
qe
ˆ

ˆ

(1.27)

Sau đó đưa vào một bộ đầy đủ các trạng thái riêng của tọa độ tại “thời gian”
τ1 và τ2 rồi lặp lại quá trình sẽ dẫn đến tích phân đường (1.19). Cũng trực tiếp thấy
rằng Z (β, j) có thể được viết dưới dạng toán tử:


Z(β; j) = Tr  e



 ∫ dτ j(τ) q(τ) 
÷
Te

÷


β

ˆ
− βH

0

(1.28)

Từ tính chất hoán vị vòng quanh của vết một tích các toán tử trong trị trung
bình nhiệt động hoặc từ tính tuần hoàn (1.20) của đường lấy tích phân trong hình
thức luận tích phân đường chúng ta suy ra được tính chất sau của hàm truyền:

ˆ − iβ) q(
ˆ − iτ) )
T ( q(

β

ˆ q(
ˆ − iτ) )
= T ( q(0)

9

β

(1.29)


Trên đây chúng ta chỉ giới hạn τ nằm trong khoảng [0,β]; trong phần sau ta
sẽ thấy rằng Δ(τ) được xác chủ yếu trong khoảng [β, -β]. Khi đó tính hoán vị vòng
quanh của vết cho phép ta định nghĩa hàm Δ(τ) tuần hoàn trong thời gian ảo:

ˆ − iτ)q(0)
ˆ )
Δ(τ) = T ( q(

β

10

(1.30)


và tuân theo:

Δ(τ − β) = Δ(τ)

(1.31)

với mọi giá trị của τ nằm trong khoảng [0, β].
Để minh họa, chúng ta hãy xét dao động tử điều hòa với thế năng:

1
V(q)ω= q
2

2

2

(1.32)

Với mục đích đơn giản các công thức và giúp cho việc nghiên cứu ở chương
sau thuận tiện, ta đã đặt m = 1. Trước hết ta hãy tính T- tích của các toán tử tọa độ
(1.23) mà sẽ được khái quát thành hàm truyền của trường tự do. Ta sẽ sử dụng
phương pháp tích phân đường (các kết quả này cũng sẽ thu được dưới đây khi sử
dụng hình thức luận toán tử). Dễ dàng tính được phiếm hàm sinh Z(β, j) vì sau khi
tiến hành việc tích phân từng phần trong SE (β) sẽ cho tích phân Gaussian:
Z(β; j) =

∫



q ( 0 ) = qβ(

)

Dq(τ) exp  − ∫ dτ 

= Z(β)exp



β

0

1

2

2
  − d +ω

  dτ 2

q(τ)×÷

2



q÷(τ)



−j (τ) q(τ)

1

'
'
' 
 2 ∫ dτ dτ j(τ) K(τ, τ ) j(τ ) 





(133)

 d2

Trong (1.33) hàm Green K(τ,τ ) là nghịch đảo của  − 2 + ω 2 ÷:
 dτ

'

 d2
2
− 2 +ω
 dτ


'
'
÷K(τ,τ ) = δ(τ − τ )


(1.34)

Từ (1.22) và (1.23) và định nghĩa (1.30) của Δ(τ) chúng ta có thể đồng nhất
K và ∆ ; trong trường hợp dao động điều hòa chúng ta thêm chỉ số dưới F, với F có
nghĩa là tự do:

K(τ, τ' ) = Δ F (τ − τ' )

(1.35)

Nghiệm của (1.34) với điều kiện tuần hoàn (1.31) là duy nhất. Nếu τ nằm
trong khoảng [0, β], ta có:

11


Δ F (τ) =

1

( 1+ n(ω) ) e − ωt + n(ω)e ωt 
2ω

(1.36)

Ở đây n (ω) là phân bố Bose- Einstein:
n(ω) =

1
expβ( ω

(1.37)

) −1

Bằng phép tính đơn giản ta có thể thấy (1.36) là sự kéo dài giải tích sang các giá
trị âm của τ với điều kiện tuần hoàn (1.31) thỏa mãn phương trình vi phân (1.34). Đây
là nghiệm duy nhất của phương trình này với điều kiện (1.31).
1.2. Hình thức luận toán tử
Trên đây, chúng ta chỉ giới hạn xét trong thời gian ảo. Trong mục này ta sẽ
quan tâm đến các giá trị thực của thời gian. Trong trường hợp này, để thuận tiện ta
định nghĩa các hàm 2 điểm D > (t, t ' ) và D< (t, t ' ) :

ˆ q(t
ˆ ')
D > (t,t ' ) = q(t)

(1.38a)

β

ˆ ' ) q(t)
ˆ
D < (t, t ' ) = q(t

β

= D > (t ' , t)

(1.38b)

Bằng cách đưa vào một bộ đầy đủ các vector trạng thái của Hˆ có thể biểu
diễn D > (t ' ,t) như sau:

D (t , t) =
>

'

1

∑e
Z(β)

− βE n

e

iE n ( t − t ′ )

×e

− iEm ( t - t ′ )

ˆ
n q(0)
m

2

(1.39)

n, m

Nếu sự hội tụ của (1.39) được xác định bởi hàm mũ, thì D > (t ' ,t) được xác
định bởi:
'

β ≤ Im(t - t ) ≤ 0

(1.40a)

trong khi đó D < (t ' ,t) được xác định bởi:
'

β ≥ Im (t - t ) ≥ 0

(1.40b)

Bây giờ ta sử dụng việc coi ( -β Hˆ ) là một toán tử tiến triển trong thời gian ảo

12


ˆ

ˆ

ˆ eβH = q(t
ˆ + iβ)
e −βH q(t)

(1.41)

và sử dụng tính tuần hoàn của vết để suy ra hệ thức Kubo-Martin- Schwinger
(KMS):

D > (t, t ' ) = D < (t + iβ,t ' )

(1.42)

Nhận xét rằng với τ nằm trong khoảng [0, β] :
Δ(τ) = D ( − iτ, 0)
>

(1.43)

Khi đó điều kiện tuần hoàn (1.31) của Δ(τ) được suy ra từ hệ thức KMS (1.42).
Cuối cùng, với các giá trị thực của t, t ' ta định nghĩa hàm truyền trật tự thời gian:

(

'
ˆ q(t
ˆ ')
D(t, t ) = T q(t)
'

)
'

'

'

= θ(t - t ) D (t, t ) + θ(t - t) D (t, t )
>

<

(1.44)

1.3. Hàm phổ ρ(k0)
Hàm green hai điểm sẽ xuất hiện dưới các dạng khác nhau: thời gian thực,
thời gian ảo, sớm, muộn. Tất cả các dạng này đều phụ thuộc vào một hàm duy nhất,
gọi là hàm quang phổ ρ(k 0).Vì tính bất biến, nên D > (t,t ' ), D < (t,t ' ) chỉ phụ thuộc vào
'

hiệu số (t - t ) , và chúng ta sẽ sử dụng các kí hiệu viết tắt sau:

D > (t) = D > (t, 0)
D < (t) = D < (t, 0)
Ta định nghĩa phép biến đổi Fourier của D>(t) và D<(t) bằng các biểu thức:
∞

∫

D (k 0 ) = dt e
>

ik 0 t

>

D (t)

(1.45)

-∞

và:

D (k 0 ) =
<

∞

∫ dt e

ik 0 t

D (t) =
<

-∞

∞

∫ dt e

ik 0 t

D > (t − iβ) (1.46)

-∞

Ở đây biểu thức thứ hai được suy từ hệ điều kiện KMS (1.42). So sánh (1.45)
và (1.46) ta có:

13


D (k 0 ) = D ( − k 0 ) = e
<

>

-βk 0

>

D (k 0 )

(1.47)

Hơn nữa từ tính chất Hecmite của toán tử qˆ (t) và tính bất biến tịnh tiến ta
suy ra rằng D<(k0) và D>(k0) là các hàm thực của k 0. Hàm phổ ρ(k0) được xác định
bằng biểu thức:

ρ(k 0 ) = D > (k 0 ) − D < (k 0 )

(1.48)

ˆ q(0)
ˆ ].
và đây là biến đổi Fourier của trung bình nhiệt động của giao hoán tử [ q(t),
Từ (1.47) chúng ta có thể viết:
D (k 0 ) = ( 1 + f(k 0 )ρ) (k 0 )
>

<

D (k 0 ) = fρ
(k 0 ) (k 0 )

(1.49)

− 1) − 1

(1.50)

với:
f(k 0 ) = (e

βk 0

Có thể thu được biểu thức tường minh của ρ(k 0) bằng cách sử dụng (1.39) và thực
hiện tính (D>(k0) - D<(k0)), bằng cách sử dụng (1.47)
ρ(k 0 ) =

2π

e
∑
Z(β)

− βE n

n, m

=

2π

(1 − e ) × δ( k
-βk 0

0

ˆ
+ E n − E m ) n q(0)
m

2

(1.51)

eδ k [ (E
∑
Z(β)
− βE n

0

+E n

−

δm ) k−

(E 0 + E m −

nn )q(0)
] mˆ

2

n, m

Phương trình (1.51) cho thấy rõ ràng rằng:
(i) ρ(k0) là hàm lẻ của k0: ρ(k0) = - ρ(- k0)
(ii) ρ(k0) thỏa mãn điều kiện dương ε(k0) ρ(k0) > 0, trong đó ε(k0) là hàm dấu
(sign function).
Thêm vào đó, ρ(k0) tuân theo quy tắc lấy tổng được suy ra từ hệ thức giao
hoán chính tắc đồng thời gian:
d
 q(t),
ˆ
 dt

ˆ )

q(t
'

'

 t = t′

=i

(1.52)

Thật vậy, ta có:

14


∞

∫

-∞

dk 0
2π

k 0e

− ik 0 t

d

( D (k ) − D (k ) ) = i ( D (t) − D (t) )
>

<

0

0

>

<

dt

(1.53)

và từ định nghĩa của D> và D<:

D (t) − D (t) =
>

<

ˆ
ˆ ]
q(0)
[ q(t),

(1.54)

β

Lấy giới hạn t → 0 của các phương trình trên sẽ cho quy tắc tổng:
∞

∫

-∞

dk 0
2π

kρ(k
)0 =1
0

(1.55)

Cũng có thể thu được quy tắc lấy tổng này từ việc vận dụng (1.51).
Cuối cùng, ta hãy viết ra sự tương tự của hàm truyền trong cơ học lượng tử.
Dễ dàng tìm được dạng của toán tử tọa độ trong trường hợp dao động tử điều hòa
với m =1.

ˆ =
q(t)

1
2ω

( ae

− iωt

+

+ a e

iωt

)

(1.56)

Trong đó a+ là liên hợp Hecmite của toán tử a. Nhờ đó có thể viết lại phương
trình (1.54) dưới dạng:
>

<

D (t) − D (t) =

1

+

2ω

[a,a ] e

− iωt

+

+ [a , a] e

(1.57)

iωt

β

Vì [a, a+] =1, nên ta tìm ngay được hàm phổ tự do ρ F(k0) bằng phép biến đổi
Fourier:

ρ F (k 0 ) = 2πε(k 0 ) δ(k 0

2

−ω

2

)

(1.58)

Có thể dễ dàng kiểm tra thấy rằng hàm phổ tự do này tuân theo điều kiện
dương và quy tắc lấy tổng (1.55). Cũng cần chú ý rằng hàm ρ F không phụ thuộc vào

nhiệt độ.

15


1.4. Hàm truyền Matsubara (hoặc thời gian ảo)
Chúng ta định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm truyền thời gian ảo Δ(τ) ở
(1.30) bằng biểu thức:
β

Δ(iω n ) = ∫ dτ e

iωn τ

Δ(τ)

(1.59a)

0

với biến đổi ngược là:
Δ(τ) = T ∑e − iωn τ Δ(iω n )

(1.59b)

n

Do Δ(τ) là tuần hoàn ( Δ(τ − β) = Δ(τ) ) , và phép biến đổi Fourier được thực
hiện trong khoảng hữu hạn [0, β], nên tần số ωn nhận các giá trị gián đoạn:
ωn =

2πn

(1.60)

β

Ta gọi đó là tần số Matsubara. Nếu chọn τ trong khoảng [0, β], ta có
Δ(τ) = D ( − iτ)
>

từ (1.45):

Δ(τ) =

dk 0

∫ 2π

e

− kτ0

>

D (k 0 )

(1.61)

Sử dụng (1.59a) và biểu thức (1.49) của D > (k 0 ) sẽ dẫn đến:

∞

Δ(iω n ) = − ∫

−∞

dkρ(k
)
0

0

(1.62)

2π iω n − k 0

Đối với trường tự do, chúng ta sử dụng biểu thức (1.58) cho ρF(k0) và thu được:
Δ F (iωn ) =

1
ωn + ω 2

(1.63)

2

Tất nhiên, phép biến đổi Fourier ngược của (1.63) là Δ F (τ) được cho trong
(1.36). Hàm truyền (đầy đủ) Matsubara (1.62) chỉ được định nghĩa cho các giá trị
rời rạc của các tần số (1.60) và sự kéo dài giải tích của nó sang các giá trị tùy ý của
tần số không phải là duy nhất. Tuy nhiên, từ (1.62) có thể xác định một sự kéo dài

giải tích liên tục duy nhất thỏa mãn điều kiện:

16


(i) Δ(z) →0 nếu z → ∞ ;
(ii) Δ(z) giải tích bên ngoài trục thực.
Sau đó sự kéo dài giải tích được cho:
∞

Δ(z) = −

dkρ(k
0

∫

0

)

(1.64)

2π z − k 0

−∞

Trong thực tế, đây là sự kéo dài mà ta quan tâm, vì với các giá trị thực của z
hoặc chính xác hơn là với z = k 0 ± iη, η → 0 + , trong đó k0 là thực, chúng ta sẽ thu
được các hàm truyền sớm DA(t) và muộn DR(t):

[ ˆq(0) ˆ
D R (t)θ(t)
= q(t),

]

(1.65)

β

ˆ
ˆ
D A (t)θ(
= − t) q(t),
− [q(0)

]

β

(1.66)

Thật vậy, từ biểu thức thông thường của hàm θ
∞

θ(t) = i

'

dk 0

∫

-∞

2π

×

e

− ik ′0 t

(1.67)

'

k 0 + iη

ta tìm được, chẳng hạn, biến đổi Furie D R (k 0 ) của D R (t)
∞

'

dkρ(k
0
D R (k 0 ) = i
×
2π

k0
-∞

∫

'
0

)

− k '0 + iη

(1.68)

để cho:
D R (k 0 ) = − iΔ (k 0 + iη)

(1.69)

D A (k 0 ) = iΔ (k 0 − iη)

Hàm DR(k0) là hàm giải tích trong nửa trên của mặt phẳng phức k 0. Hơn thế
nữa, chúng ta cũng thấy rằng các hàm Green tự do sớm và muộn là không phụ thuộc
vào nhiệt độ vì bản thân hàm phổ tự do (1.58) không phụ thuộc vào nhiệt độ. Điều
này không có gì lạ: hàm Green cho biết năng lượng và thời gian sống của các kích
thích cơ bản. Trong trường tự do ta có k0 = ± ω khi đó các kích thích sẽ là bền.

17

1.5. Hàm truyền trật tự thời gian (thời gian thực)
Trong mục này ta hãy thiết lập biểu thức cho hàm truyền nhiệt độ trong thời
gian thực. Biến đổi Fourier D (k0) của hàm truyền (1.44) là:

(

D(k 0 ) = ∫ dt eθ(t) D (t) θ (+ t) −D
ik 0 t

>

<

(t) )

(1.70)

Từ biểu thức (1.67) của hàm θ ta nhận được:
'

'

dkρ(k
)
0
D(k 0 ) = i ∫ 0 ×
+ f (k 0 )ρ (k 0)
'
2π k 0 − k 0 + iη

(1.71)

Biểu thức này cho thấy rằng D(k 0) không thể kéo dài giải tích tới các tần số
thực của hàm truyền Matsubara. Thực sự, ta có thể định nghĩa hàm kéo dài giải tích

D' , phụ thuộc vào dấu của k0:
'

D (k 0 ) = − iΔ(k 0 + iηk 0 )

(1.72)

và thu được:

D(k 0 ) = ( 1 + n(k 0 ) ) D ' (k 0 ) + n(k 0 )D '* (k 0 ) (1.73)
với:

(

n(k 0 ) = e

β k0

)

−1

−1

(1.74)

Tới đây, có thể dễ dàng tìm được hàm truyền tự do bằng cách thay biểu thức
(1.58) của hàm quang phổ tự do vào (1.71).

D F (k 0 ) =

i

+ 2πn(k 0 ) δ(k 0 − ω )
2

k 0 − ω + iη
2

2

2

(1.75)

Có hai quan điểm quan trọng cần chú ý trong công thức trên:
Một là: ta thấy rằng (1.75) được tách thành hai phần: phần ở nhiệt độ không
và phần ở nhiệt độ hữu hạn mà nó sẽ triệt tiêu khi T = 0.
Hai là: trong biểu thức (1.74) là giá trị tuyệt đối (|k0|) trong khi ở (1.50) chỉ
là k0.
1.6. Việc lấy tổng theo tần số
Trong các tính toán với hình thức luận thời gian ảo, chúng ta thường phải lấy
tổng theo tần số Matsubara. Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu một trong những

18

phương pháp để thực hiện điều đó, dựa trên biểu thức (1.59) của hàm truyền
Matsubara và khai triển tường minh (1.36) của Δ F (τ) .
Trước hết, chúng ta hãy tính hàm phân bố của dao động tử điều hòa. Tất
nhiên, có thể dễ dàng thu được biểu thức của nó bằng cách sử dụng định nghĩa

ˆ . Tuy nhiên, ở đây ta muốn có một
(1.14) và một bộ đầy đủ các vector của toán tử H
sự tương tự với tích phân đường trong lý thuyết trường nhiệt độ, nên sẽ rút ra Z( β)
từ (1.19). Trường hợp này tích phân phiếm hàm có dạng tích phân Gausse và chúng
ta hãy bắt đầu từ công thức cơ bản:
∞




N

1

∫ ∏ dφ exp  − 2 ∑ φ A
i

-∞ i = 1

= (2π)

N

2

−1

i

ij

φj

i,j

( detA )

1

= (2π)

2

N




2

exp

 1 Tr lnA 

 2


(1.76)

Với độ sai khác một hằng số cộng có thể bỏ được vì không ảnh hưởng tới
nhiệt động lực học, chúng ta có:

lnZ (β) =

1
2

TrlnK =

1
2

TrlnΔ F

(1.77)

Ở đây K là toán tử được xác định trong (1.76). Bằng cách chuyển sang
không gian Fourier, trong đó Δ F có dạng chéo để tính vết, và sử dụng biểu thức
(1.63):

ln Z(β) = −

1

∞

∑ ln ( ω
2
n = -∞

2

2

+ ωn

)

(1.78)

ta thấy rằng tổng theo n là phân kỳ. Hạn chế này là do việc xác định độ đo tích phân

Dq(τ) chưa chặt chẽ. Có thể giải quyết vấn đề này một cách chặt chẽ hơn bằng cách
sử dụng chính định nghĩa của

D q(τ) trong (1.8), mà nó sẽ cho kết quả hữu hạn.

Để vận dụng (1.78) ta lấy đạo hàm theo ω :
1 dlnZ(β)
1 ∞
1
β
β
=− ∑

=
−
Δ
(τ
=
0)
=
−
( 1 + 2n(ω) )
F
2ω dω
2 n = − ∞ ω2 + ω n2
2
4ω

(

)

19

(1.79)


Sau đó, lấy tích phân theo ω, ta thu được năng lượng tự do.

Ω=−

1
β

1

lnZ(β) =

2

ω +

1
β

(

ln 1 − e

− βω

) + constant

(1.80)

Ở đây, hằng số tích phân là phân kỳ, nhưng không phụ thuộc vào β và ω.
Trong bất kỳ sách giáo khoa nào về cơ học thống kê ở phần nói về bức xạ của vật
đen chúng ta đều có thể tìm thấy biểu thức trên (không có hằng số).
Ta cũng có thể gặp việc lấy tổng theo tần số kiểu khác trong tính toán các
giản đồ loop là:
S(iω m ) = T

∑Δ( i( ω

m

−

ω n ) ) Δ (iω n )
'

(1.81)

n

ở đây tần số dao động của Δ và Δ ' tương ứng là ω và ω’.
Bằng cách sử dụng biểu diễn Fourier (1.59) của Δ ( iω n ) và hệ thức

T ∑ eδ n τ = ∑
pβ (

)

(1.82)

S(iω n ) = ∫ dτ eiωτΔ(τ)Δ ' (τ)

(1.83)

iω τ

n

−

p

với p = 0; ±1; ±2… sẽ thu được:
β

0

Bằng cách biểu diễn Δ(τ) và Δ ' (τ) qua các hàm phổ ρ(k0) và ρ ' (k '0 ) (xem (1.49)
và (1.61)), lấy tích phân theo τ và nhớ rằng exp(iωmβ) = 1 đồng thời sử dụng tính
chất của phân bố Bose - Einstein sẽ thu được:
∞

'
dk 0 dkρ(k
)ρ (k )
S(iω m )×= 1− ∫ f(k ) 0f(k ) + 0 +
2π 2π
-∞

(

'
0

) iω

'
0

m

'
0

− k 0 − k 0'

(1.84)

Như đã giải thích trong mục (1.4), biểu thức này có thể được kéo dài giải
tích sang các giá trị của ωm không phải là tần số Matsubara, và nói riêng là giá trị
thực của năng lượng, nhưng tất nhiên là chỉ sau khi việc lấy tổng theo ωn được

20